MEC_FLUIDOS01

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15/06/2021 IESB
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Unidade 01
Aula 01
Fundamentos de Fenômenos de
Transporte
Olá, estudante! Nosso objetivo nesta primeira parte do conteúdo é estudar os conceitos fundamentais dos
fenômenos de transporte. Nesta aula, começamos estudando a primeira parte do conteúdo sobre os
fundamentos desta disciplina. Bons estudos!
Homogeneidade Dimensional e suas Aplicações
Durante esta disciplina, vamos a veri�car que o comportamento das diferentes equações corresponde ao
uso de duas ou mais variáveis. Cada uma dessas variáveis é determinada por uma grandeza correspondente.
Velocidade, tempo, distância etc., são exemplos de algumas grandezas que, quando observáveis, apresentam
uma descrição quantitativa.
ATENÇÃO
Nesse sentido, grandeza, segundo o Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM), é de�nida como
“propriedade dum fenômeno dum corpo ou duma substância, que pode ser expressa
quantitativamente sob a forma dum número e duma referência” (INMETRO, 2012).
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Entre as grandezas fundamentais, temos: massa (M); comprimento (L); tempo (T); temperatura (I);
quantidade de luz (C); quantidade de matéria (Ma). Como exemplo, podemos apresentar a grandeza de
comprimento. Podemos apreciar que a distância entre o ponto 1 e o ponto 2 é medida por uma grandeza L.
Na Figura 1, podemos apreciar a grandeza de comprimento como ‘L’, a descrição quantitativa dessa grandeza
como e a unidade do sistema de dimensões como metro . O sistema de dimensões utilizado neste
exemplo é o mesmo que será utilizado durante a disciplina: O Sistema Internacional de Unidades (SI).  
Pois bem, acho que já lembramos um pouco daquilo que utilizaram em outras disciplinas, o uso do sistema de
unidades. Agora, não basta apenas saber que existe um sistema de unidades, como SI, e que ele é baseado em
umas grandezas fundamentais, precisamos fazer um bom uso das unidades. Entre as maiores di�culdades
que vamos encontrar ao longo da disciplina será a seguinte: 
Como é que vou somar aquilo com aquilo ou como é que chego naquela grandeza?
Para uma melhor compreensão do que estou falando, vamos veri�car o seguinte exemplo: 
‘5’ ‘[m]’
Figura 1: Exemplo de comprimento como grandeza.
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Exemplo 1.1
Na equação da conservação da energia de Bernoulli, temos que somar três tipos de energia: energia
potencial, energia de pressão e energia cinética. 
Para poder somar as três energias, devemos veri�car que cada uma delas corresponde a uma mesma
grandeza. Isso quer dizer que você não pode “somar uma batata com uma mandioca”, você precisa
veri�car que vai somar “uma batata com outra batata”. Ou seja, neste exemplo, cada energia deve estar
dada em uma mesma grandeza. Vamos lá.
A energia potencial está dada em metros, já que é uma unidade que representa a energia que depende da
altura. Portanto, temos z=[m], com isso, desde já, sabemos que as outras duas energias têm que ter uma
grandeza dada em metros [m]. 
A energia de pressão representa uma relação entre a pressão e o peso especí�co do �uido, portanto,
temos: A pressão que é dada no SI em Pascal (Pa) e o peso especí�co é o produto da aceleração
gravitacional com a massa especí�ca que é dada em kg/m3.
E, �nalmente, vamos a veri�car a energia cinética:
Dessa forma, podemos assegurar que existe uma homogeneidade na somatória das energias, ou seja,
“estamos somando batata com batata”. Que todas as energias estão dadas em [m].
NA-PRATICA
= = = = = = [m]
P
γ
P
g ⋅ ρ
[Pa]
[ ] ⋅ [ ]ms2
kg
m3
[N/ ]m2
[ ] ⋅ [ ]ms2
kg
m3
[Kg ⋅ / ]ms2 m
2
[ ] ⋅ [ ]ms2
kg
m3
[Kg ⋅ m ⋅ ⋅ ]s2 m3
[ ⋅ m ⋅ kg ⋅ ]m2 s2
= = = [m]
V 2
2g
[ ]ms
2
[ ]ms2
[ ]m2s2
[ ]ms2
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As Grandezas Físicas que se Conservam
É importante saber que o tema que vamos trabalhar nesta disciplina gira, principalmente, em torno dos
�uidos. Sendo assim, devemos saber o que é um �uido. 
Um �uido é estudado pelo ramo da Física encarregado do movimento e interação de um grande número de
elementos individuais (ANDERSON JUNIOR, 1997), que, no nosso casso, são as moléculas e os átomos. Isso
quer dizer que precisamos saber que equações devemos utilizar para poder saber como o comportamento
dinâmico do �uido é governado.
Sendo assim, é preciso saber que as equações a serem utilizadas nas seguintes equações da conservação:
Conservação da Massa.
Conservação da quantidade de movimento.
Conservação da energia.
Conservação da massa:
Para poder entender esse termo, precisamos trabalhar sob a hipótese que o �uido é newtoniano. Um �uido
newtoniano é um �uido com uma viscosidade constante ao longo do tempo, ou seja, não interessa a
temperatura, ele sempre terá a mesma viscosidade. 
Assim, a conservação da massa é um sistema sem perdas em que a massa não muda. Ou seja, em um
intervalo de tempo, ela permanece constante. A massa que entra vai ser a mesma que sai: 
Visualizemos a seguinte �gura. Nela, podemos observar uma tubulação de forma não homogênea. Vamos
supor que a água entra no ponto ‘A’ e, por ele, entra uma vazão com uma massa especí�ca respectiva. A partir
da conservação da massa, dizemos que, ainda que seja variável uma determinada secção, a vazão da água
que percorre dentro da tubulação, em um intervalo de tempo, é a mesma em toda a sua secção e para
qualquer ponto, seja 1, 2 ou 3. A mesma quantidade de água que entra em A tem que sair em B.
