manual de mat soluções 12 ano parte 2

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Belmiro
 Costa
Ermelin
da Rod
rigues
Matemá
tica A
12.º ano
Parte 2
2
Índice
Manual – Parte 2
4 Funções exponenciais e logarítmicas 5
5 Funções trigonométricas 45
6 Primitivas. Cálculo integral 79
7 Números complexos 91
I S B N 9 7 8 - 9 7 2 - 0 - 8 4 8 3 4 - 5
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Manual Parte 2
I S B N 9 7 8 - 9 7 2 - 0 - 8 4 8 3 4 - 5
5
 
NEMA12PR Unidade 4 
5 
 
 
Pág. 7 
1.1. 
1
1
1,53500 1 3552,5
100
C  = + = 
 
 
O capital disponível ao fim de um ano é de 3552,50 €. 
1.2. 
2
2
1,53500 1 3605,79
100
C  = + ≈ 
 
 
O capital disponível ao fim de dois anos é de 3605,79 €. 
1.3. 
5
5
1,53500 1 3770,49
100
C  = + ≈ 
 
 
O capital disponível ao fim de cinco anos é de 3770,49 €. 
2. Se os juros forem de pelo menos 500 euros, então o capital 
disponível será de pelo menos 10 500 euros. 
0,8 0,810500 10000 1 10500 1 1,05
100 100
n n
nC
   ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, concluiu-se 
que Pedro deve manter o depósito durante 7 anos para obter 
pelo menos 500 euros de juros. 
 
 
Pág. 8 
3. 
Opção A : 
21,38000 1 8104,34
100 2
C  = + ≈ × 
 
Opção B : 
121,258000 1 8100,57
100 12
C  = + ≈ × 
 
Assim sendo, a opção mais favorável para a Sofia é a A. 
 
 
 
 
 
 
Pág. 10 
4.1. 44
1 10,0001 10
10000 10
−= = = 
4.2. 33
1 1 4
64 4
−= = 
4.3. 
3
3 227 3 3= = 
4.4. 44
1 10,0016 5
625 5
−= = = 
4.5. 22
1 10,0625 4
16 4
−= = = 
4.6. ( ) ( )
22 4
2
2
1 1 2 2 2
4 2
− −
−  = = = =  
 
5. Comparando as bases das funções apresentadas, tem-se que 
2 4e< < π < . Então, a correspondência é: ( )2 ;xy d= → 
4 ; ex x xy a y e c y b= → = → = π → . 
 
Pág. 11 
6.1. ( ) 1( ) 3 ,
3
x
xg x f x x−  = − = = ∀ ∈ 
 
R 
6.2. O gráfico de g é simétrico do gráfico de f em relação ao eixo 
das ordenadas. A representação gráfica da função g é: 
 
 
 
6.3. A função f é estritamente crescente pois é uma função do 
tipo xy a= , em que 1a > , e a função g é estritamente 
decrescente pois é uma função do tipo xy a= , em que 0 1a< < . 
7. Como ( )0 1f = , exclui-se de imediato a opção (C). Sendo f 
uma função estritamente decrescente, conclui-se que 0 1a< < . 
Então, a opção correta é a (B). 
 
Unidade 4 Funções exponenciais e logarítmicas
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Unidade 4
 
NEMA12PR Unidade 4 
6 
 
 
Pág. 12 
8. O gráfico de f interseta o eixo das ordenadas no ponto ( )0, 5 , 
isto é, ( )0 5f = . Ora, ( ) 00 5 3 5 4f k k= ⇔ + = ⇔ = . 
Então, ( ) 4 3 xf x −= + . 
( ) ( )lim lim 4 3 4 0 4x
x x
f x −
→+∞ →+∞
= + = + = 
Assíntota horizontal: 4y = . Logo, 4b = . 
9.1. O gráfico de h interseta o eixo das ordenadas no ponto 
( )0,4 , isto é, ( )0 4h = . 
Ora, ( ) 00 4 2 4 3h a a= ⇔ + = ⇔ = . 
9.2. A reta de equação 0y = é uma assíntota horizontal do 
gráfico da função 2xy = , logo a reta de equação y = 3 é uma 
assíntota horizontal do gráfico da função ( ) 3 2xh x = + . 
10.1. fD =R ; ] [1,fD′ = − +∞ e 1y = − é uma equação da 
assíntota horizontal do gráfico da função f. 
1 1, 2 0 , 1 2 1x xx x+ +∀ ∈ > ⇔∀ ∈ − + > − ⇔R R 
( ), 1x f x⇔∀ ∈ >−R 
10.2. O gráfico da função g obtém-se do da função f através das 
seguintes transformações: simetria em relação ao eixo das 
abcissas seguida de uma translação vertical associada ao vetor 
( )0, 3v . 
Conclui-se então que: gD =R ; ] [,4gD′ = −∞ e 4y = é uma 
equação da assíntota horizontal do gráfico da função g. 
( ) ( ), 1 , 1x f x x f x∀ ∈ > − ⇔∀ ∈ − < ⇔R R 
( ) ( ), 3 4 , 4x f x x g x⇔∀ ∈ − < ⇔∀ ∈ <R R 
10.3. O gráfico da função h obtém-se do da função f através de 
uma translação horizontal associada ao vetor ( )1, 0u seguida de 
uma translação vertical associada ao vetor ( )0, 2v . 
Conclui-se então que: hD =R ; ] [1,hD′ = +∞ e 1y = é uma 
equação da assíntota horizontal do gráfico da função h. 
( ) ( ), 1 1 , 2 1 1 2x f x x f x∀ ∈ − > − ⇔∀ ∈ + − > − + ⇔R R 
( ), 1x h x⇔∀ ∈ >R 
 
Pág. 13 
11.1. 
1
2 17 7 7 7
2
x x x= ⇔ = ⇔ = 
11.2. 
( )3 3 3 7 75 2 640 2 128 2 2 3 7 3
x x x x x× = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
 
11.3. 
1 1 1 2
2
1 13 3 3 3 1 2
9 3
x x x x
x x x x
+ + + −= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = − ⇔ 
1
3
x⇔ =− 
11.4. 
2
2 3 2 227 3 3 3 3 6 2
2
x
x x x xx x x
+
+ += ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ 
2
5
x⇔ = 
11.5. 
1 1 15 6 5 5 5 6 0
5
x x x
x
+ −= − ⇔ × − + = ⇔ 
( )  ( )
2 2
condição
universal
5 5 6 5 1 0 5 0 5 5 6 5 1 0x x x x x⇔ × − × + = ∧ ≠ ⇔ × − × + = 
 
Fazendo 5x y= , tem-se: 
2 6 36 205 6 1 0
10
y y y ± −− + = ⇔ = ⇔ 11
5
y y= ∨ = . 
Como 5x y= , tem-se: 15 1 5
5
x x= ∨ = ⇔ 
0 15 5 5 5 0 1x x x x−⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = − . 
12.1. 
x∀ ∈R , tem-se: 
2 2
2
0 0
9 9 ( ) 9
x x
x g x
≥ ⇔ − ≤ ⇔
⇔ − ≤ ⇔ ≤
 
x∀ ∈R , tem-se: 
( ) ( ) 9
9
9 0
0 ( )
g xg x e e
h x e
≤ ⇔ < ≤ ⇔
⇔ < ≤
 
Então, ] ], 9gD′ = −∞ . Então, 
90 ,hD e′  =   . 
12.2. 
( ) ( ) ( )2 29 2 9 29 9 9x xh x g e e e e e− −= − ⇔ = − − ⇔ = ⇔ 
2 29 2 7 7 7x x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ =− ∨ = 
 
 
Pág. 14 
13.1. 410 0,0001 10 10 4x x x−≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − 
Então, [ [4 ,x∈ − +∞ . 
13.2. 312 0,125 2 2 2 3
8
x x x x−> ⇔ > ⇔ > ⇔ > − 
Então, ] [3,x∈ − +∞ . 
13.3. 
( )
1 1
11 2 2 22 2 19 3 0 3 3 3 3 2 2
2
xx x x
++ +− ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ 
3
4
x⇔ ≤ − , então, 
3,
4
x  ∈ −∞ −  
. 
 
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Funções exponenciais e logarítmicas
7
 
NEMA12PR Unidade 4 
7 
 
13.4. 

1 1
, 0
10 0
x
x x x x x
x e
e x e e e x e e x
e
− −
∀ ∈ >
 < ⋅ ⇔ ⋅ − ⋅ < ⇔ − < ⇔ 
 
R
 
1 10x x
e e
⇔ − < ⇔ > , então, 
1 ,x
e
 ∈ +∞  
. 
13.5. 
2
2
1 5 0 5 5 2 0 0
5
x x x
x x x x x
− − −− ≥ ⇔ ≥ ⇔− ≥ − ⇔ − ≥ ⇔ ≤ 
Então, ] ],0x∈ −∞ . 
13.6. 
1
1 77 8 7 7 8 0
7
x x x
x
− +− ≤ − ⇔ − + ≤ ⇔
( )  ( )
2 2
condição
universal
7 8 7 7 0 7 0 7 8 7 7 0x x x x x⇔ − × + ≤ ∧ ≠ ⇔ − × + ≤ 
Fazendo 7x y= , tem-se: 2 8 7 0y y− + ≤ . 
Vamos começar por determinar as soluções da equação 
2 8 7 0y y− + = . 
2 8 64 288 7 0 7 1
2
y y y y y± −− + = ⇔ = ⇔ = ∨ = 
Assim, 2 8 7 0 1 7y y y y− + ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ . 
Como 7x y= , tem-se: 7 1 7 7 0 1x x x x≥ ∧ ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ 
Então, [ ]0, 1x∈ . 
14.1. 
a) 1 2 1 2 2 1 2( ) 0 25 5 0 25 5 5 5x x xf x − − −= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
12 1 2
2
x x⇔ = − ⇔ = − 
b) 1 2 1 2 0 1 2( ) 24 25 5 24 1 5 5 5x x xf x − − −= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
10 1 2
2
x x⇔ = − ⇔ = 
14.2. 
1 2 1 2( ) 100 25 5 100 5 125x xf x − −≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ 
1 2 35 5 1 2 3 1x x x−⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ − 
[ [ [ [1, 1, 0A −= ∩ − +∞ = −R 
15.1. 
x∀ ∈R , tem-se: 
2 2
2
0 0
5 5 ( ) 5
x x
x f x
≥ ⇔ − ≤ ⇔
⇔ − ≤ ⇔ ≤
 
x∀ ∈R , tem-se: 
( ) ( ) 5
5
5 0
0 ( )
f xf x e e
g x e
≤ ⇔ < ≤ ⇔
⇔ < ≤
 
Então, ] ],5fD′ = −∞ . Então, 
50 ,gD e′  =   . 
15.2. 
( ) ( )2 25 2 5 25 ( ) 5 5x xg x f e e e e e− −> − ⇔ > − − ⇔ > ⇔ 
2 25 2 3 0x x⇔ − > ⇔ − > 
2 23 0 3 3 3x x x x− = ⇔ = ⇔ = ∨ = −
 Assim, 23 0 3 3x x x− > ⇔ > − ∧ < . 
Conclui-se que 3 , 3x  ∈ −  . 
 
Pág. 15 
16.1. x∀ ∈R , tem-se: 
4 0 4 0 7 4 7x x x− − −> ⇔ − < ⇔ − < ⇔ ( ) 7g x < . 
Então, ] [,7gD′ = −∞ . 
16.2. 1 2,x x∀ ∈R , tem-se: 
21
1 2 1 2 4 4
xxx x x x −−< ⇔ − > − ⇔ > ⇔ 
( ) ( )2 21 1 1 24 4 7 4 7 4x xx x g x g x− −− −⇔ − < − ⇔ − < − ⇔ < . 
g é uma função crescente porque 1 2, ,x x∀ ∈R 
( ) ( )1 2 1 2x x g x g x< ⇒ < . 
16.3. 
( ){ } ( ) [ [{ }: : 25,h g fD x D g x D x g x= ∈ ∈ = ∈ ∈ − +∞ =R 
( ){ } 5: 25 ,
2
x g x  = ∈ ≥ − = − +∞ 
R 
Cálculos auxiliares: 
{ } { } [ [: 25 0 : 25 25,fD x x x x= ∈ + ≥ = ∈ ≥ − = − +∞R R . 
( ) 2 525 7 4 25 4 32 2 2x x xg x − − −≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ 
52 5
2
x x⇔− ≤ ⇔ ≥ − 
16.4. 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0g x f x g x f x< ⇔ − < 
Seja h a função definida por ( ) ( ) ( )h x g x f x= − . 
h é contínua em [ ]1, 1− por ser a diferença entre funções 
contínuas. 
( ) ( ) ( )1 1 1 7 4 24 3 24 0h g f− = − − − = − − = − < e 
( ) ( ) ( ) 11 1 1 7 26 0
4
h g f= − = − − > , logo ( ) ( )1 1 0h h− × < . 
Como h é contínua em [ ]1, 1− e ( ) ( )1 1 0h h− × < , o corolário 
do teorema de Bolzano permite concluir que 
] [ ( )1, 1 : 0c h c∃ ∈ − = , ou seja, ] [ ( ) ( )1, 1 :c g c f c∃ ∈ − = . 
b) Pretende-se determinar graficamente o valor de c pertencente 
ao intervalo ] [1, 1− tal que ( ) ( )g c f c= . 
 
 
 
Donde se conclui que 0,52c ≈ − . NE
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Unidade 4
 
NEMA12PR Unidade 4 
8 
 
17.1. ( ) 20 4 0x x ff x e e x x D< ⇔ − ⋅ < ∧ ∈ ⇔ 
( )2 24 0 4 0 2 2xe x x x x x⇔ − < ∧ ∈ ⇔ − < ⇔ < − ∨ > ⇔R 
] [ ] [, 2 2,x⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ 
Cálculo auxiliar: 
2 24 0 4 4 4x x x x− = ⇔ = ⇔ = ∨ = − ⇔
2 2x x⇔ = ∨ = − 
24 0 2 2x x x− < ⇔ < − ∨ > 
17.2. Recorrendo à calculadora gráfica, deve-se determinar as 
coordenadas dos pontos A, B, C e D, seguindo, por exemplo, os 
procedimentos indicados a seguir: 
 
 
 
 
 
Verificou-se que: ( )2 , 0A − , ( )2 , 0B , ( )0 , 4C e ( )1,83 ; 4D . 
Então, [ ]
24 1,83 4 11,7 cm
2 2ABCD
AB CD
A OC
+ +
= × = × ≈ . 
 
Tarefa 1 
1.1. ( ) 5 2 3 5 3 3 1x xf x x= ⇔ + = ⇔ = ⇔ = 
Donde se conclui que ( )1 , 5A e ( )1, 0D . 
( ) 35 3 2 5 2 8 2 2 3 3x x xg x x x− − −= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔− = ⇔ = − 
Donde se conclui que ( )3 , 5B − e ( )3, 0C − . 
Então, [ ] ( )
21 3 5 20 mABCDA CD AD= × = + × = . 
1.2. Vamos começar por determinar graficamente as 
coordenadas do ponto P, ponto de interseção dos gráficos das 
funções f e g. 
 
