IAL - Prof Flávio

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Introdução à Álgebra Linear
Módulo II (10 aulas)
Prof. Flávio Silva
8. Vetores: componentes e operações 
(representação geométrica, aritmética vetorial, produto escalar, projeções, produto vetorial)
9. Espaços vetoriais euclidianos 
(espaço euclidiano n-dimensional, transformações lineares de n em m)
10. Espaços vetoriais arbitrários 
(espaços vetoriais reais, subespaço, combinação linear, dependência e independência linear, 
 bases e dimensão, mudança de base)
1º Semestre de 2009
Data da Avaliação
Turma A – 26 de maio.
Turma B – 26 de maio.
Turma C – 25 de maio.
Aulas
Turma A –
Turma B –
Turma C –
8 – VETORES: COMPONENTES E OPERAÇÕES
1 – Introdução
 
Há dois modos de se apresentar a noção de vetor:
 
Lista de números indexados:
	 Por exemplo, a lista das idades de oito pessoas dada por 17, 23, 45, 28, 16, 30, 62 e 35, nessa ordem, pode ser simbolicamente representada por:
 
	
Onde i1 = 17 é a idade da primeira pessoa, i2 = 23 é a idade da segunda pessoa e assim por diante. Uma lista desse tipo é chamada de tabela linear ou vetor.
3
Vetores na física: 
	-	Muitas grandezas físicas como temperatura, massa e corrente elétrica, são representadas apenas por um número real e são denominadas de escalares. 
	-	Por outro lado, há grandezas como força, velocidade e campo elétrico que requerem não só um valor numérico, mas também uma direção e um sentido para sua descrição completa.
 Por exemplo, a figura abaixo mostra um vetor força de mesma intensidade (10 N) provocando efeitos diferentes pelo fato de atuarem em direções e/ou sentidos diferentes.
4
Representação de um vetor
 
No espaço bi-dimensional ou tri-dimensional, os vetores podem ser representados geometricamente por setas: o comprimento da seta é proporcional à magnitude (comprimento) do vetor e a direção e o sentido da seta, indicam a direção e o sentido do vetor. 
A origem da seta é denominada de ponto inicial e a ponta da seta é denominada de ponto final.
5
5
 Vetores com a mesma magnitude, direção e sentido são denominados equivalentes. 
Definição: Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma de v com w é o vetor v+w determinado da seguinte maneira: posicione o vetor w de tal maneira que seu ponto inicial coincide com o ponto final do vetor v. O vetor v+w é representado pela flecha do ponto inicial de v ao ponto final de w.
6
+
+
6
 Observe que:
 O vetor de comprimento zero é denominado vetor nulo ou vetor zero. Denotado por 0. Desta forma, tem-se: .
 Se v é um vetor não nulo, então –v é o negativo de v, é definido como o vetor de mesma magnitude e direção de v mas de sentido oposto.
7
7
Definição: Sejam v e w dois vetores quaisquer então a diferença de w por v é definida por: .
Definição: Sejam v um vetor não nulo e um número real (escalar) k  0. O produto k v é definido como o vetor de mesma direção de v cujo o comprimento é |k| vezes o comprimento de v e cujo o sentido é o mesmo de v se k > 0 e oposto ao de v se k < 0.
8
-
-
8
Vetores em sistemas de coordenadas
Seja v qualquer vetor no plano e suponha que esteja posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas do ponto final de v são chamadas componentes de v.
- Vetores com as mesmas componentes são equivalentes pois têm a mesma magnitude, direção e sentido.
 e são equivalentes se 
9
9
- Sejam e vetores quaisquer e k um escalar 
10
- Observe que neste gráfico
10
Vetores no espaço tridimensional
Da mesma forma que os vetores no plano podem ser escritos por pares de números reais, os vetores no espaço podem ser descritos por ternos de números reais utilizando um sistema de coordenadas retangulares.
- Se um vetor v no espaço tridimensional for posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares, tem-se:
11
11
- Os sistemas de coordenadas retangulares tridimensional dividem se em duas categorias: o de mão direita e o de mão esquerda.
 
