TRABALHO ESTATISTICAS - EXERCICIO 07

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ESTATÍSTICA 
Aula 07 – Medidas de Dispersão ou de Variabilidade 
Nome: Carlos Henrique de Castro Silva RA: 28279651 
 
 
Exemplo – Amplitude Total 
 
I. Dados não agrupados 
 
40 45 48 52 54 62 70 
 
AT = x(máx.) – x(mín.) 
 
AT = 70 – 40 
 
AT = 30 
 
II. Dados agrupados 
Sem intervalos de classe 
xi fi 
0 2 
1 6 
2 12 
3 7 
4 3 
 
AT = x(máx.) – x(mín.) 
 
AT = 4 – 0 
 
AT = 4 
 
Com intervalos de classe 
 
i 
Estaturas 
(cm) 
fi 
1 150 |--- 154 4 
2 154 |--- 158 9 
3 158 |--- 162 11 
4 162 |--- 166 8 
5 166 |--- 170 5 
6 170 |--- 174 3 
 ∑ 40 
 
AT = L(máx) – l(mín.) 
 
AT = 174 – 150 
 
AT = 24 cm 
 
 2 
Exemplo – Variância – Desvio Padrão 
 
22
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
�= åå
n
x
n
x ii s 
 
O desvio padrão possui algumas propriedades, dentre as quais: 
 
I. Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) tosos valores de uma 
variável, o desvio padrão não se altera: 
 
yi = xi ± c => sy = sx 
 
II. Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de 
zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante: 
 
yi = c x xi => sy = c x sx 
 
I. Dados não agrupados 
 
40 45 48 52 54 62 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
49,990809.2899.2
7
371
7
293.20
2
==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
xi 
2
ix 
40 1.600 
45 2.025 
48 2.304 
52 2.704 
54 2.916 
62 3.844 
70 4.900 
371 20.293 
 3 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão, dados os valores da 
variável: 
 
8 10 11 15 16 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
56,367,1216967,181
6
78
6
090.1
2
==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
2. Comprove a primeira propriedade do desvio padrão somando 5 a cada valor da 
variável do exercício anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
56,367,1232467,336
6
108
6
020.2
2
==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
3. Comprove a segunda propriedade do desvio padrão multiplicando por 2 a cada 
valor da variável do exercício 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 
xi 
2
ix 
8 64 
10 100 
11 121 
15 225 
16 256 
18 324 
78 1.090 
xi 
2
ix 
13 169 
15 225 
16 256 
20 400 
21 441 
23 529 
108 2.020 
xi 
2
ix 
16 256 
20 400 
22 484 
30 900 
32 1.024 
36 1.296 
156 4.360 
 4 
 
12,767,5067667,726
6
156
6
360.4
2
==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
 5 
III. Dados agrupados 
Sem intervalos de classe 
 
22
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
�= åå
n
xf
n
xf iiii s 
 
xi fi ii xf 
2
ii xf 
0 2 0 0 
1 6 6 6 
2 12 24 48 
3 7 21 63 
4 3 12 48 
∑ 30 63 165 
 
04,109,141,45,5
30
63
30
165
2
==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão da distribuição: 
 
xi 1 2 3 4 5 6 
fi 2 5 8 6 3 1 
 
xi fi ii xf 
2
ii xf 
1 2 2 2 
2 5 10 20 
3 8 24 72 
4 6 24 96 
5 3 15 75 
6 1 6 36 
∑ 25 81 301 
 
24,154,150,1004,12
25
81
25
301
2
==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
 6 
Com intervalos de classe 
 
i 
Estaturas 
(cm) 
fi xi ii xf 
2
ii xf 
1 150 |--- 154 4 152 608 92.416 
2 154 |--- 158 9 156 1.404 219.024 
3 158 |--- 162 11 160 1.760 281.600 
4 162 |--- 166 8 164 1.312 215.168 
5 166 |--- 170 5 168 840 141.120 
6 170 |--- 174 3 172 516 88.752 
 ∑ 40 6.440 1.038.080 
 
cm57,531921.25952.25
40
440.6
40
080.038.1
2
==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
Processo breve 
 
h
xxi 0�= yi 
 
Observação: escolher um dos pontos médios (preferência o de maior frequência) para 
o valor x0. 
 
