1589543_Analise Incertezas

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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE 
INCERTEZAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Sérgio de Morais Hanriot 
 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
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1. Controle Metrológico e Estatístico Análise de Incertezas 
 
1.1 Introdução 
 
• O trabalho de medição não termina com a obtenção das indicações. 
• A partir das indicações é que se inicia o trabalho do metrologista. 
• A partir das indicações deve-se chegar à informação desejada 
Mensurando  Grandeza a ser medida  RESULTADO DA MEDIÇÃO RM 
 
  unidadeURB RM  (1) 
 
RB: Resultado Base  Corresponde ao valor central da faixa onde situa-se o valor 
 verdadeiro. 
U: Incerteza da Medição:  Exprime a faixa de dúvida ainda presente no resultado. 
 Esta dúvida é provocada pelos erros existentes no sistema de mediçãoSM e/ou 
 variações do mensurando. 
 
 O RM expressa o que se pode determinar com segurança sobre o valor do mensurando, a 
partir da aplicação do SM. 
 
2 Erro de Medição 
 
O erro da medição E pode ser calculado pela expressão: 
 
 VVI E  (2) 
 
I: Valor Indicado; VV: Valor Verdadeiro; 
O Valor Verdadeiro geralmente é desconhecido. O erro torna-se 
 
 VVCIE  (3) 
VVC: Valor verdadeiro convencional  Valor conhecido com erros inferiores a 1/10 do erro 
de medição esperado. Os diversos padrões existentes constituem-se nos VVC's. 
Para se eliminar o erro de medição seria necessário empregar um SM perfeito sobre o 
mensurando, sendo este perfeitamente definido e estável. 
Prática  Não se consegue SM perfeito; O mensurando pode apresentar variações; 
 Assim, é impossível eliminar completamente o erro de medição  pode-se 
 delimitar o erro de medição! 
 É possível obter informações confiáveis da medição, mesmo sabendo-se que erros 
estão envolvidos no processo. Para tanto deve-se conhecer a ordem de grandeza e a 
natureza dos erros envolvidos. 
 
3 Tipos de Erros 
 
O erro total de medição E pode ser expresso pela equação E = Es + Ea + Eg, onde 
Es = erro sistemático; Ea = Erro aleatório e Eg = Erro grosseiro. 
 
O erro grosseiro é provocado pelo uso inadequado ou pelo mau funcionamento do SM. 
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Seu valor é imprevisível, mas é facilmente detectável. Seu valor será desconsiderado neste 
curso. 
O erro sistemático é a parcela de erro sempre presente nas medições efetuadas em 
condições idênticas de operação. Exemplo: O ponteiro torto de um relógio. 
 Em um instrumento de medição, o Erro sistemático é chamado de Tendência Td. 
Exemplo: Uma balança tem Td = 29 g. Valor Indicado pela balança: 1254 g; Valor real: 
1225 g 1254-29. 
 O Es pode variar ao longo da Faixa de Medição de um instrumento. Assim, para cada valor 
do mensurando pode haver erros sistemáticos distintos. A forma de variação do Es ao 
longo da Faixa de Medição depende de cada SM. 
 
O erro aleatório é a parcela de erro sempre presente nas medições que ocorrem de forma 
completamente imprevisível. Se se repetir uma medição várias vezes, pode-se obter vários 
valores distintos em torno da média. 
 
A fig. 1 mostra uma comparação entre os erros aleatórios e sistemáticos: 
Fig. 1a: Ea  grande; Es  pequeno. Fig. 1b: Ea  grande; Es  grande. 
Fig. 1c: Ea pequeno; Es  grande. Fig. 1d: Ea  pequeno; Es  pequeno. 
(a) (b)
(c) (d) 
Fig. 1: Comparação entre Erros aleatórios e sistemáticos 
 
3.1 Determinação dos Erros de Medição 
 
ERRO SISTEMÁTICO 
 O Es ou a Td pode ser determinado e deve ser corrigido  A correção C pode ser 
determinada pela Equação 
 
 Td- = C (4) 
 
Se se desprezar o Eg, o erro total fica: E=Es+Ea. 
Para um número infinito de medidas a influência do erro aleatório sobre a média das 
medidas torna-se desprezível  O Ea possui distribuição normal com média zero. O Erro 
aleatório pode ser positivo ou negativo Maior ou menor que a média. À medida que o 
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número n de medidas realizadas cresce, a influência do Ea no Resultado da Medição 
decresce. Assim para n  
 VVC- MI= Es (5) 
onde MI é a média das infinitas indicações do SM. 
 
Prática: Não se realizam infinitas medições e sim um número restrito n . Para um 
número finito de medições obtém-se uma estimativa do Erro sistemático. Nestas 
condições com n finito  O Erro Sistemático passa a se chamar Tendência Td do 
Instrumento de Medição. 

 VVC- MI= Td (6) 

 A tendência de um Sistema de Medição pode variar ao longo de sua faixa de medição. 
 
ERRO ALEATÓRIO 
 
O erro aleatório distribui-se em torno do valor médio das indicações. O valor individual do 
erro aleatório Eai da i-ésima indicação Ii pode ser expresso pela Equação 
 MI-I = Ea ii (7) 
 
O valor de Eai varia de indicação para indicação de maneira imprevisível. Este valor 
instantâneo do Ea tem pouco significado prático, já que é variável e imprevisível. 
 
A caracterização do Ea é feito através de procedimentos estatísticos, utilizando-se um 
número finito de medidas. Pode-se calcular o desvio padrão experimental de um 
determinado número de medidas realizadas em um mesmo mensurando, sob as mesmas 
condições. 
 
 O erro aleatório pode ser quantitativamente determinado através da repetitividade Re. 
A repetitividade de um instrumento de medição é uma faixa simétrica de 
valores dentro da qual, com uma probabilidade estatística definida, se situa o 
erro aleatório. 
 ts = Re  (8) 
 
Re: Faixa de dispersão dentro da qual se situa o erro aleatório Em Engenharia trabalha-se 
com probabilidade P=95; 
t: Coeficiente t-Student  t = fn, P (Tab. 5) 
Onde: n = nº de medidas; 
P = probabilidade. 
s: Desvio padrão experimental da amostra de n medidas. 
 
Exemplo 1: Determinação da Tendência e Repetitividade. 
Uma massa padrão de 800,0000 ± 0,0001g foi aplicada em uma balança. A Tab. 1 mostra os 
resultados obtidos na coluna Valor Indicado I: 
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Tab. 1: Valores do Exemplo 1 
n Valor Indicado I g Erro Total E g Td g Ea g 
1 814 14 15 -1 
2 815 15 15 0 
3 818 18 15 +3 
4 815 15 15 0 
5 813 13 15 -2 
6 816 16 15 +1 
7 817 17 15 +2 
8 814 14 15 -1 
9 815 15 15 0 
10 816 16 15 +1 
11 812 12 15 -3 
12 815 15 15 0 
Média 815 15 15 0 
 
Solução: VVC = 800 g  Corresponde ao padrão aplicado na balança. 
• Para a primeira indicação tem-se: I = 814 g; 
• Pela Eq. 3 pode-se calcular o erro total para I=814 g  E = 814 - 800 = +14 g; 
 Ao medir-se uma única vez não é possível identificar as parcelas sistemáticas e aleatórias. 
As medições subseqüentes mostram variações aleatórias. Calculou-se a média dos valores 
indicados, obtendo-se o valor de 815 g. 
• Pela Eq. 6 pode-se calcular a tendência  Td = 815 - 800 = +15 g; 
• Após os cálculos dos erros totais para cada indicação e da Td da balança, o Eai pode ser 
calculado para cada indicação através da Eq. 7. Este cálculo não é necessário. Ele foi 
realizado aqui para fins didáticos! 
• O desvio padrão s pode ser calculado pela equação 
 
 
 
1-n
x-x
 = s
n
1=i
2
(9) 
 
Obteve-se um valor do desvio padrão s = 1,651 g. 
• O coeficiente de Student t é determinado com o auxílio da Tabela 5. 
Da Tab. 5 com probabilidade de enquadramento P=95 e com 12 medidas, portanto 11 
graus de liberdade n-1=11 tem-se  t = 2,20; 
 
 Para determinação do coeficiente de Student deve-se considerar o número de graus de 
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6 
liberdade que é igual a n-1! 
 
