CONCRETO12021S2-Armadura de compressão

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Curso de Graduação em Engenharia Civil
Campus Itapiranga
Flexão Simples
Dimensionamento de vigas
Caso de armadura de compressão
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Professor: Gabriel Jung
Flexão simples – armadura longitudinal
Como proceder com o dimensionamento quando a 
profundidade da linha neutra resulta num 𝛽𝑥 > 0,45? 
𝑥 > 0,45. 𝑑
d
Armadura 
de tração
Situação de 
momentos 
muito altos 
para a viga
Concreto 
comprimido
Armadura de 
compressão
𝑓𝑐𝑘 ≈ 25 𝑎 35𝑀𝑃𝑎
𝑓𝑦𝑘 ≈ 435𝑀𝑃𝑎
Flexão simples – armadura longitudinal
Exemplo de dimensionamento:
Maiores dimensões admissíveis para a seção por 
restrições arquitetônicas: 
60cm
20cm
Considerar: 
- Concreto C30 e ambiente 
urbano.
Solução 
(dimensionamento da armadura longitudinal de flexão):
1. Diagrama de momentos fletores característicos (kNm):
Armadura de tração 
na face tracionada!
Armadura de tração 
onde há abertura de 
fissuras na viga!
Vão AB
Apoio B
A B C
Flexão simples – armadura longitudinal
1. Dimensionamento da armadura no vão AB da viga:
60cm
20cm
𝑀𝑠𝑘 = 241,7𝑘𝑁𝑚 = 24170𝑘𝑁𝑐𝑚
(momento característico: não majorado)
𝑀𝑠𝑑 = 𝛾𝑓 ×𝑀𝑠𝑘 = 1,4 × 24170𝑘𝑁𝑐𝑚
𝑀𝑠𝑑 = 33838𝑘𝑁𝑐𝑚
(momento de dimensionamento: majorado!)
Esforço:
Altura útil (adoção inicial):
𝑑 = ℎ − 10𝑐𝑚 = 60 − 10 = 50𝑐𝑚
(viga com carregamento alto)
Verificar a posição da linha neutra (x) na seção:
𝐾𝑐 =
20 × 502
33838
= 1,48 = 1,5 → 𝛽𝑥 = 0,58 > 0,45
Duas alternativas:
1. Aumentar bw ou d para diminuir x;
2. Dimensionar a seção para armadura de compressão
Flexão simples – armadura longitudinal
Caso em que 𝛽𝑥 > 0,45:
𝐾𝑐,𝑙𝑖𝑚(𝐶30) = 1,9
1ª parcela do momento fletor (momento que leva o x/d à 0,45):
𝑀1𝑑 =
20 × 50²
1,9
= 26315,8𝑘𝑁𝑐𝑚
Momento máximo p/ 
apenas As,tração
2ª parcela do momento fletor (momento que leva o x/d à 0,45):
𝑀2𝑑 = 33838 − 26315,8 = 7522,2𝑘𝑁𝑐𝑚
Momento de cálculo 
𝑀𝑠𝑑 = 33838𝑘𝑁𝑐𝑚
Parcela excedente: será absorvido 
pela armadura de compressão
𝐾𝑠,𝑙𝑖𝑚
Flexão simples – armadura longitudinal
Caso em que 𝛽𝑥 > 0,45:
Armadura tracionada:
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠,𝑙𝑖𝑚.
𝑀1𝑑
𝑑
+
𝑀2𝑑
𝑓𝑦𝑑 𝑑 − 𝑑′
d
d’
Altura útil da armadura de compressão d’ = 5cm
𝐴𝑠 = 0,028.
