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4 ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 1 4 – ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 1 Espaço Euclidiano n dimensional1 – Espaço Euclidiano n‐dimensional Definição: se n é um inteiro positivo, dizemos que uma sequênciaç p , q q de números reais é uma n‐upla ordenada. O conjunto de todas as n‐uplas ordenadas é chamado o espaço n‐dimensional e denotado por n aaa ,,, 21 npor . ‐ Quando n=1 , cada n‐upla ordenada consiste simplesmente de um número Q , p p real. Desta forma, tem‐se o como o conjunto dos números reais. Q d 2 3 é l d d 1 ‐ Quando n=2 ou n=3 é usual usar os termos par ordenado e terno ordenado, respectivamente, em vez de 2-upla e 3-upla. 2 Ob ãObservação Uma n‐upla ordenada pode ser interpretada aaa Uma n upla ordenada pode ser interpretada geometricamente tanto como um ponto generalizado quanto um vetor generalizado. As Figuras (a) e (b) ilustram o caso considerando n=3 n aaa ,,, 21 caso considerando n=3. Observe que o terno ordenado pode ser 321 ,, aaa q p interpretado como um ponto no espaço tridimensional neste caso a 1 , a 2 e a 3 são as coordenadas , vide Figura (a). 321 3 A Figura (b) ilustra o caso em que o terno ordenado é interpretado como um vetor, caso em que a 1 , a 2 e a 3 são as componentes de um vetor. Definição: Dois vetores e em são ditos 3 ),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n vvv v nç iguais se . A soma é definida por e se α é um escalar qualquer, o múltiplo )( 21 n )( 21 n nn vuvuvu ,,, 2211 vu nn vuvuvu ,,, 2211 vu escalar αv de v é definido por .),,,( 21 n vvv v ‐ As operações de adição e multiplicação por escalar definidas acima, são d i d õ d ãdenominadas operações padrão. Se é um vetor qualquer de então o negativo (ou )( uuuu n‐ Se é um vetor qualquer de , então o negativo (ou inverso aditivo) de u é denotado por –u e definido por ),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n uuu u‐ ‐ A diferença de vetores em é definida por ou em termos de componentes, n )( uvuv nn uvuvuv ,,, 2211 uv Teorema (Propriedades de vetores em ) 4 n Se , e são vetores no e α e β são escalares, então: ),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n vvv v ),,,( 21 n www w n uuuuuu vuvuwv)uw)vu uuuvvu )00 )((( )()( ((g)(c) (f) (b) (e) (a) uuuuuu uuuuuu 10,0)( )00 (h) seja ou (d) ( (g) (c) , Prova do Teorema Sejam , e vetores no),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n vvv v ),,,( 21 n www w n wvu ),,(),,( ),,(),,(),,()( 111 111 nnn nnn wvwvuu wwvvuu (b) )(,,)( )(,),( 111 111 nnn nnn wvuwvu wvuwvu wvu )( ),,(),,( 111 nnn wwvuvu 5 (g) vvβαβα v )( (g) βvv,βvαv vβα,vβα v,vβαβα nn n n v , )(,)( ),( 11 1 1 β α v,vβ v,vα β,β nn nn vv ,, , 11 11 As provas das demais partes são deixadas como exercícios Definição: Se e são vetores quaisquer em , ã As provas das demais partes são deixadas como exercícios ),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n vvv v n então define o produto interno euclidiano de u e v. nn vuvuvu 2211 vu vu p Teorema (Propriedades do produto interno Euclidiano) Se u, v e w são vetores em e α é um escalar, então:nSe u, v e w são vetores em e α é um escalar, então: (( ) ( (b) (a) )() ) wvwuwvu uvvu se, somente e se disto Além (d) ( (c) .0,0.0 )() vvvvv uvvu , Prova do Teorema 6 (b) Sejam , e wvu ),,(,, 111 nnn wwvuvu ),,( 