• A repetitividade Re é obtida através da Eq. 8  Re = ±2,20.1,65 = ±3,6 g 
 
 Significado: Existe 95 de probabilidade do erro aleatório se enquadrar dentro de uma 
faixa simétrica de ±3,6 g, centrada em torno do valor médio 815 g. 
 
• O resultado da Medição pode ser expresso assim: 
 
n
Re
 Td- MI= RM  (10) 
ou seja 
 g 1800 = 
12
3,6
 15-815 = RM  
 
 O Resultado de uma medição deve ser expresso conforme indicado pela Eq. 10 ou 
através da seguinte Equação, já que a correção C = -Td 
 
 
n
Re
 C+ MI= RM  (11) 
 
Curvas de Erros de um Sistema de Medição 
 
A determinação da tendência e da repetitividade de um sistema de medição deve ser 
realizada ao longo de toda sua faixa de medição. 
 
 A curva de erros de um sistema de medição é a representação gráfica da Td e da Re ao 
longo da faixa de medição do sistema de medição. 
 
O procedimento do exemplo 1 deve ser repetido para outros valores dentro da faixa de 
medição da balança, cujos valores verdadeiros convencionais sejam conhecidos Massas 
Padrão. Deve-se selecionar um número limitado de pontos dentro da faixa de medição. 
 
Exemplo 2: Determinação da curva de erros de uma balança. 
• Para cada valor medido deve-se repetir o procedimento do exemplo 1. Assim, calculou-se 
os valores da Td e da Re para cada ponto. A Tab. 2 mostra os resultados obtidos. Observe 
que o valor correspondente ao ponto 5 é aquele obtido no exemplo 1. 
• A Fig. 2 mostra a curva de erros obtida. Os valores das massas padrão são representados 
nos eixos das abscissas. No eixo das ordenadas são representados os erros de medição. O 
ponto central corresponde à Tendência. Em torno da Td traçam-se os limites 
correspondentes à repetitividade Re, ou seja; Td + Re e Td - Re. 
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7 
0 400 800 1200 1600
-5
-10
-15
-20
-25
25
5
10
20
15
0
Emáx
Td
Re
Re
Indicação (g)
E
rr
o
s
 (
g
)
 
Fig. 2: Curvas de erro - Exemplo 2 
 
Tab. 2: Valores do Exemplo 2 
Ponto VVC g MI g Td g Re g 
1 0,0 0,0 0,0 ±1,0 
2 200,0 211,0 11,0 ±3,1 
3 400,0 415,0 15,0 ±2,8 
4 600,0 618,0 18,0 ±3,0 
5 800,0 815,0 15,0 ±3,6 
6 1000,0 1009,0 9,0 ±3,0 
7 1200,0 1202,0 2,0 ±1,9 
8 1400,0 1395,0 -5,0 ±2,9 
9 1600,0 1591,0 -9,0 ±3,2 
 
Erro Máximo EMAX 
 
Em catálogos técnicos é especificado o erro máximo do sistema de medição. Este erro 
corresponde aos limites máximos de erros presente neste SM, desde que ele seja utilizado 
conforme as especificações. 
 
 O erro máximo EMAX de um Sistema de Medição é definido como uma faixa de valores 
centrado em torno do zero, que com uma probabilidade definida, engloba todos os erros 
que podem estar presentes nas indicações deste sistema de medição. O erro máximo 
EMAX engloba os erros sistemáticos e aleatórios em toda a faixa de medição. 
 A curva de erros do sistema de medição deve estar situados entre os limites +EMAX 
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e -EMAX  Veja Fig. 2 do Exemplo 2. O EMAX = ±21 g. 
 
Exercícios Propostos: 
1. O diâmetro de um fio foi medido com um paquímetro, obtendo-se os seguintes resultados 
mm: 1,47; 1,43; 1,40; 1,44; 1,44; 1,48; 1,42; 1,45; 1,46; 1,43. 
Determine: MI, o erro aleatório para cada indicação, o desvio padrão e a repetitividade Re 
para confiabilidade de 95. 
 
2. Considere que o fio da questão anterior foi medido com um paquímetro de excelente 
qualidade obtendo-se: 1,4977 ± 0,0005 mm. Determine a tendência Td do paquímetro da 
questão anterior. 
 
3. Procure exemplificar cinco fatores que podem introduzir erros em sistemas de medição. 
 
4. Aplicou-se um paquímetro em um bloco padrão de 100,0000 ± 0,0002 mm obtendo-se as 
seguintes medidas mm: 100,05; 99,85; 100,10; 100,00; 100,00; 99,90; 100,15; 100,00; 
99,95; 99,95; 100,10; 100,05; 99,90; 100,00; 99,95; 100,05. Determine: A Média das 
Indicações; a Tendência do paquímetro, A repetitividade do paquímetro. Expresse 
corretamente o RM. Faça uma curva de distribuição normal com os valores medidos 
indicando a tendência e a repetitividade. 
 
5. Pretende-se levantar os dados acerca do comportamento metrológico de um 
dinamômetro. Um conjunto de 10 massas padrão foi usado para gerar forças conhecidas que 
foram aplicadas sobre o dinamômetro, abrangendo toda sua faixa de medição que é de 
100 N. A Tab. 8.3 mostra os resultados obtidos. 
Pede-se: Represente graficamente a curva de erros deste dinamômetro. 
 Determine o Erro máximo deste dinamômetro 
 
Tab. 3: Valores para o Exercício 5 
Medição VVC N Td N s para n=20 
1 0,00 0,4 0,15 
2 12,40 0,7 0,22 
3 25,20 0,7 0,24 
4 35,00 0,4 0,23 
5 51,20 0,2 0,26 
6 62,20 -0,1 0,24 
7 72,40 -0,4 0,27 
8 83,20 -0,6 0,28 
9 90,10 -0,8 0,28 
10 100,10 -1,1 0,29 
 
6. Aplicou-se um termômetro de resistência nos valores padrão indicados na Tab. 4. 
Determine a MI, Td, Re, EMAX. Trace a curva de erros deste termômetro. 
 
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Tab. 4: Valores para o Exercício 6 
VVC INDICAÇÕES - 0C 
- 0C 1 2 3 4 5 6 7 8 
0 0,1 0,3 -0,2 -0,5 0,6 0,2 -0,2 0,0 
20 21,2 19,7 19,4 21,9 20,4 21,8 19,3 21,1 
40 44,5 42,4 42,9 43,6 44,6 42,7 45,6 45,9 
60 63,8 63,8 65,9 67,8 67,1 66,3 66,3 66,0 
80 82,0 81,8 82,3 82,1 80,9 82,6 81,9 82,0 
100 99,9 103,4 100,0 101,1 102,2 100,9 102,9 101,8 
 
3.2 Avaliação de Incertezas 
 
A metodologia a ser apresentada é baseada em procedimentos internacionalmente 
recomendados. Este procedimento é oficialmente recomendado para o Brasil, através do 
INMETRO. Este procedimento está detalhado na seguinte norma: 
"Guia para Expressão da Incerteza de Medição - Edição Brasileira do: Guide to the 
expression of Uncertainty in Measurement - Agosto 1998" 
A Incerteza da medição significa a dúvida existente com o resultado da medição. 
 
 A incerteza da medição é um parâmetro associado ao Resultado da Medição. Ela 
caracteriza a dispersão de valores que podem ser atribuídos ao mensurando. 
• A incerteza da medição está associada ao RM; 
• A incerteza da medição não é igual ao erro aleatório do sistema de medição Re. 
O Ea é apenas um dos componentes. A incerteza também depende de outras grandezas 
de influências como Resolução limitada, número de medições realizadas, temperatura de 
medição, etc... 
 