=
Mentra
Δt
Msai
Δt
SAIBA MAIS
Para um maior entendimento deste tema, acesse o conteúdo disponível no seguinte link.
Dimensões e Unidades.
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: Massa especí�ca , quantidade em quilogramas por cada metro cubico do �uido.
Q: Vazão , que quantidade em m percorre o �uido por segundo.
Se contamos com as dimensões da secção transversal e a velocidade do �uido, podemos saber a vazão
volumétrica nessa secção. Com essas informações, também poderemos desprezar a massa especí�ca de
ambos os lados da equação, pois possuem o mesmo valor. Vejamos:
V: velocidade do �uido , a velocidade que o �uido tem em um ponto determinado entre ‘A’ e ‘B’.
S: área da secção transversal .
Se veri�camos novamente a �gura anterior, podemos visualizar linhas no interior do desenho. Podemos
interpretar as linhas como o comportamento da velocidade do escoamento. Onde a secção é menor, a
velocidade é maior (as linhas pretas são mais juntas); onde a secção é maior, a velocidade é menor (as linhas
pretas são mais separadas).
Conservação da quantidade de movimento:
A lei diz que a somatória de todas as forças que experimenta um sistema é a variação da taxa da quantidade
do movimento de um sistema em uma unidade de tempo.
Ou seja, a somatória de todas as forças externas e internas é a somatória de todas as forças que experimenta
um sistema.
Agora, vamos supor um reservatório com uma torneira com capacidade para certa quantidade de �uido, ou
seja, para um volume de controle. Também vamos supor que temos um �uido dentro dele e a torneira está
fechada; portanto, esse �uido encontra-se estacionário. Nessa hipótese, a somatória das forças internas e
externas é nula. Assim, temos:
Figura 2: escoamento em uma tubulação não homogênea.
ρ [ ]Kgm3
[ ]m3s 3
=QA QB
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ρfluido VA SA ρfluido VB SB
⋅ = ⋅VA SA VB SB
[ ]ms
[ ]m2
∑ =F
→ d p
→
dt
∑ = ∑ + ∑F
→
F
→
externas F
→
internas
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Nesse casso, onde representa a quantidade de movimento, só há duas opções: ou ele é zero, ou ele
representa uma constante. Se consideramos a variação da quantidade de movimento , sabemos que
a variação da quantidade de movimento �nal menos a inicial é zero, . Nesse sentido,
a quantidade de movimento no instante de abrir a torneira é igual à quantidade de movimento do �uido com
a torneira fechada, . Tudo isso só é verdadeiro no mesmo instante em que abro a torneira.
Quando a torneira for aberta, a quantidade de movimento vai depender de duas variáveis em particular, a
massa especí�ca e a vazão.
Contudo, se a tubulação não é homogênea, ou seja, varia ao longo do seu comprimento, a velocidade do
escoamento varia dependendo da sua secção transversal. Assim, se ao longo de um volume de controle a
velocidade varia, é porque existem forças sobre ele que o aceleram.
Finalmente, para um regime permanente, temos:
Conservação da energia:
Esse princípio, com base na primeira lei da termodinâmica, deve ser aplicado para um volume de controle,
que expressa a variação temporal da energia total. 
= 0
d p
→
dt
p
→
= 0Δp
−→
= −Δp
−→
Pfinal Pinicial
−Pfinal Pinicial
∑ = ⋅F
→
ṁ a
→
Figura 3: Vetor velocidade do escoamento que percorre numa tubulação. 
Fonte: SORIANO, 2011 <http://www.uco.es/termodinamica/ppt/pdf/�uidos%2013.pdf >
∑ ⋅ dt = d = −F
→
p
→
Pfinal Pinicial
∑ ⋅ dt = ⋅ − ⋅ = ⋅ dt ⋅ − ⋅ dt ⋅F
→
m2 V2
−→
m1 V1
−→
ṁ2 V2
−→
ṁ1 V1
−→
∑ = ⋅ − ⋅F
→
ṁ2 V2
−→
ṁ1 V1
−→
∑ = ⋅ ( − )F
→
ṁ V2
−→
V1
−→
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A lei de conservação da energia diz que, em qualquer processo, a energia total não aumenta nem diminui. A
energia se transforma de uma forma a outra e é transferida de um objeto a outro, mas a quantidade total
permanece constante. 
Assim, em termos da energia própria, o trabalho das forças externas é:
Onde é a variação da energia própria, ou seja, a somatória da energia cinética mais a energia potencial
interna .
Para poder fazer uso dessas equações fundamentais, em que temos uma conservação da massa, uma
conservação da quantidade de movimento e uma conservação da energia, precisamos fazer uso de um
volume de controle para poder controlar o comportamento das forças ao redor dele.
Volume de Controle
O volume de controle é uma parte do �uido representativa, que procura apresentar de uma forma mais
simples quais forças estão atuando nele. Esse sistema é utilizado para saber o comportamento de um �uido
em movimento. Uma vez escolhido o volume de controle, as características termodinâmicas, dinâmicas e
energéticas do �uido são de�nidas. Esse volume de controle é limitado por uma superfície fechada, uma
superfície de controle, na qual são analisados os processos de intercâmbio de energia e da massa do entorno.
No volume de controle, é preciso analisar as seguintes características:
Dentro do volume de controle, é preciso veri�car o comportamento das propriedades termodinâmicas:
energia interna, temperatura, entalpia e pressão
Na superfície do volume de controle, precisamos veri�car como acontece o intercâmbio do escoamento:
A energia das forças externas, a vazão de entrada e saída e o comportamento da distribuição de velocida
des.
Vemos um exemplo simples de um volume de controle na �gura a seguir.
