Modelos Discretos

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VariVariááveis Aleatveis Aleatóórias e Principais rias e Principais 
Modelos DiscretosModelos Discretos
VICTOR HUGO LACHOS DAVILAVICTOR HUGO LACHOS DAVILA
AULA 6AULA 6--8:8:
2
VARIVARIÁÁVELVEL ALEATALEATÓÓRIARIA
Vamos incorporar o conceito de probabilidade 
ao estudo de variáveis associadas a 
características em uma população.
3
VariVariáável Aleatvel Aleatóória (v.a.):ria (v.a.): Uma função X que associa 
a cada elemento do espaço amostral um valor num 
conjunto enumerável de pontos da reta é
denominada variável aleatória discreta. 
Se o conjunto de valores é qualquer intervalo de 
números reais, X é denominada variável aleatória 
contínua.
4
Exemplos:
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três 
filhos.
2) Observar o tempo de reação a um certo
medicamento. 
Ω={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}
Defina X: nº. de crianças do sexo masculino (M).
Então X é uma v.a. discreta que assume valores no 
conjunto {0, 1, 2, 3}.
Defina X: tempo de reação ao medicamento.
X é uma v.a. contínua que assume qualquer valor real 
positivo.
5
O termo aleatório indica que a cada possível valor da 
v.a. atribuímos uma probabilidade de ocorrência.
 1 )xP(X e 1 )xP(X 0
n
1i
ii ∑
=
==≤=≤
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
VARIVARIÁÁVEL ALEATVEL ALEATÓÓRIA DISCRETARIA DISCRETA
FunFunçção de probabilidade( f.p.)ão de probabilidade( f.p.):: É a função que 
atribui a cada valor xi da v. a. discreta X sua 
probabilidade de ocorrência e pode ser apresentada 
pela tabela:
6
O Departamento de Estatística é formado por 35 
professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. 
Uma comissão de 3 professores será constituída 
sorteando, ao acaso, três membros do 
departamento. Qual é a probabilidade da 
comissão ser formada por pelo menos duas 
mulheres?
Vamos definir a v.a.
X: nº de mulheres na comissão.
Exemplo 1:
7
8
Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
Qual é a probabilidade de cada ponto wi de Ω ?
Exemplo 2: Um dado é lançado duas vezes de forma 
independente. Qual é a probabilidade da soma dos 
pontos ser menor do que 6?
Admitindo que o dado é perfeitamente homogêneo 
e sendo os lançamentos independentes, então
P(wi) = 1/36 , ∀ wi ∈ Ω.
9
Defina X: soma dos pontos.
Então,
P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2) 
= 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 
= 10/36 = 0,278
Função de probabilidade de X:
10
Podemos estar interessados em outras v.a.’s.
Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos
Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento
U: pontos do 2º lançamento
11
MMÉÉDIA E VARIÂNCIA (v.a. discretas)DIA E VARIÂNCIA (v.a. discretas)
Qual é o valor médio da soma dos pontos no 
lançamento de dois dados?
Valor EsperadoValor Esperado (m(méédia):dia): Dada a v. a. X, assumindo os 
valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor mvalor méédiodio ou 
valorvalor esperadoesperado ou esperanesperançça matema matemááticatica de X o valor
No exemplo,
E(X) = 2.(1/36) + 3. (2/36) + ... + 11. (2/36) + 12. (1/36)
= 252/36 = 7
ou seja, em média, a soma dos pontos no lançamento 
dos dois dados é 7.
 E(X) μ =Notação:
∑
=
===++==
n
1i
iinn11 )x.P(Xx)x.P(Xx...)x.P(Xx E(X)
12
Variância: É o valor esperado da v.a. (X – E(X))2, ou 
seja, se X assume os valores x1, x2, ..., xn,
Da relação acima, segue que
.Var(X)DP(X) =
Desvio PadrãoDesvio Padrão:: É definido como a raiz quadrada 
positiva da variância, isto é, 
Notação: Var(X).σ2 ==
Notação: DP(X).σ ==
)xP(X .E(X)] - [x Var(X) i
n
1i
2
i == ∑
=
.[E(X)] – )E(X Var(X) 22=
13
83.,5
36
210
36
17)-(12
36
27)-(11...
