GEOMETRIA ESPACIAL - Sólidos Inscritos

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SÓLIDOS INSCRITOS 
 
1. (Uece) Um cubo cuja medida de cada aresta é 
3 dm está inscrito em uma esfera de raio R. A me-
dida de um diâmetro (2R) da esfera é 
a) 2 3 dm. 
b) 3 2 dm. 
c) 3 3 dm. 
d) 4 3 dm. 
 
2. (Uece) Considerando-se um cubo cuja medida 
de cada aresta é igual a 1 m pode-se afirmar corre-
tamente que a medida do volume do poliedro con-
vexo cujos vértices são os centros das faces desse 
cubo é 
a) 3
2
m .
3
 
b) 3
2
m .
7
 
c) 3
1
m .
6
 
d) 3
4
m .
7
 
 
3. (Ufrgs) Considere um cubo de aresta a. Os pon-
tos I, J, K, L, M e N são os centros das faces ABCD, 
BCFG, DCGH, ADHE, ABFE e EFGH, respectiva-
mente, conforme representado na figura abaixo. 
 
 
 
O octaedro regular, cujos vértices são os pontos 
I, J, K, L, M e N, tem aresta medindo 
a) a 3. 
b) a 2. 
c) 
a 3
.
2
 
d) 
a 5
.
2
 
e) 
a 2
.
2
 
 
4. (Eear) Uma esfera está inscrita num cilindro 
equilátero cuja área lateral mede 216 cm .π O vo-
lume da esfera inscrita é 
a) 8π 
b) 16π 
c) 
32
3
π 
d) 
256
3
π 
 
5. (Uemg) Observe as figuras. 
 
 
 
Nas figuras acima, tem-se um cilindro circular equi-
látero 1(S ), circunscrevendo um cone 2(S ), e um 
cilindro circular oblíquo 3(S ). A razão determinada 
pelo volume de 3S com a superfície total de 2S é 
a) 
5 1
cm.
4
−
 
b) 5 1 cm.− 
c) 
5 16
cm.
4
+
 
d) 5 16 cm.+ 
 
 
6. (Imed) Um reservatório de água tem o formato 
de um cilindro reto de volume igual a 354 m .π Su-
pondo que esse cilindro está inscrito em um cubo 
de aresta igual ao dobro do raio, o volume desse 
cubo, em 3m , é igual a: 
a) 108. b) 144. c) 216. d) 225. e) 343. 
 
7. (Unicamp) Um cilindro circular reto, cuja altura é 
igual ao diâmetro da base, está inscrito numa es-
fera. A razão entre os volumes da esfera e do cilin-
dro é igual a 
a) 
4 2
.
3
 
b) 
4
.
3
 
c) 
3 2
.
4
 
d) 2. 
 
8. (Pucrs) A circunferência de uma bola de voleibol 
é 66 cm. Para colocá-la em uma caixa cúbica, essa 
caixa deve ter, no mínimo, uma aresta interna, em 
centímetros, de 
a) 33 
b) 
33
π
 
c) 66 
d) 
66
π
 
e) 
66
π
 
 
9. (Udesc) A base de um cone reto está inscrita em 
uma face de um cubo e seu vértice está no centro 
da face oposta. Se o volume do cone é 
2
3
π
 metros 
cúbicos, a área do cubo (em metros quadrados) é 
igual a: 
a) 8 b) 24 c) 16 d) 20 e) 4 
 
10. (Enem PPL) Em uma confeitaria, um cliente 
comprou um cupcake (pequeno bolo no formato de 
um tronco de cone regular mais uma cobertura, ge-
ralmente composta por um creme), semelhante ao 
apresentado na figura: 
 
Como o bolinho não seria consumido no estabele-
cimento, o vendedor verificou que as caixas dispo-
níveis para embalar o doce eram todas em formato 
de blocos retangulares, cujas medidas estão apre-
sentadas no quadro: 
Embalagem 
Dimensões 
 comprimento largura a( ltura) 
I 8,5 cm 12,2 cm 9,0 cm  
II 10 cm 11 cm 15 cm  
III 7,2 cm 8,2 cm 16 cm  
IV 7,5 cm 7,8 cm 9,5 cm  
V 15 cm 8 cm 9 cm  
 
