Pontes Gabarito

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CCE0288 – PONTES – LISTA DE EXERCÍCIOS 05 
 
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LAJES DO TABULEIRO: 
EXEMPLO 01: 
Considerando os dados e desenhos de uma ponte rodoviária, classe 45, determine: 
a) Momentos fletores atuando na laje; 
b) Armaduras de flexão da laje; 
c) Verificação à fadiga das armaduras de flexão da laje. 
Dados adicionais: 
Aço CA-50; fck = 20 MPa; h = 22 cm; espessura da pavimentação = 5 cm; recapeamento = 2,00 kN/m²; 
γpavimentação = 24 kN/m³; d’ = 5 cm 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
a) 
• Carga permanente: 
Peso próprio: 0,22 x 25 = 5,50 kN/m²; 
Peso próprio da pavimentação: 0,05 x 24 = 1,20 kN/m²; 
Recapeamento: 2,00 kN/m². 
Carga total: g = 8,70 kN/m². 
ly
lX
=
9,00
3,00
= 3,00; bi − apoiada → Tabela Nr 1 
k = 0,125 → Mxm,g = kglx
2 = 0,125 x 8,70 x 3,002 = 9,79 kN. m 
k = 0,0208 → Mym,g = kglx
2 = 0,0208 x 8,70 x 3,002 = 1,63 kN. m 
• Carga variável: 
a = 2,00 m 
𝐥𝐱
𝐚
=
𝟑, 𝟎𝟎
𝟐, 𝟎𝟎
= 𝟏, 𝟓𝟎 
t′ = √0,20b = √0,20 x 0,40 = 0,28 
e = 5 cm = 0,05 m 
 
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t = 0,28 + 2 x 0,05 + 0,22 = 0,60 
𝐭
𝐚
=
𝟎, 𝟔𝟎
𝟐, 𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟑𝟎 
φ = 1,4 − 0,007lx = 1,4 − 0,007 x 3,00 = 1,38 
Para Classe 45: Q = 75 kN; q1 = 5 kN/m²; q2 = 5 kN/m². 
 
lx/a 
ML para t/a 
Mp Mp' 
0,25 0,30 0,50 
1,50 0,40 0,39 0,351 0,10 0,23 
 
Mxm,q = φ(QML + q1Mp + q2Mp′) = 1,38 x (75 x 0,39 + 5 x 0,10 + 5 x 0,23) = 42,64 kN. m 
 
lx/a 
ML para t/a 
Mp Mp' 
0,25 0,30 0,50 
1,50 0,22 0,208 0,16 0,02 0,07 
 
Mym,q = φ(QML + q1Mp + q2Mp′) = 1,38 x (75 x 0,208 + 5 x 0,02 + 5 x 0,07) = 16,05 kN. m 
 
b) 
d = h – d’ = 22 – 5 = 17 cm 
bw = 100 cm 
 
Mxm,d = 1,4(Mxm,g + Mxm,q) = 1,4 x (9,79 + 42,64) = 73,40 kN. m 
k6 = 10
5
bwd
2
Mxm,d
=
105 x 1 x 0,172
73,40
= 39,4 → Tabela k3d = 0,261 
As =
k3d
10
Mxm,d
d
=
0,261 x 73,40
10 x 0,17
= 11,27 cm²/m → ∅ 16 c/17,5 → Ase = 11,43 cm²/m 
 
Mym,d = 1,4(Mym,g + Mym,q) = 1,4 x (1,63 + 16,05) = 24,75 kN. m 
k6 = 10
5
bwd
2
Mym,d
=
105 x 1 x 0,172
24,75
= 116,8 → Tabela k3d = 0,240 
As =
k3d
10
Mym,d
d
=
0,240 x 24,75
10 x 0,17
= 3,49 cm²/m → ∅ 10 c/22,5 → Ase = 3,56 cm²/m 
 
Ase = 11,43 cm²/m → ∅ 16 c/ 17,5 
Md,máx = Mxm,g + ψMxm,q
+ = 9,79 + 0,8 x 42,64 = 43,89 kN. m 
Md,mín = Mxm,g + ψMxm,q
− = 9,79 + 0,8 x 0,00 = 9,79 kN. m 
d0 =
∑ Asidi
Asi
=
11,43 x 17
11,43
= 17 cm 
A =
αe ∑ Asi
b
=
10 x 11,43
100
= 0,1143 cm 
 
