MATEMÁTICA CN 2020-2021 RESOLUÇÃO (1)

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PROVA DE MATEMÁTICA DO COLÉGIO NAVAL (CN) 2020 – 2021 
(AMARELA) 
 
ENUNCIADOS 
 
1) Seja A o conjunto de todos os valores reais de x, tais que  
2
x 2 x 2.   É correto 
afirmar que: 
a) A é todo o conjunto dos Reais. 
b)  A 2,  
c)  A ,2  
d)  A 2,   
e)  A 2, 2  
 
2) Observe a figura a seguir: 
 
Ela esboça o percurso de um atleta amador, que partiu do ponto A e fez um trajeto que 
tem uma subida e uma descida. Ele chegou ao ponto B e retornou pelo mesmo caminho, 
seguindo o sentido oposto, onde o que era descida passou a ser subida e o que era subida 
passou a ser descida, finalizando no ponto de partida A. Sabendo que ele desenvolve uma 
velocidade média de 8 km h na subida e uma velocidade de 12 km h na descida e que 
gastou 1 h e 30 min da ida e 1 h e 45 min na volta, é correto afirmar que o percurso total 
corrido por ele me quilômetros é igual a: 
a) 30,8 b) 31,2 c) 32,6 d) 34,4 e) 35,2 
 
3) Suponha que durante a pandemia uma distribuidora de medicamentos tivesse estoque 
de álcool gel com distribuições diárias iguais, suficiente para atender 18 farmácias durante 
64 dias. Após 16 dias, 6 farmácias fecharam e, passados mais 17 dias, a distribuidora 
aceitou um pedido do governo para que atendesse mais 10 farmácias. As farmácias 
fechadas não irão abrir mais. É correto afirmar que a partir do dia em que aceitou o pedido 
do governo a distribuidora terá estoque suficiente para atender todas as farmácias durante: 
a) 26 dias b) 28 dias c) 30 dias d) 32 dias e) 34 dias 
 
4) Quantos são os valores distintos de n, para os quais 102 n 202,  e n é a quantidade 
de lados de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos resulta num quadrado 
perfeito? 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 
 
 
 
 
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5) Sejam a, b e c números reais positivos com a b c,  considere também que 
2 2 2a b c 2bc a b c 21       e que simultaneamente 
2 2 2a b c 2ab 2ac 2bc 9.      Um estudante fatorou os primeiros membros das 
igualdades e encontrou uma relação sempre verdadeira entre a, b e c. Assinale a opção 
que apresenta essa relação. 
a) a b c 1   b) b a c 6   c) a c 4 b   d) c a b 2   e) b c a 4   
 
6) Considere o triângulo ABC acutângulo e não equilátero, onde O é o seu circuncentro 
e H o seu ortocentro. A reta que passa por O e H intersecta o lado AB no ponto P, e a reta 
que passa por C e H intersecta o mesmo lado AB no ponto Q. Se a reta suporte de HP é a 
bissetriz do ângulo ˆAHQ e o segmento HP 4 cm, é correto afirmar que a medida em 
cm do perímetro do triângulo AHP é igual a: 
a) 4 2 3 b) 4 3 2 c) 4 6 3 d) 8 4 2 e) 8 4 3 
 
7) Observe a figura a seguir: 
 
A figura apresenta o passo a passo de uma folha retangular, 24 cm 16 cm, que será 
dobrada e depois cortada. Tanto as etapas das dobras como a maneira que a folha será 
cortada após essas dobras estão indicadas na figura. A final da última etapa de dobras, 
visto de cima, o aspecto do papel é de um quadrado de 8 cm 8 cm. Dois vértices desse 
quadrado são escolhidos para serem retirados; visto de cima, cada corte é um arco de 
circunferência de 90 , que tem centro nesse vértice e raio 2 cm. Considere 3  e 
determine a área da folha desdobrada que sobrou após os cortes, em centímetros 
quadrados. 
a) 348 b) 354 c) 360 d) 366 e) 372 
 
 
 
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8) Observe a figura a seguir: 
 
Ela apresenta um quadrado ABCD com lado medindo 2 unidades de comprimento (u.c.). 
Sabe-se que G é o centro desse quadrado e que CE 1u.c. é o prolongamento do lado 
BC. Se 1s é a área do triângulo FHC e 2s é a área do triângulo FHG, é correto afirmar 
que a razão 1
2
s
s
 é igual a: 
a) 
7
8
 b) 
8
9
 c) 
9
10
 d) 1 e) 
6
5
 
 
9) Uma prova de língua estrangeira foi aplicada aos 
7
8
 dos alunos matriculados numa 
turma em um dia em que não houve presença total dos matriculados. Nesse dia o número 
de alunos na turma que falava fluentemente inglês era 12 a menos do que o número 
daqueles que não falavam fluentemente inglês. Após a correção da prova foi constatado 
o seguinte: a média aritmética de todas as notas dos alunos presentes foi 7,2. Todos os 
alunos que falavam fluentemente inglês obtiveram nota 9,2 e todos os alunos que não 
falavam fluentemente inglês obtiveram nota 6,4. É correto afirmar que o total de alunos 
matriculados nessa turma é um número cuja soma dos algarismos vale: 
a) 5 b) 8 c) 11 d) 12 e) 13 
 
10) Observe a figura a seguir: 
 
Ela apresenta um trapézio retângulo com bases AB e CD. Sabe-se também que as 
bissetrizes internas com vértices em A e em D e o lado BC, se intersectam em P. Sendo 
assim, analise as afirmações a seguir. 
 