 O sistema de mão direita tem a propriedade de um parafuso comum, apontado na direção positiva do eixo z, ele avança se o eixo x positivo é girado 90o na direção do eixo y positivo. 
 O sistema é de mão esquerda se o parafuso retroceder.
 
12
12
 Pode acontecer que o vetor não esteja posicionado com seu ponto inicial na origem, conforme a figura abaixo
 Neste caso, o vetor tem o ponto inicial e o ponto final . A representação do vetor é dada por:
13
13
Exemplo 1 .
 Considere os pontos A(1,0,3), B(-1,5,7) e C(3,-1,0) pertencentes ao espaço tridimensional . 
Determine a representação dos vetores , e .
Calcule e .
a)
b)
14
Exemplo 2 .
Dado os vetores v e u inscritos em um círculo de raio unitário, determine os componentes de v, u, v+u e v-u
 vetor v(v1,v2)
 vetor u(u1,u2)
 . 
15
Translação de eixos
A solução de muitos problemas pode ser simplificada pela translação dos eixos coordenados para obter novos eixos paralelos aos originais.
Na Figura abaixo foi transladado os eixos de um sistema de coordenadas xy para obter um sistema de coordenadas cuja origem está no ponto 
 .
- Equações de translação:
16
16
Exemplo 3 .
Suponha que um sistema de coordenadas xy é transladado para um sistema de coordenadas x’y’ cuja origem tem coordenadas xy dadas por (4,1).
Encontre as coordenadas x’y’ do ponto com coordenadas xy dadas por P(2,0).
Encontre as coordenadas xy do ponto com coordenadas x’y’ dadas por Q(-1,5) .
As equações de translação são e portanto as coordenadas
 x’y’ de P(2,0) são 
(b) As equações de translação são e portanto as coordenadas
 xy de Q(-1,5) são 
17
2 – NORMA DE UM VETOR; ARITMÉTICA VETORIAL
Norma de um vetor
	O comprimento de um vetor v é muitas vezes denominado norma de v e é denotado por . 
	- caso bidimensional
18
Aplicando o Teorema de Pitágoras, no 
 triângulo OPA, tem-se:
18
	- caso tridimensional
19
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OBA, tem-se:
No triângulo OPA, tem-se:
19
Definição: Um vetor v é denominado vetor unitário se .
 Se v é um vetor qualquer não nulo, então é um vetor unitário de mesma direção que v.
- O processo de determinação de é denominado de normalização de v.
 
Definição (Vetores Unitários Canônicos)
Considere os vetores , e .
Estes vetores possuem comprimento unitário e estão
 sobre os eixos coordenados, sendo denominados
 vetores unitários canônicos do espaço tridimensional.
20
20
Exemplo 4 .
Represente geometricamente o vetor no espaço tridimensional e determine o seu vetor unitário.
21
3
4
-6
 Norma do vetor v
 Vetor unitário de v
Aritmética vetorial
Teorema (propriedades da aritmética vetorial)
Se , e são vetores de um espaço bi ou tridimensional e e são escalares, então valem as seguintes relações:
22
22
Prova do Teorema
- A prova será apresentada, considerando vetores no espaço bidimensional, ou seja, , e .
23
23
24
24
3 – PRODUTO ESCALAR; PROJEÇÕES
Produto escalar de vetores
	Sejam e dois vetores não nulos no espaço bi e tridimensional e suponha que estes vetores foram posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidem. O ângulo determinado pelos vetores satisfaz a seguinte condição .
25
Definição: Se e são vetores
no espaço bi e tridimensional e 
é o ângulo entre e , então o produto escalar
25
Produto escalar em termos das componentes
Sejam os vetores e não nulos.
 Se o ângulo entre e é , conforme a figura, então pela lei dos cossenos tem-se:
26
26
Como , a lei dos cossenos 
pode ser escrita da seguinte forma:
Substituindo
tem-se: 
 ângulo entre os vetores, não nulos, e : 
27
Produto escalar
27
Exemplo 5.
Dado os vetores e , calcule o produto escalar e o ângulo entre os vetores v e w. 
28
 produto escalar: 
 norma dos vetores 
 ângulo entre os vetores:
3
4
-6
2
-5
1

