IAL_-_I_I_-_01_Vetores_-_Prof_Flavio[1]

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Introdução  à  Álgebra  Linear
Módulo II (10 aulas)
f áProf. Flávio Silva
3. Vetores: componentes e operações 
(representação geométrica, aritmética vetorial, produto escalar, projeções, produto vetorial)
4. Espaços vetoriais euclidianos 
(espaço euclidiano n-dimensional,  transformações lineares de n em m)
5. Espaços vetoriais arbitrários 
(espaços vetoriais reais, subespaço, combinação linear, dependência e independência linear,      
bases e dimensão, mudança de base)bases e dimensão, mudança de base)
2º    Semestre  de  20092º    Semestre  de  2009
Setembro de 2009 Setembro de 2009 
S T Q Q S S D
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
Feriados e Pontos Facultativos                                     
29/9 – 2/10 – Semana universitária
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30
29/9 – 2/10 – Semana universitária
12/10 – Nossa Senhora Aparecida (feriado)
28/10 – Dia do servidor público (ponto facultativo)
2/11 – Finados (feriado) 
Data da Avaliação
Outubro de 2009 
S
T Q Q S S D
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
/ ( )
Data da Avaliação
Prova – 4/11 (quarta feira)
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
Novembro de 2009 
S T Q Q S S D
1
2 3 4 5 6 7 82 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
3 VETORES: COMPONENTES E OPERAÇÕES
3
3 – VETORES: COMPONENTES E OPERAÇÕES
1 Introdução1 – Introdução
Há dois modos de se apresentar a noção de vetor:p ç
1. Lista de números indexados:
Por exemplo, a lista das idades de oito pessoas dada por 17, 23, 45, 28, 
16, 30, 62 e 35, nessa ordem, pode ser simbolicamente representada 
por:por:
   35,62,30,16,28,45,23,17,,,,,,, 87654321  iiiiiiiii
Onde i1 = 17 é a idade da primeira pessoa, i2 = 23 é a idade da segunda 
pessoa e assim por diante. Uma lista desse tipo é chamada de tabela 
linear ou vetorlinear ou vetor.
2. Vetores na física: 
4
‐ Muitas grandezas físicas como temperatura, massa e corrente 
elétrica, são representadas apenas por um número real e são 
d i d d ldenominadas de escalares. 
‐ Por outro lado, há grandezas como força, velocidade e campo , g ç , p
elétrico que requerem não só um valor numérico, mas também uma 
direção e um sentido para sua descrição completa.
Por exemplo, a  figura abaixo mostra um vetor força de mesma 
intensidade (10 N) provocando efeitos diferentes pelo fato deintensidade (10 N) provocando efeitos diferentes pelo fato de 
atuarem em direções e/ou sentidos diferentes.
Representação de um vetor
5
No espaço bi‐dimensional ou tri‐dimensional, os vetores podem ser 
representados geometricamente por setas: o comprimento da seta é 
proporcional à magnitude (comprimento) do vetor e a direção e o sentido 
da seta indicam a direção e o sentido do vetorda seta, indicam a direção e o sentido do vetor. 
A origem da seta é denominada de ponto inicial e a ponta da seta é g p p
denominada de ponto final.
BB
B
BAv
A
ABv
A
‐ Vetores com a mesma magnitude, direção e sentido são denominados 
6
equivalentes.  
Definição:  Sejam v e w dois vetores quaisquer. A soma de v com w é o 
vetor v+w determinado da seguinte maneira: posicione o vetor w de talvetor v+w determinado da seguinte maneira: posicione o vetor w de tal 
maneira que seu ponto inicial coincide com o ponto final do vetor v. O vetor  
v+w é representado pela flecha do ponto inicial de v ao ponto final de w.
v
w v
w
+
vw
wv
v
w
vw
w v
+
7
w
‐ Observe que: vwv
v
vwwv 
w
‐ O vetor de comprimento zero é denominado vetor nulo ou vetor zero. 
Denotado por 0. Desta forma, tem‐se:                         .vvv  00
‐ Se v é um vetor não nulo, então –v é o negativo de v, é definido como o 
vetor de mesma magnitude e direção de v mas de sentido oposto.vetor de mesma magnitude e direção de v mas de sentido oposto.
v
v
Definição:  Sejam v e w dois vetores quaisquer então a diferença de w por v
8
é definida por:                        .
w
)( wvwv 
wv  w
w
v ‐ v
v
w
vw w
v‐
Definição: Sejam v um vetor não nulo e um número real (escalar) k  0 O
v
Definição:  Sejam v um vetor não nulo e um número real (escalar) k  0. O 
produto  k v é definido como o vetor de mesma direção de v cujo o 
comprimento é |k| vezes o comprimento de v e cujo o sentido é o mesmo 
de v se k > 0 e oposto ao de v se k < 0.
v v
1
v)2(v v2 v)2(
Vetores em sistemas de coordenadas
9
Seja v qualquer vetor no plano e suponha que esteja posicionado com seu 
ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares Asponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares.  As 
coordenadas             do ponto final de v são chamadas componentes de v.
y
),( 21 vv
),( 21 vvv v
),( 21 vv
x0
‐ Vetores com as mesmas componentes são equivalentes pois têm a mesma 
magnit de direção e sentidomagnitude, direção e sentido.
e                   são equivalentes se  ),( 21 vvv ),( 21 www  