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(i) ˆAPD 90  
(ii) BP CP 
(iii) 2 2 2AD BP CP  
(iv) AD AB CD  
São verdadeiras: 
a) i, ii e iii apenas 
b) i, ii e iv apenas 
c) i, iii e iv apenas 
d) ii, iii, e iv apenas 
e) i, ii, iii e iv 
 
11) Ao efetuar o cálculo da expressão com potência 
n 20204 7 variando n, número 
natural diferente de zero, e usando um moderno computador, um estudante encontrou 
diversos números K como resposta. Sem o uso de recurso eletrônico é possível estabelecer 
quais os algarismos das unidades que ele pode ter encontrado para o módulo de K. Ao 
efetuar a multiplicação de todos os algarismos das unidades possíveis para módulo de K 
obtém-se produto igual a: 
a) 15 b) 36 c) 84 d) 105 e) 135 
 
12) A soma e o produto das raízes 1x e 2x de uma equação do 2° grau são iguais. Se s é 
a soma das raízes da equação, é correto afirmar que a expressão 
2 2
2 2
1 2 2 2
1 2
s s
x x
x x
   é 
igual a: 
a) 
2s 4s b) 
2s 8s c) 
24s 16s d) 
22s 8s e) 
22s 4s 
 
13) Uma pizza de 40 cm de diâmetro foi dividida corretamente em 16 fatias iguais. Uma 
segunda pizza de 30 cm de diâmetro foi dividida corretamente em 25 fatias iguais. Uma 
menina comeu 3 fatias da primeira pizza, ingerindo o seu quinhão (o que cabe ou deveria 
caber em uma pessoa ou coisa) x, enquanto um homem adulto comeu 12 fatias da segunda 
pizza, ingerindo o seu quinhão y. Quantas fatias da segunda pizza uma mulher adulta 
deverá comer para que o quinhão ingerido por ela seja igual à média geométrica entre x 
e y, considerando 3  e a variação das espessuras das pizzas desprezível? 
a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 11 
14) Observe a figura a seguir: 
 
 
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Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos p e q e hipotenusa s, ADEF é um 
quadrado de lado unitário com vértice E externo ao triângulo ABC. Utilizando p, q e s 
para representar a soma FG DH obtém-se: 
a) 
2
2
p
q s
q
  b) 
2p
q s
4sq
  c) 
2s
p q
pq
  d) 
2p
q s
2sq
  e) 
p
q s
sq
  
 
15) Observe a figura a seguir: 
 
Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a distância entre duas ilhas e para 
isso toma como referência os pontos a e B das ilhas como mostra a figura. Na praia ele 
marca dois pontos C e D distantes 70 m um do outro. Usando um medidor de ângulos 
(teodolito), ele determina os ângulos ˆACB 38 ,  ˆBCD 37 ,  ˆADC 60  e ˆADB 53 .  
É correto afirmar que a distância entre os pontos A e B é: 
Dados 
3
sen37 ,
5
  
19
sen 75 ,
20
  
3
cos53
5
  e 
7
2 .
5
 
a) maior do que 70 m e menor do que 75 m. 
b) maior do que 75 m e menor do que 80 m. 
c) maior do que 80 m e menor do que 85 m. 
d) maior do que 85 m e menor do que 90 m. 
e) maior do que 90 m e menor do que 95 m. 
 
16) Considerando os resultadosdas expressões A e B até a 4ª casa decimal sem fazer 
aproximações e sabendo que: 
   
   
11% de 25 36% de 75 3% de 50
A 8,a1b3
24% de 35 8% de 40
 
 

 e 
   
   
75% de 36 50% de 3 25% de11
B c,3d7e,
35% de 24 40% de 8
 
 

 determine o resto da divisão de N 
por 11 sendo o número  
c d e
N a b .
 
  
a) 0 b) 1 c) 4 d) 7 e) 9 
 
 
 
 
 
 
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17) Seja     * * 2 2A x, y 17 x y 30xy ,     é correto afirmar que: 
a) A . 
b) existem 7 elementos distintos no conjunto A. 
c) A é um conjunto infinito. 
d) A é um conjunto unitário. 
e) existem 8 subconjuntos próprios de A. 
 
18) Considere o conjunto  1A x | x , n
n 1
  

 um subconjunto da reta. É correto 
afirmar que: 
a) existe um único elemento de A cuja distância a qualquer outro elemento, também de 
A, é inferior a qualquer número real positivo. 
b) zero é um elemento do conjunto A. 
c) fixado qualquer valor real positivo p, sempre existirão dois elementos do conjunto A 
cuja distância na reta real é menor do que p. 
d) existe um elemento do conjunto A que não é racional. 
e) existem dois elementos do conjunto A, de tal modo que a diferença entre eles não é um 
número racional. 
 
19) Observe a figura a seguir. 
 
Na figura temos um triângulo equilátero ABC de baricentro G e o triângulo ABG cujo 
incentro é I. É correto afirmar que o suplemento do ângulo ˆGAI em radianos é igual a: 
a) 
7
9

 b) 
5
6

 c) 
8
9

 d) 
9
10

 e) 
11
12

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20) Observe a figura a seguir. 
 