A embalagem mais apropriada para armazenar o 
doce, de forma a não o deformar e com menor des-
perdício de espaço na caixa, é 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
A(s) quest(ões) abaixo se referem às informa-
ções do quadro a seguir. 
É possível construir um dado redondo e honesto, 
isto é, com probabilidade 1 6 para cada um dos 
seis valores que ele pode sortear. As marcações do 
dado redondo são pintadas sobre a superfície de 
uma esfera, usando-se uma disposição análoga à 
do cubo convencional. Dentro da esfera, encontra-
se uma cavidade na forma de um octaedro. Dentro 
da cavidade, coloca-se uma pequena esfera metá-
lica pesada, que fica solta. Quando o dado redondo 
é lançado, toda a estrutura tende a se equilibrar 
com a pequena esfera, ocupando a posição de um 
dos seis vértices do octaedro e fazendo com que o 
topo da superfície esférica apresente uma das seis 
marcações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Disponível em: http://www.uff.br/cdme/pdp/pdp-html/pdp-br.html. Acesso em 10 
abr. 2015) 
 
11. (Upf) Se o diâmetro do dado redondo mede 
4 cm, a soma das medidas das arestas do octaedro 
dentro do dado é: 
a) 16 cm c) 8 2 cm e) 24 2 cm 
b) 24 cm d) 12 2 cm 
 
 
12. (Uerj) Uma esfera de centro A e raio igual a 
3 dm é tangente ao plano  de uma mesa em um 
ponto T. Uma fonte de luz encontra-se em um 
ponto F de modo que F, A e T são colineares. Ob-
serve a ilustração: 
 
 
 
Considere o cone de vértice F cuja base é o círculo 
de centro T definido pela sombra da esfera proje-
tada sobre a mesa. 
Se esse círculo tem área igual à da superfície esfé-
rica, então a distância FT , em decímetros, corres-
ponde a: 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
 
13. (Fuvest) Três das arestas de um cubo, com um 
vértice em comum, são também arestas de um te-
traedro. A razão entre o volume do tetraedro e o 
volume do cubo é 
a) 
1
8
 
b) 
1
6
 
c) 
2
9
 
d) 
1
4
 
e) 
1
3
 
 
14. (Fuvest) Os vértices de um tetraedro regular 
são também vértices de um cubo de aresta 2. A 
área de uma face desse tetraedro é 
a) 2 3 
b) 4 
c) 3 2 
d) 3 3 
e) 6 
 
15. (Ufjf) Uma peça de ornamentação confeccio-
nada com vidro possui a forma de um prisma regu-
lar reto, cuja base é um triângulo equilátero. Em 
seu interior, há uma esfera representando o globo 
terrestre, que tangencia cada face do prisma. Sa-
bendo que o raio da esfera é r, qual é o volume do 
prisma? 
a) 33r . 
b) 32 3r . 
c) 33 3r . 
d) 36 3r . 
e) 38 3r . 
 
16. (Udesc) Algumas caixas de pizza para entrega 
têm o formato de um prisma regular de base hexa-
gonal. Considere uma caixa destas com altura de 4 
cm e, com base, um polígono de perímetro 72 cm. 
Se a pizza tem o formato de um cilindro circular, 
então o volume máximo de pizza que pode vir nesta 
caixa é: 
a) 3216 3 cm 
b) 3576 cmπ 
c) 3864 3 cm 
d) 3108 cmπ 
e) 3432 cmπ 
 
17. (Ucs) A embalagem de um minipanetone tem a 
forma de um tronco de pirâmide quadrangular re-
gular (Veja a figura abaixo.). A aresta da base 
maior, a aresta da base menor e a aresta lateral, 
medidas externamente, têm, respectivamente, 
10 cm, 8 cm e 10 cm. 
Desconsiderando dobras e sobreposições, foram 
necessários, aproximadamente, 2________ cm de 
material para confeccionar a embalagem. E, consi-
derando, para efeitos de cálculo, que o panetone 
tenha forma de cilindro, o raio máximo que a base 
desse panetone pode ter, sem levar em conta a es-
pessura do material da embalagem, é de 
________ cm. 
 
