Problemas geometricos

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Aula 08
Raciocínio Lógico p/ Agente da Polícia Federal (com videoaulas)
Professor: Marcos Piñon
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AULA 08: Problemas Geométricos 
 
 
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SUMÁRIO PÁGINA 
1. Resolução das questões da Aula 07 1 
2. Geometria Plana 33 
3. Geometria Espacial 50 
4. Exercícios Comentados nesta aula 65 
5. Exercícios Propostos 67 
6. Gabarito 71 
 
 
1 - Resolução das questões da Aula 07 
 
(Texto para as questões de 396 a 398) Uma equipe de 10 profissionais, 
composta por 2 juízes, 4 promotores e 4 defensores públicos, atuou durante 
4 dias em julgamentos de processos em determinado tribunal. A cada dia 
atuaram 1 juiz, 1 promotor e 1 defensor público. Na escala de trabalho, conta 
que Gerson, Marta e Julia atuaram na segunda-feira; Luiz, Paula e Carlos 
atuaram na terça-feira; Bianca e Adalberto atuaram na quarta-feira; Luiz e 
Diogo atuaram na quinta-feira. 
 
Nessa situação, sabendo que Edna é defensora pública e atuou na quarta ou 
na quinta-feira, que a juíza Marta atuou em 2 dias, que Gerson e Bianca são 
promotores e que 3 promotores são do sexo masculino, julgue os itens 
seguintes: 
 
396 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Diogo e Carlos são promotores. 
 
Solução: 
 
Vamos começar organizando as informações: 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Sabe-se ainda que: 
 
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- Edna é defensora pública 
- Edna atuou na quarta ou na quinta-feira 
- Marta é juíza 
- Marta atuou em 2 dias 
- Gerson é promotor 
- Bianca é promotora 
- 3 promotores são do sexo masculino 
 
Para facilitar a explicação, os juízes serão marcados pela cor vermelha, os 
promotores pela cor azul e os defensores pela cor verde. Assim: 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Olhando para a segunda-feira, podemos concluir que Júlia é defensora, pois já 
temos um promotor e uma juíza atuando nesse dia. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Podemos perceber, também, que Luiz está atuando em dois dias (terça e quinta-
feira), o que nos leva a concluir que ele é Juiz, já que temos apenas dois juízes 
para atuar nos quatro dias e Marta atua em apenas 2 dias. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca e Adalberto 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Agora, podemos concluir que Marta atua na quarta-feira, já que temos Luiz (que é 
juiz) atuando na terça e na quinta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
Podemos concluir, agora, que Adalberto é defensor, pois já temos uma promotora 
e uma juíza atuando na quarta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz e Diogo 
 
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Sabemos, também, que Edna é defensora e que ela atuou na quarta ou na quinta-
feira. Como na quarta nós já temos 3 pessoas atuando, podemos concluir que 
Edna atuou na quinta-feira. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
 
Como na quinta-feira nós já temos um juiz e uma defensora, podemos concluir que 
Diogo é promotor. 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
 
Por fim, falta sabermos as profissões de Paula e Carlos. Já sabemos quem são os 
dois juízes (Marta e Luiz), três promotores (Bianca, Gerson e Diogo) e três 
defensores (Adalberto, Julia e Edna). Portanto, faltam um promotor e um defensor. 
Sabendo que 3 promotores são do sexo masculino, podemos concluir que Carlos 
é o promotor e que Paula é a defensora que faltam. Assim: 
 
Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia 
Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos 
Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta 
Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna 
 
Portanto, concluímos que o item está correto. 
 
 
397 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Os 2 juízes são do sexo feminino. 
 
Solução: 
 
Vimos na resolução da questão anterior que os dois juízes são Marta e Luiz. 
Portanto, apenas um dos juízes é do sexo feminino. Item errado. 
 
 
398 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Adalberto e Paula são defensores públicos. 
 
Solução: 
 
Novamente, utilizando as informações obtidas anteriormente, vimos que Paula e 
Adalberto são defensores públicos. Item correto. 
 
 
(Texto para as questões de 399 a 401) As atividades de manutenção, 
operação e instalação na área de informática de um escritório são 
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desenvolvidas por Edson, Humberto e Danilo; cada um é responsável por 
uma única atividade. Os seus salários são: R$ 2.300,00, R$ 2.400,00 e 
R$ 2.500,00. Sabe-se que o responsável pela instalação de sistemas, que é 
irmão de Danilo, não tem o maior salário; Edson é o operador de sistemas; o 
responsável pela manutenção tem o menor salário. 
 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes. 
 
399 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Danilo é o operado de sistemas. 
 
Solução: 
 
Para facilitar a resolução dessa questão, vamos montar a seguinte tabela: 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson 
Humberto 
Danilo 
 
Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabela: 
 
 
Edson é o operador de sistemas. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não 
Danilo Não 
 
 
O responsável pela instalação de sistemas é irmão de Danilo. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não 
Danilo Não Não 
 
Com isso, podemos concluir que Danilo é o responsável pela Manutenção e que 
Humberto é o responsável pela instalação. 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não 
Humberto Não Não Sim 
Danilo Sim Não Não 
 
 
O responsável pela manutenção tem o menor salário. 
 
 
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 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não Não 
Humberto Não Não Sim Não 
Danilo Sim Não Não Sim Não Não 
 
 
O responsável pela instalação de sistemas não tem o maior salário 
 
 
 Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 
Edson Não Sim Não Não Não Sim 
Humberto Não Não Sim Não Sim Não 
Danilo Sim Não Não Sim Não Não 
 
Com isso, podemos concluir que Danilo não é o operador de sistemas. Item 
errado. 
 
 
400 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) O salário do instalador de sistemas é igual a 
R$ 2.400,00. 
 
Solução: 
 
A partir das informações da questão anterior, podemos concluir que o salário do 
instalador de sistemas (que é Humberto) é igual a R$ 2.400,00. Item correto. 
 
 
401 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Edson tem o maior salário. 
 
Solução: 
 
Mais uma vez, a partir do que vimos anteriormente, Edson tem o maior salário. 
Item correto. 
 
 
(Texto para as questões 402 e 403) Um banner da Corregedoria Regional 
Eleitoral do Espírito Santo, parcialmente reproduzido abaixo, alerta a 
população acerca de possíveis irregularidades no processo de alistamento e 
cadastro de eleitores. 
 
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De acordo com o panfleto apresentado, João, José, Pedro, Marta e Lurdes 
tenham cometido crimes, cada um por motivo diferente do outro. Sabe-se 
que: 
 
- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta; 
 
- as mulheres não omitiram declaração em documento; 
 
- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo 
oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta; 
 
- Pedro ou Marta deram declaração falsa; 
 
- José e João se alistaram de forma não fraudulenta. 
 
Considerando o banner e as informações hipotéticas apresentadas acima, 
julgue os itens seguintes. 
 
402 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A pessoa responsável pelo aliciamento é do 
sexo feminino. 
 
Solução: 
 
Para resolver esta questão, vamos preencher a seguinte tabelinha: 
 
 
 
 
 
 
 
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Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João 
José 
Pedro 
Marta 
Lurdes 
 
Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabelinha: 
 
- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta; 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não 
José Não 
Pedro Não 
Marta 
Lurdes 
 
- as mulheres não omitiram declaração em documento; 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não 
José Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não 
 
- José e João se alistaram de forma não fraudulenta. 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não 
José Não Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não 
 
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- Pedro ou Marta deram declaração falsa; 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não 
Marta Não 
Lurdes Não Não 
 
Podemos perceber que só restou a José e a João terem aliciado e induzido outra 
pessoa a alistar-se de forma fraudulenta ou omitido declaração em documento, 
pois eles não se alistaram, não transferiram domicilio nem deram declaração falsa. 
Assim: 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não 
Marta Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
 
- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo 
oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta; 
 
Como quem aliciou e induziu foi um homem (José ou João), podemos concluir que 
quem alistou-se de forma fraudulenta foi uma mulher. Assim: 
 
 
Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não Não 
Marta Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
O que nos leva a concluir que Pedro deu a declaração falsa: 
 
 
 
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Alistar-se de 
forma 
fraudulenta 
Transferir 
domicílio 
de forma 
fraudulenta 
Aliciar / Induzir 
eleitor a alistar-
se de forma 
fraudulenta 
Dar 
declaração 
falsa 
Omitir 
declaração em 
documento 
João Não Não Não 
José Não Não Não 
Pedro Não Não Não Sim Não 
Marta Não Não Não 
Lurdes Não Não Não 
 
Portanto, a pessoa responsável pelo aliciamento é do sexo masculino (José ou 
João). Item errado. 
 