Na figura, a parábola é a representação gráfica no plano cartesiano da função 
2y x 14x 33.    Sabe-se, sobre o losango ABCD de diagonais AC e BD, com AC 
paralelo ao eixo x e BD paralelo ao eixo y, que o produto das abscissas dos vértices A e 
C é igual a 40 e que o vértice B é o ponto de ordenada máxima da função. É correto 
afirmar que a área do losango em unidades de área é igual a: 
a) 72 b) 64 c) 60 d) 54 e) 48 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
 
1) c (Inequação modular) 
2) b (Velocidade e sistemas lineares) 
3) c (Razões e proporções) 
4) a (Múltiplos e divisores) 
5) b (Produtos notáveis e fatoração) 
6) e (Pontos notáveis no triângulo) 
7) a (Áreas de regiões circulares) 
8) d (Áreas de triângulos) 
9) a (Média aritmética ponderada) 
10) b (Trapézio) 
11) d (Congruência módulo) 
12) a (Produtos notáveis e fatoração) 
13) d (Área de regiões circulares e média geométrica) 
14) c (Semelhança de triângulos) 
15) c (Relações métricas nos triângulos – lei dos senos e lei dos cossenos) 
16) b (Porcentagem e congruência módulo) 
17) a (Equação do 2° grau literal) 
18) c (Conjuntos numéricos – números reais e racionais) 
19) e (Pontos notáveis no triângulo) 
20) d (Função quadrática – gráfico e área do losango) 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÕES 
 
1) Seja A o conjunto de todos os valores reais de x, tais que  
2
x 2 x 2.   É correto 
afirmar que: 
a) A é todo o conjunto dos Reais. 
b)  A 2,  
c)  A ,2  
d)  A 2,   
e)  A 2, 2  
 
RESOLUÇÃO: c 
Sabemos que 2x x e que x x, se x 0, e x x,  se x 0. 
Note que, se x 0, x x, e, se x 0, x x 0 x.    Portanto, x x se, e somente 
se, x 0. 
Vamos analisar a inequação do enunciado. 
 2x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 2            
Portanto,  A ,2 .  
 
 
2) Observe a figura a seguir: 
 
Ela esboça o percurso de um atleta amador, que partiu do ponto A e fez um trajeto que 
tem uma subida e uma descida. Ele chegou ao ponto B e retornou pelo mesmo caminho, 
seguindo o sentido oposto, onde o que era descida passou a ser subida e o que era subida 
passou a ser descida, finalizando no ponto de partida A. Sabendo que ele desenvolve uma 
velocidade média de 8 km h na subida e uma velocidade de 12 km h na descida e que 
gastou 1 h e 30 min da ida e 1 h e 45 min na volta, é correto afirmar que o percurso total 
corrido por ele me quilômetros é igual a: 
a) 30,8 b) 31,2 c) 32,6 d) 34,4 e) 35,2 
 
RESOLUÇÃO: b 
 
 
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Sejam AP x e PB y. 
Supondo que na ida o atleta suba o percurso AP x no tempo 1t h e desça o percurso 
PB y no tempo 2t h, então 1x 8t , 2y 12t e 1 2t t 1,5.  Assim, temos: 
1 2
x y
t t 1,5 1,5 3x 2y 36.
8 12
        
Supondo que na volta o atleta suba o percurso PB y no tempo 3t h e desça o percurso 
AP x no tempo 4t h, então 3y 8t , 4x 12t e 3 4t t 1,75.  
3 4
y x
t t 1,75 1,75 2x 3y 42.
8 12
        
Vamos resolver o sistema 
3x 2y 36
.
2x 3y 42
 

 
 
Multiplicando a primeira equação por 3 e subtraindo o dobro da segunda equação, temos: 
9x 4x 108 84 5x 24 x 4,8.       
Multiplicando a segunda equação por 3 e subtraindo o dobro da primeira equação, temos: 
9y 4y 126 72 5y 54 y 10,8.       
Portanto, o percurso total é    2 x y 2 4,8 10,8 2 15,6 31,2 km.        
 
 
3) Suponha que durante a pandemia uma distribuidora de medicamentos tivesse estoque 
de álcool gel com distribuições diárias iguais, suficiente para atender 18 farmácias durante 
64 dias. Após 16 dias, 6 farmácias fecharam e, passados mais 17 dias, a distribuidora 
aceitou um pedido do governo para que atendesse mais 10 farmácias. As farmácias 
fechadas não irão abrir mais. É correto afirmar que a partir do dia em que aceitou o pedido 
do governo a distribuidora terá estoque suficiente para atender todas as farmácias durante: 
a) 26 dias b) 28 dias c) 30 dias d) 32 dias e) 34 dias 
 
RESOLUÇÃO: c 
Supondo que cada farmácia recebia uma quantidade x de álcool gel por dia, então a 
distribuidora possuía estoque de 18 64 x.  
Nos primeiros 16 dias, foi consumido 18 16 x  de álcool gel e restou em estoque 
18 64 x 18 16 x 18 48 x.        
Nos 17 dias seguintes, foi consumido  18 6 17 x 12 17 x      de álcool gel e restou em 
estoque 18 48 x 12 17 x 12 55 x.        
Após esse período a distribuidora passou a atender 12 10 22  farmácias e a necessidade 
diária passou a ser 22 x. Assim, o estoque será suficiente para 
12 55 x
30
22 x
 