22
11
wv
wv 
‐ Sejam                 e                    vetores quaisquer  e k um escalar 
10
),( 21 www),( 21 vvv
),( 2211 wvwv wv ),( 21 kvkvk v 
y
),( 2211 wvwv 
y
),( 21 kvkv
wv
),( 21 vv
),( 21 vv
v
wv
)( ww
v vk
x
w
),( 21 ww
0 0x0 x0
1 k‐ Observe que neste gráfico
),()( 2211 wvwv  wvwv
Vetores no espaço tridimensional
11
Da mesma forma que os vetores no plano podem ser escritos por pares de 
números reais, os vetores no espaço podem ser descritos por ternos de , p ç p p
números reais utilizando um sistema de coordenadas retangulares.
‐ Se um vetor v no espaço tridimensional for posicionado com seu pontoSe um vetor v no espaço tridimensional for posicionado com seu ponto 
inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares, tem‐se:
z
),,( 321 vvv
v
),,( 321 vvv
),,( 321 vvvv
0 y
x
‐ Os sistemas de coordenadas retangulares tridimensional dividem se em 
12
duas categorias: o de mão direita e o de mão esquerda.
‐ O sistema de mão direita tem a propriedade de um parafuso comum, 
apontado na direção positiva do eixo z, ele avança se o eixo x positivo é 
girado 90o na direção do eixo y positivo.  
‐ O sistema é de mão esquerda se o parafuso retroceder.
‐ Pode acontecer que o vetor não esteja posicionado com seu ponto inicial 
13
na origem, conforme a figura abaixo
z
),,( 2222 zyxP
),,( 1111 zyxP
21PP
2OP
1OP
0
x
y
• Neste caso, o vetor          tem o ponto inicial                        e o ponto 
final . A representação do vetor é dada por:
21PP  1111 ,, zyxP 2222 zyxP
x
final                         . A representação do vetor é dada por: 2222 ,, zyxP
   1221 )(
OPOPPP 
   12121221111222 ,,),,(,, zzyyxxPPzyxzyx         
Exemplo 1 .
14
Exemplo 1 .
Considere os pontos A(1,0,3), B(-1,5,7) e C(3,-1,0) pertencentes ao espaço 
tridimensional . 
a) Determine a representação dos vetores       ,        e       .
b) Calcule                  e                  .
BC
CA
BCCA 2
AB
BCAB
   
   
  4,5,23705,11          ,AB
a)    
   



3,1,203)1(0,31
,6,47051),1(3
        
7       
,CA
,BC
b)

       31274,65,42764452  , , ,,, , BCAB
       1713101431218276423122BCCA        171310143,121,8276423122 , , ,,, , BCCA 
Exemplo 2 .
15
Dado os vetores v e u inscritos em um círculo de raio unitário,  determine os 
componentes de v, u, v+u e v‐u  3
v
• vetor v(v1,v2) 




1)30sin(
2
3
1)30cos(
2
1
1
v
v
v


  21)30sin( 2
2
v
 
1)60cos( 1 uu
• vetor u(u1,u2)




3
1)60sin(
21
)60cos(
2
2
1
1
u
u
u
  21)60sin( 2u
  31133113• . 