= ΔUWext
ΔU
U = +Ec EPint
Figura 4: Exemplo de volume de controle.
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Unidade 01
Aula 02
Leis de Conservação
Leis de Conservação e Equações de Balanço
Na aula anterior, trabalhamos nas três leis que mostram as variáveis que se conservam em um �uido. Vamos
falar um pouco delas em conjunto. Todas elas têm a ver com o comportamento de um sistema. 
Nesse sentido, precisamos saber que um sistema é um conjunto de moléculas conformadas por átomos. 
Na �gura a seguir, observamos três imagens: 
1. É um conjunto de várias moléculas que representam um �uido.
2. É uma parte do �uido que representaria nosso volume de controle (nosso sistema principal, no qual faze
mos uso das equações de balanço).
3. É o esquema da estrutura molecular da água no estado sólido.
SAIBA MAIS
Podemos veri�car o que tem dentro de cada átomo acessando o conteúdo disponível no seguinte link.
Estrutura do átomo
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/quimica/estrutura-atomo.htm
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Para nosso exemplo, o �uido está conformado por uma grande quantidade de moléculas da água. Se
lembrarmos a lei de conservação de massa, poderemos a�rmar que a quantidade de massa que entra em um
duto é a mesma que sai.
Nesse mesmo volume de controle que faz parte de nosso sistema, também há a capacidade da conservação
da quantidade de movimento. Vamos explicar melhor: 
Na Figura 6, temos uma bola que podemos considerar como nosso volume de controle. A bola, sem nenhuma
força externa, não tem velocidade, não tem aceleração, ou seja, está em repouso. Podemos a�rmar que a
bola conta com a força do peso que a terra faz nela, temos uma força normal que faz a superfície da mesa na
bola; porém, as duas forças se anulam. Assim, a somatória das forças externas é zero, por isso que o corpo
�ca no estado de repouso. 
Figura 5. Esquema da estrutura "aberta" da água no estado sólido (C) Fonte: Kramer e Boyer (1995)
Exemplo: Se no duto temos um �uido que escoa e que tem uma massa especí�ca  
poderemos a�rmar que, por cada 1m³ que ingressa na tubulação, vão sair sempre 1000 kg de �uido do
outro lado do duto. Isso é uma conservação da massa, onde a variação da massa em relação ao tempo é
zero.
Assim, o balanço integral da conservação da massa depende da somatória de duas integrais. A primeira é
uma integral da variação da massa especí�ca do volume, e a segunda será uma integral do
comportamento da massa especí�ca vezes a parte convectiva da área em estudo.
NA-PRATICA
ρ = 1000kg/m3
= 0
Dm
Dt
dv + (ρu.n)dA = 0∫
v
∂ρ
∂t
∫
A
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Agora, focando nas forças internas, podemos dizer que a estrutura interna que possui nosso volume de
controle (a bola no nosso exemplo) é composta de muitas moléculas que interagem uma com a outra. Cada
uma das moléculas interage com a outra de tal forma, que entre elas temos forças com a mesma magnitude,
mas em sentidos opostos. Dessa forma, a somatória das forças internas que se encontram atuando no
sistema é zero, o objeto encontra-se novamente em repouso, ou seja, estamos cumprindo com a terceira lei
de Newton. Dessa forma, podemos concluir que a variação da quantidade de movimento num espaço de
tempo é zero, .
Sabendo que atuam forças externas e internas no nosso volume de controle temos que a conservação de
momento linear é:
Onde
 Para a água
 Forças na superfície do volume de controle
 Forças do volume de controle
Finalmente, temos a conservação da energia no volume de controle, em que uma quantidade de energia que
entra tem que ser a mesma que sai. Vamos veri�car isso no seguinte exemplo grá�co, onde �nalizaremos com
uma compreensão da lei de conservação geral, usando como exemplo uma padaria.
Na loja vai ter um estoque que, para o nosso caso, seria o volume de controle. Para que este sempre esteja
preenchido, precisamos da combinação de três aspectos: 
1. Um balanço de �uxo, ou seja, a quantidade de pão vendida para enviar, tendo em conta que alguns desse
s pães vão retornar. Isto, no nosso caso, será a parte convectiva (termo que estudaremos adiante).
2. Balanço de �uxo que sai da loja, ou seja, o pão que é vendido. Será a difusão da energia do nosso volume
de controle. Ou seja, teremos uma quantidade de energia que estásaindo de nosso volume de controle e
m forma de pão.
3. Será a produção interna de energia que é gerada dentro de nosso sistema resultado de um trabalho prod
uzido pela interação das partículas. 
Δ = 0p
→
= 0
d p
→
dt
Figura 6: Corpo em estado de repouso.
pudv = +
D
Dt
∫
θ
fA fθ
ρ (T) = 1000 − 0, 0178T − 4 →
→fA
→fθ
Figura 7: Lei da conservação - exemplo loja de pão francês.
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Dessa forma, temos um ciclo que apresenta como é que se comporta um volume de controle, tendo como
resultado o comportamento convectivo, difusivo e de produção interna. Olhando para a equação e usando o
teorema da divergência de Gauss, temos: 
Aplicações dos Fenômenos de Transporte nos
Fluidos
As aplicações para os fenômenos de transporte são muitas, entre elas, temos:
Produção de tintas: elas devem ter uma viscosidade adequada para poder ser utilizadas.
Produção de medicamentos: É estudado a estabilidade química, o tempo de validade e facilidade de extr
usão entre outras.
Caracterização de elastômeros e amortecedores.
Caracterização de gasolina e outros tipos de hidrocarbonetos.
Caracterização de metais (em situações de temperaturas elevadas) e cristais líquidos.
Estudo do magma na vulcanologia: quanto mais �uidez possua o magma, mais chances de o vulcão de ter
uma erupção. 