 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Quantos são os valores distintos de n, para os quais 102 n 202,  e n é a quantidade 
de lados de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos resulta num quadrado 
perfeito? 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 
 
RESOLUÇÃO: a 
A soma dos ângulos internos de um polígono de gênero n é  iS 180 n 2 .  
Para que    2 2iS 180 n 2 2 3 5 n 2        seja um quadrado perfeito,  5 n 2  deve 
ser um quadrado perfeito. Assim, deve existir p natural tal que 2 2n 2 5p n 5p 2.     
Como 102 n 202,  então 
 2 2 2102 5p 2 202 100 5p 200 20 p 40 p 5,6           
2p 5 n 5 5 2 127      
2p 6 n 5 6 2 182      
Portanto, há 2 valores distintos de n. 
 
 
5) Sejam a, b e c números reais positivos com a b c,  considere também que 
2 2 2a b c 2bc a b c 21       e que simultaneamente 
2 2 2a b c 2ab 2ac 2bc 9.      Um estudante fatorou os primeiros membros das 
igualdades e encontrou uma relação sempre verdadeira entre a, b e c. Assinale a opção 
que apresenta essa relação. 
a) a b c 1   b) b a c 6   c) a c 4 b   d) c a b 2   e) b c a 4   
 
RESOLUÇÃO: b 
   
       
    
2 2 2 2 2 2
22
a b c 2bc a b c 21 a b 2bc c a b c 21
a b c a b c 21 a b c a b c a b c 21
a b c a b c 1 21 *
              
               
      
 
 22 2 2a b c 2ab 2ac 2bc 9 a b c 9 a b c 3               
Como a b c a b c 0,      então a b c 3.   
Substituindo a b c 3   em (*), temos: 
 3 a b c 1 21 a b c 1 7 b a c 6.              
 
 
6) Considere o triângulo ABC acutângulo e não equilátero, onde O é o seu circuncentro 
e H o seu ortocentro. A reta que passa por O e H intersecta o lado AB no ponto P, e a reta 
que passa por C e H intersecta o mesmo lado AB no ponto Q. Se a reta suporte de HP é a 
bissetriz do ângulo ˆAHQ e o segmento HP 4 cm, é correto afirmar que a medida em 
cm do perímetro do triângulo AHP é igual a: 
a) 4 2 3 b) 4 3 2 c) 4 6 3 d) 8 4 2 e) 8 4 3 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: e 
 
O ponto O, circuncentro, é o ponto de encontro das mediatrizes do triângulo ABC e centro 
do círculo circunscrito ao triângulo. 
O ponto H, ortocentro, é o ponto de encontro das alturas do triângulo ABC. 
A reta suporte de HP é a bissetriz do ângulo ˆAHQ, então ˆ ˆAHP PHQ .   
Seja K o ponto médio de OH, então K é o centro do círculo de 9 pontos, que passa pelos 
pontos médios dos lados, pés das alturas e pontos médios dos segmentos que ligam o 
ortocentro aos vértices. 
Sendo J o ponto médio de AH, então KJ KQ. 
Sabemos que ˆ ˆKHQ KHP 180 ,   KH é lado comum e KQ KJ. Assim, nos 
triângulos KHQ e KHJ, temos uma correspondência lado-lado-ângulo, o que associado 
ao fato de ambos os triângulos serem obtusângulos garante a congruência desses 
triângulos. Daí, conclui-se que HQ HJ. 
Sabemos que o simétrico do ortocentro em relação ao lado está sobre o círculo 
circunscrito, então cAH AH e cHH 2 HQ 2HJ AH.    Logo, o triângulo cAHH é 
equilátero. 
Como HP é bissetriz e AG altura do triângulo equilátero cAHH , então P é baricentro do 
triângulo. Se L é o lado do triângulo equilátero, então 
2 L 3
4 L 4 3.
3 2
    
O perímetro do triângulo AHP é 2p AP HP AH 4 4 4 3 8 4 3 cm.        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) Observe a figura a seguir: 
 
A figura apresenta o passo a passo de uma folha retangular, 24 cm 16 cm, que será 
dobrada e depois cortada. Tanto as etapas das dobras como a maneira que a folha será 
cortada após essas dobras estão indicadas na figura. A final da última etapa de dobras, 
visto de cima, o aspecto do papel é de um quadrado de 8 cm 8 cm. Dois vértices desse 
quadrado são escolhidos para serem retirados; visto de cima, cada corte é um arco de 
circunferência de 90 , que tem centro nesse vértice e raio 2 cm. Considere 3  e 
determine a área da folha desdobrada que sobrou após os cortes, em centímetros 
quadrados. 
a) 348 b) 354 c) 360 d) 366 e) 372 
 
RESOLUÇÃO: a 
A folha dobrada possui 6 “camadas”. 
Note que, nos quadrados de 8 cm 8 cm, os arcos de circunferência de 90 e raio 2 m 
não se intersectam independentemente de quais sejam os dois vértices escolhidos. Assim, 
a área retirada nos cortes realizados em 2 vértices, considerando as 6 camadas, é 
2
2
setor 90
2
2 6 S 12 12 12 3 36 cm .
4


         
A área original da folha era 
224 16 384 cm ,  então a área da folha desdobrada, que 
sobrou após os cortes, é 
2384 36 348 cm .  
 
