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Departamento de Economia ECO1704 – Econometria (2008.1) Professores: Sergio Firpo e Maurício Cortez Reis Monitores: Paula Pedro e João Felipe Santoro Lista de Exercícios Práticos IV Entrega: 16/06/2008. Para resolver os exercícios de 1 a 3 utilize a base “xy.xls”. Questão 1 (a) Utilizando o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), estime a equação abaixo: ( ) iiiiiii unegromulheridadeidadeanosestentoren ++++++= 5423210dimln ββββββ Onde: Interprete o coeficiente estimado para anosest e analise sua significância estatística. (b) “É provável que o estimador da equação acima seja viesado e inconsistente, pois a equação omite a habilidade do indivíduo”. Comente essa afirmativa. (c) Com o objetivo de resolver o problema apontado no item anterior, estime o modelo por variáveis instrumentais, usando como instrumentos dummies para o trimestre de nascimento da pessoa. Interprete o resultado encontrado. [No Gretl: clique em Model/Two-Stage least squares, selecione a variável dependente, o(s) instrumento(s) e a(s) explicativa(s) e clique em OK. Das variáveis explicativas na equação acima, todas com exceção de anosest devem ser incluídas como instrumentos.] (d) Apresente argumentos que você considera favoráveis ou desfavoráveis ao uso do trimestre de nascimento como instrumento. De que forma o resultado que você encontra quando estima a equação abaixo por MQO ajuda na sua explicação do item (d)? ( ) iiiiiiiii unegromulheridadeidadeTrimTrimTrimanosest ++++++++= 762543210 321ln ββββββββ Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo Onde: Trim1 é uma dummy igual a 1 para pessoas nascidas no primeiro trimestre do ano e igual a zero caso contrário. Questão 2 - Oferta de trabalho das Mulheres Antes de estimar a equação abaixo, limite a sua amostra a mulheres com horas positivas de trabalho. Não se esqueça de recuperar a amostra completa no final do exercício. [Para restringir a amostra no Gretl: clique em SamplelRestrict, based on criterion, digite mulher=1 e depois repita o procedimento para horas>0] Suponha que você tenha o sistema de equações abaixo para a determinação das horas trabalhadas e dos rendimentos. ( ) iiiiii uncdeescolaridaidadeentosrenhoras +++++= 10_0dimln 43210 βββββ ( ) iiiiiii vnegrodeescolaridaidadeidadehorasentosren ++++++= 5423210dimln αααααα (a) Estime a primeira equação por MOQ. Analise o resultado. (b) Supondo que as horas e os rendimentos sejam determinados pelo sistema acima, estime a primeira equação, para as horas trabalhadas, usando o método de Mínimos Quadrados em Dois Estágios. Compare com o resultado encontrado no item (a). Questão 3 Estime a equação abaixo através dos seguintes métodos: (i) probabilidade linear, (ii) logit e (iii) probit: iiiii ii educmnpesnegromulheridade deescolaridanpesnegromulheridadedeescolaridaocupadoob 87542 10),,,,/1(Pr βββββ ββ +++++ ++== Interprete os resultados estimados. [No Gretl: clique em Model/Logit ou Probit, selecione a variável dependente e a(s) explicativa(s) e clique em OK] Para resolver os exercícios 4 e 5 utilize a base “xy_Dom.xls”. Questão 4 Estime a equação abaixo usando os modelos logit, probit e probabilidade linear. ))ln(),,/1(Pr 4210 iiii valorNcomrenddomicvalorNcomrenddomiccomputadorob ββββ +++== (a) Interprete os resultados. Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo (b) Obtenha a probabilidade esperada de ter computador para um domicílio com renda domiciliar igual R$ 1.000, 4 cômodos e valor igual a 20.000. Utilize os modelos logit e probabilidade linear. Questão 5 Estime a equação abaixo usando os modelos logit, probit e probabilidade linear: )_ln()ln( )ln()_,,,/1(Pr 432 10 iii ii mvalorareaNcom renddomicmvalorNcomárearenddomicalugadoob βββ ββ ++ ++== Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo Distribuição Normal Padrão Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641 0.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247 0.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859 0.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483 0.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121 0.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776 0.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451 0.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2l48 0.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867 0.