 
Conclui-se que ( )2,344; 2,076P − . 
Então, [ ]
25 2,344 1 5 3,344 8,4 m
2 2APD
A
× − − ×
= = ≈ . 
1.3. 
a) 
( ) ( ) 3 53 3 2 2 3 2 32 2 2x x xg x f − − −= ⇔ − + = + ⇔ = ⇔ = ⇔ 
5 5x x⇔ − = ⇔ = − 
b) ( )1 1 12 0 2 3 2 0 2 2 3 0
2
x x x x
xg x
+ + −+ < ⇔ − + < ⇔ × − + < ⇔ 
( )2
, 2 0
2 2 3 2 1 0
x
x x
x∀ ∈ >
⇔ × − × + <
R
 
Fazendo 2x y= , tem-se 22 3 1 0y y− + < .
 
2 3 9 8 12 3 1 0 1
4 2
y y y y y± −− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =
 
Assim, 2 12 3 1 0 1
2
y y y y− + < ⇔ > ∧ < . 
Como 2x y= , tem-se: 
1 012 2 1 2 2 2 2 1 0
2
x x x x x x−> ∧ < ⇔ > ∧ < ⇔ > − ∧ < . 
Então, ] [1,0x∈ − . 
1.4. Pretende-se determinar a abcissa do ponto do gráfico de f 
que está a igual distância de [AB] e de [CD]. Sabe-se que [AB] e 
[CD] são paralelos e distam entre si 5 unidades. Assim sendo, 
pretende-se resolver graficamente a equação ( ) 5
2
f x = . 
 
 
A abcissa do ponto pedido é 0,63− . 
N
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12PR2 ©
 Porto Editora
Funções exponenciais e logarítmicas
9
 
NEMA12PR Unidade 4 
9 
 
2.1. 
1 2 2
2 2 2 2
(1) 2 2 3 2 2 1
(2) 1 2 3 1 2 4
p p
p p
f k k
f k k
× − −
× − −
 = − × − = − × =  ⇔ ⇔ ⇔  = × − = × =    
2
2
2 2 2
2
1 1 12 2
1 22 4 2 2
2
p
p
p p
p
k k k
p
−
−
−
−
 = = = ⇔ ⇔ ⇔   = × = =
 
2.2.
 
Atendendo aos resultados obtidos no item anterior, tem-se: 
( ) −= −2 22 3xf x . 
Ora, ′∈5 fD se ∃ ∈ =: ( ) 5fx D f x . 
2 2 2 2 2 2 3( ) 5 2 3 5 2 8 2 2 2 2 3x x xf x x− − −= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ 
5
2
x⇔ = 
 
Donde se conclui que 5 fD′∈ . 
2.3. Recorrendo à calculadora gráfica, pode proceder-se da 
seguinte forma: 
 
 
Conclui-se, então, que 0,38b ≈ − . 
 
Pág. 16 
18.1. ( )
22
25 105 5lim 1 lim 1
n n
e e
n n
    + = + = =         
 
18.2. 
1
44
1
1 4lim 1 lim 1
4
n
n
e e
n n
 
  + = + = =  
    
 
 
18.3. ( )
55
53 153 3lim 1 lim 1
n n
e e
n n
− −
    − = − = =         
 
18.4. 
3
33 1 3
8 8
1
1 8lim 1 lim 1
8
n
n
e e
n n
− −
         − = − = =               
 
18.5. 
3
33 7 21
4 4
7
7 4lim 1 lim 1
4
n
n
e e
n n
− −
         − = − = =               
 
18.6. 
2
22 2
3 33lim 1 lim 1
3
n
n
e e
n n
π π
 π     π   + = + = =               
 
19.1. 
2 2 2
2 2 2 2 2
5 3 2 3 2 21
3 3 3 3 3
n n n
n n n n n
+ + + +
= = + = +
+ + + + +
 
19.2. 
2 2 3 3
2 2
2 2lim lim 1 lim 1
3 3
n n
nu n n
+ −
   = + = + =   + +   
 
2 3 3
2 3 2
2 2
2 2lim 1 lim 1 1
3 3
n
e e
n n
+ −
−   = + × + = × =   + +   
 
 
 
Pág. 17 
20.1. 
8
5
3
8 81 lim 1
8lim lim
33 31 lim 1
n n
n
n
n
n en n e
n en
n n
    + +    +      = = = =   +     + +        
 
20.2. 
7
9
2
7 71 lim 1
7lim lim
22 21 lim 1
n n
n
n
n
n en n e
n en
n n
−
−
    − −    −      = = = =   +     + +        
 
20.3. 
5
2
3lim
3 3 2lim lim
52 5 52 1
2 2lim 1
n n
n
n
n n
n n e
n
n
−
   
   +∞    = = = =   −     −       − 
  
 
+∞ 
20.4. 
2 21 lim 1
2lim lim
3 3 31 lim 1
n n
n
n
n
n nn
n
n
n n
    
+ +        +     = = =      −     −  −         
 
2
2 3
3
e e
e
+
−
= = 
 
 
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2 
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10 
 
20.5. 
2
2 2
2 2
2
2
2
34 1
4 3 4lim lim
14 1 4 1
4
n
n n
n n
n n
n
−
−
  +   +   = =   +    +    
 
2
2
1
132
4 3
14
2
1 1 11
44
2
3
4lim 1
1
4lim 1
n
n
n e
e e
ee
n
−
−
−
−
− −
−
     +             = = = =
           +       
 
21. 
81
8lim lim lim
88 1
n
n
n
n
n nu
n n
n
  − −  −    = = =   +    +    
 
( )
8lim 1
lim 1
8lim 1
n
n
n
n
n
 − 
 = − ×
 + 
 
 
Se n é par, tem-se 
8
16
8lim 1n
eu e
e
−
−= × = . 
Se n é ímpar, tem-se 
8
16
8lim 1n
eu e
e
−
−= − × = − . 
Donde se conclui que a sucessão ( )nu não tem limite. 
 
 
Pág. 18 
22.1. 
( )
0 0 0
3 13 3 3 1 3 3lim lim lim 1
2 2 2 2 2
xx x
x x x
ee e
x x x→ → →
−− −
= = = × = 
22.2. 
( )
2 20 0 0
1 1lim lim lim 1
xx x
x x x
x exe x e
xx x→ → →
−− −
= = = 
22.3. 
( )2
0 0 0 0
1 1lim lim lim lim 1 1 1
x xx x x
x
x x x x
e ee e ee
x x x→ → → →
−− −
= = × = × = 
23. Se a reta r é paralela à reta de equação y ex= então rm e= . 
( ) ( ) 1x xrm e f x e e e e e x′′= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ; ( ) 11f e e= = . 
Então, ( )1,P e . 
24.1. ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 33x x x xf x x e e x x e e x− − − −′ ′′ = × + × = × + − × = 
( )2 33xe x x−= − 
24.2. ( )
2 1 2 1 2 1
2
2 1 1 12
x x x
x x xxf x e e e
x x x
+ + +′ ′+   ′ = = + = −   
   
 
 
24.3. ( )
1 1
2
1 1x xf x e e
x x
′ ′ = = − 
 
 
24.4. ( ) ( )22 2
x
x x
x
xef x e xe
e
−
− −
′ − ′′ = = − = 
 
 
( )( )2 2 2 2
2 1 2 2 2 12 1 2
x
x x x
x x x
x e xe e e x
e e e
− − − − − − + −= − − × + − = − = 
 
 
Pág. 19 
25. 0 é ponto aderente e pertence ao domínio de j. 
( )
( )
0 0 0 0
11 1lim lim lim lim 1
xx x
x x x x
ee ej x
x x x→ → → →
− −− −
= = = − = − 
( )0 kj e= − 
Para a função ser contínua em 0 tem de existir limite quando x 
tende para 0, ou seja, ( ) ( )
0
lim 0
x
j x j
→
= . 
Então, tem-se: 1 1 0k ke e k− = − ⇔ = ⇔ = . 
 
26. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 12x x x xg x x e e x e x e x− − − −′′′ = × + × = + − × = 
( )21 21 2xe x−= − 
( ) ( ) ( )2 21 1 21 2x xg x g x x e e x− −′= ⇔ = − ⇔ 
( ) ( )2 2 2
21
1 1 2 1 2
, 0
1 2 0 1 2 0
x
x x x
x e
x e e x e x x
−
− − −
∀ ∈ ≠
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔
R
 
2 12 1 0 1
2
x x x x⇔ + − = ⇔ = ∨ = − 
Como A Bx x< , conclui-se que 1Ax = − e 
1
2B
x = . 
 
27. O domínio da função f é R .Se 0x < , então ( ) ( )x xf x e e′′ = = . 
 
 
 
Se 0x > , então ( ) ( )2x xf x e e′′ = − + = − . 
 
 
 
 
 
Seja 0x = , então: 
 
 
 
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 10 lim lim 1
h
h h
f h f ef
h h− −
−
→ →
+ − −′ = = = 
( ) ( ) ( )
0 0
0 0 2 10 lim lim
h
h h
f h f ef
h h+ +
+
→ →
+ − − + −′ = = = 
0 0
1 1lim lim 1
h h
h h
e e
h h+ +→ →
 − + −
= = − = − 
 
 
 
Como ( ) ( )0 0f f− +′ ′≠ então a função não é derivável em 0x = . 
Assim, a função derivada de f é definida por: 
 
{ }′ →
 <

− >
R R
֏
: \ 0
 se 0
 
 se 0
x
x
f
e x
x
e x
 
 
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EM
A
12PR2 ©
 Porto Editora
Funções exponenciais e logarítmicas
11
 
NEMA12PR Unidade 4 
11 
 
 
Pág. 20 
28.1. 0 é ponto aderente e pertence ao domínio de f. 
( )
0 0 0
1 1 1 1 1lim lim lim 1
2 2 2 2
x x
x x x
e ef x
x x− − −→ → →
− −
= = = × = 
( ) 2
0 0
lim lim 3 0
2x x
xf x x
+ +→ →
 = + = 
 
 
Não existe ( )
0
lim
x
f x
→
. Donde se conclui que f não é contínua no 
ponto de abcissa 0. 
28.2. A função f não é diferenciável em 0x = . Se fosse 
diferenciável em 0x = , então a função seria contínua nesse 
ponto (o que não acontece). 
28.3. O domínio da função f é R . 
 Se 0x < , então ( )
( )
( )2
2 1 21
2 2
x xx e x eef x
x x
′ × − − × −′ = = = 
 
 
2 2
2 2 2 1
4 2
x x x xxe e xe e
x x
− + − +
= = . 
 
 
Se 0x > , então ( ) 2 13 6
2 2
xf x x x
′ ′ = + = + 
 
. 
Seja 0x = , então: 
( ) ( ) ( )
0
0 0
0 lim
h
f h f
f
h−
−
→
+ −
′ = = 
( )20 0 0
1 0 1 1 12lim lim lim 1
22
h
h h
h h h
e
e eh
h h hh− − −→ → →
−
−  − −
= = = × = × −∞ = −∞ 
 
; 
( ) ( ) ( )
2
0 0
3 00 0 2' 0 lim lim
h h
hhf h f
f
h h+ +
+
→ →
+ −+ −
= = = 
0 0
13
1 12lim lim 3
2 2h h
h h
h
h+ +→ →
 +    = = + = 
 
 
Como ( ) ( )0 0f f− +′ ′≠ então a função não é derivável em 0x = . 
Assim, a função derivada de f é definida por: 
 
{ }′ →
 − +
<

 + >

R R
֏
2
: \ 0
1 se 0
2 
1 6 se 0
2
x x
f
xe e x
xx
x x
 
29.1. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1. 
Sabe-se que ( )1tm f ′= . 
Como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1x x x xf x x e e x e e x′′′ = − × + × − = × + × − = 
xx e= , tem-se tm e= . 
:t y e x b= + 
Como o ponto de coordenadas ( )1, 0 pertence à reta t, tem-se: 
0 1e b b e= × + ⇔ = − . 
Uma equação da reta t é: y e x e= − . 
 
29.2. 
( ) ( ) ( ) ( ) 1x x x x xf x x e x e e x e e x′ ′′′′ = = × + × = × + × = 
( )1xe x= + ; 
( ) ( )0 1 0 0 1 0x xf x e x e x′′ = ⇔ + = ⇔ = ∨ + = ⇔ = −1x 
 
x −∞ +∞ 
f ′′ − 0 + 
f ( )
21f
e
− = − 
 
 
No intervalo ] ], 1−∞ − , a concavidade é voltada para baixo. 
No intervalo [ [1,− +∞ , a concavidade é voltada para cima. 
Ponto de inflexão:  − − 
 
21,
e
 
30. 
( )
− − −
′   ′ = − = − − = +   
  
2
2 2 22 1 1
8 8 2 4 2
x x xex ex exf x e e e 
( )
− − −
′   ′′ = + = + − = −   
  
2 2 21 1 1 1
4 2 4 2 2 4 4
x x xex e ef x e e e
 
( )
− −
′′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −2 2
10 0 1 2
4 4 2
x xe xf x e e e x 
 
x −∞ 2− +∞ 
f ′′ − 0 + 
f 
 ( )2f − 
 
 
O gráfico de f tem um único ponto de inflexão, de abcissa 2− . 
 
Tarefa 2 
1.1. Sendo ( ) xf x e e= − , então ( ) 0
22
x x
x
e ef x
e
′ = − = − . 
 Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0. 
( )
0 1' 0
2 2t
em f= = − = − e ( ) 00 1f e e e= − = − .
 
O ponto (0, 1)P e− pertence à reta 1:
2
t y x b= − + , logo: 
11 0 1
2
e b b e− = − × + ⇔ = − . 
Assim, a reta t é definida pela equação 1 1
2
y x e= − + − . 
1.2. Se a reta tangente ao gráfico de f no ponto P é 
perpendicular à reta de equação 3
2 5y x
e
= − então o seu declive 
é 
3
2
e
− . 
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( )
3 3
321 3 6
2 2 2 2
x
xe e xf x e e e x′ = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
( ) 6 36f e e e e= − = − 
Assim, ( )36 ,P e e− . 
1.3. 
( ) 1 1
2 2 4 2 22
x x x x
x
e e e ef x
e
′   
′′    = − = − × = − = − =
   
   
 
( ) ( )1
2 2
f x
f x
′
′= = 
2.1. 
( ) ( )− − − −
′   ′ = = + − = −   
  
2 2 22 2 2 212 4 2 4
2
x x x x
f x x e x e e x e x x 
( ) ( )− −= ⇔ − = ⇔ = ∨ − = ⇔2 22 2
impossível
' 0 4 0 0 4 0
x x
f x e x x e x x 
0 4x x⇔ = ∨ = 
 
x −∞ 0 4 +∞ 
f ′ − 0 + 0 − 
f 
 
0 
232e− 
 
 
 
f é estritamente crescente no intervalo [ ]0, 4 . 
f é estritamente decrescente no intervalo ] ], 0−∞ e no intervalo 
[ [4, +∞ . 
Mínimo: 0 ; Máximo: 232e− . 
2.2. 
( ) ( ) ( ) ( )− − −
′ 
′′ = − = − − + − = 
 
2 22 2 214 4 4 2
2
x x x
f x e x x e x x x e 
−  
= − + 
 
2
2 4 4
2
x xe x ; ( )
−  ′′ = ⇔ − + = ⇔ 
 
2
20 4 4 0
2
x xf x e x 
−
⇔ = ∨ − + = ⇔ − + = ⇔
2
22
impossível
0 4 4 0 8 8 0
2
x xe x x x 
4 2 2 4 2 2x x⇔ = + ∨ = − 
 
 
x −∞ 4 2 2− 4 2 2+ +∞ 
f ′′ + 0 − 0 + 
f 
 ( )4 2 2f − ( )4 2 2f + 
 
 
Donde se conclui que as abcissas dos pontos P e Q, e 
consequentemente dos pontos A e B, são 4 2 2− e 4 2 2+ . 
Então, [ ]
2
2
4 2 32 64 2
2ABC
eA
e
−×
= = . 
 