 
 
 
 
 
 
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8) Observe a figura a seguir: 
 
Ela apresenta um quadrado ABCD com lado medindo 2 unidades de comprimento (u.c.). 
Sabe-se que G é o centro desse quadrado e que CE 1u.c. é o prolongamento do lado 
BC. Se 1s é a área do triângulo FHC e 2s é a área do triângulo FHG, é correto afirmar 
que a razão 1
2
s
s
 é igual a: 
a) 
7
8
 b) 
8
9
 c) 
9
10
 d) 1 e) 
6
5
 
 
RESOLUÇÃO: d 
FC CE FC 1 2
FCE ~ ABE FC
AB BE 2 3 3
        
2
HC FC HC 1 HC HA3FHC ~ BHA k
HA AB HA 2 3 1 3
          
Na proporção acima adotamos a constante de proporcionalidade k, o que resulta HC k 
e HA 3k. 
Como G é o centro do quadrado, então 
AC HA HC k 3k
GC 2k.
2 2 2
 
    Logo, 
GH GC HC 2k k k.     Os triângulos FHC e FHG têm vértice F comum e bases GH 
e HC sobre a mesma reta, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas 
bases. Assim, temos: FHC1
2 FHG
Ss HC k
1.
s S HG k
    
 
 
 
 
 
 
 
9) Uma prova de língua estrangeira foi aplicada aos 
7
8
 dos alunos matriculados numa 
turma em um dia em que não houve presença total dos matriculados. Nesse dia o número 
 
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de alunos na turma que falava fluentemente inglês era 12 a menos do que o número 
daqueles que não falavam fluentemente inglês. Após a correção da prova foi constatado 
o seguinte: a média aritmética de todas as notas dos alunos presentes foi 7,2. Todos os 
alunos que falavam fluentemente inglês obtiveram nota 9,2 e todos os alunos que não 
falavam fluentemente inglês obtiveram nota 6,4. É correto afirmar que o total de alunos 
matriculados nessa turma é um número cuja soma dos algarismos vale: 
a) 5 b) 8 c) 11 d) 12 e) 13 
 
RESOLUÇÃO: a 
Seja x o número de alunos presentes que falavam fluentemente inglês, então o número de 
alunos presentes que não falavam fluentemente inglês é x 12. 
Logo, x alunos tiveram nota 9,2 e x 12 alunos tiveram nota 6,4. 
A média das notas de todos os alunos presentes foi 7,2, então 
 
 
x 12 6,4 x 9,2
7,2 6,4x 76,8 9,2x 14,4x 86,4 1,2x 9,6 x 8
x x 12
   
         
 
 
Portanto, a quantidade de alunos presentes era 2x 12 2 8 12 28.     
Sendo n o total de alunos matriculados, então 
7
n 28 n 32,
8
    cuja soma dos 
algarismos é 3 2 5.  
 
 
10) Observe a figura a seguir: 
 
Ela apresenta um trapézio retângulo com bases AB e CD. Sabe-se também que as 
bissetrizes internas com vértices em A e em D e o lado BC, se intersectam em P. Sendo 
assim, analise as afirmações a seguir. 
(i) ˆAPD 90  
(ii) BP CP 
(iii) 
2 2 2AD BP CP  
(iv) AD AB CD  
São verdadeiras: 
a) i, ii e iii apenas 
b) i, ii e iv apenas 
c) i, iii e iv apenas 
d) ii, iii, e iv apenas 
e) i, ii, iii e iv 
 
RESOLUÇÃO: b 
 
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Como AB CD, então ˆDAB 2x e ˆADC 2y são ângulos colaterais internos, o que 
implica ˆ ˆDAB ADC 180 2x 2y 180 x y 90 .         
AP e DP são bissetrizes dos ângulos ˆDAB 2x e ˆADC 2y, respectivamente, então 
ˆ ˆBAP DAP x  e ˆ ˆADP CDP y.  
No triângulo APD, temos: 
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆAPD DAP ADP 180 APD x y 180 APD 90 180 APD 90              (i) 
Logo, o triângulo APD é retângulo em P. 
Seja Q o ponto médio de AD, então PQ é a mediana relativa à hipotenusa do triângulo 
APD, o que implica AQ DQ PQ.  
Como AQ QP, então o triângulo AQP é isósceles e ˆ ˆPAQ APQ x.  
Como ˆˆAPQ PAB x,  então PQ AB CD. 
Como PQ AB CD e Q é ponto médio de AD, então PQ é base média do trapézio 
ABCD, o que implica que P é ponto médio de BC, ou seja, BP CP. (ii) 
Além disso, como PQ é base média do trapézio ABCD, então 
AB CD
PQ 2PQ AB CD.
2

    Mas sabemos que 
AD
PQ AQ DQ PQ .
2
    
Assim, temos: 
AD
2PQ AB CD 2 AB CD AD AB CD.
2
         (iv) 
Vamos analisar as afirmativas. 
(i) Verdadeira (demonstrado acima) 
(ii) Verdadeira (demonstrado acima) 
(iii) Falsa 
Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos ABP, DCP e APD, temos: 
2 2 2AB BP AP  
2 2 2CD CP DP  
2 2 2AP DP AD 
Substituindo as duas primeiras igualdades na terceira, vem: 
       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2AD AB BP CD CP BP CP AB CD BP CP          
(iv) Verdadeira (demonstrado acima) 
 