 
403 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Pedro deu declaração falsa. 
 
Solução: 
 
Vimos na questão anterior que foi Pedro quem deu a declaração falsa. Item 
correto. 
 
 
(Texto para as questões 404 a 406) O Flamengo, o Corinthians e o Cruzeiro 
foram convidados para jogos amistosos de futebol contra times europeus. 
Os jogos serão realizados em Lisboa, em Roma e em Paris, nos dias 22, 23 e 
24 de agosto. Além disso, sabe-se que: 
 
 cada clube jogará apenas uma vez; 
 somente um jogo acontecerá em cada dia; 
 em cada cidade ocorrerá apenas um jogo; 
 o Flamengo jogará em Roma; 
 o Cruzeiro jogará no dia 24; 
 o jogo do dia 23 será em Lisboa. 
 
Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
 
404 - (ANS - 2013 / CESPE) O Flamengo jogará no dia 22. 
 
Solução: 
 
Bom, temos a informação que cada clube jogará apenas uma vez, somente um 
jogo acontecerá em cada dia e que em cada cidade ocorrerá apenas um jogo. 
Assim, a melhor forma de resolver essa questão é montando uma tabelinha. 
Vejamos: 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo 
Corinthians 
Cruzeiro 
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Agora, vamos preencher a tabela com base nas informações da questão: 
 
o Flamengo jogaráem Roma; 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não 
Corinthians Não 
Cruzeiro Não 
 
o Cruzeiro jogará no dia 24; 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Não 
Corinthians Não Não 
Cruzeiro Não Não Não Sim 
 
o jogo do dia 23 será em Lisboa. 
 
Com essa informação, podemos concluir que o cruzeiro não jogará em Lisboa, já 
que seu jogo é dia 24. Podemos concluir também, que o Flamengo não jogará dia 
23, pois seu jogo será em Roma: 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Não Não 
Corinthians Não Não 
Cruzeiro Não Não Não Não Sim 
 
Concluímos, então, que o Cruzeiro jogará em Paris e que o Flamengo jogará dia 
22: 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Sim Não Não 
Corinthians Não Não Não Não 
Cruzeiro Não Não Sim Não Não Sim 
 
 
Por fim, concluímos que o Corinthians jogará dia 23 em Lisboa: 
 
 Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 
Flamengo Não Sim Não Sim Não Não 
Corinthians Sim Não Não Não Sim Não 
Cruzeiro Não Não Sim Não Não Sim 
 
 
Portanto, o item está correto, já que o Flamengo jogará dia 22. 
 
 
405 - (ANS - 2013 / CESPE) O jogo em Paris ocorrerá no dia 24. 
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Solução: 
 
Com base nas informações obtidas na questão anterior, concluímos que este item 
está correto, já que o Cruzeiro jogará dia 24 em Paris. 
 
 
406 - (ANS - 2013 / CESPE) O Corinthians jogará em Paris 
 
Solução: 
 
Com base nas informações obtidas anteriormente, concluímos que este item está 
errado, já que o Corinthians jogará no dia 23 em Lisboa. 
 
 
(Texto para as questões 407 a 409) Paulo, Tiago e João, auditores do 
trabalho, nasceram, um deles em Brasília, o outro, em Goiânia e o terceiro, 
em Curitiba. Suas idades são 25, 27 e 28 anos. Sabe-se que João não nasceu 
em Brasília e não tem 25 anos; que o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 
anos; que Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos; e que Tiago 
nasceu na região Centro-Oeste. 
 
Com base nessas informações, julgue os seguintes itens. 
 
407 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor brasiliense tem 27 anos. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, vamos começar desenhando a tabelinha para organizar as 
informações: 
 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo 
Tiago 
João 
 
Agora, vamos preencher a tabela com as informações da questão: 
 
 
João não nasceu em Brasília e não tem 25 anos 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo 
Tiago 
João Não Não 
 
 
Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos 
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 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago 
João Não Não 
 
Aqui podemos concluir que Tiago tem 25 anos, pois nem João nem Paulo 
possuem esta idade: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Sim Não Não 
João Não Não 
 
 
Tiago nasceu na região Centro-Oeste 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não 
 
Aqui podemos concluir que João nasceu em Curitiba, pois nem Paulo nem Tiago 
nasceram nesta cidade: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não 
 
 
o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 anos 
 
Bom, como João nasceu em Curitiba, ele não possui 28 anos: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não Não 
 
Assim, concluímos que João possui 27 anos: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Não Não 
Tiago Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não Sim Não 
 
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Podemos concluir também que Paulo possui 28 anos e, com isso, concluir que ele 
nasceu em Goiânia, sobrando para Tiago nascer em Brasília: 
 
 Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos 
Paulo Não Sim Não Não Não Sim 
Tiago Sim Não Não Sim Não Não 
João Não Não Sim Não Sim Não 
 
 
Como Tiago é o auditor brasiliense e possui 25 anos, concluímos que o item está 
errado. 
 
 
408 - (AFT - 2013 / CESPE) Paulo nasceu em Goiânia. 
 
Solução: 
 
Utilizando as informações da questão anterior, concluímos que Paulo nasceu em 
Goiânia. Item correto. 
 
 
409 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor que nasceu em Curitiba tem 25 anos. 
 
Solução: 
 
Vimos que João nasceu em Curitiba e possui 27 anos. Item errado. 
 
 
(Texto para a questão 410) José, Luís e Mário são funcionários públicos nas 
funções de auditor, analista e técnico, não necessariamente nessa ordem. 
Sabe-se que José não é analista, que o técnico será o primeiro dos três a se 
aposentar e que o analista se aposentará antes de Mário. Todo ano os três 
tiram um mês de férias e, no ano passado, no mesmo mês que José saiu de 
férias, ou Luís ou Mário também saiu. Com base nessas informações, julgue 
o item que se segue. 
 
410 - (TCDF - 2013 / CESPE) Mário é analista, José é técnico e Luís, auditor. 
 
Solução: 
 
Vamos começar montando a seguinte tabelinha: 
 
 auditor analista técnico 
José 
Luís 
Mário 
 
Agora, vamos preencher a tabela com as informações da questão: 
 
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José não é analista 
 
 auditor analista técnico 
José Não 
Luís 
Mário 
 
O analista se aposentará antes de Mário 
 
Com essa informação, podemos concluir que Mário não é analista. 
 
 auditor analista técnico 
José Não 
Luís 
Mário Não 
 
Logo, podemos concluir que Luís é o analista 
 
 auditor analista técnico 
José Não 
Luís Não Sim Não 
Mário Não 
 
O técnico será o primeiro dos três a se aposentar e que o analista se 
aposentará antes de Mário 
 
Ou seja, o técnico será o 1º a se aposentar, o analista será o 2º e Mário será o 3º, 
onde podemos concluir que Mário é o auditor, restando a José ser o técnico. 
 
 auditor analista técnico 
José Não Não Sim 
Luís Não Sim Não 
Mário Sim Não Não 
 
Como foi dito que Mário é analista, José é técnico e Luís, auditor, concluímos que 
o item está errado. 
 
