Lista 6 - Tensões cisalhantes

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LISTA DE EXERCÍCIOS – TENSÕES CISALHANTES 
 
1) As tensões principais de um elemento de solo são 100 kPa e 240kPa. 
Determine: 
 
Método Analítico: 
 σ1 = 240 kPa e σ3=100 kPa 
 
 
a) As tensões que atuam num plano que determina um ângulo de 30º com o 
plano principal maior; 
 
∝= 30° 
𝜏30 =
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑠𝑒𝑛2 ∝→ 𝜏30 =
240 − 100
2
 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2 ∙ 30) 
 
→ 𝜏30 = 60,6 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎30 =
𝜎1 + 𝜎3
2
+
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑐𝑜𝑠2 ∝ 
 
→ 𝜎30 =
240 + 100
2
+
240 − 100
2
 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2 ∙ 30) 
 
→ 𝜎30 = 205,0 𝑘𝑃𝑎 
 
 
b) A inclinação do plano em que a tensão normal é de 200 kPa, e a tensão 
cisalhamento nesse plano; 
 
𝜎 = 200 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜎 =
𝜎1 + 𝜎3
2
+
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑐𝑜𝑠2 ∝ 
 
→ 200 =
240 + 100
2
+
240 − 100
2
 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2 ∙ ∝) 
 
200 = 170 + 70 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2 ∙ ∝) → 𝑐𝑜𝑠(2 ∙∝) =
200 − 170
70
 
2 ∙ ∝→ arccos (
30
70
) → 2 ∙ 𝛼 = 64° 
 
→ ∝= 32° 
 
 
𝜏 =
240 − 100
2
 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2 ∙ 32) 
 
→ 𝜏 = 63,2 𝑘𝑃𝑎 
 
c) Os planos em que ocorrem a tensão cisalhante de 35 kPa e as tensões normais 
nesses planos; 
 
𝜏𝑚á𝑥 =? 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝜎1 + 𝜎3
2
 𝑘𝑃𝑎 
𝜏𝑚á𝑥 = 70 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜏30 =
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑠𝑒𝑛2 ∝ → 70 =
240 − 100
2
 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2 ∙∝) 
 
𝑠𝑒𝑛2 ∝=
70
70
→ arccos (
70
70
) → 2 ∙ 𝛼 = 90° 
 
→ ∝= 45° 
 
𝜎45 =
𝜎1 + 𝜎3
2
+
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑐𝑜𝑠2 ∝ 
 
→ 𝜎45 =
240 + 100
2
+
240 − 100
2
 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2 ∙ 45) 
 
 
→ 𝜎45 = 170,0 𝑘𝑃𝑎 
 
d) A máxima tensão de cisalhamento, o plano em que ela ocorre e a tensão 
normal neste plano; 
 
𝜏 = 35 𝑘𝑃𝑎 
 
𝜏 =
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑠𝑒𝑛2 ∝ → 35 =
240 − 100
2
 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2 ∙∝) 
 
 
𝑠𝑒𝑛2 ∝=
35
70
→ arccos (
35
70
) → 2 ∙ 𝛼 = 30°; 150° 
 
→ ∝= 15° 
 
 
→ ∝= 75° 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 ∝ 1 = 15 𝑘𝑃𝑎: 
 
𝜎45 =
𝜎1 + 𝜎3
2
+
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑐𝑜𝑠2 ∝ 
 
→ 𝜎15 =
240 + 100
2
+
240 − 100
2
 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2 ∙ 15) 
 
→ 𝜎30 = 230,6 𝑘𝑃𝑎 
 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 ∝ 1 = 75 𝑘𝑃𝑎: 
 
𝜎15 =
𝜎1 + 𝜎3
2
+
𝜎1 − 𝜎3
2
∙ 𝑐𝑜𝑠2 ∝ 
 
→ 𝜎15 =
240 + 100
2
+
240 − 100
2
 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2 ∙ 75) 
 
→ 𝜎30 = 109,4 𝑘𝑃𝑎 
 
 
 
 
e) O plano de máxima obliquidade e as tensões que nele atuam. 
(resolver por cículo de Mohr) 
 
2) Um elemento do subsolo apresentava inicialmente as seguintes tensões 
principais: 
• No plano horizontal: 1000 kPa 
• No plano vertical: 600 kPa 
Um carregamento feito na superfície provocou nesse elemento, que se 
encontrava fora do eixo da área carregada, as seguintes alterações de tensões, 
determinadas pela teoria da elasticidade: 
• Acréscimo de tensão total no plano horizontal: 600 kPa 
• Acréscimo de tensão total no plano vertical: 200 kPa 
• Máximo acréscimo de tensão de cisalhamento: 300 kPa 
Determinar o estado de tensões devido à ação conjunta do peso próprio e do 
carregamento. 
 
 
 
 
Pode- se traçar um círculo de Mohr correspondente aos acréscimos de tensão 
devidos ao carregamento feito no elemento considerado. O círculo de Mohr 
tem seu centro no eixo das abscissas, correspondente a 400 kPa, pois os 
pontos indicativos das tensões em dois planos ortogonais são 
diametralmente opostos no círculo e, portanto, o centro do círculo 
corresponde à média das tensões normais de dois pontos ortogonais. Por 
outro lado, o círculo tem um raio de 300 kPa, que é a máxima tensão de 
cisalhamento. As tensões principais são: 
𝜎3 = 100 𝑘𝑃𝑎 𝑒 𝜎1 = 700 𝑘𝑃𝑎. 
Com base nesse círculo, pode-se determinar as tensões de cisalhamento nos 
planos horizontal e vertical. Tem-se 
𝜏 = 224 𝑘𝑃𝑎 𝑒 𝜏 = −224 𝑘𝑃𝑎. 
Para o círculo de Mohr correspondente ao peso próprio, não se pode somar 
as tensões principais, pois elas atuam em planos diferentes. Deve-se somar 
as tensões nos mesmos planos. Assim, tem-se no plano horizontal: tensão 
normal= 1.000+600= 1.600 kPa e tensão de cisalhamento= 224 kPa; no 
plano vertical: tensão normal= 600+200= 800 kPa e tensão de cisalhamento 
-224 kPa. Com esses dados, pode-se traçar o círculo correspondente à soma 
das duas parcelas e determinar todas as características que se queira.