 
11) Ao efetuar o cálculo da expressão com potência 
n 20204 7 variando n, número 
natural diferente de zero, e usando um moderno computador, um estudante encontrou 
 
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diversos números K como resposta. Sem o uso de recurso eletrônico é possível estabelecer 
quais os algarismos das unidades que ele pode ter encontrado para o módulo de K. Ao 
efetuar a multiplicação de todos os algarismos das unidades possíveis para módulo de K 
obtém-se produto igual a: 
a) 15 b) 36 c) 84 d) 105 e) 135 
 
RESOLUÇÃO: d 
Para encontrar os possíveis algarismos das unidades de n 2020K 4 7 ,  devemos 
estudar os restos desses números na divisão por 10. 
Vamos analisar inicialmente o resto de 20207 na divisão por 10. 
 
 
 
   
 
0
1
2
3
4
7 1 mod10
7 7 mod10
7 9 1 mod10
7 7 1 7 3 mod10
7 7 3 21 1 mod10


  
     
   
 
Assim, o período de repetição tem tamanho 4, o que implica 4p7 1, 4p 17 7,  
4p 27 1   e 4p 37 3,  onde p é um número natural. 
Como 2020 4 505,  então    
505
2020 4 5057 7 1 1 mod10 .   
Vamos agora estudar os restos na divisão por 10 de 
n4 . 
 
 
 
 
0
1
2
3
4 1 mod10
4 4 mod10
4 6 mod10
4 4 6 24 4 mod10



   
 
Assim, se n é ímpar  n4 4 mod10 e, se n é par,  n4 6 mod10 . 
Vamos analisar agora como o módulo de K afeta esses restos. 
n 2020 n 2020
n 2020
2020 n n 2020
4 7 , se 4 7
K 4 7
7 4 , se 4 7
 
  
 
 
Se 
n 20204 7 , então 
 
 
n 2020 4 1 3 mod10 , se n é ímparK 4 7
6 1 5 mod10 , se n é par
 
  
 
 
Se 
n 20204 7 , então 
 
 
2020 n 1 4 3 7 mod10 , se n é ímparK 7 4
1 6 5 5 mod10 , se n é par
   
  
   
 
Portanto, os possíveis restos de K na divisão por 10, ou seja, seus algarismos das 
unidades são 3, 5 e 7, cujo produto é 3 5 7 105.   
 
 
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12) A soma e o produto das raízes 1x e 2x de uma equação do 2° grau são iguais. Se s é 
a soma das raízes da equação, é correto afirmar que a expressão 
2 2
2 2
1 2 2 2
1 2
s s
x x
x x
   é 
igual a: 
a) 2s 4s b) 2s 8s c) 24s 16s d) 22s 8s e) 22s 4s 
 
RESOLUÇÃO: e 
É dado que 1 2 1 2s x x x x .    
Elevando 1 2s x x  ao quadrado em ambos os lados e substituindo 1 2s x x , temos: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2s x 2x x x s x 2s x x x s 2s.           
Vamos desenvolver a expressão 
2 2
2 2
1 2 2 2
1 2
s s
x x
x x
   a fim de substituir 1 2s x x . e o 
resultado anterior. Assim, temos: 
 
 
2 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2
1 2 1 2
2 2
x x x xs s
x x x x x x x x 2 x x
x x x x
2 s 2s 2s 4s.
            
   
 
 
 
13) Uma pizza de 40 cm de diâmetro foi dividida corretamente em 16 fatias iguais. Uma 
segunda pizza de 30 cm de diâmetro foi dividida corretamente em 25 fatias iguais. Uma 
menina comeu 3 fatias da primeira pizza, ingerindo o seu quinhão (o que cabe ou deveria 
caber em uma pessoa ou coisa) x, enquanto um homem adulto comeu 12 fatias da segunda 
pizza, ingerindo o seu quinhão y. Quantas fatias da segunda pizza uma mulher adulta 
deverá comer para que o quinhão ingerido por ela seja igual à média geométrica entre x 
e y, considerando 3  e a variação das espessuras das pizzas desprezível? 
a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 11 
 
RESOLUÇÃO: d 
A área de cada fatia da pizza de 40 cm de diâmetro é 
220
25 .
16

  
Logo, o quinhão da menina é x 3 25 75 .     
A área de cada fatia da pizza de 30 cm de diâmetro é 
215
9 .
25

  
Logo, o quinhão do homem adulto é y 12 9 108 .     
O quinhão da mulher adulta deve ser 
x y 75 108 3 25 3 36 3 5 6 90 .               
Como cada fatia da segunda pizza tem área 9 , então o quinhão da mulher adulta 
corresponde a 
90
10
9



 fatias da segunda pizza. 
 