Teorema
Sejam e vetores no espaço bi ou tridimensional .
 ; ou seja, 
Se os vetores e são não nulos e é o ângulo entre eles, então
 é agudo se e somente se, 
 é obtuso se e somente se, 
 é reto se e somente se, 
29
Prova do Teorema
Como o ângulo entre os vetores e é 0, tem-se
Como , e , o termo tem o mesmo sinal que . 
29
Teorema (propriedades do produto escalar)
Sejam , e vetores no espaço bi ou tridimensional e um escalar, então :
30
Prova do ítem (c) do Teorema
Sejam os vetores e , então
Analogamente, 
- Os demais itens ficam como exercício.
30
Exemplo 6.
Dado os vetores e , determine o valor do coeficiente a para que os vetores sejam ortogonais . 
31
 produto escalar: 
- Vetores ortogonais: 
Exemplo 7.
Considere os vetores v e w no espaço tridimensional, sendo e 
 . O ângulo entre os dois vetores é de 60o, calcule o produto escalar entre v e w.
II. Projeções
Em muitas aplicações é de interesse ‘decompor’ um vetor v na soma de dois componentes, um vetor paralelo a um vetor não nulo especificado a e outro perpendicular ao vetor a.
Observe que
O vetor w1 é denominado projeção ortogonal de v sobre a, ou componente vetorial de v ao longo do vetor a, denotado por:
O vetor w2 é denominado componente vetorial de v ortogonal ao vetor a, denotado por:
32
32
Teorema
Se e são vetores no espaço bi ou tridimensional e se , então
 (componente vetorial de ao longo de ) 
 (componente vetorial de ortogonal a ) 
33
Prova do Teorema
Sejam e . Como w1 é paralelo a , deve ser múltiplo escalar de , e portanto pode ser escrito na forma . 
 Então:
Mas , pois w2 é perpendicular a ; portanto:
Como , obtém-se: 
33
34
Exemplo 8.
Dado os vetores e . Determine:
a) o componente vetorial de v ao longo de w e 
b) o componente vetorial de v ortogonal a w. 
a)
b)
4 – PRODUTO VETORIAL
Definição: Se e são vetores no espaço
tridimensional, então o produto vetorial é o vetor definido por
Teorema (Propriedades do produto vetorial)
Se u, v e w são vetores no espaço tridimensional e  é um escalar qualquer, então:
35
35
Prova do Teorema
O produto vetorial entre u e v é dado por
Trocando-se u com v , troca-se as linhas do determinante e portanto troca o sinal do produto vetorial. Desta forma, .
As provas das demais partes são deixadas como exercícios.
36
Teorema (Relações entre os produtos escalar e vetorial)
Se u , v e w são vetores no espaço tridimensional, então:
36
Prova do Teorema
Sejam e . Então:
(c)
As provas das demais partes são deixadas como exercícios
 
37
37
Definição: Se u,v e w são vetores no espaço tridimensional, então
é chamado produto misto de u,v e w. 
- O produto misto de , e pode ser calculado a partir da fórmula
38
Exemplo 9.
Dado os vetores e . 
a) Determine o produto vetorial e 
38
39
verifique se os produtos vetoriais calculados e são perpendiculares aos vetores v e w.
- O produto vetorial é ortogonal a ambos v e w.
- O produto vetorial é ortogonal a ambos v e w.
40
OBSERVAÇÃO
Se u e v são vetores não nulos, pode ser mostrado que o sentido de 
Pode ser determinado usando a “a regra da mão direita”: seja  o ângulo entre u e v e suponha que u é girado pelo ângulo  até coincidir com v. Se os dedos da mão direita se fecharem apontando o sentido desta rotação, então o polegar indica (aproximadamente) o sentido de 
41
Exemplo 10.
Dado os vetores , e . Calcule o produto misto e .
9 – ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS
1 – Espaço Euclidiano n-dimensional
 
Definição: se n é um inteiro positivo, dizemos que uma sequência 
 de números reais é uma n-upla ordenada. O conjunto de todas as n-uplas ordenadas é chamado o espaço n-dimensional e denotado por .
 Quando n=1 , cada n-upla ordenada consiste simplesmente de um número real. Desta forma, tem-se o como o conjunto dos números reais.
 Quando n=2 ou n=3 é usual usar os termos par ordenado e terno ordenado, respectivamente, em vez de 2-upla e 3-upla.
 