 
 
 
Pág. 21 
Proposta 1 
1.1. 
a) 
2320000 1 20604,5
100 2
C  = + ≈ × 
 
Se o Sr. José optasse pelo banco A, o seu capital ao fim de um 
ano seria de 20 604,50 €. 
b) 
4320000 1 21227,27
100 2
C  = + ≈ × 
 
Se o Sr. José optasse pelo banco A, o seu capital ao fim de dois 
anos seria de 21 227,27 €. 
1.2. 
Banco B: 
122,9820000 1 20604,21
100 12
C  = + ≈ × 
 
Banco A: 
2320000 1 20604,5
100 2
C  = + ≈ × 
 
A melhor proposta para o Sr. José é a do banco A. 
 
Proposta 2 
2.1. 
a) 
4510000 1 10509,45
100 4
C  = + ≈ × 
 
Se as capitalizações forem trimestrais, o capital acumulado pela 
mãe da Luísa ao fim de um ano será de 10 509,45 €. 
b) 
4510000 1 10512,67
100 4
C  = + ≈ × 
 
Se as capitalizações forem diárias, o capital acumulado pela mãe 
da Luísa ao fim de um ano será de 10 512,67 €. 
2.2. No caso de as capitalizações serem contínuas, o capital 
acumulado ao fim de um ano será dado por: 
5 0,05lim 10000 1 10000 lim 1
100
n n
C
n n
    = + = × + =    ×     
 
0 ,0510000 e= × euros. 
 
Proposta 3 
3.1. Ao fim do 2.º dia há 9 pessoas doentes: as 3 que estavam 
doentes no final do 1.º dia mais as 6 pessoas que foram 
contagiadas (cada um dos 3 doentes contagiou outros dois). 
3.2. 
a) A função f é definida por ( ) 03 ,xf x x += ∈R . 
b1) Como o ponto A pertence ao gráfico da função f e tem 
abcissa 6, a sua ordenada é dada por 36, ou seja, é igual a 729. 
b2) Como o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem 
ordenada 2187, a sua abcissa é a solução da equação 3x = 2187, 
ou seja, é 7. 
( ) 72187 3 2187 3 3 7x xf x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
 
 
 
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A
12PR2 ©
 Porto Editora
Funções exponenciais e logarítmicas
13
 
NEMA12PR Unidade 4 
13 
 
 
Pág. 22 
Proposta 4 
Determinando a imagem de zero através de cada uma das 
funções podemos facilmente fazer corresponder a cada função 
uma das representações gráficas. 
 
( ) 00 2 1f = = ; ( ) 00 2 1g = − = − ; 
( ) ( )1 010 2 ; 0 1 2 0.
2
h j−= = = − + = 
Assim sendo, a correspondência é a seguinte: 
 I − h ; II − f ; III − g ; IV − j . 
 
Proposta 5 
5.1. ( ) 3 10 2
8
f −= = , ( ) 00 2 3 1 3 2g = − = − = − e ( ) 3 00 2 8h −= = . 
Assim, a correspondência é a seguinte: f − III; g − II; h − I. 
5.2. ( )3, 2 0 , 0xx x f x−∀ ∈ > ⇔∀ ∈ >R R . Logo, 
] [0,fD′ = +∞ . 
( ), 2 0 , 2 3 3, 3x xx x x g x∀ ∈ > ⇔∀ ∈ − > − ⇔∀ ∈ > −R R R
 
Então, ] [3,gD′ = − +∞ . 
( )3, 2 0 , 0xx x h x−∀ ∈ > ⇔∀ ∈ >R R . Assim sendo, 
] [0,hD′ = +∞ . 
5.3. 
a) O gráfico de f não interseta o eixo das abcissas porque 0 fD′∉ .
 b) Como ( )0 2g = − , o gráfico de g interseta o eixo das 
ordenadas no ponto de coordenadas ( )0, 2− .
 
 
c) A abcissa do ponto de interseção dos gráficos das funções de f 
e de h é a solução da equação ( ) ( )f x h x= . 
( ) ( ) 3 32 2 3 3 2 6 3x xf x h x x x x x− −= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = 
A ordenada do ponto de interseção dos gráficos das funções f e h 
é ( ) 3 3 23 2 2 1h −= = = . Os gráficos de f e de h intersetam-se no 
ponto de coordenadas ( )3, 1 . 
5.4. 
a) ( ) 2 2 3 2 2 1 0x xg x x> − ⇔ − > − ⇔ > ⇔ > 
Então, ] [0,A = +∞ . 
b) ( ) 3 3 01 2 1 2 2 3 0 3x xh x x x− −< ⇔ < ⇔ < ⇔ − < ⇔ > 
Então, ] [3,B = +∞ . 
 
Proposta 6 
6.1. 1 1
5
x
xb b
− = = 
6.2. 15 5
3
x
x y
y
aa
a
− = = = 
 
6.3. 5 1
15 3
x x
x
b b
a a
  = = = 
  
6.4. 15 3 45x y x ya a a+ = × = × = 
 
6.5. ( )2 25 25xb = = 
 
6.6. 2 3
y
ya a= = 
 
Pág. 23 
Proposta 7 
7.1. 
1 1 513 3 3 1 5 6
243
x x x x+ + −= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ = − 
O conjunto-solução da equação é{ }6− . 
7.2. 
1 1 54 1024 4 4 1 5 4x x x x+ += ⇔ = ⇔ + = ⇔ = 
O conjunto-solução da equação é { }4 . 
 
7.3. 
( )2 2 2 62 3 1459 3 729 3 3 2 6 3x x x x x× = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
O conjunto-solução da equação é { }3 . 
 
7.4. 
( )
5 5 5 5 2 2
1 1 2 22
1 1 13 3 3 3 3
9 33
x x x x x
x x x
− − − − − −
+ + +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
5 2 2 1x x x⇔ − = − − ⇔ = 
O conjunto-solução da equação é { }1 . 
 
7.5. 
( ) 
impossível
5 0 5 0 0 5 0x x x xe x e e x e x− = ⇔ − = ⇔ = ∨ − = ⇔ 
5x⇔ = . 
O conjunto-solução da equação é { }5 . 
 
7.6. 
2 2 2
1
22
11
2
1 1 13 3 3 3
23 3
x
x x x
xx
xx
− +
−−
− +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
2 12 1 0 1
2
x x x x⇔ + − = ⇔ = ∨ = − 
O conjunto-solução da equação é 11,
2
 − 
 
. 
7.7. 
6 3 6
3 6 6 3 6
7 7 70,000007 10 10
10 10 10
x
x x
+
+ +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ 
6 3 6 3 0 0x x x⇔ = + ⇔ = ⇔ = 
O conjunto-solução da equação é { }0 . 
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Unidade 4
 
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14 
 
7.8. 
2 2
, 3 0
13 3 10 3 3 10 0
3 x
x x x
x x
+ −
∀ ∈ >
+ = ⇔ × + − = ⇔
R
 
( )29 3 1 10 3 0x x⇔ × + − × = 
Fazendo 3x y= , tem-se: 29 10 1 0y y− + = ⇔ 
10 100 36 11
18 9
y y y± −⇔ = ⇔ = ∨ = . Como 3x y= , tem-se:
 
 
0 213 1 3 3 3 3 3 0 2
9
x x x x x x−= ∨ = ⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = − . 
O conjunto-solução da equação é { }2,0− .
 
7.9. 
2 214 14 14 146272 6272 196 6272
77 7
xx x
x x
+ ×  = ⇔ = ⇔ × = ⇔ 
 
 
52 32 2 2 5x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = 
O conjunto-solução da equação é { }5 . 
7.10. 
1
2 3
Soma de 1 termos consecutivos
de uma progressão geométrica de 2
1 21 2 2 2 ... 2 1023 1 1023
1 2
x
x
x
r
+
+
=
−
+ + + + + = ⇔ × = ⇔
−
 
1 1 102 1 1023 2 2 9x x x+ +⇔ − = ⇔ = ⇔ = 
O conjunto-solução da equação é { }9 . 
 
Proposta 8
 
 
8.1. ( ) 03 3 3 50 2 1
2 2 2 2
f k k k= − ⇔ + = − ⇔ = − − ⇔ = −
 
8.2. Sendo 5
2
k = − , então ( ) 52
2
xf x = − . 
( )5 5 5, 2 0 , 2 ,
2 2 2
x xx x x f x∀ ∈ > ⇔∀ ∈ − > − ⇔∀ ∈ > −R R R , 
logo 5 ,
2f
D  ′ = − +∞  
. 
8.3. O ponto A pertence ao gráfico da função f e tem ordenada 
igual a 11
2
k = , logo a sua abcissa é a solução da equação 
( ) 11
2
f x = . 
( ) 11 5 11 162 2 2 8 3
2 2 2 2
x x xf x x= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
Então, 113,
2
A  
 
. 
 
Proposta 9 
9.1. 
−
> ⇔ > ⇔ > − ⇔ > −
3
2 2 21 3 37 7 7 2
2 47 7
x x x x 
O conjunto-solução da inequação é 3 ,
4
 − +∞  
. 
 
9.2. 
1
, 5 0
15 5 6 5 5 6 0
5 x
x x x
x x
+ −
∀ ∈ >
+ < ⇔ × + − < ⇔
R
 
( )25 5 1 6 5 0x x⇔ × + − × < 
 Fazendo 5x y= , tem-se 25 6 1 0y y− + < . 
Vamos começar por determinar as soluções da equação 
25 6 1 0y y− + = .
 
2 6 36 20 15 6 1 0 1
10 5
y y y y y± −− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =
 
Assim, 2 15 6 1 0 1
5
y y y y− + < ⇔ > ∧ < . 
Como 5xy = , tem-se: 
1 015 5 1 5 5 5 5 1 0
5
x x x x x x−> ∧ < ⇔ > ∧ < ⇔ > − ∧ < . 
O conunto-solução da inequação é ] [1, 0− . 
9.3. 
1
3 1 3 1 2 1 33 3 3 3 3 1 3
2 2
x x x x− − − −≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ 
3 3 9 33 3
2 2 2 2
x x x x⇔ − ≤ ∧ − ≥ − ⇔ ≤ ∧ ≥ 
O conjunto-solução da inequação é 3 9,
2 2
 
  
. 
9.4. 
1
3 1 82 9 8 8 9 0
8
x x x
x
− +− ≤ − ⇔ − + ≤ ⇔ 
( )  ( )
2 2
condição
universal
8 9 8 8 0 8 0 8 9 8 8 0x x x x x⇔ − × + ≤ ∧ ≠ ⇔ − × + ≤
 
Fazendo 8x y= , tem-se: 
2 9 8 0y y− + ≤ . 
Vamos começar por determinar as soluções da equação 
2 9 8 0y y− + = . 
2 9 81 329 8 0 8 1
2
y y y y y± −− + = ⇔ = ⇔ = ∨ = 
Assim, 2 9 8 0 1 8y y y y− + = ⇔ ≥ ∨ ≤ . 
Como 8x y= , tem-se: 
8 1 8 8 0 1x x x x≥ ∧ ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ . 
O conjunto-solução da inequação é [ ]0, 1 . 
9.5. 
Zeros: ( )( )1 12 8 1 0 2 8 0 1 0x xx x+ +− + = ⇔ − = ∨ + = ⇔ 
1 32 2 1 2 1x x x x+⇔ = ∨ = − ⇔ = ∨ = − 
 
 
x −∞ 1− 2 +∞ 
12 8x+ − − − − 0 + 
1x + − 0 + + + 
( )( )12 8 1x x+ − + + 0 − 0 + 
 
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12PR2 ©
 Porto Editora
Funções exponenciais e logarítmicas
15
 
NEMA12PR Unidade 4 
15 
 
Da análise do quadro resulta que: 
( )( )12 8 1 0x x+ − + ≥ ⇔ ] ] [ [, 1 2,x⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ . 
O conjunto-solução da inequação é ] ] [ [, 1 2,−∞ − ∪ +∞ . 
9.6. Zeros: ( )( )2 23 1 16 4 0 3 1 0 16 4 0x x x x− −− − = ⇔ − = ∨ − = ⇔ 
2 0 23 3 4 4 0 2x x x x−⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ = − 
 
 
x −∞ 2− 0 +∞ 
23 1x − − − − 0 + 
16 4 x−− − 0 + + + 
( )( )23 1 16 4x x−− − + 0 − 0 + 
 
 
Da análise do quadro resulta que: 
( )( )23 1 16 4 0x x−− − < ⇔ ] [2,0x∈ − 
O conjunto-solução da inequação é ] [2, 0− . 
 
Proposta 10 
10.1. 
a) 
1 2 1 2 3 1 2( ) 0 8 2 0 8 2 2 2x x xf x + + += ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
3 1 2 1x x⇔ = + ⇔ = 
b) 
1 2 1 2 0 1 2( ) 7 8 2 7 1 2 2 2x x xf x + + += ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
10 1 2
2
x x⇔ = + ⇔ = − 
10.2. 
1 2 1 2( ) 120 8 2 120 2 128x xf x + +≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ 
1 2 72 2 1 2 7 3x x x+⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ 
] ] ] ], 3 0, 3A += ∩ −∞ =R 
 
Pág. 24 
Proposta 11 
11.1. ( ) ( ) 32 6 2 2 2 8 2 2 3x x xf x g x= − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
11.2. 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 22 22 6 2 xh x f g x f g x f x −= = = − = − 
x∀ ∈R , tem-se: 
2 2 20 0 2 2x x x≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ 
2 2 22 2 2 20 2 2 0 2 4 6 6 2 6 4x x x− − −⇔ < ≤ ⇔ > − ≥ − ⇔ > − ≥ − ⇔ 
( )6 2h x⇔ > ≥ 
Então, [ [2,6hD′ = . 
Donde se conclui que a equação ( ) 1h x = é impossível. 
 
 
 
Proposta 12 
12.1. Como A é o ponto de interseção dos gráficos das funções f 
e g, a sua abcissa é a solução da equação ( ) ( )f x g x= . 
( ) ( )
( )
1 1 1
33
1 1 12 2 2
8 22
x x x
x x xf x g x
+ + += ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
1 3 12 2 1 3
4
x x x x x+ −⇔ = ⇔ + = − ⇔ = − 
A ordenada do ponto A é igual a 1
4
g  − 
 
. 
Como 
1
44
1
4
1 1 8 8
4
8
g
−
 − = = = 
 
, então 41 , 8
4
A − 
 
. 
B é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das 
ordenadas, logo ( )( )0 , 0B f . 
Como ( ) 0 10 2 2f += = , então ( )0 , 2B . 
12.2. 
( )
1
3 21 1 12 2 2 2 3
2 68
x
xg x x x
−> ⇔ > ⇔ > ⇔ − > ⇔ < − 
O conjunto-solução da inequação ( ) 2g x > é
 
1,
6
 −∞ −  
. 
 