2
,
22
,
22
,
2
uv
 31133113



 


 



2
31,
2
13
2
3,
2
1
2
1,
2
3uv
Translação de eixos
16
ç
A solução de muitos problemas pode ser simplificada pela translação dos 
eixos coordenados para obter novos eixos paralelos aos originaiseixos coordenados para obter novos eixosparalelos aos originais.
Na Figura abaixo foi transladado os eixos de um sistema de coordenadas xy
para obter um sistema de coordenadas cuja origem está no ponto
yx  0para obter um sistema de coordenadas          cuja origem     está no ponto     
.
y y  
 

 y,x
yx, P
yx 0
),( 11 yx
y y
 
y 1y
x0 x),(0 11 yx1
y 1y
Equações de translação:
x0 x01x 1x
  1xx x‐ Equações de translação:   1yy y 
Exemplo 3 .
17
Exemplo 3 .
Suponha que um sistema de coordenadas xy é transladado para um sistema 
de coordenadas x’y’ cuja origem tem coordenadas xy dadas por  (4,1).
(a) Encontre as coordenadas x’y’ do ponto com coordenadas xy dadas 
por P(2,0).
(b) d d d d d ’ ’ d d(b) Encontre as coordenadas xy do ponto com coordenadas x’y’ dadas 
por Q(-1,5) .
(a) As equações de translação são                        e  portanto as coordenadas



1yy
4xx 
x’y’ de P(2,0) são 



110y
242x 

(b)   As equações de translação são                        e  portanto as coordenadas



1yy
4xx 
 341
xy de Q(-1,5) são 



615y
341x 
2 – NORMA DE UM VETOR;  ARITMÉTICA VETORIAL
18
;
I. Norma de um vetor
O comprimento de um vetor v é muitas vezes denominado norma de v
e é denotado por      .  v
‐ caso bidimensional
y
),( yxP Aplicando o Teorema de Pitágoras, no 
triângulo OPA,  tem‐se:
222
222
yx
APOAOP


v
v
22
yx
y
vA x0
‐ caso tridimensional
19
Aplicando o Teorema de Pitágoras no z
222
ABOBOA 
triângulo  OBA, tem‐se:
),,( zyxP
222
yxOA v
N t iâ l OPA t
0 y
B
No triângulo  OPA, tem‐se:
222
APOAOP 
x A
222
2222 )(
zyx
zyx


v
v
Definição: Um vetor v é denominado vetor unitário se          .
20
1v
ç
• Se v é um vetor qualquer não nulo, então              é um vetor unitário de 
v
vv ˆ
mesma direção que v.
‐ O processo de determinação de     é denominado de normalização de v.
v
vˆ
Definição (Vetores Unitários Canônicos)
Considere os vetores                  ,                 e                  .
E i i á i ã
 0,0,1i  0,1,0j  1,0,0k
Estes vetores possuem comprimento unitário e estão
sobre os eixos coordenados, sendo denominados
vetores unitários canônicos do espaço tridimensionalvetores unitários canônicos do espaço tridimensional.
Exemplo 4 .
21
Exemplo 4 .
Represente  geometricamente o vetor                               no espaço 
tridimensional  e determine o seu vetor unitário. kjiv 643 
4
• Norma do vetor v
8102,7)6(43 222 v
3
• Vetor unitário de vvˆ
-6 v
• Vetor  unitário de v
kjiv
8102,7
643ˆ 
v
kjiv 7682,05121,03841,0ˆ
,

II. Aritmética vetorial
22
Teorema (propriedades da aritmética vetorial)
Se e são vetores de um espaço bi ou tridimensional e e são
v v v  Se     ,      e      são vetores de um espaço bi ou tridimensional e     e são 
escalares, então valem as seguintes relações:
vvvv (a)
1v  2v  3v   
321321
1221
00
)()(
vvv
vvvvvv
vvvv 



(c)
   (b)
  (a)
11
111
)()(
0)(
00
vv
vvv


( )
  (d)
   (c)

 
 
2121
11
)(
)(
)()(
vvvv
vv


( )
   (f)
   (e)



11
111
1
)(
vv
vvv


   (h)
   (g) 
Prova do Teorema
23
‐ A prova será apresentada,  considerando vetores no espaço bidimensional, 
ou seja,                    ,                      e                     .),( 111 yxv ),( 222 yxv ),( 333 yxv
 