 
14) Observe a figura a seguir: 
 
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Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos p e q e hipotenusa s, ADEF é um 
quadrado de lado unitário com vértice E externo ao triângulo ABC. Utilizando p, q e s 
para representar a soma FG DH obtém-se: 
a) 
2
2
p
q s
q
  b) 
2p
q s
4sq
  c) 
2s
p q
pq
  d) 
2p
q s
2sq
  e) 
p
q s
sq
  
 
RESOLUÇÃO: c 
 
 
Sejam, sem perda de generalidade, AC p e AB q. 
ˆ ˆ ˆ ˆDCH FGB HDC BFG 90     
 p q 1BF FG q 1 FG
BFG ~ BAC FG
BA AC q p q

        
 q p 1HD DC HD p 1
HDC ~ BAC HD
BA AC q p p

        
         
 
2 2 2 2 2 2
2 2
p q 1 q p 1 p q 1 q p 1 p q pq p q
FG HD
q p pq pq
p q
p q
pq
       
    

  
 
 
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Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, temos 2 2 2p q s . 
Substituindo essa última igualdade na expressão anterior, temos: 
 2 2 2p q s
FG HD p q p q .
pq pq

       
 
Alternativamente, poderíamos considerar um sistema de eixos ortogonais com origem em 
A, onde AC está sobre o eixo x e AB, sobre o eixo y. 
A reta r suporte do segmento BC corta o eixo x no ponto  C p,0 e o eixo y no ponto 
 B 0,q , então a equação segmentária dessa reta é 
x y
r : 1.
p q
  
O ponto G é o ponto da reta r que possui ordenada y 1, então 
 G G
G
p q 1x x1 1 q 1
1 1 x FG
p q p q q q

         
Note ainda que a abscissa de G  Gx é a medida do segmento FG. 
O ponto H é o ponto da reta r que possui abscissa x 1, então 
 H H
H
q p 1y y1 1 p 1
1 1 y HD
p q q p p p

         
Note ainda que a ordenada de H  Hy é a medida do segmento DH. 
A conclusão da questão é feita da mesma forma que na solução anterior. 
 
 
15) Observe a figura a seguir: 
 
Um geógrafo posicionado numa praia deseja determinar a distância entre duas ilhas e para 
isso toma como referência os pontos a e B das ilhas como mostra a figura. Na praia ele 
marca dois pontos C e D distantes 70 m um do outro. Usando um medidor de ângulos 
(teodolito), ele determina os ângulos ˆACB 38 ,  ˆBCD 37 ,  ˆADC 60  e ˆADB 53 .  
É correto afirmar que a distância entre os pontos A e B é: 
Dados 
3
sen37 ,
5
  
19
sen 75 ,
20
  
3
cos53
5
  e 
7
2 .
5
 
a) maior do que 70 m e menor do que 75 m. 
b) maior do que 75 m e menor do que 80 m. 
 
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c) maior do que 80 m e menor do que 85 m. 
d) maior do que 85 m e menor do que 90 m. 
e) maior do que 90 m e menor do que 95 m. 
 
RESOLUÇÃO: c 
 
No triângulo ACD, temos ˆCAD 180 75 60 45 .      Aplicando a lei dos senos ao 
triângulo ACD, temos: 
19
70
70 AD 70 sen 75 7 19 7 1920AD 19 5 95.
7sen 45 sen 75 sen 45 2 2
52

   
        
  
 
No triângulo BCD, temos ˆCBD 180 37 60 53 30 .       Aplicando a lei dos senos 
ao triângulo BCD, temos: 
3
70
70 BD 70 sen 37 35BD 140 84.
1sen 30 sen 37 sen 30 5
2

 
      
  
 
Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABD, vem: 
2 2 2 3AB 95 84 2 95 84 cos53 9025 7056 15960 16081 9576 6505
5
AB 80,65
             
 
 
Note que 
2 2 26400 6505 7225 80 AB 85 80 AB 85.        
Logo, AB é maior do que 80 m e menor do que 85 m. 
 
 
16) Considerando os resultados das expressões A e B até a 4ª casa decimal sem fazer 
aproximações e sabendo que: 
   
   
11% de 25 36% de 75 3%de 50
A 8,a1b3
24% de 35 8% de 40
 
 

 e 
   
   
75% de 36 50% de 3 25% de11
B c,3d7e,
35% de 24 40% de 8
 
 

 determine o resto da divisão de N 
por 11 sendo o número  
c d e
N a b .
 
  
a) 0 b) 1 c) 4 d) 7 e) 9 
 
 
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RESOLUÇÃO: b 
   
   
   
   
   
   
75% de 36 50% de 3 25% de11 75% 36 50% 3 25% 11
B
35% de 24 40% de 8 35% 24 40% 8
11% 25 36% 75 3% 50
A
24% 35 8% 40
      
 
   
    
 
  
 
B A c,3d7e 8,a1b3 a 3, b 7, c 8, d 1, e 3         
   c d e 8 1 3 12N a b 3 7 10
   
      
Vamos encontrar o resto de 12N 10 na divisão por 11. 
   1212N 10 1 1 mod11    
Portanto, o resto da divisão de N por 11 é 1. 
 
 
17) Seja     * * 2 2A x, y 17 x y 30xy ,     é correto afirmar que: 
a) A . 
b) existem 7 elementos distintos no conjunto A. 
c) A é um conjunto infinito. 
d) A é um conjunto unitário. 
e) existem 8 subconjuntos próprios de A. 
 
