Incerteza de medição

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UNIVERSIDADE SALVADOR 
STELLA CABANELAS ARANHA – 141200023 
 
 
 
 
 
 
INCERTEZA DE MEDIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR 
2020 
 
 
STELLA CABANELAS ARANHA 
 
 
 
 
 
 
 
INCERTEZA DE MEDIÇÃO 
 
 
 
Incerteza de medição apresentado no curso 
de engenharia de Produção da Universidade 
Salvador (UNIFACS). 
Orientador: Néstor Gálvez Ronceros 
 
 
 
 
 
 
 
SALVADOR 
2020 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO.........................................................................................................4 
2. A INCERTEZA DE MEDIÇÃO.................................................................................5 
3. NORMA ISO/IEC 17025...........................................................................................5 
4. TIPOS DE INCERTEZA...........................................................................................6 
4.1. INCERTEZA RELATIVA.......................................................................................6 
4.2. INCERTEZA PADRAO TIPO A............................................................................6 
4.3. INCERTEZA PADRAO TIPO B............................................................................7 
4.4. INCERTEZA PADRÃO COMBINADA..................................................................8 
4.4.1. Correlacionadas.................................................................................................8 
4.4.2. Não correlacionadas...........................................................................................9 
4.5. INCERTEZA EXPANDIDA (U)..............................................................................9 
5. REPRESENTAÇÃO DO RESULTADO DE MEDIÇÃO.........................................10 
6. TESTE DE GRUBBS.............................................................................................11 
7. MÉTODO MONTE CARLO....................................................................................11 
8. INCERTEZA DE MEDIÇÃO NA CALIBRAÇÃO....................................................12 
8.1. APLICAÇÃO DOS CÁLCULOS DE INCERTEZA EM CALIBRAÇÃO..............12 
9. INCERTEZA DE MEDIÇÃO EM ENSAIOS...........................................................16 
9.1. APLICAÇÃO DOS CÁLCULOS DE INCERTEZA EM ENSAIOS 
MECÂNICOS..............................................................................................................16 
10. CONCLUSÃO......................................................................................................18 
REFERÊNCIAS..........................................................................................................19 
 
 
 
4 
 
1. INTRODUÇÃO 
A medição é essencial na vida do ser humano, pois a mesma afeta 
diretamente em diversos aspectos, como: econômico, sociais, de segurança, da 
saúde, ou seja, do bem-estar geral do cidadão. Além disso, ela possui extrema 
importância na área industrial, tendo em vista que ela está associada ao controle de 
qualidade de um produto ou serviço, redução do desperdício de matéria-prima, no 
planejamento do artefato e dentre outros. Conquanto, os valores encontrados no 
mensurando não condiz com o valor fiel, uma vez que esses valores são estimados 
e existem as incertezas de medições. Por conta disso, é de extrema importância 
calcular os valores dessas incertezas, pois ela afeta em todo resultado encontrado, 
podendo causar inúmeros danos se não for feita de forma correta. Em função disso, 
nota-se que é relevante saber os tipos de incerteza, pois assim saberá qual a 
equação certa utilizar no momento de calcular a mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2. A INCERTEZA DE MEDIÇÃO 
Nenhum valor de medição é 100% fidedigno, visto que sempre haverá uma 
incerteza. Quando realizamos uma medição, temos apenas uma estimativa desse 
resultado e dentro dela existe uma dúvida para declarar essa medição, onde essa 
dúvida é a incerteza de medição. 
Logo, incerteza de medição é o intervalo ou a faixa de valores que define com 
certo nível de confiança o valor encontrado no mensurando. 
(Resultado Medição = Estimativa + Incerteza). 
É fundamental saber que incerteza é diferente de erro, visto que o ultimo é a 
diferença entre o valor encontrado de uma grandeza e o valor referencial. 
A incerteza de medição serve como um meio de avaliar a qualidade de uma 
aferição, desta maneira quanto maior a variação dos resultados das medidas, menor 
será a qualidade. 
Apesar de não sabermos o valor real, existem diversas razões que 
contribuem com a incerteza, tal como: 
 Condições ambientais 
 Procedimento e instrumento utilizado 
 Técnica de medição inapropriada 
 Falhas na declaração da grandeza 
 Amostragem do mensurando 
 Padrão de referência 
 Habilidade do operador 
 
