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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ensino Superior do Seridó Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Equações diferemciais ordimárias e algumas aplicações
Danielle Dantas Nóbrega
£0fi6
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ensino Superior do Seridó Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Equações diferemciais ordimárias e algumas aplicações
por
Danielle Dantas Nóbrega
sob orientaçǎo da
Profa. Ma. Maria Jucimeire dos Santos
e coorientaçǎo do
Prof. Me. Ivanildo Freire Pereira
Caicó-ÆN Jumho de 2016
i
Catalogação da Publicação na Fonte Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
 (
CDU 51
RN/UF/BS-CAICÓ
1. Equações diferenciais ordinárias. 2. Lineares e não- lineares. 3. Aplicações. I. Santos, Maria Jucimeire dos. II. Pereira, Ivanildo Freire. III. Título.
Nóbrega, Danielle Dantas.
Equações diferenciais ordinárias e algumas aplicações / Danielle Dantas Nóbrega. - Caicó-RN: UFRN, 2016.
58f.: il.
Orientadora: Ma. Maria Jucimeire dos Santos. Coorientador: Me. Ivanildo Freire Pereira.
Monografia (licenciatura em Matemática) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó - Campus Caicó. Departamento de Ciências Exatas e da Terra.
)Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial do Centro de Ensino Superior do Seridó -
Equações diferemciais ordimárias e algumas aplicações
por
Damielle Damtas Nóbrega
Monografia apresentada à coordenaçǎo do curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ensino Superior do Seridó do Campus Caicó-RN, como requisito parcial para a obtençǎo do título de Graduaçǎo em Licenciatura em Matemática.
Aprovada por:
Profa. Ma. Maria Jucimeire dos Samtos - UFÆN (Orientadora)
Prof. Me. Luis Gomzaga Vieira Filho - UFÆN
Prof. Gabriel de Araújo Æamalho - UFÆN
 (
iii
)
"O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora nǎo pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo."(Roger Bacon).
Agradecimemtos
Primeiramente agradeço a Deus, autor do meu destino, por todas as coisas boas e más que me aconteceram, pois foi por meio delas, que sucedeu minha formaçǎo profissional e pessoal, foi uma jornada difícil, mas de muitas vitórias e superaçoes.
Agradeço a minha mǎe Maria Lúcia Dantas Nóbrega pelo carinho, confiança e por todas as suas oraçoes, obrigada por está sempre ao meu lado. A meu pai Valdemar Nóbrega (in memoriam), tenho certeza que onde estiver está muito feliz por mais esta etapa que se conclui em minha vida. A minha querida sobrinha Marina Nóbrega Costa (in memoriam), foi tǎo curto o tempo conosco, no entanto tǎo intenso, obrigada por sua existência meu anjo. Aos meus irmǎos Michelle e Marcelo e a meu cunhado Mácio, que sempre acreditaram que iria concretizar mais esta etapa da minha vida.
Sou eternamente grata a todos os meus Professores, que contribuíram para o meu ensino e aprendizagem, que perdurarǎo por toda vida. Agradeço ao meu professor coorientador Me. Ivanildo Freire Pereira e à professora orientadora Ma. Maria Jucimeire dos Santos, por toda ajuda durante as orientaçoes, serei sempre grata, pois graças a confiança e incentivo consegui concluir este trabalho. Destaco também, minha gratidǎo aos professores: Dr. Francisco de Assis Bandeira e Dr. Deilson de Melo Tavares, a compreensǎo de vocês me fizeram prosseguir neste curso.
Agradeço aos meus colegas universitários e principalmente aos amigos: Reginaldo, Jonas, Denise, Lidiane, Wagner e Renan, por estarem sempre presentes nos meus dias, tornando-os mais agradáveis.
Agradeço a todos que diretamente ou indiretamente contribuíram para a minha formaçǎo acadêmica.
 (
iv
)
Æesumo
O presente trabalho expoe uma breve história a respeito das equaçoes diferenciais, seguido de definiçoes, classificaçoes e métodos de soluçoes que envolvem equaçoes diferenciais ordinárias. No primeiro momento, será apresentado, um breve contexto histórico dando destaque a alguns matemáticos que contribuíram para
o desenvolvimento das equaçoes diferenciais, no segundo momento, definiremos as equaçoes diferenciais ordinárias, e direcionaremos este trabalho para as equaçoes diferenciais ordinárias lineares de primeira e segunda ordem e equaçoes diferenciais ordinárias nǎo-lineares, e por último apresentaremos algumas aplicaçoes das equaçoes diferenciais ordinárias nǎo lineares e lineares, as quais limitam-se as equaçoes lineares ordinárias de segunda ordem. Para desenvolver este trabalho foi realizado um levantamento bibliográfico com pesquisa em fontes impressas e eletrônicas.
Palavras Chaves:	Equaçoes diferenciais ordinárias.	Lineares e nǎo-lineares.
Aplicaçoes.
 (
viii
)
Abstract
This work presents a brief history about the differential equations, followed by definitions, classifications and methods of solutions involving ordinary differential equations. At first, will be presented a brief historical context highlighting some mathematicians who contributed to the development of differential equations, the second time, define the differential equations, and will direct this work for linear ordinary differential equations of first and second order and ordinary differential equations nonlinear, and finally present some applications of ordinary differential equations nonlinear and linear, which are limited to ordinary linear equations of second order. To develop this work was carried out a literature review with research in print and electronic sources.
Key-words: ordinary differential equations. Linear and non-linear. Applications.
Sumário
1 Imtrodução 	1
2 Uma breve história das equações diferemciais	3
3 Equação Diferemcial	Y
3.fi	Classificaçǎo pelo tipo	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	F
3.£	Classificaçǎo pela ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
3.3 Classificaçǎo pela linearidade	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	9
3.4 Soluçǎo de uma equaçǎo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	fiO 3.†	Equaçoes Exatas	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	fifi
3.6 Equaçoes Lineares de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi£ 3.6.fi Problema de valor inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi4 3.6.£ Método de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fi6
3.F	Equaçoes lineares de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	fi9 3.F.fi	Soluçǎo para equaçoes lineares homogêneas com coeficientes
constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	fi9
3.F.£	Problema de valor inicial (PVI) . . . . . . . . . . . . . . . . . .	£O
3.F.3	Reduçǎo de ordem	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	££
3.F.4	Equaçǎo característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	£3 3.F.†	Soluçǎo para equaçoes lineares nǎo-homogêneas com coeficientes
indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	£†
4 Aplicações de equações diferemciais ordimárias		2Y 4.fi	Equaçoes diferenciais lineares de primeira ordem . . . . . . . . . . . . .		£F 4.fi.fi		Circuito elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	£F 4.fi.£		 Crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	£9
4.£	Aplicaçoes de equaçoes diferenciais lineares de segunda ordem	. . . . .	3£
4.£.fi	Sistema massa-mola	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3£
4.£.£	Circuitos elétricos	36
4.3	Aplicaçoes de equaçoes diferenciais ordinárias nǎo-linear	39
4.3.fi	Reaçǎo química	39
4.3.£	Populaçǎo	43
Capítulo 1 Imtrodução
O Estudo das equaçoes diferenciais começou no século XVII com o estudo de cálculo por Newton e Leibniz, sabe-se ainda que as primeiras aplicaçoes foram nas ciências físicas, posteriormente em outras áreas, no entanto, mesmo após passar-se tanto tempo as equaçoes diferenciais, continuam com problemas importantese atrativos, a serem solucionados, essa é uma área de conhecimento que está profundamente enleado ao avanço geral da matemática.
O objetivo deste trabalho é mostrar ao leitor que as equaçoes diferenciais ordinárias nǎo lineares e ordinárias lineares, sejam de primeira ou segunda ordem, podem ser aplicadas a outras ciências, e quem sabe assim despertar no leitor a curiosidade de aprofundar seus conhecimentos nessa área da matemática.
O interesse pela matemática aplicada surgiu logo no início do curso. Mais tarde ao cursar a disciplina equaçoes diferenciais ordinárias houve uma afinidade com o assunto, que despertou bastante interesse, tendo em vista que envolve outras ciências. Escolhi especificamente, investigar sobre equaçoes diferenciais ordinárias pela curiosidade e com o intuito de aprofundar os meus conhecimentos. É satisfatório o uso do Cálculo para resoluçǎo das equaçoes, consolidando os conhecimentos adquiridos nas diversas disciplinas de cálculo e entendendo a sua importância, que muitas vezes nǎo fica claro durante o curso.
O presente trabalho apresenta-se da seguinte forma: fi. Introduçǎo, £. Uma breve história das equaçoes diferenciais, 3. Definiçoes, classificaçoes e métodos de soluçoes que envolvem equaçoes diferenciais lineares, 4. Aplicaçoes de equaçoes diferenciais ordinárias, lineares homogêneas, lineares nǎo-homogêneas, nǎo-lineares, sendo de primeira e segunda ordem. A pesquisa caracterizou-se por um levantamento
 (
fi
)
bibliográfico, em fontes impressas como livros disponíveis na biblioteca¡ como também artigos e dissertaçoes encontradas no periódico Capes.
 (
£
)
Capítulo 2
Uma breve história das equações diferemciais
A teoria das equaçoes diferenciais, segundo Diacu (£OO4, p fi) foi aplicada primeiramente às ciências físicas, posteriormente a outras atividades humanas. Envolvendo desde a engenharia e a biologia até a medicina, os negócios, a história, os esportes e as artes. Elas associam uma funçǎo incógnita a uma ou mais de suas derivadas, resolvê-las significa encontrar todas as suas soluçoes, isto é, todas as funçoes que satisfazem a equaçǎo. Como por exemplo, a equaçǎo
ıt = ı
 (
dt
)relaciona a funçǎo ı = ı(t) assim como também a sua derivada ıt = dı.
Boyce (£OO6, p fi†-fi6) relata uma visǎo histórica das equaçoes diferenciais, onde a mesma iniciou-se com o estudo de cálculo durante o século XVII, pelos matemáticos Isaac Newton (fi64£ - fiF£F) e Gottfried Wilhelm Leibniz (fi646 - fiFfi6), nessa concepçǎo mostra que a evoluçǎo das equaçoes está coesa ao avanço geral da matemática. Nesse período de desenvolvimento inicial, alguns matemáticos tiveram um maior ressalto, dentre eles podemos citar Newton, Leibniz, Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli, Cauchy, Daniel Bernoulli, Euler, Lagrange, Laplace, Gauss e Lipschitz.
 (
dı
) (
dı
