T.LABORATORIAL_Macuácua_Ernesto_Dércio

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Curso de Engenharia Civil-PL 
 
 
Tema: 
Experimento Laboratorial 
Energia Mecânica no Pêndulo Simples 
 
 
 
 
 
 
 
Discente Docentes 
Macuácua, Ernesto Dércio Luís Chea-Regente 
Graça Massimbe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maputo, Setembro de 2021
Texto de Apoio usado para fundamentão das respostas abaixo 
Da Eq. 𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝝎𝟐𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝜶) = −𝝎𝟐𝒙, podemos obter a força que deve agir sobre uma 
partícula de massa m para que esta oscile com movimento harmônico simples. Aplicando a 
equação de movimento 𝑭 = 𝒎𝒂, e substituíndo o resultado da Eq. 𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
= 𝝎𝟐𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 +
𝜶) = −𝝎𝟐𝒙, que dá a aceleração, temos: 
 𝑭 = 𝒎𝝎𝟐𝒙 = −𝒌𝒙 
 Onde colocamos: 𝒌 = 𝒎𝝎𝟐 ou 𝝎 = √𝒌/𝒎. 
Isso indica que num movimento harmônico simples, a força é proporcional e de sentido 
contrário ao deslocamento. Assim, a força sempre aponta para a origem O. Esse é o ponto de 
equilíbrio, pois, na origem, 𝑭 = 𝟎, porque 𝒙 = 𝟎. Também podemos dizer que a força 𝐹 é 
atrativa e o centro de atração é o ponto O. A Força dada pela Eq. 𝑭 = 𝒎𝝎𝟐𝒙 = −𝒌𝒙 é o tipo 
força que aparece quando se deforma um corpo elástico como, por exemplo, uma mola. A 
constante 𝒌 = 𝒎𝝎𝟐, às vezes chamada constante elástica, representa a força necessária para 
deslocar a partícula de uma distância unitâria. Das Eqs. 𝝎 =
𝟐𝝅
𝑷
= 𝟐𝝅𝒗 e 𝒌 = 𝒎𝝎𝟐, obtemos 
as equações: 
 𝑷 = 𝟐𝝅√
𝒎
𝒌
, 𝒗 =
𝟏
𝟐𝝅
√
𝒌
𝒎
, que dão o período e a frequência de um movimento 
harmônico simples em função da massa da partícula e da constante elástica aplicada. A energia 
cinética da partícula é: 
 𝑬𝒌 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒎𝝎𝟐𝑨𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝝎𝒕 + 𝜶). 
Ou, como 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽, e usando a Eq. 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 (𝝎𝒕 + 𝜶) para o deslocamento, podemos exprimir 
a energia cinética na forma: 
 𝑬𝒌 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐𝑨𝟐[𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝝎𝒕 + 𝜶)] =
𝟏
𝟐
𝒎𝝎𝟐 (𝑨𝟐 − 𝒙𝟐). 
Notamos que a energia cinética é máxima no centro (𝒙 = 𝟎) e nula nos extremos de oscilação 
(𝑥 = ± 𝐴). Para obter a energia potencial, lembramos a Eq. 𝑭 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑬𝒑 = −𝒖𝒙
𝝏𝑬𝒑
𝝏𝒙
=
−𝒖𝒚
𝝏𝑬𝒑
𝝏𝒚
= −𝒖𝒛
𝝏𝑬𝒑
𝝏𝒛
, 𝑭 = −𝒅𝑬𝒑/𝒅𝒙. Aplicando a Eq. 𝑭 = 𝒎𝝎
𝟐𝒙 = −𝒌𝒙 para a força, 
podemos escrever: 
𝒅𝑬𝒑
𝒅𝒙
= 𝒌𝒙. 
Integrando (escolhendo o zero da energia potencial na origem), obtemos: 
∫ 𝒅𝑬𝒑
𝑬𝒑
𝟎
= ∫ 𝒌𝒙 𝒅𝒙 𝒐𝒖 𝑬𝒑 =
𝟏
𝟐
 𝒌𝒙𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒎𝝎𝟐
𝒙
𝟎
𝒙𝟐 
Portanto a energia potencial é miníma (nula) no centro (𝒙 = 𝟎) e aumenta à medida que a 
partícula se aproxima dos extremos de oscilação (𝒙 = ±𝑨). Somando as Eqs: 
 𝑬𝒌 =
𝟏
𝟐
𝒎𝒗𝟐𝑨𝟐[𝟏 − 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝝎𝒕 + 𝜶)] =
𝟏
𝟐
𝒎𝝎𝟐 (𝑨𝟐 − 𝒙𝟐) e 𝑬𝒑 =
𝟏
𝟐
𝒌𝒙𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒎𝝎𝟐𝒙𝟐, 
obtemos, para a energia total do oscilador harmônico simples, 𝑬 = 𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 =
𝟏
𝟐
𝒎𝝎𝟐𝑨𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒌𝑨𝟐, que é uma constante. Pela Eq. 𝑬 = 𝑬𝒌 + 𝑬𝒑 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕, isso era de se esperar, pois a 
força é conservativa. Portanto podemos dizer que, durante uma oscilação, há uma troca 
contínua de energias cinética e potencial. Quando a particula afasta-se da posição de 
equilíbrio, a energia potencial cresce, enquanto que a cinética decresce; o inverso ocorre 
quando a partícula aproxima-se da posição de equilíbrio. 
(Alonso & Finn) 
 