Proposta 13 
13.1. Como o vértice B tem abcissa 2 e pertence ao gráfico da 
função f , sabe-se que a sua ordenada é igual a ( )2f . 
( ) 2 1 52 2 1 1
4 4
f −= + = + = , logo 52,
4
B  
 
. 
b) Como o vértice C pertence ao gráfico da função f e tem 
ordenada 9, para determinar a sua abcissa tem-se de resolver a 
equação ( ) 9f x = . 
( ) 39 2 1 9 2 8 2 2 3 3x x xf x x x− − −= ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔− = ⇔ = − 
Assim, conclui-se que ( )3,9C − e ( )3,0D − . 
O trapézio tem 5 cm de altura ( )5AD = . 
13.2. 
a) Sabe-se que ( ),2 1xC x − + e ( ),0D x , com x −∈R . 
254 2 1 4 2 4 2 2 2
4
x x xCD AB x− − −= × ⇔ + = × ⇔ = ⇔ = ⇔− = ⇔ 
2x⇔ = − 
 
b) 
 [ ] ( )
52 1
4 2
2 2
x
ABCD
CD ABA AD x
− + ++
= × = × − = 
( )1 92 2
8
x x− − = + × − 

 
 
A equação que traduz o problema é a seguinte: 
( )1 92 2 265
8
x x− − + × − = 
 
 
 
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Unidade 4
 
NEMA12PR Unidade 4 
16 
 
Recorrendo à calculadora gráfica, pode proceder-se da seguinte 
forma: 
 
 
 
A abcissa dos pontos C e D deve ser igual a −6. 
13.3. ( )0 2f = ; 
A área do trapézio tende para 
52
4 2
2
+
× =
5 132 3,25
4 4
+ = = . 
Quando x tende para zero, a área do trapézio tende para 
3,25 cm2. 
 
Pág. 25 
Proposta 14 
14.1. , 2 0 , 2 0x xx x∀ ∈ > ⇔∀ ∈ − < ⇔R R 
( ), 6 2 6 , 6xx x f x⇔∀ ∈ − < ⇔∀ ∈ <R R 
fD =R , ] [, 6fD′ = −∞ e 6y = é uma equação da assíntota 
horizontal do gráfico da função f. 
gD =R ; ] [0,gD′ = +∞ e y = 0 é uma equação da assíntota 
horizontal do gráfico da função g. 
14.2. 
a) ( ) 32 6 2 2 2 8 2 2 3x x xf x x≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 
Então, [ [3,x∈ +∞ . 
b) ( )( ) ( ) ( )6 6 6 2 4 6x xf g x f x g x+ < ⇔ + < ⇔ − + < ⇔ 
24 2 2 2 2 0x x x x x x x⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < 
Então, ] [,0x∈ −∞ . 
c) ( ) ( ) 26 2 4 2 2 6 0x x x xf x g x> ⇔ − > ⇔ − − + > ⇔ 
( )22 2 6 0x x⇔ + − < 
Fazendo 2x y= , tem-se: 2 6 0y y+ − < . Vamos começar por 
determinar as soluções da equação 2 6 0y y+ − = . 
2 1 1 246 0 2 3
2
y y y y y− ± ++ − = ⇔ = ⇔ = ∨ = − 
Assim, 2 6 0 3 2y y y y+ − ≤ ⇔ > − ∨ < . 
Como 2x y= , tem-se: 
Condição
universal
2 3 2 2 1x x x> − ∧ < ⇔ < . 
Então, ] [, 1x∈ −∞ . 
 
14.3. O ponto P é o ponto de interseção dos gráficos das funções 
f e g. Assim, ( )1,4P . 
Se P pertence ao gráfico de h, então ( ) =1 4h . 
( ) 1 11 4 3 4 4 12
3
h k k k−= ⇔ × = ⇔ × = ⇔ = 
 
Proposta 15 
15.1. 
5
7
2
5 51 lim 1
5lim lim
22 21 lim 1
n n
n
n
n
n en n e
n en
n n
−
−
    − −    −      = = = =   +     + +        
 
15.2. 
13 1
3 1 3lim lim
27 2 7 1
7
n
n nn n
n n
n
  −  −    = =   +    +    
 
1
3
2
7
1
3lim 1
3lim 0 0
7 2
7lim 1
n
n
n
n
e
e
n
−
 
 
− 
     = × = × = 
   
 
+ 
  
 
 
15.3. 
1 2 8 1 7lim 2 lim lim
4 4 4
n n nn n n n
n n n
+ + − − +     − = = =     + + +     
 
7
3
4
7 71 lim 1
lim
4 41 lim 1
n n
n
n
en n e
en
n n
    + +    
    = = = =
    + +        
 
 
 
 
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Funções exponenciais e logarítmicas
17
 
NEMA12PR Unidade 4 
17 
 
15.4. 
3 3 3lim 1 lim 1 1
nn
n n n
    − = − + =             
 
3 3 03 3lim 1 lim 1 1
n n
e e e
n n
−   = − × + = × = =      
   
 
15.5. 
1 2 8 1 7lim 2 lim lim
4 4 4
n n nn n n n
n n n
+ − − + + − −     − + = = =     + + +     
 
( )
7 71 lim 1
lim lim 1
4 41 lim 1
n n
n
n
n
n n
n
n n
    − + +    
    = = − ×
    + +        
 
Se n é par, tem-se 
7
3
4
1lim 2 1
4
nn e e
n e
+ − + = × = + 
. 
Se n é ímpar, tem-se 
7
3
4
1lim 2 1
4
nn e e
n e
+ − + = − × = − + 
. 
Donde se conclui que não existe 1lim 2
4
nn
n
+ − + + 
. 
 
15.6. 
2
2 2
2
2
2
21
2lim lim
12 1 2 1
2
n
n n
n n
n n
n
  −   −   = =   +    +    
 
2 2
2 2
2 2lim 1 lim 1
1lim 0 0
2 1 1
2 2lim 1 lim 1
n n
n
n n
n n
n n
   − −        = × = × = 
     
   
+ +   
      
   
 
 
Proposta 16 
16.1. 
0
3 30
0 3 0
1 1lim lim 3 1 3 3
3
x x
x x
e e
x x→ →
 − −
= × = × = 
 
 
16.2. 
0
2 20
0 2 0
1 1lim lim 2 1 2 2
2
x x
x x
e e
x x→ →
 − −
= × = × =  
 
 
16.3. 
( )0 2 22 4 2 20
0 0 0 0
1 1lim lim lim lim
5 5 5
x xx x x x
x x x x
e ee e e e
x x x→ → → →
− −− − −
= = × = 
( )
2
2 0
1 1 1 2lim 2 1 2
5 2 5 5
x
x
e
x→
 − −
= × × = − × × = − 
 
 
16.4. 
( )
0
0
0 0 0 0
1lim lim lim lim
1 1 11x x xxx x x x
x x x
e e ee
x
→ → → →
= = − = − =
− − −− −
 
0
1 1 1
11lim
x
x
e
x→
= − = − = −
−
 
16.5. 
( )0 34 30
0 0 0 0
1 1lim lim lim lim
6 6 6
x xx x x x
x x x x
e ee e e e
x x x→ → → →
− −− − −
= = × = 
( )
3
3 0
1 1 1 1lim 3 1 3
6 3 6 2
x
x
e
x→
 − −
= × × = − × × = − 
 
 
16.6. 
( )( ) ( )
0
1 10
21 1 0
1 1 1lim lim lim
1 1 21
x x y
x x y
e e e
x x y yx
− −
→ → →
− − −
= = − =
− − + +−
 
0
1 1 1 1lim 1
2 2 2
y
y
e
y y→
 −  = − × = − × = −   +   
 
 
 
Mudança de variável: 
Fazendo 1x y− = , vem 1y x= + . Se 1x → , então 0y → . 
 
 
Pág. 26 
Proposta 17 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
( )
2
h x h x h xh xj x e h x e e
h x
′′ ′′ = = × = × = 
( )
( )
( )
2
h xh x e
h x
′
= × 
Por observação gráfica, sabe-se que ( ) 11
4
h = . 
Seja t a reta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 1. 
 
( )
1 1 2
14 4 41
1 0 1 2t
h m
 − − 
 ′ = = = =
−
 
 
Então, 
( ) ( )
( )
( )
1 1
1 4 2
1 1
1 2 21
112 1 22 24
hhj e e e
h
′
′ = × = × = × =
×
 
1
2 2
ee= × = . 
 
 
 
 
 
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Unidade 4
 
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Proposta 18 
18.1. Seja t a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 
0. Sabe-se que ( )0tm g′= . 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 2 2 21 3 2x x x x x x xg x x e e x e x e x− − −′′′ = × + × = × + − × = 
( )3 2 31 3 2x xe x x−= + − 
Então, tem-se 1tm = e :t y x b= + . 
Como o ponto de coordenadas ( )0, 0 pertence à reta t, tem-se
0b = . 
Uma equação da reta t é y x= . 
18.2. ( ) ( )3 2 30 1 3 2 0x xg x e x x−′ = ⇔ + − = ⇔ 
( )( )3 2 3 2
impossível
0 1 3 2 0 1 3 3 1 0x xe x x x x x−⇔ = ∨ + − = ⇔ + − + = ⇔ 
2
impossível
1 0 3 3 1 0 1x x x x⇔ + = ∨ − + = ⇔ = − 
 
x −∞ 1− +∞ 
3 2x xe − + + + 
1x + − 0 + 
23 3 1x x− + + + + 
g ′ − 0 + 
g 
 
e− 
 
Mínimo: e− 
18.3. 
 
 
Donde se conclui que, ( )1,56; 3A . 
 
Proposta 19 
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em −R e 
voltada para cima em +R . Logo, conclui-se que a função f ′′ é 
negativa em −R e positiva em +R . 
A opção correta é a (B). 
 
Pág. 27 
Proposta 20 
20.1. Se a reta t é paralela ao eixo das abcissas então 0tm = . 
Como a reta t é tangente ao gráfico de g no ponto A, de abcissa 
Ax , então ( )t Am g x′= . 
( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 1x x x xg x x e e x e e x′′ = − = − × + − × = − + . 
( ) ( )
equação
impossível
0 5 1 5 0 1 0A Ax xt A A Am g x e x e x′= ⇔ = − + ⇔ − = ∨ + = ⇔ 
1Ax⇔ = − 
A abcissa do ponto A é 1− . 
20.2. A ordenada do ponto A é dada por ( )1g − . 
( ) ( ) 1 1 51 5 1 5g e
e e
−− = − × − × = × =
 
A ordenada do ponto A é 5
e
. 
Proposta 21 
21.1. f é uma função ímpar e tem domínio R , logo a função f ′ , 
função derivada de f, é par. Se f é ímpar então ( ) ( ) ,f x f x− = − 
fx D∀ ∈ e se f ′ é par então ( ) ( ) , ff x f x x D ′′ ′− = ∀ ∈ . Assim, a 
tabela que relaciona o sinal de f ′ e a variação de f é a seguinte: 
 
x −∞ 1− 0 1 +∞ 
f ′ − 0 + + + 0 − 
f 
 
1− 
 
0 
 
1 
 
 
f é estritamente decrescente em ] ], 1−∞ − e em [ [1, +∞ . 
f é estritamente crescente em [ ]1, 1− . 
−1 é mínimo e 1 é máximo. 
21.2. f é contínua em R porque admite derivada finita em todos 
os pontos do seu domínio. 
21.3. f é uma função ímpar. A função f ′ é par e função f ′′ é 
ímpar. Assim, a tabela que relaciona o sinal de f ′′ e o sentido das 
concavidades do gráfico de f é: 
 
x −∞ 3− 0 3 +∞ 
f ′′ − 0 + 0 − 0 + 
f 
 
3
2
− 0 
3
2
 
 
Nos intervalos , 3 −∞ −  e 0, 3   a concavidade é voltada 
para baixo. Nos intervalos 3 , 0 −  e 3 , +∞  a 
concavidade é voltada para cima. Pontos de inflexão: 
33,
2
 
− −  
 
 e 
33 ,
2
 
  
 
. 
21.4. Como o domínio da função f é R e f é contínua, então o 
seu gráfico não admite assíntotas verticais. Sabe-se que 
( )lim 0
x
f x +
→+∞
= , logo a reta de equação 0y = é assíntota 
horizontalao gráfico de f quando x →+∞ . Como f é uma função 
ímpar, então conclui-se que ( )lim 0
x
f x −
→−∞
= . Assim, a reta de 
equação 0y = também é assíntota horizontal ao gráfico de f 
quando x →−∞ . 
Conclusão: O gráfico de f tem uma única assíntota, a reta de 
equação 0y = . 
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Funções exponenciais e logarítmicas
19
 
NEMA12PR Unidade 4 
19 
 
Proposta 22 
( ) ( )2 22x xf x e x e− −′′ = = − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 2 2 2 4x x x xf x x e e x x e e x− − − −′′′ = − = − + − − = − + 
O ponto C pertence ao eixo das ordenadas e ao gráfico de f ′′ , 
logo ( )( )0, '' 0C f , ou seja, ( )0, 2C − . Os pontos A e B pertencem 
ao gráfico de f ′′ e têm ordenada nula, pois pertencem ao eixo 
das abcissas. 
( ) ( )2 22 2
equação
impossível
0 2 4 0 0 2 4 0x xf x e x e x− −′′ = ⇔ − + = ⇔ = ∨ − + = ⇔ 
2 1 2 2
2 2 2
x x x⇔ = ⇔ = − ∨ = 
Então, conclui-se que 
2 , 0
2
A
 
  
 
 e 
2 , 0
2
B
 
−  
 
. 
 
Pág. 28 
Proposta 23 
23.1. 2 2 25 5 5
2
1 1 16 0 6 6
6 6 6
x x x
xx x
− − −− = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
2 5 2 22 56 6 5 2 10 0 2
2 2
x
x xx x x x x
−−⇔ = ⇔ − = − ⇔ + − = ⇔ = ∨ = − 
O conjunto-solução da equação é 5 , 2
2
 − 
 
.
 
23.2. 1 2 3 4 5
Soma de 6 termos consecutivos de uma
1progressão geométrica de razão
3
3 3 3 3 3 3 364x x x x x x− − − − −+ + + + + = ⇔ 
61 7281
3643 7293 364 3 364 3 364
1 2 2431
3 3
x x x
 −  
 ⇔ × = ⇔ × = ⇔ × = ⇔
−
 
53 243 3 3 5x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = 
O conjunto-solução da equação é{ }5 . 
Proposta 24 
Zero do numerador: 
1
2 2 1 14 2 0 4 2 2 2 2
2 4
x x x x x− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
Zeros do denominador: 
( )1 1 1 01 0 0 1 0 0x x xx e x e x e e+ + +− = ⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ = ⇔ 
0 1x x⇔ = ∨ = − 
x −∞ 1− 0 
1
4
 +∞ 
4 2x − − − − − − 0 + 
x − − − 0 + + + 
1 1xe + − − 0 + + + + + 
( )1
4 2
1
x
xx e +
−
−
 − n.d. + n.d. − 0 + 
Da análise do quadro resulta que: 
( )1
4 2 0
1
x
xx e +
−
> ⇔
−
] [ 11,0 ,
4
 − ∪ +∞  
. 
O conjunto-solução da inequação é ] [ 11,0 ,
4
 − ∪ +∞  
. 
 
