Aula 12S - frente 2 - Esfera e incrição de sólidos

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Esfera e inscrição de sólidos 
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APLICAÇÃO 
 
1. (Ufrgs 2018) Fundindo três esferas idênticas e maciças de diâmetro 2 cm, obtém-se uma única esfera maciça de 
raio 
a) 3 3. 
b) 3 4. 
c) 3 6. 
d) 3. 
e) 6. 
 
2. (Acafe 2017) Um cone de revolução tem altura 8 cm e está circunscrito a uma esfera de raio igual a 2 cm. A 
razão entre o volume da esfera e o volume do cone igual a 
a) 1 4. 
b) 1 8. 
c) 1 2. 
d) 2. 
 
3. (Ufu 2018) Um recipiente, no formato de um cilindro circular reto de raio de base r cm, possui um líquido solvente 
em seu interior. A altura h desse solvente presente no recipiente é igual a 
16
cm,
3
 conforme ilustra a Figura 1. 
 
 
 
Quando uma peça maciça, no formato de uma esfera de raio igual a 3 cm, é mergulhada nesse recipiente até 
encostar no fundo, observa-se que o solvente cobre exatamente a esfera, conforme ilustra a Figura 2. 
 
Segundo as condições apresentadas, o raio r, em cm, é igual a 
a) 4 3. 
b) 2 7. 
c) 5 2. 
d) 3 6. 
 
4. (Udesc 2016) A base de um cone reto está inscrita em uma face de um cubo e seu vértice está no centro da face 
oposta. Se o volume do cone é 
2
3
π
 metros cúbicos, a área do cubo (em metros quadrados) é igual a: 
a) 8 
b) 24 
c) 16 
d) 20 
e) 4 
 
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5. (Epcar (Afa) 2018) Considere o sólido geométrico obtido pela rotação de 360 do triângulo ABC em torno da reta 
que passa por C e é paralela ao lado AB. 
 
Sabe-se que este triângulo é isósceles, com AC BC R 2 m,  AB 2R m (sendo R uma constante real não nula), 
e que o volume do sólido obtido é 3V 4 3 m .π 
 
A medida de R, em metros, é igual a 
a) 6 3 
b) 3 3 
c) 3 9 
d) 3 
 
6. (Eear 2017) Um escultor irá pintar completamente a superfície de uma esfera de 6 m de diâmetro, utilizando uma 
tinta que, para essa superfície, rende 23 m por litro. Para essa tarefa, o escultor gastará, no mínimo, _____ litros de 
tinta. (Considere 3)π 
a) 18 
b) 24 
c) 36 
d) 48 
 
TAREFA 
7. (Uece 2017) Um cubo cuja medida de cada aresta é 3 dm está inscrito em uma esfera de raio R. A medida de 
um diâmetro (2R) da esfera é 
a) 2 3 dm. 
b) 3 2 dm. 
c) 3 3 dm. 
d) 4 3 dm. 
 
8. (Eear 2017) Uma esfera está inscrita num cilindro equilátero cuja área lateral mede 216 cm .π O volume da esfera 
inscrita é 
a) 8π 
b) 16π 
c) 
32
3
π 
d) 
256
3
π 
 
9. (Ueg 2018) Deseja-se construir um reservatório cilíndrico circular reto com 8 metros de diâmetro e teto no formato 
de hemisfério. Sabendo-se que a empresa responsável por construir o teto cobra R$ 300,00 por 2m , o valor para 
construir esse teto esférico será de 
 
Use 3,1π  
a) R$ 22.150,00 
b) R$ 32.190,00 
c) R$ 38.600,00 
d) R$ 40.100,00 
e) R$ 29.760,00 
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10. (Uece 2017) Considerando-se um cubo cuja medida de cada aresta é igual a 1m pode-se afirmar corretamente 
que a medida do volume do poliedro convexo cujos vértices são os centros das faces desse cubo é 
a) 3
2
m .
3
 
b) 3
2
m .
7
 
c) 3
1
m .
6
 
d) 3
4
m .
7
 
 
11. (Ufjf-pism 2 2018) João é um menino que gosta muito do Natal. Sabendo disso seu pai resolveu fazer um globo 
de Neve com um boneco de neve dentro. Como materiais, seu pai usou um cilindro circular reto de vidro com 20 cm 
de altura e com tampa e fundo de 8 cm de diâmetro, duas esferas de isopor de mesmo tamanho e uma terceira 
esfera com um tamanho menor. O boneco foi construído de acordo com a figura abaixo. Após colocar o boneco no 
interior do cilindro, o globo foi preenchido completamente com 3712 cm de um líquido apropriado, de maneira que o 
vidro ficou sem bolhas de ar. (Utilize 3).π  
 
 
 
a) Calcule o volume do boneco de Neve. 
b) Sabendo-se que a razão entre a área da esfera de isopor menor e a área da esfera de isopor maior é 
4
9
 e que, na 
estrutura do boneco, os centros das esferas estão perfeitamente alinhados, calcule a altura do boneco de neve. 
 
