carga_e_campo_eletrico_2020_X (3)

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I - CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO 
 
1. Carga Elétrica 
Historiadores atribuem a Thales de Mileto (580-546 a.C) a afirmação de que o âmbar, quando atritado, 
atraia corpos leves. Como em grego Elektron significa âmbar, William Gilbert (1544-1603) denominou todos 
os corpos que se comportam como o âmbar de Elétricos. Acreditava que os corpos carregados, como os 
magnetizados, possuíam determinado fluído que os concedia estas propriedades. 
Em 1663, Guericke inventou o primeiro gerador eletrostático a manivela. Em 1733 Charles François 
Dufay propôs a existência de dois tipos de carga elétrica. Uma delas era do tipo da carga elétrica adquirida 
pelo vidro atritado com seda, chamada vítrea, a outra era a carga adquirida por materiais resinosos, como o 
âmbar, atritado com lã, chamada de resinosa. Então se falava nesses dois fluídos. 
Por volta de 1750 Benjamim Franklin, propôs a teoria do fluído único, segundo esta teoria todo corpo 
tem certa quantidade normal de fluído (corpo neutro), quando atritado com outro, ele recebia ou perdia fluído, 
passando a ser ativo eletricamente. Franklin foi primeiro a usar os termos positivo (para o que ganhou fluído) 
e negativo (para o que perdeu fluído). Conectando as duas teorias, podemos dizer que negativo era o que 
tinha eletricidade resinosa e positivo o que tinha eletricidade vítrea. Os termos positivo e negativo foram 
se fortalecendo e os sinais (+ e -) auxiliavam a descrever matematicamente o fenômeno. 
Por volta de 1898 Thomson descobre o elétron e Robert A Millikan entre 1910 e 1913, determinou o valor 
da carga elétrica elementar: 
𝑒 = 1,6 × 10−19𝐶. 
Com as descobertas do próton do nêutron e a partir dos modelos atômicos de Rutherford e Bohr, podemos 
afirmar que o átomo é constituído das partículas estáveis: elétron, próton e nêutron. 
Essas e outras partículas elementares que foram descobertas mais tarde, possuem carga -e, + e ou zero. A 
tabela abaixo fornece a carga e massa de algumas partículas elementares. 
 
 
 
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2 
Partícula 
Elementar 
Carga elétrica Massa (kg) 
Próton + e 1,67 x 10-27 
Neutro 0 1,68 x 10-27 
Elétron -e 9,11 x 10-31 
Pósitron +e 9,11 x 10-31 
Neutrino 0 0 
Antipróton -e 1,67 x 10-27 
Um objeto geralmente não possui carga elétrica pois a quantidade de carga negativa é igual a positiva. Mas 
caso ocorrer um desequilíbrio, o corpo terá carga igual a: neq = , onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... é número de 
cargas positivas ou negativas em excesso no corpo. 
Exemplo: após atritar um canudinho de refrigerante com papel, o 
canudinho passa a atrair objetos leves, pois ficou eletricamente 
carregado ou eletrizado. Estima-se que há 1,5 x 104 elétrons em excesso 
no canudinho. Qual o valor de sua carga? 
 
 
𝒒 = 𝒏𝒆 
𝒒 = −𝟏, 𝟓 × 𝟏𝟎𝟒. 1,6 × 10−19𝐶 
𝒒 = −𝟐, 𝟒 × 10−15𝐶 
 
2. Eletrização de um corpo: conservação da carga 
2.1 Eletrização por Atrito 
 
 
 
Tabela : Carga e massa de algumas partículas elementares 
 + - + 
 - + - 
- + - 
+ - + 
ATRITO 
+ + + 
+ + + 
 - - - 
 - - - 
Transferência de elétrons 
Q = 0 Q = 0 
Fonte: Máximo e Alvarenga, p.14 
 
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3 
 
 
 
Observe que somente os elétrons são transferidos de um corpo para outro, pois para arranca-los do átomo, 
é necessário uma energia muitas vezes menor que a energia necessária para arrancar um próton do núcleo. Observe 
também que a carga total do sistema antes e depois do atrito são iguais. 
 
2.2 Eletrização por Contato 
 
 
 
 
 
Figura: Eletrização por contato 
Note que novamente ocorre conservação da carga e a força elétrica após o contato é repulsiva. Os dois 
corpos poderão obter a mesma quantidade de carga somente se forem condutores do mesmo tamanho e formato. 
 
2.3 Eletrização por Indução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- + - 
+ - + 
 - - - 
 - - - CONTATO - - 
 - - 
 - 
 - 
Q = - 6e Q = - 6e 
Figura: Eletrização por Indução. 
Figura: Eletrização por atrito. 
 + - 
 - + 
 - - - 
 - - - 
APROXIMAÇÃO - - - 
 - - - 
 - + 
 - + 
A
T
E
R
R
A
M
E
N
T
O 
 - - - 
 - - - 
 - + 
 - + 
 - - - 
 - - - 
 + 
 + 
FINAL 
 - 
 - 
 
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4 
 
Para verificarmos a conservação da carga precisamos considerar nosso sistema constituído pelo bastão, 
esfera e a terra. 
Em experimentos simples, a ligação com a terra pode ser substituída por um toque com o dedo. Após a 
eletrização por indução ocorre uma atração mais intensa do que antes do processo. 
 
3. Lei de Coulomb 
 
Veja que com a eletrização, passa existir uma força elétrica entre corpos, agora vamos tratar do valor desta 
força para o caso especial de cargas pontuais. Uma carga puntiforme não é necessariamente um ponto, mas as 
dimensões dos corpos envolvidos devem ser muito inferiores a distância entre eles. 
Charles Augustus Coulomb usando a balança de torção mostrada na 
figura ao lado, fez medidas da força elétrica relacionando a distância r entre 
as esferas A e B e ao valor de suas cargas. A força elétrica de repulsão, entre 
as esferas A e B gera uma torção de um certo ângulo no fio. Medindo o ângulo 
de torção e sabendo o valor da constante de torção do fio  (a letra grega 
kappa) é possível encontrar o valor do torque  usando a relação  −= que 
é semelhante a relação kxF −= para molas. Agora basta usar a relação 𝜏
→
=
𝑑
→
× 𝐹
→
 e determinar o valor da força elétrica. Através destes experimentos, 
Coulomb deduziu 
a expressão abaixo que leva seu nome. 
tecons
r
qq
F tan
2
21 = 
 
Mais tarde, a constante foi escrita como 
04
1

, onde 0 é a constante de 
permissividade do vácuo e tem valor de 
2
2
12
0
.
1085,8
mN
c−= , assim 
1
4𝜋𝜀0
= 8,99 × 109
𝑁𝑚2
𝐶2
. 
Portanto, a lei de Coulomb pode ser escrita como 𝐹 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1𝑞2
𝑟2
 
Fonte: Halliday, Resnick e 
Walker, 4V. versão em 
inglês, p. 720 
 
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5 
Exemplo: a partir do gráfico abaixo que representa a energia de ligação entre um íon de Na+ e Cl_, 
determine a força de atração entre esses íons. 
 