)Newton, forneceu a base para a aplicaçǎo das equaçoes diferenciais no século XVIII, através do desenvolvimento do cálculo e explicaçoes dos princípios básicos da mecânica. Ele classificou as equaçoes diferenciais de primeira ordem de acordo com as
 (
3
)
 (
dı
)formas d4
= ƒ (ı)¡ d4
= ƒ (4) e d4
= ƒ (ı, 4) e expandiu um método para resolver a
última equaçǎo na qual ƒ (ı, 4) é um polinômio em ı e 4, usando sériesfi infinitas.
 (
dı
)Leibniz basicamente autodidata em matemática chegou aos resultados fundamentais do cálculo independentemente, pouco depois de Newton, no entanto, foi ele o primeiro a publicar seus estudos, no ano fi684. Diferente de Newton que considerava variáveis mudando com o tempo, Leibniz estudava as variáveis ı e 4 variando sobre sequências de valores infinitamente próximos, ele introduziu a notaçǎo dı e d4 como as diferenças entre os valores sucessivos dessas sequências, ele tinha consciência da importância de uma boa notaçǎo e por isso estabeleceu a notaçǎo de derivada d4 , assim como o sinal de integral. Em fi69fi descobriu o método de separaçǎo de variáveis e desenvolveu o método de reduçǎo de equaçoes homogêneas em equaçoes separáveis, no ano de fi694, o procedimento para resoluçoes de equaçoes lineares de primeira ordem.
Leibniz mantinha contato por cartas com outros matemáticos, e foi por esse meio de comunicaçǎo, que foram resolvidos muitos problemas em equaçoes diferenciais, em especial com os irmǎos Jakob Bernoulli (fi6†4 - fiFO†) e Johann Bernoulli (fi66F - fiF48) os quais contribuíram significativamente com o desenvolvimento de métodos para resoluçǎo de equaçoes diferenciais e expansǎo no campo de suas aplicaçoes.
Segundo Teixeira (£Ofi£, p fi6) Jakob Bernoulli, em fi69O resolveu a equaçǎo
diferencial 4t =
, 	a	, e no mesmo artigo, usou pela primeira vez a palavra
2 (aƒ(b24—a3))
 (
dı
) (
=
) (
e o
) (
aı
)”integral™ no sentido moderno.	Johann Bernoulli resolveu a equaçǎo d4 	4
problema da catenária, uma curva de equaçǎo transcendente a qual era subentendida a partir do modo como a curva era construída e que satisfaz a equaçǎo diferencial
 (
H
)4tt = m √2
(fi ‡ (4t )X). O estudo da catenária encontra-se mais detalhado na dissertaçǎo
de Talavera (£OO8).
Chinchio relata que o avanço do cálculo proporcionou a resoluçǎo de inúmeros problemas, os quais puderam ser modelados matematicamente na forma de equaçoes diferenciais e vários desses problemas como por exemplo a resoluçǎo da braquistócrona, um problema que se destinava a determinar a forma de uma curva ligando dois
fi Seja (an)ncN uma sequência de números reais, entǎo: a soma infinita afi ‡ a2 ‡ a3 ‡ ... ‡ an ‡ ... =
 (
Σ
)œn=fi an é chamada série, onde cada número as é um termo da série, onde an é o termo genérico da série. Para definir a soma de infinitas parcelas, consideram-se as somas parciais.
Sfi = afi S2 = afi ‡ a2
S3 = afi ‡ a2 ‡ a3
 (
.
).
Sn = afi ‡ a2 ‡ a3 ‡ ... ‡ an—fi ‡ an.
pontos distintos sobre um plano vertical, foram resolvidos explicitamente por grandes matemáticos como os da família Bernoulli e Leonhard Euler, mas com o passar do tempo eles perceberam que nǎo seria possível obter procedimentos gerais de resoluçǎo explícita para as equaçoes diferenciais, e no século XVII, pesquisadores desta ciência começaram a procurar outros métodos de estudo das equaçoes diferenciais que nǎo a sua soluçǎo explícita. Nessa época teve grande destaque Augustin Louis Cauchy (fiF89
- fi8†F) que demonstrou a existência de soluçoes para uma grande parte das equaçoes diferenciais.
Daniel Bernoulli, filho de Johann, destacava um interesse maior nas equaçoes diferenciais e suas aplicaçoes, é o seu nome que está associado à equaçǎo de Bernoulli em Mecânica dos Fluídos, foi ele o primeiro a estudar as funçoes que hoje sǎo conhecidas como funçoes de Bessel.
Leonhard Euler (fiFOF - fiF83), o maior matemático do século XVIII, aluno de Johann na universidade e colega de Daniel, foi o matemático mais produtivo, chegando suas obras completas a acumular mais de FO volumes grossos, e seus interesses incluíam todas as áreas da matemática e muitos campos de aplicaçǎo, matemático este que mesmo após ter perdido a visǎo continuou seus trabalhos em ritmo acelerado até o dia de sua morte. Entre o ano de fiF34 e fiF3†, Euler identificou a condiçǎo para que equaçoes diferenciais de primeira ordem sejam exatas¡ no ano de fiF39 desenvolveu o método de variaçǎo de parâmetros e em fiF43 demonstrou a teoria de fatores integrantes e no mesmo artigo encontrou a soluçǎo geral de equaçoes lineares homogêneas com coeficientes constantes. Estendeu esse último resultado para equaçoes nǎo homogêneas de fiF†O - fiF†fi. Frequentemente usou a série de potências para solucionar equaçoes diferenciais, incluiu o uso de aproximaçoes numéricas, o desenvolvimento de métodos numéricos, os quais proveram "soluçoes" aproximadas para algumas equaçoes. Nas equaçoes diferenciais parciais, equaçoes que contém mais de uma variável independente, fez importantes contribuiçoes. Foi ele quem deu o primeiro tratamento sistemático do cálculo de variaçoes e de acordo com Teixeira (£Ofi£, p fi6) trabalhou com séries de Fourier nas quais foram encontradas as funçoes de Bessel emseus estudos sobre vibraçoes de uma membrana circular esticada. Antes do nascimento de Jean-Baptiste Joseph Fourier (fiF68 - fi83O), Friedrich Wilhelm Bessel (fiF84 - fi846) e Pierre-Simon Laplace (fiF49 - fi8£F), Euler já havia aplicado transformadas de Laplace para resolver equaçoes diferenciais.
Joseph-Louis Lagrange (fiF36 - fi8fi3) veio a suceder Euler na cadeira de Matemática na Academia de Berlim em fiF66, e antes disso, no ano de fiF6£ até
 (
†
)
fiF6†, contribuiu com as relaçoes diferenciais elementares, mostrando que a soluçǎo geral de uma equaçǎo linear homogênea de ordem n é uma combinaçǎo linear de n soluçoes independentes. Destacou-se também por seu trabalho fundamental em equaçoes diferenciais parciais e cálculo de variaçoes.
Pierre-Simon de Laplace (fiF49 - fi8£F) eleito para Academia de Ciências em fiFF3, teve destaque no campo da mecânica celeste. A equaçǎo de Laplace é imprescindível em muitos ramos da física matemática, ele a estudou extensivamente em conexǎo com a atraçǎo gravitacional. Seu método ”A transformada de Laplace™ permite solucionar uma equaçǎo diferencial ordinária de coeficientes constantes por meio da resoluçǎo de uma equaçǎo algébrica.
No final do século XVIII, já haviam sido descoberto diversos métodos elementares para solucionar equaçoes diferenciais ordinárias. Segundo Teixeira (£Ofi£, p fiF) já no começo do século XIX, Carl Friedrich Gauss (fiFFF - fi8††) e Augustin- Louis Cauchy (fiF89 - fi8†F) contribuíram no desenvolvimento das teorias e conceitos de funçoes de variáveis complexas. Gauss percebeu que a teoria das funçoes de uma variável complexa era a chave para alcançar muito dos resultados necessários em equaçoes diferenciais aplicadas. Cauchy desenvolveu o método da equaçǎo característica o qual foi uma importante ferramenta na análise e soluçǎo de muitas equaçoes diferenciais parciais. Já no final do século XIX iniciou-se a investigaçǎo de questoes teóricas de existência e unicidade. No ano de fi8F6, Rudolf Lipschitz (fi83£ - fi9O3) desenvolveu o teorema de existência para soluçoes de equaçoes diferenciais de primeira ordem.
O desenvolvimento das soluçoes de determinadas equaçoes diferenciais ainda continua como objeto de pesquisa, com problemas atrativos e importantes ainda nǎo resolvidos. Para muitos matemáticos, conhecer seus resultados básicos e aplicaçoes de equaçoes diferenciais ordinárias é de extrema importância para quem pretende prosseguir seus estudos nessa área da Matemática.
 (
6
)
Capítulo 3
Equação Diferemcial
Equaçoes diferenciais sǎo equaçoes que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em relaçǎo a uma ou mais variáveis independentes.
As equaçoes podem ser classificadas quanto ao tipo, a ordem e a sua linearidade.
3.1 Classificação pelo tipo
As equaçoes diferenciais dividem-se em dois tipos, que sǎo as equaçoes diferenciais ordinárias e as equaçoes diferenciais parciais.
Defimição 3.1.1: Equaçoes Dsfevencsass Ovdsnávsas (EDO) são equaçoes que contém somente devssadas ovdsnávsas de uma ou mass savsásess dependentes, em ve1ação a uma únsca savsáse1 sndependente.
Com o intuito de esclarecer a definiçǎo anterior, ilustraremos dois exemplos.
 (
dı
) (
dı
)Exemplo 1: A equaçǎo du — dv = ı apresenta duas variáveis dependentes u e v, e
 (
.
Σ
)apenas uma única variável independente ı. De acordo com a definiçǎo anterior, temos uma equaçǎo diferencial ordinária.
 (
dı
2
) (
dı
)Exemplo 2: No caso da equaçǎo	d24 X ‡ . d4 Σ3 ‡ 34 = ıX, nota-se que existe
uma variável dependente 4 e uma variável independente ı. Portanto é uma equaçǎo
diferencial ordinária.
Perceba que o número de variáveis dependentes nǎo define uma EDO, visto que é caracterizada por possuir apenas uma única variável independente. Nos nossos exemplos, os números de variáveis dependentes sǎo diferentes, no entanto, por haver apenas uma variável independente, ambas sǎo equaçoes diferenciais ordinárias.
Defimição 3.1.2: Equaçoes Dsfevencsass Pavcsass (EDP) são equaçoes que enso1sem
 (
F
)
as devssadas pavcsass de uma ou mass savsásess dependentes e duas ou mass savsásess sndependentes.
Da mesma forma, ilustraremos dois exemplos.
 (
64
) (
6
ı
)Exemplo 1: Na equaçǎo 6u — 6v = ı temos duas variáveis dependentes u e v, e
 (
‡
)duas variáveis independente 4 e ı. Como existe mais de uma variável independente a equaçǎo é uma EDP.
 (
8
)
 (
6
ı
2
)Exemplo 2: Para a equaçǎo 62x
62x 642
= ıX ‡ 4, nota-se que existe uma única
variável dependente x, e duas variáveis independente ı e 4. Logo, temos uma equaçǎo diferencial parcial.
Portanto, a quantidade de variáveis dependentes nǎo tem importância, pois o que realmente define uma equaçǎo diferencial parcial é possuir mais de uma variável independente. Logo, conclui-se que as equaçoes diferenciais ordinárias diferenciam das equaçoes diferenciais parciais, porque enquanto as equaçoes diferenciais ordinárias envolvem funçoes de uma variável e suas derivadas, as equaçoes diferenciais parciais envolvem funçoes de muitas variáveis e suas derivadas.
3.2 Classificação pela ordem
Defimição 3.2.1: A ovdem de uma equação dsfevencsa1 é dada de acovdo com a devssada de masov ovdem que ne1a apavece, podemos vepvesentav equação dsfevencsa1 ovdsnávsa geva1 de n−éssma ovdem como,
 (
dı
) (
dı
n
)5 .ı, 4, d4 , ..., dn4 Σ = 0.
A ordem da derivada pode ser exemplificada nos exemplo que seguem.
 (
6
ı
2
) (
6t
2
) (
6t
)Exemplo 1: A equaçǎo 62u = 62u — X 6u , apresenta duas derivadas de maior ordem
 (
6
ı
2
) (
6t
2
)que sǎo 62u e 62u , podemos observar ainda que essa equaçǎo possui duas variáveis
 (
Exemplo
 