31 uu u ),,( 31 vv v ),,( 1 n ww w wvwu )()( )()( 1111 111 nnnn nnn wvwvwuwu wvuwvu As provas das demais partes são deixadas como exercícios Norma e distância no espaço Euclidiano n‐dimensional A norma euclidiana (ou o comprimento euclidiano) de um vetor )( uuuA norma euclidiana (ou o comprimento euclidiano) de um vetor em por ),,( 1 n uu u n 22 2 2 1 2 1 n uuu uuu A distância euclidiana entre os pontos e do é definida por ),,( 31 uu u ),,( 31 vv v n é definida por 22 22 2 11 )()()(),( nn vuvuvud vuvu Teorema (Propriedades do comprimento em ) 7 n Se , e são vetores no e α é um escalar, então: ),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n vvv v ),,,( 21 n www w n )triangular ade(desiguald (d) se somente e se, (b) (c) (a) vuvuuu uuu 00 0 Prova do Teorema Sejam e vetores no )( uuu u )( vvv v n Sejam e vetores no),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n vvv v u u (c) 22 2 2 1 22 2 2 1 222 2 2 1 )()()()( nn uuu uuuuuu u 21 n uuu vvuu vvvuuuvuvuvu (d) 22 2 )(2 )()(2)()()( vvuu vuvuvvuu vvuu Schwarz‐Cauchydededesigualda )( absoluto valor do epropriedad 22 22 2 2 )(2 vuvuvu uvu yg 2 v Teorema (Propriedades da distância em ) 8 n Se , e são vetores no , então: ),,,( 21 n uuu u ),,,( 21 n vvv v ),,,( 21 n www w n sesomenteese(c)(a) 0)(0)( vuuvvu dd )triangular ade(desiguald (d) (b) se somente e se, (c) (a) ),(),(),(),(),( 0),(0),( vwwuvuuvvu vuuvvu ddddd ,dd Prova do Teorema )()()( vwwuvuvud (d) ),(),( )()(),( vwwuvwwu vwwuvuvu dd d (d) Definição: Dois vetores u e v em são ortogonais se .n 0 vu Exemplo 11 . 9 Exemplo 11 . Considere os vetores e . Determine uma relação entre as componentes de v de tal forma que os vetores sejam )2,4,2,1( u ),,,( 4321 vvvvv ortogonais. Dê um exemplo de um vetor v, não nulo, ortogonal a u. 02421 vvvvvu 02421 4321 vvvvvu Exemplo de um vetor v ortogonal a u : Faz‐see calcule a componente v 4 , então: 0 0 2 1 v v 2024 44 vv 13v O vetor é ortogonal a u. )2,1,0,0(v 2 – Transformações Lineares 10 ç • Funções de em n Função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um, e exatamente um, elemento de um conjunto B. Se f associa o elemento b ao elemento a então escreve‐se b=f (a). - b é a imagem de a por f- b é a imagem de a por f ‐ f (a) é o valor de f em a ‐ O conjunto A é o domínio de f ‐ O conjunto B é o contradomínio de fO conjunto B é o contradomínio de f ‐ Duas funções f 1 e f2 são consideradas iguais e escreve‐se f1 = f2 se ambas têm o mesmo domínio e f 1 (a) = f 2 (a) para qualquer a do domínio. F õ d 11 n m• Funções de em Se o domínio de uma função f é o e o contradomínio é o , então f é d i d li ã n m n m mn f escreve‐se e f é denominada uma aplicação ou transformação de em . ‐ Neste caso diz‐se que a função leva ou aplica em . mn f : n m n mNeste caso diz se que a função leva ou aplica em . ‐ No caso em que n=m, a transformação é denominada um operador do . n Exemplo . Uma função associa vetores com vetores 32: f 2, yxv 3 ,, cbaw cbay z f yx, cba ,, 0 f xx y 0 T f õ li d 12 n m• Transformações lineares de em n m n f xxxfw ,,, 2111 Considere o conjunto de equações n f xxxfw ,,, 2122 Observe que estas m equações associam um único ponto nmm xxxfw ,,, 21 m www ,,, 21 em a cada ponto em e portanto definem uma transformação de em . Denotando esta transformação por T, tem‐se m n m n xxx ,,, 21 n mn T T com . No caso especial em que o