AD1 - Calculo 3 - gabarito -2021-1

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – Cálculo III – Gabarito – 2021-1
Nome: Matŕıcula:
Questão 1 Seja C a curva obtida pela interseção das superf́ıcies y2 − x2 = 1 e y + z = 2.
(a) (1,5 ponto) Encontre uma parametrização para C;
(b) (1,5 ponto) Encontre a reta tangente a C no ponto P = (
√
15, 4,−2).
Solução:
(a) Sabemos que as equações y2 − x2 = 1 e y + z = 2 representam um cilindro e um plano em
R3. Além disso, a interseção de tais superf́ıcies é uma hipérbole cuja projeção sobre o plano
xy é a curva
C ′ :
{
y2 − x2 = 1,
z = 0.
Uma parametrização C ′ é dada por 
x(t) = senh t,
y(t) = cosh t,
z(t) = 0,
com t ∈ R. Assim, utilizando a equação do plano considerado, vem que
x(t) = senh t,
y(t) = cosh t,
z(t) = 2− y(t) = 2− cosh t,
com t ∈ R, é um parametrização de C.
(b) Seja α(t) = (senh t, cosh t, 2 − cosh t), com t ∈ R, a parametrização de C obtida no item
anterior, e tomemos t0 ∈ R tal que α(t0) = P = (
√
15, 4,−2). Uma vez que α′(t) =
(cosh t, senh t,− senh t) para todo t ∈ R, segue que α′(t0) = (4,
√
15,−
√
15). Portanto, a
equação da reta tangente a C no ponto P é dada por
r(λ) = α(t0)+λα′(t0) = (
√
15, 4,−2)+λ(4,
√
15,−
√
15) = (
√
15+4λ, 4+λ
√
15,−2−λ
√
15),
onde λ ∈ R.
Cálculo III AD1 2
Questão 2 (4,0 pontos) Considere a função vetorial
r : λ ∈ R 7−→
(√
2− λ
√
2
2 ,
√
2 + λ
√
2
2
)
∈ R2,
e seja C o ćırculo centrado na origem, que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta para-
metrizada por r. Encontre uma parametrização de C.
Solução:
Consideremos a > 0 e seja C : x2 + y2 = a2 o ćırculo procurado. Ponhamos
x = x(λ) =
√
2− λ
√
2
2
e
y = y(λ) =
√
2 + λ
√
2
2
para cada λ ∈ R. Dáı, (x0, y0) ∈ R2 pertence à reta parametrizada por r se, e somente se, existir
λ0 ∈ R tal que √
2− 2x0√
2
= λ0 =
2y0 −
√
2√
2
,
isto é,
y0 =
√
2− x0.
Em particular, supondo que (x0, y0) ∈ C, temos
x20 + (
√
2− x0)2 = a2,
que equivale a
2x20 − 2
√
2x0 + (2− a2) = 0.
Dáı, para que a reta parametrizada por r seja tangente à C no ponto (x0, y0), é necessário e suficiente
que o discriminante da equação de segundo grau acima, dado por
∆ = (−2
√
2)2 − 4 · 2(2− a2) = 8a2 − 8,
seja igual a zero. Como
∆ = 0⇐⇒ a2 = 88 = 1
e a > 0, resulta que a = 1, ou seja, C é o ćırculo centrado na origem que tem raio igual a 1.
Finalmente,
γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ (cos t, sen t) ∈ R2
é uma parametrização de C.
Questão 3 Suponha que a função T : R2 −→ R, definida por T (x, y) = 3x + y, represente a
temperatura em cada ponto P = (x, y) do plano xy. Nesse caso, identifique:
(a) (1,0 ponto) as curvas de ńıvel da função T ;
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Cálculo III AD1 3
(b) (1,0 ponto) a temperatura máxima atingida em um ponto do disco D = {(x, y) ∈ R2;x2 +
y2 ≤ 1};
(c) (1,0 ponto) o ponto de D no qual tal temperatura máxima é atingida.
A presente questão será pontuada com NOTA ZERO caso o Teorema dos Multiplicadores
de Lagrange seja utilizado!!!!!!!
Solução:
(a) As curvas de ńıvel da função T são retas da forma 3x+ y = c, onde c ∈ R.
(b) Nesse caso, encontrar o valor máximo de T em D consiste em verificar a existência do maior
valor de c0 de modo que
D ∩ {(x, y) ∈ R2; 3x+ y = c0}
seja um conjunto não-vazio. Observando que retas na faḿılia de curvas de ńıvel de T são duas
a duas paralelas, conclúımos que a reta
3x+ y = c0
deve ser tangente ao ćırculo x2 + y2 = 1, isto é, o número real c0 a ser determinado deve
garantir que o sistema
{
x2 + y2 = 1,
3x+ y = c0,
possua uma única solução. Substituindo y = c0 − 3x em x2 + y2 = 1, obtemos
1 = x2 + (c0 − 3x)2 = 10x2 − 6c0x+ c20,
isto é, 10x2− 6c0x+ (c20− 1) = 0. Para que esta equação do segundo grau possua uma única
solução, o seu discriminante
∆ = 36c20 − 40(c20 − 1) = 40− 4c20
deve ser nulo. Logo, c0 =
√
10 é a máxima temperatura detectada em um ponto do disco D.
(c) Para encontrarmos o ponto de D no qual é constatada a máxima temperatura, basta resolver
o sistema
{
x2 + y2 = 1,
3x+ y =
√
10.
Pelos cálculos realizados no item anterior, se P = (x, y) é uma solução deste sistema, então
0 = 10x2 − 6c0x+ (c20 − 1) = 10x2 − 6
√
10x+ 9.
Portanto, x = 3√
10
e
y =
√
10− 3x =
√
10− 9√
10
= 1√
10
,
sendo P =
(
3√
10 ,
1√
10
)
o ponto desejado.
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