 
 
Assinale a alternativa que completa, correta e res-
pectivamente, as lacunas acima. 
Dado: ( )
2
3,32 11,0224= 
a) 459,84 e 5 
b) 459,84 e 4 
c) 522,56 e 4 
d) 522,56 e 5 
e) 520,40 e 5 
 
 
18. (Uepb) Um cilindro reto está inscrito em um 
cubo de aresta b cm. A relação entre o volume do 
cubo e o volume do cilindro 
a) 2π 
b) 
4
π
 
c) π 
d) 
4
π
 
e) 
1
2π
 
 
19. (Uespi) A ilustração a seguir é a planificação de 
um sólido: B, C e G são quadrados com lado me-
dindo 3 cm; A, D e F são triângulos retângulos isós-
celes com catetos medindo 3 cm, e E é um triângulo 
equilátero com lado medindo 3 2 cm. 
 
 
 
Qual o volume do sólido? 
a) 22,5 cm3 
b) 22,4 cm3 
c) 22,3 cm3 
d) 22,2 cm3 
e) 22,1 cm3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
Sabendo que a medida do diâmetro da esfera é 
igual à medida da diagonal do cubo, temos 
2R 3 3 dm.= 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
 
 
O poliedro considerado é um octaedro regular, seu 
volume seráa soma dos volumes de duas pirâmi-
des, representadas na figura acima. 
2
b
1 1 1 1 1
V 2 A h 2
3 3 2 2 6
=    =    = 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
 
 
Admitindo x a medida do lado do octaedro da fi-
gura podemos escrever que: 
2 2
2
2
2
a a
x
2 2
2 a
x
4
a 2
x
2
   
= +   
   

=

=
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Sabendo que a área lateral de um cilindro equilá-
tero de raio r é dada por 24 r ,π temos 
 
2
4 r 16 r 2cm.=  =π π 
 
Portanto, sendo o raio da esfera inscrita igual ao 
raio do cilindro, podemos concluir que o volume da 
esfera é 
 
3 3 34 4 32
r 2 cm .
3 3 3
 =  =
π π π
 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Desde que a superfície total de 2S é igual a 
2
4 (4 5 4) 16 ( 5 1)cmπ π  + = + e o volume de 3S é 
2 3
(2 2 ) 16 sen 30 64 cm ,π π    = temos 
64 4 5 1
( 5 1)cm.
16 ( 5 1) 5 1 5 1
π
π
−
=  = −
+ + −
 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
O cilindro está inscrito no cubo, portanto: 
I. cubo c il c ilL h 2R= = 
 
II. O volume do cilindro é dado por: 
2 2 3
cil cil cilV R h V R (2R) 54 2 R R 3π π π π=  =   =  = 
 
III. Volume do cubo 
3 3 3
cubo cubo cuboV L V 6 V 216 m=  =  = 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Sejam r e R, respectivamente, o raio da esfera e o 
raio do cilindro. 
 
Sabendo que a relação entre o raio da esfera cir-
cunscrita ao cilindro equilátero e o raio do cilindro é 
r R 2,= temos 
 
 
 
3
3
3
3
4
r
2 r 2 4 23 ( 2 ) .
3 R 3 32 R
π
π
 
= = = 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Seja d o diâmetro da bola. Para colocar a bola den-
tro da caixa, é necessário que a aresta interna te-
nha comprimento, no mínimo, igual ao diâmetro da 
bola. 
 