  )()(
),(),(),()( 332211321 vvv

   (a)
yxyyxx
yxyxyx
 
 
 )(),(
)(,)(
),(),(
321321
321321
332121



yyyxxx
yyyxxx
yxyyxx
 
  )(),(),(),(
),(),(
)(),(
321332211
323211
321321
vvv 


        yxyxyx
yyxxyx
yyyxxx
   (b) 221121
)(
),(),(vv


yyxx
yxyx
      121122
1212
2121
),(),(
),(
),(
vv 


yxyx
yyxx
yyxx
121122 ),(),( yy
11111111 ),()0,0()0,0(),(0 vv                      (c)  yxyxyx
24
0),(),(),()( 1111111111  yyxxyxyx     (d) vv ),(),(),()( 1111111111 yyyy( )
      (e) 111 ),(v yxαβαβ     
                    
   
11111
1111
),(,
)(),(,
vβαyxβαβyβxα
βyαβxααβyαβx


           
   )()(
)((f)
βyy,βxαxyβα,xβα
,yxβαβα 
111111
111v


   
       
 
β α ,yxβ ,yxα
βyyβyββ
111111
111111
vv 
   )()((g)    
 
 
)()((g)
2121
2121
221121
,
vv
yyxαx
yyxxα
,yx,yxα α



     
         212211
2211
2121
),(),(
),(),(
vv ααyxαyxα
 yαxyαx 
yy,xαx





212211 )()( yy
      11111111 ,1,1,11 vv                     (h)  yxyxyx
3 – PRODUTO ESCALAR; PROJEÇÕES
25
; Ç
I. Produto escalar de vetores
Sejam      e      dois vetores não nulos no espaço bi e tridimensional e 
suponha que estes vetores foram posicionados de tal modo que seus 
pontos iniciais coincidem O ângulo determinado pelos vetores satisfaz
1v  2v 
pontos iniciais coincidem.  O ângulo determinado pelos vetores satisfaz 
a seguinte condição                  . 0
1v   1
v 
  1v 2v  
2v  2v  1v  2v 
D fi i ã S ã t bi t idi i l Definição:  Se      e      são vetores no espaço bi e tridimensional e      
é o ângulo entre     e     , então o produto escalar2v  1v 2v 
  00)cos( vvvv ese
1v 




000
00)cos(
21
2121
21 vv
vvvv
vv   ou    se                          
  e  se     
Produto escalar em termos das componentes
26
Sejam os vetores                         e                          não nulos. 1111 ,, zyxv   2222 ,, zyxv 
z
),,( 2222 zyxP
),,( 1111 zyxP
z
21PP),,( 1111 y
2v1v 
0 y
x
Se o ângulo entre     e      é    , conforme a figura,  então pela lei dos 
cossenos tem‐se: 2v 1v  
222 )cos(2 21
2
2
2
1
2
21 vvvv PP
Como                       ,  a lei dos cossenos 
27
2121 vv PP )cos(2 212221
2
21 vvvv  PP
pode ser escrita da seguinte forma:
)(2222
2 PP
2121
)cos(2 21212121 vvvvvv  PP
   2221)cos( vvvvvv   2221 vvvvvv   

       212121 2)cos(
21
vvvvvv
vv
     212121 2 vvvvvv 
 
2
1
2
1
2
1
2
1 zyxv
Substituindo

 

2222
2
2
2
2
2
2
2
2
1111
)()()(
zyx
zyx
v
v
 
 
tem‐se: 
  22122122121 )()()( zzyyxxvv
21212121 zzyyxx  vv Produto escalar
• ângulo entre os vetores, não nulos,     e     :  2v 1v  21)cos( vv vv 
21212121 yy
21 vv
Exemplo 5.
28
Exemplo 5.
Dado os vetores                               e                             , calcule o produto 
escalar e o ângulo entre os vetores v e w. kjiv 643  kjiw 25 
• produto escalar:  292).6()5.(41.3 wv
d t

  8102,7)6(43 222vw
2
• norma dos vetores 

  4772,5)2()5(1
)(
222w
3
4w-5
1
• ângulo entre os vetores:
67790)29()cos( 
3
v
6779,0
4772581027
)cos( 
,.,

-6
o68,132 ,
Teorema
29
Sejam     e      vetores no espaço bi ou tridimensional .
a) ;  ou seja, 2111 vvv 
1v  2v    21111 vvv 
b) Se os vetores     e       são não nulos e     é o ângulo entre eles, então
•  é agudo se e somente se,   021  vv
1v  2v 
•  é obtuso se e somente se, 
•  é reto se e somente se,  021  vv 021  vv
Prova do Teorema
(a) Como o ângulo entre os vetores     e      é 0, tem‐se1v  2v 
(b) C t t
2
1
2
11111 )0cos()cos( vvvvvv   
0
0 )(
(b) Como                 ,               e              , o termo             tem o mesmo 
sinal que          . 

