05_Polarizac_a_o

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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Polarização de Ondas
1
Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Polarização Linear
• Nas ondas estudadas até aqui, os campos vetoriais apresentavam orientação 
fixa ao longo do eixo de propagação. Uma onda desse tipo é dita estar 
linearmente polarizada ou com polarização linear.
• Por simplicidade, considerou-se o campo elétrico variar apenas na direção . 
Entretanto, ele pode estar orientado em qualquer direção no plano xy e ainda 
ser linearmente polarizado.
• ex.: Para ! = 0:
 
!ax
 
!
Es = Ex0
!ax + Ey0
!ay( )e!" ze! j#z
 
!ax
 
!ay
 
!az
 
!
E
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Polarização Linear
• A relação ortogonal entre os vetores campo elétrico, campo magnético e de 
Poynting é sempre verdadeira para uma onda plana uniforme.
 
3
 
!ay
 
!ax
 
!
E
Ex0
Ey0
Hx0
Hy0 
!
H
 
!
Hs = Hx0
!ax + Hy0
!ay( )e!" ze! j#z
= !
Ey0
$
!ax +
Ex0
$
!ay
%
&'
(
)*
e!" ze! j#z
 
!
E
 
!
H
 
!ay
 
!ax
 
!az
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Polarização Linear
• Já a densidade de potência da onda é dada por: 
• Logo, pode-se interpretar uma onda linearmente polarizada, em uma direção 
qualquer do plano xy, como resultante da soma de duas ondas distintas, uma 
na direção ax e outra na direção ay, respectivamente.
4
 
!
Szméd =
1
2 Re
!
Es !
!
Hs{ } = 12 Re Ex0Hy0
* !ax !
!ay + Ey0Hx0*
!ay !
!ax{ }e"2# z
=
1
2 Re
Ex0Ex0*
$*
+
Ey0Ey0*
$*
%
&
'
('
)
*
'
+'
e"2# z !az
=
1
2 Re
1
$*
%
&
(
)
*
+
Ex0
2 + Ey0
2( )e"2# z !az
 
!ay 
!ax
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Polarização Elíptica
• Até agora, considerou-se que as componentes ortogonais do campo elétrico 
estavam em fase. Entretanto, pode ocorrer um defasamento " entre as 
componentes. No caso de " < #/2, para um meio sem perdas, tem-se que:
daí
• Para t = 0:
5
 
!
Es = Ex0
!ax + Ey0e j!
!ay( )e" j#z
 
!
E = Ex0 cos !t " #z( )
!ax + Ey0 cos !t " #z + $( )
!ay
 
!
E = Ex0 cos !z( )
!ax + Ey0 cos !z "#( )
!ay
 
!
E 
!ay
 
!ax
 
!az
 
!ay
 
!ax
A cada período, 
a ponta do vetor 
campo elétrico traça 
uma elipse!
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Polarização Circular
• Assim, a polarização linear é um caso particular da polarização elíptica, no qual o 
defasamento " = 0.
• Outro caso é a polarização circular, que ocorre quando Ey0 = Ex0 = E0 e " = ±#/2:
6
 
!
E = E0 cos !t " #z( )
!ax + E0 cos !t " #z ±
$
2
%
&'
(
)*
!ay
 
!
E 
!ay
 
!ax
 
!az
 
!ay
 
!ax
Nesse caso, 
a ponta do vetor 
campo elétrico traça 
uma circunferência!
! = " #2 , giro no sentido horário (à direita).
! = + #2 , giro no sentido anti-horário (à esquerda).
$
%
&&
'
&
&
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Polarização Circular
• O ângulo instantâneo do campo elétrico com a direção ax é definido por:
• Na forma fasorial, a onda com polarização circular fica:
• Se a onda se propagar no sentido negativo de az, então invertem-se as relações 
entre os sinais e os sentidos de giro.
• Daí se podem definir direções circulares, com giro à direita ou à esquerda: 
tais que
 
! z,t( ) = tan"1 EyEx
#
$%
&
'(
= ! )t " *z( )
7
 
!
Es = E0
!ax ± j
!ay!" #$e
% j&z
 
! j!ay , giro no sentido horário (à direita).
+ j!ay , giro no sentido anti-horário (à esquerda).
"
#
$
%$
 