2:
 
Nesta
 
equaçǎo
 
ı
 
d
3
4
 
‡X
 
.
 
d4
 
Σ
4
 
‡4
 
=
 
0,
 
podemos
 
observar
 
que
 
a
 
derivada
)independentes. Logo é uma equaçǎo diferencial parcial de segunda ordem.
de ordem maior é d34 , tendo em vista que . d4 Σ4 é uma derivada de primeira ordem
 (
dı
3
) (
dı
) (
dı
3
) (
dı
)elevada a quarta potência. Assim por definiçǎo, temos uma equaçǎo de terceira ordem. No exemplo fi, coincidiu que temos duas derivadas de maior ordem, sendo estas de
 (
6
ı
2
) (
6t
2
)segunda ordem, sǎo elas 62u e 62u , entretanto, para definir sua ordem nǎo é necessário
a equaçǎo apresentar mais de uma derivada de ordem maior, basta existir pelo menos uma derivada, como segue no exemplo £.
3.3 Classificação pela limearidade
As equaçoes diferenciais classificam-se em linear e nǎo-linear.
Defimição 3.3.1: Equação Gsneav são equaçoes cujos 1ados, dsvesto e esquevdo, são funçoes 1sneaves, sendo a potêncsa de cada tevmo que enso1se 4 de gvau f, em ve1ação à sncógnsta e suas devssadas. Z uma equação da fovma
dn4	dn—fi4	d4
an(ı) dın ‡ an—fi(ı) dın—fi ‡ · · · ‡ afi(ı) dı ‡ aO(ı)4 = g(ı),	(3.fi)
e possus as duas pvopvsedades:
· A vavsa´ve1 dependente 4 e toda‹ a‹ ‹ua‹ devsvada‹ ‹a˜o do pvsmesvo gvau¡
· Cada soeƒ sssente depende apena‹ de uma vavsa´ve1 sndependente ı.
Ilustraremos os seguintes exemplos, com a finalidade de esclarecer a definiçǎo anterior.
Exemplo 1: A equaçǎo ı34(4) — ıX4tt ‡ Œı4t — 34 = 0, está escrita da mesma forma
que a equaçǎo (3.fi), todos os termos envolvendo 4 tem potência fi e seus coeficientes estǎo em funçǎo apenas de ı, que é a variável independente. Com isso, podemos afirmar que é uma equaçǎo linear.
Exemplo 2: Diferentemente do exemplo fi, a equaçǎo ıXd4 ‡ (4 — ı4 — ıeı) dı = 0
nǎo está explicitamente na forma da (3.fi). No entanto se dividirmos por dı, obtemos:
 (
—
—
)ıX d4 ‡ 4	ı4	ıeı = 0, dı
reorganizando a equaçǎo, onde colocamos 4 em evidência, e adicionando ıeı a ambos os lados da igualdade.
 (
—
)ıX d4 ‡ (fi	ı)4 = ıeı, dı
obtemos uma equaçǎo da forma definida.	Assim, podemos afirmar que a equaçǎo
ıXd4 ‡ (4 — ı4 — ıeı)dı = 0 é linear, onde afi(ı) = ıX, aO(ı) = (fi — ı) e g(ı) = ıeı.
Defimição 3.3.2:	Equação não−1sneav são as equaçoes que não seguem as pvopvsedades das equaçoes 1sneaves.
Os exemplos que seguem, explicam um pouco mais a definiçǎo anterior.
 (
dı
3
)(
dı
)Exemplo 1: Note que a equaçǎo ı d34 —X . d4 Σ4 ‡4 = 0, possui uma derivada elevada
a quarta potência, descumprindo a primeira propriedade da definiçǎo de equaçǎo linear. Caracterizando assim uma equaçǎo nǎo linear.
 (
dı
)Exemplo 2: Observe que a equaçǎo 4 d4 ‡ X4 = fi ‡ ıX, tem um de seus coeficientes em funçǎo de 4 (variável dependente), onde só deveria depender apenas de ı (variável independente). Com isso, nǎo satisfaz a segunda propriedade da definiçǎo, a qual cada coeficiente depende apenas de uma variável dependente ı. Portanto, essa equaçǎo é nǎo-linear.
3.4 Solução de uma equação diferemcial
Defimição 3.4.1: Øua1quev função ƒ deflnsda em a1gum sntevsa1o I, que quando subststusda na equação dsfevencsa1, vedus a equação a uma sdentsdade, é chamada de so1ução pava a equação no sntevsa1o. Ou seja, uma so1ução pava a equação dsfevencsa1
5 Σı, 4, 4t , ..., 4n(ı)Σ = 0,
é uma função f que possus pe1o menos n devssadas e satssfas a equação
5 Σı, ƒ (ı), ƒ t (ı), ..., ƒ n(ı)Σ = 0, pava todo s pevtencente ao sntevsa1o.
A resoluçǎo do exemplo a seguir tem como finalidade esclarecer resoluçoes das equaçoes diferenciais.
Exemplo 1: Dada a equaçǎo 4t = X5 ‡ 4X, devemos verificar se 4 = 5 tg 5ı é uma
soluçǎo para essa EDO. Como 4 = 5 tg 5ı entǎo 4t = X5 xecX 5ı.
Substituindo 4 e 4t na equaçǎo, temos:
X5 xecX 5ı — X5 — (5 tg 5ı)X = 0
pelas propriedades das identidades fundamentais da trigonometria, temos que fi‡
tgXt = xecX t → fi‡ tgX5ı = xecX 5ı, logo,
X5 .fi ‡ tgX5ıΣ — X5 — (5 tg 5ı)X = 0,
usando distributividade resulta em:
X5 ‡ X5 tgX5ı — X5 — X5 tgX5ı = 0.
 (
fiO
)
Portanto, 4 = 5 tg 5ı é soluçǎo da equaçǎo 4t = X5 ‡ 4X.
3.5 Equações Exatas
Uma expressǎo diferencial
M (ı, 4)dı ‡ N (ı, 4)d4
é uma diferencial exata em uma regiǎo R do plano ı4 se ela corresponde à dsfevencsa1 tota1 fi de alguma funçǎo ƒ (ı, 4). Uma equaçǎo diferencial da forma
M (ı, 4)dı ‡ N (ı, 4)d4 = 0
é chamada de uma equação esata se a expressǎo do lado esquerdo é uma diferencial exata.
Teorema 3.5.1 (Gvstévso pava uma Dsfevencsa1 Esata) Sejam M (ı, 4) e N (ı, 4) funçoes contsnuas com devssadas pavcsass contsnuas em uma vegsão vetangu1av Æ deflnsda pov a c ı c b, s c 4 c d. Então, uma condsção necessávsa e suflcsente pava que
M (ı, 4)dı ‡ N (ı, 4)d4
 (
fifi
)
seja uma dsfevencsa1 esata é
6M	6N
=	.
64	6ı
Algumas vezes, uma equaçǎo nǎo exata pode ser convertida em uma equaçǎo exata multiplicando-a por uma funçǎo µ chamada fator de integraçǎo, que resulta na equaçǎo
µM (ı, 4)dı ‡ µN (ı, 4)d4 = 0,
a soluçǎo pode nǎo ser equivalente à original, pois a multiplicaçǎo pode ocasionar perdas ou ganhos de soluçǎo.
fi Diferencial total, como o movimento dos pontos (sO,yO) para (sO ‡ ds, yO ‡ dy) próximo, a variaçǎo resultante df = fı(sO,yO)ds ‡ f4(sO,yO)dy na linearizaçǎo de f.
3.6 Equações Limeares de Primeira Ordem
Podemos definir uma equaçǎo linear como uma equaçǎo diferencial da forma
d4
afi(ı) dı ‡ aO(ı)4 = g(ı)
dividindo a equaçǎo pelo coeficiente afi(ı), obtemos:
afi(ı) d4 ‡ aO(ı) 4 = g(ı)
afi(ı) dı	afi(ı)	afi(ı)
 (
fi£
)
 (
a 
(ı)
)tome P (ı) = a0(ı)
fi
e ƒ (ı) = g(ı) , substituindo na equaçǎo obtemos uma forma mais
 (
a 
(ı)
)fi
útil de uma equaçǎo linear
d4
‡ P (ı)4 = ƒ (ı).	(3.£)
dı
 (
Σ
Σ
)Usando diferenciais, multiplicando a equaçǎo por dı, obtemos:
dı d4 ‡ P (ı)4	= dıƒ (ı) dı
→ d4 ‡ P (ı)4dı = ƒ (ı)dı
reescrevendo, adicionando o inverso aditivo de ƒ (ı)dı, obtemos:
d4 ‡ [P (ı)4 — ƒ (ı)] dı = 0
multiplicamos a equaçǎo por µ(ı),
µ(ı)d4 ‡ µ(ı) [P (ı)4 — ƒ (ı)] dı = 0
pelo Teorema (3.†.fi), o lado esquerdo da equaçǎo é uma diferencial exata, se:
6	6
6ıµ(ı) = 64 µ(ı) [P (ı)4 — ƒ (ı)]
ou seja,
dµ
= µP (ı)
dı
 (
µ
)multiplicando a equaçǎo por dı, obtemos a equaçǎo separável:
dµ
= P (ı)dı
µ
encontrando o µ(ı), integrando ambos os lados da igualdade, temos:
 (
µ
)∫ dµ = ∫ P (ı)dı
 (
fi
3
)
assim,
usando exponencial, temos:
ln |u| = ∫ P (ı)dı
eln†u†
P (ı)dı
 (
∫
)= e
 (
∫
)dessa forma encontramos que o fator integraçǎo para a equaçǎo linear é:
P (ı)dı
µ(ı) = e	(3.3)
Para exemplificar a resoluçǎo de equaçǎo lineares de primeira ordem, segue o exemplo.
Exemplo 1: Seja a equaçǎo
ı d4 ‡ 4 = eı.	(3.4)
dı
 (
dı
)Como podemos observar a equaçǎo (3.4), nǎo se encontra na forma da equaçǎo linear de primeira ordem (3.£), entǎo dividindo a equaçǎo por ı que é o coeficiente d4 ,
obtemos assim a equaçǎo
d4	4
‡	=
dı	ı
eı
,	(3.†)
ı
 (
ı
)onde temos P (ı) = fi .Calculando o fator integraçǎo µ(ı),
 (
ln
 
ı
)∫ fi dı
x
µ(ı) = e
→ µ(ı) = e	= ı.
Encontrado o µ(ı) = ı, multiplicamos a equaçǎo (3.†) por ele
 (
ı
) (
‡
dı
ı
) (
=
 