  0)(
0)cos(
)( 21 

 bé
agudo  é      
vv
 0 0 1v 0 2v )cos(
21 vv 




radθ o
2
900)cos(
0)cos()cos(
21
21


    
obtuso  é            vv vv
Teorema (propriedades do produto escalar)
30
Sejam     ,     e      vetores no espaço bi ou tridimensional e      um escalar, 
então :
1221  vvvv  (a)
1v  2v  3v  
 
  )()( 212121
3121321
1221


vvvvvv
vvvvvvv
  (c)
  (b)
( )
 
0000
)()(
111111
212121
 vvvvvv    se      e      se      (d)
( )
Prova do  ítem (c) do Teorema
Sejam os vetores                         e, então 1111 ,, zyxv   2222 ,, zyxv 
   
  212121
21212121
)()()(
vv




zzyyxx
zzyyxx
Analogamente, 
  21 vv
   2121 vvvv  
‐ Os demais itens ficam como exercício.
Exemplo 6.
31
Exemplo 6.
Dado os vetores                               e                                     , determine o valor 
do coeficiente  a para que os vetores sejam ortogonais              . kjiv 64  a kjiw )1(5  a  wv 
• produto escalar:  )1).(6()5.(41.  aawv‐ Vetores ortogonais:  0wv
1401456620
0)1).(6()5.(41.
-aaaa
aa


                     
wv
5
Exemplo 7.
Considere os vetores v e w no espaço tridimensional, sendo                 e               
. O ângulo entre os dois vetores é de 60o, calcule o produto escalar 10v4w
entre v e w.
20)60cos(.4.10  wvwv      o
II.   Projeções
32
Em muitas aplicações é de interesse  ‘decompor’ um vetor v na soma de 
dois componentes, um vetor paralelo a um vetor não nulo especificado a e 
di loutro perpendicular ao vetor a.
Observe que   21 vww Observe que
• O vetor w
1
é denominado projeção ortogonal de v sobre a, ou 
i l d l d d d
  12 wvw 
componente vetorial de v ao longo do vetor a, denotado por:
• O vetor w é denominado componente vetorial de v ortogonal ao
vw aproj1 
• O  vetor w
2
é denominado componente vetorial de v ortogonal ao 
vetor a, denotado por: vvw aproj2 
Teorema
33
Se     e     são vetores no espaço bi ou tridimensional e se          , então
(componente vetorial de ao longo de )aavvproj 
v 0aa
v a(componente vetorial de     ao longo de    ) 
( t t i l d t l )
a
a
va 2proj  v
avj 
a
(componente vetorial de     ortogonal a     ) a
a
vvv a 2proj  v a
Prova do Teorema
Sejam                        e                               . Como w
1
é paralelo a   , deve ser avvw aproj2 vw aproj1 
múltiplo escalar de    , e portanto pode ser escrito na forma                . 
Então:
a aw k1
221 wawwv  k
  awaawaawaava  2kkk
Mas                  , pois w
2
é perpendicular a  ; portanto:
  awaawaawaava  222 kkk
02 aw a 2a
av k
Como                             , obtém‐se: aavw a k proj1 aa
avva 2proj

34
Exemplo 8.Exemplo 8.
Dado os vetores                               e                              . Determine:
a)  o componente vetorial de v ao longo de w e 
kjiv 32  kjiw 24 
) p g
b)  o componente vetorial de v ortogonal a w. 
wv   1523)1)(1(42wv
a) w
w
wvvw 2proj





212)1(4
152.3)1)(1(4.2
2222w
wv
  

 
7
10,
7
5,
7
20proj2,1,4
21
15proj vv ww
b) w
w
wvvvv w 2proj

  

 