36
27)-(3
36
17)-(2Var(X) 2222
==
.+.++.+.=
No exemplo,
83,54
36
1974
36
112
36
211...
36
23
36
12)E(X 22222
==
.+.++.+.=
Alternativamente, poderíamos calcular
e, portanto, Var(X) = 54,83 – 72 = 5,83.
14
1) Se Y = aX + b, onde a e b são constantes, então
E(Y) = E(aX + b) = aE(X) + b
e
Var(Y) = Var(aX + b) = a2 Var(X).
2) Se X1, X2, ..., Xn são n variáveis aleatórias, então
E(X1 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).
Propriedades:Propriedades:
Se X1, X2, ..., Xn são independentes, então
Var(X1 + ... + Xn) = Var(X1) + Var(X2) + ... + Var(Xn).
15
A função de distribuição ou função de distribuição 
acumulada de uma variável aleatória discreta (ou 
continua) X é definida, para qualquer valor real x, pela 
seguinte expressão:
FunFunçção de Distribuião de Distribuiçção Acumulada (f.d.a.)ão Acumulada (f.d.a.)
R. x ),()( ∈≤= xXPxF
Observe que o domínio de F é todo o conjunto dos 
números reais, ao passo que o contradomínio é o 
intervalo [0,1]
16
Considere o experimento que consiste no 
lançamento independente de uma moeda duas vezes. 
Seja a v.a. X: nº de caras obtidas. Encontre a f.d.a. da 
v.a. X.
 
 
 
2 s ,1
21 se ,75,0
10 se ,25,0
0 e ,0
 )()( 
≥
<≤
<≤
<
=≤=
xe
x
x
xs
xXPxF
Gráficar !
Exemplo 3
17
No exemplo 1 usando a tabela da f.p. de X: nº de 
mulheres na comissão.
 3 s ,1 
32 se ,975,0
 21 se ,684,0
10 se ,203,0
0 e ,0
 )(
≥
<≤
<≤
<≤
<
=
xe
x
x
x
xs
xF
Gráficar !
a f.d.a. de X será dada por
Exemplo 4
18
Da relação anterior se estamos interessados na 
probabilidade de se ter até duas mulheres na 
comissão a resposta é imediata:
975,0)2()2( =≤= XPF
0 1 32
0.203
0.684
0.975
1
x
F(x)
19
Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
≥
<≤
<≤
<≤
<≤
<
=
15 se 1
;51x6 se 9,0
6;x5 se 7,0
5;x2 se 5,0
2;x1- se 2,0
-1; xse 0
)(
x
xF
Determine:
a) A função de probabilidade de X
b) Calcule o valor esperado e a variância de X.
c) P(X<=2)
d) P(3<=X<=12)
Exemplo 5
20
Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo Uniforme Discreto
Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores são representados por 
x1, x2...,xk. Dizemos que X segue o modelo Uniforme discreto se atribui a mesma 
probabilidade( 1/k) a cada um desses k valores, isto é sua f.p. é dada por
Exemplo 5: Considere o experimento que consiste no lançamento de um 
dado, e estamos interessados na v.a. X: No da face obtida. Neste caso 
todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma probabilidade e, 
assim, podemos dizer que a probabilidade se distribui uniformemente 
entre os diversos resultados, ou seja, podemos escrever a seguinte f.p. :
Distribuição de uma v.a. Uniforme Discreta
contrario caso 0,
k.1,2,...,i 1/k,
)xP(X i
=∀==
X 1 2 3 4 5 6
P(X=xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
21
Notação: X~Ud(x1,..,xk)
Se X~Ud(x1,..,xk), pode-se mostrar que:
∑
=
=
k
i
ixk
XE
1
1)(
∑ ∑
=
=−=
k
i
n
i
i
i
k
x
x
k
XVar
1
2
12 }
)(
{1)(
No exemplo 5, temos que:
5,3)654321(
6
1)( =+++++=XE
9,2}6/21)362516941{(
6
1)( 2 =−+++++=XVar
Obter a f.d.a. !