RESOLUÇÃO: a 
 2 2 2 217 x y 30xy 17x 30yx 17y 0      
Considerando a equação anterior como uma equação na variável x e, consequentemente, 
y como um parâmetro real não nulo, então o discriminante  da equação é 
2 2 2900y 4 17 17y 256y .       
Como *y , então 2y 0, o que implica 2256y 0.    
Portanto, a equação 2 217x 30yx 17y 0   não possui raízes reais, ou seja, não existe 
  * *x, y   que satisfaçam a equação, então A . 
 
 
18) Considere o conjunto  1A x | x , n
n 1
  

 um subconjunto da reta. É correto 
afirmar que: 
a) existe um único elemento de A cuja distância a qualquer outro elemento, também de 
A, é inferior a qualquer número real positivo. 
b) zero é um elemento do conjunto A. 
c) fixado qualquer valor real positivo p, sempre existirão dois elementos do conjunto A 
cuja distância na reta real é menor do que p. 
d) existe um elemento do conjunto A que não é racional. 
e) existem dois elementos do conjunto A, de tal modo que a diferença entre eles não é um 
número racional. 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: c 
   1 1 1 1 1A x | x , n 1, , , , ,
n 1 2 3 4 5
   

 
Quanto maior o valor de n, mais próximo de 0 está o número 
1
x ,
n 1


 mas x nunca 
assume o valor 0. 
Vamos analisar cada uma das afirmações. 
a) Falsa 
A distância entre dois elementos consecutivos de A é 
    n n n 1
1 1 1
d x x 0.
n 1 n 1 1 n 1 n 2
     
    
 
Supondo existe um elemento n
1
x
n 1


 de A cuja distância a qualquer outro elemento, 
também de A, é inferior a qualquer número real positivo . Se tomarmos n
d
0,
2
   
então a distância de nx a todos os elementos de A é maior do que , o que é absurdo. 
b) Falsa 
n
1
x
n 1


 é sempre diferente de 0, pois o numerador é sempre não nulo. 
c) Verdadeira 
Seja p 0 e supondo 
     n
1 1 1 1
d p p p n .
n 1 n 2 n 1 n 2 n p
       
   
 
Assim, tomando 
1
n ,
p
 a distância nd entre nx e n 1x  é menor do que p. 
d) Falsa 
Todos os elementos de A são da forma 
1
,
n 1
 ou seja, podem ser escritos na forma de 
uma fração irredutível e, portanto, são todos racionais. 
e) Falsa 
Todos os elementos do conjunto A são racionais e a diferença entre dois números 
racionais é sempre racional. Portanto, não existem dois elementos do conjunto A cuja 
diferença entre eles não seja racional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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19) Observe a figura a seguir. 
 
Na figura temos um triângulo equilátero ABC de baricentro G e o triângulo ABG cujo 
incentro é I. É correto afirmar que o suplemento do ângulo ˆGAI em radianos é igual a: 
a) 
7
9

 b) 
5
6

 c) 
8
9

 d) 
9
10

 e) 
11
12

 
 
RESOLUÇÃO: e 
 
No triângulo equilátero, o baricentro é também incentro. Assim, AG é bissetriz do ângulo 
ˆBAC 60 ,  o que implica ˆ ˆBAG GAC 30 .   
Como I é o incentro do triângulo ABG, então AI é bissetriz do ângulo ˆBAG 30 ,  o que 
implica ˆ ˆBAI IAG 15 .   
Portanto, 
radˆGAI 15 15 rad
180 12
 
    

 e o suplemento de ˆGAI é 
11
rad.
12 12
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20) Observe a figura a seguir. 
 
Na figura, a parábola é a representação gráfica no plano cartesiano da função 
2y x 14x 33.    Sabe-se, sobre o losango ABCD de diagonais AC e BD, com AC 
paralelo ao eixo x e BD paralelo ao eixo y, que o produto das abscissas dos vértices A e 
C é igual a 40 e que o vértice B é o ponto de ordenada máxima da função. É correto 
afirmar que a área do losango em unidades de área é igual a: 
a) 72 b) 64 c) 60 d) 54 e) 48 
 
RESOLUÇÃO: d 
As coordenadas do vértice da parábola, que é o gráfico da função 
2y x 14x 33,    são 
 V
b 14
x 7
2a 2 1
    
 
 e 
2
Vy 7 14 7 33 49 98 33 16.          
O ponto B é o vértice da parábola, então suas coordenadas são  B 7,16 . 
Os pontos A e C são equidistantes do vértice e possuem a mesma ordenada, então suas 
coordenadas podem ser escritas na forma  0A 7 k, y e  0C 7 k, y , com k 0. 
O produto das abscissas dos vértices A e C é 
    2 27 k 7 k 40 49 k 40 k 9 k 3.           
Assim, Ax 7 3 4   e Cx 7 3 10.   
As ordenadas de A e C são dadas por   20 A Cy y y f 4 4 14 4 33 7.         
Logo, as coordenadas de A e C são  A 4,7 e  C 10,7 . 
Como as diagonais do losango cortam-se ao meio, então 
B D D
A C D
y y 16 y
y y 7 y 2.
2 2
 
       
As coordenadas do ponto D são  D 7, 2 . 
As medidas das diagonais do losango são C AAC x x 10 4 6     e 
 
B DBD y y 16 2 18.      
 
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Portanto, a área do losango ABCD é 
AC BD 6 18
S 54
2 2
 
   unidades de área.