3. NORMA ISO/IEC 17025 
Para controlar a incerteza, ou seja, diminuir os seus índices a fim de ter 
resultados mais confiáveis e garantir a qualificação das medições, os laboratórios 
precisam seguir a Norma ISO/IEC 17025. A mesma se aplica para os laboratórios de 
calibração, ensaios e amostragens seguida de ensaio. 
Na norma, o item 7.6 é somente sobre avaliação da incerteza de medição, 
como mostra alguns exemplos a seguir retirados do site do Inmetro: 
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7.6.1 Os laboratórios devem identificar as contribuições para a incerteza de 
medição. Ao avaliar a incerteza de medição, todas as contribuições que 
sejam significativas, incluindo aquelas oriundas da amostragem, devem ser 
consideradas utilizando-se métodos de análise apropriados. 
7.6.2 Um laboratório que realiza calibrações, incluindo as de seus próprios 
equipamentos, deve avaliar a incerteza de medição para todas as 
calibrações. 
7.6.3 Um laboratório que realiza ensaio deve avaliar a incerteza de 
medição. Quando o método de ensaio impossibilitar uma avaliação 
rigorosa da incerteza de medição, deve ser feita uma estimativa baseada 
na compreensão dos princípios teóricos do método ou na experiência 
prática sobre o desempenho do método. 
 
4. TIPOS DE INCERTEZA 
4.1. INCERTEZA RELATIVA 
De todos os tipos de incertezas, a relativa é a mais simples de se encontrar, 
pois basta dividir a incerteza absoluta ( ) pelo resultado encontrado na medição 
(y), como mostra na fórmula a seguir: 
 
 
 
 
 
4.2. INCERTEZA PADRÃO TIPO A 
A incerteza do tipo A, é calculada por meio de uma análise estatística de uma 
sequência de observações. Nesse caso, o resultado de uma medição é igual á 
média das observações e a incerteza é igual ao desvio-padrão dessa média. A 
equação é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
Sendo: 
 = desvio-padrão experimental da média 
 = número de medições feitas 
7 
 
 = desvio-padrão experimental 
É importante ressaltar que esse desvio-padrão leva em consideração os 
efeitos aleatórios da repetição das medições. 
 
4.3. INCERTEZA PADRÃO TIPO B 
Na incerteza padrão do tipo B, utiliza métodos que não sejam de estatísticas 
de observações repetitivas. Geralmente, são por meio de informações oferecidas em 
certificados de calibrações, por medições anteriores, dados indicados pelo 
fabricante, capacitação do desempenho do instrumento, em outras palavras, valores 
mais precisos. 
Exemplos: resolução de leitura do indicador, estabilidade da rede elétrica, 
deformações mecânicas, etc. 
A quantidade de informações disponíveis está diretamente ligada no momento 
de realizarmos o cálculo desse tipo de incerteza, pois é a partir deles que iremos 
saber qual será a fórmula ideal. Temos as seguintes equações: 
 
 Estimativa da entrada: 
 
 
 
 
Sendo: 
 = estimativa da entrada 
 = limite superior 
 = limite inferior 
 
 Quadrado da incerteza padrão 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 = incerteza-padrão 
Caso: 
 
 
 
 → Distribuição retangular 
 
 
8 
 
 Distribuição normalSendo: 
 = incerteza expandida declarado no certificado de calibração 
 = fator de abrangência declarado no certificado de calibração 
 
 
 
 Distribuição triangular 
 
 
 
 
Sendo: 
 = incerteza-padrão 
α= limite 
 
4.4. INCERTEZA PADRÃO COMBINADA 
A incerteza padrão combinada é alcançada por meio da Lei de propagação de 
incerteza, que é a combinação das incertezas do tipo A e B. 
É importante ressaltar que nesse tipo de incerteza, as estimativas de entradas 
podem ser divididas em: correlacionadas e não correlacionadas. Por isso, devemos 
saber de qual classificação ela pertence, visto que a equação muda de acordo com 
a mesma. 
3.4.1. Correlacionadas 
As estimativas de entradas são dependentes entre si e o cálculo da incerteza 
se dá pela seguinte fórmula, onde a mesma é da Lei de propagação de incerteza: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Sendo: 
 
 = incerteza padrão combinada 
 = incerteza-padrão 
 
 
 
 
 
= coeficientes de sensibilidade → especifica o quanto a estimativa de saída é 
interferida por alterações da estimativa de entrada 
 = coeficiente de correlação entre as estimativas e 
Observação: o segundo termo da equação só haverá caso o seja diferente 
de zero. 
 