 
7
11,
7
2,
7
6proj
7
10,
7
5,
7
203,1,2proj vvvv ww  777777
4 – PRODUTO VETORIAL
35
Definição:  Se                          e                             são vetores no espaço
d l d l é d f d
 1111 ,, zyxv   2222 ,, zyxv 
tridimensional, então o  produto vetorial              é o vetor definido por21 vv  
kji
kji
111111 yxzxzy kjivv
22
11
22
11
22
11
222
11121
yx
y
zxzy
y
zyx
zyx   
Teorema (Propriedades do produto vetorial)
Se u v e w são vetores no espaço tridimensional e  é um escalar qualquerSe u, v e w são vetores no espaço tridimensional e  é um escalar qualquer, 
então:
  )()()(  wuvuwvuuvvu   (b)   (a)  
   
0000
)()()()(
)()()(


uuuu
vuvuvuwvwuwvu
  (f)   (e)
   (d)   (c)
( )( )

( )( )
Prova do Teorema
36
kji
(a) O produto vetorial entre u e v é dado por
321
321
vvv
uuu
j
vu   
Trocando‐se u com v , troca‐se as linhas do determinante e portanto troca o 
sinal do produto vetorial. Desta forma,                       .)( uvvu 
As provas das demais partes são deixadas como exercícios.
Teorema (Relações entre os produtos escalar e vetorial)
Se  u , v e w são vetores no espaço tridimensional, então:, p ç ,
 
  vvuvuv
uvuvuu
0
0


) aortogonalé(                           (b)
) a ortogonal é (                            (a)
 
wvuvwuwvu 
vuuvvu
)()()(
)( 2


   (d)
Lagrange)  de  e(Identidad   ‐   (c)
g
222
 
 
uwvvwuwvu 
wvuvwuwvu 
)()()(
)()()(
 (e)
   (d) 
Prova do Teorema
37
(a) Sejam                       e                      . Então:
   
     
,,),,( 122131132332321       vuvuvuvuvuvuuuuvuu
),,( 321 uuuu  ),,( 321 vvvv 
(c)
      0122133113223321                             vuvuuvuvuuvuvuu
2
1221
2
3113
2
2332 )()()( vuvuvuvuvuvu  2vu( ) 122131132332 )()()( vuvuvuvuvuvu   vu
2
332211
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
2 )())(()( vuvu 22 

vuvuvuvvvuuu
2)( vuvuvu  222   
       
As provas das demais partes são deixadas como exercícios
Definição:  Se u,v e w são vetores no espaço tridimensional, então
38
 wvu ç , p ç ,
é chamado produto misto de u,v e w.
O produto misto de e pode ser
 
)( )( )(‐ O produto misto de                      ,                      e                          pode ser 
calculado a partir da fórmula
321 uuu
),,( 321 uuuu  ),,( 321 vvvv ),,( 321 wwww
 
321
321
www
vvv wvu   
Exemplo 9.
Dado os vetores                              e                    .kjiv 22  kiw  3
kji
a) Determine o produto vetorial             e  j wv vw
103
221 
j
wv     kjijijkwv 672626 
39
kji
221
103
kji
vw     kjijkjivw 672662 
221 
a) verifique se os produtos vetoriais calculados            e             são                       wv vw
perpendiculares aos vetores v e w.
      0121422,2,16,7,2  vwv
      0661,0,36,7,2  wwv
      0121422,2,16,7,2  vvw     
      0661,0,36,7,2  wvw
‐ O produto vetorial            é ortogonal a ambos v e w.wvp g‐ O produto vetorial            é ortogonal a ambos v e w.vw
40
OBSERVAÇÃO
Se u e v são vetores não nulos, pode ser mostrado que o sentido de         
Pode ser determinado sando a “a regra da mão direita” seja  o âng lo
vu
Pode ser determinado usando a “a regra da mão direita”:  seja  o ângulo 
entre u e v e suponha que u é girado pelo ângulo  até coincidir com v. Se 
os dedos da mão direita se fecharem apontando o sentido desta rotação, 
( )então o polegar indica (aproximadamente) o sentido de  vu
vu uvu
v
u
v vu
41
Exemplo 10.Exemplo 10.
Dado os vetores                             ,                            e                       . Calcule o 
produto misto                     e                   .kjiu 523  kjiv 44  kjw 23  wvu    uwv 
523 
  49
230
441  wvu
441 
  49
523
230 

 uwv