 
Fonte: Tipler e Llewellyn, p. 254. Fonte: Kittel p. 12 
 
𝐹 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1𝑞2
𝑟2
 
𝐹 = 8,99 × 109
𝑁𝑚2
𝐶2
1,6 × 10−19𝐶 (−1,6 × 10−19𝐶)
(0,236 10−9𝑚)2
 
𝐹 = −4,13 × 10−9N 
 
 
 
4. Lei de Coulomb na forma Vetorial 
 
�⃗�21 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1𝑞2
(𝑟12)2
�̂�12 
 
 
 
q1 q2 
F21 
r12 
F12 
�̂�12=î 
 
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6 
onde r é a distância entre as cargas q1 e q2. 
Exemplo: as cargas q1 e q2 possuem valores de -20,0 µC e 300,0 nC respectivamente e estão afastadas por uma 
distância de 5,0 cm, conforme a figura a seguir. Determine a força sobre a carga q2. 
�⃗�21 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1𝑞2
(𝑟12)2
�̂�12 
�⃗�21 = 8,99 × 10
9
𝑁𝑚2
𝐶2
(−20 × 10−6𝐶) 300 × 10−9𝐶
(0,05𝑚)2
𝑖̂ 
�⃗�21 = 8,99 × 10
9
𝑁𝑚2
𝐶2
(−20 × 10−6𝐶) 300 × 10−9𝐶
(0,05𝑚)2
𝑖̂ = −21,58𝑁 𝑖 
 
 
 
 
Exemplo: as cargas q3 e q4 possuem valores de -30,0 µC e 60,0 µC respectivamente e estão afastadas por uma 
distância de 40,0 mm, conforme a figura ao lado. Determine a força sobre a carga q3. 
 
�⃗�34 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞3𝑞4
(𝑟43)2
�̂�43 
�⃗�34 = 8,99 × 10
9
𝑁𝑚2
𝐶2
(−30 × 10−6𝐶) 60 × 10−6𝐶
(0,040𝑚)2
𝑗̂ 
�⃗�34 = −10.113,75 N 𝑗̂ 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: as cargas q1 e q2 possuem valores de 50,0 µC e 800,0nC respectivamente e estão afastadas por uma 
distância de 9,0 cm, conforme a figura ao lado. Determine a força sobre a carga q1. 
 
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7 
�⃗�12 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞1𝑞2
(𝑟21)2
�̂�21 
�⃗�12 = 8,99 × 10
9
𝑁𝑚2
𝐶2
50 × 10−6𝐶 800 × 10−9𝐶
(0,09𝑚)2
(cos 30 𝑖̂ + 𝑠𝑒𝑛30𝑗̂) 
�⃗�12 = 44,39 (
√3
2
𝑖̂ +
1
2
𝑗̂)𝑁 
 
 
 
 
 
 
Para calcular a força elétrica resultante exercida sobre a carga q devido a duas ou mais cargas, devemos 
somar vetorialmente as forças respectivas exercidas sobre q. 
...FFFF
1413121
+++=
→→→→
 
onde a notação ijF

 significa força exercida na carga i pela carga j. 
Exemplo: qual a força elétrica resultante exercida sobre a carga q1 devido as cargas q2, q3 e q4, distribuídas 
nos vértices de um quadrado de lado a. Considere qqq == 41 ; qq 22 = e qq −=3 . 
 
 
 
 
 
q2 q1 
q4 q3 
a 
F1 
 
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8 
Resolução 
�⃗�1 = �⃗�12 + �⃗�13 + �⃗�14 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞2
𝑟21
2 𝑟21̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞3
𝑟31
2 𝑟31̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞4
𝑟41
2 𝑟41̂ 
com qqq == 41 ; qq 22 = e qq −=3 : 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
𝑞. 2𝑞
𝑎2
𝑖̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞. (−𝑞)
2𝑎2
(𝑐𝑜𝑠Ɵî + 𝑠𝑒𝑛Ɵ𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
𝑞. 𝑞
𝑎2
𝑗̂ 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
2𝑞2
𝑎2
𝑖̂ +
1
4𝜋ℰ0
(−𝑞2)
2𝑎2
(
√2
2
î +
√2
2
𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
𝑞2
𝑎2
𝑗̂ 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[2𝑖̂ −
√2
4
î −
√2
4
𝑗 + 𝑗̂] 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[𝑖̂ (2 −
√2
4
) + 𝑗̂ (1 −
√2
4
)] 
 
Exemplo: Determine a força elétrica sobre a carga do canto superior esquerdo (carga 2q) do quadrado de lado a 
da figura abaixo. Em seguida assinale a alternativa que representa a resposta correta. 
( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎2
[𝑖̂ (4 +
√2
2
) + 𝑗̂ (6 +
√2
2
)] 
 ( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎
[𝑖̂ (
√2
2
) + 𝑗̂ (2 −
√2
2
)] 
 ( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎2
[𝑖̂ (4 −
√2
2
) + 𝑗̂ (2 +
√2
2
)] 
( ) �⃗� =
𝑞2
4𝜋𝜖0𝑎2
[𝑗̂ (4 −
√2
2
) + 𝑖̂ (2 +
√2
2
)] 
( ) Nenhuma das alternativas 
 
 
Resolução: q1=2q; q2=q; q3=q; q4=-2q; 
�⃗�1 = �⃗�12 + �⃗�13 + �⃗�14 
q2 q1 
q4 q3 
r21= î 
j 
q1 q4 
q3 q2 
 