Tipos de Incertezas 
 
Tem-se três tipos de incertezas: Incerteza padrão u, Incerteza combinada uc e Incerteza 
expandida U. 
 
Incerteza Padrão u: A incerteza padrão de um dado aleatório corresponde à estimativa 
equivalente a um desvio padrão s  u = ±s. Esta incerteza tem uma probabilidade de 
ocorrência P = 68,27. 
 
Incerteza Combinada uc: A incertezacombinada de um processo de medição é calculada 
considerando-se a ação simultânea de todas as fontes de incertezas, ou seja, é a influência 
combinada de todas as incertezas padrão sobre o RM. A incerteza combinada uc também 
equivale a um desvio padrão. Esta incerteza também tem uma probabilidade de ocorrência 
P = 68,27. 
 
Incerteza Expandida U: A incerteza expandida é determinada a partir da incerteza 
combinada multiplicada pelo coeficiente t-Student apropriado. Esta incerteza reflete a faixa 
de dúvidas ainda presente na medição para uma probabilidade de enquadramento definida, 
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10 
geralmente 95,45. 
 
A avaliação das incertezas pode ser feita de três maneiras distintas: 
• Avaliação de Incertezas em medições diretas: Medições diretas são aquelas efetuadas 
aplicando-se diretamente o SM sobre o mensurando. Exemplos: Medição do diâmetro de um 
eixo, Medição da temperatura de um Forno, Medição da deformação de uma peça, etc.. 
Deve-se determinar neste caso as incertezas padrão, combinada e expandida. 
 
• Avaliação de Incertezas em medições indiretas: Envolve a combinação de duas ou mais 
grandezas. Deve-se usar uma equação para calcular o resultado final. A determinação do 
volume de uma peça cilíndrica, a partir da sua altura e do diâmetro da seção transversal é 
um exemplo de medição indireta. Mede-se diretamente a altura h e o diâmetro d. O volume 
v pode ser calculado a partir destas medidas. Os erros de cada medida propagam-se para o 
resultado final. Exemplos: Determinação da área de uma parede, determinação da 
densidade, etc.. 
 
• Avaliação de Incertezas em módulos: Freqüentemente um sistema de medição é 
composto de módulos interligados. Cada módulo tem sua própria incerteza. A incerteza do 
resultado final é função destas incertezas individuais. Ocorre assim uma propagação de 
erros. 
 
3.2.1 Avaliação de Incertezas em Medições Diretas 
 
A avaliação de incertezas consiste em analisar qualitativamente e determinar 
quantitativamente todas as incertezas erros envolvidas no processo de medição. 
 
Procedimento geral para determinação da Incerteza de Medição: 
1 Estudar teoricamente o processo, analisando-o. Todas as possíveis fontes de erros devem 
ser analisadas. 
2 Listar todas as fontes de incertezas. 
3 Listar as parcelas sistemáticas de cada fonte de incerteza. 
4 Atribuir valores de incertezas de distribuição de probabilidades, baseando-se em dados 
estatísticos ou análise teórica. 
5 Calcular a Incerteza Padrão ui para cada fonte de incerteza. 
6 Calcular a Incerteza Padrão combinada uc. 
7 Calcular a Incerteza Expandida U. 
 
AVALIAÇÃO DAS INCERTEZAS PADRÃO 
 
A incerteza padrão é o próprio desvio padrão (s), com P = 68,27. 
Tipos de avaliações de Incertezas: 
Avaliação Tipo A  A análise é baseada em procedimentos estatísticos; 
Avaliação tipo B  A análise é baseada em procedimentos não estatísticos; 
 
Incerteza Padrão tipo A: 
 
O procedimento tipo "A" para estimativa da incerteza padrão baseia-se no cálculo de 
parâmetros estatísticos, os quais são obtidos de várias medições. Considere a variável 
aleatória x. Foram efetuadas n medidas. A média pode ser estimada pela equação: 
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11 
 i
n
1=i
x
n
1
 = x  (12) 
O desvio padrão experimental Sx é calculado pela equação: 
 
 
1-n
x-x
 = s(x)
i
n
1=i
2

 (13) 
Para que o valor de Sx seja confiável é necessário que seja realizado um número 
suficientemente grande de medições, geralmente n  10. 
Se se utilizar o valor médio de várias indicações, obtido a partir da média de um conjunto de 
"m" indicações de x, o desvio padrão experimental da média de x é estimado por: 
 
m
S(x)
 = )xs( (14) 
A incerteza padrão associada à variável x, representada por ux, é o próprio desvio padrão 
da média das "m" observações, ou seja: 
 
 )x s(= u(x) (15) 
 
O número de graus de liberdade envolvido  na determinação de ux é o número de 
medições independentes efetuadas menos 1, ou seja: 
 
 1-n =  (16) 
Incerteza Padrão tipo B: 
 
Muitas vezes não é possível, ou não é economicamente viável, quantificar a influência de 
certas fontes de incertezas em uma medição a partir da análise quantitativa estatística de 
observações repetitivas. Ainda assim, é necessário estimar quantitativamente a influência de 
cada fonte de incerteza para determinar a incerteza combinada da medição. As informações 
podem assim, serem determinadas a partir de informações acessórias e externas ao 
processo de medição. 
 
• Na determinação das incertezas tipo "B" usa-se procedimentos não-estatísticos. Estas 
estimativas depende da experiência prática do experimentalista pode ser tão confiável 
quanto às avaliações do tipo"A". 
 
Podem-se dividir as estimativas em: 
 
Estimativas baseadas em avaliações anteriores  Usam-se levantamentos anteriores 
que fornecem dados quantitativos confiáveis sobre a influência da fonte de erro considerada. 
Podem ser: 
• Certificados de Calibração; 
• Registros Históricos das características metrológicas do SM; 
• Dados de medições anteriores e 
• Especificação do fabricante 
 
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12 
Estimativas Baseadas em Limites Máximos Admissíveis  Quando o número de 
informações for insuficiente, não se pode determinar a distribuição estatística exata. Desta 
forma, os possíveis valores da variável aleatória dentro de um intervalo não são 
determináveis. Geralmente assume-se, por segurança, a existência de uma distribuição de 
probabilidade retangular. 
 
 Distribuição de probabilidade retangular ou uniforme: Nesta distribuição, existe uma 
mesma probabilidade da variável aleatória se situar em qualquer ponto entre os limites 
estabelecidos. O número de graus de liberdade é infinito  São exemplos de fontes de 
incertezas com este tipo de distribuição: Resolução do Instrumento, Gradiente de 
temperaturas, histerese, etc.. 
 
Considere os limites LS: Limite superior e LI: Limite Inferior como sendo os valores máximo e 
mínimo que a variável "x" pode ter. O valor médio e a incerteza padrão que é o próprio 
desvio padrão podem ser determinados por: 
 
 
2
LI+LS
 = x (17) 
 
3
a
 = u(x) (18) 
 
onde 
 
 
2
LI-LS
 = a (19) 
A Fig. 3 mostra esta distribuição esquematicamente. 
x
2a
LI LS
P
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 P
(x
)
 
Fig. 3: Distribuição retangular - Esquemática 
 
Exemplo 3: Procura-se saber o valor do coeficiente de dilatação térmica do alumínio. Sabe-se 
quo o Al pode variar entre 23 e 27 m/m
 0C. Determine o valor esperado para o Al e a 
incerteza padrão associada a este valor. 
Solução  LS = 27 m/m 0C; LI = 23 m/m 0C. Pela Eq. 8.16: x = 25 m/m 0C 
Pela Eq. 18 a = 2 m/m 0C. Pela Eq. 17: uAl = 1,15 m/m
 0C. 
RM = 25,0 ± 1,2 m/m 0C 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
13 
Resumindo: Deve-se calcular todas as componentes de incerteza ui, tipos "A" e "B", 
correspondentes a um desvio padrão.Para isto deve-se dividir o valor de cada contribuição 
de incerteza pelo seu respectivo divisor: 
Distribuição Normal  Valor do Fator de abrangência K é dado. Geralmente K = 2; 
Distribuição Retangular  3K 
Distribuição Triangular  6K 
 
INCERTEZA COMBINADA 
 
Até aqui foi estimada a influência individual de cada fonte de incerteza sobre o desempenho 
do processo de medição. Cada fonte de incerteza tem uma probabilidade de ocorrência de 
68. Deve-se combinar estas incertezas individuais para se ter a influência conjunta de 
todas as fontes sobre o resultado final: 
 )u(+...+)u(+)u( = uc
2
n
2
2
2
1 (20) 
 
 A incerteza combinada também tem uma probabilidade de ocorrência de 68! Ela reflete 
a influência da ação combinada de todas as fontes de incertezas. 
 