conjunto de equações são lineares a mn T : mn wwwxxxT ,,,,,, 2121 ‐ No caso especial em que o conjunto de equações são lineares, a transformação definida por estas equações é denominada transformação linear (ou um operador linear se m=n). mn T : Assim, uma transformação linear é definida por equações 13 mn T : da forma nn nn xaxaxaw xaxaxaw 22221212 12121111 da forma nmnmmm xaxaxaw 2211 ou então em notação matricial n n x x aaa aaa w w 2 1 22221 11211 2 1 ou então, em notação matricial ou nmnmmm xaaaw 21xw A ‐ A matriz é denominada matriz canônica da transformação linear T e a transformação T é chamadamultiplicação por A ij aA T e a transformação T é chamada multiplicação por A. ‐ Notação: xx AT T A mn A )( : ç xx xx TT AT A )( )( Teorema (Propriedades de Transformações lineares) 14 ( p ç ) Uma transformação é linear se, e somente se, as seguintes relações valem para todos os vetores u e v em e qualquer escalar n mn T : )()( )()()( uu vuvu TT TTT (b) (a) Prova do Teorema Suponha uma transformação linear T e A sua matriz canônica. p ç Utilizando propriedades aritméticas de matrizes, tem‐se: e )()()()()()( vuvuvuvu TTAAAT )()()()( vuuu TAAT S 0 é t i l tã E t f ã é 00)(T • Se 0 é a matriz nula mn, então: . Essa transformação é denominada de transformação nula. • Se I é a matriz identidade então Neste caso o 00)( 0 vvT vvvT I)(• Se I é a matriz identidade nn, então: . Neste caso, o operador é o operador identidade. vvvT I)( I I T ‐ Os operadores lineares mais importantes de e estão os que 15 2 3 produzem reflexões, projeções e rotações. R fl õ Reflexões Considere o operador que aplica cada vetor na sua imagem i ét i l ã i 22 : T simétrica em relação ao eixo y. Seja o vetor )( www Seja o vetor , observando o gráfico tem‐se ),( 21 www xw 1 f t t i i l yw xw 2 1 x w 01 1 em formato matricial . T é um operador linear com a matriz canônica yw 102 1 01T‐ T é um operador linear com a matriz canônica 10T 16 ‐ Reflexões no 2 Projeções 17 Considere o operador que aplica cada vetor na sua projeção ortogonal sobre o eixo x. 22 : T Seja o vetor , ),( 21 www observando o gráfico tem‐se 1 xw em formato matricial 02w y x w w 00 01 1 ‐ T é um operador linear com a matriz canônica yw 002 00 01 T 00 18 ‐ Projeções no 2 Rotações 19 Um operador que gira cada vetor em por um ângulo fixado θ é denominado rotação em 2 2 Seja o vetor , observando o gráfico e utilizando uma ),( 21 www g trigonometria básica tem‐se: )i ( )cos( rx então )sin(ry )sin( )cos( 1 rw rw Aplicando identidades trigonométricas )sin(2 rw )sin()cos()cos()sin( )sin()sin()cos()cos( 1 rrw rrw em formato matricial : )sin()cos()sin()cos(1 Txw )sin()cos()cos()sin(2 rrw )cos()sin()cos()sin(2 Tyw Dilatações e Contrações 20 Se k é um escalar não negativo, então o operador de ou é denominado uma homotetia de razão k ; especificamente, o 2xx kT )( 3 operador é uma contração de razão k se 0 k 1 e uma dilatação de razão k se k 1 ‐ No 2 • Composição 21 p ç Sejam e transformações lineares. Deno‐ i li ã t d t à kn A T : TT T mk B T : T mina‐se aplicação composta de com , e se representa por , à transformação linear . AB TT A T mn AB TT : B T n k B T m v B T A T )(vTT AB )(vT A )(vTT AB AB TT • A matriz canônica da transformação composta é o produto das matrizes canônicas de T B e T A . AB TT B A ABAB TTTT
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