ı
) (
→
 
ı
dı
 
‡
 
4
 
=
 
e
)Σ d4	4 Σ	Σ eı Σ	d4	ı
 (
ı
)
 (
ı
)
reescrevendo a equaçǎo, obtemos
d [ı.4] = eı dı
integrando ambos os lados
 (
∫
∫
)obtemos assim,
d [ı.4]dı =	eıdı dı
ı	eı	s
ı.4 = e ‡ s → 4 = ı ‡ ı,
onde s, é a constante de integraçǎo.
3.6.1 Problema de valor imicial (PVI)
O problema de valor inicial, consiste na resoluçǎo de equaçoes diferenciais de primeira ordem, que pode ser definida geometricamente em algum intervalo I, tal que o gráfico passe por um ponto (ıO,4O) determinando que a equaçǎo
d4
= ƒ (ı, 4)	(3.6)
dı
está sujeita a uma condiçǎo inicial 4(ıO) = 4O, onde:
ıO— um número no intervalo I, e
4O— número real arbitrário
Teorema 3.6.1 (Essstêncsa de uma únsca so1ução) Seja R uma vegsão vetangu1av no p1ano ı4 deflnsda pov a ≤ ı ≤ b, s ≤ 4 ≤ d, que contém o ponto (ıO,4O) em seu sntevsov.
 (
64
)Se ƒ (ı, 4) e 6ƒ são contsnuas em R, então essste um sntevsa1o I centvado em ıO e uma
únsca função 4(ı) deflnsda em I que satssfas o pvob1ema de sa1ov snscsa1.
Para entendermos o problema de valor inicial (PVI), segue o exemplo.
Exemplo 1: Resolva o problema de valor inicial (PVI)
d4
‡ 4 = 0, 4(0) = fi	(3.F)
dı
Soluçǎo:
 (
∫
ı
)Percebe-se que a equaçǎo já está na forma de equaçǎo de primeira ordem (3.£), sendo assim, temos P (ı) = fi, entǎo vamos calcular o fator integraçǎo µ(ı)
fidı
µ(ı) = e	→ µ(ı) = e
 (
Σ
Σ
)vamos multiplicar a equaçǎo (3.F) por µ(ı) = eı,
eı		d4 ‡ 4	= eı.0 dı
 (
fi†
)
obtemos,
eı d4 ‡ eı4 = 0 → d [eı.4] = 0.
dı	dı
 (
∫
∫
)Integrando ambos os lados
resulta que
d [eı.4]dı =	0dı dı
 (
→
)eı.4 = s	4 = s ,
eı
→ 4 = se—ı,	(3.8)
assim, para encontrar o valor da constante s, tendo como condiçǎo inicial 4(0) = fi,
vamos substituir em (3.8)
4 = se—ı → fi = se—O → s = fi
Logo, como s = fi, substituindo na equaçǎo (3.8), temos que a soluçǎo é dada por
4 = e—ı.
Para demonstrar que existem outras maneiras de resolver uma equaçǎo linear de primeira ordem que esteja sujeita a uma condiçǎo inicial, 4(ıO) = 4O, vamos utilizar o Método de Picard.
3.6.2 Método de Picard
Considere o problema de valor inicial (3.6) tal que, 4(ıO) = 4O, onde ƒ é uma funçǎo contínua em uma regiǎo que contém o ponto (ıO, 4O).
 (
Σ
Σ
)Multiplicando a equaçǎo do PVI, por dı
dı d4	= dı [ƒ (ı, 4)] dı
→ d4 = ƒ (ı, 4)dı
integrando ambos os lados da equaçǎo, e tomando ı = t e 4 = 4(t)
 (
4
(
ı
)
 
=
 
s
 
‡
) (
ƒ (t,
 
4(t))dt
)∫ ı
 (
ı
0
)
 (
4
(
ı
)
 
=
 
s
 
‡
)	 (
ƒ (t,
 
4(t))dt
)
 (
ı
0
)
 (
fi6
)
como 4(ıO) = 4O, temos
4O = 4(ıO) = s ‡
ı0
 (
∫
)ƒ (t, 4(t))dt = s.
ı0
Se 4O = s, temos que
4(ı) = 4O ‡
ı
 (
∫
)ƒ (t, 4(t))dt.	(3.9)
ı0
 (
∫
)Substituindo 4(t) por 4O(t), na equaçǎo (3.9) obtemos outra funçǎo mais próxima da soluçǎo, onde
4fi(ı) = 4O ‡
ı
ƒ (t, 4O(t))dt,
ı0
da mesma forma se substituir 4(t) por 4fi(t), na equaçǎo (3.9) temos,
 (
4
X
(
ı
)
 
=
 
4
O
 
‡
) (
ƒ (t,
 
4
fi
(t))dt
)∫ ı
 (
ı
0
)
 (
4
X
(
ı
)
 
=
 
4
O
 
‡
)	 (
ƒ (t,
 
4
fi
(t))dt
)
 (
ı
0
)
Assim, segue uma sequência 4fi(ı), 4X(ı), 43(ı), ... cujo n-ésimo termo é definido por
 (
4
n
(
ı
)
 
=
 
4
O
 
‡
) (
ı
0
) (
ƒ
 
(t,
 
4
n—fi
(t))dt,
 
n
 
=
 
fi,
 
X,
 
3,
 
...
) (
4
n
(
ı
)
 
=
 
4
O
 
‡
) (
ı
0
) (
ƒ
 
(t,
 
4
n—fi
(t))dt,
 
n
 
=
 
fi,
 
X,
 
3,
 
...
)∫ ı
o uso repetitivo da fórmula da equaçǎo (3.9) é conhecido como métodoiterativo de Picard.
Exemplo 2: Segue como exemplo a resoluçǎo da equaçǎo(3.F), que foi resolvido
anteriormente pelo problema de valor inicial, agora a mesma equaçǎo será solucionada pelo método de Picard.
 (
dı
)Seja a equaçǎo d4 ‡ 4 = 0, com a condiçǎo inicial 4(0) = fi
 (
dı
)Soluçǎo: Isolando d4 , temos
d4
dı = —4
 (
dı
)tomando d4 = ƒ (ı, 4) , onde ƒ (t, 4(t)), logo ı = t e 4 = 4(t)
ƒ (t, 4(t)) = —4(t)	(3.fiO)
 (
fiF
)
 (
ı
0
) (
∫
)considere a equaçǎo de Picard 4(ı) = 4O 4O(ı) = fi,
‡ ∫ ı ƒ (t, 4
n—fi
(t))dt, onde temos ıO
= 0,
Encontrando 4fi em (3.fifi),
4n = fi ‡
ı
—4n—fi(t)dt.	(3.fifi)
 (
O
)
4fi = fi ‡
ı
 (
∫
) (
—
)fidt
O
 (
ı
)→ 4fi = fi ‡ [—t]O
→ 4fi = fi — ı.
Para solucionar 4X, vamos usar 4fi = fi — t, na equaçǎo (3.fifi),
 (
4
X
 
= 
fi
 
‡
) (
O
) (
—
 
[fi
 
—
 
t]
 
dt
) (
4
X
 
= 
fi
 
‡
) (
O
) (
—
 
[fi
 
—
 
t]
 
dt
) (
∫
)∫ ı
4X = fi ‡
ı
 (
—
)fi ‡ tdt
O
 (
Σ
) (
→ 4
X
 
= 
fi
 
‡
) (
—t
 
‡
)Σ	tX Σı
 (
X
) (
O
)
 (
X
) (
X
)
→ 4X = fi ‡
Σ—ı ‡ ı
Agora para solucionar 43,
→ 4X = fi — ı ‡
vamos considerar 4X
ıX
 (
X
).
X
 (
X
)= fi — t ‡ t2 , e substituir na equaçǎo
 (
fi
8
)
(3.fifi),
43 = fi ‡
ı	tX
 (
∫
) (
Σ
) (
∫
) (
Σ
) (
O
)— fi — t ‡ X	dt
→ 43 = fi ‡
ı	tX
 (
O
)—fi ‡ t — X dt
 (
Σ
)→ 43 = fi ‡ Σ—t ‡
tX	t3 ı
X — 6
43 = fi ‡ Σ—ı ‡
O
 (
Σ
)ıX	ı3
X — 6
ıX	ı3
 (
—
)→ 43 = fi — ı ‡ X	6 .
 (
∫
) (
Σ
) (
Σ
)Da mesma forma para encontrar 44, segue que substituindo na equaçǎo (3.fifi), resulta
44 = fi ‡
ı
 (
∫
)— fi — t ‡
 (
O
)
tX	t3
X — 6	dt
→ 44 = fi ‡
ı	tX	t3
 (
O
)—fi ‡ t — X ‡ 6 dt
 (
→
 
4
4
 
=
 
fi
 
‡
) (
—t
 
‡
) (
X 
—
) (
‡
6
XŒ
)Σ	tX	t3
	
t4 Σı
 (
O
)
 (
→
 
4
4
 
=
 
fi
 
‡
) (
—
ı
 
‡
) (
X 
—
)Σ	ıX
ı3	ı4 Σ
	
 (
‡
6
XŒ
)ıX	ı3	ı4
 (
—
)→ 44 = fi — ı ‡
‡	.
X	6	XŒ
Portanto, podemos mostrar que pelo metódo iterativo de Picard é possível resolver uma equaçǎo linear, e podemos ainda definir seu n-ésimo termo como
4n = fi ‡
(—ı) ‡ fi!
( ı)X
 (
—
)‡
X!
( ı)3
 (
—
)‡
3!
(—ı)Œ ‡ ... ‡ Œ!
( ı)n
 (
—
),
n!
isto é,
4 = Σ (—ı)
→ lim 4n
(ı) = e—ı.
 (
n
) (
n
) (
h
)h!
h= O
n‹œ
3.Y Equações limeares de segumda ordem
As equaçoes lineares de segunda ordem sǎo de grande importância no estudo das equaçoes diferenciais por duas razoes: por ter uma estrutura teórica rica, implícita a diversos métodos sistemáticos de resoluçǎo e por elas serem essenciais para qualquer investigaçǎo séria das áreas clássicas da física matemática. É da forma
dX4
dtX = ƒ
t, 4, d4	,
 (
Σ
) (
.
)dt
onde:
ƒ —uma funçǎo dada
t—uma variável independente
4—uma variável dependente
Para a equaçǎo acima ser linear a funçǎo ƒ deve ter a forma
 (
dt
) (
dt
)ƒ .t, 4, d4 Σ = g (t) — p (t) d4 — q (t) 4.
Assim, se ƒ é linear em 4t e 4tt na equaçǎo acima, temos que g, p e q sǎo funçoes especificadas da variável independente t, porém nǎo depende de 4, logo, podemos reescrever a equaçǎo da seguinte forma:
dX4	d4
dtX = g (t) — p (t) dt — q (t) 4
dX4	d4
→ dtX ‡ p (t) dt ‡ q (t) 4 = g (t)
ou
4tt ‡ p (t) 4t ‡ q (t) 4 = g (t) .	(3.fi£)
3.Y.1 Solução	para	equações	limeares	homogêmeas	com coeficiemtes comstamtes
Seja a equaçǎo de segunda ordem da forma
dX4	d4
dtX ‡ p (t) dt ‡ q (t) 4 = g (t) .
Se g(t) = 0, a equaçǎo é de segunda ordem linear homogênea, no entanto, se g(t) ƒ= 0, temos uma equaçǎo de segunda ordem linear nǎo-homogênea.
Teorema 3.Y.1 (Pvsncspso da supevpossção) Se 4fi e 4X são so1uçoes da equação homogênea 4tt ‡ p (t) 4t ‡ q (t) 4 = 0, então a combsnação 1sneav 4 = sfi4fi ‡ sX4X é também so1ução desta equação, quassquev que sejam sfi, sX númevos veass.
O Teorema está demonstrado em Chinchio (£Ofi£, p 46), ele nos garante que a soma de duas soluçoes da equaçǎo diferencial linear homogênea é também uma soluçǎo.
3.Y.2 Problema de valor imicial (PVI)
É um problema que consiste na resoluçǎo de equaçoes de ordem dois ou maior, no entanto, nesse trabalho vamos limitar até equaçoes de segunda ordem, e a variável dependente 4 ou suas derivadas, especificadas em pontos diferentes. Assim, temos:
dX4	d4
aX(t) dtX ‡ afi (t) dt ‡ aO (t) 4 = g (t) , 4(a) = 4O, 4j(b) = 4fi	(3.fi3)
um problema de valor inicial, onde 4(a) = 4O, 4j(b) = 4fi, sǎo as condiçoes de contorno ou de fronteiras, cuja soluçǎo é uma funçǎo que satisfaça a equaçǎo diferencial em um intervalo I, contendo a e b, e seu gráfico passa nos pontos (a, 4O) e (b, 4fi).
Exemplo 1: Dada a equaçǎo
4jj — Œ4 = fiXı,	(3.fi4)
verifique que 4 (0) = Œ, 4j(0) = fi, sǎo condiçoes iniciais para que 4 = 3eXı ‡ e—Xı — 3ı
seja soluçǎo para o PVI. Soluçǎo: Dado
4 = 3eXı ‡ e—Xı — 3ı
→ 4j = 6eXı — Xe—Xı — 3
→ 4“ = fiXeXı ‡ Œe—Xı.
Substituindo 4 e 4“ na equaçǎo (3.fi4),
fiXeXı ‡ Œe—Xı — Œ Σ3eXı ‡ e—Xı — 3ıΣ = fiXı,
 (
£O
)
agora basta verificar se as condiçoes iniciais sǎo válidas. Substituindo ı = 0
4 = 3eXı ‡ e—Xı — 3ı
 (
£fi
)
temos
de fato, 4(0) = Œ.
Substituindo ı = 0, em 4j :
confirmamos que 4j(0) = fi.
3eX.O ‡ e—X.O — 3.0 = Œ,
4j = 6eXı — Xe—Xı — 3
→ 6eX.O — Xe—X.O — 3 = fi
Dessa maneira, concluímos que a funçǎo 4 = 3eXı ‡ e—Xı — 3ı, é uma soluçǎo do problema de valor inicial.
Depemdêmcia limear e imdepemdêmcia limear
Um conjunto de funçoes ƒfi(ı), ƒX(ı), ..., ƒn(ı) é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes sfi, sX, ..., sn nǎo todas nulas, tais que sfiƒfi(ı)‡ sXƒX(ı) ‡ ... ‡ snƒn(ı) = 0 para todo ı no intervalo, assim, pelo menos uma funçǎo pode ser expressa como uma combinaçǎo linear das outras funçoes, caso contrário o conjunto de funçoes é linearmente independente.
Teorema 3.Y.2 (Gvstévso pava sndependêncsa 1sneav de funçoes) Suponha que ƒfi(ı), ƒX(ı), ..., ƒn(ı) sejam dsfevencsásess pe1o menos n — fi seses, se o detevmsnante
 (
j
) (
j
) (
j
) (
.
) (
.
) (
.
) (
.
)ƒfi	ƒX	· · ·	ƒn
ƒfi	ƒX	· · ·	ƒn
 (
ƒ
 