INCERTEZA EXPANDIDA 
 
A incerteza Expandida deve expressar o nível de confiança requerido. Em engenharia 
trabalha-se com níveis de confiança de 95,45. Este valor corresponde a uma faixa de ±3s 
s=desvio padrão. Assim, a Incerteza Expandida U fica: 
 
 CuK = U (21) 
 
O fator de Abrangência K é o fator de Student, o qual é tabelado. Ele é função do número de 
graus de liberdade efetivo ef e da probabilidade de enquadramento P. 
 
Determinação do Fator de Abrangência K: 
 
Determinação Aproximada: 
• Caso Geral: Usar K=2, que define um intervalo com nível de confiança de 
aproximadamente 95%. 
 
Fator de Abrangência Corrigido: 
• Será necessário determinar o fator de abrangência corrigido K quando: 
uA/uC >1/2 e 
uA for obtido a partir de poucas indicações do instrumento (n  5) 
uA = Incerteza padrão tipo A; 
uC = Incerteza Combinada; 
n = Número de medições efetuadas. 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
14 
Nestes casos, deve-se calcular o número de graus de liberdade efetivo ef associado à 
incerteza combinada, através da Equação de Welch Satterwaite: 
 


i
i
n
=1i
c
ef
u
u
 = 
4
4

 (22) 
onde i é o número de graus de liberdade para cada fonte de incertezas ui. A Tab. 5 mostra 
os valores do coeficiente t-student  = fator de abrangência K) em função do número de 
graus de liberdade e da probabilidade de abrangência. 
 Toda vez que ef  50 pode-se adotar K = 2,00. 
 Toda vez que for indicada a incerteza expandida para P = 95 e não for dado o 
 valor do fator de abrangência, considere K = 2! 
 
A Tab. 6 mostra uma planilha onde todos os valores de incertezas calculados devem ser 
colocados. Esta planilha facilita e automatiza os cálculos. 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
15 
Tab. 5: Coeficiente de Student  e Fator de Abrangência K 
Graus de 
Liberdade 
Probabilidade P  
 68,27 90 95 95,45 99 
1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 
2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 
3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 
4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 
5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 
6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 
7 1,08 1,89 2,39 2,43 3,50 
8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 
9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 
10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 
11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 
12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 
13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 
14 1,04 1,76 2,14 2,20 2,98 
15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 
16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 
17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 
18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 
19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 
20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 
25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 
30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 
35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 
40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 
45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 
50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 
100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 
 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
16 
Tab. 6: Planilha padrão par determinação da incerteza de medição 
Fonte de Erro Efeitos 
sistemáticos 
Efeitos Aleatórios 
Símbolo Descrição Unidade Valor 
Bruto 
Correção Valor 
Bruto 
Distribuição Divisor u  
 
 
 
 
 
 
Cc Correção Combinada 
uc Incerteza Combinada normal 
U Incerteza Expandida 95 normal 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
17 
Exemplo 4: A massa de um anel foi determinada em uma balança eletrônica. Foram realizadas 
12 medições, obtendo-se os seguintes valores g: 
19,85 ; 20,00 ; 20,05 ; 19,95 ; 20,00 ; 19,85 
19,90 ; 20,05 ; 19,95 ; 19,85 ; 19,90 ; 20,05 
• A balança tinha um certificado de calibração com os seguintes dados: 
- Tcalib = 20
 0C; 
- Estabilidade: Térmica  0,025 g/0C; Temporal  ±0,02 g/mês; 
Indicação g Correção g U K=2,00 
0,00 0,00 ± 0,05 
5,00 -0,05 ± 0,06 
....... ......... ........ 
20,00 -0,15 ± 0,08 
• Balança com indicação digital  Resolução R = 0,05 g; 
• Temperatura de medição  24,0  T  26,0 0C; 
• Calibração foi realizada há 5 meses. 
Solução: 
 
I. CÁLCULO DAS INCERTEZAS PADRÃO 
 
1. Fonte de Incerteza: Repetitividade da Indicação  Tipo "A". 
n = 12; = 12-1 11; m = 19,950 g; Sx = 0,080 g; xS = 0,023 g 
 uREP = ±0,023 g 
 
2. Fonte de Incerteza: Não Linearidade da Balança  Tipo "B". 
• Baseada nos dados existentes. 
• A Calibração indica correção para vários pontos na Faixa de Medição: 
 m = 19,950 g; Será usado m  20,00 g. O certificado de Calibração determina uma 
correção 
  CNL = -0,15 g. 
 
• A Calibração indica a incerteza expandida para vários pontos na Faixa de Medição. 
 Para m  20,00 g tem-se U = ± 0,08 g. Indicou-se o fator K = 2,00. Assim, A incerteza 
padrão fica: uNL = 0,08/2 

 uNL = ±0,04 g 
 
 Para o valor de m  20,00 g tinha-se uma incerteza expandida U = 0,08 g. Para calcular 
este valor de U foi necessário um procedimento igual ao deste exemplo, ou seja, cálculo das 
incertezas padrão, combinada e expandida. A determinação da incerteza padrão desta fonte de 
incerteza foi realizada através da divisão do valor de U pelo Fator K = 2. 
 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
18 
3. Fonte de Incerteza: Resolução Limitada  Tipo "B". 
• R = 0,05 g. Resolução  Erro de truncamento  ETRUNC. MÁX. = R/2. 
• Admitir distribuição retangular centrada no zero. Usando a Eq. 18 e Eq. 19: 
 com LS = 0,025 g; LI = -0,025 g calcula-se a = 0,025 e a incerteza 
 
3
0,025
 = 
3
a
 = uRES 
 
 uRES = ±0,014 g 
 
4. Fonte de Incerteza: Estabilidade Temporal  Tipo "B". 
• 5 meses  ±0,02 g/mês  Erro total = ±0,10 g. 
• Admitir distribuição retangular centrada no zero. Usando a Eq. 18 e Eq. 19: 
 com LS = 0,10 g; LI = -0,10 g calcula-se a = 0,10 e a incerteza 
 
3
0,10
 = 
3
a
 = uEST.TEMP. 
 uEST. TEMP. = ±0,060 g 
 
5. Fonte de Incerteza: Estabilidade Térmica  Tipo "B". 
• TCAL = 20 
0C  0,025g/0C 
 TMÁX = 26 
0C  Erro Máximo = 26-20X0,025 = +0,15 g; 
 TMIN = 24 
0C  Erro Mínimo = 24-20X0,025 = +0,10 g; 
 Erro Total = ES + Ea 
 ES = 0,10 + 0,15/2 = 0,125 g 
 CEST. TÉRM. = -0,125 g 
 
• Admitir distribuição retangular para a componentealeatória. Usando a Eq. 18 e 
 Eq. 19 com LS = 0,15 g; LI = 0,10 g calcula-se a = 0,025. Isto significa que o 
 Ea = ±0,025 g. A incerteza se torna: 
 
 
3
0,025
 = 
3
a
 = uEST.TêRM. 
 uEST. TÉRM. = ±0,014 g 
 
 Observe: ES = 0,125 g; Ea = ±0,025 g; ETot = ES + Ea = 0,125 ± 0,025 g. 
 EMáx = 0,125 + 0,025 g = 0,150 g. EMin = 0,125 - 0,025 g = 0,100 g. 
 