!az
 
!ax
 
!
Es = E0
!ax ± j
!ay!" #$e
% j&z = E0e% j&z
!e"
direita
 
!e+ =
!ax ! j
!ay
esquerda
 
!e! =
!ax + j
!ay
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Birrefringência
• A soma de campos polarizados circularmente, mas girando em sentidos 
opostos, produz campos linearmente polarizados. 
• O defasamento entre os campos girantes determina a direção do campo 
linearmente polarizado resultante.
daí
8
 
!
Es! = E0e! j"z
!e!!
Es+ = E0e j#e! j"z
!e+
$
%
&
'&
 !Es! +
!
Es+ = E0e! j"z
!e! + e j#
!e+() *+
 
!
Es! +
!
Es+ = E0e! j"z
!ax + j
!ay( ) + e j# !ax ! j!ay( )$% &'
= E0e! j"z 1+ e j#( ) !ax + j 1! e j#( ) !ay$% &'
= E0 e
j# 2 + e! j
#
2( ) !ax ! j e j# 2 ! e! j# 2( ) !ay$%( &')e j
#
2e! j"z
= 2E0 cos # 2( ) !ax + 2E0 sen # 2( ) !ay$%( &')e! j "z!
#
2( )
= Ex0
!ax + Ey0
!ay$% &'e
! j "z!# 2( ) Componentes 
têm mesma fase, logo a 
polarização é linear!
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• Este é o princípio da birrefringência, que ocorre em materiais anisotrópicos, ou 
seja, que apresentam variação de seus coeficientes conforme a direção do campo.
• Materiais com moléculas orgânicas, que têm estrutura em espiral, apresentam 
diferentes constantes de fase para ondas com giro à direita ou à esquerda.
• Logo, uma onda polarizada na vertical que entra nesse material como uma fonte 
em z = 0:
À medida que se propagam, os campos girantes sofrem diferentes defasamentos: 
 
 
!
E2s = E10e! j"! z
!e! + e j# z( )
!e+( )
Birrefringência
9
 
!
E1s = E1x0
!ax + E1y0
!ay!" #$e
% j &z%' 2( )
z=0
= E10e% j&z
!e% + e j'
!e+!" #$ z=0 = E10
!e% + e j'
!e+!" #$
 
!
E2s = E10 e! j"! z
!e! + e! j"+ z
!e+( )
= E10e! j"! z
!e! + e j "! !"+( )z
!e+( )
Defasamento varia 
com o distância z!
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Birrefringência
• Logo, a onda que sai do material após percorrer uma distância l é dada por :
 
 
 
10
 
!
E2s = E10e! j"! z
!e! + e j# z( )
!e+( ) z= l
= 2E10 cos # z( )2
$
%&
'
()
!ax + 2E10 sen # z( )2
$
%&
'
()
!ay
*
+,
-
./
e
! j "! z!# z( )2
$
%&
'
()
!
E2s = Ex20 z( )
!ax + Ey20 z( )
!ay*+ -.e
! j "! +"+( )2 z
z= l
= Ex20 l( )
!ax + Ey20 l( )
!ay*+ -.e
! j "! +"+( )2 l
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Birrefringência
• A birrefringência pode também ser linear. Nesse caso, as constantes de fase da vertical e 
da horizontal são distintas, de tal forma que as componentes nessas direções sofrem 
diferentes atrasos, ficando defasadas uma da outra e produzindo, à medida que a onda 
linearmente polarizada se propaga, um campo com polarização elíptica.
 