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9 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞2
𝑟21
2 𝑟21̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞3
𝑟31
2 𝑟31̂ +
1
4𝜋ℰ0
𝑞1𝑞4
𝑟41
2 𝑟41̂ 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
2𝑞. 𝑞
𝑎2
𝑗̂ +
1
4𝜋ℰ0
2𝑞. (𝑞)
2𝑎2
(−𝑐𝑜𝑠Ɵî + 𝑠𝑒𝑛Ɵ𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
2𝑞. (−2𝑞)
𝑎2
(−𝑖)̂ 
�⃗�1 =
1
4𝜋ℰ0
2𝑞2
𝑎2
𝑗̂ +
1
4𝜋ℰ0
(2𝑞2)
2𝑎2
(−
√2
2
î +
√2
2
𝑗) +
1
4𝜋ℰ0
4𝑞2
𝑎2
𝑖̂ 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[2𝑗̂ −
√2
2
î +
√2
2
𝑗 + 4𝑖̂] 
�⃗�1 =
𝑞2
4𝜋ℰ0𝑎2
[𝑖̂ (4 −
√2
2
) + 𝑗̂ (2 +
√2
2
)] 
 
 
 
 
5. Definição de Campo Elétrico 
 
Suponha uma carga q2 sozinha no espaço, agora pense numa carga q1 que se aproxima da carga q2, a carga 
q2 será influenciada, sendo solicitada por uma força cada vez maior em direção a q1. Vamos pensar nas seguintes 
perguntas: (a) quem avisou q2 da existência de q1? (b) Um pequeno movimento de q1 será instantaneamente 
sentida por q2? 
 
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Para responder a estas perguntas precisamos admitir a existência de um campo elétrico. 
Uma carga gera ao seu redor um campo chamado Campo Elétrico. É conveniente representar este campo 
invisível por linhas de força. 
 A densidade das linhas é diretamente proporcional ao valor do campo e o sentido e direção das linhas 
representam o sentido e direção do Campo Elétrico. 
Através do campo podemos descrever a atração de duas cargas q1 e q2 da seguinte forma: A carga q1 gera um 
campo elétrico, quando a carga q2 é mergulhada neste campo ela sofre uma força elétrica. A introdução do Campo 
Elétrico facilita a descrição dos fenômenos elétricos, pois é mais fácil conhecer o Campo do que a distribuição 
de cargas. 
Podemos determinar a existência e as propriedades (módulo, direção e sentido) do campo elétrico num certo 
ponto inserindo uma carga teste q positiva neste ponto. Se ela for solicitada por uma força elétrica, neste ponto 
existe campo elétrico e é determinado pela equação: 
𝐸
→
=
𝐹
→
𝑞
 
(a) 
(c) 
(d) 
(b) 
Figura 5: campo elétrico. 
 
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11 
Esta equação define que a direção e sentido de E é a igual a F, porém para q positivo. 
 
Figura 6: O Campo Elétrico em um ponto tem a mesma direção e sentido da força elétrica que age sobre uma 
carga teste positiva colocada naquele ponto. Fonte: Halliday, resnick e Walke, vol. 3. 
 
Exemplo: uma carga teste de 20 µC sofre ação de uma força de 0,00060 N i em um ponto P do espaço. 
Determine o campo elétrico nesse ponto P. 
 
 
𝐸
→
=
𝐹
→
𝑞
=
0,00060 𝑁 
20 × 10−6𝐶
𝑖 = 30
𝑁
𝐶
𝑖 
 
6. Cálculo do Valor do Campo Elétrico Devido a Distribuições de Cargas 
 
Agora encontraremos as relações que nos fornecem o valor do Campo Elétrico devido a: cargas pontuais, anel 
carregado e um disco carregado. 
6.1 Campo Criado por uma Carga Pontual 
 
 
 
Figura 7: Força elétrica sobre q0 
A Lei de Coulomb descrece a força F que está agindo na carga qo localizado no ponto P: 
q 
r 
qo 
F P 
q. 
 
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�⃗⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒𝒒𝟎
𝒓𝟐
�̂� (1) 
O valor do Campo em P é definido por: 
𝑬 =
𝑭
𝒒𝟎
→ 𝑭 = 𝑬𝒒𝟎 (2) 
Igualando os termos da direita: 
�⃗⃗⃗�𝒒𝟎 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒𝒒𝟎
𝒓𝟐
�̂� 
Chegamos a: �⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒
𝒓𝟐
�̂� 
Onde o vetor unitário r̂ dá a direção e sentido do vetor r que tem origem na carga que promove o campo E 
e aponta para o local que está sendo determinado o campo E. 
 
 
 
Figura 8: Campo Elétrico em P devido a uma carga pontual 
Exemplo: Determine o campo no ponto P, a 2,0 cm de uma carga elétrica q de -8,0 µC, conforme a figura 
se seguir. 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒
𝒓𝟐
�̂� 
�⃗⃗� = 𝟖, 𝟗𝟗 × 𝟏𝟎𝟗𝑵
𝒎𝟐
𝑪𝟐
−𝟖, 𝟎 × 𝟏𝟎−𝟔𝑪
(𝟎, 𝟎𝟐𝒎)𝟐
�̂� = −𝟏, 𝟖 ×
𝟏𝟎𝟖𝑵
𝑪
�̂� 
Exemplo: Determine o campo no ponto P, a 12,0 mm de uma carga elétrica q de 500,0 nC, conforme a 
figura se seguir. 
 
 
 
 
q 
r 
P 
E 
P 
q 
P 
q 
 
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13 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒
𝒓𝟐
�̂� 
�⃗⃗� = 𝟖, 𝟗𝟗 × 𝟏𝟎𝟗𝑵
𝒎𝟐
𝑪𝟐
𝟓𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟗𝑪
(𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝒎)𝟐
(−�̂�) = 𝟑𝟏. 𝟐𝟏𝟓. 𝟐𝟕𝟕, 𝟕𝟖 = −𝟑, 𝟏 ×
𝟏𝟎𝟕𝑵
𝑪
�̂� 
 
 
No caso de duas ou mais cargas pontuais 
𝑬
→
= 𝑬
→
𝟏 + 𝑬
→
𝟐 + 𝑬
→
𝟑 + 𝑬
→
𝟒+. . .. ou �⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
∑
𝒒𝒊
𝒓𝒊
𝟐 �̑�𝒊
𝑵
𝒊=𝟏 
Onde 1
→
E é o campo elétrico em P produzido pela carga 1 e 
→
2E é o campo em P produzido pela carga 2 e 
assim sucessivamente. 
 
Exemplo: Determine o campo elétrico no centro do quadrado imaginário formado pelas 4 cargas conforme 
a figura a seguir. 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
∑
𝒒𝒊
𝒓𝒊
𝟐 �̑�𝒊
𝑵
𝒊=𝟏
 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
[
𝒒𝟏
𝒓𝟏
𝟐
�̑�𝟏 +
𝒒𝟐
𝒓𝟐
𝟐
�̑�𝟐 +
𝒒𝟑
𝒓𝟑
𝟐
�̑�𝟑+
𝒒𝟒
𝒓𝟒
𝟐
�̑�𝟒] 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
[
−𝒒
𝒂𝟐
𝟐
(𝒄𝒐𝒔Ɵî − 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋) +
𝟑𝒒
𝒂𝟐
𝟐
(𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋) +
𝟐𝒒
𝒂𝟐
𝟐
(−𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋) +
𝒒
𝒂𝟐
𝟐
(−𝒄𝒐𝒔Ɵî − 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋)] 
�⃗⃗� =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒂𝟐
𝟐
[−𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋 + 𝟑𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝟑𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋 − 𝟐𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝟐𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋 + −𝒄𝒐𝒔Ɵî − 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋] 
�⃗⃗� =
𝟐𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂
𝟐
[−𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝟓𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋] =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂
𝟐
[−√𝟐î + 𝟓√𝟐𝒋] 
a 
3q=q2 2q=q3 
-q=q1 q=q4 
 
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14 
Exemplo : Determine o campo elétrico no centro do quadrado imaginário formado pelas 4 cargas 
conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
[
𝒒𝟏
𝒓𝟏
𝟐 �̑�𝟏 +
𝒒𝟐
𝒓𝟐
𝟐 �̑�𝟐 +
𝒒𝟑
𝒓𝟑
𝟐 �̑�𝟑+
𝒒𝟒𝒓𝟒
𝟐 �̑�𝟒] 
�⃗⃗� =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
[
−𝒒
𝒂𝟐
𝟐
(𝒄𝒐𝒔Ɵî − 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋) +
𝟐𝒒
𝒂𝟐
𝟐
(𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋) +
𝟐𝒒
𝒂𝟐
𝟐
(−𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋) +
(−𝒒)
𝒂𝟐
𝟐
(−𝒄𝒐𝒔Ɵî − 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋)] 
�⃗⃗� =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒂𝟐
𝟐
[−𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋 + 𝟐𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝟐𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋 − 𝟐𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝟐𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋 + 𝒄𝒐𝒔Ɵî + 𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋] 
�⃗⃗� =
𝟐𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂
𝟐
[𝟔𝒔𝒆𝒏Ɵ𝒋] =
𝟐𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂
𝟐
[𝟔
√𝟐
𝟐
𝒋] =
𝒒
𝟒𝝅𝜺𝟎𝒂
𝟐
[𝟔√𝟐𝒋] 
 
 
 
 
 6.2 Campo Elétrico Criado por um Anel Carregado 
Inicialmente precisamos definir densidade linear de carga: 
dsdq
ds
dq
 =→= (4) 
dq é uma pequena quantidade de carga ou uma carga diferencial. Esta pode ser considerada pontual, portanto: 
2
0
4
1
r
dq
dE

= ou 
2
0
4
1
r
ds
dE


= (5) 
a 
2q=q2= 2q=q3 
-q=q1 -q=q4 
 
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15 
Uma carga diferencial dq gera um campo dE num ponto P situado a uma distância r. Em geral, o campo 
resultante neste ponto é encontrado pela somatória ou integração de dE devido a todas as cargas diferenciais que 
formam o corpo carregado. 
 No caso do anel carregado, uma carga diferencial dq situada no comprimento diferencial ds gera um campo 
diferencial dE no ponto P conforme a figura 9. O campo resultante estará sobre o eixo Z sendo formado pela 
integral de dEcos. 
𝑬 = ∫ 𝒅𝑬𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟐𝝅𝑹
𝟎
 (6) 
onde 𝒅𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒅𝒒
𝒓𝟐
 ou 𝒅𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝝀𝒅𝒔
𝒓𝟐
 , logo 𝑬 = ∫
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝝀𝒅𝒔
𝒓𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟐𝝅𝑹
𝟎
 
como 
222 zRr += 
 
ainda temos que 𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒛
𝒓
=
𝒛
√𝑹𝟐+𝒛𝟐
=
𝒛
(𝑹𝟐+𝒛𝟐)
𝟏
𝟐⁄
 , portanto: 
𝒅𝑬𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝝀𝒅𝒔
𝑹𝟐+𝒛𝟐
𝒛
(𝑹𝟐+𝒛𝟐)
𝟏
𝟐⁄
 ou 
Retornando a relação (6) escrevemos: 
 
 
𝑬 = ∫ 𝒅𝑬𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟐𝝅𝑹
𝟎
= ∫
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝝀𝒅𝒔
(𝑹𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
𝟐𝝅𝑹
𝟎
Como z,  e R são constantes a medida que percorremos o anel, 
teremos: 
( )

+
=
R
ds
zR
z
E


2
02
3
22
0
4
1
 𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝝀
(𝑹𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
∫ 𝑹𝒅𝜶
𝟐𝝅
𝟎
 
portanto: 
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝝀
(𝑹𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
𝟐𝝅𝑹 (7) 
22
0
4
1
zR
ds
dE
+
=


( ) 2
3
22
0
4
1
cos
zR
dsz
dE
+
=



 
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16 
como 𝝀 =
𝒅𝒒
𝒅𝒔
→ 𝒅𝒒 = 𝝀𝒅𝒔 → ∫𝒅𝒒 = ∫𝝀𝒅𝒔 → 𝒒 =𝟐𝝅𝑹𝝀, substituímos este valor na equação (7) e 
encontramos: 
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝒒
(𝑹𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
 (8) onde q é a carga total do anel. 
Exemplos: (a) Estime o valor do campo no centro do anel e depois calcule esse valor com a equação acima. 
Por observação experimental o campo é nulo no centro do anél e pela equação (8) isso é confirmado. 
(b) Estime o valor do campo para uma um distância do anel (z) muito maior que R. Depois calcule esse valor 
com a equação acima. 
Se z>>R 𝑹𝟐 + 𝒛𝟐 ≅ 𝒛𝟐 
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝒒
(𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
=
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝒒
𝒁𝟑
=
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒
𝒁𝟐
 que é semelhante a 
𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒
𝒓𝟐
 , então o campo distante do anél é o mesmo de uma carga pontual. 
 
6.3 Campo Elétrico devido a um disco carregado 
 
Agora precisamos definir a densidade superficial de carga : 
da
dq
area
ac
=→= 
arg
 
Como mostra a figura 10, podemos dividir o disco em pequenos 
anéis com carga dq, portanto o Campo no ponto P produzido por um 
anel infinitesimal pode ser escrito como: 
𝒅𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝒅𝒒
(𝒓𝟐 + 𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
 
 
A pequena área da pode ser escrita como rdrda 2= , assim 𝒅𝒒 = 𝝈𝟐𝝅𝒓𝒅𝒓, logo: 
( ) 2
3
22
0
2
4
1
zr
rdrz
dE
+
=


 
 
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17 
𝑬 = ∫ 𝒅𝑬 = ∫
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒛𝝈𝟐𝝅𝒓𝒅𝒓
(𝒓𝟐 + 𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
=
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝝈𝝅𝒛∫
𝟐𝒓𝒅𝒓
(𝒓𝟐 + 𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
𝑹
𝟎
𝑹
𝟎
𝑹
𝟎
 
Esta integral pode ser resolvida por 
+
=
+
1
1
n
u
duu
n
n
, onde 
𝒖 = 𝒛𝟐 + 𝒓𝟐 e rdrdu 2= , assim: 
Portanto: 
∫
𝟐𝒓𝒅𝒓
(𝒓𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
𝑹
𝟎
= [
(𝒛𝟐+𝒓𝟐)
−𝟏 𝟐⁄
−
𝟏
𝟐
]
𝟎
𝑹
= [−
𝟐
√𝒛𝟐+𝒓𝟐
]
𝟎
𝑹
= −
𝟐
√𝒛𝟐+𝑹𝟐
+
𝟐
𝒛
 e retornando: 
E= 
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝝈𝝅𝒛∫
𝟐𝒓𝒅𝒓
(𝒓𝟐+𝒛𝟐)
𝟑
𝟐⁄
=
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝝈𝝅𝒛 [− 𝟐
√𝒛𝟐+𝑹𝟐
+ 𝟐
𝒛
]
𝑹
𝟎
= 
𝑬 =
𝝈
𝟐𝜺𝟎
[𝟏 −
𝒛
√𝒛𝟐 + 𝑹𝟐
] 
 
Exemplo: determine o campo elétrico em um ponto muito próximo do plano. 
Exemplo: determine o campo no ponto P, devido ao semianel carregado de cargas negativas. 
 
 
( )

−
==
+
−
−
2
1
2 2
1
2
3
2
3
22
u
duu
zr
rdr
 
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18 
7. FLUXO 
 
Figura: Fluxo  para superfície planas com várias orientações em um campo uniforme. Fonte: Keller, Guetys 
e Skove, v. 2, p. 34 
 
A superfície imaginária intercepta o fluxo afim de medi-lo. Em cada uma das três situações o fluxo é diferente 
devido a variação do ângulo  entre a superfície e o fluxo. O vetor área A (na figura acima foi usado S no lugar 
de A), tem módulo A (área em m2), direção perpendicular a superfície e sentido para fora (no caso de superfície 
fechada). 
Na letra (a) da figura acima, o fluxo é dado por , onde VA= , na letra (b) não há fluxo e na letra (c) o 
fluxo é 𝛷 = 𝑉𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜃 onde cosA é a superfície que efetivamente intercepta o fluxo. A partir destas três 
situações podemos encontrar uma equação geral para fluxo: 
 
𝛷 = �⃗⃗� • 𝐴 
 
8. Fluxo do campo Elétrico 
A figura abaixo representa uma superfície gaussiana interceptando um campo elétrico. Por definição esta 
superfície é fechada e imaginária (hipotética). Ela está dividida em pequenas áreas A O fluxo em cada uma é 
dado por EA

•= . Tomando quadrados cada vez menores chegamos a: 𝛷 = ∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 
 
 
 
 
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19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Halliday, Resnic e Walker; v.3, p.41. 
Exemplo: Calcule o fluxo do campo elétrico através das superfícies Gaussiana cilíndrica abaixo. 
Figura 13: 
Superfície Gaussiana cilíndrica. 
 
𝛷 = ∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴2⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴3⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
𝛷 = ∫𝐸 𝑑𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠𝜃3 
𝛷 = ∫𝐸 𝑑𝐴1 𝑐𝑜𝑠180 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠90 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠0 
dA1 
dA2 
dA3 
 
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20 
𝛷 = −∫𝐸 𝑑𝐴1 + 0 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 
𝛷 = −𝐸 ∫ 𝑑𝐴1 + 𝐸 ∫ 𝑑𝐴3 
𝛷 = −𝐸𝐴1 + 𝐸𝐴3 
Como A1=A3, 
𝛷 = 0 
Em que condição esse resultado deixa de ser nulo? 
 
9. Lei de Gauss 
 
O Fluxo do Campo Elétrico para qualquer superfície fechada é igual a carga resultante encerrada pela 
superfície, dividida pela constante 0. 
𝜱 = ∮ �⃗⃗⃗� • 𝒅�⃗⃗⃗� =
𝒒
𝜺𝟎
 
onde q é a carga líquida (total) dentro da superfície gaussiana e pode ser positiva ou negativa, q nesta 
equação não representa somente o módulo da carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
Exemplo 1: determine o fluxo do campo elétrico através das 4 superfícies representadas na figura abaixo. 
As cargas possuem os valores de: q1=17,7 nC e q2=-17,7 nC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14: Fluxo de E por quatro superfície diferentes. 
𝜱 = ∮ �⃗⃗⃗� • 𝒅�⃗⃗⃗� =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝜱 =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝜱𝟏 =
𝒒𝟏
𝜺𝟎
=
𝟏𝟕, 𝟕 𝒏𝑪
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
=
𝟏𝟕, 𝟕 × 𝟏𝟎−𝟗 𝑪
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
= 𝟐. 𝟎𝟎𝟎
𝑵
𝑪
𝒎𝟐 
𝜱𝟐 =
𝒒𝟐
𝜺𝟎
=
−𝟏𝟕, 𝟕 𝒏𝑪
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
=
−𝟏𝟕, 𝟕 × 𝟏𝟎−𝟗 𝑪
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
= −𝟐.𝟎𝟎𝟎
𝑵
𝑪
𝒎𝟐 
𝜱𝟑 =
𝒒𝟑
𝜺𝟎
=
𝟎
𝜺𝟎
= 𝟎 
𝜱𝟒 =
𝒒𝟏 + 𝒒𝟐
𝜺𝟎
=
𝟏𝟕, 𝟕 × 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 + (−𝟏𝟕, 𝟕 × 𝟏𝟎−𝟗 𝑪)
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
= 𝟎Prof. Paulo R. Innocente – Laboratório de Física – Área de Ciências Exatas e Ambientais 
22 
Exemplo 2: Na figura a seguir aparecem 3 superficies gaussianas e 3 cargas elétricas. A carga q1 vale 3,5 
µC, carga q2 4,5 µC e a carga q3 -8,0 µC. Determine o fluxo pela superfície S, S’e S”. 
 
𝜱 =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝜱𝑺 =
𝒒𝑺
𝜺𝟎
=
𝟑, 𝟓µ𝑪
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
=
𝟑, 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
= 𝟑𝟗𝟓. 𝟒𝟖𝟎, 𝟐
𝑵
𝑪
𝒎𝟐 
 
𝜱 =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝜱𝑺′ =
𝒒𝑺′
𝜺𝟎
=
𝟒, 𝟓µ𝑪 + (−𝟖, 𝟎µ𝑪)
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
=
−𝟑,𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔 𝑪
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
= −𝟑𝟗𝟓. 𝟒𝟖𝟎, 𝟐
𝑵
𝑪
𝒎𝟐 
 
𝜱𝑺" =
𝒒𝑺"
𝜺𝟎
=
𝟎
𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐
𝑪𝟐
𝑵𝒎𝟐
= 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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23 
Exemplo 3: a partir da lei de Coulomb encontramos a expressão 𝐸 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝑟2
 para o valor do campo elétrico 
num ponto P, a uma distância r de uma carga q. Encontrar esse resultado pela lei da Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura: Campo Elétrico em P devido a uma carga pontual 
Ressolução: Precisamos usar a lei de Gauss 
0
q
AdE =•

. Para isso Primeiramente imaginamos uma 
superfície passando pelo ponto que queremos saber o valor do campo elétrico. Após desenvolvemos os 
cálculos a partir da lei de Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja os cálculos: 
∮ �⃗⃗⃗� • 𝒅�⃗⃗⃗� =
𝒒
𝜺𝟎
 lei de Gauss 
∮𝑬𝒅𝑨𝒄𝒐𝒔Ɵ =
𝒒
𝜺𝟎
 Ɵ=0 
∮𝐸 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
 pois dA é em toda superfície paralelo a E. 
q 
r 
P 
E 
q 
r 
P 
E 
Figura: aplicação da lei de Gauss para 
cálculo de E próximo a uma carga 
pontual 
dA 
dA 
 
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24 
0
q
dAE = E é constante 
𝑬𝑨 =
𝒒
𝜺𝟎
 
0
24


q
rE = a área total da esfera é 
24 r . Isto conduz a 𝑬 =
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
𝒒
𝒓𝟐
; veja que a lei de Gauss é equivalente 
a lei de Coulomb. 
 
 
Exemplo4 : utilizar a lei da Gaus para mostrar que a carga em um condutor condutor em equilíbrio eletrostático 
está na superfície externa. 
 
Resolução: quando um condutor está descarregado, possui elétrons livres, porém o campo no interior e exterior 
é zero. Se o condutor receber carga, esta se distribuirá e alcançara o repouso ou equilíbrio eletrostático. 
Nessa condição não há mais movimentação de cargas (corrente elétrica) no interior do condutor. A força 
sobre uma carga é zero, como 𝐸 =
𝐹
𝑞
, temos E=0. Portanto, quando o condutor atinge o equilíbrio eletrostático, 
o campo no interior do condutor é zero. 
A lei de Gauss confirma que nessas condições, a carga em excesso no condutor deverá estar na superfície. 
Para uma superfície gaussiana logo abaixo da superfície do condutor, temos: 
𝛷 = ∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 =
𝑞
𝜀0
 ; 
0
0

q
== ; devido a E=0 teremos 0=q ; portanto “não há carga no interior do 
condutor”. 
Se a carga não está dentro da superfície gaussiana que está logo abaixo da superfície do condutor, ela 
somente poderá estar fora, isto é, na superfície do condutor. 
No exterior do condutor, haverá campo elétrico, este será perpendicular a superfície. Caso fosse tangente 
provocaria correntes eletrônicas retirando o condutor do equilíbrio. Isto também é válido para condutores com 
cavidade. 
 
 
 
 
 
 
E=0 
E 
E E 
Figura 17: condutor carregado 
positivamente em equilíbrio eletrostático. 
 
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25 
 
Exemplo 5 : calcular o campo proximo de uma placa isolante. 
∮ �⃗⃗⃗� • 𝒅�⃗⃗⃗� =
𝒒
𝜺𝟎
 
∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴2⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴3⃗⃗ ⃗⃗⃗ =
𝑞
𝜀0
 
∫𝐸 𝑑𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠𝜃3 =
𝑞
𝜀0
 
∫𝐸 𝑑𝐴1 𝑐𝑜𝑠0 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠90 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠0 =
𝑞
𝜀0
 
∫𝐸 𝑑𝐴1 + 0 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 =
𝑞
𝜀0
 
𝐸 ∫ 𝑑𝐴1 + 0 + 𝐸 ∫ 𝑑𝐴3 =
𝑞
𝜀0
 
𝐸𝐴1 + 0 + 𝐸𝐴3 =
𝑞
𝜀0
; 𝐴1 = 𝐴3 = 𝐴 
𝐸𝐴 + 0 + 𝐸𝐴 =
𝑞
𝜀0
 
2𝐸𝐴 =
𝑞
𝜀0
 
Temos 
𝒅𝒒
𝒅𝑨
=
𝒒
𝑨
= 𝝈 então 𝒒 = 𝝈𝑨, portanto: 
2𝐸𝐴 =
𝝈𝑨
𝜀0
 
𝐸 =
𝝈
2𝜀0
 
 
 
 
 
 
 
 
dA3 dA1 
dA2 
 
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26 
 
Exemplo 6: uma folha de papel (20 cm x30 cm) possui 10,0 nC de carga. Determine o campo elétrico próximo 
dessa folha. 
𝐸 =
𝝈
2𝜀0
 
𝜎 =
𝑞
𝐴
=
10 × 10−9𝐶
0,20𝑚 × 0,30𝑚
= 𝟏, 𝟔𝟕 × 10−7𝐶/𝑚2 
𝐸 =
𝝈
2𝜺𝟎
=
𝟏, 𝟔𝟕 × 𝟏𝟎
−𝟕
𝑪/𝒎
𝟐
𝟐 × 𝟖, 𝟖𝟓 × 𝟏𝟎−𝟏𝟐𝑪𝟐/𝑵𝒎𝟐
= 𝟗. 𝟒𝟏𝟔, 𝟐 𝑵/𝑪 
Exemplo 7 : calcular o campo próximo de uma placa condutora. 
 
∮ �⃗⃗⃗� • 𝒅�⃗⃗⃗� =
𝒒
𝜺𝟎
 
∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴2⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴3⃗⃗ ⃗⃗⃗ =
𝑞
𝜀0
 
∫0 𝑑𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠𝜃3 =
𝑞
𝜀0
 
0 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠90 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠0 =
𝑞
𝜀0
 
0 + 0 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 =
𝑞
𝜀0
 
𝐸 ∫ 𝑑𝐴3 =
𝑞
𝜀0
 
𝐸𝐴3 =
𝑞
𝜀0
; 𝐴3 = 𝐴 
𝐸𝐴 =
𝑞
𝜀0
 
Temos 
𝒅𝒒
𝒅𝑨
=
𝒒
𝑨
= 𝝈 então 𝒒 = 𝝈𝑨, portanto: 
𝐸𝐴 =
𝝈𝑨
𝜺𝟎
 
𝐸 =
𝝈
𝜺𝟎
 
dA1 
dA2 
dA3 
 
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27 
 
 
Exemplo 8: calcular o campo a distância r de uma linha carregada 
𝜱 = ∮ �⃗⃗⃗� • 𝒅�⃗⃗⃗� =
𝒒
𝜺𝟎
 
∮ �⃗⃗� • 𝑑𝐴 = ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴2⃗⃗ ⃗⃗⃗ + ∫ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝐴3⃗⃗ ⃗⃗⃗ =
𝑞
𝜀0
 
∫𝐸 𝑑𝐴1 𝑐𝑜𝑠𝜃1 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠𝜃2 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠𝜃3 =
𝑞
𝜀0
 
∫𝐸 𝑑𝐴1 𝑐𝑜𝑠90 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 𝑐𝑜𝑠0 + ∫𝐸 𝑑𝐴3 𝑐𝑜𝑠90 =
𝑞
𝜀0
 
0 + ∫𝐸 𝑑𝐴2 + 0 =
𝑞
𝜀0
 
𝐸 ∫ 𝑑𝐴2 =
𝑞
𝜀0
 
𝐸𝐴2 =
𝑞
𝜀0
; 𝐴2=h 2πr 
𝜆 =
𝑞
𝒉
; q=λh 
𝐸𝐡 𝟐𝛑𝐫 =
𝛌𝐡
𝜀0
 
𝐸 =
𝜆
𝟐𝛑𝐫𝜀0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dA3 
dA1 
dA2 
 
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28 
 
Exemplo 7: determinar o campo no interior e exterior de uma esfera condutora de raio R. 
 
 
∮ �⃗⃗⃗� • 𝒅�⃗⃗⃗� =
𝒒
𝜺𝟎
 
∮𝐸 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠Ɵ =
𝒒
𝜺𝟎
 
∮𝐸 𝑑𝐴 𝑐𝑜𝑠0 =
𝒒
𝜺𝟎
 
∮𝐸 𝑑𝐴 =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝐸 ∮ 𝑑𝐴 =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝐸𝐴 =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝐸4𝜋𝑟2 =
𝒒
𝜺𝟎
 
𝐸 =
𝟏
4𝜋𝜺𝟎
𝒒
𝑟2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
 
Primeira lista de exercícios – Carga Elétrica e Campo Elétrico 
 
1. Assinale com (V) a alternativa verdadeira e (F) se a alternativa for falsa. 
 ( ) Na eletrização por contato ocorre transferência de carga no momento do contato até que os objetos atinjam o 
mesmo potencial elétrico. Se os objetos forem condutores de mesmo formato, o objeto menor ficará com menos 
carga que o maior. 
( ) Na lei de Gauss , a superfície imaginária ou superfície gaussiana deve ser fechada, podendo 
ter qualquer formato. A carga q é do sistema de cargas, não é necessariamente a carga de dentro da superfície 
Gauss, já que podem ser escolhidas superfícies muito pequenas. 
( ) Quando você caminha sobre um tapete de náilon num dia bem seco e a seguir toca um objeto metálico grande, 
tal como uma maçaneta, pode ocorrer uma faísca e você sentirá o choque. Nesse caso ocorre a eletrização entre 
você e o tapete. Uma pessoa sente o choque quando está necessariamente cheio de cargas, quanto mais cargas 
elétricas num corpo, maior é o choque elétrico. 
( ) Um objeto constituído de material isolante possui uma densidade de carga volumétrica distribuída em todo o 
objeto. Caso tivermos um objeto condutor como uma esfera de aço, o campo elétrico existirá somente no exterior, 
porém se essa esfera for oca, o campo não será zero no seu centro. 
( ) Quando acionamos o interruptor, estamos fechando o circuito elétrico, com isso é estabelecido um campo 
elétrico nos condutores e como resultado haverá uma força elétrica que moverá os elétrons livres parapercorrerem 
os fios condutores e transmitirem a energia elétrica para lâmpadas, ventiladores e outros consumidores. 
2. Após atritar uma haste de borracha com seda, a borracha 
passa a atrair objetos leves, pois ficou eletricamente 
carregada. Estima-se que há 3,0 x 1025 elétrons em excesso 
na borracha. Qual o valor de sua carga? 
 
 
 
0
q
AdE =•= 

Fonte: Máximo e Alvarenga, p.14 
 
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30 
3. A massa de uma moeda de cobre é m = 3,11 g. Sendo eletricamente neutra, ela contém quantidades iguais de 
cargas positivas e negativas. Qual é o módulo q da carga total positiva (ou negativa) na moeda. 
Observação: Para saber o valor desta carga, teremos de saber inicialmente o número (estimado) de átomos 
contidos nesta moeda. Isto pode ser calculado por N=NA m/M, onde NA é o número de Avogadro igual a 
6,02´1023 át/mol e M é a massa molar do cobre, 63,5 g/mol. Também é necessário levar em consideração o 
número atômico do cobre. R: ~ 137.000 C. 
4. Vimos que na moeda de cobre do exercício 3, a carga total positiva (ou negativa) tem módulo igual a 1,37.105 
C. Suponhamos que as cargas positivas e negativas da moeda pudessem ser concentradas em dois pacotes 
distintos, afastados de 100 m um do outro. Que força atrativa atuaria sobre cada pacote? R: 1,69´1016 N 
5. Segundo a teoria dos quarks (postulada sua existência em 1964), essas partículas teriam cargas 
(quark d) e (quark u); o próton, por exemplo, seria formado por dois quarks u e um quark d; e o 
neutro seria formado por dois quark d e um quark u. Mostre que a soma das cargas dos quarks formadores 
do próton e do nêutron é coerente com a carga do próton e nêutron apresentada no início do capítulo. 
6. A distância média r entre o elétron e o próton no núcleo do átomo de hidrogênio é de 5,3. 10-11 m. Qual é o 
módulo da força eletrostática média entre estas duas partículas? R: 8,2.10-8 N 
7. A força eletrostática entre dois íons iguais, separados por uma distância de 5,0 . 10-10 m, vale 1,48 . 10-8 N. 
(a) Calcule a carga de cada íon. (b) Quantos elétrons estão faltando em cada ion? (R: (a) 6,4 . 10-19 c (b) 
quatro) 
8. Na formação do cristal de cloreto de Potásio (KCl) a distância entre o íon K+ e o íon de Cl- é aproximadamente 
3,0 angstron (1 angstron=10-10m). Determine o módulo da força elétrica de atração. R:2,56x10-9 N 
9. De acordo com o manual de padrões de segurança do IEEE (Instute of Electrical and electronic and 
engineers), os seres humanos devem evitar exposições prolongadas a campos superiores de 614 N/C. 
Nessas condições (campo de 614 N/C), qual é o módulo da força elétrica que atua sobre um elétron? R: 
9,8x10-17N 
10. Calcule a força resultante que atua na carga do canto esquerdo inferior do quadrado? 
R: 
3
e
−
3
2
e
+
















−+








+ 2
2
2
2
2
4
4
1
2
2
ji
a
q
oa 
+2q 
+q 
 
- q 
 
- 2q 
 
 
Prof. Paulo R. Innocente – Laboratório de Física – Área de Ciências Exatas e Ambientais 
31 
 
 
11. O experimento da gota de óleo de Millikan. Em um experimento clássico , R. A. Millikan (1868-1953) 
mediu a carga eletrônica. Formaram-se gotas de óleo por um atomizador, e algumas delas caíram por um 
orifício em uma região de um campo elétrico uniforme entre as placas carregadas. Millikan podia observar 
uma determinada gota através de um microscópio e determinar sua massa medindo sua velocidade terminal. 
Millikan então carregou a gota, irradiando-a com raios-x, e ajustou o campo elétrico de modo que a gota 
ficasse em equilíbrio estático em razão das forças gravitacionais e elétricas iguais e opostas. (a) Qual é a 
carga em uma gota de massa 2,32.10-14 Kg que permanece suspensa em um campo elétrico de 2,03.105 N/C? 
Admita g=9,8 m/s2. (b) Quantas cargas eletrônica a resposta da parte (a) representa? R: (a) 1,12 .10-18C (b)7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Calcule campo elétrico no centro do quadrado da igura ao lado? 
considere q = 1,0 . 10-8 C e a = 5 cm. R: 1,02 . 105 j 
 
 
 
 
a 
-q +2q 
+q -2q 
 
Prof. Paulo R. Innocente – Laboratório de Física – Área de Ciências Exatas e Ambientais 
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13. Uma carga Q positiva é distribuída uniformemente sobre um fio semicircular de raio R. (a) Determine o 
campo elétrico no ponto O em função da densidade de carga linear λ. (b) sabendo que λ possui o valor de 
3,4.10-6 C/m e R vale 3,0 cm, verifique se vai ocorrer o efeito corona no ponto O, sabendo que a rigidez 
dielétrica do ar é 3.000.000 N/C 
R: (a) 
 
 
 
 
14. Determine o campo elétrico próximo a um piso cerâmico carregado com densidade de carga σ. Este piso 
pode ser considerado como uma plano não condutor e infinito. A equação que permite determinar o campo 
elétrico sobre o eixo do disco a uma distância Z do seu centro é dado por onde R é o 
raio do disco. 
15. Uma carga pontual de 1,8 µC encontra-se no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 55 cm de aresta. 
Calcule o valor do fluxo através desta superfície. R: 2,03x105Nm2/C 
16. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma densidade superficial de 
cargas de 8,1 µC/m2. (a) Determine a carga total sobre a esfera. (b) Qual é o valor do fluxo elétrico líquido 
que está deixando a superfície da esfera? (represente a superfície gaussiana) R: a) 3,7 . 10-5 C b) 4,14 . 106 
Nm2/C 
17. Uma infinita linha de cargas produz um campo de 4,5 . 104 N/C a uma distância de 2 m. (a) Encontre pela lei 
de Gauss a expressão do campo a uma distância r do condutor.(b) Calcule a densidade de carga linear. R: 
5,0x10-6C/m 
18. Determinou-se, experimentalmente, que o campo elétrico numa certa região da atmosfera terrestre, está 
dirigido verticalmente para baixo. Numa altitude de 300 m, o campo tem módulo de 60,0 N/C; e numa altitude 
de 200 m, 100 N/C. Determine a carga líquida contida num cubo de 100 m de aresta, com as faces horizontais 
nas altitudes de 200 e 300 m. Despreze a curvatura da terra. R: 3,54 . 10-6 C 
R2
E
0

=






+
−=
22
0
1
2 Rz
Z
E


 
Prof. Paulo R. Innocente – Laboratório de Física – Área de Ciências Exatas e Ambientais 
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19. Em meio a uma tempestade ocorre a formação de um raio. Esse raio é uma descarga elétrica ou simplesmente 
uma corrente elétrica formada de elétrons e íons do gás. Para ocorrer esse fenômeno, o meio precisa de um 
campo elétrico com um valor mínimo, para o ar é necessário um campo de 3,0x106 N/C. Qual é o valor da 
força elétrica sobre um elétron sob esse valor de campo elétrico. 
20. Um dipolo elétrico com momento de 0,032x10-28 C.m faz um ângulo de 20O com um campo elétrico uniforme 
de 3x103 N/C. Calcular o valor do torque do campo sobre o dipolo. OBS: Um dipolo elétrico é formado por 
duas cargas de sinais contrários afastadas uma da outra por uma distância d. Este dipolo possui um momento, 
chamado de momento de dipolo (p=qd), onde q é o módulo das cargas. O módulo de p é qd e o sentido é da 
carga negativa para positiva. Quando este dipolo é mergulhado em um campo elétrico, sofre um torque 𝜏 =
𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛Ɵ. Veja figura do exercício. Resposta: 3,28x10-27 Nm