 
411 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Maria telefonou para determinada escola 
agendando um horário para matricular as crianças João, Marcos e José. Uma 
dessas crianças é filho de Maria, outra é filho de Ester e a terceira criança é 
filho de Marta. Ao anotar essas informações, o servidor da escola confundiu 
os nomes das mães e dos filhos, mas, das informações anotadas, ele pôde 
concluir que Marta e Ester são irmãs, que José não é filho de Marta e que 
João não é sobrinho de nenhuma das três mães. Em face dessa situação, é 
correto afirmar que as mães de João, Marcos e José são, respectivamente, 
 
A) Ester, Marta e Maria. 
B) Marta, Ester e Maria. 
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C) Marta, Maria e Ester. 
D) Maria, Marta e Ester. 
E) Maria, Ester e Marta. 
 
Solução: 
 
Mais uma vez, começamos montando a tabelinha: 
 
 Maria Ester Marta 
João 
Marcos 
José 
 
Agora, com as informações da questão, vamos preencher a tabela: 
 
José não é filho de Marta 
 
 Maria Ester Marta 
João 
Marcos 
José Não 
 
 
Marta e Ester são irmãs, ... e que João não é sobrinho de nenhuma das três 
mães 
 
Aqui podemos concluir que João é filho de Maria, pois se ele fosse filho de Ester 
ou de Marta ele seria sobrinho de alguma delas. 
 
 Maria Ester Marta 
João Sim Não Não 
Marcos Não 
José Não Não 
 
Por fim, podemos concluir que Marcos é filho de Marta e José é filho de Ester: 
 
 Maria Ester Marta 
João Sim Não Não 
Marcos Não Não Sim 
José Não Sim Não 
 
Resposta letra D. 
 
 
412 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Considere que, em uma prova de língua 
inglesa, as notas de cinco alunos sejam N1, N2, N3, N4 e N5, Considere, 
ainda, que N1 seja inferior a N4, que N2 seja inferior a N5, que N3 não seja 
superior a N4 nem inferior a N2 e que N4 não ultrapasse N2. Em face dessa 
situação, é correto afirmar que 
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A) N1 < N2 = N3 = N4 < N5. 
B) N1 = N2 < N3 < N4 = N5. 
C) N1 < N2 < N3 < N4 < N5. 
D) N1 < N2 = N3 < N4 < N5. 
E) N1 < N2 < N3 = N4 = N5. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos: 
 
N1 seja inferior a N4 
 
N1 < N4 (afirmação 1) 
 
N2 seja inferior a N5 
 
N2 < N5 (afirmação 2) 
 
N3 não seja superior a N4 nem inferior a N2 
 
N2  N3  N4 (afirmação 3) 
 
N4 não ultrapasse N2 
 
N4  N2 (afirmação 4) 
 
Agora, devemos perceber que para as afirmações 3 e 4 serem verdadeiras ao 
mesmo tempo, é necessário que N2 seja igual a N4. Com isso, concluímos 
também que N3 é igual a N2 e a N4. Assim, temos: 
 
N1 < N2 = N3 = N4 < N5 
 
Resposta letra A. 
 
 
413 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Um professor, desconfiado que seus 
alunos — A, B e C — colaram em uma prova, indagou cada um deles e 
recebeu as seguintes respostas. 
 
A disse: “Quem colou foi B.” 
B disse: “Quem colou foi C.” 
C disse: “A está mentindo.” 
 
Posteriormente, os fatos mostraram que A não colou, que apenas um deles 
mentiu e que apenas um deles colou na prova. Considerando-se essa 
situação, é correto afirmar que 
 
A) A mentiu, B disse a verdade e não colou, C disse a verdade e colou. 
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B) A disse a verdade, B disse a verdade e não colou, C mentiu e colou. 
C) A disse a verdade, B disse a verdade e colou, C mentiu e não colou. 
D) A disse a verdade, B mentiu e colou, C disse a verdade e não colou. 
E) A mentiu, B disse a verdade e colou, C disse a verdade e não colou. 
 
Solução: 
 
Bom, temos a informação de que apenas um dos alunos mentiu, ou seja, dois 
alunos falaram a verdade. Podemos perceber que A e B não podem falar a 
verdade ao mesmo tempo, pois fazem afirmações contraditórias, já que apenas 
um aluno colou na prova. Assim, podemos concluir que C fala a verdade e que A 
mentiu. Com isso, podemos concluir também que B falou a verdade e que foi C 
que colou. 
 
Resposta letra A. 
 
 
(Texto para a questão 414) Considere que a empresa X tenha disponibilizado 
um aparelho celular a um empregado que viajou em missão de 30 dias 
corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de 
R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido 
limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará 
com as despesas, julgue o item a seguir. 
 
414 - (PC-DF - 2013 / CESPE) Considere que, em uma nova missão, o preço 
das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma cidade ou 
cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a 
ligação tenha sido feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram 
quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor de cada uma: 
 
 celular fixo rádio 
mesma cidade 6 3 1 
cidade distinta 7 1 3 
Tabela I: número de ligações realizadas por tipo de telefone 
 
 mesma cidade cidade distinta 
celular 0,20 0,50 
fixo 0,15 0,30 
rádio 0,20 0,20 
Tabela II: preço de cada ligação, em reais 
 
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Nessas condições, se A = 





317
136
 for a matriz formada pelos dados da 
tabela I, e B = 










20,020,0
30,015,0
50,020,0
 for a matriz formada pelos dados da tabela II, 
então a soma de todas as entradas da matriz A × B será igual ao valor total 
das ligações efetuadas. 
 
Solução: 
 
A primeira coisa que devemos entender é qual será o valor total das ligações 
efetuadas. Assim, temos: 
 
Para a mesma cidade, foram feitas 6 ligações para celular, 3 ligações para fixo e 1 
ligação para rádio, ou seja, o valor total foi: 
 
6  0,20 + 3  0,15 + 1  0,20 = 1,2 + 0,45 + 0,2 = R$ 1,85 
 
Para uma cidade distinta, foram feitas 7 ligações para celular, 1 ligação para fixo e 
3 ligações para rádio, ou seja, o valor total foi: 
 
7  0,50 + 1  0,30 + 3  0,20 = 3,5 + 0,3 + 0,6 = R$ 4,40 
 
Portanto, o custo total foi de 1,85 + 4,4 = R$ 6,25 
 
Agora, devemos comparar se este valor é igual ao valor da soma dos elementos 
da matriz resultante da multiplicação entre as matrizes A e B acima. Vejamos: 
 
A  B = 
 






317
136
  










20,020,0
30,015,0
50,020,0
 = 
 








20,0330,0150,0720,0315,0120,07
20,0130,0350,0620,0115,0320,06
 = 
 








6,03,05,36,015,04,1
2,09,032,045,02,1
 = 
 






4,415,2
1,485,1
 = 
 
Assim, a soma de todos os elementos dessa matriz fica: 
 
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1,85 + 4,1 + 2,15 + 4,4 = R$ 12,50 
 
Portanto, a soma de todas as entradas da matriz A × B NÃO será igual ao valor 
total das ligações efetuadas. Item errado. 
 
 
415 - (TRE/MT - 2010 / CESPE) Um método conhecido para se codificar 
palavras é associar a cada letra do alfabeto um número real; para as palavras 
com k letras, escolhe-se uma matriz k × k, denominada matriz de codificação, 
de forma que, para cada palavra com k letras, determina-se o vetor k × 1 
formado pelos números associados às letras da palavra, e associa-se a 
palavra ao vetor resultante do produto da matriz de codificação pelo vetor 
associado às letras da palavra. Considere a codificação em que k = 3, a 
matriz de codificação seja A = 










 123
010
201
 e as 26 letras do alfabeto sejam 
associadas da forma: 
 
A = 1; B = 2; C = 3; ... ; Y = 25; e Z = 26. Por exemplo, considerando a palavra 
RUA, que é associada ao vetor  = 










1
21
18
, seu código será o vetor A. = 










13
21
20
. 
 