4.4.2. Não correlacionadas 
As estimativas de entradas são independentes entre si e o cálculo da 
incerteza se dá pela seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 
 = incerteza padrão combinada 
 
 
 
 = coeficientes de sensibilidade 
 
4.5. INCERTEZA EXPANDIDA (U) 
Essa incerteza é a multiplicação da incerteza combinada ( ) pelo fator de 
abrangência k, como mostra na seguinte equação: 
 
O fator de abrangência (k) é alcançado por meio dos graus de liberdade efetivos. 
 
 
 
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4.5.1. GRAUS DE LIBERDADE EFETIVOS 
Encontramos os graus de liberdade efetivos por meio da equação de Welch-
Satterthwaite: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo: 
 = incerteza-padrão combinada 
 = incertezas-padrão de todas as fontes incertezas do tipo A e B 
 = número de graus de liberdade de todas as fontes de incerteza 
 = número de graus de liberdade efetivos relacionado a 
Ao acharmos o valor de , devemos consultar a tabela t-student para assim 
descobrimos o fator de abrangência (k). Caso o número obtido não seja inteiro, 
adota-se a parte inteira. 
Exemplo: = 8,76 → logo iremos consultar o valor 8 na tabela t-student. 
 
5. REPRESENTAÇÃO DO RESULTADO DE MEDIÇÃO 
O resultado de medição do mensurando, geralmente, é arredondado 
utilizando as regras básicas de arrendamento de valores e normalmente utilizam-se 
dois algarismos depois da vírgula. Porém, ao relatar o resultado de uma incerteza 
combinada ou expandida essas regras podem não ser adequadas. É importante 
ressaltar que quando for informar o valor da medição, é necessário mostrar o fator 
de abrangência assim como o grau de liberdade efetivo, caso seja incerteza 
expandida. 
 
6. TESTE DE GRUBBS 
Valores que se diferem radicalmente dos demais (valores outliers) precisam 
ser analisados, pois os mesmos podem causar problemas posteriormente nos 
resultados obtidos. Por conta disso, existe teste para averiguar a existência desses 
valores em distribuições normais, como: Teste de Grubbs. 
Esse teste consiste na seguinte em: 
 
 
 
 
 
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Sendo: 
 = os valores da amostra 
 = média de todos os valores 
 = desvio-padrão 
O valor é considerado extremo quando > ·, onde os valores críticos 
são encontrados na tabela do teste de Grubbs. 
 
7. MÉTODO MONTE CARLO 
De acordo com o livro Incerteza de Medição (2019, p. 203): 
O método de Monte Carlo (MC) é um procedimento numérico, que permite 
a solução de problemas matemáticos por meio da simulação de variáveis 
aleatórias. Quando aplicado para avaliação da incerteza o método de 
Monte Carlo usa simulações computacionais, onde as Funções Densidade 
de Probabilidade (FDP) das variáveis de entrada são propagadas através 
do modelo matemático da medição, dando lugar à FDP da variável de 
saída. 
Logo, o método Monte Carlo nos concede que se elaborem testes (experimentos) 
com um número elevado de variáveis aleatórias com o intuito de certificar os 
resultados viáveis do cálculo. 
Esse método é dividido em três etapas: 
1. Formulação: Nela identifica o mensurando e as grandezas de entrada que a 
mesma depende. Em seguida, faz-se um modelo matemático para associar o 
mensurando á grandeza e a partir disso se cria uma Função Densidade de 
Probabilidade (FDP) para cada variável. 
2. Propagação: Os valores de cada variável conforme a FDP utilizada e seus 
parâmetros estatísticos são atingidos. Posteriormente, estabelece o número 
de iterações necessárias (que precisa ser alto) para alcançar os resultados 
consistentes e assim conseguir um alto número de amostras aleatórias com a 
mesma quantidade de iterações cada. Por fim, conseguem-se as FDPs das 
variáveis de entrada para formas a FDP do mensurando. 
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3. Resumo: Nessa ultima etapa, o valor da incerteza-padrão relacionado ao 
mensurando é definido a partir do FDP. Assim, iremos estabelecer o intervalo 
de abrangência de y e atingir a incerteza expandida pela seguinte equação: 
 