Estudo de energia eólica: aproveitamento do escoamento do vento para geração de energia.
Estudo de edifícios altos: Comportamento de vento com a estrutura para evitar a ressonância do edifício
com o vento.
+ ∇ ⋅ (ρϕu) = ∇ ⋅ j + s
∂ (ρϕ)
∂t
SAIBA MAIS
Para uma melhor compreensão desse tema, leiam as primeiras 14 páginas do texto “Forma Diferencial
das Equações de Conservação e Transporte”, disponível clicando aqui.
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Advecção e os Mecanismos de Transporte
Por exemplo, é o arrastro de uma substância contaminante pela água. Esse conceito também é utilizado para
calcular o transporte de uma propriedade atmosférica, tal como o calor ou a humidade pelo efeito do vento.
Também serve para calcular o comportamento de uma gota contaminante num meio sem transiente ou
estacionário, como, por exemplo, o comportamento do petróleo jogado no mar por acidente. 
Num sistema de coordenadas x, y e z, que é onde realmente acontece o comportamento, temos o operador
de advecção como o produto escalar do vetor velocidade pelo gradiente da propriedade, ou seja: 
Se falamos da advecção de sustâncias contaminantes num meio poroso, o escoamento de massa através de
uma secção unidade perpendicular ao escoamento, temos:
Onde
= Escoamento de massa, por unidade de secção e por unidade de tempo
= porosidade e�caz
=concentração do contaminante
=velocidade lineal media.
∇ = u + v + wv
→ ∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
J = ⋅ C ⋅ vme
J
me
C
v
ATENÇÃO
A advecção é a variação de um escalar em um ponto dado pelo efeito de um campo vetorial.
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Exercício Conservação de Massa para um
Volume de Controle
Um �uido com escoamento permanente e incompressível passa por um acoplamento de três vias. As
propriedades nas três seções são uniformes. Na �gura, é apresentado o sentido do escoamento pelos pontos
1 e 3. Como dados, temos a área de cada uma das entradas e saídas, assim como a velocidade 1 e 3. Qual será
a velocidade e o sentido do ponto 2.
Solução:
Utilizando a consideração inicial, que indica um escoamento incompressível, temos que a massa especí�ca
do �uido permanece constante. As propriedades uniformes nas seções indicam que o somatório na
superfície de controle do produto escalar da velocidade da seção vezes a área da seção tem que ser igual a
zero.
SAIBA MAIS
Para uma maior compreensão deste tipo de fenômeno físico, recomendo a leitura do estudo disponível
no link a seguir.
Equação de Advecção em Diferenças Finitas
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Nesse sentido, como o vetor unitário da área sempre se direcionará para fora da seção, �caria faltando o
vetor velocidade da seção 2. O sentido desse vetor deve ser assumido para veri�car o seu sentido, assim:
Assumindo o vetor velocidade em 2 para fora, temos:
Resolvendo, temos:
Se o resultado fosse positivo, a velocidade em 2 estaria correta, como também o sentido do vetor velocidade
assumido. Para comprovar isso, vamos supor os seguintes dados:
Com esses dados, temos o seguinte resultado:
O vetor velocidade V2= 3 [m/s] apresenta um resultado positivo que mostra a boa escolha do sentido. 
Exercício Conservação de Massa para um
Volume de Controle
Uma peça especial possui dois bocais com 22 mm de diâmetro que liberam a água à atmosfera com uma
vazão de 9 [l/s]. Em B, a peça está ligada com uma tubulação de ferro galvanizado de 125 mm de diâmetro. A
tubulação principal e a peça especial se encontram num plano de referência horizontal. Despreze as perdas
de carga na peça especial.
Obter:
1. Pressão em B (Pa):
. = 0∑
SC
V
→
A
→
. −   . + . = 0V2
−→
A2
−→
V1
−→
A1
−→
V3
−→
A3
−→
= −V2A2 V1A1 V3A3
=V2
−V1A1 V3A3
A2
= 8 [ ] ; = 4 [ ] ; = 5 [ ]V1
m
s
V2
m
s
V3
m
s
= =A1 A2 A3
= = = 3[ ]V2
−V1A1 V3A3
A2
A.(8 [ ] − 5 [ ])ms
m
s
A
m
s
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Aplicaremos a equação de Bernoulli na peça especial. Para isso, precisamos saber que essa equação é uma
representação do comportamento da energia total em um escoamento. Essa energia total é caracterizada,
principalmente, em tubulações fechadas, por três tipos de energia, como já foi apresentado na Aula 1,
energia potencial, energia cinética e energia de pressão. Nesse sentido, podemos dizer que a energia que
temos em B é igual à energia em 1 e em 2. Desconsiderando as perdas de carga, temos:
Tomando as pressões em 1 e 2 como manométricas, temos que . E como todo o sistema se
encontra em um mesmo plano de referência, temos que , portanto, temos: 
Assim, o cálculo das velocidades �ca:
= =EB E1 E2
+ + = + + = + +ZB
PB
γ
VB
2
2g
Z1
P1
γ
V1
2
2g
Z2
P2
γ
V2
2
2g
= = 0P1 P2
= =Z1 Z2 ZB
+ =
PB
γ
VB
2
2g
V1
2
2g
= +QB q1 q2
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Como a vazão , temos:
Finalmente, temos que:
2. Na aplicação do teorema da quantidade de movimento, temos:
A primeira parte a ser feita será a escolha de um volume de controle . Esse volume de controle irá ser
escolhido de tal forma que a gente possa calcular as forças e que se produzem na união. Nesse
sentido, temos que:
A força de pressão em B é:
=Q1 Q2
= 0, 009[ ] + 0, 009[ ] = 0, 018 [ ]QB
m3
s
m3
s
m3
s
= = = = 23, 68  [m/s]V1
q
A1
4.q
π.D21
4x0, 009[ ]m3s
πx0, 022[m]2
= = = = 1, 47  [m/s]VB
Q
AB
4.Q
π.D2B
4x0, 018[ ]m3s
πx0, 125[m]2
= − = = 28, 49 mca = 279199  [Pa]
PB
γ
V1
2
2g
VB
2
2g
−23, 682 1, 472
19, 6 [ ]ms2
∀c
Fx Fy
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A ação da peça sobre o �uido será: e 
Da aplicação da quantidade de movimento aos eixos x e y, temos:
Ou seja, que o sentido de é ↑. Assim, as forças terão o seguinte comportamento:
A quantidade de momento aplicada ao teorema de momento �ca da seguinte forma:
Onde é o momento produzido pela água no acoplamento.= × A = 279199  [Pa] × = 3426, 3  [N ]FB PB
π × (0, 125  [m])2
4
Rx Ry
= ρ( Q −   Q )∑F ⃗  ∑
sai
v ⃗  ∑
entra
v ⃗ 
= A + = ρ(−q − Q )∑Fx PB Rx V2 VB
= −3246, 3 + [−0, 009x23, 68 − 0, 018x1, 47]RX 10
3
= −3666  [N ] → ((←) = 3666  [N ])RX RX
= = ρ (q ) = x 0, 009x23, 68 = 213 N∑Fy Ry V1 103
Ry
= ρ[ − ]∑MZ ( ∧ Q )r ⃗  V ⃗ 
sai
( ∧ Q )r ⃗  V ⃗ 
Entra
= ρ [1, 8.q. − 0, 6.q. − 0] = . [1, 8x0, 009x23, 68 − 0, 6x0, 009x23, 68]Mz V1 V2 10
3
= 255, 7  [Nm]Mz
Mz
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Exercício Conservação de Massa e Energia
Por um conduto escoa ar. Na seção A, o diâmetro é de 100 mm, a temperatura 15ºC, a pressão 3 kg/cm e a
velocidade 25 m/s. Na seção B o diâmetro é de 200 mm, a temperatura -5ºC, a pressão 1,5 kg/cm , resolver:
a) Velocidade em B
Da equação da continuidade: 
Da equação da lei dos gases perfeitos temos:
b)  Vazão em peso
2
2
xA = xB → x x = x xṁ ṁ ρA VA AA ρB VB AB
P = ρxRxT →  ρ = .  onde P  e T  são absolutas
P
RxT
= = = 4, 83 kg/ρA
PA
xRar TA
(3 + 1, 033)x9, 8.104
287, 14x (151 + 273)
m3
= = = 3, 26 kg/ρA
PB
xRar TB
(1, 5 + 1, 033)x9, 8.104
287, 14x (−5 + 273)
m3
x x = x x → 4, 83 x 25 x π x                             =  3, 26 x   x π x  → = 9,ρA VA AA ρB VB AB
0, 12
4
VB
0, 22
4
VB
× ( ) × 9, 8( ) = × × × 9, 8 = 4, 83 × 25 × π × × 9, 8ṁ kg
s
N
kg
ρA VA AA
0, 12
4
Vazão em peso será  = 9, 28 N/s
Os exercícios que foram apresentados formam parte das leis da conservação. Para realizar mais
exercícios sugiro acessem os seguintes sites:
Lista de Exercícios Resolvidos: Equação da Conservação da Quantidade de Movimento
1ª Lei da Termodinâmica Aplicada a Volume de Controle: Princípio de Conservação da Massa. Regime Per
manente.
Para poder calcular as propriedades termodinâmicas da água faça uso das seguintes tabelas:
Tabela de Propriedades da água saturada (líquido e vapor), entrada de temperaturas
SAIBA MAIS
http://wbraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/fentran/mecflu/resolvidos/cap5/quinta.htm
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https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG610/nova_novo/documents/texto07.pdf
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Unidade 01
Aula 03
Conceitos Termodinâmicos
Estudantes, em nossa terceira aula desta Unidade, começamos o assunto relativo aos conceitos termodinâmicos.
Continue os estudos desta disciplina e boa aula!
Para poder entender um pouco mais os conceitos da Termodinâmica, é preciso conhecer as características
da matéria. Isso é fundamental pois o universo é composto por matéria. Cada corpo de matéria pode ser
classi�cado como uma mescla ou uma substância pura, e as mesclas são misturas de substância puras em
diferentes proporções variáveis. 
Cada matéria, seja uma substância pura ou uma mescla, possui dois tipos de propriedades: as
propriedades extensivas e as propriedades intensivas. 
Propriedade Intensivas e Extensivas
As propriedades extensivas dependem da quantidade de matéria, por exemplo, peso, volume, comprimento,
a energia potencial, calor, etc. As propriedades intensivas já não dependem da quantidade de matéria e
podem depender de uma relação de propriedades: temperatura, ponto de fusão, ponto de ebulição, massa
especí�ca, concentração, etc. Assim, para poder caracterizar uma substância pura, precisamos identi�car o
comportamento das propriedades intensivas.
Propriedades Extensivas
Massa: A massa é uma propriedade dos objetos físicos que, em poucas palavras, mede a quantidade de
matéria que eles possuem. No Sistema Internacional de Medidas (SI), é medido em quilogramas (kg).
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Peso: O peso de um corpo é denominado como uma força. Esta força deve-se à aceleração gravitacional
sobre um corpo. A aceleração gravitacional é normal e é equivalente a 9,807 m/s².
Volume: É uma magnitude física que de�ne o espaço que ocupa um corpo. No SI, é medido em metros
cúbicos (m³).
Entre outros tipos de propriedades extensivas, temos:
comprimento;
área;
energia interna;
entalpia;
entropia energia livre;
capacidade térmica;
energia térmica.