Nessa situação, considere que  seja o vetor associado a determinada 
palavra de 3 letras e que  = A. seja o seu código. Nessas condições, a 
matriz que permite decodificar o vetor , isto é, a matriz B tal que B. =  é 
igual a 
 
A) 
5
1
  












123050
241
 
B) 














 1
2
1
3
1
010
2
1
01
 
C) 













123
010
201
 
D) 











102
210
301
 
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E) 5  












123
010
241
 
 
Solução: 
 
Nessa questão, temos que  = A. e queremos encontrar a matriz B, tal que 
B. = . Podemos perceber o seguinte: 
 
 = A. 
 
A
ょ
 =  
 
A–1. =  
 
Assim, podemos concluir que B = A–1, ou seja, B é a matriz inversa de A: 
 
A = 










 123
010
201
 
 
A  A–1 = I 
 
Vamos definir A–1 como sendo a seguinte matriz: 
 
A–1 = 










ihg
fed
cba
 
 
Assim, temos: 
 










 123
010
201
  










ihg
fed
cba
 = 










100
010
001
 
 












if.2c.3he.2b.3gd.2a.3
fed
i.2ch.2bg.2a
= 










100
010
001
 
 
Aqui já podemos concluir que d = 0, e = 1 e f = 0: 
 
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











ic.3h2b.3ga.3
010
i.2ch.2bg.2a
= 










100
010
001
 
 
Agora, temos os seguintes sistemas de equação: 
 
a + 2.g = 1 
3.a + g = 0 
 
 
b + 2.h = 0 
3.b + h – 2 = 0 
 
 
c + 2.i = 0 
3.c + i = 1 
 
Resolvendo o 1º sistema, temos: 
 
a + 2.g = 1 
3.a + g = 0 
 
a = 1 – 2.g 
3.a + g = 0 
 
Substituindo o valor de a da 1ª equação na 2ª temos: 
 
3.a + g = 0 
 
3.(1 – 2.g) + g = 0 
 
3 – 6.g + g = 0 
 
3 – 5.g = 0 
 
5.g = 3 
 
g = 
5
3
 
 
Voltando com o valor de g para encontrar a, temos: 
 
a = 1 – 2.g 
 
a = 1 – 2.(
5
3
) 
 
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a = 1 – 
5
6
 
 
a = –
5
1
 
 
Resolvendo o 2º sistema, temos: 
 
b + 2.h = 0 
3.b + h – 2 = 0 
 
 
b = –2.h 
3.b + h – 2 = 0 
 
Substituindo o valor de b da 1ª equação na 2ª temos: 
 
3.b + h – 2 = 0 
 
3.(–2.h) + h – 2 = 0 
 
–6.h + h – 2 = 0 
 
–5.h – 2 = 0 
 
5.h = –2 
 
h = –
5
2
 
 
Voltando com o valor de h para encontrar b, temos: 
 
b = –2.h 
 
b = –2.( –
5
2
) 
 
b = 
5
4
 
 
Resolvendo o 3º sistema, temos: 
 
c + 2.i = 0 
3.c + i = 1 
 
c = –2.i 
3.c + i = 1 
 
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Substituindo o valor de c da 1ª equação na 2ª temos: 
 
3.c + i = 1 
 
3.(–2.i) + i = 1 
 
–6.i + i = 1 
 
–5.i = 1 
 
i = –
5
1
 
 
Voltando com o valor de i para encontrar c, temos: 
 
c = –2.i 
 
c = –2.(–
5
1
) 
 
c = 
5
2
 
 
Assim, temos: 
 
B = A–1 = 










ihg
fed
cba
 = 
















5
1
5
2
5
3
010
5
2
5
4
5
1
 
 
Olhando as alternativas, não temos nenhuma aparentemente igual ao que 
encontramos. Porém, podemos perceber que a letra “A” pode ser igual ao que 
acabamos de encontrar. Vejamos: 
 
5
1
  












123
050
241
 = 
















5
1
5
2
5
3
010
5
2
5
4
5
1
 
 
Resposta letra A. 
 
 
(Texto para as questões 416 a 419) Nos jardins X, Y e Z foram semeadas, 
respectivamente, as quantidades x, y e z de sementes de determinado tipo 
de flor. Essas sementes germinaram, deram origem a novas plantas e não foi 
feita nenhuma nova semeadura. Considerando as matrizes 
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A = 










201
001
011
 B = 










z
y
x
 Bk = 










k
k
k
z
y
x
, em que k = 1, 2, ..., Bk = A
k × B, Ak é a k-
ésima potência de A, xk, yk, zk representam as quantidades de plantas dessa 
espécie nos jardins X, Y e Z, respectivamente, k anos depois da semeadura. 
 
 
416 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Considere que foram semeadas nos jardins 
X, Y e Z, respectivamente, 1, 3 e 2 sementes da planta. Assim sendo, assinale 
a opção correspondente às quantidades de plantas que havia nos jardins X, 
Y e Z, respectivamente, 2 anos após a semeadura. 
 
A) 2, 3 e 10 
B) 3, 6 e 17 
C) 4, 1 e 9 
D) 5, 4 e 14 
E) 16, 1 e 25 
 
Solução: 
 
Temos a informação de que foram semeadas 1, 3 e 2 sementes da planta nos 
jardins X, Y e Z, respectivamente, ou seja, B = 










2
3
1
. Queremos encontrar as 
quantidades de plantas dos jardins X, Y e Z, 2 anos após a semeadura, ou seja, 
precisamos encontrar B2: 
 
Bk = A
k × B 
 
B2 = A
2 × B 
 
B2 = 










201
001
011
  










201
001
011
  










2
3
1
 
 
B2 = 













400001201
000001001
000001011
  










2
3
1
 
 
B2 = 










413
011
012
  










2
3
1
 
 
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B2 = 













833
031
032
 
 
B2 = 










14
4
5
 
 
Resposta letra D. 
 
 
417 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) O determinante de A4 é igual a 
 
A) –16. 
B) 0. 
C) 16. 
D) 20. 
E) 81. 
 
Solução: 
 
Olha que interessante. Sabemos a seguinte propriedade: 
 
O determinante do produto de duas matrizes de mesma ordem é igual à 
multiplicação do determinante da primeira pelo determinante da segunda 
matriz 
 
A matriz A4 é a matriz A  A  A  A, ou seja, basta calcularmos o determinante da 
matriz A, para podermos encontrar o determinante da matriz A4: 
 
A = 










201
001
011
 
 
Det(A) = (102 + 101 + 010) – (100 + 001 + 211) 
 
Det(A) = (0 + 0 + 0) – (0 + 0 + 2) 
 
Det(A) = 0 – 2 = –2 
 
Com isso, podemos encontrar Det(A4): 
 
Det(A4) = Det(A)  Det(A)  Det(A)  Det(A) 
 
Det(A4) = (–2)  (–2)  (–2)  (–2) = 16 
 
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Resposta letra C. 
 
 
418 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Se 2 anos após a semeadura haviam 20, 15 
e 29 pés da planta nos jardins X, Y e Z, respectivamente, então, no jardim Y 
foram semeadas 
 
A) 2 sementes. 
B) 5 sementes. 
C) 7 sementes. 
D) 10 sementes. 
E) 16 sementes. 
 
Solução: 
 
Agora, temos a informação de que 2 anos após a semeadura haviam 20, 15 e 29 
plantas nos jardins X Y e Z respectivamente, ou seja, B2 = 










29
15
20
. Queremos 
encontrar a quantidade de sementes plantadasno jardim Y, representada por “y”. 
Para isso, temos: 
 
Bk = A
k × B 
 
B2 = A
2 × B 
 










29
15
20
 = 










201
001
011
  










201
001
011
  










z
y
x
 
 
Já calculamos A2 anteriormente: 
 










29
15
20
 = 










413
011
012
  










z
y
x
 
 










29
15
20
 = 













z.4yx.3
yx
yx.2
 
 
Assim, temos: 
 
2.x + y = 20 
x + y = 15 
3.x + y + 4.z = 29 
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Resolvendo este sistema, temos: 
 
2.x + y = 20 
x = 15 – y 
3.x + y + 4.z = 29 
 
Substituindo o valor de x da 2ª equação na 1ª equação, temos: 
 
2.x + y = 20 
 
2.(15 – y) + y = 20 
 
30 – 2.y + y = 20 
 
30 – y = 20 
 
y = 30 – 20 
 
y = 10 
 
Resposta letra D. 
 
