Termodinâmica Estatística de Materiais

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(Termodinâmica Estatística de Materiais – Lista 2 )
Prof. Dr. Jeverson Teodoro Arantes Junior
01 - Considere um gás de rede, constituído por N partículas distribuídas em V células
com 
€ 
N ≤ V . Suponha que cada célula possa estar vazia ou ocupada por uma única
partícula. O número de estados do sistema será dado por: 
€ 
Ω(V ,N ) = V!
N!(V − N )! .
Obtenha uma expressão para a entropia por partícula 
€ 
s = s(v) , onde 
€ 
v = V
N . A partir
dessa equação fundamental, obtenha uma expressão para 
€ 
P
T . Escreva uma expansão
para 
€ 
P
T em termos da densidade 
€ 
ρ =
1
v . Mostre que o primeiro termo dessa
expansão corresponde a conhecida lei de Boyle dos gases ideais. Esboce um gráfico
de 
μ
T , onde μ é o potencial químico contra a densidade ρ . Qual o comportamento
do potencial químico nos limites ρ→ 0 e ρ→ 1 ?
02 - Um modelo simples para um semicondutor orgânico em duas dimensões pode
ser imaginado como uma rede quadrada. Em cada ponto da rede o semicondutor
orgânico pode mover-se uniformemente em uma direção ou em duas direções com um
ângulo reto relativo a sua direção corrente. Cada vez que ele curva-se com um ângulo
reto, há um custo de energia 
€ 
ε . Portanto, para uma determinada estrutura, a energia
de curvatura é 
€ 
ε vezes o número de ângulos retos. Assumiremos que um segmento
inicial esteja fixo em algum lugar da rede e que esse semicondutor orgânico consiste
em N + 1 segmentos. Cada possível forma desse semicondutor é um estado acessível
do sistema. Quantas formas do semicondutor orgânico possuem energia total de
curvatura 
€ 
U , onde 
€ 
U = mε com 
€ 
0 ≤ m ≤ N ? Qual é a entropia do sistema ?
03 - Uma rede possui N sítios normais e N sítios intersticiais. N átomos idênticos
encontram-se nas posições da rede, M nos sítios intersticiais e (N – M) nos sítios
normais (N >> M >> 1). Se um átomo ocupa um sitio normal sua energia é E = 0, e na
posição intersticial sua energia é E = ε. Encontre a energia interna e o calor
específico como função da temperatura para esta rede.
04 - Considere um sistema constituído de N íons magnéticos localizados e não
interagentes entre si, sujeito a um campo magnético H. Cada íon pode estar em (2J+1)
níveis de energia. As energias possíveis para os íons são : Em =- AH m , onde
€ 
m = −J,−J +1,−J + 2,...,J −1,J e A é uma constante.
(a) Determine a função de partição (Z) e a energia livre de Helmholtz (F) como
função da temperatura e do campo.
(b) Calcule a magnetização : 
€ 
M = −∂F
∂H
05 - Considere um sistema de N átomos localizados e não interagentes. Cada átomo
pode estar em três estados, com energias 
€ 
ε1 e 
€ 
ε 2 > ε1 (sendo essa última duplamente
degenerada).
(a) Calcule a energia interna U e a entropia do sistema em função da temperatura T.
(b) Determine U e S nos limites: 
€ 
T → 0 e 
€ 
T → ∞ .
(c) Esboce o gráfico S x T.
06 - Considere um sistema com N osciladores harmônicos clássicos, unidimensionais
e localizados. A freqüência característica é 
€ 
ω e o sistema está em contato com um
reservatório a temperatura T. O hamiltoniano do sistema é dado por:
(a) Calcule a função de partição e a energia livre de Helmholtz.
(b) Calcule a entropia, a energia interna e o calor específico.
(c) Como seriam modificados esses resultados se os osciladores fossem quânticos ?
(d) Esboce os gráficos S, U e C (calor específico) em função da temperatura T.
07 - Considere uma mistura homogênea de moléculas de gases ideais monoatômicos,
a temperatura T, dentro de um recipiente de volume V. Suponha que haja N1
moléculas de gás tipo 1 e N2 moléculas do gás tipo 2, ... e Nr moléculas do gás tipo r.
(a) Calcule a função de partição clássica deste sistema.
(b) Obtenha a energia livre de Helmholtz.
(c) Obtenha a equação de estado para a pressão, ou seja, P=P(T,V,Ni).
08 - Considere uma gás ideal monoatômico a temperatura T. Cada molécula do gás
tem massa m.
(a) Obtenha a distribuição da componente x da velocidade das moléculas, isto é, a
densidade de probabilidade 
€ 
ρ(v x ) .
(b) Calcule o valor médio de 
€ 
v x .
(c) Calcule o valor médio de 
€ 
< v x >
2
.
Dados : 
∫
−∞
∞
e−αxx
2
dx= √
π
αx e 
∫
−∞
∞
x 2 e−αxx
2
dx=
1
2 αx √
π
αx
09 - Considere um sistema de moléculas monoatômicas adsorvidas em uma
superfície. Suponha que essas moléculas possam ser tratadas como um gás ideal
clássico em duas dimensões. Calcule o calor específico do sistema.