Propriedades Intensivas
Temperatura: A temperatura é uma propriedade física de um sistema. Dessa propriedade física depende o
comportamento da transferência da energia térmica e o calor entre esse sistema e outros. Outro aspecto é
que, para existir transferência de calor, deve haver uma energia cinética das partículas que pode ser medida.
Neste sentido se dois sistemas se encontram à mesma temperatura pode-se dizer que os sistemas estão em
equilíbrio térmico.
Massa especí�ca: A massa especí�ca é uma relação entre a massa do corpo por unidade de volume. Por
exemplo, a massa especí�ca da água é aproximadamente 997,0479 kg/m³ para 25ºC.  
Peso especí�co: O peso especí�co é a força produzida pela aceleração gravitacional da massa especí�ca, ou
seja, é o produto entre a gravidade e a massa especí�ca.
ρ (25ºC) = 997, 0479 [kg/ ]m3
γ = ρ ⋅ g[ ] ⋅ [ ] = [ ]kg
m3
m
s2
N
m3
SAIBA MAIS
Para nos ajudar um pouco com alguns conceitos, podemos fazer uso do seguinte material. Vamos a
utilizar para esta disciplina as de�nições básicas para começar a de�nir o que é a Termodinâmica.
Revisão de Termodinâmica
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Estados da matéria: Das características físicas, dependem os três estados básicos da matéria: sólido, líquido
e gasoso. Por exemplo: 
O estado sólido possui um volume e uma forma de�nida, é incompressível com atração de moléculas mo
derada. A formação das moléculas é possível pela força da coesão, que as mantêm unidas. Nesse estado,
como as moléculas estão muito juntas, água, por exemplo, �ca incompressível.
O estado líquido possui um volume de�nido, mas a forma dele não é de�nida, pois as moléculas se encon
tram em constante deslocamento e se movimentam umas sobre as outras. Por isso, não possuem uma fo
rma própria, �cam com a forma do reservatório que as possui.
O estado gasoso não possui nem volume nem uma forma de�nida. Nesse estado, as moléculas encontra
m-se separadas, pois estas se deslocam com uma direção não de�nida e uma grande velocidade. O gás nã
o possui forma própria.
Lei dos Gases Ideais
No momento de compressão de um gás em temperatura constante, poderemos veri�car como a pressão
aumenta à medida que diminuímos o seu volume. Da mesma forma, se expandirmos o volume do gás a uma
temperatura constante, a pressão do gás diminui. 
Ou seja, à temperatura constante, o produto da pressão pelo volume é uma constante.
Para todos os gases de baixa densidade, essa lei é cumprida. Também é possível a�rmar que a temperatura
absoluta de um gás em baixas densidades é proporcional à pressão num volume constante. Igualmente, a
temperatura absoluta é proporcional ao volume do gás, se mantida constante a pressão.
Figura 8: Estados físicos da água. 
Fonte: http://tinyurl.com/jrqxgjw
P ⋅ V = constante (a temperatura constante)
SAIBA MAIS
Para visualizar melhor esse tema, leia a parte da introdução e das propriedades extensivas e intensivas
do artigo disponível no link a seguir.
Propriedades intensivas e cálculos termoquímicos
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Se nomeamos como ‘C’ a constante do produto esta será uma constante de proporcionalidadepara uma certa quantidade de gás. Ou seja, isso se mantém praticamente proporcional à temperatura, 
. Para achá-la, utilizaremos a seguinte equação: 
Onde,
 Constante de Boltzmann. Experimentalmente, é igual para qualquer quantidade ou tipo de gás. O
valor é , onde K será a escala Kelvin.
 Será o número de moléculas do gás.
Nesse sentido, a equação �ca da seguinte maneira:
É conveniente escrever a quantidade de gás em função do número de moles. Mol é a quantidade de
substância de um sistema que contém tantas entidades elementares quanto são os átomos contidos em
0,012 quilograma de carbono-12, ou seja, o número de Avogadro . 
moléculas/mol.
Se temos ‘n’ moles de uma substância, o número de moléculas é . Em consequência, temos: 
, onde que é a constante universal dos gases. O valor de ‘R’ é igual para
todos os gases:
Nesse sentido, é de�nido um gás ideal é aquele que, para é constante em todas as pressões.
Assim, temos uma relação entre a pressão, o volume e a temperatura dada por , lei dos gases
ideais.
P ⋅ V = C
T : P ⋅ V = C ⋅ T
C = k ⋅ N
k →
k = 1, 381 × [ ]10−23 JK
N →
PV = NkT
NA C : = 6, 022 ×12 NA 10
23
N = nNA
PV = n kT = nRTNA R = kNA
R = 8, 314[ ] ;k = 0, 08206[ ]J
mol
L ⋅ atm
mol
PV / (nT)
PV = nRT
SAIBA MAIS
Para uma melhor compreensão do comportamento de um gás ideal, acesse o conteúdo disponível no
seguinte link.
Gases reales
http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/termo1p/gasreal.html
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A transformação mais geral que uma amostra de gás ideal pode experimentar, sem variação na quantidade
de substância, ou seja, com o número de moles constante, é aquela em que passa de um estado caracterizado
por ( ) para o estado caracterizado por ( ). Então, a equação de estado de Clapeyron
permite escrever:
Uma amostra de gás ideal tem um volume de 400 cm a 15°C. Calcule a temperatura para a qual essa
amostra de gás passa a ter um volume de 500 cm , se a pressão permanece constante.
Para os estados inicial e �nal temos:
e
de modo que, dividindo uma pela outra e isolando obtemos:
e daí:
ou
Fonte: http://tinyurl.com/h43cntj
NA-PRATICA
3
3
PV 1 = nRT1
PV 2 = nRT2
T2
=T2
V2T1
V1
= = 360KT2
(500c ) (288K)m3
400cm3
= 87ºCt2
, ,P1 V1 T1 , ,P2 V2 T2
=
P1V1
T1
P2V2
T2
http://tinyurl.com/h43cntj
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Unidade 01
Aula 04
Termodinâmica
Pressão de Saturação
Para poder começar a apresentar o comportamento da pressão de saturação, que será aquela que depende
da temperatura de saturação, precisamos saber da de�nição de uma substância pura. 