 
419 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Se a e b são números reais, define-se, a 
partir de a e b, uma sequência de Fibonacci {ak} por: a1 = a, a2 = b, e 
ak = ak – 1 + ak – 2, para k  2. Nesse sentido, é correto afirmar que 
 
A) apenas {xk} é uma sequência de Fibonacci. 
B) apenas {yk} é uma sequência de Fibonacci. 
C) apenas {xk} e {yk} são sequências de Fibonacci. 
D) apenas {xk} e {zk} são sequências de Fibonacci. 
E) {xk}, {yk} e {zk} são sequências de Fibonacci. 
 
Solução: 
 
Nessa questão, devemos encontrar x1, y1 e z1; x2, y2 e z2; x3, y3 e z3; para 
sabermos quais são sequencias de Fibonacci. Para isso, temos: 
 
Bk = A
k × B 
 
 
Calculando x1, y1 e z1: 
 
B1 = A
1 × B 
 
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









1
1
1
z
y
x
 = 










201
001
011
  










z
y
x
 
 










1
1
1
z
y
x
 = 












z.2x
x
yx
 
 
Logo: 
 
x1 = x + y 
y1 = x 
z1 = x + 2.z 
 
 
Calculando x2, y2 e z2: 
 
B2 = A
2 × B 
 










2
2
2
z
y
x
 = 










201
001
011
  










201
001
011
  










z
y
x
 
 










2
2
2
z
y
x
= 










413
011
012
  










z
y
x
 
 










2
2
2
z
y
x
= 













z.4yx.3
yx
yx.2
 
 
Logo: 
 
x2 = 2.x + y 
y2 = x + y 
z2 = 3.x + y + 4.z 
 
 
Calculando x3, y3 e z3: 
 
B3 = A
3 × B 
 
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









3
3
3
z
y
x
 = 










201
001
011
  










201
001
011
  










201
001
011
  










z
y
x
 
 










3
3
3
z
y
x
= 










413
011
012
  










201
001
011
  










z
y
x
 
 










3
3
3
z
y
x
= 













83413
0111
0212
  










z
y
x
 
 










3
3
3
z
y
x
= 










838
012
023
  










z
y
x
 
 










3
3
3
z
y
x
= 













z.8y.3x.8
yx.2
y.2x.3
 
 
Logo: 
 
x3 = 3.x + 2.y 
y3 = 2.x + y 
z3 = 8.x + 3.y + 8.z 
 
 
Bom, aqui já temos informação suficiente para julgar a afirmação. Para uma 
sequência ser considerada de Fibonacci, a3 deve ser igual a soma a1 + a2. Assim, 
começando com {xk}, encontramos o seguinte: 
 
x1 = x + y 
x2 = 2.x + y 
x3 = 3.x + 2.y 
 
Assim, testando a sequência, temos: 
 
x3 = x1 + x2 
 
x3 = x + y + 2.x + y 
 
x3 = 3.x + 2.y 
 
Portanto, concluímos que {xk} é uma sequência de Fibonacci. 
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Testando {yk}, temos: 
 
y1 = x 
y2 = x + y 
y3 = 2.x + y 
 
Assim, temos: 
 
y3 = y1 + y2 
 
y3 = x + x + y 
 
y3 = 2.x + y 
 
Portanto, concluímos que {yk} é uma sequência de Fibonacci. 
 
Testando {zk}, temos: 
 
z1 = x + 2.z 
z2 = 3.x + y + 4.z 
z3 = 8.x + 3.y + 8.z 
 
Assim, temos: 
 
z3 = z1 + z2 
 
z3 = x + 2.z + 3.x + y + 4.z 
 
z3 = 4.x + y + 6.z 
 
Aqui podemos perceber que o valor encontrado para z3 é diferente da soma de 
z1 + z2. Portanto, concluímos que {zk} NÃO é uma sequência de Fibonacci. 
 
Como apenas {xk} e {yk} são sequências de Fibonacci, concluímos que a resposta 
é a letra C. 
 
Resposta letra C. 
 
 
(Texto para as questões 420 a 424) Quatro candidatos a uma vaga de 
emprego em uma agência de detetives deverão passar por um teste de 
raciocínio lógico, que consiste em entrar em uma sala e descobrir em qual 
das duas pastas sobre a mesa, uma vermelha e outra verde, estão seus 
respectivos contratos de trabalho — os quatro contratos estão em uma 
mesma pasta. Cada um deles poderá fazer uma única pergunta a um de seus 
dois possíveis futuros chefes: um responderá sempre com a verdade e o 
outro sempre mentirá. Os candidatos não sabem, todavia, qual dos dois 
chefes falará a verdade e qual mentirá. 
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O candidato 1 perguntou a um dos chefes em qual pasta estava o seu 
contrato; ouviu a resposta e saiu. O candidato 2 fez a mesma pergunta do 
primeiro candidato só que, casualmente, escolheu o outro chefe, ouviu a 
resposta e se retirou. O candidato 3 entrou na sala, pegou uma das pastas 
nas mãos e perguntou a um dos chefes: 
 
— O seu amigo me diria que nesta pasta se encontra o meu contrato? 
 
Ouviu a resposta e saiu. Entrou o último candidato e, com o dedo apontado 
para um dos chefes, perguntou ao outro: 
 
— Em que pasta ele diria que está o meu contrato? 
 
— “Na verde”, foi a resposta que ele obteve. 
 
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir. 
 
420 - (DPU - 2016 / CESPE) Se os candidatos 1 e 2 seguirem fielmente as 
respostas que ouviram, somente um deles terá a chance de ser contratado. 
 
Isso mesmo, pois cada chefe irá indicar uma pasta diferente, e apenas um deles 
irá acertar em qual pasta está o seu contrato. 
 
Item correto. 
 
 
421 - (DPU - 2016 / CESPE) É correto inferir que o chefe que respondeu ao 
candidato 1 falava a verdade e que o outro mentia. 
 
Não há como saber qual dos dois chefes fala a verdade e qual deles mente. O que 
é possível saber é em que pasta estão os contratos, que é na pasta vermelha. 
 
Item errado. 
 
 
422 - (DPU - 2016 / CESPE) A partir das perguntas feitas pelos candidatos 1 e 
2, é impossível que eles tenham certeza de onde estejam os seus contratos. 
 
Essa questão está correta. Como os candidatos não sabem quem mente e quem 
fala a verdade, cada um dos chefes irá apontar uma pasta diferente e eles não 
saberão com certeza qual é a pasta correta.Item correto. 
 
 
423 - (DPU - 2016 / CESPE) A partir das perguntas feitas pelos quatro 
candidatos e das respostas obtidas, é correto afirmar que os contratos estão 
na pasta vermelha. 
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Com as informações do 4º candidato é possível concluir que os contratos estão na 
pasta vermelha, pois se a pergunta tiver sido dirigida ao chefe que fala a verdade, 
ele dirá que seu colega irá mentir e dirá que os contratos estão na pasta verde. E 
se a pergunta tiver sido dirigida ao chefe que mente, ele mentirá e dirá que seu 
colega que fala a verdade apontará a pasta verde. Com isso, é possível concluir 
que os contratos estão na pasta vermelha. 
 
Item correto. 
 
 
424 - (DPU - 2016 / CESPE) Considere que a pasta que o candidato 3 tenha 
segurado quando entrou na sala seja aquela que continha os contratos. 
Nesse caso, a resposta do chefe a quem ele dirigiu a pergunta será “Sim”. 
 
A resposta será “não”, pois se a pergunta tiver sido dirigida ao chefe que fala a 
verdade, ele dirá que seu colega irá mentir e a resposta será não. E se a pergunta 
tiver sido dirigida ao chefe que mente, ele mentirá e dirá que seu colega que fala a 
verdade irá mentir, e a resposta também será “não”. 
 