Desse modo, temos 
66
d 66 d cm .π
π
 =  = 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Seja a medida da aresta do cubo, em metros. 
Logo, se o volume do cone é igual a 
2
3
π
 metros 
cúbicos, então 
2
2
2 m.
3 2 3
π π 
  =  = 
 
 
 
A área total do cubo é 2 26 2 24 m . = 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Se o cupcake fosse um prisma, suas medidas se-
riam 4 cm 7 cm 9 cm.  Assim, a menor medida de 
caixa (que mais se aproxima das medidas do cu-
pcake) que pode armazenar o doce, de forma a não 
o deformar e com menor desperdício de espaço é 
a embalagem IV. 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
O diâmetro do dado corresponde à diagonal da 
base de uma das pirâmides quadrangulares que 
constituem o octaedro. Logo, se D é o diâmetro do 
dado e é a medida da aresta do octaedro, temos 
 
4
D 2 2 2 cm.
2
=  =  = 
 
Em consequência, a resposta é 12 24 2 cm.= 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sabendo que a área da superfície esférica é igual 
à área do círculo de centro T e raio TQ, vem 
 
2 2 22
4 AP TQ 4 3 TQ
TQ 6 dm.
π π  =    =
 =
 
Logo, como FQ é tangente à esfera no ponto P, 
segue que TQ PQ.= 
 
Da semelhança dos triângulos FTQ e FPA, obte-
mos 
 
FP PA FP 3
6FT TQ FT
1
FP FT.
2
=  =
 = 
 
 
Finalmente, aplicando o Teorema de Pitágoras no 
triângulo FPA, encontramos 
 
2
2 2 2 22
2 22 2
2
1
FA PA FP (FT AT) PA FT
2
1
FT 6 FT 3 3 FT
4
1
FT 2 FT 0
4
FT 8 dm .
 
= +  − = +  
 
 −  + = + 
  −  =
 =
 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Seja a medida da aresta do cubo. Logo, seu vo-
lume é igual a 3 . Por outro lado, o volume do te-
traedro descrito é dado por 
3
1
.
3 2 6

  = Portanto, 
a razão pedida é igual a 
1
.
6
 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
 
 
Como qualquer uma das faces do tetraedro VABC 
é um triângulo equilátero de lado 2 2, segue que a 
área pedida é dada por 
 
2
(2 2 ) 3
2 3 u.a.
4

= 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Considere a vista superior da secção transversal do 
prisma, que contém o diâmetro da esfera. 
 
 
 
Se O é o centro da esfera, então OM r.= Daí, sa-
bendo que AOM 60 ,=  vem 
 
MA
tg AOM MA r 3.
OM
=  = 
 
Como o globo tangencia todas as faces do prisma, 
segue que a sua altura é igual ao diâmetro da es-
fera e, portanto, seu volume é dado por 
 
2
2 3(2 MA ) 3
2OM 3r 3 2r 6 3r .
4
 
 =   = 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Como o perímetro da base do prisma é igual a 72 
cm, segue que a aresta da base desse prisma 
mede 
72
12 cm .
6
= = Portanto, sabendo que o raio 
do cilindro é igual 
3 12 3
6 3 cm
2 2
= = e a altura 
da caixa é 4 cm, temos que o volume máximo de 
pizza que pode vir na caixa é 
2 3
(6 3 ) 4 432 cm .π π  = 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Sabendo que AB 8 cm= e CD 10cm,= temos que 
10 8
DQ 1cm.
2
−
= = 
Como AD 10cm,= do triângulo retângulo AQD vem 
 
2 2 2 2 2 2
AQ AD DQ AQ 10 1
AQ 3 11cm.
= −  = −
 =
 
 
Portanto, a área total da embalagem é dada por 
 
2 2 2 2
2
AB CD 10 8
AB CD 4 AQ 10 8 4 3 11
2 2
164 108 3,32
522,56 cm .
+ +
+ +   = + +  
 + 
=
 
 
O raio máximo que a base do panetone pode ter é 
igual ao raio do círculo inscrito na base menor da 
embalagem, ou seja, 
 
AB 8
OM 4 cm.
2 2
= = = 
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
A razão entre o volume do cubo e volume do cilin-
dro é dada por 
 
3
2
b 4
.
b
b
2
π
π
=
 
  
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
 
 
O volume pedido é a diferença entre o volume do 
cubo e o volume da pirâmide PQRS, ou seja, 
 
 
2
3
3
1 (3 2 ) 3 9
3 3 27
3 4 2
22,5 cm .

−   = −
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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