12. (Imed 2016) Um reservatório de água tem o formato de um cilindro reto de volume igual a 354 m .π Supondo que 
esse cilindro está inscrito em um cubo de aresta igual ao dobro do raio, o volume desse cubo, em 3m , é igual a: 
a) 108. 
b) 144. 
c) 216. 
d) 225. 
e) 343. 
 
13. (Uefs 2016) Uma bolha de sabão, esférica, não estouraria se sua área superficial fosse, no máximo, 44% maior. 
 
Logo, ela poderia conter um volume de ar em seu interior, sem estourar, até 
a) 32,4% maior. 
b) 44% maior. 
c) 53,6% maior. 
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d) 66% maior. 
e) 72,8% maior. 
 
14. (Espcex (Aman) 2018) A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em 
uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. 
Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa 
constante de 0,5 mm s até que o volume seja igual a 3500 mm , então o tempo, em segundos, que o balão leva para 
atingir esse volume é 
a) 10. 
b) 3
5
10 .
π
 
c) 3
2
10 .
π
 
d) 310 .π 
e) 3
3
10 .
π
 
 
15. (Efomm 2016) Seja uma esfera de raio R e um cubo de aresta A, ambos com a mesma área de superfície. A 
razão entre o volume do cubo e o volume da esfera é igual a 
a) 
1
.
π
 
b) .
12
π
 
c) 
2
.
3
π
 
d) .
3
π
 
e) .
6
π
 
 
16. (G1 - ifpe 2016) Uma bola maciça, totalmente vedada, em formato de uma esfera perfeita, de diâmetro igual a 
6 cm, foi lançada em uma panela cilíndrica cujo raio da base mede 5 cm e altura 10 cm. Sabendo que inicialmente a 
panela estava com água até a altura de 5 cm e que a bola ficou completamente submersa pela água, quantos 
centímetros o nível da água se elevará? (Dado: Considere 3)π  
a) 
36
25
 
b) 
5
3
 
c) 
25
3
 
d) 
30
25
 
e) 
25
15
 
 
17. (Udesc 2015) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura. 
 
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Sabendo-se que o volume da bola é 32304 cm ,π então a área da superfície de cada faixa é de: 
a) 220 cmπ 
b) 224 cmπ 
c) 228 cmπ 
d) 227 cmπ 
e) 225 cmπ 
 
18. (Acafe 2014) Um tubo cilíndrico reto de volume 3128 cm ,π contém oito bolinhas de tênis de mesa congruentes 
entre si e tangentes externamente. 
Sabendo que o cilindro está circunscrito à reunião dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas 
dentro do tubo é, aproximadamente, de: 
a) 75. 
b) 50. 
c) 33. 
d) 66. 
 
 
APROFUNDAMENTO 
19. (Fuvest 2016) Dois aviões vão de Brasília a Moscou. O primeiro voa diretamente para o norte, até atingir o 
paralelo de Moscou, quando então muda o rumo para o leste, seguindo para o seu destino final. O segundo voa para 
o leste até atingir o meridiano de Moscou, tomando então o rumo norte até chegar a esta cidade. 
 
a) Desprezando as variações de altitude, qual avião terá percorrido a maior distância em relação ao solo? Justifique 
sua resposta. 
b) Calcule a diferença entre as distâncias percorridas,supondo que a Terra seja esférica. 
 