Item errado. 
 
 
 
 
 
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Vamos tratar hoje dos “Problemas Geométricos”. Antes, vamos relembrar um 
pouco da Geometria Básica. Vamos lá: 
 
2 - Geometria Plana 
 
 
Ponto, reta e plano 
 
O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita 
de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto 
por uma letra maiúscula do alfabeto (A, B, C, P, ...). 
 
Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em 
sequência. É possível perceber que sobre um ponto passa um número infinito de 
retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta, a qual 
passaremos a chamar por uma letra minúscula do alfabeto (s, t, q, r, ...). Além 
disso, chama-se de semirreta aquela que começa em um ponto qualquer de uma 
reta e não tem fim. Já o segmento de reta é aquele que começa em um ponto 
qualquer da reta e termina em outro ponto desta mesma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
O plano será definido por três pontos não-colineares (que não estão na mesma 
reta). Todas as retas que passam por dois desses pontos que definem o plano 
estão contidas nele. Denominaremos o plano por uma letra grega minúscula 
qualquer (g, く, け, ...). 
 
 
Posições relativas entre retas, semirretas, segmentos e planos 
 
Duas retas distintas podem assumir diferentes posições no espaço. Elas podem 
ser: paralelas, coincidentes, concorrentes, perpendiculares ou reversas. 
 
 
 Retas Paralelas 
 
 
Duas retas serão paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não 
possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum. 
 
 Retas Coincidentes 
 
 
 
s 
r 
s 
r 
 
Reta 
Semirreta 
Segmento de reta 
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Duas retas são ditas coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem 
todos os pontos em comum. 
 
 
 Retas Concorrentes 
 
 
 
Retas concorrentes são aquelas que possuem apenas um ponto comum, elas se 
tocam apenas uma vez. 
 
 
 Retas Perpendiculares 
 
 
 
Duas retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes. Sua 
peculiaridade é que o ângulo formado por essas duas retas é igual a 90°. 
 
 
 
 Retas Reversas 
 
 
 
 
Duas retas serão ditas reversas se, ao mesmo tempo, elas não forem paralelas e 
não possuírem nenhum ponto em comum. 
 
Podemos, também, definir outras posições relativas das retas, semirretas, 
segmentos e planos: 
 
 Semirretas Opostas 
 
 
Duas semirretas são denominadas opostas se elas estão numa mesma reta, 
possuem um mesmo ponto de origem e possuem sentidos opostos (na figura 
acima o ponto “O” divide a reta em duas semirretas opostas). 
 
 
 Segmentos Consecutivos 
 
 
Dois segmentos de reta são ditos consecutivos se a extremidade de um dos 
segmentos é também a extremidade do outro, ou seja, se uma extremidade de um 
coincide com uma extremidade do outro. Na figura acima, os segmentos AB e BC 
são consecutivos. 
 
 Segmentos Colineares 
s 
r 
. 
s 
r 
. . 
s 
r 
. O 
. . . . A B C D 
. . . 
A B 
C 
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Dois segmentos de reta serão colineares se eles pertencerem a uma mesma reta. 
Na figura acima, os segmentos AB e CD são colineares. 
 
 Segmentos Congruentes 
 
 
 
Dois segmentos serão congruentes se eles tiverem as mesmas medidas. Na 
figura acima, os segmentos AB e CD são congruentes, pois ambos medem cinco 
centímetros. 
 
 Segmentos Adjacentes 
 
 
Dois segmentos serão ditos adjacentes se eles forem consecutivos e colineares, 
e ainda, se possuírem apenas uma extremidade em comum e não tiverem outros 
pontos em comum. Na figura acima, AB e BC são adjacentes. 
 
 Reta paralela a um plano 
 
 
 
Uma reta será paralela a um plano se eles não tiverem nenhum ponto em comum. 
 
 Reta contida num plano 
 
 
Uma reta estará contida num plano se todos os seus pontos pertencerem a este 
plano. 
 
 Reta secante (ou concorrente) a um plano 
 
 
 
 
 
Uma reta será secante (ou concorrente) a um plano se ambos só tiverem um 
ponto em comum. 
 
Se o ângulo que se formar entre a reta e o plano for 90°, dizemos que eles são 
perpendiculares. 
 
 
Ângulos 
 
. . . . 
5 cm 
5 cm 
A B 
C D 
. . . A B C 
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Podemos definir um ângulo como sendo uma região formada pela abertura de 
duas semirretas que possuem uma origem em comum. A origem dessas duas 
semirretas chama-se vértice do ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Existe uma semirreta importante no estudo dos ângulos que é a bissetriz. Ela tem 
origem no vértice de um ângulo qualquer e o divide em dois ângulos iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
As unidades de medida mais comuns para os ângulos são radianos ou graus. 
Existem outras unidades, porém, muito pouco usadas e não merecem que 
percamos nosso tempo com elas. 
 
A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo 
ângulo, dividido pelo raio do círculo. Já a medida em graus de um ângulo é o 
comprimento desse mesmo arco, dividido pela circunferência do círculo e 
multiplicada por 360. 
 
 
 
 (em radianos) = 
R
L
 
 
 
 (em graus) = 
R..2
L

.360 
 
 
Obs: Veremos mais na frente que o comprimento da circunferência vale 2..R. 
 
Agora, vamos verificar as seguintes classificações dos ângulos: quanto à medida, 
quanto à posição e quanto à complementação. 
 
. s O 
r 
 
/2 
/2 
Bissetriz 
s 
r 
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 Classificação quanto à medida 
 
Os ângulos podem ser: 
 
Nulo: O ângulo nulo é aquele que mede 0° (ou 0 radianos). 
 
Agudo: O ângulo será agudo, se sua medida valer mais que 0° (ou 0 radianos) e 
menos que 90° (ou 
2
 radianos). 
 
Reto: O ângulo reto é aquele que mede exatamente 90° (ou 
2
 radianos). 
 
Obtuso: O ângulo será obtuso, se sua medida valer mais que 90° (ou 
2
 
radianos). 
 
Raso: O ângulo raso é aquele que mede 180° (ou  radianos). 
 
 
 Classificação quanto à posição 
 
Congruentes: Dois ângulos são classificados como congruentes, quando eles 
possuem a mesma medida. 
 
Consecutivos: Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um 
deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Na figura abaixo,  e  são 
consecutivos. 
 
 
 
 
 
 
 
Adjacentes: Dois ângulos são classificados como adjacentes quando são 
consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Na figura abaixo,  e  são 
adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
Opostos pelo vértice: São ângulos formados por duas retas concorrentes e que 
possuem seus dois lados nas mesmas retas. Na figura abaixo,  e  são opostos 
pelo vértice. 
 
 
  
  
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 Classificação quanto à complementação 
 
Complementares: Dizemos que g e く são complementares quando a soma de 
suas medidas é igual a 90°. Assim, dizemos que g é o complemento de く e vice-
versa. 
 
Suplementares: Dizemos que g e く são suplementares quando a soma de suas 
medidas é igual a 180°. Assim, dizemos que g é o suplemento de く e vice-versa. 
 
 
Circunferência 
 
Podemos definir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos de um 
plano que possuem a mesma distância (raio) de um ponto fixo (centro). 
 
O segmento de reta que passa pelo centro e une dois pontos da circunferência é 
chamado de diâmetro (D). Esse diâmetro vale o dobro do raio (R). 
 
 
D = 2.R 
 
 
 
 
 
 
 
O comprimento da circunferência, ou perímetro (P), é igual a: 
 
P = 2..R ou P = .D 
 
 
A área de uma circunferência é dada pela seguinte expressão: 
 
Área = .R2 ou Área = .
4
D2
 
 
 
Polígonos 
 
O polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se 
interceptam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do 
 
 
D 
R 
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polígono. Os pontos de interseção são denominados vértices do polígono. Os 
polígonos podem ser: Convexo ou Côncavo. 
 