22
2. Modelo Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou 
negativa.3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas 
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma 
v.a. com distribuição de Bernoulli.
23
Distribuição de uma v.a. de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1
se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com 
probabilidade de sucesso p, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo 
a função de probabilidade é dada por:
x
P(X=x)
0 1
1-p p
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com 
parâmetro p
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p
Var(X)=p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli dão origem ao 
modelo Binomial.
⎩⎨
⎧ =−===
−
cc
xpp
xXPxf
xx
.;0
1,0;)1(
)()(
1
Obter a f.d.a. !
24
3. Modelo Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de 
cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade 
da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).
O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:
Ω={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável 
X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos. 
Ω Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3
FFF (1-p)3 0 0 0 0 
FFS (1-p)2p 0 0 1 1 
FSF (1-p)2p 0 1 0 1 
SFF (1-p)2p 1 0 0 1 
FSS (1-p)p2 0 1 1 2 
SFS (1-p)p2 1 0 1 2 
SSF (1-p)p2 1 1 0 2 
SSS P3 1 1 1 3 
 
25
3
2
2
3
})({)3(
)1(3}),,({)2(
)1(3}),,({)1(
)1(})({)0(
pSSSPXP
ppSSFSFSFSSPXP
ppSFFFSFFFSPXP
pFFFPXP
===
−===
−===
−===
Daí temos que:
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
3223 )1(3)1(3)1()()(
3210
ppppppxXPxf
x
−−−==
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
)!3(!
!33
.,0
3,2,1,0,)1(
3
)(
3
xxx
onde
cc
xpp
xxf
xx
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
−
26
Distribuição de uma v.a. Binomial
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com a 
mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o número 
total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de variável 
aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada 
por:
Binomial. ecoeficient o representa,
)!(!
!
.,0
,,1,0,)1()()(
xnx
n
x
n
onde
cc
nxpp
x
n
xXpxf
xnx
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
===
− L
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com 
parâmetros n e p.
Se X~B(n,p) pode-se mostrar que:
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).
27
0 2 4 6 8
0
.
0
0
.
2
0
.
4
x
P
(
X
=
x
)
p=0,1
0 2 4 6 8
0
.
0
0
0
.
2
0
x
P
(
X
=
x
)
p=0,3
0 2 4 6 8
0
.
0
0
0
.
1
5
x
P
(
X
=
x
)
p=0,5
0 2 4 6 8
0
.
0
0
0
.
2
0
x
P
(
X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
28
0 5 10 15 20
0
.
0
0
0
.
2
0
x
P
(
X
=
x
)
p=0,1
0 5 10 15 20
0
.
0
0
0
.
1
5
x
P
(
X
=
x
)
p=0,3
0 5 10 15 20
0
.
0
0
0
.
1
0
x
P
(
X
=
x
)
p=0,5
0 5 10 15 20
0
.
0
0
0
.
1
5
x
P
(
X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
29
0 10 20 30
0
.
0
0
0
.
1
5
x
P
(
X
=
x
)
p=0,1
0 10 20 30
0
.
0
0
0
.
1
0
x
P
(
X
=
x
)
p=0,3
0 10 20 30
0
.
0
0
0
.
1
0
x
P
(
X
=
x
)
p=0,5
0 10 20 30
0
.
0
0
0
.
1
5
x
P
(
X
=
x
)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
30
O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla 
escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada 
questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova não 
vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente). O 
professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao 
menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos 
aprovaram a disciplina?.