Sendo: 
 = incerteza expandida 
 = incerteza-padrão 
 = desvio-padrão 
 
8. INCERTEZA DE MEDIÇÃO NA CALIBRAÇÃO 
Ao longo do tempo, os instrumentos de medição se desgastam com o uso e 
assim o erro deles tende a aumentar, por isso é necessário calibrá-los. A calibração 
dos instrumentos está diretamente ligada na produtividade e qualidade de um 
produto/serviço, uma vez que eles precisam estar de acordo com as normas de 
medições e estar capacitado de exercer as suas respectivas funções corretamente. 
Quando o instrumento é calibrado, geralmente ele vem com o certificado de 
calibração e uma tabela apresentando todos os valores encontrados, inclusive o da 
incerteza de medição. Porém, essa incerteza mencionada no certificado se refere 
unicamente ao erro do certificado, é a dúvida de medição que o laboratório teve e 
não a do instrumento em si. 
 
8.1. APLICAÇÃO DOS CÁLCULOS DE INCERTEZA EM CALIBRAÇÃO 
As aplicações desses cálculos podem ser vistos em paquímetro, micrômetro, 
monômetro, trena, termômetro, voltímetro e dentre outros instrumentos. A seguir, 
uma exemplificação, retirada do site Portal Action, das incertezas de medidas da 
calibração de uma trena: 
Os dados referentes aos equipamentos envolvidos na calibração são dados por: 
Objeto a ser calibrado: trena de fita de aço (5 m). 
Resolução: 1 mm. 
Faixa de Indicação (faixa nominal): – 
Padrão de referência 1: régua graduada. 
Resolução: 
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Incerteza expandida: 
Padrão de referência 2: lupa graduada. 
Resolução: 
Incerteza expandida: 
Temperatura durante a calibração: 
Faixa de indicação (faixa nominal): – 
 Equação de medição 
Desvio = Medida da trena – (Medida da régua graduada + Medida da lupa graduada) 
Observação: (Medida da régua graduada + Medida da lupa graduada) → P = 
medidas do padrão 
 
 Fontes de incerteza 
 Repetitividade - Tipo A; 
 : Resolução da trena; 
 : Resolução da régua graduada; 
 : Resolução da lupa graduada; 
 Incerteza herdada do padrão 1 (régua graduada); 
 Incerteza herdada do padrão 2 (lupa graduada); 
Neta aplicação, vamos tomar o ponto de 2000 mm. Desta forma, observe a seguinte 
tabela. 
 
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 Incerteza Combinada 
Através da equação de propagação da incerteza, temos que a expressão da 
incerteza combinada para a trena da seguinte forma. 
 
 
 
 Cálculo da Incerteza Padrão das Grandezasde Entrada 
 
A seguir, vamos calcular a incerteza de cada fonte. 
 
 Repetitividade 
Incerteza do Tipo A. 
 
 
 
 
 
 
 
Em que: 
 Representa o desvio padrão da faixa de medição; 
 Representa o número de pontos de calibração. 
 
 Incerteza Herdada da Régua Graduada Padrão 
Distribuição: Normal. 
 
 
 
 
 
 Incerteza Herdada da Lupa Graduada Padrão 
Distribuição: Normal. 
 
 
 
 
 
 
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 Resolução da Régua Graduada Padrão e da Lupa Graduada 
Padrão 
Distribuição: Retangular. 
 
 
 
 
 
 
 Resolução da Trena 
Distribuição: Retangular. 
 
 
 
 
 
Com isso, a incerteza combinada é dada por: 
 
 
Agora, vamos calcular os graus de liberdade efetivo da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a incerteza expandida é dada por: 
 
 
 
 
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9. INCERTEZA DE MEDIÇÃO EM ENSAIOS 
Assim como na calibração, os ensaios mecânicos dos materiais possuem 
grande importância para garantir a qualidade e a confiabilidade do produto final. 
Esses ensaios são desenvolvidos para sabermos as propriedades do material e 
como o mesmo reage sendo exposto a diversos tipos de forças. Entretanto, é 
necessários fazer nos mesmo os cálculos de incerteza, pois qualquer valor fora do 
intervalo de confiabilidade poderá acarretar em consequências graves. 
 