Proposta 25 
25.1. 
0
2 20
0 0
2 1 1lim lim
x x x x
x x
e e e e
x x→ →
+ − − + −
= = 
2 2
0 0 2 0
1 1 1lim lim lim 2 1 1 2 1 3
2
x x x
x x x
e e e
x x x→ → →
 − − −
= + = × + = × + = 
 
 
25.2. 
1
1 0
0
1 1lim 1 lim lim 1
1
yx
x
x x y
e ex e
y
x
+
×∞
→+∞ →+∞ →
   − −
− = = =     
 
Mudança de variável: 
Fazendo 1 y
x
= , vem 1x
y
= . Se x →+∞ , então 0y +→ . 
 
 
Proposta 26 
A abcissa do ponto A é a solução positiva da equação 
( ) ( )f x f x′= . 
( ) ( ) ( )2 23 6 3x x xf x f x x e xe x e− − −′= ⇔ = + − ⇔ 
2 2 23 6 3 6 6 0x x x x xx e xe x e x e xe− − − − −⇔ = − ⇔ − = ⇔ 
 
( )26 6 0 6 1 0x x xx e xe xe x− − −⇔ − = ⇔ − = ⇔ 
equação
impossível
6 0 0 1 0 0 1xx e x x x−⇔ = ∨ = ∨ − = ⇔ = ∨ = 
Como ( ) 1 31 3f e
e
−= = , então 31,A
e
 
 
 
. 
Para determinar a abcissa do ponto B temos de resolver a 
equação ( ) 0f x′ = . 
( ) ( )20 6 3 0 3 2 0x x xf x xe x e xe x− − −′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ 
equação
impossível
3 0 0 2 0 0 2xx e x x x−⇔ = ∨ = ∨ − = ⇔ = ∨ = 
Conclui-se então que ( )2, 0B . O ponto C pertence ao gráfico da 
função f e tem a mesma abcissa do ponto B, logo ( )( )2, 2C f . 
Como ( ) 22 12f e−= , então ( )22, 12C e− . 
[ ]
( ) 2 212 1 6
2 2
B A
ABC
BC y y eA e
−
−× − ×= = = 
 
Pág. 29 
Tarefa 3 
1.1. 
a) Consideremos dois objetos 1x e 2x pertencentes ao domínio 
da função f. 
( ) ( ) 1 21 2 1 22 2x xf x f x x x= ⇔ = ⇔ = 
A função f é injetiva porque 1 2, fx x D∀ ∈ , ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇒ = . 
b) , 2 0xfx D∀ ∈ > , ou seja, ( )∀ ∈ >, 0fx D f x . 
A função f é sobrejetiva porque o contradomínio ( )+R coincide 
com o conjunto de chegada ( )+R . 
1.2. A função f é bijetiva (pois é injetiva e sobrejetiva), logo 
admite função inversa. NE
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1.3. 
f 
1 2 3,2 4 a 
1f − 
 2 4 3,22 16 2 , 0a a > 
 
Pág. 30 
31.1. ( )1 5 2f − = − porque ( )2 5f − = . 
31.2. ( )7 2f = porque ( )− =1 2 7f . 
31.3. ( )1 3 3f f − = 
31.4. 1 1 1
2 2
f f−   = 
 
 
32.1. ( ) 1 12 5 5 2x xf x y y y− −= ⇔ − = ⇔ = − ⇔ 
( ) ( )5 51 log 2 log 2 1x y x y⇔ − = − ⇔ = − + 
Então, ( ) ( )1 5log 2 1f x x− = − + . 
32.2. ( ) ( ) ( )3 31 log 2 1 log 2 1 1g x y x y x y= ⇔ + + = ⇔ + = − ⇔ 
−
− −⇔ + = ⇔ =
1
1 3 12 1 3
2
y
yx x 
Então, ( )
1
1 3 1
2
x
g x
−
− −= . 
33.1. 5log 125 3= porque 35 125= . 
33.2. 2
1log 5
32
  = − 
 
 porque 5 12
32
− = . 
33.3. 3
3log 27
2
= porque 
3
23 27= . 
33.4. 1
2
3log 8
2
= − porque 
3
21 8
2
−
  = 
 
. 
33.5. log 0,00001 5= − porque 510 0,00001− = . 
33.6. 1 1ln
2e
 
= − 
 
 porque 
−
=
1
2 1e
e
. 
34.1. 2log 55 2= 
34.2. ( )525 log 2= 
34.3. ( )5log 5k k= 
34.4. 3log3 k k= 
 
 
 
 
Pág. 31 
35.1. O gráfico de f pode ser obtido a partir do gráfico de 
2logy x= seguindo a seguinte sequência de transformações: 
translação associada ao vetor ( )2, 0u = − seguida de uma 
translação associada ao vetor ( )0, 3v = . 
35.2. 
a) { } { } ] [: 2 0 : 2 2,fD x x x x= ∈ + > = ∈ > − = − +∞R R 
b) ( )
2
lim
x
f x
+→−
= −∞ 
c) ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ 
d) ( ) ( )2 23 log 1 2 3 log 1 3 0 3Ay = + − + = + = + = 
e) ( ) ( )2 23 log 0 2 3 log 2 3 1 4By = + + = + = + = 
f) ( ) ( ) 22 23 log 2 5 log 2 2 2 2 2x x x x+ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = 
A abcissa do ponto C é igual a 2. 
36.1. { } { } ] [: 3 0 : 3 , 3fD x x x x= ∈ − > = ∈ < = −∞R R 
36.2. { } { }: 0 ln 0 : 0 1fD x x x x x x= ∈ > ∧ ≥ = ∈ > ∧ ≥ =R R 
{ } [ [: 1 1 ,x x= ∈ ≥ = +∞R 
36.3. { } ] [ ] [2: 4 0 , 0 4,fD x x x= ∈ − ≥ = −∞ ∪ +∞R 
( )2 4 0 4 0x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ 
( ) ( )0 4 0 0 4 0x x x x⇔ ≥ ∧ − ≥ ∨ ≤ ∧ − ≤ ⇔ 
( ) ( )0 4 0 4x x x x⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤ ⇔ 
4 0x x⇔ ≥ ∨ ≤ 
36.4. ] [ ] [: 0 1 0 , 0 1,
1f
xD x x
x
 = ∈ > ∧ − ≠ = −∞ ∪ +∞ 
− 
R 
x −∞ 0 1 +∞ 
x − 0 + + + 
1x − − – − 0 + 
1
x
x −
 + 0 − 0 + 
 
Pág. 32 
37.1. ( ) 1 13 1 log 3 1 3
3a
f a a−= − ⇔ = − ⇔ = ⇔ = 
37.2. 1
3
log 9 2By = = − 
37.3. 
1
2
1
3
1 1 1 1 3log
2 3 3 33
x x x x x = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
 
 
A abcissa do ponto C é igual a 3
3
. 
38.1. ( ) ( )0 ,5 0 ,5log 7 log 6< porque a função logaritmo de base a, 
sendo 0 1a< < , é estritamente decrescente. 
38.2. ( ) ( )6 6log 0,5 log 0,55< porque a função logaritmo de base 
a, sendo 1a > , é estritamente crescente. 
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Funções exponenciais e logarítmicas
21
 
NEMA12PR Unidade 4 
21 
 
38.3. ( ) ( )4 0 ,25log 3 log 3> porque ( )4log 3 0> e ( )0 ,25log 3 0< . 
38.4. ( ) ( )3 5log 1 log 1= porque ( )3log 1 0= e ( )5log 1 0= . 
39.1. ( )2 22 2, 2 2 , log 2 log 2x x x x∀ ∈ + ≥ ⇔∀ ∈ + ≥ ⇔R R 
( ), 1x g x⇔∀ ∈ ≥R 
Então, [ [1,gD′ = +∞ . 
39.2. ( )2 20 ,5 0 ,5, 2 2 , log 2 log 2x x x x∀ ∈ + ≥ ⇔∀ ∈ + ≤ ⇔R R 
( ), 1x g x⇔∀ ∈ ≤ −R 
Então, ] ], 1gD′ = −∞ − . 
 
Pág. 33 
40.1. 
a b ( )2log ab 2 2log loga b+ 
2 4 ( )2 2log 2 4 log 8 3× = = 2 2log 2 log 4 1 2 3+ = + = 
4 8 ( )2 2log 4 8 log 32 5× = = 2 2log 4 log 8 2 3 5+ = + = 
4 16 ( )2 2log 4 16 log 64 6× = = 2 2
log 4 log 16 4 4
6
+ = + =
=
 
2n 2m 
( ) ( )2 2log 2 2 log 2n m n m
n m
+× = =
= +
 ( ) ( )2 2log 2 log 2
n m
n m
+ =
= +
 
40.2. 
a b 3log
a
b
 
 
 
 3 3log loga b− 
3 9 3 3
3 1log log 1
9 3
   = = −   
   
 3 3log 3 log 9 1 2 1− = − = − 
1
3
 27 3 3
1
13log log
27 81
4
 
   = =   
   
 
= −
 3 3
1log log 27
3
1 3 4
  − = 
 
= − − = −
 
9 81 3 3
9 1log log 2
81 9
   = = −   
   
 3 3log 9 log 81 2 4
2
− = − =
= −
 
 
40.3. 
a 2log a− 2
1log
a
 
 
 
 
4 2log 4 2− = − 2
1log 2
4
  = − 
 
 
1
2
 ( )2
1log 1 1
2
 − = − − = 
 
 2 2
1log log 2 1
1
2
 
 
= = 
  
 
 
8 2log 8 3− = − 2
1log 3
8
  = − 
 
 
Tarefa 4 
1.1. 
a x y ( )log loga aA xy= log logaaP x y= + 
2 8 4 5 5 
5 625 125 7 7 
3 153 43 19 19 
10 610 510 11 11 
e 3e 7e 10 10 
1.2. Os resultados obtidos nas duas últimas colunas são iguais, o 
que nos leva a conjeturar que: ( )log log loga a ax y x y= + . 
2.1. 
n x = 2logl x 2logP n x= ( )2log
nx 
3 2 1 3 3 
4 8 3 12 12 
5 16 4 20 20 
6 256 8 48 48 
2.2. Os resultados obtidos nas duas últimas colunas são iguais, o 
que nos leva a conjeturar que: ( )log logna ax n x= . 
 
Pág. 34 
41.1. ( )3 3 3 3log 2 log 5 log 2 5 log 10+ = × = 
41.2. ( )− = =2 2 2 2log 15 log 5 log 15: 5 log 3 
41.3. ( ) ( )35 5 5 5 5 53log 2 log 4 log 2 log 4 log 8 4 log 32+ = + = × = 
41.4. ( )20 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 0 ,5 3log 3 2log 5 log 3 log 5 log 25
 − = − =  
 
 
41.5. ( )2 2 2 2 23 log 5 log 8 log 5 log 8 5 log 40+ = + = × = 
41.6. ( )2 1002 log 3 log 10 log 3 log
3
 − = − =  
 
 
41.7. ( ) ( ) ( )2 22 ln 3 ln 2 ln ln 3 ln 2 ln 3 ln 2e e+ − = + − = − = 
23
ln
2
e 
=  
 
 
42.1. ( ) ( ) ( ) ( )21 ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2By e e e e e e= + = + = × = 
42.2. ( ) ( )21 ln 2 ln ln ln ln
2A
ey e e e e e = + × = + = × = 
 
 
( ) ( ) ( )
2
2 2 1
2
1ln ln 2 ln ln ln 2 ln2
22A B
ey y e e
e
−   − = − = = = = −   
  
 
43.1. 2 1log log log 1
3 3a a a
a a b
b
  = − = − = 
 
 
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Unidade 4
 
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43.2. 
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1 1log log log log log
2 2a a a a a
ab ab ab a b= = = + = 
1 2 51
2 3 6
 = + = 
 
 
43.3. ( ) ( )
2
2 3
3
log log loga a a
a b a b a
a
 
= − = 
 
 
( )
1
2 3 2 1 7log log log 2
3 3 3a a a
a b a
 
= + − = + − = 
 
 
 
Pág. 35 
44.1. ( ) ( )4 43 3 3 3log 81 9 log 81 log 9 4 4log 9 4 4 2× = + = + = + × = 
12= 
44.2. ( )
3
3 5
2 2 25
0,5log log 0,5 log 2
2
−
−
 
  = − =
 
 
 
( )
3 3
2 2
2 2
3 7log 0,5 5 log 2 5 5
2 2
−   
= − − = + = − + =   
   
 
44.3. 
3
5 5
1 1log 0,2 3log 0,2
5 5
   
× = × =   
   
 
( )
1
1 2
5 5 5 5
13 log 0,2 log 3 log 5 log 5
5
−−
     
= + = + =             
 
1 93 1
2 2
 = − − = − 
 
 
45.1. 
1
2 1log 6 log 6 log 6 log 12
2a a a a
x x x x
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = 
 
 
Então, ( ) ( )log log log 12 2 10a a axy x y= + = + − = . 
45.2. ( ) ( )
12
2 2log log log 2log loga a a a a
x x y x y
y
 
= − = − =  
 
 
( )1 12log log 2 12 2 24 1 25
2 2a a
x y= − = × − × − = + = 
45.3. ( ) ( )
13
23 3
2log log log log log 2a a a a a
x y
x y a x y
a
 
= − = + − =  
 
 
( )1 1 2 2812 log 2 10 2 10
3 3 3 3a
y= + − = + × − = − = 
46. ( ) ( )= − + =0 3 ln 0 1 3f . Então, = 3OB . 
( ) ( )= = − +3 ln 1AP f x x e =OA x , sendo > 0x . 
Seja ( )a x a área do trapézio [OAPB]. 
( ) += ×
2
OB APa x OA 
( ) ( ) ( )+ − +  − + = × =  
 
3 3 ln 1 6 ln 1
2 2
x x
a x x x 
( ) ( )( )      = − + = = =     + + +     
6 6 32
6ln ln 1 ln ln ln
2 2 1 1 1
x x
x x e e ea x e x
x x x
Assim, tem-se: ( )  =  
+ 
3
ln
1
x
ea x
x
 
 
Pág. 36 
47.1. 24
2
log
log
log 4 2
x kx = = 
47.2. 
( )
2
0 ,5 1
2 2
log
log
log 0,5 1log 2
x k kx k
−
= = = = −
−
 
47.3. 2 12
2 2
2
log
log 2
1log 2 log 2 2
x k kx k= = = = 
48.1. 3 33 9 3 3
3
log 2 log 2
log 7 log 2 log 7 log 7
log 9 2
− = − = − = 
1
2
3 3 3
7log 7 log 2 log
2
   
= − =   
  
 
48.2. 2 24 2 2 2
2
log 5 log 5
log 5 log 3 log 3 log 3
log 4 2
+ = + = + = 
( ) ( ) ( )
1
42
2 2 2 2log 5 log 3 log 5 3 log 3 5= + = × = 
49.1. ( ) ( ) 9 3
1 53 3 4 log 3 log 3 4 1
2 2B A
y y g f− = − = − − = − − = 
49.2. ( ) ( ) 39 3 3
3
log 2
2 2 4 log 2 log 2 4 log 2
log 9D C
y y g f− = − = − − = − − 
( )
1
3 2
3 3 3 3 3
log 2
4 log 2 4 log 2 log 2 4 log 2 log 2
2
= − − = − − = − + 
( )34 log 2 2= − 
 
Pág. 37 
50.1. 
{ } { }2: 0 0 : 0 0fD x x x x x x= ∈ > ∧ > = ∈ ≠ ∧ > =R R 
] [0,= +∞ ; 
{ } { }4 4: 4 0 : 0gD x x x x= ∈ > = ∈ > =R R 
{ } { }: 0 \ 0x x= ∈ ≠ =R R 
50.2. ( ) ( ) ( )= + + = + + =2 2 2( ) ln 2ln ln4 ln ln ln4f x x x x x 
( ) ( )= × × =2 2 4ln 4 ln 4x x x 
 
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Funções exponenciais e logarítmicas
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NEMA12PR Unidade 4 
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50.3. ( ) ( )2 2 ln 64f g= = . Não existe ( )1f − e porque 1 fD− ∉ e 
( ) ( )( ) ( )41 ln 4 1 ln 4g − = × − = . 
50.4. As funções f e g não são iguais porque f gD D≠ . 
 