42
 
 
43
Observação
 Uma n-upla ordenada pode ser interpretada geometricamente tanto como um ponto generalizado quanto um vetor generalizado. As Figuras (a) e (b) ilustram o caso considerando n=3. 
Observe que o terno ordenado pode ser interpretado como um ponto no espaço tridimensional neste caso a1, a2 e a3 são as coordenadas , vide Figura (a). 
A Figura (b) ilustra o caso em que o terno ordenado é interpretado como um vetor, caso em que a1, a2 e a3 são as componentes de um vetor.
Definição: Dois vetores e em são ditos
 iguais se . A soma é definida por
 e se α é um escalar qualquer, o múltiplo 
escalar αv de v é definido por .
As operações de adição e multiplicação por escalar definidas acima, são denominadas operações padrão.
Se é um vetor qualquer de , então o negativo (ou inverso aditivo) de u é denotado por –u e definido por
A diferença de vetores em é definida por ou em termos de componentes,
44
44
Teorema (Propriedades de vetores em )
Se , e são vetores no e
α e β são escalares, então:
45
Prova do Teorema
Sejam , e vetores no
 
 
45
Definição: Se e são vetores quaisquer em ,
então 
define o produto interno euclidiano de u e v. 
46
 
 
As provas das demais partes são deixadas
como exercícios
Teorema (Propriedades do produto interno Euclidiano)
Se u, v e w são vetores em e α é um escalar, então:
46
Prova do Teorema
Sejam , e 
As provas das demais partes são deixadas como exercícios
47
Norma e distância no espaço Euclidiano n-dimensional
A norma euclidiana (ou o comprimento euclidiano) de um vetor
em por
A distância euclidiana entre os pontos e do 
é definida por
47
Teorema (Propriedades do comprimento em )
Se , e são vetores no e
α é um escalar, então:
48
Prova do Teorema
Sejam e vetores no
 
 
48
Teorema (Propriedades da distância em )
Se , e são vetores no , então:
49
Prova do Teorema
 
 
Definição: Dois vetores u e v em são ortogonais se .
49
Exemplo 11 .
Considere os vetores e . Determine uma relação entre as componentes de v de tal forma que os vetores sejam ortogonais. Dê um exemplo de um vetor v ortogonal a u.
50
Exemplo de um vetor v ortogonal a u :
Faz-se e calcule a componente v4 , então: 
O vetor é ortogonal a u. 
Notações alternativas para vetores em .
 
Muitas vezes é útil escrever  um vetor de em notação matricial como uma matriz-linha ou uma matriz-coluna.
 EXPRESSÃO MATRICIAL PARA O PRODUTO ESCALAR
 Sejam os vetores , o produto escalar, em 
notação matricial é dado por:
51
 A multiplicação matricial do ponto de vista do produto escalar
Considere as matrizes de ordem mxr e de ordem rxn. A ij-ésima entrada do produto matricial é que é o produto escalar 
do i-ésimo vetor linha de A com o j-ésimo vetor coluna de B.
Portanto, se r1, r2, ..., rm são os vetores linha de A e se c1, c2, ..., cn são os vetores coluna de B , o produto matricial AB pode ser escrito por
52
2 – Transformações Lineares
Funções de em 
Função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um, e exatamente um, elemento de um conjunto B. Se f associa o elemento b ao elemento a então escreve-se b=f (a).
- Duas funções f1 e f2 são consideradas iguais e escreve-se f1 = f2 se ambas têm o mesmo domínio e f1 (a) = f2 (a) para qualquer a do domínio.
53
- b é a imagem de a por f 
 f (a) é o valor de f em a
 O conjunto A é o domínio de f
 O conjunto B é o contradomínio de f
53
Funções de em 
Se o domínio de uma função f é o e o contradomínio é o , então escreve-se e f é denominada uma aplicação ou transformação de em . 
 Neste caso diz-se que a função leva ou aplica em .
 No caso em que n=m, a transformação é denominada um operador do .
54
Exemplo .
Uma função associa vetores com vetores 
54
Transformações lineares de em 
Considere o conjunto de equações
Observe que estas m equações associam um único ponto
em a cada ponto em e portanto definem uma transformação de em . Denotando esta transformação por T, tem-se
 com .
- No caso especial em que o conjunto de equações são lineares, a transformação definida por estas equações é denominada transformação linear (ou um operador linear se m=n).
55
55
Assim, uma transformação linear é definida por equações 
da forma
ou então, em notação matricial
 ou 
 A matriz é denominada matriz canônica da transformação linear T e a transformação T é chamada multiplicação por A.
 Notação: 
56
56
Teorema (Propriedades de Transformações lineares)
Uma transformação é linear se, e somente se, as seguintes relações valem para todos os vetores u e v em e qualquer escalar 
57
Prova do Teorema
Suponha uma transformação linear T e A sua matriz canônica. 
Utilizando propriedades aritméticas de matrizes, tem-se: 
 e 
 