 
 
11
132 4. Propagation in Birefringent Media
Fig. 4.2.1 Linearly and circularly birefringent retarders.
4.3 Chiral Media
Ever since the first experimental observations of optical activity by Arago and Biot in
the early 1800s and Fresnel’s explanation that optical rotation is due to circular bire-
fringence, there have been many attempts to explain it at the molecular level. Pasteur
was the first to postulate that optical activity is caused by the chirality of molecules.
There exist several versions of constitutive relationships that lead to circular bire-
fringence [679–695]. For single-frequency waves, they are all equivalent to each other.
For our purposes, the following so-called Tellegen form is the most convenient [33]:
D = !E− jχH
B = µH+ jχE (chiral media) (4.3.1)
where χ is a parameter describing the chirality properties of the medium.
It can be shown that the reality (for a lossless medium) and positivity of the energy
density function (E∗ ·D+H∗ · B)/2 requires that the constitutive matrix[
! −jχ
jχ µ
]
be hermitian and positive definite. This implies that !, µ,χ are real, and furthermore,
that |χ| < √µ!. Using Eqs. (4.3.1) in Maxwell’s equations (4.1.5), we obtain:
∂zE± = ∓ωB± = ∓ω(µH± + jχE±)
∂zH± = ±ωD± = ±ω(!E± − jχH±)
(4.3.2)
Defining c = 1/√µ!, η = √µ/!, k = ω/c = ω√µ!, and the following real-valued
dimensionless parameter a = cχ = χ /√µ! (so that |a| < 1), we may rewrite Eqs. (4.3.2)
4.3. Chiral Media 133
in the following matrix forms:
∂
∂z
[
E±
ηH±
]
= ∓
[
jka k
−k jka
][
E±
ηH±
]
(4.3.3)
Thesematrix equationsmay be diagonalized by appropriate linear combinations. For
example, we define the right-polarized (forward-moving) and left-polarized (backward-
moving) waves for the {E+,H+} case:
ER+ = 12
[
E+ − jηH+
]
EL+ = 12
[
E+ + jηH+
] !
E+ = ER+ + EL+
H+ = − 1jη
[
ER+ − EL+
] (4.3.4)
It then follows from Eq. (4.3.3) that {ER+, EL+} will satisfy the decoupled equations:∂
∂z
[
ER+
EL+
]
=
[−jk+ 0
0 jk−
][
ER+
EL+
]
⇒ ER+(z)= A+ e
−jk+z
EL+(z)= B+ ejk−z (4.3.5)
where k+, k− are defined as follows:
k± = k(1± a)=ω
(√
µ!± χ) (4.3.6)
We may also define circular refractive indices by n± = k±/k0, where k0 is the free-
space wavenumber, k0 =ω√µ0!0. Setting also n = k/k0 = √µ!/√µ0!0, we have:
k± = n±k0 , n± = n(1± a) (4.3.7)
For the {E−,H−} circular components, we define the left-polarized (forward-moving)
and right-polarized (backward-moving) fields by:
EL− = 12
[
E− + jηH−
]
ER− = 12
[
E− − jηH−
] !
E− = EL− + ER−
H− = 1jη
[
EL− − ER−
] (4.3.8)
Then, {EL−, ER−} will satisfy:
∂
∂z
[
EL−
ER−
]
=
[−jk− 0
0 jk+
][
EL−
ER−
]
⇒ EL−(z)= A− e
−jk−z
ER−(z)= B− ejk+z (4.3.9)
In summary, we obtain the complete circular-basis fields E±(z):
E+(z) = ER+(z)+EL+(z)= A+ e−jk+z + B+ ejk−z
E−(z) = EL−(z)+ER−(z)= A− e−jk−z + B− ejk+z
(4.3.10)
Thus, the E+(z) circular component propagates forward with wavenumber k+ and
backward with k−, and the reverse is true of the E−(z) component. The forward-moving
component of E+ and the backward-moving component of E−, that is, ER+ and ER−, are
linearmente birrefringente
polarização elíptica polarização linear
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Exercício
• Uma onda plana uniforme linearmente polarizada, que se propaga no sentido progressivo de z, 
é injetada em um material anisotrópico sem perdas, no qual a constante dielétrica encontrada 
por ondas polarizadas ao longo de y ($ry) difere daquela vista por ondas polarizadas ao longo 
de x ($rx). Suponha que $rx =2,15, $ry = 2,10 e o campo elétrico da onda na entrada está 
polarizado em 45° em relação aos eixos de x e y positivos.
a) Determine, em termos do comprimento de onda %, o menor comprimento do material, de 
modo que a onda apresente polarização circular a o emergir na saída.
b) A onda terá polarização circular à direita ou à esquerda?
12
!
Obrigado!
13