22
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
�=
åå
n
yf
n
yf
h iiii s 
 
i 
Estaturas 
(cm) 
fi xi yi ii yf 
2
ii yf 
1 150 |--- 154 4 152 -2 -8 16 
2 154 |--- 158 9 156 -1 -9 9 
3 158 |--- 162 11 160 0 0 0 
4 162 |--- 166 8 164 1 8 8 
5 166 |--- 170 5 168 2 10 20 
6 170 |--- 174 3 172 3 9 27 
 ∑ 40 10 80 
 
h = 4 
 
x0 = 160 
 
cm57,53919,149375,140625,024
40
10
40
80
4
2
=´==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 
 7 
Exercício Resolvido 
 
1. Calcule o desvio padrão da distribuição, pelo processo breve. 
 
i 
Estaturas 
(cm) 
fi xi yi ii yf 
2
ii yf 
1 450 |--- 550 8 500 -3 -24 72 
2 550 |--- 650 10 600 -2 -20 40 
3 650 |--- 750 11 700 -1 -11 11 
4 750 |--- 850 16 800 0 0 0 
5 850 |--- 950 13 900 1 13 13 
6 950 |--- 1050 5 1.000 2 10 20 
7 1050 |--- 1150 1 1.100 3 3 9 
 ∑ 64 -29 165 
 
h = 100 
 
x0 = 800 
 
cm15454,110037,210021,058,2100
64
29
64
165
100
2
=´==�=÷
ø
ö
ç
è
æ �
�= s 
 
Resolva 
 
1. Complete o esquema para o cálculo do desvio padrão da distribuição, pelo 
processo breve: 
 
i Classes fi xi yi ii yf 
2
ii yf 
1 30 |--- 50 2 40 -2 -4 8 
2 50 |--- 70 8 60 -1 -8 8 
3 70 |--- 90 12 80 0 0 0 
4 90 |--- 110 10 100 1 10 10 
5 110 |--- 130 5 120 2 10 20 
 ∑ 37 8 46 
 
h = 20 
 
x0 = 80 
 
 
 cm88,2109,12020,12005,024,120
37
8
37
46
20
2
=´==�=÷
ø
ö
ç
è
æ
�= s 
 8 
Exemplo – Coeficiente de variação 
 
100
x
s
CV ´= 
 
Dados: 
cm 5,57 s e cm 161 x == 
 
Temos: 
 
3,5% 100
161
5,57
CV =´= 
 
Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo 
de indivíduos: 
 
 s 
Estaturas 175 cm 5,0 cm 
Pesos 68 kg 2,0 kg 
 
CVE = (5/175) * 100 = 2,86% 
 
 
CVP = (2/68) * 100 = 2,94% 
 
 9 
Exercícios 
 
1. Calcule a amplitude total dos conjuntos de dados: 
 
a. 1, 3, 5, 9 
b. 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 
c. 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2 
d. -10, -6, 2, 3, 7, 9, 10 
R. 
a) 9-1 = 8 
b) 22-14 = 8 
c) 22,5- 13,3 = 9,2 
d) 10- (-10) = 20 
 
2. Calcule a amplitude total das distribuições: 
 
a. 
xi 2 3 4 5 6 7 8 
fi 1 3 5 8 5 4 2 
 
b. 
CLASSES 1,5 |--- 1,6 |--- 1,7 |--- 1,8 |--- 1,9 |--- 2,0 |--- 2,1 |--- 2,2 
fi 4 8 12 15 12 8 4 
 
R. 
a) 
xi fi 
2 1 
3 3 
4 5 
5 8 
6 5 
7 4 
8 2 
 
x(máx.) 8 
x(mín.) 2 
AT 6 
 
AT 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
b) 
i Classes fi 
1 1,5 |--- 1,6 4 
2 1,6 |--- 1,7 8 
3 1,7 |--- 1,8 12 
4 1,8 |--- 1,9 15 
5 1,9 |--- 2,0 12 
6 2,0 |--- 2,1 8 
7 2,1 |--- 2,2 4 
Total 63 
 
L(máx.) 2,2 
l(mín.) 1,5 
AT 0,7 
 
 
3. Calcule os desvios padrões dos conjuntos de dados do exercício 1. 
 
a b c d 
1 1 20 400 17,9 320,41 -10 100 
3 9 14 196 22,5 506,25 -6 36 
5 25 15 225 13,3 176,89 2 4 
9 81 19 361 16,8 282,24 3 9 
18 116 21 441 15,4 237,16 7 49 
 22 484 14,2 201,64 9 81 
 20 400 100,1 1724,6 10 100 
 
 
n 4 n 7 n 6 n 7 
xi 18 xi 131 xi 100,1 xi 15 
 116 2507 1724,6 379 
s 2,96 s 2,81 s 3,02 s 7,04 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
4. Calcule os desvios padrões das distribuições do exercício 2. 
a) 
xi fi 
2 1 2 4 
3 3 9 27 
4 5 20 80 
5 8 40 200 
6 5 30 180 
7 4 28 196 
8 2 16 128 
Σ 28 145 815 
 
n 28 
 145 
 815 
s 1,51 
 
b) 
i Classes 
 
fi 
 
xi 
 
 
 
 
 
 
1 1,5 |--- 1,6 4 1,55 6,20 9,6100 
2 1,6 |--- 1,7 8 1,65 13,20 21,7800 
3 1,7 |--- 1,8 12 1,75 21,00 36,7500 
4 1,8 |--- 1,9 15 1,85 27,75 51,3375 
5 1,9 |--- 2,0 12 1,95 23,40 45,6300 
6 2,0 |--- 2,1 8 2,05 16,40 33,6200 
7 2,1 |--- 2,2 4 2,15 8,60 18,4900 
Total 63 116,55 217,2175 
 
 
n 63 
 217,2175 
 116,55 
 
s 
 
 0,159 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii xf
2
ii xf
 12 
5. Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de moedas simultaneamente: 
calcule o desvio padrão. 
 