 
 Se 0 é a matriz nula mn, então: . Essa transformação é denominada de transformação nula.
 
 Se I é a matriz identidade nn, então: . Neste caso, o operador é o operador identidade.
57
Os operadores lineares mais importantes de e estão os que produzem reflexões, projeções e rotações. 
Reflexões
Considere o operador que aplica cada vetor na sua imagem simétrica em relação ao eixo y.
Seja o vetor , 
observando o gráfico tem-se
em formato matricial . 
- T é um operador linear com a matriz canônica 
58
58
59
- Reflexões no 
60
- Reflexões no 
Projeções
Considere o operador que aplica cada vetor na sua projeção ortogonal sobre o eixo x.
Seja o vetor , 
observando o gráfico tem-se
em formato matricial 
- T é um operador linear com a matriz canônica 
61
61
62
- Projeções no 
63
- Projeções no 
Rotações
Um operador que gira cada vetor em por um ângulo fixado θ é denominado rotação em 
Seja o vetor , 
observando o gráfico e utilizando uma
 trigonometria básica tem-se:
então
Aplicando identidades trigonométricas
em formato matricial : 
64
64
65
- Rotações no 
Dilatações e Contrações
Se k é um escalar não negativo, então o operador de ou 
 é denominado uma homotetia de razão k ; especificamente, o 
operador é uma contração de razão k se 0  k  1 e uma dilatação de 
razão k se k  1 
- No 
66
66
67
- No 
 Composição
Sejam e transformações lineares. Deno-mina-se aplicação composta de com , e se representa por , à transformação linear .
 A matriz canônica da transformação composta é o produto das matrizes canônicas de TB e TA .
68
10 – ESPAÇOS VETORIAIS
1 – DEFINIÇÃO E EXEMPLOS
 Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:
O conjunto V com estas duas operações é denominado espaço vetorial se forem verificados os seguintes axiomas:
	A) Em relação à adição: 
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	B) Em relação à multiplicação por escalar :
 Os elementos de um espaço vetorial V são denominados vetores. 
Observação: 
 Se na definição acima, os escalares pertencerem ao conjunto dos números reais, o espaço V será um espaço vetorial real. Caso os escalares sejam números complexos, V será um espaço vetorial complexo.
 
70
Exemplo 12 .
 O conjunto é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
- Essas operações são denominadas operações usuais .
 Para verificar os oitos axiomas de espaço vetorial, considere 
 
 
71
 
 
72
 
 
73
Exemplo 13.
 O conjunto , de todas as matrizes de ordem 2 com elementos reais , é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
 
 
 
74
Exemplo 14.
 O conjunto V de funções reais, definidas na reta real (-,), é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
 
75
76
2 – PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS 
Da definição de espaço vetorial V, decorrem as seguintes propriedades:
Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição).
Cada vetor admite apenas um simétrico . 
Para quaisquer , se , então . 
Qualquer que seja , tem-se: , isto é, o oposto de é .
Quaisquer que sejam , existe um e somente um x, tal que .
77
Qualquer que seja , . 
 O primeiro zero é o número zero o segundo é o vetor zero.
Qualquer que seja
 , implica
Qualquer que seja , . 
 