O Polígono Convexo é aquele construído de modo que os prolongamentos dos 
lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um 
polígono convexo, então todo o segmento de reta tendo estes dois pontos como 
extremidades, estará inteiramente contido no polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Polígono Côncavo é aquele construído de modo que existam dois pontos 
contidos no polígono de forma que o segmento de reta com esses dois pontos nas 
extremidades possua pontos fora do polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulos 
 
Os triângulos são polígonos que possuem três lados e a soma de seus ângulos 
internos vale 180°. Para podermos garantir a existência de um triângulo, devemos 
garantir que cada lado seja menor que a soma dos outros dois lados. Além disso, 
devemos garantir que cada lado seja maior que o módulo da diferença entre os 
outros dois lados e que os seus três vértices não estejam numa mesma reta: 
 
 a < b + c 
 a > |b - c| 
 
 
Eles podem ter as seguintes classificações: 
 
- Quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo) 
- Quanto à medida dos lados (equilátero, isósceles e escaleno) 
 
 
Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus ângulos 
 
 Triângulo Acutângulo 
 
b 
a 
c 
A 
B 
A 
B 
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O triângulo é classificado como acutângulo, quando ele possui todos os ângulos 
menores que 90°. 
 
 Triângulo Retângulo 
 
Classificamos o triângulo como retângulo, quando ele possui um ângulo medindo 
exatamente 90°. Nesse triângulo, os lados que formam o ângulo reto denominam-
se catetos, e o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa. 
 
Cabe destacar logo agora o Teorema de Pitágoras. Esse teorema estabelece que 
o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos: 
 
 
 
 
 
 
 
(Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2 
 
 
 
 Triângulo obtusângulo 
 
O triângulo é classificado como obtusângulo, quando possui um ângulo medindo 
mais de 90°. 
 
 
Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus lados 
 
 
 Triângulo equilátero 
 
O triângulo é classificado como equilátero, quando todos os seus lados possuem 
a mesma medida. Este triângulo também possui todos os seus ângulos medindo 
60° (é dito equiângulo). 
 
 Triângulo Isósceles 
 
O triângulo é classificado como isósceles, quando possui dois lados de mesma 
medida. Pode-se dizer que o triângulo equilátero é um caso particular do triângulo 
isósceles, quando o terceiro lado também apresenta a mesma medida dos outros 
dois. 
 
 Triângulo Escaleno 
 
Classificamos o triângulo como escaleno se todos os seus lados possuírem 
medidas diferentes. 
 
Cateto 1 
Cateto 2 
Hipotenusa 
. 
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Existem algumas medidas dos triângulos que devem ser destacadas 
 
 
Mediatriz, Altura, Mediana e Bissetriz 
 
 Mediatriz 
 
A mediatriz de um triângulo é a semirreta perpendicular a um lado do triângulo, 
traçada a partir do seu ponto médio. 
 
 
 
 
 
 
 
As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado de 
circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (o 
triângulo fica dentro da circunferência). O circuncentro pode ficar dentro ou fora do 
triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Altura 
 
A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Ela é o segmento de 
reta que liga um vértice ao seu lado oposto, ou ao prolongamento do seu lado 
oposto, formando um ângulo reto com esse lado, que é chamado de base dessa 
altura. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”. 
 
 
 
 
 
O ponto de encontro das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro. No 
triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o 
vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. 
 
 
 
 
 
 
h 
a 
. 
x 
x 
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 Mediana 
 
A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une o vértice do triângulo ao 
ponto médio do lado oposto. 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto de interseção das três medianas é chamado de baricentrodo triângulo. 
O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice 
ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste 
vértice 
 
 
 
 
 
 
Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade desta 
hipotenusa. 
 
 Bissetriz 
 
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de 
um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo 
em dois ângulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
O ponto de encontro das três bissetrizes internas do triângulo chama-se incentro. 
O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo 
é denominado círculo inscrito. 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui, cabe destacar que os dois segmentos de reta que ligam um vértice do 
triângulo aos pontos em que o circulo inscrito tangencia os lados do triângulo, 
possuem a mesma medida. 
ɲ ɲ 
2.a 
a 
x x 
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Área do triângulo 
 
Para se calcular a área de um triângulo, devemos primeiro saber quem é a altura 
do triângulo. A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Na 
figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”. Pode-se calcular a área de um 
triângulo multiplicando-se um lado qualquer desse triângulo por sua altura relativa 
e dividindo o resultado por dois. 
 
 
 Área = 
2
h.a
 
 
 
Num triângulo retângulo, as alturas relativas às bases que formam o ângulo reto 
coincidem com os lados desse triângulo, conforme figura abaixo. Assim, para 
calcular a área desse triângulo basta multiplicar esses dois catetos e dividir o 
resultado por dois. 
 
 
 
 Área =
2
b.a
 
 
 
 
Outra forma de calcular a área de um triângulo é por meio da medida de seus 
lados. Assim, um triângulo de lados a, b e c, possui a seguinte área: 
 
 
Área = )cs).(bs).(as.(s  , onde s = 
2
cba 
 (semi-perímetro) 
 
 
 
Semelhança entre triângulos 
 
Podemos definir a semelhança entre dois triângulos da seguinte forma: 
 
“Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos 
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.” 
 
 
 
h 
a 
. 
. 
a 
b 
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Os triângulos 1 e 2 são ditos semelhantes se: 
 

X = 

A 

Y = 

B 

Z = 

C 
c
z
b
y
a
x
 
 
A semelhança de triângulos possui um teorema fundamental que numa prova 
pode nos ajudar a rapidamente identificar dois triângulos semelhantes: 
 
“Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois 
em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao 
primeiro” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que a reta r é paralela ao lado AB, os triângulos ABC e XYC são 
semelhantes. 
 
Existem outras formas de se determinar que dois triângulos são semelhantes: 
 
 
AA (Ângulo-Ângulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos internos 
correspondentes iguais, então os dois triângulos são semelhantes. 
 
LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são 
proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados 
por estes lados são iguais, então os triângulos são semelhantes. 
a 
b c 
y z 
x 
X 
Y Z 
B 
A 
C 1 
2 
A B 
C 
X Y 
r 
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LLL (Lado-Lado-Lado): Se as medidas dos lados de um triângulo são 
respectivamente proporcionais às medidas dos lados homólogos de outro 
triângulo, então os dois triângulos são semelhantes. 
 
 
Quadriláteros 
 
O quadrilátero é o polígono que possui quatro lados e a soma de seus ângulos 
internos vale 360°. As diagonais do quadrilátero são segmentos de reta que unem 
seus vértices opostos. 
 
Concentraremos o estudo nos quadriláteros que possuem dois lados opostos 
paralelos. Eles se dividem em dois grupos: os paralelogramos e os trapézios. 
 
Os paralelogramos possuem os lados paralelos dois a dois (lados opostos 
paralelos) e suas diagonais se encontram no ponto médio. Eles se dividem em: 
Quadrados, Retângulos, Losangos e Paralelogramos obliquângulos. 
 
Os trapézios possuem apenas dois de seus lados paralelos, mas o comprimento 
dos seus lados e a medida de seus ângulos variam sem nenhuma relação uns 
com os outros. Eles se dividem em: trapézio retângulo, trapézio isósceles e 
trapézio escaleno. 
 
 
Quadrado: É um quadrilátero que possui todos os lados do mesmo tamanho e 
todos os ângulos iguais a 90°. 
 
 
 
Retângulo: É um quadrilátero que possui todos os ângulos iguais a 90°, seus 
lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos 
diferentes. 
 
 
 
 
Losango: É um quadrilátero que possui todos os lados de mesmo tamanho, seus 
ângulos oposto com a mesma medida e seus ângulos adjacentes com medidas 
diferentes. 
 
 
 
 
 
Paralelogramo obliquângulo: É um quadrilátero que possui seus lados paralelos 
com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes. Seus 
ângulos opostos são congruentes e os adjacentes de medidas diferentes. 
 