26315,8
50
+
7522,2
43,5 50 − 5
= 18,58𝑐𝑚²
𝑓𝑦𝑑 → Tensão de escoamento do aço de cálculo (kN/cm²)
Aço CA-50: 43,5kN/cm²
𝐴𝑠 = 18,58𝑐𝑚²
𝐴𝑠,𝑒𝑓 = 18,85𝑐𝑚²
Armadura adotada: 6 𝜙 20𝑚𝑚 18,85𝑐𝑚²
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,15%. 𝐴𝑐 =
0,15
100
× 20 × 60 = 1,80𝑐𝑚²
𝐴𝑠,𝑚á𝑥 = 4%.𝐴𝑐 =
4
100
× 20 × 60 = 48,0𝑐𝑚²
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 1,80𝑐𝑚² < 𝐴𝑠,𝑒𝑓 18,85𝑐𝑚
2 < 𝐴𝑠,𝑚á𝑥 48,0𝑐𝑚²
Flexão simples – armadura longitudinal
Caso em que 𝛽𝑥 > 0,45:
Armadura comprimida:
𝐴𝑠
′ = 𝐾𝑠,𝑙𝑖𝑚
′ .
𝑀2𝑑
𝑑 − 𝑑′
d=50cm
d’=5cm
𝑑′
𝑑
=
5𝑐𝑚
50𝑐𝑚
= 0,10𝐴𝑠
′ = 0,023.
7522,2
50 − 5
= 3,84𝑐𝑚²
𝐴𝑠
′ = 3,84𝑐𝑚²
Armadura adotada: 4 𝜙 12,5𝑚𝑚 4,91𝑐𝑚²
Flexão simples – armadura longitudinal
Detalhamento preliminar das armaduras:
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
2 𝜙 20𝑚𝑚 (2ª camada)
4 𝜙 20𝑚𝑚 (1ª camada)
60cm
20cm
Ainda é preciso:
- Verificar espaçamento horizontal e vertical das 
barras para o correto posicionamento;
- Verificar se as alturas úteis finais d e d’ estão à favor 
da segurança.
Para as duas armaduras (tração e compressão)! Armadura de 
compressão
Armadura de 
tração
𝑥 = 0,45𝑑 = 0,45 × 50 = 22,5𝑐𝑚
Concreto 
comprimido
Verificações para a armadura de compressão:
𝑎ℎ
- Espaçamento horizontal entre barras:
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
= 1,25𝑐𝑚
= 1,2 × 1,9𝑐𝑚 = 2,3𝑐𝑚
𝑎ℎ ≥ 2,3𝑐𝑚
Diâmetro máximo característico do agregado 
graúdo do concreto (brita 1 – mais usual)
Flexão simples – armadura longitudinal
Detalhamento preliminar das armaduras:
𝑎ℎ
𝑎ℎ ≥ 2,3𝑐𝑚Mínimo: 
Efetivo:
4 𝜙 12,5𝑚𝑚 5𝑚𝑚5𝑚𝑚
𝑐𝑛𝑜𝑚 = 2,5𝑐𝑚𝑐𝑛𝑜𝑚
Falta cobrimento nominal. Dados iniciais:
- Concreto C30, ambiente urbano.
Ver NBR6118:2014:
CAA II
Está sendo utilizado concreto C30 (fck=30MPa), ou seja, com resistência maior
que o mínimo recomendado;
Adotado cobrimento reduzido em 5mm:
𝑐𝑛𝑜𝑚 = 25𝑚𝑚 = 2,5𝑐𝑚
2,5𝑐𝑚
Flexão simples – armadura longitudinal
Verificação do espaçamento horizontal (Armadura Superior):
𝑎ℎ
𝑎ℎ ≥ 2,3𝑐𝑚Mínimo: 
Efetivo:
4 𝜙 12,5𝑚𝑚 5𝑚𝑚5𝑚𝑚
𝑐𝑛𝑜𝑚 = 2,5𝑐𝑚𝑐𝑛𝑜𝑚
2,5𝑐𝑚
𝑎ℎ =
20 − 2 × 2,5 + 2 × 0,5 + 4 × 1,25
4 − 1
= 3𝑐𝑚
𝑏𝑤 = 20𝑐𝑚
> 2,3𝑐𝑚
Verifica!