II. CÁLCULO DA INCERTEZA COMBINADA 
 
Através da Eq. 20 
 uc = ±0,0782 g 
 
)u(+)u(+)u(+)u(+)u( = u
2
TERM EST
2
TEMP. EST
2
RES
2
NL
2
REPc 
)(0,014+)(0,060+)(0,014+)(0,040+)(0,023 =u
22222
c 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
19 
 O valor de uc reflete a ação combinadas de todas as 5 fontes de incerteza anteriores sobre o 
resultado da medição, com uma probabilidade de enquadramento de 68,27. 
 
Parcela Sistemática 
O Erro Sistemático foi calculado em duas fontes de incertezas. Calculou-se então a correção C: 
CNL = -0,15 g; CEST. TÉRM. = -0,125 g 
Correção combinada  Cc = -0,15 + -0,125; 
 Cc = -0,275 g 
 
III. CÁLCULO DA INCERTEZA EXPANDIDA 
 
Calcula-se o número de graus de liberdade efetivo através da Eq. 22: 
 
 1455 = 
.....+
0,040
+
11
0,023
0780,
 = 
44
4
ef

 
 
Da Tab. 5 com ef = 1455 e P = 95,45  K = 2,00. 
U = 2,00 x 0,078 = 0,156 g 
 U = ±0,16 g 
 
 O valor de U reflete a ação combinadas de todas as 5 fontes de incerteza anteriores sobre o 
resultado da medição, com uma probabilidade de enquadramento de 95,45. 
 
IV. RESULTADO DA MEDIÇÃO 
 
RM = 19,950 - 0,275 ± 0,16 g = 19,68 ± 0,16 g 
 RM = 19,68 ± 0,16 g 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
20 
A Tab. 7 mostra a planilha resumo de todos estes cálculos. 
 
Tab. 7: Planilha para determinação da incerteza de medição 
Fonte de Erro Efeitos sistemáticos Efeitos Aleatórios 
Símbolo Descrição Unidade Valor 
Bruto 
Correção Valor 
Bruto 
Distribuição Divisor u  
REP Repetitividade da balança g 0 0,000 0,023 normal 1 0,023 11 
NL Não Linearidade da balança g 0,15 -0,150 0,080 normal 2 0,040  
RES Resolução do Indicador g 0 0,000 0,025 retangular 3 0,014  
EST. TEMP. Estabilidade Temporal g 0 0,000 0,100 retangular 3 0,060  
EST. TÉRM. Estabilidade Térmica g 5 -0,125 0,025 retangular 3 0,015  
Cc Correção Combinada g -0,275 
uc Incerteza Combinada g normal 0,078 1455 
U Incerteza Expandida 95 g normal 0,156 
 
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21 
Comparação da Tolerância de Fabricação com a Incerteza de Medição 
 
• Tolerância de Fabricação IT  Faixa de valores aceitáveis para uma dimensão. Exemplo; 
Diâmetro d = 60 ± 2 mm. 
• Incerteza de Medição  Faixa de valores que exprime a dúvida do processo de medição. É 
provocada por várias fontes de erros. Deve-se realizar uma medição para determinar se o 
diâmetro efetivo está entre os limites aceitáveis. Deve-se obedecer a seguinte regra: 
U  IT/10 
 
• Para o diâmetro acima, processo de medição tem de apresentar U  2/10 = 0,20 mm. 
 
Exercícios: 
 
6.Calibração de um Termômetro digital 
Utiliza-se um termômetro eletrônico com indicação digital para medir temperatura de blocos 
padrão, que devem estar numa temperatura próxima a 20 0C. A incerteza deste termômetro 
SMC é obtida através da calibração efetuada usando-se como padrão um outro termômetro 
SMP. A leitura é feita somente após a estabilização em uma câmara climatizada. 
 
Características do SMC: 
Faixa de Temperatura de interesse: 19 a 21 0C. 
Resolução da indicação: 0,01 0C. 
 
Características do SMP: 
Faixa de Medição: 19 a 21 0C. 
Valor de uma divisão: 0,01 0C. 
Resolução: 0,005 0C. 
Incerteza: U95 = ±0,005 
0C. 
 
Homogeneização: Incerteza U95 = ±0,01 
0C Assumir distribuição retangular 
Procedimento adotado: Realizaram-se três medições em cada nível - conforme a tabela abaixo: 
 
Ponto SMC [ 0C] SMP [ 0C] 
 1. Medida 2. Medida 3. Medida 
1 19,00 19,110 19,110 19,110 
2 20,00 20,130 20,120 20,123 
3 21,00 21,140 21,140 21,138 
 
•Fazer uma análise Completa das Incertezas envolvidas para cada uma das três indicações do 
SMC. 
•Obteve-se uma medida I=20,01 0C. Qual é o resultado da medição? 
 
7. Paquímetro 
Efetuou-se a medição do comprimento de uma barra de alumínio Al. A barra estava em uma 
fábrica, cuja temperatura ambiente era de 45 0C. O paquímetro tambem estava na fábrica há 
mais de três dias sob a mesma temperatura acima. Sabe-se ainda que: 
•Coef. de dilatação térmica do alumínio Al = 25 m/m.K 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
22 
•Paquímetro é de aço. Coef. de dilatação térmica do aço aço = 11 m/m.K 
•Temperatura de referência na qual se deseja conhecer o resultado: TREF = 20 
0C. 
•Incerteza do paquímetro U95 = ±150 m. 
Foi realizada apenas uma única medição e obteve-se uma indicação de l = 1000,58 mm para o 
comprimento da barra de alumínio. Determine o resultado da medição. Apresente os resultados 
na planilha indicada. 
 
3.2.2 Avaliação de Incertezas em Medições Indiretas 
 
A medição indireta envolve a determinação do valor de um mensurando a partir de cálculos 
matemáticos, onde ocorre uma combinação de duas ou mais grandezas. Exemplo: 
Determinação do volume V de um cubo cujo lado a foi medido diretamente  V = a
3
. 
 
Dependência Estatística: 
Grandezas Estatisticamente Independentes: Duas variáveis aleatórias são estatisticamente 
independentes quando o comportamento de uma não altera de forma alguma o 
comportamento da outra. 
 
Grandezas Estatisticamente Dependentes: Duas variáveis aleatórias são estatisticamente 
dependentes quando o comportamento de uma exerce influência no comportamento da outra. 
Considere a função Y = 2X + 6. As variáveis X e Y são dependentes. Considere o valor da 
Pressão interna de uma panela de pressão. A pressão e a temperatura de ebulição da água são 
dependentes. A dependência estatística pode ser total ou parcial é expressa pelo coeficiente de 
correlação. 
 
 Quando duas ou mais grandezas são medidas com o mesmo instrumento de medição, elas 
são estatisticamente dependentes! 
 
3.2.2.1 Mensurandos Estatisticamente Dependentes: 
 
Nestes casos deve ser considerada a possibilidade das incertezas padrão individuais assumirem 
simultaneamente os seus respectivos valores extremos. A incerteza padrão combinada 
representa assim os limites da variação máxima possível. 
 
 No cálculo de incerteza de mensurandos estatisticamente dependentes são 
 determinadas as Incertezas Máximas! 
 
 
SOMA E SUBTRAÇÃO 

 ...+u(c)+u(b)+u(a) = ...)cbu(a  (23)

 Na soma ou subtração de qualquer número de mensurandos estatisticamente 
 dependentes, a incerteza padrão combinada é a soma das incertezas individuais. 
 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
23 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 
 ...+
c
u(c)
+
b
u(b)
+
a
u(a)
 = 
a.b.c....
.)u(a.b.c...
 (24a) 
 
ou 
 
 ...+
c
u(c)+
b
u(b)
+
a
u(a)
 = 
a/b/c/...
.)u(a/b/c/..
 (24b) 
 
 
 Na multiplicação ou divisão de qualquer número de mensurandos estatisticamente 
dependentes, a incerteza padrão relativa combinada é a soma das incertezas 
padrão relativas individuais. 
 