S: “questão respondida corretamente”
F:”questão respondida incorretamente”
A probabilidade se sucesso é constante e c/ estudante responde 
independentemente a questão
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10 
questões. Então o evento de interesse é: 
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
==
−
cc
x
xxXP
xx
.,0
10,,1,0,
5
4
5
110
)(
10
L
A probabilidade de aprovar a prova um aluno é:
006369,0)6(1)6( =<−=≥ XPXP
Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00636)≈2, alunos
Exemplo 2.
31
Suponha uma urna com 20 bolas brancas e 15 bolas pretas, extraímos da urna 
consecutivamente e com reposição 12 bolas. Encontre a probabilidade de se 
obter 5 bolas brancas.
Exemplo 3.
S: “obter uma bola branca em cada extração”
F:” obter uma bola preta em cada extração”
A probabilidade se sucesso é constante em c/ extração e os resultado 
são independentes em cada extração.
Solução:Seja a v.a. X: número de bolas brancas (sucessos) nas 12 
extrações da urna. Então o evento de interesse é: 
P(S)=4/7 e P(F)=3/7. Logo, X~B(12,4/7).
⎪⎩
⎪⎨
⎧ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
−
cc
x
xxf
xx
.,0
12,,1,0,
7
3
7
412
)(
12
L
0.12)5()5( === XPf
A probabilidade de obter 5 bolas brancas é:
32
4. Modelo Hipergeométrico
Suponha uma população finita de N elementos, dividida em duas classes. Uma 
classe com M (M<N) elementos (sucessos) e a outra com N-M elementos 
(fracasso). Por exemplo, no caso particular de N peças produzidas, podem ser 
consideradas as classes: M artigos defeituosos e (N-M) artigos não 
defeituosos.
Uma amostra aleatória de tamanho n (n<N) é sorteada sem reposição é
sorteada dessa população. A v.a. X definida como, o número de elementos com 
a característica de interesse (sucesso) na amostra de tamanho n. A função de 
probabilidade da v.a. X, é dada por: 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
===
cc
Mnx
n
N
xn
MN
x
M
xXPxf
.,0
),min(,0,)()( L
Notação, X~H(N,M, n), para indicar que v.a. X tem distribuição 
Hipergeométrica parâmetros N, M e n.
N
Mp
N
nNpnpXVarnpXE =−
−−== com ),
1
)(1()( ,)(
33
Exemplo 3.
Em um Departamento de inspeção de recebimento, lotes de eixo de bomba 
são recebidos periodicamente. Os lotes contêm 100 unidades, e o seguinte 
plano de amostragem de aceitação é usado. Seleciona-se uma amostra 
aleatória de 10 unidades sem reposição. O lote é aceito se a amostra tiver, 
no máximo, um defeituoso. Suponha que um lote seja recebido e que 5% é
defeituoso. Qual é probabilidade que seja aceito o lote? 
X: Número de defeituosos na amostra ⇒ X~H(100,5,10)
923,0
10
100
9
95
1
5
10
100
10
95
0
5
)1()0()1()(
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
=+==≤= XPXPXPloteoaceitarP
34
Observação: Se X~H(N,M,n) e n/N< 0,10. Então X~B(n, M/N).
Exemplo. Foram colocados em uma caixa 100 peças, 40 dos quais foram 
fabricados pela industria B e as outras pela industria A. Foram sorteadas 
aleatoriamente, sem reposição, 8 peças, qual é a probabilidade de que 4 
sejam da industria A?
Seja X: número de peças da industria A na amostra. Então X~H(100,40,8).
.2395,0
10
100
4
40
4
60
)4( =
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
==XP
Já que, 8/100=0,08<0,10. Então, X~B(8, 60/100) (aproximadamente).