Note e adote: 
cos 56 0,56; sen 56 0,83; cos16 0,96; sen16 0,28        
Latitude e longitude de Brasília: 16 S e 48 W 
Latitude e longitude de Moscou: 56 N e 37 E 
Raio da Terra: 6.400 km 
 
 
20. (Ita 2016) Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de 
suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o 
volume do tetraedro. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Seja r a medida do raio da esfera obtida após a fundição de três esferas idênticas e maciças de diâmetro 2 cm. 
Daí, 
3 3
3
3
4 4
r 3 1
3 3
r 3
r 3 cm
π π  


 
 
Observação: Tanto o enunciado quanto as alternativas não garantem que a medida do raio da nova esfera é dado 
em cm. 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Calculando: 
 
 
 
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       
 
 
e
2 2 2 2
c
c
3
e e
2
c c
e
c
OM OP R 2 cm
OA 8 2 6 cm
OA OP AP 36 4 AP AP 4 2
R MC
AMC APO
AM MC 8 MC
MC R 2 2
2AP PO 4 2
4 32
V 2 V
3 3
1 64
V 2 2 8 V
3 3
32
V 32 13
64V 64 2
3
π
π
π
π
π
π
  
  
      

 
     
    
     
  
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
O volume de solvente deslocado corresponde ao volume do cilindro de raio r cm e altura igual a 
16 2
2 3 cm.
3 3
   
Logo, temos 
 
2 32 4r 3 r 3 6 cm.
3 3
π π       
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Seja a medida da aresta do cubo, em metros. Logo, se o volume do cone é igual a 
2
3
π
 metros cúbicos, então 
2
2
2 m.
3 2 3
π π 
     
 
 
 
A área total do cubo é 2 26 2 24 m .  
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
O triângulo ABC é retângulo isósceles. Logo, como a mediana relativa ao lado AB mede R m, segue que a medida 
do segmento CG, com G sendo o baricentro de ABC, é igual a 
2R
.
3
 Ademais, a área do triângulo ABC é dada por 
 
2 2
1
(ABC) AC BC
2
1
R 2 R 2
2
R m .
  
  

 
 
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Portanto, pelo Segundo Teorema de Pappus-Guldin, tem-se que o volume, V, do sólido gerado é 
2
3
V 2 CG (ABC)
2R
2 R
3
4 R
.
3
π
π
π
  
  

 
 
Em consequência, vem 
3
3
3 3
4 R
4 3 R 3 3
3
R ( 3)
R 3 m.
π
π  
 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
O gasto em litros é dado por 
 
2
6
4
2
36.
3
 
  
 

π
 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
Sabendo que a medida do diâmetro da esfera é igual à medida da diagonal do cubo, temos 
2R 3 3 dm. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Sabendo que a área lateral de um cilindro equilátero de raio r é dada por 
24 r ,π temos 
 
24 r 16 r 2cm.  π π 
 
Portanto, sendo o raio da esfera inscrita igual ao raio do cilindro, podemos concluir que o volume da esfera é 
 
3 3 34 4 32r 2 cm .
3 3 3
   
π π π
 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
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Calculando a área A do teto do reservatório, temos: 
2
24 4A 32 32 3,1 99,2 m
2
π
π
 
     
 
Portanto, o valor pedido para a construção deste teto será: 
valor 99,2 R$ 300 R$ 29.760,00   
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
 
 
O poliedro considerado é um octaedro regular, seu volume será a soma dos volumes de duas pirâmides, 
representadas na figura acima. 
2
b
1 1 1 1 1
V 2 A h 2
3 3 2 2 6
         
 
Resposta da questão 11: 
 a) Desde que o volume do cilindro é igual a 
2
38 20 960cm ,
2
π
 
   
 
 podemos concluir que o volume do boneco é 
aproximadamente igual a 3960 712 248cm .  
 
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b) Se a razão entre as áreas das esferas é 
4
,
9
 então 
2
2
4 r 4 2R
r ,
9 34 R
π
π

  

 
 
com r e R sendo os raios das duas esferas. 
Em consequência, de (a), vem 
3 3
3
4 2R 4 R
v 2V 248 2 248
3 3 3
31 R
31
27
R 3cm
π π  
       
 

 
 
 
 
e, assim, temos r 2cm. 
A resposta é, portanto, igual a 2r 2 2R 16cm.   
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
O cilindro está inscrito no cubo, portanto: 
I. cubo cil c ilL h 2R  
 
II. O volume do cilindro é dado por: 
2 2 3
cil cil cilV R h V R (2R) 54 2 R R 3π π π π        
 
III. Volume do cubo 
3 3 3
cubo cubo cuboV L V 6 V 216 m     
 
Resposta da questão 13: 
 [E] 
 
Se 0r é o raio da bolha, então sua área superficial é 
2
04 r .π Logo, se sua área superficial fosse 44% maior, então 
seu raio, r, seria tal que 
 