CASO GERAL 
 
Considere G = fa,b,c,d...., onde pode haver qualquer tipo de operação: soma, multiplicação, 
etc... Através da expansão da expressão em termos da série de Taylor tem-se: 
 
 ...+u(d)|
d
f
|u(c)+|
c
f
|u(b)+|
b
f
|u(a)+|
a
f
| = u(G)








 (25) 
 
uG é a incerteza padrão combinada da grandeza G, ua, ub representam as incertezas 
padrão associadas às grandezas a, b, etc.... As Eqs 23 e 24 são casos particulares da Eq. 
25. 
 
Exemplos: 
5. Determinar a incerteza da área de um círculo, cujo diâmetro foi determinado 
experimentalmente obtendo-se d = 30,02 ± 0,05 mm. 
Solução: A = d
2
/4 = .d.d/4  A = 707,8 mm
2
 
Resultado da Medição  A = 707,8 ± 2,4 mm2 
 Observe: A incerteza padrão calculada é o máximo valor que ela pode ter. 
 
6. Determinar a incerteza da grandeza G onde G = a+b/c. As grandezas a,b,c são 
dependentes entre si. 
Solução: Há soma e multiplicação envolvidas. Se se utilizar a Eq. 25 a solução é direta. Uma 
outra alternativa é a solução por partes: 
Fazendo M = a+b  uM = ua + ub  Somente soma. 
 assim G = M/c  uG/G = uM/M + uc/c. 
 
d
u(d)
2+0+0 = 
d
u(d)
+
d
u(d)
+
)u(
+
1/4
u(1/4)
 = 
A
u(A)


 
 
mm2,36=,80,0033.707=u(A)0,00333=
30,02
0,05
2=
A
u(A)
2_ 
 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
24 
7. Considere R = AB + N. A, B e N são grandezas dependentes. Determine a incerteza de R. 
A = 10,0 ± 0,1 mm; B = 1,82 ± 0,08 mm; N = 20,0 ± 0,3 mm 
Solução: 
Inicialmente será usada a Eq. 25 
1u(N)+Au(B)+Bu(A) = u(R) 1; = 
N
R
 A; = 
B
R
 B; = 
A
R
_






 
 
1,282mm = 1.0,3+10.0,08+1,82.0,1 = u(R) 
 
Assim  R = 38,2±1,3 mm 
Usando as Eqs 21 e 22: Fazendo C = AB = 18,2  uC/C = uA/A + uB/B 
uC/18,2 = 0,1/10 + 0,08/1,82  uC = 0,982 mm. 
  R = C + N  uR = uC + uN  0,982 + 0,3 = 1,282 mm 
Assim  R = 38,2±1,3 mm 
 
3.2.2.2 Mensurandos Estatisticamente Independentes: 
 
Como as grandezas de entrada não apresentam dependência entre si, dificilmente as variações 
aleatórias individuais estarão agindo em sincronia. No cálculo da incerteza combinada devem 
ser considerados os aspectos probabilísticos. Os valores obtidos para a incerteza combinada são 
menores do que o caso anterior. 
 
 No cálculo de incerteza de mensurandos estatisticamente independentes são 
 determinadas as Incertezas Prováveis! 
 
 
SOMA E SUBTRAÇÃO 
 
...+][u(c)+][u(b)+][u(a) = ...)cbu(a
222
 (26) 
 
 Na soma ou subtração de qualquer número de mensurandos estatisticamente 
 independentes, a incerteza padrão combinada é a raiz quadrada da soma dos 
quadrados das incertezas individuais. 
 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
ou 
 
 Na multiplicação ou divisão de qualquer número de mensurandos estatisticamente 
 independentes, a incerteza padrão relativa combinada é a raiz quadrada da soma 
...+
c
u(c)
+
b
u(b)
+
a
u(a)
 =
a.b.c....
.)u(a.b.c...
222


















 27a 
...+
c
u(c)
+
b
u(b)
+
a
u(a)
 =
a/b/c/...
.)u(a/b/c/..
222


















 27b 
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais 
 
_________________________________________________________________________________ 
INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
25 
dos quadrados das incertezas padrão relativas individuais. 
 
CASO GERAL 
 
Considere G = fa,b,c,..., onde pode haver qualquer tipo de operação: soma, multiplicação, 
etc... Através da expansão da expressão em termos da série de Taylor tem-se: 
uG é a incerteza padrão combinada da grandeza G, ua, ub representam as incertezas 
padrão associadas às grandezas a, b, etc.... As Eqs 26 e 27 são casos particulares da Eq. 
28. 
 
Exemplo 8: Determinação da massa específica  de um cilindro. As seguintes medidas foram 
obtidas com instrumentos distintos: 
m = 1580 ± 10 g; d = 25,423 ± 0,003 mm; h = 77,39 ± 0,05 mm; 
A massa específica pode ser calculada pela equação 
 
 
 
Como na expressão só se tem 
multiplicação, deve ser usada a Eq. 27a: 
 
u = ±0,040239.0,00637  u = ±0,00025 g/mm
3
 
Assim   = 0,04024 ± 0,00025 g/mm3 
Este problema poderia ser resolvido usando-se a Equação Geral Eq28
hd
8m-
 = 
d
 ;
hd
4m-
 = 
h
 ;
hd
4
 = 
m 3222 











 
 


















u(d)
hd
8m-
+u(h)
hd
4m-
+u(m)
hd
4
 = )u(
23
2
22
2
2
2

 
Obtém-se da mesma forma:  = 0,04024 ± 0,00025 g/mm3 
 A incerteza padrão combinada está fortemente afetada pela incerteza da massa. Se se quiser 
...+u(c)
c
f
+u(b)
b
f
+u(a)
a
f
 = u(G)
222
























 28 
mm
g
0,040239 = 
hd
4m
 = 
volume
massa
 = 
32
 
 


















d
u(d)
2+
h
u(h)
+
m
u(m)
 = 
)u(
222


 



















25,423
0,003
2+
77,39
0,05
+
1580
10
 = 
0,040239
)u(
222

 
      0,00637 = 2,36+6,46+63,3 
10000
1
= 
)u( 222



 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
26 
melhorar o processo de medição deve-se atuar na balança. 
 
Exercícios: 
10. Duas resistências R1 e R2 podem ser associadas em série ou em paralelo. Os valores das 
resistências são: R1 = 100,0 ± 0,1  e R2 = 50,00 ± 0,03 . Calcule a incerteza para cada uma 
das associações, considerando dois casos distintos: 
 i As resistências moram medidas com o mesmo instrumento; 
 ii As resistências foram medidas com instrumentos distintos. 
Do ponto de vista de incerteza resultante, qual das duas associações seria mais indicada? 
 
11. A resistência de um fio de Cobre é dada pela Equação 
R0 = 6 ± 0,3  a T = 20
 0C 
 = 0,004
 0
C
-1
 ± 1 
Determine o valor da resistência de um fio de cobre, e sua 
incerteza, para uma temperatura T = 30 ± 1
0
C. 
 
12. Uma máquina admite óleo lubrificante até o limite de viscosidade absoluta de 
1,5 ± 0,6 Pa.s. Ao receber o óleo, o mesmo foi enviado para análise. A equação do modelo a 
ser usado é 
 
onde  =
 Viscosidad
e absoluta 
 m = 0,144 ± 0,005 g massa da esfera 
 D = 3,16 ± 0,02 mm Diâmetro da esfera; D=2R 
 v = 0,0250 ± 0,0005 m/s Velocidade da esfera 
  = 1260 ± 5 Kg/m3 Massa específica do óleo 
 g = 9,81 m/s2 Aceleração da gravidade 
 V = (4/3)..R3 Volume da esfera. 
Todas as grandezas acima foram medidas com instrumentos distintos. Determine se este óleo 
deve ser aceito ou não. Determine ainda qual grandeza exerce maior influência na viscosidade 
do óleo. 
 