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Trapézio Reto: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos 
diferentes, e dois ângulos adjacentes medindo 90°. 
 
 
 
 
 
 
Trapézio Isosceles: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com 
tamanhos diferentes, e dois lados opostos não paralelos de mesmo tamanho. Num 
trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são iguais. 
 
 
 
 
 
Trapézio Escaleno: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com 
tamanhos diferentes e dois lados não paralelos, também de tamanhos diferentes, 
sem nenhum ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
Polígonos de “n” lados 
 
Além dos triângulos e dos quadriláteros, os polígonos podem ter 5, 6, 7, ..., n 
lados. Segue uma tabelinha com algumas de suas nomenclaturas: 
 
Nº de lados Nomenclatura Nº de lados Nomenclatura 
3 lados Triângulo 7 lados Heptágono 
4 lados Quadrilátero 8 lados Octógono 
5 lados Pentágono 9 lados Eneágono 
6 lados Hexágono 10 lados Decágono 
 
Uma informação importante a respeito dos polígonos, é a quantidade de diagonais 
que possui cada polígono. Vamos ver alguns exemplos: 
 
Triângulo: Não possui nenhuma diagonal 
 
Quadrilátero: Possui duas diagonais 
 
 
  
  
90° 
90° 
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Pentágono: Possui cinco diagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hexágono: Possui nove diagonais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Percebam que fica cada vez mais difícil contar a quantidade de diagonais do 
polígono. Mas existe uma lógica que nos permite estabelecer uma “fórmula” para o 
seu cálculo. Para um polígono convexo de n lados, o número de diagonais é dado 
por:D = 
2
)3n.(n 
 
 
 
Vamos testar a fórmula com os exemplos que vimos acima: 
 
Quadrilátero: 
 
D = 
2
)3n.(n 
 = 
2
)34.(4 
 = 
2
)1.(4
 = 2 
 
Pentágono: 
 
D = 
2
)3n.(n 
 = 
2
)35.(5 
 = 
2
)2.(5
 = 5 
 
Hexágono: 
 
d2 d1 
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D = 
2
)3n.(n 
 = 
2
)36.(6 
 = 
2
)3.(6
 = 9 
 
 
É interessante, também, sabermos como calcular a soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo qualquer. Já sabemos que a soma dos ângulos internos do 
triângulo é igual a 180º e do quadrilátero é igual a 360°. Isso se deve ao fato de 
podermos dividir o quadrilátero em dois triângulos: 
 
 
 
 
 
 
 
Si = 2 x 180° = 360° (Si é a soma dos ângulos internos) 
 
Para o pentágono, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Si = 3 x 180° = 540° 
 
Para um polígono de n lados também podemos fazer a mesma coisa, mas pode 
dar muito trabalho e nos levar a errar na prova. Assim, para um polígono de n 
lados, existe uma expressão que resume o que fizemos: 
 
 
Si = (n – 2)  180° 
 
 
 
Perímetro 
 
O perímetro de uma figura plana qualquer é o comprimento de seu contorno. 
Assim, o perímetro de um polígono qualquer é igual à soma das medidas de seus 
lados. 
 
 
Áreas de regiões planas 
 
Já vimos como calcular a área de uma circunferência e a área de um triângulo 
qualquer. Vamos ver agora, como encontrar a área dos outros polígonos. 
 
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Área dos paralelogramos: A área de um paralelogramo é dada pelo produto da 
base por sua altura relativa. 
 
 
Área = base  altura 
 
 
No caso do quadrado, a base e a altura coincidem com seus lados (L). Como os 
lados do quadrado são iguais, temos: 
 
 
Área do quadrado = L2 
 
 
No caso do retângulo, a base e a altura também coincidem com seus lados (L1 e 
L2). Assim: 
 
 
Área do retângulo = L1  L2 
 
 
No caso do losango, é possível demonstrar que sua área é igual à metade do 
produto de suas diagonais. Assim: 
 
 
Área do losango = 
2
2D1D 
 
 
 
Por fim, no caso de um trapézio qualquer, é possível demonstrar que a sua área é 
igual ao produto da média de seus lados paralelos por sua altura relativa: 
 
 
Área do trapézio = 
2
AlturaBase2) (Base1 
 
 
 
Ainda, cabe destacar que para calcular a área de qualquer polígono, podemos 
dividi-lo em triângulos, calcular suas áreas e somá-las. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Área do pentágono = A1 + A2 + A3 Área do hexágono = A1 + A2 + A3 + A4 
1 
1 
2 
3 
2 
3 
4 
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3 - Geometria Espacial 
 
 
A Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as 
figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de 
sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: 
prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro e esfera. 
 
 
 
 
 
 
Cada plano do sólido é chamado de face. 
 
As arestas são os segmentos de reta que unem duas faces do sólido. 
 
Os vértices são os pontos onde mais de duas arestas do sólido se encontram. 
 
 
Prisma 
 
O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se 
situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas 
podem ser retos ou oblíquos. O prisma cujas bases são paralelogramos é 
chamado de paralelepípedo. 
 
Prisma reto 
 
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são perpendiculares ao plano da 
base e as faces laterais são retangulares. O prisma reto que possui em todas as 
faces um quadrado é chamado de cubo. 
 
 
 
 
 
 
 
Prisma oblíquo 
 
As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são oblíquas ao plano da base e 
as faces laterais não são retangulares. 
 
 
 
 
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 Altura do prisma 
 
A altura do prisma é a medida da distância entre sua base inferior e sua base 
superior. 
 
 
 Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas de cada quadrilátero de 
suas faces laterais. No caso de um prisma com base triangular, teremos que sua 
área lateral será igual à soma das áreas dos três quadriláteros que formam suas 
faces laterais. 
 
A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas 
duas bases, a inferior e a superior. 
 
 
 Volume 
 
O volume do prisma é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida 
de sua altura: 
 
 
 
V = Área da Base  Altura 
 
 
 
Pirâmide 
 
Uma pirâmide é todo um sólido formado por uma face inferior (base) e um vértice 
que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões 
triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da 
pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de 
lados do polígono da base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Altura da pirâmide 
 
A altura da pirâmide é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior. 
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 Área Lateral e Área Total 
 
A área lateral da pirâmide é dada pela soma das áreas de cada triângulo de suas 
faces laterais. No caso de uma pirâmide com base quadrada, teremos que sua 
área lateral será igual à soma das áreas dos quatro triângulos que formam suas 
faces laterais. 
 
A área total da pirâmide é igual a soma de sua área lateral com a área de sua 
base. 
 
 
 Volume 
 
O volume da pirâmide é calculado multiplicando-se a área de sua base pela 
medida de sua altura e dividindo-se o resultado por 3: 
 
 
Vpirâmide = 
3
AlturaBase da Área 
 
 
 
Pose ser cobrado numa prova o volume, a área lateral ou alguma outra medida de 
um tronco de pirâmide. Mas o que é isso? Simples, o tronco de uma pirâmide é 
obtido ao se traçar uma seção transversal em uma pirâmide, conforme mostrado 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O tronco da pirâmide está representado pelo sólido limitado pelas arestas azuis. 
 
Normalmente o que é cobrado é o tronco de pirâmide formado a partir de um corte 
paralelo à base. Assim, para calcular o volume do tronco dessa pirâmide, temos: 
 
 
Vtronco = Vpirâmide maior – Vpirâmide menor 
 
 
O mesmo serve para a área lateral do tronco. 
 
Pirâmide 
maior 
Pirâmide 
menor 
Tronco da 
pirâmide 
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Raciocínio Lógico p/ Agente da Polícia Federal 
Teoria e exercícios comentados 
Prof Marcos Piñon – Aula 08 
 
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Cilindro 
 
O cilindro é semelhante a um prisma, sendo que sua base é um círculo. Ele pode 
ser formado pela rotação de um quadrado ou retângulo em torno de um de seus 
lados. 
 
 
 
 
 
 
 Altura do cilindro 
 
A altura do cilindro é a medida da distância entre sua base inferior e sua base 
superior.