Como o seu nome indica, a substância pura que possui uma composição química homogênea. Essa
composição química é invariável, como, por exemplo, a água, o ar, etc. Nesse sentido, tomando o exemplo
da água, podemos a�rmar que em qualquer fase da água temos uma composição homogênea (substância
pura). 
Por outro lado, temos que uma substância não homogênea será aquela que tem uma mistura de dois �uidos
distintos, exemplo água e óleo. Nesse casso, não teremos uma substância pura.
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Como já foi dito, a água pode mudar de fase. Assim, precisamos saber o que é fase. Uma fase será uma
estrutura molecular homogênea que se conserva em certa quantidade da matéria. Isso quer dizer que, se a
água está exposta ao calor acima de 100ºC, uma parte desta mudará �sicamente sua composição, ou seja,
mudará a estrutura molecular. A matéria (�uido) que possui a estrutura molecular do líquido encontra-se em
uma fase, e a outra parte do �uido que se evaporou encontra-se em outra fase. Veri�camos isso no seguinte
exemplo:
Na Figura 9, o comportamento das fases muda nas diferentes temperaturas. Quando a matéria se encontra
homogênea, tanto em composição química como em estrutura, podemos dizer ela é sólida, líquida ou gás.
No momento que temos uma vaporização do �uido, encontramos uma temperatura de vaporização. Nesse
momento, existe uma pressão para essa temperatura de vaporização, essa pressão se chama pressão de
saturação. Como temos as duas fases, água e vapor, temos um líquido saturado e um vapor saturado.
Agora, vamos supor que temos água a uma temperatura de 20ºC, ponto ‘1’ (Figura 10). Na medida que a
temperatura aumenta, o volume da matéria aumenta, até que chega no seu ponto de ebulição. Aí, mantém
um volume constante. 
Nesse momento, temos temperatura inicial à saturação (entre os pontos ‘1’ e ‘2’). Depois que começa a
vaporização, entre os pontos ‘2’ e ‘4’, no processo de temperatura constante, temos uma mudança de fase.
Nesse instante, temos uma mistura saturada de fase líquida e fase de vapor. Logo após a evaporação da
última bolha do �uido, evaporada a última bolha de água, o vapor começa a superaquecer, entre ‘4’ e ‘5’. Na
última, etapa o vapor se superaquece numa pressão constante e, �nalmente, a temperatura e o volume
aumentam nesse processo.
Figura 9. Estados de uma substância pura. 
Fonte: http://tinyurl.com/zkvqy29
Figura 10: Variação do volume com a temperatura.
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Continuando com a água como exemplo, temos que a ebulição acontece para uma temperatura e uma
pressão de saturação. A pressão da água será 101,35 kPa para uma temperatura de saturação de 100ºC. No
mesmo sentido, para uma temperatura de 100ºC, a pressão de saturação é de 101,35 kPa. Podemos veri�car
isso na seguinte �gura:
Na Figura 11, podemos observar que, na medida que aumenta a pressão no �uido, aumenta a temperatura.
Nesse sentido, se temos a possibilidade de cozinhar a temperaturas maiores, pouparemos tempo e energia.
Para entender um pouco mais, precisamos de três diagramas. O primeiro será aquele que apresenta o
comportamento da temperatura em relação ao volume de uma substância que pode expandir ao se congelar,
como, por exemplo, a água. Esse diagrama, junto ao diagrama do comportamento da pressão em relação ao
volume e ao diagrama de pressão em relação à temperatura, apresentam como acontece a mudança de fase
num líquido de substância pura.
Diagrama T-v
Figura 11: Curva de saturação líquido-vapor de uma substancia pura (água).
SAIBA MAIS
Para uma maior compreensão, acesse o link a seguir.
Fundamentos da Termodinâmica
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Na Figura 12, é possível veri�car como muda a fase da água para uma mesma pressão. Nesse sentido, é
preciso repetir o processo para várias pressões para poder obter o diagrama T-v. Veja a representação desse
exercício a seguir.
No momento em que os estados de líquido saturado e vapor saturado são idênticos, temos um ponto
chamado ponto crítico. Para o exemplo da água, nesse ponto, temos: temperatura crítica, T = 373,95 ºC;
pressão crítica, P = 22,06 Mpa e um volume critico, v = 0,003106 m /kg. Após esse ponto crítico, temos
simplesmente uma mudança de fase, mas o volume permanece aumentando continuamente. 
Diagramas P-v e P-T
Figura 12 Temperatura vs Volume de uma substância pura. Resultados para diferentes pressões. 
Fonte: http://tinyurl.com/ztzpmwr
cr
cr cr
3
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O diagrama de P-v, presente na Figura 13, é parecido com o diagrama T-v, mas as linhas de temperatura
constantes têm uma tendência para baixo. Durante o processo de evaporação, a temperaturae a pressão
permanecem constantes, mas o volume especí�co aumenta.
Na mesma Figura 13, temos uma linha de sublimação que separa as regiões sólida e de vapor; a linha de
evaporação separa as regiões de líquido e vapor e; a linha de fusão separa a região sólida e líquida. As três
linhas convergem em um ponto onde existe um equilíbrio chamado ponto triplo. 
Figura 13. Pressão x Volume e Pressão x Temperatura de uma substância pura. 
Fonte: http://tinyurl.com/ztzpmwr
SAIBA MAIS
Mais explicações deste tema podem ser exploradas no seguinte link.