 
13. Um medidor de vazão do ar para baixas velocidades obedece a seguinte lei 
 
 
 
 
 
 
C = 0,920 ± 0,005 Coeficiente de descarga; 
A = 1,000 ± 0,001 in
2
 Área da seção transversal do tubo 
p1 = 25,0 ± 0,5 psia pressão antes da redução 
p = p1 - p2 = 1,400 ± 0,005 psia Queda de pressão em tubo de Venturi 
T1 = 70 ± 2 
0
F 
R = constante Universal dos Gases 
Determine a incerteza relativa da taxa de escoamento da massa m  nas condições acima. 
 
 20)-(T+1R = R 0  
 
Rv6
gV-mg
 = 


 






)p-p(
TR
pg2
CA = m
21
1
1c
1/2
 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
27 
14. Uma viga de seção transversal circular tem um comprimento l = 1828,8 mm e um diâmetro 
d = 63,500 mm. Esta viga está engastada em uma de suas extremidades. Uma carga 
concentrada F = 1556,878 N atua na extremidade livre da viga, provocando flexão. Conhece-se 
as seguintes incertezas: ul = ±12,7 mm; ud = ±2,032 mm; uF = ±22,241 N. Determine o 
momento fletor máximo atuante na viga e sua incerteza. Explique claramente o procedimento 
utilizado. 
 
15. Em um projeto foi determinado que a incerteza do momento fletor máximo da viga da 
questão anterior não poderia ser superior a 6, ou seja, uMF  6. Qual o máximo valor 
aceitável da incerteza do diâmetro se todas as outras incertezas permanecessem constantes? 
 
 
3.3.3 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS ATRAVÉS DE MÓDULOS 
 
Em muitas situações, o sistema de medição SM constitui-se de diversos módulos associados 
em série. Pode-se citar, por exemplo, a medição de deformação utilizando-se extensômetros 
resistivos Strain Gages: 1. Módulo  Sensor extensômetro; 2. Módulo  Amplificador; 3. 
Módulo  Filtro; 4. Módulo  Indicador. Às vezes estes módulos estão embutidos em uma 
mesma caixa. Cada módulo tem a sua incerteza e correção associadas. A Fig. 4 mostra o 
diagrama de blocos de um SM generalizado. 
 
 
M1 M2 M3 Mn
K(M1)
C(M1)
u(M1)
C(M2)
u(M2)
K(M2)
C(M3)
u(M3)
K(M3)
C(Mn)
u(Mn)
K(Mn)
E(M1) E(M2) E(M3) E(Mn)
S(M2) S(M3) S(Mn)
...
 
Fig 4: Diagrama de Blocos de um SM generalizado 
Ei = Sinal de entrada do bloco i; 
Si = Sinal de saída do bloco i; 
ui = Incerteza padrão do bloco i; 
Ci = Correção do bloco i; 
Ki = Sensibilidade  Ki = Si/ Ei. 
A sensibilidade do bloco "i" Ki é a relação entre o sinal de saída e o sinal de saída deste bloco. O 
mensurando é o sinal de entrada do primeiro bloco E1. A partir do valor de E1 obtém-se a 
indicação, ou seja a saída do último bloco Sn. A partir deste valor de saída do módulo indicador 
deve ser determinado o valor do mensurando E1 e sua incerteza. Através das seguintes 
equações pode-se calcular o valor nominal do sinal de saída e as incertezas relativas do sistema 
de medição: 
• Valor nominal do Sinal de saída do Sistema de Medição SSM 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
28 
 
• Correção 
Relativa do 
Sistema de Medição CRSM 
• Incerteza Padrão Combinada Relativa do Sistema de Medição uRSM 
As Equações acima permitem caracterizar o sinal de saída do SM, composto pela interligação de 
n módulos. 
 
A incerteza expandida deve ser calculada após o cálculo da incerteza padrão. Caso não haja 
informações a respeito da determinação do parâmetro de abrangência K, use K = 2. 
 
Exemplo 9: 
A Fig 5 mostra o diagrama de blocos de um SM utilizado para medir deslocamento, o qual é 
composto dos seguintes estágios módulos: 
i Transdutor indutivo de deslocamento 
 Faixa de Medição: 0 a 20 mm; 
 Sensibilidade KT = 5mV/mm; 
 Correção CT = -1 mV; 
 Incerteza uT = ±2 mV  Estimada com n = 16. 
ii Unidade de Tratamento de Sinal Amplificador 
 Faixa de Medição: ± 200 mV na entrada; 
 Amplificação:100 X; 
 Correção CA = 0,000; 
 Incerteza uA = ±0,2  Estimada com n = 20. 
 
 
iii Dispositivo Mostrador Voltímetro digital 
 Faixa de Medição: ± 20 V; 
 Resolução R = 5mV; 
 Correção CDM = ±0,02 VI VI: Valor Indicado; 
 Incerteza uDM = ±5 mV  Estimada com n = 96. 
K....KKKE = S N3211SM 29 
S
C
+...+
S
C
+
S
C
+
S
C
 = 
S
C
 = C
N
N
3
3
2
2
1
1
SM
SM
RSM 30 

























S
u
+...+
S
u
+
S
u
+
S
u
 = 
S
u
 = u
n
n
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
SM
SM
RSM 31 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
29 
Transdutor
Unidade de
Tratamento
de Sinais
Dispositivo 
Mostrador
? 2,500 V
 
Fig 5: Diagrama de blocos de um SM para medição de deslocamento 
 
Determinar o valor do deslocamento medido e sua incerteza, quando o voltímetro indicar 
2,500 V. 
 
Solução: 
 Sensibilidade do Amplificador: EA=200 mV  Amplificação 100 X  SA=20 V  
 KA = SA/EA = 20 V/200 mV = 0,1 V/mV; 
 
• Determinação do valor nominal do Deslocamento: 
Pela Eq 27  2,500 V = ET . 5 mv/mm . 0,1 v/mV . 1V/V  ET = 5,000 mm 
 
• Determinação da Correção: 
Deve-se determinar o valor de saída de cada módulo: 
Transdutor  ST = ET . KT = 5,000 . 5 = 25,000 mV; 
Amplificador  SA = EA . KA = 25,000 . 0,1 = 2,500 V; 
Dispositivo Mostrador  SDM = EDM . KDM = 2,500 . 1 = 2,500 V; 
 
Correção Relativa CR 
Transdutor  CRT = CT/ST = -1mV/25,000 mV = -0,040; 
Amplificador  CRA = CA/SA = 0,000; 
Dispositivo Mostrador: Correção CDM  0,02 . 2,500 V = 0,5 mV; 
  CRDM = CDM/SDM = 0,5mV/2500 mV = 0,0002; 
 
 
Correção Combinada 
Eq 30  CRSM = -0,40 + 0,000 + 0,0002 = -0,0398  Correção Relativa; 
Na entrada do Sistema de Medição: CENTRADA SM = -0,0398 . 5,000 = -0,199 mm 
CENTRADA SM = -0,199 mm 
 
• Determinação da Incerteza: 
Incerteza Padrão Relativa 
Transdutor  uRT = uT/ST = 2 mV/25,000 mV = 0,08; 
Amplificador  uRA = uA/SA = 0,04 V/2,500 V = 0,016; 
Dispositivo Mostrador: 002,0
5,2
5

V
mV
U
DMR 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
30 
Observe: Amplificador Faixa de Medição: ±200mV  Amplificação: 100X 
  200mV . 100=20V 
 
Incerteza Padrão Combinada  Eq 31 
 
 
      0,0815 = 0,002+0,016+0,08 = 
S
u
 = u
222
SM
SM
RSM  
 
Na Entrada do SM  uENTRADA SM = ±0,0815 . 5,000 = ±0,4075 mm 
 
uENTRADA SM = ±0,4075 mm 
 
• Determinação da Incerteza Expandida: 
 
16,4 = 
96
)(0,016
+
20
)(0,040
+
16
)(0,080
08150,
 = 
444
4
ef 
 
Tab. 5 - Pág. 162 com ef = 16,4 e P = 95,45  K95 =2,17 
UENTRADA SM = ±2,17. 0,4075 mm = ±0,88 mm. 
 