Quaisquer que sejam e . 
77
78
3 – SUBESPAÇOS VETORIAIS
Um subconjunto S, não vazio, de um espaço vetorial V, é um subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:
Para quaisquer 
Para quaisquer .
- Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços:
o conjunto , denominado de subespaço zero ou subespaço nulo e
o próprio espaço vetorial V. 
 
Exemplo 15 .
Sejam e ou , isto é, S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. 
 - Observe que S  , pois . 
 Para verificar as condições I e II, considere ,
 e 
 , pois a segunda componente do 	 				 somatório é igual ao dobro da primeira
			 , pois a segunda componente do produto é igual 		 ao dobro a primeira.
- Portanto S é um subespaço vetorial de . 
79
Exemplo 16.
Sejam e ou . 
 Para verificar as condições I e II, considere e
 .
 
 Portanto S não é um subespaço vetorial de . 
80
 Observe que .
 Portanto a reta S não passa pela origem, então S não é subespaço vetorial de .
Exemplo 17.
Sejam e .
 Para verificar as condições I e II, considere 
		 , e 
 
- S é um subespaço vetorial de M2,2. 
81
82
4 – COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam os vetores do espaço vetorial V e os escalares .
Qualquer vetor da forma
é uma combinação linear dos vetores .
Exemplo 18.
No espaço vetorial , o vetor é uma combinação linear dos vetores e porque: . 
83
Exemplo 19 .
Escreva o vetor como combinação linear dos vetores 
 e . 
Pretende-se que: , sendo a1 e a2 escalares a determinar.
Deve-se ter: 
Pela condição de igualdade de vetores, tem-se o sistema
 cuja solução é: a1 = 2 e a2 = -3.
 Portanto: 
84
Exemplo 20.
Mostre que o vetor não é uma combinação linear dos vetores 
 e . 
Pretende-se mostrar que não existem escalares a1 e a2 , tais que:
Utilizando procedimento análogo ao do problema anterior
Pela condição de igualdade de vetores, tem-se o sistema
 que é incompatível, não admite solução.
 Portanto, não existem escalares a1 e a2 
Deve-se ter:
Pela condição de igualdade de vetores, tem-se o sistema
 			cuja solução é: a1 = -3, a2 = 1 e k = 13.
 Para k=13 tem-se que 
85
Exemplo 21.
Determine o valor de k para que o vetor seja combinação linear dos vetores e .
De fato, se e são
 dois quaisquer vetores de S, pode-se escrever: 
 .
 .
Isto é, e por serem combinações lineares de .
Logo, S é um subespaço vetorial de V. 
5 – SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
Sejam V um espaço vetorial e o conjunto , .
O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos
vetores de A é um subespaço vetorial de V.
86
 O subespaço S diz-se gerado pelos vetores , ou gerado pelo conjunto A e se representa por ou ou 
 .
 Os vetores são chamados geradores do subespaço S, e A é o conjunto gerador de S.
 Todo conjunto gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer que , caso em que A é o conjunto gerador de V.
87
Exemplo 22.
Os vetores e geram o espaço vetorial , pois qualquer par é uma combinação linear de e . 
88
Exemplo 23.
Os vetores e do geram o subespaço vetorial
 , pois:
Isto é, S é o plano x0y.
89
Exemplo 24.
Verificar se o conjunto gera o .
 
Para que o conjunto A gere o é necessário que qualquer vetor
 seja uma combinação linear de v1 e v2, isto é, devem existir números reais a1 e a2, tais que:
Dessa igualdade resulta o sistema:
 cuja solução é
Então 
90
Exemplo 25.
Verificar se o conjunto gera o .
 