Tarefa 5 
1.1. ( )
2
2 3 1log log log 2
2 2a a a
a a b
b
 
= − = − = 
 
 
1.2. ( ) ( ) ( )
1
43 3 3 4log log log loga a a aa ab a b a b a b
 = = = = 
 
 
( ) ( )( )3 31 1 1 3 9log log log 34 4 4 2 8a a aa b a b
 = = + = + = 
 
 
1.3. log 1 2log
3log 3
2
a
b
a
a
a
b
= = = 
1.4. ( ) ( ) ( )log log log log log loga b a a b bab ab a b a b− = + − + = 
3 2 51 1
2 3 6
= + − − = 
2.1. ( ) ( ) ( )log log log log logk k k k kx kab k a b= = + + = 
( )1 2 3 0= + + − = 
2.2. ( )
1
2 1log log log log
2k k k k
a a ax
b b b
     = = = =           
 
( ) ( )( )1 1 5log log 2 3 2,5
2 2 2k k
a b= − = − − = = 
2.3. ( ) 1log log log log 2 log
2k k k k k
ax a b b
b
 
= = − = − = 
 
 
( )1 3 72 3 2 3,5
2 2 2
= − × − = + = = 
2.4. ( ) ( ) ( )
2
2 3
3log log log log 2 3logk k k k k
kx k b b
b
 
= = − = − = 
 
 
( )2 3 3 2 9 11= − × − = + = 
3.1. , e a b a b+∀ ∈ >R : ( )
2
2 2 2
2log log 1
ba b a
a
  
− = − =     
 
( ) ( )
2 2
2
2 2log log 1 2log log 1
b ba a
a a
   
= + − = + −   
   
 
3.2. ] [ { }1, e \ 1a k +∀ ∈ +∞ ∈R : 
2
1 111 1log 1 log log log1 1k k k k
a
a aa
aa a a
a a
 + +        + − − = = =     −      −      
 
( )( )2
1 1 1log log log
1 1 1 1k k k
a a
a a a a
 + +   = = =     − − + −    
 
4. Recorrendo ao resultado obtido em 3.2., sabe-se que: 
6 6 6 6
1 1 1 1log 1 log 7 log log
7 7 7 1 6
       + − − = = =       −       
 
( )16log 6 1−= = − 
5.1. ( ) 1 2 1 2 33 4
4
x x yf x y e y e− − −= ⇔ − = ⇔ = ⇔ 
31 ln
3 3 41 2 ln 2 1 ln
4 4 2
y
y yx x x
− −  − −     ⇔ − = ⇔ = − ⇔ =   
   
 
Então, ( )1
31 ln
4
2
x
f x−
− −  
 = . 
5.2. ( ) ( ) ( )3 32 log 2 log 2 2g x y x y x y= ⇔ + − = ⇔ − = − ⇔ 
2 22 3 2 3y yx x− −⇔ − = ⇔ = − 
Então, ( )1 22 3xg x− −= − . 
 
Pág. 38 
51.1. 
2
3 3
1 1 1log 1 log 1
2 2 2
f
      = − − + =             
 
3 3 3 3 3
3
1 3 3 3 4log 1 log log log log
34 2 4 2
2
 
        = − − = − = =        
          
 
 
 
( )
3
1
3 3
1log log 2 log 2
2
− = = = − 
  
( )13 3 3 31 1 1log 1 log log 2 log 22 2 2g
−     = − = = = −     
      
51.2. ( ) ( )
2
2
3 3 3
1( ) log 1 log 1 log
1
xf x x x
x
 −
= − − + = = + 
 
( )( ) ( )3 3
1 1
log log 1 ( ),
1 f g
x x
x g x x D D
x
 − + 
= = − = ∀ ∈ ∩  + 
 
f e g são iguais em D porque ( ) ( ),x D f x g x∀ ∈ = . 
52.1. ( ) 32log 2 1 3 2 1 2 1 0x x x− = ⇔ − = ∧ − > ⇔ 
9 91
2 2
x x x⇔ = ∧ > ⇔ = 
52.2. ( )5 5log 2 0 log 2 0 0x x x x x x− = ⇔ − = ∧ > ⇔ 
( )50 log 2 0 0x x x⇔ = ∨ − = ∧ > 
( )50 log 2 0x x x⇔ = ∨ = ∧ > 
( )0 25 0 25x x x x⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ = 
52.3. ( ) ( )22ln ln 2 0 ln ln 2 0 2 0x x x x x x− + = ⇔ = + ∧ > ∧ + > 
⇔ = + ∧ > ∧ > − ⇔ − − = ∧ >2 22 0 2 2 0 0x x x x x x x 
( )1 1 8 0 2 1 0 2
2
x x x x x x± +⇔ = ∧ > ⇔ = ∨ = − ∧ > ⇔ =
 
 
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52.4. ( ) ( ) ( )3 3 3log log 1 log 8x x x+ − = + 
( ) ( )23 3log log 8 0 1 0 8 0x x x x x x⇔ − = + ∧ > ∧ − > ∧ + > 
2 8 0 1 8x x x x x x⇔ − = + ∧ > ∧ > ∧ > −
 
2 2 4 322 8 0 1 1
2
x x x x x± +⇔ − − = ∧ > ⇔ = ∧ > 
( )4 2 1 4x x x x⇔ = ∨ = − ∧ > ⇔ = 
52.5. 2 2ln 2 3ln ln 3ln 2 0x x x x+ = ⇔ − + = 
( )3 9 8ln 0 ln 2 ln 1 0
2
x x x x x± −⇔ = ∧ > ⇔ = ∨ = ∧ > 
( )2 20x e x e x x e x e⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ = ∨ = 
52.6.( ) ( )3 3log 1 3 log 5x x+ = − − 
( ) ( )3 3log 1 log 5 3 1 0 5 0x x x x⇔ + + − = ∧ + > ∧ − > 
( )( )3log 1 5 3 1 5x x x x⇔  + −  = ∧ > − ∧ >  
2 25 5 27 5 4 32 0 5x x x x x x x⇔ − + − = ∧ > ⇔ − − = ∧ > 
( )± +⇔ = ∧ > ⇔ = ∨ = − ∧ > ⇔ =4 16 128 5 8 4 5 8
2
x x x x x x
 
52.7. ( ) ( )25 5log 3 log 9 0x x− − − = 
( ) ( )2 25 5log 3 log 9 3 0 9 0x x x x⇔ − = − ∧ − > ∧ − > 
( )( )23 9 3 3 3 0x x x x x⇔ − = − ∧ < ∧ − + > 
] [2 1 1 4812 0 3 , 3
2
x x x x x− ± +⇔ + − = ∧ < − ⇔ = ∧ ∈ −∞ − 
( ) ] [3 4 , 3 4x x x x⇔ = ∨ = − ∧ ∈ −∞ − ⇔ = − 
52.8. ( )
( ) ( ) ( )
−
= ⇔ − = − ∧
−
log 10
2 log 10 2log 4
log 4
a
a a
a
x
x x
x
 
( )∧ − ≠ ∧ − > ∧ − >log 4 0 10 0 4 0a x x x 
( ) ( )⇔ − = − ∧ − ≠ ∧ < ∧ <2log 10 log 4 4 1 10 4a ax x x x x 
⇔ − = − + ∧ ≠ ∧ <210 16 8 3 4x x x x x 
⇔ − + = ∧ ≠ ∧ <23 7 6 0 3 4x x x x 
± −
⇔ = ∧ ≠ ∧ <
7 49 24 3 4
2
x x x
 
( )⇔ = ∨ = ∧ ≠ ∧ < ⇔ =6 1 3 4 1x x x x x 
52.9. ( ) ( )log 3 5 log 2 log 2a a ax x− + − = 
( )( )log 3 5 2 log 2 3 5 0 2 0a ax x x x⇔  − −  = ∧ − > ∧ − >  
2 53 6 5 10 2 2
3
x x x x x⇔ − − + = ∧ > ∧ >
 
2 11 121 963 11 8 0 2 2
6
x x x x x± −⇔ − + = ∧ > ⇔ = ∧ > 
8 81 2
3 3
x x x x ⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ = 
 
 
 
53. O ponto (1,4)P pertence ao gráfico de f se: 
( )1 4f = ⇔ 
( ) ( )2 21 log 1 2 4 log 2 3a a⇔ + × + = ⇔ + = ⇔ 
2 8 2 0 6 2 6a a a a a⇔ + = ∧ + > ⇔ = ∧ > − ⇔ = 
 
Pág. 39 
54.1. ( ) 32log 2 1 3 2 1 2 2 1 0x x x−− < − ⇔ − < ∧ − > 
1 1 9 1 1 92 1 ,
8 2 16 2 2 16
x x x x x  ⇔ < + ∧ > ⇔ < ∧ > ⇔ ∈  
 
54.2. ( )
2
1
2
1log 3 2 3 3 0
2
x x x + < ⇔ + > ∧ + > 
 
 
11 11 113 ,
4 4 4
x x x x  ⇔ > − ∧ > − ⇔ > − ⇔ ∈ − +∞  
 
54.3. ( ) ( )ln 2 ln 2 0x x+ − > 
( ) ( )ln 2 ln 2 2 0 2 0x x x x⇔ + > ∧ + > ∧ > 
] [2 2 2 0 2 0 0 , 2x x x x x x x⇔ + > ∧ > − ∧ > ⇔ < ∧ > ⇔ ∈ 
54.4. ( )3 3log 2 log 1x x+ + > 
( )23log 2 1 2 0 0x x x x⇔ + > ∧ + > ∧ > 
2 22 3 2 0 2 3 0 0x x x x x x x⇔ + > ∧ > − ∧ > ⇔ + − > ∧ > 
( ) ] [3 1 0 1 1,x x x x x⇔ <− ∨ > ∧ > ⇔ > ⇔ ∈ +∞ 
Cálculo auxiliar: 
2 2 4 122 3 0
2
x x x − ± ++ − = ⇔ = ⇔
1 3x x⇔ = ∨ = − 
54.5. ( )2 2log 3 1 2log 2x x+ > + 
( ) ( )22 2 2log 3 1 log log 4 3 1 0 0x x x x⇔ + > + ∧ + > ∧ > 
( ) ( )22 2 1log 3 1 log 4 03x x x x⇔ + > ∧ > − ∧ > 
2 23 1 4 0 4 3 1 0 0x x x x x x⇔ + > ∧ > ⇔ − − < ∧ > 
] [1 1 0 0 1 0 , 1
4
x x x x x x ⇔ > − ∧ < ∧ > ⇔ > ∧ < ⇔ ∈ 
 
 
Cálculo auxiliar: 
2 3 9 164 3 1 0
8
x x x ± +− − = ⇔ = ⇔
11
4
x x⇔ = ∨ = − 
54.6. ( ) ( )2log 3 log 3x x x− ≥ − 
2 23 3 3 0 3 0x x x x x x⇔ − ≥ − ∧ − > ∧ − > 
( )2 4 3 0 3 0 3 0x x x x x⇔− + − ≥ ∧ − > ∧ − > 
2 4 3 0 0 3x x x x⇔ − + ≤ ∧ > ∧ < 
( )1 3 0 3 1 3x x x x x x⇔ ≥ ∧ ≤ ∧ > ∧ < ⇔ ≥ ∧ < 
[ [1,3x⇔ ∈ 
Cálculo auxiliar: 
2 4 16 124 3 0
2
x x x ± −− + = ⇔ = ⇔
3 1x x⇔ = ∨ = 
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Funções exponenciais e logarítmicas
25
 
NEMA12PR Unidade 4 
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54.7. ( ) ( )( )ln 1 0 ln 1 0 1 ln 0
1 ln
x
x x
x
+
> ⇔ + > ∧ + > ∨+
 
( )( )ln 1 0 1 ln 0 1 0 0x x x x∨ + < ∧ + < ∧ + > ∧ > ⇔ 
( ) ( )1 1 ln 1 1 1 ln 1x x x x⇔  + > ∧ > − ∨ + < ∧ < −  ∧  
1 0x x∧ > − ∧ > ⇔ 
( ) ( )1 10 0 0x x e x x e x− − ⇔ > ∧ > ∨ < ∧ < ∧ >  
1 1 10 0 ,x x x x x
e e e
   ⇔ > ∨ < ∧ > ⇔ > ⇔ ∈ +∞       
54.8. 2
3 3 3log 1 2 0 0x x x x
x x x
+ + +  > ⇔ > ∧ > ∧ ≠ 
 
 
3 32 0 0 0x x x
x x
+ +
⇔ − > ∧ > ∧ ≠ 
3 30 0 0x x x
x x
− + +
⇔ > ∧ > ∧ ≠ 
( ) ( )0 3 3 0 0x x x x x⇔ > ∧ < ∧ < − ∨ > ∧ ≠ 
] [0 3 0, 3x x x⇔ > ∧ < ⇔ ∈ 
 
Cálculos auxiliares: 
 
x −∞ 0 3 +∞ 
3x− + + + + 0 − 
x − 0 + + + 
3x
x
− + − n.d. + 0 − 
 
 
x −∞ 3− 0 +∞ 
3x + − 0 + + + 
x − − − 0 + 
3x
x
+ + 0 − n.d. + 
55.1. ( ){ }4: 2 1 0 1 log 2 1 0fD x x x= ∈ + > ∧ − + ≥R 
( ) ( )4 4
12 1 0 1 log 2 1 0 log 2 1 1
2
x x x x+ > ∧ − + ≥ ⇔ > − ∧ + ≤ 
1 1 32 1 4
2 2 2
x x x x⇔ >− ∧ + ≤ ⇔ > − ∧ ≤ 
1 3 1 3: ,
2 2 2 2f
D x x x   = ∈ > − ∧ ≤ = −      
R 
55.2. { } { }: 0 ln 0 : 0 1fD x x x x x x= ∈ > ∧ > = ∈ > ∧ > =R R 
{ } ] [: 1 1,x x= ∈ > = +∞R 
55.3. ( ){ }2 22: 3 0 1 log 3 0fD x x x x x= ∈ − > ∧ − − ≥ =R 
( ){ }2 22: 3 0 log 3 1x x x x x= ∈ − > ∧ − ≤ =R 
{ }2 2: 3 0 3 2x x x x x= ∈ − > ∧ − ≤ =R 
{ }2 2: 3 0 3 2 0x x x x x= ∈ − > ∧ − − ≤R 
Cálculo auxiliar: 
( )2 3 0 3 0x x x x− = ⇔ − = ⇔
0 3 0 0 3x x x x⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ = 
2 3 0 0 3x x x x− > ⇔ < ∨ > 
 
