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Estatística Profª Draª Juliana Guedes Conteúdos • Medidas de posição: • 1.1 média aritmética; • 1.2 média ponderada; • 1.3 média geométrica; • 1.4 média harmônica. Medidas de Posição • Suponha que os 30 alunos de uma classe se submeteram a um exame nacional de avaliação da qualidade das escolas. • É possível encontramos todas as diferentes notas na escala de 0 a 10. • Mas e se quiséssemos, de maneira resumida, nos referir ao desempenho geral dessa classe? Como faríamos? Como faríamos para dizer se essa classe, no geral, foi bem ou foi mal na prova? Medidas de Posição • Este tipo de análise é feito por meio de medidas que descrevem, de maneira resumida, o conjunto de dados. • Podemos, por exemplo, calcular a média da turma. • A média nos dá uma informação referente à posição que os dados ocupam: ela nos indica que as notas giraram em torno de 7, por exemplo. • Dizemos que a média: Medidas de Posição • É uma medida de posição, pois nos dá uma indicação do posicionamento dos dados. • É uma medida de tendência central, pois nos dá informações sobre o centro destes dados (neste caso, devem girar em torno de 7). • Voltando ao exemplo dos 30 alunos, considere que os 25% melhor colocados nessa prova ganhem bolsa de estudos para o ano que vem. Medidas de Posição • Nosso estudo indica que a nota de corte para conseguir essa bolsa é igual a 8,5. • Ou seja, 8,5 é a nota que separa os 25% melhor colocados. • Dizemos que se trata do terceiro quartil, pois separa a nota em duas partes: • Os três primeiros quartos, que são notas menores que 8,5. Medidas de Posição • O último quarto, que são as notas maiores que 8,5. • Por isso 8,5 é chamado de terceiro quartil. • Logo, o terceiro quartil é: • Uma medida de posição, pois nos dá uma indicação do posicionamento dos dados (sabemos que 75% deles se posicionam antes de 8,5; e que 25% deles se posicionam após 8,5). Medidas de Posição • Uma medida separatriz: pois separa o conjunto de dados em duas partes: uma com 25% das observações, outra com 75%. • A partir dos exemplos, podemos dizer que as medidas de posição podem ser de dois tipos: • Medidas de tendência central: nos dão noção de centro. Ex: média, mediana e moda. • Medidas separatrizes: separam os dados em conjuntos bem definidos. Ex: mediana, quartil, decil, percentil. Média Aritmética • Todos nós já temos uma noção bem intuitiva de média, pois temos contato com ela durante toda a nossa vida escolar. • Ex: se na primeira prova tiramos 8 e na segunda tiramos 6, nossa “média” é: • 8 + 6/2 = 7 • Vimos que bastou somar as duas notas e dividir por 2, já que eram duas notas. Se fossem três notas, dividiríamos por 3. Se fossem n notas, dividiríamos por n. Média Aritmética • Vamos agora aprender a calculá-la, conforme os dados estejam em rol, agrupados por valor ou em classes. Média para Dados em Rol • Considere a seguinte pesquisa salarial, feita com dez moradores do bairro Alfa: • Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 • Calculando a soma dos dados, temos: Média para Dados em Rol • A média fica: • Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salário médio de R$ 3.600,00. • Média é apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo número de dados. • Este símbolo adotado para média é muito comum. Muitos autores o utilizam. Média para Dados em Rol • Para um conjunto de “n” dados, a média pode ser representada por: • A fórmula acima indica que, para obter a média aritmética, somamos todos os dados e dividimos por n. • Uma coisa que muita gente confunde é o seguinte: muitas pessoas acham que a média precisa pertencer ao conjunto de dados. Média para Dados em Rol • Isto é falso. No exemplo acima, a média foi 3,6. E na nossa amostra não há nenhuma pessoa que ganhe um salário de R$ 3.600,00. • Este valor de 3,6 só é um indicativo de que os salários das pessoas entrevistadas devem girar em torno de R$ 3.600,00. Exercícios Pontuados • Calcule a média para o seguinte conjunto de dados: 3, 5, 7, 11, 12. • (NCE/UFRJ) A amostra a seguir indica as alturas, em centímetros, de cinco indivíduos: • 172, 163, 180, 168, 157 • A média amostral desses dados, em centímetros, é: • A) 164; Exercícios Pontuados • B) 166; • C) 168; • D) 170; • E) 172. • (NCE/UFRJ) Um conjunto de dezoito empresas foi analisado em relação a um certo conjunto de fatores. Em particular, verificou-se que essas empresas tinham um lucro líquido médio anual de R$ 5.000,00. Posteriormente, outras duas empresas foram pesquisadas, uma com lucro líquido anual de R$ 3.640.000,00, outra com R$ 1.460.000,00 de lucro líquido anual. Exercícios Pontuados • O lucro médio das vinte empresas analisadas foi então, em reais, de: • A) 4.755.000,00. • B) 4.925.000,00. • C) 5.100.000,00. • D) 5.155.000,00. • E) 5.250.000,00. Propriedades da Média Aritmética • Voltemos à nossa pesquisa de salários dos moradores do bairro. • Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 • Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. Agora, seus salários são: • 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8 Propriedades da Média Aritmética • Qual a nova média? • A nova média será: • O salário médio agora é de R$ 4.600,00 • Antes, com os salários antigos, a média era de R$ 3.600,00. Propriedades da Média Aritmética • Agora, todos os dados foram somados em R$ 1.000,00. E a média também foi somada de R$ 1.000,00. • Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma: • 1) Somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a média do novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c. Propriedades da Média Aritmética • 2) Multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a média do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c. Exercícios Pontuados • Calcule a média aritmética da seguinte sequência: {1, 3 e 5}. • Calcule a média aritmética da seguinte sequência: {3, 5 e 7}. • Calcule a média aritmética da seguinte sequência: {6, 10 e 14}. Exercícios Pontuados • (FCC) Uma administradora de locação de imóveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua região, procedeu às seguintes operações: • I Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira. • II Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I. • III Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II. Exercícios Pontuados • IV Calculou a média aritmética de todos os valores apurados no item III. • Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então a média aritmética dos valores dos alugueis em reais é: • A) 2.300. • B) 1.700. • C) 1.500. • D) 1.300. • E) 750. Média para Dados Agrupados por Valor • Quando estudamos “média para dados em Rol”, vemos que, para calcular a média, basta somar todos os dados e dividir por n (onde n é o número de dados). • Quando os dados estão agrupados por valor, a ideia de cálculo da média será a mesma. • Suponha agora que não temos acesso ao Rol original. Temos apenas acesso a dados tabelados, agrupados por valor. Assim: Média para Dados Agrupados por Valor • Quando os dados estiverem agrupados, uma forma de calcular a média é a seguinte. • Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual ao produto das duas anteriores. Média para Dados Agrupados por Valor • Segundo passo: calculamos os totais das duas últimas colunas. Média para DadosAgrupados por Valor • Terceiro passo: a média será dada pela divisão do total da coluna (salário x frequência) pelo total da coluna de frequências. Média para Dados Agrupados por Valor • Os dados estão expressos em mil reais. Logo, a média na verdade é de R$ 3.600,00. • Repare que a média foi novamente de R$ 3.600,00. A mesma média obtida quando os dados estavam em Rol. O valor tinha que dar igual. Afinal de contas, são os mesmos dados, apenas dispostos de forma diferente. Média para Dados Agrupados por Valor • Outro aspecto interessante. O total da coluna (salário x frequência) é justamente a soma de todos os salários. • Para fazer este procedimento, é importante que se trabalhe apenas com frequências simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser simples. Se o exercício te der uma tabela de frequências acumuladas, antes de resolver, tem que passar para a respectiva frequência simples. Média para Dados Agrupados por Valor • Vamos ver como seria. Se o exercício trouxesse a seguinte tabela: • Como você calcularia a média? Média para Dados Agrupados por Valor • Antes de começar a resolver, temos que achar a frequência relativa simples, pois, para calcular a média, não serve a frequência acumulada. Média para Dados Agrupados por Valor • Feito isto, podemos criar a coluna de (frequência x salários), calcular totais de cada coluna e achar a média. Média para Dados Agrupados por Valor • Observe que a resposta é a mesma (tanto para frequências absolutas quanto relativas). O que importa é que as frequências sejam simples. Nunca acumuladas. • Se fôssemos resumir todos os procedimentos para calcular a média, poderíamos expressá-los por meio das seguintes fórmulas: • Quando trabalhamos com frequências absolutas simples: Média para Dados Agrupados por Valor • Quando trabalhamos com frequências relativas simples: • É interessante compararmos as fórmulas acima com a que utilizamos para os dados em Rol. Média para Dados Agrupados por Valor • Quando os dados estão em Rol, a fórmula para cálculo da média é: • E agora, quando temos dados agrupados, a fórmula mudou. Mas todas elas são formas ligeiramente diferentes de se escrever a mesma coisa. Exercícios Pontuados • (FCC) Em uma linha de produção de montadoras de tratores, existem 5 verificações realizadas pela equipe de controle de qualidade. Foram sorteados alguns dias do mês e anotados os números de controles em que o trator produzido foi aprovado nestes dias. Exercícios Pontuados • A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovação implica em custos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor básico de R$ 10,00 por cada item reprovado no trator produzido, a média da despesa adicional por trator produzido será: • A) R$ 1,00. • B) R$ 10,00. • C) R$ 6,00. • D) R$ 5,00. • E) R$ 7,00. Exercícios Pontuados • (Vunesp) Ao encerrar o movimento diário, um atacadista, que vende a vista e a prazo, montou uma tabela relacionando a porcentagem do seu faturamento no dia com o respectivo prazo, em dias, para que o pagamento seja efetuado. Exercícios Pontuados • O prazo médio, em dias, para pagamento das vendas efetuadas nesse dia, é igual a: • A) 75. • B) 67. • C) 60. • D) 57. • E) 55. Referência • MENEZES, V.; SANTANA, G.M. Estatística. São Paulo: Estratégia Concursos, 2019.
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