( ) ( ) .2322,04,06,0
4
8
)4( 44 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛==XP
35
4. Modelo Geométrico
A distribuição Geométrica pode ser pensada como o número de ensaios de 
Bernoulli, com probabilidade de sucesso constante p, que precedem ao 
primeiro sucesso. Dizemos que uma variável aleatória X tem distribuição 
Geométrica de parâmetro p se sua função de probabilidade tema forma
0,1,2,...k ,)1()()( =−=== kppxXPxf
Notação, X~G(p)
Exemplo. Se X~G(p), prove que
2
)1()( ,)1()(
p
pXVar
p
pXE −=−=
Exemplo. Uma linha de produção está sendo analisada para efeito de 
controle da qualidade das peças produzidas. Tendo em vista o alto padrão 
requerido, a produção é interrompida para regulagem toda vez que uma 
peça defeituosa é observada. Se 0,01 é a probabilidade da peça ser 
defeituosa, estude o comportamento da variável Q, quantidade de peças 
boas produzidas antes da 1a defeituosa.
)()|( nXPnXnmXP ≥=>+>
36
5. Modelo Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de 
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)
Exemplo:
1. Número de consultas a uma base de dados em um minuto.
2. Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no estado de 
SP
3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma 
geladeira.
4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa 
num intervalo de tempo (digamos das 8,0 a.m. às 12,0 a.m.).
5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.
37
Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,
λ: media de eventos discretos em uma unidade de medida,
t: unidade de medida
μ= λ t: media de eventos discretos em t unidades de medida
Notação: X~P(μ), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com 
parâmetro μ. Pode-se mostrar que se X~P(μ)
E(X)= μ, Var(X)=μ
Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro μ se sua 
função de probabilidade é dada por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ==
−
..;0
,2,1,0
!)(
cc
x
x
e
xf
x
Lμ
μ
Distribuição de uma v.a. Poisson
38
0 40 80
0
.
0
0
0
.
1
5
x
P
(
X
=
x
)
P(4)
0 40 80
0
.
0
0
0
.
0
8
x
P
(
X
=
x
)
P(10)
0 40 80
0
.
0
0
0
.
0
6
x
P
(
X
=
x
)
P(20)
0 40 80
0
.
0
0
0
.
0
4
x
P
(
X
=
x
)
P(50)
39
Exemplo 4. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte 
recebe em média 3 chamadas cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a 
central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos?
Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa 
em 2 minutos, então, X ~P(μ). Aqui t=2 e λ=3/4=0,75, então μ=(0,75)(2)=1,5. 
Ou seja X~P(1,5)
.808847,0]
2
5,15,11[)2()1()0()2(
....3,2,1,0,
!
5,1)(
2
5,1
5,1
=++==+=+==≤
==
−
−
eXPXPXPXP
x
x
exf
x
40
A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial
A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e 
dada por:
.,,0,)1()( nxpp
x
n
xXP xnx L=−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛== −
Se μ=np,⇒ p=μ/n, substituindo p na função probabilidade temos 
x
n
xxnx
n
n
xn
x
nnnnx
n
xXP
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛==
−
μ
μ
μμμ
1
1
!
1121111)( L
!
)(,
x
exXPtemosnFazendo
x μμ −==∞→
41
Exemplo 5. A probabilidade de um rebite particular na superfície da asa de 
uma aeronave seja defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a 
probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?
Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então, 
X~B(400,0,001)
( ) ( )∑ =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=≤
=
−6
0
400 .8894,0999,0001,0
4000
)6(
x
xx
x
XP
Usando a aproximação de Poisson, μ=4000(0,001)=4 ⇒X~P(4)
∑
=
−
==≤
6
0
4
.889,0
!
4)6(
x
x
x
eXP
42
Teorema: Se nXX ,,1 K são variáveis aleatórias independentes, com 
distribuição de Poisson com parâmetros, nμμ ,,1 K , respectivamente, 
então a variável aleatória, 
nXXY L+= 1 
tem distribuição de Poisson com parâmetro, nμμμ L+= 1 . 
Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média de 
acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira 
semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um processo de 
Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas três semanas?
Seja a variável aleatória, iX : número de acidentes na i-ésima 
semana, i=1,2,3. )(~ ii PX μ , então, a v.a. , 321 XXXY ++= tem distribuição 
de Poisson com parâmetro, 65,125,2 =++=μ .(y~P(6)) 
1339,0
!4
6)4(
46
===
−eYP