a. 
Nº DE CARAS 0 1 2 3 4 5 
FREQUÊNCIAS 4 14 34 29 16 3 
 
 
xi fi 
 
 
 
 
 
 
0 4 0 0 
1 14 14 14 
2 34 68 136 
3 29 87 261 
4 16 64 256 
5 3 15 75 
Σ 100 248 742 
 
 n 100 
 
 
 
 
742 
 
 
248 
 s 1,13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
6. Calcule o desvio padrão da distribuição: 
 
CLASSES 2 |--- 6 |--- 10 |--- 14 |--- 18 |--- 22 
fi 5 12 21 15 7 
 
 
i Classes 
 
fi 
 
 
xi 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
2,0 
|--- 
6,0 54,0 20 80 
2 
 
6,0 
|--- 
10,0 12 8,0 96 768 
3 
 
10,0 
|--- 
14,0 21 12,0 252 3.024 
4 
 
14,0 
|--- 
18,0 15 16,0 240 3.840 
5 
 
18,0 
|--- 
22,0 7 20,0 140 2.800 
Total 60 748 10.512 
 
 
 
n 
 
60 
 10512 
 748 
 
 
 
 
s 4,45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
7. Calcule os desvios padrões das distribuições do exercício 8, capítulo 6, página 
107. 
a) 
i Classes fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0 |--- 2 5 1 5 5 
2 2 |--- 4 8 3 24 72 
3 4 |--- 6 14 5 70 350 
4 6 |--- 8 10 7 70 490 
5 8 |--- 10 7 9 63 567 
Total 44 232 1.484 
 
 fi 44 
 
 
 
 
 1.484 
 
 
 232 
 
 
 
 s 
 
 2,43 
 
 
b) 
 
i Estaturas (cm) fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 150 |--- 158 5 154 770 118.580 
2 158 |--- 166 12 162 1.944 314.928 
3 166 |--- 174 18 170 3.060 520.200 
4 174 |--- 182 27 178 4.806 855.468 
5 182 |--- 190 8 186 1.488 276.768 
Total 70 12.068 2.085.944 
 
 fi 70 
 
 
 
 
 2.085.944 
 
 12.068 
 
 
 
 
s 
 
 8,80 
 
 
 15 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i Estaturas (cm) fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 500 
|--- 
700 18 600 10.800 6.480.000 
2 700 |--- 900 31 800 24.800 19.840.000 
3 900 |--- 1100 15 1000 15.000 15.000.000 
4 1100 |--- 1300 3 1200 3.600 4.320.000 
5 1300 |--- 1500 1 1400 1.400 1.960.000 
6 1500 |--- 1700 1 1600 1.600 2.560.000 
7 1700 |--- 1900 1 1800 1.800 3.240.000 
Total 70 59.000 53.400.000 
 
 fi 70 
 
 
 
 
 53.400.000 
 59.000 
 
 
 
 
s 
 
 
229 
 
 16 
 
d) 
 
i Pesos (kg) fi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 145 |--- 151 10 148 1.480 219.040 
2 151 |--- 157 9 154 1.386 213.444 
3 157 |--- 163 8 160 1.280 204.800 
4 163 |--- 169 6 166 996 165.336 
5 169 |--- 175 3 172 516 88.752 
6 175 |--- 181 3 178 534 95.052 
7 181 |--- 187 1 184 184 33.856 
Total 40 6.376 1.020.280 
 
 fi 40 
 
 
 
 
 1.020.280 
 6.376 
 
 
 
 
s 
 
 
9,93 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média aritmética e para desvio 
padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47, calcule o coeficiente de variação. 
 
 = 18,3 
 
S = 1,47 
 
CV = 8,03% 
 17 
 
 
9. Em um exame final de matemática, o grau médio de um grupo de alunos foi 7,8 e 
o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o 
desvio, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão. 
 s CV 
Matemá�ca 7,8 0,80 10,26% 
Esta�s�ca 7,3 0,76 10,41% 
 
 
10. Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos = 162,2 cm e s =8,01 cm. 
O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 
kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou em peso. 
 
 s CV 
Estatura (cm) 162,2 8,0 4,94% 
Peso (kg) 52 2,3 4,42% 
 
 
11. Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão 
igual a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, 
sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada 
um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo? 
 
 s CV 
Grupo 1 160,6 5,97 3,72% 
Grupo 2 161,9 6,01 3,71% 
 
 
 
 
 
 
 
12. Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um 
coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo? 
 
 s CV 
Estatura (cm) 163,8 5,41 3,30% 
 
 18 
13. Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,5 e CV = 2,9%. 
Determine a média da distribuição. 
 
 s CV 
51,7 1,50 2,90%