2 2
0 04 r 1,44 4 r r 1,2r .π π    
 
Portanto, ela poderia conter um volume de ar em seu interior, sem estourar, até 
 
3 3
0
3
0
4 4
r (1,2r )
3 3
4
1,728 r ,
3
π π
π

 
 
 
ou seja, 72,8% maior. 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Seja r, em mm, a medida do raio de uma esfera cujo volume é 3500 mm . 
Temos então: 
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3
3
3
3
3
4
500 r
3
375
r
3 5
r
3
r 5 mm
π
π
π
π
  



 
 
 
Sendo t, o tempo em segundos, que o balão leva para atingir o volume 3500 mm nas condições dadas, 
3
3
3
5 mm
0,5 mm
1s t
3
t 10 s
π
π


 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Tem-se que 
 
2 2 26A 4 R A R.
3
π
π   
 
Portanto, a resposta é 
 
3
3
3 3
2
R
A 3
.
4 4 6
R R
3 3
π
π
π π
 
 
 
  
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Sendo x é a elevação do nível da água em cm, podemos escrever 
 
2 345 x 3
3
36
x
25
π π    

 
 
Observação: Uma bola de diâmetro 6 não poderá ficar totalmente submersa num cilindro com altura 5 cm. 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Seja r o raio da esfera. Sabendo que o volume da esfera é 
32304 cm ,π temos 
 
34 r 2304 r 12cm.
3
π π     
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Portanto, a área da superfície de cada faixa é igual a 
 
2 2 21 1r 12 24 cm .
6 6
π π π      
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
Seja r o raio das bolinhas. Tem-se que 
 
2r 16r 128 r 2cm.π π    
 
O volume ocupado pelas bolinhas é igual a 
 
3 34 2568 2 cm .
3 3
π π
   
 
Portanto, o resultado pedido é 
 
256
3 100% 67%.
128
π
π
  
 
Resposta da questão 19: 
 a) Com os dados do enunciado, pode-se desenhar a figura a seguir, sendo o ponto O o centro da Terra, o ponto 
B a localização de Brasília e o ponto M a localização de Moscou: 
 
 
 
Considerando a Terra como uma esfera, sabe-se que os arcos BA e CM são iguais e delimitados pelo raio R da 
terra e um ângulo de 72 (56 16 ).    Assim, pode-se calcular a distância vertical percorrida por ambos os aviões: 
72 R 2 R
BA CM
180 5
π π
   
 
Para calcular a distância horizontal BC basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de B 
até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (48 37 ).    Assim, pode-se escrever: 
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B Eixo B Eixo
B Eixo
dist dist
cos16 0,96 dist 0,96R
R R
85 0,96R 16,32 R
BC BC
180 36
π π
 
     

  
 
 
Para calcular a distância horizontal AM basta considerar um arco de circunferência delimitado pela distância de A 
até o eixo da terra e por um ângulo de 85 (48 37 ).    Assim, pode-se escrever: 
A Eixo A Eixo
A Eixo
dist dist
cos56 0,56 dist 0,56R
R R
85 0,56R 9,52 R
AM AM
180 36
π π
 
     

  
 
 
Por fim, pode-se calcular a distância percorrida por cada um dos aviões: 
2 R 9,52 R 119,6 R
Avião 1 BA AM
5 36 180
16,32 R 2 R 153,6 R
Avião 2 BC CM
36 5 180
π π π
π π π
    
    
 
 
Logo, conclui-se que o segundo avião percorreu a maior distância. 
 
b) A diferença das distâncias percorridas será igual a: 
153,6 R 119,6 R 34 R 34 6400
Avião 2 Avião 1 1208,9 km
180 180 180 180
π π π π
π

      
 
Resposta da questão 20: 
 
 
 
Admitindo que: 
a : aresta do tetraedro. 
a 6
h
3
 (altura do tetraedro ) 
a 3
R
3
 (Raio da base do tetraedro regular) 
 
Os triângulos AO'B' e AOB são semelhantes, o que nos permite escrever que: 
 1 h R a 6 a 3 31 3 a 6 a 3 a 6 3 3 a a 6 3
1 1 3 3 6 3

              

 
 
Considerando que a 6 3,  podemos calcular o volume V do tetraedro regular: 
CPD one – Cursinho por Disciplina em Exatas 
Semiextensivo 1/2018 – Turma Beta 4 
Matemática – Aula 12 – Frente 2 
Esfera e inscrição de sólidos 
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 
 
 
 
3
3
a 2
V
12
6 3 2
V
12
6 6 18 3 9 6 3 3 2
V
12
15 12 21 6
V
12
3 6 5 2 7
V
12
6 5 2 7
V
4
 
 
 
   
 

 
 
 
 

 
 
Portanto, 
 6 5 2 7
V .
4
 