10 - Considere um gás ideal monoatômico confinado em um recipiente de seção
transversal de área A a uma temperatura T. O gás esta sujeito a um campo
gravitacional cuja energia é dada por V=mgz com z⩾0 .
(a) Calcule a função de partição.
(b) Determine a distribuição espacial das moléculas do gás na direção 
€ 
z , 
€ 
ρ (z) .
11 - Considere um gás ideal clássico de N moléculas que encontra-se confinado num
recipiente de volume V a uma temperatura T. O hamiltoniano de cada molécula é:
H=
1
2 m ( px
2 +py
2 +p z
2 )+
1
2 I (pθ2+
pϕ
2
sen2 θ) , onde m é a massa e I é o momento de inércia
de cada molécula. Obtenha :
(a) a função de partição do gás,
(b) a energia interna U,
(c) o calor específico a volume constante.
H=
p2
2 m
+
mw2 q2
2
12 - Uma mistura homogênea é composta por N/2 moléculas de um gás ideal
monoatômico A e N/2 moléculas de uma gás ideal monoatômico B. As moléculas dos
gases A e B tem massas mA e mB respectivamente. O sistema está confinado em um
volume V a temperatura T.
(a) Calcule a função de partição.
(b) Calcule a energia livre de Helmholtz.
(c) Calcule a entropia do sistema.
Dado : 
H=
p2
2 m 
13 - Uma liga binária é composta por NA átomos do tipo A e NB átomos do tipo B.
Cada átomo do tipo A pode estar no seu estado fundamental com energia 0 ou em um
estado excitado com energia 
€ 
ε . Cada átomo do tipo B pode estar em seu estado
fundamental com energia 0 ou em um estado excitado com energia 
€ 
2ε .
(a) Calcule a função de partição ZA por átomo do tipo A e a função ZB para cada
átomo do tipo B.
(b) Calcule a energia interna do sistema.
(c) Calcule o calor específico.
14 - Os níveis de um oscilador harmônico são dados por : 
En =hw (n+ 12 ) , onde
€ 
n = 0,1,2,3,... . Considere um sistema formado por N osciladores localizados desse
tipo. Calcule:
(a) a função de partição canônica ,
(b) o calor específico.
15 - Um sistema de N osciladores quânticos localizados e independentes está em
contato com um reservatório térmico à temperatura T. Os níveis de energia de cada
oscilador são : 
En =hw0 (n+ 12 ) , com n=1,3,5,7, ... . Note que n é um número inteiro e
ímpar. 
(a) Obtenha uma expressão para a energia interna u por oscilador, em função da
temperatura T. Esboce um gráfico u contra T. Qual a expressão de u no limite
clássico ( hw0 << KT ) ?
(b) Obtenha uma expressão para a entropia por oscilador em função da temperatura.
Esboce um gráfico da entropia contra a temperatura. Qual q expressão da entropia no
limite clássico ?
(c) Qual a expressão do calor especifico no limite clássico ?
16 - Um conjunto de N osciladores clássicos em uma dimensão é definido pelo
hamiltoniano 
H=∑
i= 1
N
( pi
2
2 m
+
1
2
mw 2 qi
2)
. Utilizando o formalismo canônico , no espaço
de fase clássico, obtenha expressões para a função de partição, a energia por
oscilador, a entropia por oscilador e o calor específico. Compare com o limite clássico
dos resultados quânticos. Calcule a expressão para o desvio quadrático da energia em
função da temperatura. 
17 – Em uma determinada temperatura, T, uma superfície com N0 centros de adsorção
tem N≤N 0 moléculas adsorvidas. Supondo que não haja interações entre as
moléculas, mostre que o potencial químico do gás adsorvido pode ser escrito na forma
m=K BT ln
N
(N 0−N )a(T ) . Qual seria a interpretação da função a(T) ?
18 – Mostre que a entropia de um gásideal quântico pode ser escrita na forma
S =- K B∑
j
{ f j ln f j+(1− f j ) ln (1− f j ) }
, e 
f j=⟨n j ⟩=
1
exp[ β (e j−m) ]+1 é a
distribuição de Fermi-Dirac. Mostre que esse resultado também é válido no limite
clássico.
19 – Qual é a compressibilidade de um gás de férmions livres a temperatura nula ?
Obtenha um valor numérico para elétrons com a densidade dos elétrons de condução
do sódio metálico e compare com os valores experimentais para o sódio a temperatura
ambiente.
20 – Um gás de férmions, com massa m e energia de Fermi E F , está em repouso no
zero absoluto. Encontre expressões para os valores esperados ⟨v x⟩ e ⟨v x
2
⟩ , onde v⃗
é a velocidade de uma partícula.
21 – Considere um gás de N elétrons livres, dentro de uma região de volume V, num
regime ultra-relativístico. O espectro de energia é dado por e= [ p
2 c 2 +m 2 c 4 ]
1
2 ~ pc ,
onde p⃗ é o momento linear.
(a) Calcule a energia de Fermi desse sistema.
(b) Qual a energia do sistema no estado fundamental ?
(c) Obtenha uma forma assintótica para o calor específico a volume constante no
limite T << T F .