(n—fi)
) (
n
)
.	.	.	.
.	.	.	.
 (
fi
) (
X
) (
n
) (
fi
) (
X
) (
n
) (
. 
ƒ
 
(n—fi)
) (
·
 
·
 
·
ƒ
 
(n—fi)
) (
.
).	.
fov dsfevente de sevo em pe1o menos um ponto do sntevsa1o I , então as funçoes ƒfi(ı), ƒX(ı), ..., ƒn(ı) sevão 1sneavmente sndependentes no sntevsa1o.
O determinante desse teorema é chamado de Wronskiano e denotado por
W(ƒfi(ı), ƒX(ı), ..., ƒn(ı)). Esse Teorema está demonstrado no livro de Zill e Cullen.
3.Y.3 Æedução de ordem
O método de reduçǎo de ordem consiste em construir uma segunda soluçǎo a partir de uma soluçǎo conhecida. Vamos supor que 4fi(ı) seja uma soluçǎo nǎo trivial para a equaçǎo
aX(ı)4“ ‡ afi (ı) 4j ‡ aO (ı) 4 = 0	(3.fi†)
supondo que os coeficientes da equaçǎo (3.fi†) sǎo contínuos e o coeficiente aX(ı) ƒ= 0 para todo ı no intervalo I. Para encontrarmos uma segunda soluçǎo 4X(ı) reduziremos a ordem da equaçǎo (3.fi†), transformando a mesma em uma equaçǎo de primeira ordem. Exemplo 1: Para exemplificar o método de reduçǎo de ordem, vamos encontrar uma segunda soluçǎo para equaçǎo 4“ ‡ 54j = 0, sabendo que 4fi = fi é uma soluçǎo
para a equaçǎo.
Soluçǎo: Defina 4 = 4fi.u.
Se 4 = u → 4j = uj → 4“ = u“, entǎo substituindo os valores em 4“ ‡ 54j = 0, u“ ‡ 5uj = 0.
Vamos tomar u = uj e uj = u“, dessa maneira, temos
uj ‡ 5u = 0,	(3.fi6)
 (
∫
†
ı
)como podemos observar a equaçǎo (3.fi6), já esta na forma de uma equaçǎo de primeira ordem, entǎo segue as mesmas regras para resolver, assim, dado p(ı) = 5, vamos calcular seu o fator integraçǎo,
†dı
µ(ı) = e	→ µ(ı) = e .
Multiplicando a equaçǎo (3.fi6) por µ(ı) = e†ı,
e†ı [uj ‡ 5u] = e†ı.0 → e†ıuj ‡ e†ı5u = 0,
 (
££
)
ou seja,
d [e†ı.u] = 0
dı
 (
£
3
)
integrando ambos os lados
 (
∫
∫
)d [e†ı.u]dı =	0 dı dı
obtemos,
e†ı.u = s	u = s
 (
→
)e†ı
→ u = se—†ı
isto é, se inicialmente tomamos u = uj, temos que
uj = se—†ı
integrando a equaçǎo
∫ du = s ∫ e—†ıdı
→ u = —fi se—†ı ‡ s
5	fi
definimos que 4 = 4fi.u, e foi dado que 4fi = fi, logo
 (
5
) (
fi
)4 = fi. Σ —fi se—†ı ‡ s Σ
tomando s = —5 e sfi = 0, obtemos como segunda soluçǎo desta equaçǎo
4X = e—†ı.
Utilizando o Wronskiano podemosverificar se as soluçoes 4fi = fi e 4X = e—†ı sǎo linearmente dependente ou linearmente independente, seja
 (
†
ı
.
.
)fi	e—†ı
W(fi, e— )=
. 0 —5e—†ı
. = —5e—†ı.
 (
.
)Assim, como o Wronskiano é nǎo nulo, temos que as soluçoes sǎo linearmente independentes.
3.Y.4 Equação característica
Podemos ver que para equaçǎo de segunda ordem
a4“ ‡ b4j ‡ s4 = 0	(3.fiF)
qualquer que seja a soluçǎo, ela será uma funçǎo que se anula com suas derivadas. Portanto, temos que é uma funçǎo aproximada de suas derivadas. Dessa maneira, se tentarmos uma soluçǎo da forma
4 = emt,
onde m é uma constante.
Dado 4 = emt → 4j = m.emt → 4“ = mX.emt. Substituindo 4, 4j e 4“ na equaçǎo (3.fiF), temos
a .mX.emtΣ ‡ b .m.emtΣ ‡ s.emt = 0
 (
.
Σ
)→ amX .emtΣ ‡ bm .emtΣ ‡ s .emtΣ = 0
→ amX ‡ bm ‡ s emt = 0,
como emt nunca se anula para valores reais de t, para satisfazer a equaçǎo diferencial temos que escolher um m de tal forma que ele seja raiz da equaçǎo quadrática
amX ‡ bm ‡ s = 0,	(3.fi8)
chamada de equaçǎo característica da equaçǎo diferencial.
Para esta equaçǎo diferencial (3.fi8), consideramos três casos: quando as soluçoes das equaçoes correspondem a raízes reais distintas, raízes reais iguais e raízes complexas conjugadas.
1o Caso: raízes reais distintas
Supondo que a equaçǎo característica (3.fi8) possua duas raízes diferentes mfi e mX, encontramos duas soluçoes:
4fi = emfiı e 4X = em2ı.
O conjunto fundamental de soluçoes é qualquer conjunto 4fi, 4X, ..., 4n de n soluçoes linearmente independentes para a equaçǎo diferencial linear homogênea de n-ésima ordem (3.fi) em um intervalo I.
Assim temos como soluçǎo geral
4 = sfiemfiı ‡ sXem2ı.
2o Caso: raízes reais iguais
Dada a equaçǎo característica (3.fi8), temos mfi = mX, logo obtemos uma única
soluçǎo exponencial, e a soluçǎo geral
4 = sfiemfiı ‡ sXıemfiı.
3o Caso: raízes complexas conjugadas
Sendo mfi e mX raízes complexas podemos definir mfi = α ‡ sØ e mX = α — sØ, onde
α e Ø > 0 sǎo reais e sX = —fi, formalmente nǎo há diferença entre este caso e o fio Caso,
4 = sfie(α‡sØ)ı ‡ sXe(α—sØ)ı,
como é preferível trabalhar com funçoes reais em vez de exponenciais complexas, usando a fórmula de Euler, es8 = cox 8 ‡ s ‹en8, chegamos a soluçǎo geral
4 = eαı(sfi cox Øı ‡ sX ‹enØı),	(3.fi9) este caso, esta mais detalhado em Zill e Cullen.
3.Y.5 Solução para equações limeares mão-homogêmeas com coeficiemtes imdetermimados
Uma equaçǎo de segunda ordem
dX4	d4
dıX ‡ p (ı) dı ‡ q (ı) 4 = g (ı)
é classificada como uma equaçǎo linear nǎo-homogênea, quando g(ı) ƒ= 0.
Teorema 3.Y.3 (Pvsncspso da supevpossção − Equaçoes não−homogêneas) Sejam 4pfi, 4pX, ..., 4ph, h so1uçoes pavtscu1aves pava a equação dsfevencsa1 1sneav de n−éssma ovdem (h.f) em um sntevsa1o I, covvespondendo a h funçoes dsstsntas gfi, gX, ..., gh. Isto é, suponhamos que 4pfi seja uma so1ução pavtscu1av pava a equação dsfevencsa1 covvespondente
an(ı)4n ‡ an—fi(ı)4n—fi ‡ · · · ‡ afi(ı)4j ‡ aO(ı)4 = gs(ı)
em que s = fi, X, ..., h. Então,
4p = 4pfi(ı) ‡ 4pX(ı) ‡ ... ‡ 4ph(ı),
 (
£†
)
é uma so1ução pavtscu1av pava
an(ı)4n ‡ an—fi(ı)4n—fi ‡ · · · ‡ afi(ı)4j ‡ aO(ı)4 = gfi(ı) ‡ gX(ı) ‡ ... ‡ gh(ı).
Para solucionar uma equaçǎo diferencial linear nǎo homogênea, devemos:
· encontra-se uma funçǎo complementar 4c, resolvendo a equaçǎo homogênea associada¡
· encontra-se qualquer soluçǎo particular 4p da equaçǎo nǎo homogênea.
Portanto a equaçǎo geral para uma equaçǎo nǎo-homogênea em um intervalo é
4 = 4c ‡ 4p
O método dos coeficientes indeterminados, tem por base o princípio da superposiçǎo, o qual limita-se, a equaçoes lineares nǎo homogênea com coeficientes constantes, onde g(ı) é uma combinaçǎo linear de funçoes do tipo: h(constante), ın, ıneaı, ıneaı‹en Øı e ıneaı cox Øı, onde n é um número inteiro nǎo negativo e α e Ø sǎo números reais.
 (
£6
)
Capítulo 4
Aplicações de equações diferemciais ordimárias
Neste capítulo vamos demonstrar aplicaçoes das equaçoes diferenciais ordinárias, sendo elas lineares de primeira e segunda ordem e nǎo lineares, por meio delas pode-se perceber a interaçǎo da matemática com outras ciências.
4.1 Equações	diferemciais	limeares	de	primeira ordem
4.1.1 Circuito elétrico
 (
. .
 