2 3 9 83 2 0
2
x x x ± +− − = ⇔ = ⇔ 
3 17 3 17
2 2
x x+ −⇔ = ∨ = 
2 3 17 3 173 2 0
2 2
x x x x− +− − ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ 
2 23 0 3 2 0x x x x− > ∧ − − ≤ ⇔ 
( ) 3 17 3 170 3
2 2
x x x x
 − +
⇔ < ∨ > ∧ ≥ ∧ ≤ ⇔  
 
 
3 17 3 170 3
2 2
x x x x
   − +
⇔ ≥ ∧ < ∨ > ∧ ≤      
   
 
Então, 3 17 3 17,0 3,
2 2f
D
   − +
= ∪   
      
. 
55.4. { } { }: 0 1 ln 0 : 0 ln 1fD x x x x x x= ∈ > ∧ − > = ∈ > ∧ < =R R 
{ } ] [: 0 0 ,x x x e e= ∈ > ∧ < =R 
 
Pág. 40 
56.1. ( ) ( )2 21 log 2 0 log 2 1 2 0x x x+ − = ⇔ − = − ∧ − > ⇔ 
1 52 2 2
2 2
x x x x⇔ − = ∧ > ⇔ = ∧ > 
( ) ( )3 32 log 1 0 log 1 2 1 0x x x− + = ⇔ + = ∧ + > ⇔ 
1 9 1 8 1x x x x⇔ + = ∧ > − ⇔ = ∧ > − 
 
x 1− 2 5
2
 3 +∞ 
( )21 log 2x+ − − 0 + + + 
( )32 log 1x− + + + + + + 0 − 
( )
( )
2
3
1 log 2
2 log 1
x
x
+ −
− +
 − 0 + n.d. − 
 
Então,
( )
( )
2
3
1 log 2
0
2 log 1
x
x
x
+ −
< ⇔ ∈
− +
] [52, 8 ,
2
 ∪ +∞  
. 
56.2. ( )22 2 2
5 25 24log 5log 6 0 log 0
2
x x x x± −− + = ⇔ = ∧ > 
( ) ( )2 2log 3 log 2 0 8 4 0x x x x x x⇔ = ∨ = ∧ > ⇔ = ∨ = ∧ > 
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 log 0 log 1 0
log 1 log 1 0
12 0
2
x x x
x x x
x x x
− = ⇔ = ∧ >
⇔ = ∨ = − ∧ >
 ⇔ = ∨ = ∧ > 
 
 
 
x 0 1
2
 2 4 8 +∞ 
( )22 2log 5log 6x x− + + + + + + 0 − 0 + 
( )221 log x− − 0 + 0 − − − − − 
( )
( )
2
2 2
2
2
log 5log 6
1 log
x x
x
− +
−
 − n.d. + n.d. − 0 + 0 − 
 
Então, 
( )
( )
[ ]
2
2 2
2
2
log 5log 6 10 , 2 4,8
21 log
x x
x
x
− +  ≥ ⇔ ∈ ∪  −
. 
 
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Unidade 4
 
NEMA12PR Unidade 4 
26 
 
56.3. ( )2 2 22log 1 2 0x x x x x xe e e e e e− > ⇔ − > ∧ − > 
( )( )2 22 0 1 2 0 2x x x x x xe e e e e e x x⇔ − − > ∧ > ⇔ + − > ∧ > 
2 0 0 ln2 0 ln2xe x x x x⇔ − > ∧ > ⇔ > ∧ > ⇔ > 
] [ln2,x⇔ ∈ +∞ 
Cálculo auxiliar: 
( )22 1 1 82 0 2 0 2
2 1
x x x x x
x x
e e e e e
e e
± +
− − = ⇔ − − = ⇔ =
⇔ = ∨ = −
 
57.1. ( ) ( )2 20 ln 9ln 0 ln 9 0f x x x x x x< ⇔ − < ⇔ − < 
ln 0 1 0x x x= ⇔ = ∧ > 
2 29 0 9 3 3x x x x− = ⇔ = ⇔ = ∨ = − 
 
x −∞ 3− 0 1 3 +∞ 
ln x − 0 + + + 
2 9x − + 0 − − − − − 0 + 
( )f x + 0 − 0 + 
 
( ) ] [0 1,3f x x< ⇔ ∈ 
57.2. Como os pontos A e B pertencem ao gráfico de f e as 
ordenadas são o dobro das respetivas abcissas, sabe-se que A e B 
são os pontos de interseção do gráfico de f com a reta de 
equação 2y x= . 
 
 
 
 
As coordenadas dos pontos A e B são, respetivamente, 
( 0,8210; 1,6420 ) e ( 3,8348; 7,6697 ) . 
Sendo M o ponto médio de [AB], então 
0,8210 3,8348 1,6420 7,6697;
2 2
M + +  
 
, ou seja, 
( )2,3279; 4,65585M . 
Assim sendo, a abcissa do ponto M é, aproximadamente, igual a 
2,3. 
 
 
 
 
Pág. 41 
58.1. 
( ) ( )3 1 3 12 3ln2 2 1x xf x x− −′′ = + = × + 
58.2. 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 34 4 4x x xf x x x x′ ′ ′′ = × = × + × = 
( )2 3 2 33 4 ln4 4 4 3 ln4x x xx x x x= × + × × = + × 
58.3. 
( )
( ) ( )2 1 2 12 1
2
5 55
x xx x x
f x
x x
− −− ′ ′′ × − × 
′ = = = 
 
 
( )2 12 1 2 1
2 2
5 2 ln5 12ln5 5 1 5 xx x xx
x x
−− − −× × − ×
= = 
58.4. 
( ) ( ) ( )2 ln2 2 12
2 2 2 2
x x
x
x x
x
f x x
x x
′−′ × −
′ = − = =
− −
 
59.1. 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 3x x xf x x x x′ ′ ′′ = × = × + × = 
( )2 22 3 ln3 3 3 2 ln3x x xx x x x= × + × × = + × 
( ) ( ) 2 2
impossível
0 3 2 ln3 0 3 0 2 ln3 0x xf x x x x x′ = ⇔ + × = ⇔ = ∨ + × = ⇔ 
( ) 22 ln3 0 0
ln3
x x x x⇔ + × = ⇔ = ∨ = − 
x −∞ 2
ln3
− 0 +∞ 
3x + + + + + 
3 22 ln3x x+ × + 0 − 0 + 
f ′ + 0 − 0 + 
f 
 
2
ln3
f  − 
 
 
 
( )0f 
 
Como a ordenadado ponto A é um máximo relativo da função f, 
conclui-se que 2
ln3A
x = − . 
59.2. Como a reta t é tangente ao gráfico de f no ponto de 
abcissa 1 sabe-se que ( )1tm f ′= . 
( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 2 23 2 ln3 1 3 2 ln3 3 ln ln3 3ln 3tm e e= + × = + = + = 
( ) ( )32 6ln 3 ln 27e e= = 
 
 
 
 
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12PR2 ©
 Porto Editora
Funções exponenciais e logarítmicas
27
 
NEMA12PR Unidade 4 
27 
 
 
Pág. 42 
60.1. 
( ) ( ) ( )
0 0
1 1ln ln2 2 2 22 lim lim
h h
f h f hf
h h→ →
   −   + − +   ′ = = = 
( ) ( )
0 0 0
2lnln 2 ln 2 12lim lim lim ln 1
2h h h
h
h h
h h h→ → →
+ 
 − + +    = = − = − + =  
  
 
2
20
1 1 1 1 1 1lim ln 1 ln lim 1 ln
22 2 2 2
h
y
h yy
h
e
y
h
→ →+∞=
 
            = − + = − + = − = −               
  
 
 
60.2. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
→ →
+ − + + + − +
′ = = =
0 0
1 1 1 ln 1 1 ln 1
1 lim lim
h h
f h f h h
f
h h
 
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
ln 1 ln 1 ln 1
lim lim lim lim lim
h h h h h
h h h hh h
h h h h h→ → → → →
+ + + +
= = + = + = 
10
1 1 11 lim ln 1 1 ln lim 1 1 ln 1 1 2
1
y
h yy
h
e
h y
h
→ →+∞=
  
     
= + + = + + = + = + =     
          
 
61.1. 
( )
1
12 2ln
2
2 2
x
xf x
x x x
′ 
 ′    ′ = = = =  
  
 
61.2. 
( )
2
3 3
13ln
3 3
x xf x
x x
x x
′ 
− ′    ′ = = = = −  
  
 
61.3. 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2ln ln lnf x x x x x x x x x x′ ′′′ = − = × − + − × 
( ) ( )2 22
2 1 2 11 ln ln
1
x xx x x x x
xx x
− −
= × − + × = − +
−−
 
61.4. 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2ln ln lnf x x x x x x x′ ′′′ = = × + × = 
2 211 ln 2ln ln 2lnx x x x x
x
= × + × × = + 
61.5. 
( ) ( )( ) ( )
1
12ln
2
x xf x x
xx x
′
′′ = = = = 
 
61.6. 
 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )3
2 1 2
log 2 1
ln3 2 1 ln3 2 1
x
f x x
x x
′−′′ = − = =
− −
 
61.7. 
( ) 2
1log 2f x x x
x
′  ′ = − =  
  
 
( ) 2 2 2
1
1 1 1log log 21 log 2
1ln2
xx x x
x x x
x
′ 
 ′        ′= × + × − × + × −      
       ×
 
2
2 2
1
1 1 1log 2 log 2
1 ln 2ln2
x x
x x
x
−
   = + × − = − −   
   ×
 
62.1. 
  = ∈ ≠ ∧ > ∧ >  
  
R
1 1: 0 0 ln 0fD x x x x
 
1 1 10 0 ln 0 0 0 1x x x
x x x
 ≠ ∧ > ∧ > ⇔ ≠ ∧ > ∧ > ⇔ 
 
 
10 0 0 1 0 0 1xx x x x x
x
−
⇔ > ∧ > ⇔ > ∧ − > ⇔ > ∧ < 
Então, ] [= 0 , 1fD . 
62.2. ( ) ( )
2
1
1 1
1 1 1ln
1ln ln
1 lnlnln
x x
x x xf x
x xx
x
−
′ 
− 
 ′  
  ′       ′ = = = = =    −      
 
 
1
lnx x
= 
62.3. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
1 10
1 1lim
1ln 1
h
f e h f e
f e
h e e
e
− −
−
− −→
+ −
′= = = =
× −
 
e= − 
 
Pág. 43 
63.1. 
2 2
3 3 3 3
1lim lim lim 0
x x x
x x x
e x e x e
xx x x x→+∞ →+∞ →+∞
   −
= − = − = +∞− =   
   
 
= +∞ 
63.2. 
lim
lim lim
ln lnln 0lim
x x
x
x
x x
x
e e
e x x
x xx
x x
∞
∞ →+∞
+→+∞ →+∞
→+∞
+∞
= = = = +∞ 
 
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63.3. 
2 2 2 2
2
1lim lim lim
x x
x
x x x xx x x
e x e x e
e e e e
x
→+∞ →+∞ →+∞
 
  +  = + = + = 
    
 
 
( )
2
1 1lim 0
lim
x
xx
x
e
e
x
→+∞
→+∞
= + = +∞ + = +∞+ = +∞
+∞ 
 
 
 
63.4. 
( )3 3
20 3 0 0
1 ln ln1lim 3 lim lim 3 1
3 0
x x
x x x
e x xe
x xx+ + + +→ → →
− − −∞
= × = × × = −∞ 
63.5. 
( )3 3
2 2 2
1 ln 1lim lim ln
x x
x x
e x e x
x x x
∞
∞
→+∞ →+∞
−   
= − =  
  
 
( ) ( )
3
2 2
3
1lim ln 0
x
x
e x
x
x
→+∞
      = − = +∞− × +∞ = +∞        
 
64.1. 
 { } { }: 1 0 0 : 1 0fD x x x x x x= ∈ + > ∧ > = ∈ > − ∧ > =R R 
{ } ] [: 0 0 ,x x= ∈ > = +∞R 
Assíntotas verticais: 
( ) ( )( ) ( )
0 0
lim lim ln 1 ln 0 0
x x
f x x x x
+ +→ →
= + + − = + − −∞ = +∞ 
0x = é assíntota vertical ao gráfico de f. 
Como f é contínua em todo o seu domínio, não existem outras 
assíntotas verticais. 
Assíntota não vertical: y mx b= + 
( ) ( )
1lnln 1 ln
lim lim lim 1
x x x
x
f x x x x xm
x x x→+∞ →+∞ →+∞
 + 
  + + −   = = = + =
 
 
 
 
1ln 1
01 lim 1 1 0 1
x
x
x→+∞
 + 
 = + = + = + =
+∞
 
( )( ) ( )( )lim lim ln 1 ln
x x
b f x x x x x x
→+∞ →+∞
= − = + + − − = 
( )( ) 1 1lim ln 1 ln lim ln ln lim 1
x x x
xx x
x x→+∞ →+∞ →+∞
   +   = + − = = + =      
      
 
( )ln 1 0 0= + = 
A reta y x= é assíntota oblíqua ao gráfico de f. 
64.2. ( ) ( )( ) ( )1 1ln 1 ln 1
1
x
f x x x x
x x
′+′′ = + + − = + − =
+
 
( )
( ) ( )
21 11 1 11
1 1 1
x x x x x x
x x x x x x
+ + − − + −
= + − = =
+ + + 
( ) ( )
2
210 0 1 0
1
x xf x x x x D
x x
+ −′ = ⇔ = ⇔ + − = ∧ ∈ ⇔
+
 
1 5 1 5
2 2
x x D x− ± − +⇔ = ∧ ∈ ⇔ = 
 
x 0 1 5
2
− + +∞ 
2 1x x+ − − 0 + 
( )1x x + + + + 
f ′ − 0 + 
f 
 
1 5
2
f
 − +
  
 
 
 
 
A função atinge o mínimo absoluto no ponto de abcissa 
1 5
2
− + . 
64.3. 
( )
2
2
1x xf x
x x
′ + −′′ = = + 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
22
1 1x x x x x x x x
x x
′ ′+ − × + − + × + −
= =
+
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
22
2 1 2 1 1x x x x x x
x x
+ × + − + × + −
= =
+
 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 1 1 2 1x x x x x x
x x x x
+ × + − − + +
= =
+ +
 
65.1. 
{ } = ∈ > ∧ ≠ = ∈ > ∧ ≠ = 
 
R R
1: 0 0 : 0 0fD x x x x xx
 
{ } ] [: 0 0 ,x x= ∈ > = +∞R 
Assíntotas verticais 
( ) ( )
0 0
1lim lim ln 0 ln
x x
f x x
x+ +→ →
  = + = + +∞ = +∞  
  
 
0x = é assíntota vertical ao gráfico de f. 
Como f é contínua em todo o seu domínio, não existem outras 
assíntotas verticais. 
Assíntota não vertical: y mx b= + 
( ) ( )1
1ln ln
lim lim lim 1
x x x
x xf x xm
x x x
−
→+∞ →+∞ →+∞
 +       = = = + =
 
 
 
ln
lim 1 1 0 1
x
x
x→+∞
 = − = − = 
 
 
( )( ) 1 1lim lim ln lim ln
x x x
b f x x x x
x x→+∞ →+∞ →+∞
      = − = + − = =      
      
 
( )ln 0+= = −∞ 
Como b∉R , conclui-se que não existe assíntota oblíqua ao 
gráfico de f. 
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EM
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 Porto Editora
Funções exponenciais e logarítmicas
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NEMA12PR Unidade 4 
29 
 
65.2. ( )
2
1 1
1 1 1ln 1 1 1
1 1
xx xf x x
x x x
x x
′ 
− ′  −   ′ = + = + = + = − =  
  
 
( ) 10 0 1 0 1xf x x x D x x D
x
−′ = ⇔ = ⇔ − = ∧ ∈ ⇔ = ∧ ∈ 
 
x 0 1 +∞ 
1x − − 0 + 
x + + + 
f ′ − 0 + 
f 
 
( )1 1f = 
 
f é estritamente decrescente em ] ]0 , 1 . f é estritamente 
crescente em [ [1, +∞ . Mínimo absoluto: 1. 
65.3. ( ) 2 2
1 1 11 0f x
x x x
′ ′′ = − = + = 
 
 
O gráfico de f não tem pontos de inflexão porque ,fx D∀ ∈ 
( ) 0f x′′ > . 
65.4. 
 