Propriedades das Substâncias Puras
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Unidade 01
Aula 05
Fundamentos e Mecanismos de
Transporte de Fluidos
Uma Introdução aos Fluidos
Quando pensamos nas diferentes estruturas, observamos que a maioria delas envolve um estudo do
comportamento dos �uidos, seja estacionário ou dinâmico. A direção do estudo vai depender da estrutura
envolvida no projeto. Entre os tipos de projetos, encontramos os básicos, tais como as instalações prediais,
que vão depender do comportamento em tubulações fechadas, e das estruturas como estações de
tratamento de água e esgoto, que vão depender de estudos de canais abertos. Já entre os projetos que
precisam de maiores estudos, temos o comportamento dos escoamentos em automóveis, aviões, centrais
nucleares, energia eólica, tornados, fenômenos atmosféricos, entre outros. 
Para introduzir o fenômeno da quantidade de movimento, que é o comportamento da mecânica dos
�uidos, precisamos saber do comportamento da força de cisalhamento.
Vamos supor um pórtico de um prédio. Quando esse pórtico tem uma deformação, como pode ser observado
na seguinte �gura, sabemos que foi deformado por uma força F. Essa força chama-se força cisalhante e, como
na �gura, essa força de cisalhamento se apresenta com a igual magnitude em sentido opostos.
Essa deformação também se apresenta nos �uidos. Quando temos duas placas e, entre elas, temos um �uido
escoando, podemos perceber que existe uma força que faz com que esse �uido escoe, uma força de
cisalhamento. A magnitude da velocidade com que esse �uido escoa ao longo de uma seção vertical do
conduto chama-se distribuição de velocidade. Essa distribuição da velocidade constitui um per�l de
velocidade. Na seguinte �gura, é apresentado um comportamento bidimensional, ou seja, em (y,x). 
Figura 14. Efeito da força de cisalhamento
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Vale a pena lembrar que um escoamento possui uma variação do seu escoamento tridimensionalmente.
Essa força de cisalhamento depende principalmente de duas variáveis: a tensão de cisalhamento e a
deformação de cisalhamento. As equações que descrevem essas variáveis são as seguintes:
Essa formulação se cumpre unicamente para �uidos newtonianos, sendo os �uidos newtonianos aqueles que
cumprem com a lei de Newton da viscosidade.
A lei de Newton diz que o gradiente de velocidade é diretamente proporcional à tensão cisalhante. A tensão
cisalhante é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade. Matematicamente, podemos descrever
assim: 
e a lei de Newton será, então:
Onde a constante de proporcionalidade μ é a viscosidade dinâmica.
Figura 15. Comportamento de um �uido escoando entre duas placas planas.
τ = = μ → Tensão de cisalhamento
F
A
du
dy
y = = → Deformação de cisalhamento
up2
Y
du
dy
τα = γ
du
dy
τ = μ
du
dy
SAIBA MAIS
Saiba mais do �uido newtoniano acessando o link a seguir.
Fluido newtoniano
https://es.wikipedia.org/wiki/Fluido_newtoniano
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Tipos de Escoamento
Os tipos de escoamento dependem do comportamento do �uido em relação ao tempo. Se o escoamento
varia com o tempo, o escoamento poderia ser transiente ou não estacionário. Isso quer dizer que existe uma
variação do comportamento da velocidade à medida que o tempo muda. Se o escoamento não varia com o
tempo, quer dizer que temos uma permanência das características do escoamento ao longo do conduto.  
Os escoamentos podem ser tridimensionais. Em quase todos os escoamentos podemos apreciar esse
comportamento (x,y,z), porém, a avaliação de um escoamento tridimensional é muito complexa e precisa de
coe�cientes de correção da quantidade de movimento, como da tridimensionalidade do escoamento.
Um escoamento bidimensional, por exemplo, é o comportamento no desenvolvimento de uma camada
limite.
Figura 16. Escoamento tridimensional. 
Fonte: http://www.madeira.ufpr.br/disciplinasalan/AT087-Aula04.pdf
VÍDEO
Saiba mais da lei de Newton da viscosidade:
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Por último, temos o escoamento unidimensional, que se refere ao estudo de uma direção do vetor. Por
exemplo, o estudo do escoamento de um �uido numa tubulação.
Com relação ao regime do escoamento, poderemos ter três tipos de escoamento. Esses tipos de escoamento
foram avaliados por Osborne Reynolds (1842-1912). Esse tema será ampliado mais para frente.
regime laminar;
regime transiente;
regime turbulento;
L é o comprimento característico que depende da geometria do canal
u é a velocidade média do escoamento
ѵ é a viscosidade cinemática
Esse número adimensional apresenta os valores para cada regime de escoamento. 
No regime laminar, temos um comportamento sem variações das características do escoamento. Quer dizer
que, se temos um jato de tinta no �uido, este vai se comportar como uma linha só, da seguinte forma:
Figura 17. Exemplo de um escoamento bidimensional. 
Fonte: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfK-oAC/camada-limite-hidrodinamica-solucao-exata
Figura 18. Exemplo de um escoamento unidimensional
Re =
u ⋅ L
ѵ
FATOS E DADOS
O físico alemão Ludwig Prandtl (1875-1953) realizou um dos grandes avanços na Mecânica dos
Fluidos, em 1903, concebendo a ideia da camada limite na qual de�ne – Uma região muito �na dentro
da camada limite e adjacente à superfície do corpo onde os efeitos viscosos são muito importantes,
onde a componente axial da velocidade varia rapidamente com a distância y.
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Para o regime de transição temos que o comportamento do número de Reynolds está entre:
200 > Re < 4000 regime de transição
Para o regime turbulento, os vetores de velocidade têm um patamar não de�nido. Isso quer dizer que o jato
de tinta é totalmente randômico.
Os estudos das principais variáveis que envolvem um escoamento laminar, de transição ou turbulento, serão
apresentados nas seguintes aulas.