ΣΣ
)De acordo com a segunda lei de Kirchhoff, a soma da queda de tensǎo do indutor
 (
dt
)J ds	e da queda de tensǎo no resistor (sR) é igual a voltagem (E(t)) do circuito.
Sendo assim, temos como equaçǎo básica, para o seguinte problema
ds
J	‡ Rs = E(t),	(4.fi)
dt
onde:
J—é a indutância (henry) R—é a resistência (ohm) s—é a corrente (ampére)
E— é a força eletromotriz ou fem (volt)
Problema 1: (Zill e Cullen, p fifi4) Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é
 (
£F
)
aplicada a um circuito em série L-R no qual a indutância é de 0, 5 henry e a resistência,
50 ohms. Encontre a corrente s(t) se s(0) = 0. Determine a corrente quando t ‹ œ.
Dados:
J = 0, 5 henry R = 50 ohms E = 30 volts
s : corrente
Substituindo os dados do problema na equaçǎo (4.fi), obtemos
 (
£
8
)
ds
0, 5
dt
‡ 50s = 30,
dividindo a equaçǎo por 0, 5, para obtermos uma equaçǎo da forma (3.£),
ds
‡ fi00s = 60,	(4.£)
dt
 (
∫
) (
fiO
O
t
)sendo P (t) = fi00, o próximo passo é calcular o fator integraçǎo µ(t), na equaçǎo (3.3), assim
fiOO(t)dt
µ(t) = e
Multiplicando a equaçǎo (4.£) por µ(t),
→ µ(t) = e	.
 (
.
Σ
)efiOOt		ds ‡ fi00s	= efiOOt.60 dt
 (
→
)fiOOt ds
fiOOt
fiOOt
isto é,
e		‡ fi00e dt
s = 60e
 (
∫
)integrando a equaçǎo
d	efiOOt.s = 60efiOOt
 (
Σ
Σ
)dt
 (
dt
)d ΣefiOOt.sΣ dt = ∫ 60efiOOtdt
fiOOt
fi	fiOOt
→ e
dividindo a equaçǎo por efiOOt,
.s = 60.	e	‡ s
fi00
s = 3 ‡ se—fiOOt.	(4.3)
5
Usando a condiçǎo inicial onde s(0) = 0, na equaçǎo (4.3),
 (
5
) (
5
)0 = 3 ‡ se—fiOO.O → s = — 3 .
Portanto, temos que
s = 3 — 3 e—fiOOt.
 (
†
) (
5
) (
5
)Assim, passado um longo tempo a corrente é igual a 3 ampére.
4.1.2 Crescimemto e decrescimemto
Problema 2: (Zill e Cullen, p fifi3 ) A populaçǎo de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa-se que há 4OO bactérias presentes. Após fiO horas, existem £OOO bactérias presentes. Øual era o número inicial de bactérias?
Dados:
p—populaçǎo de bactérias
t— tempo
p(t)—populaçǎo em um instante t
p(3) = Œ00 bactérias
p(fi0) = X000 bactérias
p(0) : pO (populaçǎo inicial)
Substituindo os valores do problema na equaçǎo de primeira ordem (3.£),
dp
= hp(t),
dt
onde k é a constante de proporcionalidade.
Resolvendo o PVI, quando essa populaçǎo ainda está no instante p(0) = pO
dp
dt — hp = 0	(4.4)
calculando o fator integraçǎo µ(t), quando p(t) = —h.
µ(t) = e, —hdt → µ(t) = e—ht.
Calculado o fator integraçǎo, vamos encontrar a equaçǎo de crescimento, multiplicando
a equaçǎo (4.4), pelo fator integraçǎo µ(t) = e—ht,
 (
dt
)e—ht Σ dp — hpΣ = e—ht.0
 (
3O
)
pela distributividade, obtemos
 (
dt
) (
dt
)e—ht dp — e—hthp = 0 → d
Σe—ht.pΣ = 0
integrando a equaçǎo,
d Σe—ht.pΣ dt = ∫ 0dt
 (
∫
) (
dt
)→ e—ht.p = s,
logo, a equaçǎo que satisfaz o crescimento da populaçǎo é
p = seht.	(4.†)
Considerando a populaçǎo inicial, onde p(0) = pO, substituindo na equaçǎo (4.†)
pO = seh.O → pO = s.
Como vimos no momento que a populaçǎo se inicia, a nossa constante de proporcionalidade é igual a populaçǎo inicial, logo, pO = s. Substituindo na equaçǎo de crescimento populacional (4.†), temos que a equaçǎo que satisfaz o crescimento da populacǎo é
p = pOeht.	(4.6)
Sabemos que p(3) = Œ00 bactérias, assim:
Œ00 = pOeh.3,
portanto, a populaçǎo inicial é dada por:
pO = Œ00e—3h.	(4.F)
Øuando se passar fiO horas e a populaçǎo atingir X000 bactérias, ou seja, p(fi0) = X000,
usando a equaçǎo (4.6), temos
X000 = pOeh.fiO,
 (
3fi
)
logo,
pO = X000e—fiOh.	(4.8)
Igualando as equaçoes (4.F) e (4.8):
Œ00e—3h = X000e—fiOh
dividindo por Œ00e—fiOh, resulta em:
eFh = 5,
usando o logaritmo, encontramos
th = ln 5 → h =
ln 5
t	c 0, X3,
se k é aproximadamente igual a 0, X3.substituindo esse valorna equaçǎo (4.F) ou (4.8), encontramos o valor da populaçǎo inicial. Usando a equaçǎo (4.F), obtemos,
pO = Œ00e—3.O,X3 → pO = Œ00e—O,69,
sendo e—O,69 aproximadamente igual 0, 50,temos
pO = Œ00.0, 50 → pO c X00.
Portanto, a populaçǎo inicial de bactérias era de aproximadamente X00 bactérias.
4.2 Aplicações de equações diferemciais limeares de segumda ordem
Nessa seçǎo de aplicaçoes de equaçoes diferenciais lineares de segunda ordem, vamos destacar aqui a modelagem de sistema massa mola e circuitos elétricos.
4.2.1 Sistema massa-mola
Figura 3.£.fi: Sistema massa-mola
FONTE: Boyce (£OO6)
O problema a seguir esta relacionado ao movimento de uma massa presa a uma mola, devido a um deslocamento inicial ou devido a uma força externa, compreender esse sistema simples é de extrema importância para o entendimento de sistemas vibratórios mais complicados.
Considerando um objeto de massa m, preso em uma mola elástica de comprimento original 1. Como a figura 3.£.fi, observamos que essa massa produz uma elongaçǎo J da mola para baixo devido seu peso. Seja 5g a força da gravidade que puxa a massa para baixo e tem magnitude mg, onde g é a aceleraçǎo da gravidade. A força de restauraçǎo da mola 5s, puxa a massa para cima. Supondo uma elongaçǎo J pequena, esta força é proporcional a J, logo pela lei de Hookefi temos que 5 ‹ = hJ. Se a massa está em equilíbrio entǎo as forças se compensam mg = hJ, assim se o sistema massa mola estiver em equilíbrio, temos que mg — hJ = 0.
fi RobertHooke (fi63†-fiFO3) cientista inglês que publicou sua lei sobre o comportamento elástico em fi6F6, como ceiiinosssttuve em fi6F8 deu a interpretaçǎo como ut tensio sic vis, significa a grosso modo "como a força, assim é o deslocamento".
 (
3£
)
Vamos considerar que u(t) é o deslocamento da massa referente a uma posiçǎo de equilíbrio no tempo t, medida para baixo. Se ƒ é a soma das forças agindo em m. Aplicando a segunda lei de Newton :
mu“(t) = 5 (t),	(4.9)
onde:
5 (t) a força resultante (soma das forças aplicadas) é igual ao produto da massa m
pela aceleraçǎo u“. Além disso, 5s passa a ser —h(J ‡ u).
Assim para obter 5 , vamos considerar a existência de cinco forças: Peso: Pg = mg (para baixo)
Força constante da mola: 5sc = —hJ (força para cima)
Força da mola: 5s = —hu(t) (força restauradora, e é proporcional a u. Se u > 0, entǎo a mola é estendida e a força atua para cima, assim, 5s = —hu(t), Se u c 0, entǎo a mola é comprimida de uma distância |u|, e a força restaurado atua para baixo, assim, 5s = h |u| = h(—u) = —hu, logo em qualquer caso, 5s = —hu(t).
Força de amortecimento: 5d(t) = —çuj(t) (contrária ao movimento, assumiremos que é proporcional a velocidade), se uj > 0, temos que u é crescente, e a massa se move para baixo. Logo, 5d atua para cima e portanto 5d = —çuj, onde ç > 0¡ se u c 0, entǎo u é decrescente, e a massa se move para cima. Assim, 5d atua para baixo e portanto 5d = —çuj com ç > 0. Portanto temos que em qualquer caso temos que 5d(t) = —çuj(t), ç > 0
Força externa: 5 (t) (força externa)
Considerando a atraçǎo dessas cinco forças, a equaçǎo (4.9), é da seguinte forma
mu“(t) = mg ‡ 5s(t) ‡ 5d ‡ 5 (t)
→ mu“(t) = mg — h[J ‡ u(t)] — çuj(t) ‡ 5 (t)	(4.fiO) se mg = hJ, a equaçǎo (4.fiO) se reduz
mu“(t) ‡ çuj(t) ‡ hu(t) = 5 (t),	(4.fifi)
onde u(t) é o deslocamento da massa a partir do seu ponto de equilíbrio e m, ç e h, sǎo constantes positivas.
 (
33
)
Problema 1: (Teixeira, p Ffi) Um corpo de massa fi00 g estica uma mola fi0 sm. O corpo está preso a um amortecedor viscoso. Considere a aceleraçǎo da gravidade como fi03sm/‹X e suponha que o amortecedor exerce uma força de fi04dsna‹ = fi04g· sm/‹X quando a velocidade é fi0 sm/‹. Se o sistema é puxado para baixo X sm e depois solto, determine a posiçǎo u em funçǎo do tempo t.
Dados:
m = fi00 = fi0X gvama‹
J = fi0 sm
g = fi03sm/‹X
5d = —fi04g.sm/‹X
u (0) = X sm/‹ uj (t) = fi0 sm/‹
Para determinar a posiçǎo u em funçǎo do tempo t, vamos primeiramente encontrar a constante da mola e a constante de amortecimento.
Se,
dessa maneira temos que
m.g = h.J → h =
fi0X.fi03
m.g
L
4
h =
fi0
= fi0 .
Logo, a constante da mola h é igual a fi04.
Para encontrar a constante de amortecimento
5 (t) = —çuj(t) → —ç = 5d(t)
d	uj(t)
obtemos,
 (
—
—fi0
)4
ç =
fi0
= fi03.
Podemos observar que no problema nada foi dito a respeito de alguma força externa agindo sobre o corpo, entǎo vamos supor que nenhuma força agiu sobre o corpo, assim 5 (t) = 0. Entǎo, substituindo os dados do problema na equaçǎo (4.fifi), temos
fi0Xu“(t) ‡ fi03uj(t) ‡ fi04u(t) = 0
dividindo a equaçǎo por fi0X, obtemos
u“(t) ‡ fi0uj(t) ‡ fi0Xu(t) = 0.
que resulta em duas raízes complexas:
 (
fi
X
)m = —5 ‡ 5s,2 3 e m = —5 — 5s,2 3,
onde α = —5 e Ø = 5,2 3, logo a soluçǎo geral segue de acordo com o 3o caso da equaçǎo característica substituindo na equaçǎo (3.fi9), ou seja,
 (
fi
X
)u (t) = e—†t(s cox 5,2 3t ‡ s ‹en5,2 3t)
 (
fi
X
)u (t) = s e—†t cox 5,2 3t ‡ s e—†t ‹en5,2 3t.	(4.fi£)
Derivando a equaçǎo (4.fi£), temos
uj(t) = —5s e—†t cox 5,2 3t—5,2 3s e—†t ‹en5,2 3t—5s e—†t ‹en5,2 3t‡5,2 3s e—†t cox 5,2 3t.
 (
3†
)
fi	fi	X
X
(4.fi3)
O problema deu ainda que a posiçǎo inicial u(0) = X, substituindo na equaçǎo (4.fi£),
 (
fi
X
)X = s e—†.O cox 5,2 3.0 ‡ s e—†.O ‹en5,2 3.0
→ sfi = X.
Como a mola foi solta, entǎo nǎo existe velocidade inicial, logo uj(0) = 0. Substituindo na equaçǎo (4.fi3)
0 = —5s e—†.O cox 5,2 3.0—5,2 3s e—†.O ‹en5,2 3.0—5s e—†.O ‹en5,2 3.0‡5,2 3s e—†.O cox 5,2 3.0
fi	fi	X	X
—5sfi	5,2 3sfi	,2 3sfi
como sfi = X, temos
→ sX =
5,2 3 = —
sX = —
fi5	= —	3
 (
,
2
) 
X	3
.
3
Portanto, ao substituir os valores encontrados, sfi e sX na equaçǎo (4.fi£), obtemos como posiçǎo u em funçǎo do tempo:
u (t) = Xe—†t	,2 
—X ,2 3
 (
cox
 