Para que o conjunto A gere o é necessário que qualquer vetor
 seja uma combinação linear de v1 , v2 e v3 isto é, devem existir números reais a1, a2 e a3 tais que:
Dessa igualdade resulta o sistema:
 cuja solução é
Por exemplo se , tem-se: e .
Então 
6 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Sejam V um espaço vetorial .
 O conjunto A é linearmente independente (LI) ou os vetores
são LI se a
equação
admitir solução trivial única .
 Se existirem soluções , diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD) ou que os vetores são LD. 
91
 Os vetores são LD se e somente se um deles for uma combinação linear dos outros.
92
93
Exemplo 26.
No espaço vetorial os vetores , e são LD.
 - A equação , admite como solução . 
Dessa igualdade resulta o sistema:
 cuja solução é
Por exemplo se , tem-se: e .
Então, os vetores são LD.
94
Exemplo 27.
No espaço vetorial os vetores e são LI.
 - A equação , admite como solução . 
Dessa igualdade resulta o sistema:
 cuja solução é
Então, os vetores são LI.
7 – BASE E DIMENSÃO
 Um conjunto é uma base do espaço vetorial V se
I. B é LI.
II. V=ger(B), B gera V.
 Se V é um espaço vetorial e possui uma base com n vetores, V tem dimensão n. A dimensão de V se indica por dimV=n.
95
Exemplo 28.
 é base do , denominada base canônica.
 O espaço gerado possui dimensão 2.
. B é LI
.
96
Exemplo 29.
 é base do e dim( )=2
 
. 
 e , portanto B é LI. 
.
97
Exemplo 30.
 é uma base para o espaço vetorial Pn dos polinômios da forma .
. 
 , portanto S é LI. 
. , é uma combinação linear dos elementos de S, portanto Pn= ger(S)
dim(Pn) = n.
98
Exemplo 31.
Verifique se os vetores , e geram o espaço vetorial .
. 
São LD
 Observe que
 Os vetores não formam uma base do espaço vetorial .
99
7.1 – Propriedades relativas à Base e à Dimensão
Qualquer conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado.
Se for uma base de um espaço vetorial V, todo conjunto com mais de n vetores de V é LD.
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
Se é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor se exprime de maneira única como uma combinação linear dos vetores de B. 
	
100
Se V é um espaço vetorial tal que dimV=n e S é um subespaço vetorial de V, então dimV  n. 
A dimensão de um subespaço vetorial pode ser determinada pelo número de variáveis livres de seu vetor genérico.
	
Exemplo 32.
Determine a dimensão do subespaço
 Isolando z (ou x ou y) na equação de definição, tem-se:
onde x e y são variáveis livres.
 Para qualquer vetor tem-se: 
 Então, todo vetor de S é uma combinação linear dos vetores v1 = (1,0,-2)
e v2 = (0,1,-1). Como v1 e v2 são LI, o conjunto é uma base de S e, portanto dimS = 2.
8 – MUDANÇA DE BASE
Sejam as bases e de V. Dado um vetor , este será combinação linear dos vetores das bases A e B :
 ou ou, ainda, 
 e 
 ou ou, ainda,
101
 Os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B, isto é:
 então
 ou 
102
 Comparando as equações
 e , tem-se: 
 , ou na forma matricial:
A equação matricial anterior pode ser escrita da seguinte forma
onde é a matriz de mudança de base de A para B.
Para transformar vb em va, tem-se: , uma vez que a matriz M é inversível. Desta forma, M-1 é a matriz de mudança de base B para a A.
103
 Determinação da matriz de mudança de base
 O sistema permite a seguinte notação matricial:
Fazendo , , e
tem- se: 
 observe que e
104
Portanto: 
	- propriedades da matriz transposta:
 ou
- Como B é uma matriz inversível, tem-se: 
 propriedades da matriz inversa:
 ou
 M é a matriz de mudança de base de A para B.
 M-1 é a matriz de mudança de base de B para A.
 
105
Exemplo 33.
Considere as seguintes bases do : e .
Determine as matrizes de mudança de base de A para B e de B para A. 
 do enunciado tem-se as matrizes: e 
 matriz de mudança de base de A para B é dada por:
 - inversa de uma matriz (2x2):
106
 matriz de mudança de base de B para A é dada por:
	ou
107
Exemplo 34.
Considere as seguintes bases de : e 
 .
Determine as coordenadas de um vetor arbitrário em relação à base .
Determine a matriz P de mudança de base de S1 para S2.
Vetor v escrito como combinação linear dos vetores que formam a base S1: . Deseja-se determinar as incógnitas x e y.
	portanto 
108
b) Utilizando o resultado do item (a), , 
 represente os vetores v1 e v2 como combinação linear de u1 e u2. 
- P é a matriz cujas colunas são as coordenadas de v1 e v2 em relação à base S1 .