Resolução das questões 
1. Por que a energia cinética é zero e a energia potencial gravitacional é máxima? Explique 
 
De acordo com Alonso & Finn (VOLUME I Mecânica, p. 346) “Quando a particula afasta-se 
da posição de equilíbrio, a energia potencial cresce, enquanto que a cinética decresce; o 
inverso ocorre quando a partícula aproxima-se da posição de equilíbrio”. 
 
Então da experiência feita, notou-se que quando o pêndulo 
afastava da sua posição de equilíbrio, a energia cinética no 
gráfico diminuía até ser nula quando o pêndulo atingia a 
sua amplitude, e aumentando quando aproximasse da 
posição de equilíbrio. 
E a energia potencial gravitacional sendo máxima quando 
o pêndulo atingia a amplitude, sendo nula na posição de 
equilíbrio. 
 
Portanto a energia cinética é zero porque nos extremos de oscilação é nula (𝑥 = ± 𝐴) e a 
energia potencial nos extremos de oscilação é máxima. 
 
1.1. Por que a energia cinética é máxima e a energia potencial gravitacional é zero? 
Explique. 
Analogamente explicado acima, a energia cinética é máxima 
quando atinge o centro (𝒙 = 𝟎) e a energia potencial 
gravitacional é zero no centro (𝒙 = 𝟎) ou na posição de 
equilíbrio. 
 
 
Portanto a energia cinética é máxima na posição de equilíbrio enquanto a energia potencial é nula 
quando atinge o centro (posição de equilíbrio). 
 
 
Conclusão 
Então as energias cinética e potencial neste caso são intercambiáveis pois quando há 
acréscimos a uma das duas, a outra diminui à mesma medida, de modo que a sua soma seja 
sempre constante. 
 NB։ Esta Experiência foi realizada em um sistema conservativo, sem força dissipativa 
 
 
 
2. O gráfico abaixo mostra a energia cinética (gráfico verde) e potencial (gráfico azul) de um 
pêndulo que está oscilando. Qual das imagens (A, B, C ou D) representa melhor os valores 
do gráfico? 
 
 
 
 
Análise do gráfico 
 O gráfico é composto pela energia cinética e energia potencial; 
 Sem energia térmica pois não possui forças dissipativas; 
 Tem a energia mecânica (energia total) que é a soma de todas as energias, cinética e 
potencial, e a energia mecânica permanece. 
Logo há trabalho pois há troca de energia, sendo que quando a 𝐸𝑐 aumenta temos 𝑤+ 
(trabalho), diminuindo a 𝐸𝑐 tendo 𝑤−. Então a imagem que melhor representa os valores do 
gráfico é a imagem A. O pêndulo esta mais próximo dos extremos de oscilação e afastado da 
posição de equilíbrio, isto é, energia cinética menor e maior energia potencial. 
 
 
3. O que acontecerá com a energia térmica (gráfico laranja) quando o pêndulo parar? 
Explique. 
 
Informação coletada da experiência 
 A Energia Mecânica diminui e o pêndulo começa a perder o seu movimento (Energia 
Cinética) e transforma em Energia Térmica; 
 A Energia Térmica acumula-se, e “perde-se” a Energia Mecânica e o pêndulo 
vai diminuindo a sua amplitude; 
 O pêndulo sofre fricção ou seja há forças dissipativas; 
 E para reiniciar o movimento precisou de se injectar uma energia externa pois a 
interna não gerava mais o movimento. 
Com isso conclui-se que quando há atrito, uma parte da energia mecânica do sistema é 
“perdida”, sendo convertida em uma agitação térmica.
E a Energia Térmica acumula-se ou seja a Energia Mecânica transforma-se em 
outra energia (Energia térmica). 
 NB: Presença de forças dissipativas 
 
 
4. O gráfico abaixo mostra a energia cinética (gráfico verde) e potencial 
(gráfico azul) de qual dos pêndulos (1 ou 2) que estão oscilando? 
Explique. 
 
O gráfico mostra a energia cinética (gráfico verde) e potencial (gráfico azul) do pêndulo 2. 
Pois conforme dito nos números anteriores que quando a partícula afasta-se da posição 
de equilíbrio, a energia potencial cresce, enquanto a cinética decresce; o inverso ocorre 
quando a partícula aproxima-se da posição de equilíbrio. 
 
O pêndulo 2 é o que esta mais afastado da posição de equilíbrio e próximo dos extremos 
de oscilação.