5
3t
 
‡
)3
 
 (
e
—
†
t
,
2
)‹en5	3t.
4.2.2 Circuitos elétricos
Figura 3.£.£: O circuito elétrico
FONTE: Boyce (£OO6)
 (
dt
) (
.
Σ
) (
dt
)Para o próximo problema, vamos considerar um circuito fechado, que é a soma das quedas de tensǎo (Rs) em uma resistência, a uma bobina de indutância J ds e em um condensador de capacitância C é igual a força eletromotriz E. Considera-se R, J e C como constantes e que a corrente s e a carga q estǎo ligadas pela relaçǎo s = dq .
Dessa maneira, temos que a equaçǎo diferencial de um circuito elétrico é
 (
36
)
ds	q
J	‡ Rs ‡
dt	C
= E(t),	(4.fi4)
onde:
 (
dt
)J—é a indutância (henry) J ds —bobina de indutância R—é a resistência (ohms) s—é a corrente (ampére) Rs—queda de tensǎo q—carga (coulombs)
C—é a capacitância (farads)
 (
dt
)E— é a força eletromotriz ou fem (volt) dado s = dq , temos que a derivada de s
substituindo (4.fi†) em (4.fi4), temos
ds	dXq
dt = dtX ,	(4.fi†)
dXq
dq	q
J dtX ‡ R dt ‡ C = E(t).	(4.fi6)
Problema 2: (Ayres Jr, p £O†) Num circuito temos uma indutância de O,O† henry, uma resistência de £O ohms, uma capacitância de fiOO microfarads e uma força eletromotriz (F.E.M) E = fi00 vo1t‹. Achar s e q sabendo que q = 0 e s = 0 quando t = 0. Dados:
J = 0, 05 henv4 R = X0 ohm‹
C = fi00 mssvoƒ avad‹ = fi00.fi0—6ƒ avad‹ E = fi00 vo1t‹
s : corrente
q : carga
Øuando t = 0 → q = 0 e s = 0
Substituindo os dados do problema em (4.fi6)
dXq	dq	q	dXq	dq
0, 05 dtX ‡ X0 dt ‡ fi00.fi0—6 = fi00 → 0, 05 dtX ‡ X0 dt ‡ fi0000q = fi00
dXq	dq
 (
3F
)
é o mesmo que
dtX ‡ Œ00 dt ‡ X00.000q = X000
q“ ‡ Œ00qj ‡ X00.000q = X000.	(4.fiF)
Obtemos duas raízes complexas,
mfi = —X00 ‡ Œ00s e mX = —X00 — Œ00s.
Substituindo o resultado na fórmula geral para equaçoes características (3.fi9), seja
α = —X00 e Ø = Œ00, temos que a funçǎo complementar é
qc = e—XOOt(sfi cox Œ00t ‡ sX ‹enŒ00t).	(4.fi8) Como a funçǎo aplicada g(x) é uma funçǎo polinomial, temos como soluçǎo particular
qp = X000tO. Assim, determinando os coeficientes específicos para os quais qp seja soluçǎo para a equaçǎo (4.fiF).
 (
p
)Derivando qp, obtém-se qt
= 0.
Agora, derivando qt , obtém-se qtt = 0.
p	p
Substituindo esses valores na equaçǎo (4.fiF),
0 ‡ 0 ‡ X00.000q =X000 → qp = 0, 0fi.
Dessa forma, temos que a equaçǎo geral para uma equaçǎo nǎo-homogênea é igual a soma da funçǎo complementar com a funçǎo particular, ou seja q = qc ‡ qp. Logo,
q = e—XOOt(sfi cox Œ00t ‡ sX ‹enŒ00t) ‡ 0, 0fi	(4.fi9)
 (
38
)
 (
dt
)derivando (4.fi8), dq = s
 (
—
)s = dq = X00e—XOOt [( s dt	fi
‡ XsX) cox Œ00t ‡ (—sX
— Xsfi) ‹enŒ00t]	(4.£O)
dada as condiçoes iniciais t = 0 → q = s = 0, substituindo em (4.fi9)
0 = e—XOO.O(sfi cox Œ00.0 ‡ sX ‹enŒ00.0) ‡ 0, 0fi
→ 0 = sfi ‡ 0, 0fi
logo,
sfi = —0, 0fi
de acordo com (4.£O), temos que —sfi ‡ XsX = 0, substituindo sfi = —0, 0fi,
0, 0fi ‡ XsX = 0 → XsX = —0, 0fi
assim temos,
sX = —0, 005.
Substituindo os valores de sfi e sX, temos,
s = X00e—XOOt [(—0, 0fi ‡ 0, 0fi) cox Œ00t ‡ (—0, 005 — 0, 0X) ‹enŒ00t]
→ s = X00e—XOOt [(0. cox Œ00t) ‡ (—0, 0X5 ‹enŒ00t)]
→ s = —5e—XOOt ‡ ‹enŒ00t.
Portanto, s = —5e—XOOt‡ ‹enŒ00t ampére e	q = e—XOOt(—0, 0fi cox Œ00t — 0, 005
‹enŒ00t) ‡ 0, 0fi coulombs.
4.3 Aplicações de equações diferemciais ordimárias mão-limear
4.3.1 Æeação química
Problema 1: (Zill e Cullen, p fi£9) Dois compostos químicos A e B sǎo combinados para formar um terceiro composto C. A taxa ou velocidade da reaçǎo é proporcional à quantidade instantânea de A e B nǎo convertida em C. Inicialmente, há 4O gramas de A e †O gramas de B, e para cada grama de B, £ gramas de A sǎo usados. É observado que fiO gramas de C sǎo formados em † minutos. Øuanto é formado em £O minutos? Øual é a quantidade limite de C após um longo período de tempo? Øual é a quantidade remanescente de A e B depois de um longo período de tempo?
Dados:
A = Œ0 gramas.
B = 50 gramas.
A = XB, pois para cada grama de B, £ de A sǎo usados.
E(t) : é a quantidade do composto C no instante t. E(0) = 0.
E(5) = fi0 gramas.
E(X0) : é a quantidade do composto produzidos em £O minutos.
limt‹œ E(t) : é a quantidade do composto produzidos quando o t tende ao infinito.
A e B : quantidades remanescente. Se
A ‡ B = E,	(4.£fi)
e para cada grama de B, £ gramas de A sǎo usados, temos que A = XB, entǎo substituindo na equaçǎo (4.£fi) temos,
XB ‡ B = E
E
→ B = 3 .
 (
3
)Portanto, E
de B sǎo convertidos no composto C. Com isso,
XE A = XB → A = 3 .
Dessa maneira, as quantidades remanescentes de A e B, sǎo
 (
3
) (
3
)A = .Œ0 — XE Σ e B = .50 — E Σ
 (
4O
)
Logo,
dE = h .Œ0 — XE Σ .50 — E Σ ,
isto é,
dt	fi	3	3
dE = h .fiX0 — XE Σ .fi50 — E Σ
dt	fi	3	3
dE	X fi
→ dt = hfi 3 3 (60 — E) (fi50 — E) .
 (
3
) (
3
)Tomando h = hfi X fi , a derivada anterior resulta em:
dE
dt = h (60 — E) (fi50 — E) .
Multiplicando a equaçǎo por 	dt	, obtemos:
(6O—E)(fi†O—E)
fi
Integrando a equaçǎo,
(60 — E) (fi50 — E)
dı = hdt.
 (
∫
∫
) 	f i	dı =	hdt.	(4.££)
(60 — E) (fi50 — E)
Para resolver a integral (4.££), usaremos o método das fraçoes parciais:
 A	
(6O—E)
‡ 	B	
(fi†O—E)
= A(fi†O—E)‡B(6O—E) .
(6O—E)(fi†O—E)
Dessa maneira,
fi50A ‡ 60B = fi
—A — B = 0 → B = —A
implica que
 (
9O
)fi50A — 60A = fi → A = fi
 (
9O
)como B = —A, entǎo B = — fi .
Logo,
∫ 	A	dı ‡ ∫ 	B	dı = ∫ hdt
(60 — E)	(fi50 — E)
 (
4fi
)
 (
∫
 
 
 
)fi
 (
→
)9O	dı ‡
(60 — E)
fi
 (
∫
—
 
) (
∫
)9O	dı = (fi50 — E)
hdt.
calculando as integrais, obtemos:
fi	fi
— 90 |60 — E| ‡ 90 |fi50 — E| = ht ‡ sfi,
multiplicando a equaçǎo por 9O,
— |60 — E| ‡ |fi50 — E| = 90ht ‡ 90sfi
 (
ln
 
.
fi50
 
—
 
E
 
.
 