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x = A (−1 + √1 +
2d0
A
) = 0,1143 x (−1 + √1 +
2 x 17
0,1143
) = 1,86 cm 
 
III =
bx3
3
+ αe ∑ Asi(di − x)
2 =
100 x 1,863
3
+ 10 x 11,43 x (17 − 1,86)2 
III = 26.414,30 cm
4 
σc,máx =
Md,máx
III
x =
4.389
26.414,30
 x 1,86 = 0,309 kN/cm² 
σc,mín =
Md,mín
III
x =
979
26.414,30
 x 1,86 = 0,070 kN/cm² 
σs,máx = αeσc,máx
d − x
x
= 10 x 0,309 x 
17 − 1,86
1,86
= 25,15 kN/cm² 
σs,mín = αeσc,mín
d − x
x
= 10 x 0,070 x 
17 − 1,86
1,86
= 5,70 kN/cm² 
∆σs = σs,máx − σs,mín = 25,15 − 5,70 = 19,45 kN/cm² > ∆fsd,ad,mín = 10,5 kN/cm² 
As =
∆σs
∆fsd,ad,mín
Asi =
19,45
10,5
 x 11,43 = 21,17 cm²/m 
 
EXEMPLO 02: 
Calcule os máximos momentos fletores devido a carga permanente e devido a carga móvel para a laje de 
uma ponte rodoviária, classe 30, cujo esquema está abaixo indicado. Considere: altura da laje = 14 cm; 
espessura do pavimento = 4 cm; recapeamento = 2,00 kN/m²; γc = 25 kN/m³; γpav. = 24 kN/m³; largura da 
roda = 40 cm; distância transversal entre os eixos das rodas = 200 cm. 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
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• Carga permanente: 
Peso próprio: 0,14 x 25 = 3,50 kN/m²; 
Peso próprio da pavimentação: 0,04 x 24 = 0,96 kN/m²; 
Recapeamento: 2,00 kN/m². 
Carga total: g = 6,46 kN/m². 
l𝑦
lx
=
7,20
6,00
= 1,20 
Tabela nº 84 (Rüsch) 
k = 0,045 → Mxm,g = kglx
2 = 0,045 x 6,46 x 6,00² = 10,47 kN. m 
k = 0,039 → Mym,g = kglx
2 = 0,039 x 6,46 x 6,00² = 9,07 kN. m 
k = −0,098 → Mye,g = kglx
2 = −0,098 x 6,46 x 6,00² = 22,79 kN. m 
 
• Carga variável: 
a = 2,00 m 
lx
a
=
6,00
2,00
= 3,00 
t′ = √0,20b = √0,20x0,40 = 0,28 
e = 4 cm = 0,04 m 
t = h + 2e + t’= 0,14 + 2 x 0,04 + 0,28 = 0,50 
t
a
=
0,50
2,00
= 0,25 
φ = 1,4 − 0,007lx = 1,4 − 0,007 x 6,00 = 1,358 
Para Classe 30: Q = 50 kN; q1 = 5 kN/m²; q2 = 5 kN/m². 
 
lx/a 
ML para t/a 
Mp Mp' 
0,25 
3,00 0,48 0,02 0,40 
 
Mxq = φ(QML + q1Mp + q2Mp′) = 1,358 x (50 x 0,48 + 5 x 0,02 + 5 x 0,40) = 35,44 kN. m 
 
lx/a 
ML para t/a 
Mp Mp' 
0,25 
3,00 0,376 0,01 0,50 
 
Myq = φ(QML + q1Mp + q2Mp′) = 1,358 x (50 x 0,376 + 5 x 0,01 + 5 x 0,50) = 28,99 kN. m 
 
lx/a 
ML para t/a 
Mp Mp' 
0,25 
3,00 0,92 0,20 1,20 
 
Myeq = φ(QML + q1Mp + q2Mp′) = 1,358 x (50 x 0,92 + 5 x 0,20 + 5 x 1,20) = 71,97 kN. m