9.1. APLICAÇÃO DOS CÁLCULOS DE INCERTEZA EM ENSAIOS MECÂNICOS 
Ensaios de tração, flexão, impacto, dureza, torção e dobramento são 
exemplos de casos práticos que podem ser usados para realizar os cálculos de 
incertezas. A seguir, retirado do site Portal Action, iremos entender melhor como 
funciona o processo de descoberta dessas incertezas em um ensaio dureza: 
 Equação de medição 
 A seguir apresentamos a equação de medição. 
 
Em que: 
 : representa a dureza, em (HB); 
 : representa o instrumento medidor de dureza (durômetro), em (HB). Temos 
que tem distribuição normal com incerteza e fator de abrangência obtidos 
via certificado de calibração do durômetro; 
 : representa a resolução do instrumento. Temos que tem distribuição 
retangular (ou uniforme) no intervalo 
 
 
 
 
 
 ··. Logo a incerteza devido à 
resolução será dada por: 
 = 
 
 
 
 
 : Representa a reprodutibilidade em (HB). Temos que tem distribuição normal 
com incerteza obtidos no ensaio de Reprodutibilidade. A reprodutibilidade 
representa a variabilidade associada à aplicação do método de medição pelos 
operadores; 
 Representa a repetitividade. Podemos supor que a distribuição da média das 
medições tem distribuição normal. Logo, podemos estimar sua incerteza (desvio 
padrão da média) como: 
 
 
 
 
 
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Em que 
 
 
 
 
 é a variância amostral e 
 
 
 
 
 é a média 
amostral. 
 
 Incerteza Combinada 
A incerteza combinada para a dureza é dada por 
 
 
 Incerteza Expandida 
A incerteza expandida para a dureza é dada por 
 
Em que é o fator de abrangência e este é obtido à partir da distribuição t-Student 
com graus de liberdade e nível de confiança de aproximadamente 95,45 %. 
 
 
 
 
 
 
 Ensaio de dureza 
Agora vamos calcular a incerteza para o sistema de medição de dureza, para isto, 
realizamos três medições para o ensaio de dureza, os dados estão na tabela. 
 
 
Vamos calcular a média e repetibilidade da seguinte forma: 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Do certificado de calibração do durômetro, obtemos que a incerteza devido ao 
durômetro é de e e resolução . Do estudo de 
RR, obtemos uma incerteza desprezível. Com isso, calculamos a incerteza 
combinada para a dureza da seguinte forma: 
 
 
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A incerteza expandida para a dureza é dada por 
 
Em que é o fator de abrangência e este é obtido à partir da distribuição t-Student 
com graus de liberdade e nível de confiança de aproximadamente 95,45%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir, apresentamos um resumo do cálculo de incerteza para o ensaio de dureza 
na escala Brinell (2,5/62,5 HB). 
 
 
 
10. CONCLUSÃO 
Portanto, percebemos que não há resultados de medição totalmente 
verdadeiros, uma vez que existem inúmeros fatores de erro. Por conta disso, o 
cálculo da incerteza é relevante para estimar a qualidade, credibilidade e 
confiabilidade da medição. Desta maneira, a quantidade estipulada no experimento 
é capaz de ser apropriada de maneira qualitativa. Mediante a esse método, é viável 
determinar se um instrumento está executando suas funções em concordância com 
o pressentido e se os valores finais não estarão comprometidos através do seu uso. 
A incerteza de medição é imprescindível para certificar a confiabilidade do utensílio 
utilizado e ela possibilita a minimização dos prejuízos. 
 
 
 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
Alexandre, M. Metrologia e Incerteza de Medição - Conceitos e Aplicações. [São 
Paulo]: Grupo GEN, 2019. 9788521636878. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521636878/. Acesso em: 09 
Oct 2020 
http://www.portalaction.com.br/incerteza-de-medicao 
http://www.inmetro.gov.br/credenciamento/eventos-cgcre/13-14-15Workshop/14-
Workshop_ISO_IEC_17025_-_7.6_-_Avaliacao_da_incerteza_de_medicao.pdf 
FILHO, A.P. LEAL, J.E.S.; ARENCEBIA, R.V.; ROSA, V.A.O. Incerteza de Medição. 
Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2019 
https://canalmetrologia.com.br/incerteza-medicao-no-certificado-calibracao/ 
 
http://www.portalaction.com.br/incerteza-de-medicao