UENTRADA SM = ±0,88 mm 
 
• Resultado da Medição RM
 
RM = 5,000 - 0,199 ± 0,88 = 4,8 ± 0,9 mm 
 
 
 
 Observe: CRSM = CSM/SSM  -0,0398=CSM /2,500V  CSM=-0,0995V (Na saída do SM) 
CSAIDA = CENTRADA.KT.KA.KDM  -0,0995 = CENTRADA.5.0,1.1  CENTRADA SM = -0,199 mm 
 
 Idêntico raciocínio pode ser extendido ao cálculo da incerteza 
  uSAIDA = ±0,0815.2,500 V =± 0,20375 V 
uSAIDA = uENTRADA.KT.KA.KDM  ± 0,20375 V = uENTRADA.5.0,1.1 
uENTRADA = ± 0,4075 mm 
 
 Resumindo: Após o cálculo da incerteza ou correção relativa, o valor absoluto desejado é 
encontrado ao se multiplicar o valor relativo pelo sinal correspondente. Ou seja: 
Se multiplicar a incerteza ou correção relativa pelo sinal de entrada será encontrado o 
valor absoluto da correção ou da incerteza na entrada. 
Se multiplicar a incerteza ou correção relativa pelo sinal de saída será encontrado o valor 
absoluto da correção ou da incerteza na saída. 
 
 
 
 
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31 
Exercícios Finais 
1) A temperatura (T) de um líquido foi medida usando um termômetro de resistência. Este 
termômetro foi fabricado usando fios de cobre. O valor da temperaturaé dado pela equação 
(1): 
T é a temperatura a ser medida; R é resistência do fio de Cu à temperatura T. R0 é a 
resistência de referência do fio de Cu à temperatura de referência T0.  de 
dilatação térmica do Cu. 
 
A resistência de referência foi medida seis vezes, conforme indicado na tabela abaixo: 
Número 1 2 3 4 5 6 Média Sx = Sx/(n)
1/2 
Indicação: R0 ( 5,56 5,60 5,52 5,54 5,58 5,58 5,563 0,0120 
 
Os seguintes dados de R0 para uma temperatura T0 = 20,000,05
 0C (K=2) são conhecidos: 
Estabilidade Térmica de R0 = 0,009 
0C Resolução do Instrumento: 0,04  
Influência do tamanho do Fio: 0,0459 ( Comprimento do fio 
utilizado: 3,65 m. 
Calibração (para a média R0 = 5,563) U =  0,0589   
Coeficiente de dilatação do Cobre:  = 0,0043 0C-1 
 
O sistema de medição abaixo foi utilizado para a medição da temperatura de um líquido. 
Mediu-se na verdade o valor da resistência R do fio de cobre. Durante a medição, o 
mostrador indicou na saída um valor de 0,15 Volts.Posteriormente, utilizando-se a equação 
(1), obteve-se a temperatura (T). 
 
 
 
 
 
 
 
 KS = 
Sensibilidade 
 
1.1) Determine adequadamente o valor do sinal de entrada no sistema de medição 
acima, ou seja, o valor da resistência (R) do fio de cobre. Use coeficiente de expansão 
K=2, caso seja necessário. 
 1.2) Indique qual módulo apresenta maior IMPRECISÃO e qual módulo apresenta maior 
INEXATIDÃO. Justifique! 
1.3) Determine adequadamente (com probabilidade P = 95,45%) o valor da resistência 
de referência R0. Use da uma temperatura estimada de 45 
0C. 
1.4) Determine adequadamente a temperatura do líquido. 
1.5) Faça uma análise detalhada da influência do uso da TEST = 45 
0C sobre o resultado 
da medição da temperatura medida no item 3 (TMED). 
 
 
2) A medição da força (P) da peça abaixo foi efetuada com um extensômetro, utilizando o 
sistema de medição mostrado abaixo. A deformação () pode ser determinada pela equação 
.0
0
0
R
RR
T T


PONTE AMPLIFI
- 
CADOR 
MOSTRA- 
DOR 
SAÍDA: 
0,15 V 
FILTRO 
Ponte 
KS = 0,41mV/; 
Td = -2,03 mV; 
U = 0,03 mV; 
(K = 2,5) 
Amplificador 
Amplificação: 50X 
Td = 15,5 mV; 
U = 1,0% (VI) 
(K = 2,40) 
Mostrador 
KS = 1,0V/V; 
Td = 0,10 V 
U = 2,0 mV; 
(K = 2,55)
 
 
Filtro 
KS = 1,2V/V; 
Td = 0 
U = 0,09 mV; 
(K = 2,6) 
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INTRODUÇÃO A ANÁLISE DE INCERTEZAS 
 
 
32 
R
R
F


1

 
onde F é o fator do extensômetro (F = 2,110,05) e R é a resistência da ponte ( R = 
1202). R é o valor de saída do sensor (extensômetro), sendo proporcional à 
deformação da peça na qual está colado. A força (P) provocou uma deformação na peça de 
aço (E = 207 GPa) e o sistema de medição indicou uma tensão de 3,0 V na saída. Sabe-se 
ainda que a peça tem uma secção transversal retangular com as seguintes dimensões: a = 
70,03,5 mm; b = 109,35,5 mm. Estas dimensões foram medidas com um mesmo 
paquímetro. Determine adequadamente o valor da força P. As incertezas dadas acima foram 
determinadas com probabilidade de enquadramento de 95% (F, R, a, b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponte de Wheatstone: Amplificador 
Sensibilidade K = 0,3 V/; Amplificação: 150X 
Faixa de Medição (F.M.) = 16; Faixa de Medição (F.M.) = 590mV; 
Td = 2, 5; Td = -4,0 mV; 
U = 4,9; (K = 2,1) U = 4,9% (K = 2,05); 
 
Aquisição: 
Sensibilidade K = 1,5V/V; 
Faixa de Medição (F.M.) = 5,0V; 
Td = 3,8% (VI); U = 17,3 mV; (K = 2,1) 
 
 
COMENTÁRIOS FINAIS 
COMPATIBILIDADE DE VALORES E REGRAS DE ARREDONDAMENTO 
 
Compatibilidade de Valores 
 
O resultado da medição deve ser apresentado com um número de algarismos significativos 
compatível com o fenômeno físico e/ou descrição da medida. 
 
A incerteza do resultado deve ter um ou no máximo dois algarismos significativos. 
 
O valor medido deve ter o mesmo número de casas decimais que o valor da incerteza. 
SAÍDA 
P 
Extensô- 
metro 
PONTE AMPLIFICADOR AQUISIÇÃO 
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33 
Regras de Arredondamento 
 
i) Se o algarismo à direita do último dígito a ser avaliado for menor que 5: Todos os algarismos 
à direita devem ser eliminados; 
 Exemplo: Arredondar 6,2364877 com 3 casas decimais  6,236 
 
ii) Se o algarismo à direita do último dígito a ser avaliado for maior que 5: Será adicionada uma 
unidade ao algarismo considerado: 
 Exemplo: Arredondar 6,2367 com 2 casas decimais  6,24 
 
iii) Se o algarismo à direita do último dígito a ser avaliado for igual a 5: 
 Será adicionada uma unidade ao algarismo significativo caso este seja ímpar, eliminando-se 
os demais algarismos: 
 Exemplo: Arredondar 6,23567 com 2 casas decimais  6,24 
 
 Serão desconsiderados todos os dígitos à direita do algarismo significativo caso este seja par: 
 Exemplo: Arredondar 6,24567 com 2 casas decimais  6,24