Prosseguir para verificar a altura d’
- Altura d’ final:
d’ 
𝑐𝑛𝑜𝑚 = 2,5𝑐𝑚
5𝑚𝑚
𝜙𝐿
2
𝑑’ = 𝑐𝑛𝑜𝑚 + 𝜙𝑡 +
𝜙𝐿
2
𝑑’ = 2,5 + 0,5 +
1,25
2
= 3,63𝑐𝑚
No cálculo de 𝐴𝑠
′ foi adotado d’ = 5cm
Verificação de segurança (arm. Compressão):
𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
′ ≤ 𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
′
Observação: a verificação é oposta ao da altura útil da 
armadura de tração: 
𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
′ = 3,63𝑐𝑚 ≤ 5𝑐𝑚 = 𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
′ Verifica!
Verificação de segurança (arm. Tração):
𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ≥ 𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
Flexão simples – armadura longitudinal
Verificação das alturas d e d’:
d’ 
Verificação de segurança (arm. Compressão):
𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
′ ≤ 𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
′
Verificação de segurança (arm. Tração):
𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 ≥ 𝑑𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
d 
(d-d’) 
Maior distância entre as 
armaduras está à favor da 
segurança. Por isso as 
verificações são opostas 
Verificações para a armadura de tração:
- Espaçamento horizontal entre barras;
- Posição vertical;
- Altura útil 𝑑𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.
Exercício extra-classe
Flexão simples – armadura longitudinal
Voltando ao início: disposição das armaduras na viga.
Até agora foi calculada a armadura necessária para 
resistir ao momento fletor máximo no vão AB: 
6 𝜙 20𝑚𝑚
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
A
A
Seção A-A
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
2 𝜙 20𝑚𝑚
4 𝜙 20𝑚𝑚
Flexão simples – armadura longitudinal
Voltando ao início: disposição das armaduras na viga.
Armadura para o momento negativo sobre o apoio B:
6 𝜙 20𝑚𝑚
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
A
A
B
B
Armadura para o apoio B:
𝑀𝑠𝑑 = 1,4 × 14580𝑘𝑁𝑐𝑚 = 20412𝑘𝑁𝑐𝑚
𝐾𝑐 =
𝑏𝑤 × 𝑑
2
𝑀𝑠𝑑
=
20 × 502
20412
= 2,45 ≈ 2,5
OK
𝐴𝑠 = 𝐾𝑠 ×
𝑀𝑠𝑑
𝑑
= 0,026 ×
20412
50
= 10,61𝑐𝑚²
Flexão simples – armadura longitudinal
𝐴𝑠 = 10,61𝑐𝑚²
𝐴𝑠,𝑒𝑓 = 12,06𝑐𝑚
2 > 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 1,80𝑐𝑚
2 → 𝑂𝐾
Armadura adotada: 6 × 16𝑚𝑚 12,06𝑐𝑚²
Armadura para o momento negativo sobre o apoio B:
6 𝜙 20𝑚𝑚
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
A
A
B
B6 𝜙 16𝑚𝑚
Flexão simples – armadura longitudinal
Posicionamento geral das armaduras na viga:
6 𝜙 20𝑚𝑚
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
A
A
B
B6 𝜙 16𝑚𝑚
Seção A-A
4 𝜙 12,5𝑚𝑚
2 𝜙 20𝑚𝑚
4 𝜙 20𝑚𝑚
Seção B-B
2 𝜙 8𝑚𝑚
2 𝜙 16𝑚𝑚
4 𝜙 16𝑚𝑚
Por segurança, pode-se verificar 
o trecho como bi-apoiado.
Armadura porta-estribo;
Armadura de tração;
2 𝜙 8𝑚𝑚
Armadura de tração;
Armadura de compressão;
- Armaduras de tração sempre na face tracionada da viga;
- Pode haver ou não necessidade de armadura de compressão;
- Armadura porta-estribo é detalhada quando não há armadura 
de compressão.
Resumo: