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Estatística 
Profª Draª Juliana Guedes 
Conteúdos 
• Medidas de posição: 
 
• 1.1 média aritmética; 
 
• 1.2 média ponderada; 
 
• 1.3 média geométrica; 
 
• 1.4 média harmônica. 
 
 
 
 
Medidas de Posição 
• Suponha que os 30 alunos de uma classe se 
submeteram a um exame nacional de avaliação 
da qualidade das escolas. 
 
• É possível encontramos todas as diferentes notas na 
escala de 0 a 10. 
 
• Mas e se quiséssemos, de maneira resumida, nos 
referir ao desempenho geral dessa classe? Como 
faríamos? Como faríamos para dizer se essa classe, 
no geral, foi bem ou foi mal na prova? 
Medidas de Posição 
• Este tipo de análise é feito por meio de medidas 
que descrevem, de maneira resumida, o conjunto 
de dados. 
 
• Podemos, por exemplo, calcular a média da turma. 
 
• A média nos dá uma informação referente à 
posição que os dados ocupam: ela nos indica que 
as notas giraram em torno de 7, por exemplo. 
 
• Dizemos que a média: 
Medidas de Posição 
• É uma medida de posição, pois nos dá uma 
indicação do posicionamento dos dados. 
 
• É uma medida de tendência central, pois nos dá 
informações sobre o centro destes dados (neste 
caso, devem girar em torno de 7). 
 
• Voltando ao exemplo dos 30 alunos, considere que 
os 25% melhor colocados nessa prova ganhem 
bolsa de estudos para o ano que vem. 
Medidas de Posição 
• Nosso estudo indica que a nota de corte para 
conseguir essa bolsa é igual a 8,5. 
 
• Ou seja, 8,5 é a nota que separa os 25% melhor 
colocados. 
 
• Dizemos que se trata do terceiro quartil, pois separa 
a nota em duas partes: 
 
• Os três primeiros quartos, que são notas menores 
que 8,5. 
Medidas de Posição 
• O último quarto, que são as notas maiores que 8,5. 
 
• Por isso 8,5 é chamado de terceiro quartil. 
 
• Logo, o terceiro quartil é: 
 
• Uma medida de posição, pois nos dá uma 
indicação do posicionamento dos dados (sabemos 
que 75% deles se posicionam antes de 8,5; e que 
25% deles se posicionam após 8,5). 
 
Medidas de Posição 
• Uma medida separatriz: pois separa o conjunto de 
dados em duas partes: uma com 25% das 
observações, outra com 75%. 
 
• A partir dos exemplos, podemos dizer que as 
medidas de posição podem ser de dois tipos: 
 
• Medidas de tendência central: nos dão noção de 
centro. Ex: média, mediana e moda. 
 
• Medidas separatrizes: separam os dados em 
conjuntos bem definidos. Ex: mediana, quartil, decil, 
percentil. 
Média Aritmética 
• Todos nós já temos uma noção bem intuitiva de 
média, pois temos contato com ela durante toda a 
nossa vida escolar. 
 
• Ex: se na primeira prova tiramos 8 e na segunda 
tiramos 6, nossa “média” é: 
 
• 8 + 6/2 = 7 
 
• Vimos que bastou somar as duas notas e dividir por 
2, já que eram duas notas. Se fossem três notas, 
dividiríamos por 3. Se fossem n notas, dividiríamos 
por n. 
Média Aritmética 
• Vamos agora aprender a calculá-la, conforme os 
dados estejam em rol, agrupados por valor ou em 
classes. 
Média para Dados em Rol 
• Considere a seguinte pesquisa salarial, feita com 
dez moradores do bairro Alfa: 
 
• Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 
 
• Calculando a soma dos dados, temos: 
 
 
Média para Dados em Rol 
• A média fica: 
 
 
 
• Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas 
apresenta um salário médio de R$ 3.600,00. 
 
• Média é apenas isto. Basta somar todos os valores 
e dividir pelo número de dados. 
 
• Este símbolo adotado para média é muito comum. 
Muitos autores o utilizam. 
 
Média para Dados em Rol 
• Para um conjunto de “n” dados, a média pode ser 
representada por: 
 
 
 
• A fórmula acima indica que, para obter a média 
aritmética, somamos todos os dados e dividimos 
por n. 
 
• Uma coisa que muita gente confunde é o seguinte: 
muitas pessoas acham que a média precisa 
pertencer ao conjunto de dados. 
Média para Dados em Rol 
• Isto é falso. No exemplo acima, a média foi 3,6. E 
na nossa amostra não há nenhuma pessoa que 
ganhe um salário de R$ 3.600,00. 
 
• Este valor de 3,6 só é um indicativo de que os 
salários das pessoas entrevistadas devem girar em 
torno de R$ 3.600,00. 
 
Exercícios Pontuados 
• Calcule a média para o seguinte conjunto de 
dados: 3, 5, 7, 11, 12. 
 
• (NCE/UFRJ) A amostra a seguir indica as alturas, em 
centímetros, de cinco indivíduos: 
 
• 172, 163, 180, 168, 157 
 
• A média amostral desses dados, em centímetros, é: 
 
• A) 164; 
Exercícios Pontuados 
• B) 166; 
• C) 168; 
• D) 170; 
• E) 172. 
 
• (NCE/UFRJ) Um conjunto de dezoito empresas foi 
analisado em relação a um certo conjunto de 
fatores. Em particular, verificou-se que essas 
empresas tinham um lucro líquido médio anual de 
R$ 5.000,00. Posteriormente, outras duas empresas 
foram pesquisadas, uma com lucro líquido anual 
de R$ 3.640.000,00, outra com R$ 1.460.000,00 de 
lucro líquido anual. 
Exercícios Pontuados 
• O lucro médio das vinte empresas analisadas foi 
então, em reais, de: 
 
• A) 4.755.000,00. 
• B) 4.925.000,00. 
• C) 5.100.000,00. 
• D) 5.155.000,00. 
• E) 5.250.000,00. 
Propriedades da Média 
Aritmética 
• Voltemos à nossa pesquisa de salários dos 
moradores do bairro. 
 
• Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7 
 
• Suponhamos que todas essas dez pessoas 
receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. 
Agora, seus salários são: 
 
• 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8 
Propriedades da Média 
Aritmética 
• Qual a nova média? 
 
• A nova média será: 
 
 
 
 
 
• O salário médio agora é de R$ 4.600,00 
 
• Antes, com os salários antigos, a média era de R$ 
3.600,00. 
Propriedades da Média 
Aritmética 
• Agora, todos os dados foram somados em R$ 
1.000,00. E a média também foi somada de R$ 
1.000,00. 
 
• Podemos resumir essas propriedades da seguinte 
forma: 
 
• 1) Somando ou subtraindo uma constante c de 
cada elemento do conjunto de dados, a média do 
novo conjunto fica aumentada ou diminuída de c. 
Propriedades da Média 
Aritmética 
• 2) Multiplicando ou dividindo cada elemento do 
conjunto de dados por uma constante c, a média 
do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por 
c. 
 
Exercícios Pontuados 
• Calcule a média aritmética da seguinte sequência: 
{1, 3 e 5}. 
 
• Calcule a média aritmética da seguinte sequência: 
{3, 5 e 7}. 
 
• Calcule a média aritmética da seguinte sequência: 
{6, 10 e 14}. 
 
 
 
Exercícios Pontuados 
• (FCC) Uma administradora de locação de imóveis, 
com o objetivo de analisar o mercado em sua 
região, procedeu às seguintes operações: 
 
• I Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis 
de sua carteira. 
 
• II Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no 
item I. 
 
• III Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no 
item II. 
 
 
 
Exercícios Pontuados 
• IV Calculou a média aritmética de todos os valores 
apurados no item III. 
 
• Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, então 
a média aritmética dos valores dos alugueis em 
reais é: 
 
• A) 2.300. 
• B) 1.700. 
• C) 1.500. 
• D) 1.300. 
• E) 750. 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
• Quando estudamos “média para dados em Rol”, 
vemos que, para calcular a média, basta somar 
todos os dados e dividir por n (onde n é o número 
de dados). 
 
• Quando os dados estão agrupados por valor, a 
ideia de cálculo da média será a mesma. 
 
• Suponha agora que não temos acesso ao Rol 
original. Temos apenas acesso a dados tabelados, 
agrupados por valor. Assim: 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
 
 
 
 
 
 
• Quando os dados estiverem agrupados, uma 
forma de calcular a média é a seguinte. 
 
• Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual 
ao produto das duas anteriores. 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Segundo passo: calculamos os totais das duas 
últimas colunas. 
 
 
Média para DadosAgrupados por Valor 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Terceiro passo: a média será dada pela divisão do 
total da coluna (salário x frequência) pelo total da 
coluna de frequências. 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
 
 
• Os dados estão expressos em mil reais. Logo, a 
média na verdade é de R$ 3.600,00. 
 
• Repare que a média foi novamente de R$ 3.600,00. 
A mesma média obtida quando os dados estavam 
em Rol. O valor tinha que dar igual. Afinal de 
contas, são os mesmos dados, apenas dispostos de 
forma diferente. 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
• Outro aspecto interessante. O total da coluna 
(salário x frequência) é justamente a soma de 
todos os salários. 
 
• Para fazer este procedimento, é importante que se 
trabalhe apenas com frequências simples. Tanto 
faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser 
simples. Se o exercício te der uma tabela de 
frequências acumuladas, antes de resolver, tem 
que passar para a respectiva frequência simples. 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
• Vamos ver como seria. Se o exercício trouxesse a 
seguinte tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
• Como você calcularia a média? 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
• Antes de começar a resolver, temos que achar a 
frequência relativa simples, pois, para calcular a 
média, não serve a frequência acumulada. 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
• Feito isto, podemos criar a coluna de (frequência x 
salários), calcular totais de cada coluna e achar a 
média. 
 
 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
• Observe que a resposta é a mesma (tanto para 
frequências absolutas quanto relativas). O que 
importa é que as frequências sejam simples. Nunca 
acumuladas. 
 
• Se fôssemos resumir todos os procedimentos para 
calcular a média, poderíamos expressá-los por 
meio das seguintes fórmulas: 
 
• Quando trabalhamos com frequências absolutas 
simples: 
 
 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
 
 
 
• Quando trabalhamos com frequências relativas 
simples: 
 
 
 
• É interessante compararmos as fórmulas acima 
com a que utilizamos para os dados em Rol. 
 
 
 
 
 
Média para Dados 
Agrupados por Valor 
• Quando os dados estão em Rol, a fórmula para 
cálculo da média é: 
 
 
 
• E agora, quando temos dados agrupados, a 
fórmula mudou. Mas todas elas são formas 
ligeiramente diferentes de se escrever a mesma 
coisa. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Pontuados 
• (FCC) Em uma linha de produção de montadoras 
de tratores, existem 5 verificações realizadas pela 
equipe de controle de qualidade. Foram sorteados 
alguns dias do mês e anotados os números de 
controles em que o trator produzido foi aprovado 
nestes dias. 
 
 
 
 
Exercícios Pontuados 
• A tabela acima descreve estes dados coletados. 
Sabe-se que cada reprovação implica em custos 
adicionais para a montadora. Admitindo-se um 
valor básico de R$ 10,00 por cada item reprovado 
no trator produzido, a média da despesa adicional 
por trator produzido será: 
 
• A) R$ 1,00. 
• B) R$ 10,00. 
• C) R$ 6,00. 
• D) R$ 5,00. 
• E) R$ 7,00. 
 
 
 
 
Exercícios Pontuados 
• (Vunesp) Ao encerrar o movimento diário, um 
atacadista, que vende a vista e a prazo, montou 
uma tabela relacionando a porcentagem do seu 
faturamento no dia com o respectivo prazo, em 
dias, para que o pagamento seja efetuado. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Pontuados 
• O prazo médio, em dias, para pagamento das 
vendas efetuadas nesse dia, é igual a: 
 
• A) 75. 
• B) 67. 
• C) 60. 
• D) 57. 
• E) 55. 
 
 
 
 
 
 
Referência 
• MENEZES, V.; SANTANA, G.M. Estatística. São Paulo: 
Estratégia Concursos, 2019.