×
 
=
 
90ht
 
‡
 
90s
 
,
)aplicando a propriedade logarítmica
usando exponencial
. 60 — E .	fi
tome s = e9Ocfi , logo
fi50 — E
60 — E
= e9Oht.e9Ocfi
Como E(0) = 0, resulta em:
fi50 — E
60 — E
= Ce9Oht.	(4.£3)
fi50 — 0 = Ceh.O
60 — 0
 (
X
)Substituindo C = † , na equaçǎo (4.£3)
5
 (
→
)C =	.
X
fi50 — E
60 — E
= 5 e9Oht X
(4.£4)
usando a equaçǎo (4.£4), com E(5) = fi0, vamos encontrar a constante arbitrária h
fi50 — fi0
5 9Oh.†
fiŒ0
5 9Oh.†
=	e
60 — fi0	X
=	e	.
50	X
 (
X
) (
→
)Multiplicando pelo inverso multiplicativo de † ,
 (
X50
) (
X5
)e9Oh.† = X80 → e9Oh.† = X8
 (
4£
)
usando o logaritmo
 (
†
)multiplicando a equaçǎo por fi
90h.5 = ln	X8
 (
.
Σ
)X5
90h =
fi	X8
 (
.
Σ
). ln
5 X5
→ 90h c 0, 0X3
sendo 90h c 0, 0X3, vamos substituir na equaçǎo (4.£4)
fi50 — E
60 — E
= 5 eO,OX3.t.	(4.£†)
X
Multiplicando a equaçǎo (4.£†) por X(60 — ı),
X(fi50 — E) = 5eO,X3.t(60 — E)
usando distributividade,
300 — XE = 300eO,OX3.t — 5EeO,OX3.t → (5eO,OX3.t — X)E = (300eO,OX3.t — 300)
entǎo X, em um certo instante t, será
E(t) =
(300eO,OX3.t	300)
 (
—
)(5eO,OX3.t — X)	.	(4.£6)
Passados £O minutos, vamos calcular quanto é produzido do composto C, por meio da equaçǎo (4.£6)
E(X0) =
(300eO,OX3.XO	300)
 (
—
)(5e0,023.20 — X)	→ E(X0) =
(300eO,46 — 300) (5e0,46 — X)
→ E(X0) = (Œt5, XX — 300) → E(X0) = fit5, XX c X9, 6.
(t, 9X — X)
5, 9X
Portanto, após £O minutos tem-se aproximadamente X9, 6 gramas do composto C produzido.
Agora, devemos calcular limt‹œ E (t), usando a equaçǎo (4.£6),
(300eO,OX3.t — 300)
 (
43
)
daí,
lim E (t) =
t‹œ
(5eO,OX3.t
,
— X)
lim E (t) =
t‹œ
usando distributividade, temos
e—O,OX3.t
e—O,OX3.t
(300eO,OX3.t	300)
 (
—
).	,
(5eO,OX3.t — X)
lim E (t) =
t‹œ
Assim, quando t tende a infinito, temos
(300	300e—O,OX3.t)
 (
—
).
(5 — Xe—O,OX3.t)
lim E (t) =
t‹œ
300
5
c 60.
Logo,	a quantidade do composto C depois de um longo período é de aproximadamente 60 gramas.
Dessa maneira, as quantidades remanescentes de A e B, sǎo:
 (
3
) (
3
)A = .Œ0 — XE Σ → A = .Œ0 — X.60 Σ = 0
 (
e
)B = .50 — E Σ → B = .50 — 60 Σ = 30.
3	3
Portanto, resta apenas 3O gramas do composto B.
5.2.1 População
Para entender um processo infecto contagioso é imprescindivel poder compreender a dinâmica populacional dos sistemas imunológicos em açǎo contra um determinado antígeno.
Aproximadamente em fi84O, o matemático-biólogo P.F. Verhulst, preocupado com fórmulas matemáticas capazes de prever a populaçǎo humana, estudou a fórmula
 (
—
)dP
= P (a	bP ),	(4.£F)
dt
onde a e b considera-se constantes positivas.
Vimos que a equaçǎo de uma populaçǎo foi descrita no problema de crescimento e decrescimento como a equaçǎo
d(P )
d(t)
= hp, h > 0¡
onde P (t) apresenta um crescimento exponencial nǎo limitado, no entanto, essa equaçǎo diverge substancialmente do previsto. Assim para resolver o problema a seguir que está relacionado com transmissǎo do vírus da gripe a uma populaçǎo de alunos, vamos utilizar a equaçǎo logística (4.£F).
Para solucionar essa equaçǎo (4.£F) usa-se o método de separaçǎo de variável.
Seja
por separaçǎo de variáveis, tem-se
dP
dt = P (a — bP )
 (
∫
∫
)integrando
dP P (a — bP )
= dt
 	dP	dP =	dt P (a — bP )
Usando o método das fraçoes parciais:
 	f i	= C ‡ D → 	f i	= C(a—bP )‡D.P .
P (a—bP )	P
Com isso,
a—bP
P (a—bP )
P (a—bP )
 (
a
) (
→
)a.C = fi	C = fi ¡
b
—bC ‡ D = 0 → D = a
Obtemos,
∫ .C
 (
P
)
 D	
‡
a — bP
dP = ∫
dt →
fi	b
 (
∫ 
.
) (
Σ
)a ‡ 	a	
P	a — bP
dP = ∫ dt
 (
Σ
)isolando a constante,
fi ∫	fi dP ‡ b ∫ 	f i	dP = ∫ dt,
a	P	a	a — bP
 (
4†
)
integrando, resulta em
fi ln |P | ‡ b .—fi Σ ln |a — bP | = at ‡ as.
 (
a
) (
a
) (
b
)Usando a propriedade logarítmica,
 (
 
 
 
P
)ln .a — bP . = at ‡ as
usando exponencial
tomando h = es
P
a — bP
= eat.eac,
P = (a — bP ) heat = aheat — bP heat → .fi ‡ bheatΣ .P = aheat
aheat	aheat	ah
→ P = (fi ‡ bheat) = eat (e—at ‡ bh) = (e—at ‡ bh)
Logo, a quantidade da populaçǎo é dada pela seguinte funçǎo:
ah
P =
(e—at ‡ bh)
.	(4.£8)
 (
b
)No entanto, se o problema for de condiçǎo inicial P (0) = PO, tal que PO ƒ= a .
Substituindo na equaçǎo (4.£8),
ah	ah
PO = (e—a.o ‡ bh) → PO = (fi ‡ bh),
multiplicando (??) por (fi ‡ bh) ,
temos assim que
logo,
PO (fi ‡ bh) = ah → PO ‡ PObh = ah
PO = (a — POb) h
 	PO	
h =	.
(a — POb)
 (
46
)
 (
.
Σ
)Substituindo o valor de h na equaçǎo (4.£8),
a	 P0	
 (
.
 
Σ
Σ
 
 
 
P
)(a—P0b)
 aP0 
 	(a—P0b)	
P = Σ
e—at ‡ b
=
0
(a—P0b)
bP0‡(a—bP0)e—at .
a—bP0
Portanto, dado uma condiçǎo inicial, a equaçǎo da populaçǎoé da forma:
 	aPO	
P (t) =	.	(4.£9)
bPO ‡ (a — bPO)e—at
Problema 2 (Zill e Cullen, p fi£fi): Suponha que um estudante infectado com um vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encontra fiOOO estudantes. Presumindo que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional nǎo somente à quantidade ı de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos nǎo infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias, se ainda é observado que depois de Œ dias ı(Œ) = 50.
Dados:
P :quantidade de alunos
ı(t): a quantidade de alunos em um instante t ı(0) = fi
ı = fi000 alunos
ı(6): quantidade de alunos infectados em 6 dias
ı(Œ) = 50 alunos infectados
De acordo com a equaçǎo logística, vamos supor que ninguém se ausentou do campus. Assim podemos desenvolver a seguinte equaçǎo
dı
dt = hı(fi000 — ı) →
dı
dt = ı(fi000h — hı).
Dessa maneira sendo a equaçǎo logística (4.£F), temos que a = fi000h e b = h, logo no momento que ı(0) = fi, a equaçǎo (4.£9), será
ı(t) =
fi000h . fi
 (
→
Σ
Σ
)h.fi ‡ (fi000h — h.fi)e—fiOOOht
fi000h
=
h ‡ (fi000h — h)e—fiOOOht
ı(t) =	 	fi000h	. h(fi ‡ 999e—fiOOOht)
Assim, funçǎo que representa a populaçǎo infectadas é:
 (
4F
)
ı(t) =
fi000
fi ‡ 999e—fiOOOht
.	(4.3O)
Se em Œ dias, 50 alunos foram infectados, substituindo na equaçǎo (4.3O), temos que a
 (
.
Σ
→
)constante é
50 = 	fi000		fi000 = 50 fi ‡ 999e—4OOOh fi ‡ 999e—fiOOOh.4
 (
→
→
→
)X0 = fi ‡ 999e—4OOOh	999e—4OOOh = fi9	e—4OOOh = fi9
999
usando logaritmo
 (
.
.
)fi9
—Œ000h = ln .999 . → h = 0, 0009906
 (
substituindo
 
h,
 
na
 
equaçǎo
 
(4.3O)
)
portanto, após 6 dias, temos
ı(t) =
fi000
fi ‡ 999e—O,99O6t
ı(6) =
fi000
fi ‡ 999e—O,99O6. 6
fi000
=
fi ‡ 999e—†,9436
→ ı(6) = Xt6.
Dessa maneira conclui-se que após 6 dias, £F6 alunos estavam infectados com o vírus da gripe.
Comsiderações fimais
Esta pesquisa teve por objetivo ampliar o conhecimento sobre o conteúdo de estudo apresentado, que foi as equaçoes diferenciais ordinárias, mais especificamente as equaçoes diferenciais ordinárias lineares e as equaçoes diferenciais ordinárias nǎo- lineares. Dentre os pontos explorados para um melhor entendimento desse conteúdo, tivemos: surgimento, definiçoes, teoremas, exemplos e aplicaçǎo que foram limitadas a segunda ordem.
É conhecida a dificuldade por parte dos alunos nas disciplinas de cálculo, talvez por nǎo perceberem o amplo campo de aplicaçǎo que o mesmo possui, nǎo apresentem tanto interesse em aperfeiçoar seus conhecimentos nessa área.
No decorrer do trabalho vê-se que as equaçoes diferenciais, começaram a ser estudadas por volta do século XVII, e que ainda hoje, apresenta problemas que envolvem assuntos relacionados ao nosso dia-a-dia, com base nisso, e pensando em familiarizar o leitor em áreas de aplicaçoes, o trabalho foi escrito ilustrando algumas aplicaçoes relacionadas a física, biologia e química, com o propósito de aperfeiçoar o conhecimento do leitor na área de aplicaçǎo dessas equaçoes.
A fim de que o leitor tenha confiança ao estudar as equaçoes diferenciais ordinárias e venha a esclarecer suas dúvidas, foram apresentadas: definiçoes seguidas de exemplos, teoremas e aplicaçoes.
Espera-se que este trabalho contribua de forma significativa para um melhor entendimento do objeto de estudo apresentado, e que por meio dele, o leitor possa compreender que a teoria das equaçoes diferenciais ordinárias, nǎo é uma teoria isolada.
 (
48
)
Æeferêmcias Bibliográficas
[fi] AYRES JÚNIOR, Frank. Equaçoes Diferenciais. fi Ed. Sǎo Paulo: McGraw-Hill, Inc, fi9†9¡
[£] BOYCE, William E¡ DIPRIMA, Richard C., Equaçoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8 ed. Rio de Janeiro: LTC £OO6¡
[3] CHINCHIO, Ana Cláudia. Introduçǎo às equaçoes diferenciais ordinárias e aplicaçoes. Rio Claro: [s.n.], £Ofi£¡
[4] DIACU, Florin. Introduçǎo a Equaçoes Diferenciais: Teoria e Aplicaçoes. fia ed. Rio de Janeiro: LTC, £OO4¡
[†] TALAVERA, Leda Maria Bastoni. Parábola e Catenária: história e aplicaçoes. Sǎo Paulo: s.n., £OO8¡
[6] TEIXEIRA, Fernanda Luiz. Modelos Descrito por Equaçoes Diferenciais Ordinárias. Rio Claro: [s.n.], £Ofi£¡
[F] THOMAS, George B., Cálculo, fifia ed. Sǎo Paulo: Pearson £OO9. 344 p¡
[8] ZILL, Dennis G¡ CULLEN, Michael R., Equaçoes Diferenciais. Vol fi. 3 ed. Sǎo Paulo: Pearson £OOF.