 
Pág. 44 
66.1. ( )
3 1
ln 3 1 ln ln3lim lim lim
12 2 12
3
x x y y y
x y y
yx y
∞
∞
→+∞ + = →+∞ →+∞
+
= = =
− − 
 
 
 
ln ln3 3 1 3 1lim lim 0 0
12 2 2 11 11
y y
y y
y
y yy
→+∞ →+∞
 
 
 = = × × = × × =
   −−      
 
66.2. ( ) ( )
0
1
10
1 1 1lim ln lim ln lim ln
y yx y
x
x x y
y y y+
×∞
−
→+∞ →+∞→ =
    
= = =    
    
 
ln ln
lim lim 0 0
y y
y y
y y→+∞ →+∞
   
= − = − = − =   
   
 
66.3. ( ) ( )( )2 lnlim ln lim 0
x y
x
x x x x
x
∞−∞
→+∞ →+∞
  − = − = +∞× − +∞ =  
  
 
( )= +∞× −∞ = −∞ 
67.1. ( )
( ) ( )0
0 0
2 2 20 0
2 0
ln 1 ln 1
limln 1 1 1lim lim
1 2 21 1 12 lim 2
2 2
x
x x xx x
x
x x
x x x
e e e
x x
→
→ →
→
+ +
+
= = = =
×− − −× ×
 
67.2. 
( ) ( )
0
2 0
1 1 1 0
0
1 1 1 1lim lim lim
ln 12 ln 2ln 2 ln 1 2
lim
x x y x y
y
x x x y
yx x x y
y
→ → = − →
→
− −
= = = × =
++
 
1 1 1
2 1 2
= × = 
67.3. 
( )
( )
( ) ( )
0
2 0
0 0 0 0
1
1
lim lim lim lim
ln 1ln 1 ln 1
x
x xx x
x
x x x x
e
e ee e xe
xx x
x
→ → → →
−
−−
= = × =
++ +
 
( )
0
0
1lim 11 1
ln 1 1
lim
x
x
x
e
x
x
x
→
→
−
= × = =
+
 
67.4. ( )
( ) ( )0
0 2 0
0 0
0
ln 2 1 ln 2 1
2 lim 2ln 2 1 2 2lim lim
1 1 1lim
x
x x xx x
x
x x
x x x
e e e
x x
→
→ →
→
+ +
× ×+
== =
− − −
 
1 2 2
1
×
= = 
68.1. ( ) ( )1
0 0
lim lim x
x x
f x e x e
+ +
−
→ →
= + = 
( ) ( )( )2
0 0
lim lim ln
x x
f x x
− −→ →
= = −∞ 
Não existe ( )
0
lim
x
f x
→
 porque ( ) ( )
0 0
lim lim
x x
f x f x
− +→ →
≠ . 
f é descontínua em 0 porque não existe ( )
0
lim
x
f x
→
. 
0x = é assíntota vertical ao gráfico de f porque ( )
0
lim
x
f x
−→
= −∞ . 
68.2. ( )( ) ( ) ( )1 1lim lim lim 0x x
x x x
f x x e x x e e− − −∞
→+∞ →+∞ →+∞
− = + − = = = . 
Como ( )( )lim 0
x
f x x
→+∞
− = , conclui-se que y x= é assíntota ao 
gráfico de f em +∞ . 
68.3. Se 0x < , então ( ) ( )( ) ( )
2
2
2 2
22ln
x xf x x
xx x
′
′′ = = = = . 
Se 0x > , então ( ) ( )1 1 1x xf x e x e− −′′ = + = − + . 
f não é diferenciável em 0 porque é descontínua em 0 . 
( ) ( )120 0 0 1 0 0xf x x e x
x
− ′ = ⇔ = ∧ < ∨ − + = ∧ > ⇔ 
 
 
( )1 0 0 1x x x x⇔ ∈∅ ∨ − = ∧ > ⇔ = 
 
x −∞ 0 1 +∞ 
f ′ − n.d. − 0 + 
f 
 
e 
 2 
 
f é estritamente decrescente em ] [, 0−∞ e em [ ]0 , 1 . 
f é estritamente crescente em [ [1, +∞ . 
Mínimo relativo: 2. 
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©
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or
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to
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Unidade 4
 
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69.1. { } { } ] [= ∈ > ∧ ≠ = ∈ > = +∞R R: 0 0 : 0 0 ,fD x x x x x 
Assíntotas verticais 
( ) ( )
0 0
02 ln
lim lim
0 0x x
x x
f x
x+ + + +→ →
− −∞− +∞
= = = = +∞ 
0x = é assíntota vertical ao gráfico de f. Como f é contínua em 
todo o seu domínio, não existem outras assíntotas verticais. 
Assíntota não vertical: y mx b= + 
( )
2
2 ln ln2 1lim lim lim 0 0 0 0
x x x
f x x x x
m
x x x xx→+∞ →+∞ →+∞
−  = = = + × = + × = 
 
 
( )( ) 2 ln lnlim 0 lim lim 2 2 0 2
x x x
x x x
b f x x
x x→+∞ →+∞ →+∞
−  = − = = − = − = 
 
 
A reta 2y = é assíntota horizontal ao gráfico de f. 
69.2. 
( ) ( ) ( ) ( )2
2 ln 2 ln2 ln x x x x x xx x
f x
x x
′ ′′ − × − × −− ′ = = = 
 
 
( )
2 2 2
12 1 2 ln
2 1 2 ln ln 1
x x x
x x x xx
x x x
 − × − × −  − − + − = = = 
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 22
ln 1 ln 1ln 1 x x x xx
f x
x x
′′′ − × − × −− ′′ = = = 
 
 
( ) ( ) ( )
2
4 4 3
1 2 ln 1 2 ln 1 1 2 ln 1x x x x x x xx
x x x
 × − × −  − × − − × − = = = = 
3
3 2lnx
x
−
= 
 
Pág. 45 
70.1. Um exemplar vivo do organismo encontrado possui 350 mg 
da substância, logo 0 350Q = . 
( ) 0,000121 0,000121 5353 350 53
350
t tQ t e e− −= ⇔ × = ⇔ = ⇔ 
53ln
53 3500,000121 ln 15600
350 0,000121
t t t
 
    ⇔ − = ⇔ = ⇔ ≈  − 
 
Pode-se então concluir que, desde a morte do organismo 
encontrado, decorreram, aproximadamente, 15 600 anos. 
70.2. ( ) 0,000121 200000 0 2,42
1220000 12 12Q Q e Q
e
− ×
−
= ⇔ × = ⇔ = ⇔ 
0 135Q⇔ ≈ 
Assim, a quantidade dessa substância que o organismo teria 
antes de morrer era, aproximadamente, 135 mg. 
 
Pág. 46 
71.1. Sabe-se que no início do ano 2010 havia 2500 plantas, ou 
seja, ( )0 2,5P = , e que, no início do ano 2015, o número de 
plantas tinha triplicado, ou seja, ( )5 3 2,5P = × . 
( )
( )
0
5 55
0 2,5 2,5 2,52,5
2,5 7,5 35 7,5 7,5
k
k kk
P C CC e
e eP C e
×
×
 = = = =     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   
= == =    
 
2,52,5 2,5
ln 35 ln 3 0,22
5
CC C
k kk
== = ⇔ ⇔ ⇔  = ≈= 
 
71.2. Sendo 2,5 e 0,22C k= ≈ , então ( ) 0,222,5 tP t e= . 
[ ]
( ) ( ) 0,22 6 0,22 2
2,6
6 2 2,5 2,5
t.m.v.
6 2 4
P P e e× ×− −
= = =
−
 
1,32 0 ,442,5 2,5
1,37
4
e e−
= ≈ 
A taxa média de crescimento entre o início de 2012 e o início de 
2016 foi de, aproximadamente, 1,37 milhares de plantas por ano. 
71.3. ( ) ( )0,22 0 ,22 0 ,222,5 2,5 0,22 0,55t t tP t e e e′′ = = × = 
( ) 0,22 8 1,768 0,55 0,55 3,2P e e×′ = = ≈ 
A taxa de crescimento no início de 2018 é de, aproximadamente,
3,2 milhares de plantas por ano. 
71.4. ( ) ( )0,22 0 ,22 0 ,220,55 0,55 0,22 0,121t t tP t e e e′′′ = = × = 
Sabe-se que ( )0, 0t P t′′∀ ≥ > . Portanto, a taxa de crescimento 
do número de plantas é estritamente crescente. 
 
Pág. 47 
72.1. ( ) ( )ln2 ln213 2 3 2 2 6 2 6 6t tt t tM t e e ×+= × = × × = × = = 
6 e ln 2c k= = . 
72.2. ( )
( ) ( )2 ln92 1 2 1 ln9
133 3 3 9 13
2 2 2 6 6 6
t t
t t t
t
e
M t e
− −
×
××
= = = = = = 
1 e ln 9
6
c k= = . 
72.3. ( ) ( )2 1 2 2 15 3 5 3 3 15 3 15 9
t
tt tM t − + − −  = × = × × = × = × = 
 
 
1ln ln9915 15
t
te e− ×
 
= = 
 
; 15 e ln 9c k= = − . 
73.1. Sabe-se que ( ) ( )0,75C t C t′ = . 
Então, a função C é do tipo ( ) 0,75tC t c e= . 
( ) ( ) 0,75 0 ,75 0 0,7510 0 10 10t tC t C c e c e c e c×= ⇔ = × ⇔ = ⇔ 
0 ,75 ln1010 0,75 ln10 3
0,75
te t t t⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ≈ 
Para o número de bactérias passar a 10 vezes mais do que era no 
início são necessárias 3 horas. 
73.2. ( ) 0,75 00 1200 1200 1200C c e c×= ⇔ = ⇔ = 
Então, ( ) 0,75 5 3,755 1200 1200 51025C e e×= = ≈ . 
Se o número inicial de bactérias for 12 000, passadas 5 horas 
existirão 51 025 bactérias. 
 
Pág. 48 
74.1. ( ) 0,08 6 0 ,486 4 4 2,5Q e e− × −= × = × ≈ 
Passadas 6 horas, a quantidade de medicamento existente no 
sangue era de, aproximadamente, 2,5 ml. 
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74.2. ( ) 0,08 0 ,08 1,51,5 4 1,5
4
t tQ t e e− −≥ ⇔ × ≥ ⇔ ≥ ⇔ 
ln0,375
0,08 ln0,375
0,08
t t⇔− ≥ ⇔ ≤
−
 
Ora, 
ln0,375
12
0,08
≈
−
. O maior intervalo de tempo que deve 
decorrer até voltar a tomar o medicamento é de 12 horas. 
74.3. ( ) ( ) ( ) ( )0,08 0 ,084 4t tQ t kQ t e k e− −′′ = − ⇔ × = − × × ⇔ 
0 ,08 0,080,32 4 0,32 4 0,08t te k e k k− −⇔ − × = − × ⇔ − = − ⇔ = 
 
Tarefa 6 
1.1. ( ) 2 22 2 1,05 1,6C − ×= × ≈ 
Passadas duas horas após ter sido administrado, a concentração 
do fármaco era, aproximadamente, igual a 1,6 mg/l. 
 
 
1.2. ( )
( )
2
2 2
1
lim ( ) lim 1,05 lim lim
1,05 1,05
t
t tt t t t
t
C t t
t
−
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= × = = = 
1 0= =
+∞
 
Com o passar do tempo a concentração de fármaco no sangue 
tende a desaparecer. 
1.3. 
 
 
 
Conclui-se que 3,53 e 22,53a b≈ ≈ . 
1.4. Pode-se determinar a que horas é que a concentração de 
“Saratex” foi máxima recorrendo à calculadora gráfica. Para tal 
procede-se da seguinte forma: 
 
A concentração de “Saratex” no sangue foi máxima 
aproximadamente após 10,248 horas a sua administração ao 
doente, ou seja, aproximadamente, às 18 horas e 15 minutos (10 
horas e quinze minutos após a sua administração). 
Entre a administração dos dois fármacos decorreram 7 horas 
− =15 h 8 h( 7 h) mas, segundo o conselho médico, o segundo 
fármaco deveria ter sido tomado às 18 horas e 15 minutos, 
quando se registou a concentração máxima de “Saratex” no 
sangue, o que não ocorreu. O doente não cumpriu as 
recomendações dadas pelo médico. 
2.1. 
( )
( )
0 0
00
444
0
0 80 808080
180 80 40404
22
Q QQQ a
aaQ aQ −−−
 = == ⋅ =    ⇔ ⇔ ⇔   
=⋅ =⋅ ==    
 
00
4 4
8080
2 2
QQ
a a
==  ⇔ ⇔ 
= =  
 
2.2. Sendo 0 80Q = e 4 2a = , a expressão que dá a quantidade 
de cafeína em função do tempo é: 
( ) ( ) ( ) ( ) 4
1
4 480. 2 80. 2 80 2
ttt
Q t Q t Q t
−
−
−  
= ⇔ = ⇔ = × 
  
A quantidade de cafeína no organismo passadas 3 horas é dada 
por: ( )
−
= × ≈
3
43 80 2 47,6Q . Assim, passadas três horas, a 
quantidade de cafeína no organismo é de, aproximadamente 
47,6 mg.
 
 
2.3. Pretende-se determinar t de modo que ( ) 15Q t ≥ . 
Recorrendo à calculadora gráfica, introduzem-se as funções 
4
1 80 2
t
y
−
= × 
e 2 15y = , escolhe-se uma janela adequada e obtêm-
-se as representações gráficas. 
 
 
De seguida, determina-se as coordenadas do ponto de interseção 
dos dois gráficos. 
 
A quantidade de cafeína no organismo é superior a 15 mg 
durante aproximadamente 9,66 horas, ou seja, a cafeína produz 
efeito estimulante durante, aproximadamente, 9 horas e 40 
minutos. 
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Proposta 27 
27.1. 
x a loga x 
1 7 0 
9 3