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611 1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379 1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170 1.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985 1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823 1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .0681 1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559 1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455 1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367 1.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026 2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019 2.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo Departamento de Economia ECO1704 – Econometria (2008.1) Professores: Sergio Firpo e Maurício Cortez Reis Monitores: Paula Pedro e João Felipe Santoro Lista de Exercícios Teóricos IV Questão 1 Suponha que você esteja interessado em estimar o efeito da variável x sobre a variável y. Para isso, você gostaria de estimar o seguinte modelo: uqxy +++= 210 βββ , onde ( ) 0,/ =qxuE No entanto, a variável q não está disponível na sua base de dados. Além disso, você sabe que a correlação entre x e q é positiva e que β2 é negativo. Portanto, o método de MQO produz um estimador viesado para β1 no modelo abaixo: vxy ++= 10 ββ Suponha que você tenha uma amostra aleatória para as variáveis: y,x, k e s. As variáveis k e s possuem as seguintes características: Correlação(k,q)>0, Correlação(k,x)>0, Correlação(k,v)>0 Correlação(s,q)=0, Correlação(s,x)>0, Correlação(s,v)=0 a) Explique de que forma a variável k poderia ser usada para estimar o efeito de x sobre y? b) Explique de que forma a variável s poderia ser usada para estimar o efeito de x sobre y? Questão 2 Suponha que os rendimentos e o consumo de álcool sejam determinados pelo seguinte sistema de equações: ( ) 1210dimln ueducaçãoálcoolentosren +++= ααα Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo ( ) 23210 dimln upreçoeducaçãoentosrenálcool ++++= ββββ Onde: preço é o índice de preço local para bebidas alcoólicas. Supõe-se que o preço e a educação sejam variáveis exógenas. a) Se 32121 e ,,, βββαα são todos diferentes de zero, qual equação pode ser identificada? Explique. b) Explique como você estimaria essa equação. Questão3 Suponha que você tenha como objetivo estimar de que maneira variações no preço do cigarro influenciam a quantidade demanda desse bem. Para isso, você dispõe de dados sobre a quantidade consumida de cigarros (em maços por habitante) e o preço médio do maço (em Reais) em 500 cidades durante um determinado ano. Além disso, você também tem informação sobre a renda média em cada uma das 500 cidades. a) Estimando a equação abaixo pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) você conseguiria atingir seu objetivo de maneira satisfatória, ou seja, entender como o preço do cigarro afeta a quantidade demandada? Justifique detalhadamente a sua resposta. iiii uRPC +++= 210 βββ Onde: Ci = quantidade consumida de cigarro na cidade i. Pi = preço médio do cigarro na cidade i. Ri = renda média na cidade i. b) Considere que a tecnologia de produção de cigarros é a mesma em todas as cidades (a curva de oferta de cigarros é a mesma em todas as cidades). Suponha que você consiga informações relacionadas a um imposto municipal que incide sobre o preço do cigarro em cada uma das cidades. Esse imposto apresenta valores diferenciados entre as cidades. Na sua opinião, essa variável pode ajudar na estimação da regressão de interesse? Justifique a sua resposta. c) Descreva detalhadamente (incluindo as fórmulas adequadas) como você faria para estimar o impacto do preço do cigarro sobre a quantidade demandada usando as informações sobre o imposto, conforme descrito no item b). d) Suponha que o imposto sobre o preço do cigarro deixe de ser municipal e passe a ser estabelecido nacionalmente. Ou seja, deixe de haver variação no imposto entre as cidades. Como isso dificulta a sua análise? Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo Questão 4 Considere o seguinte modelo que satisfaz as condições de Gauss-Markov: (1) uSY ++= βα Onde S é medida com erro. A variável observada X é dada por wSX += . Supõe-se que w tem média zero e variância constante entre as observações, e que w é independente de u e S. Considere que você tenha dados para Y, X e uma terceira variável Z, que é correlacionada com X. (a) Mostre matematicamente as conseqüências do erro de medida para o estimador de β em uma regressão por MQO de Y em X. (b) Obtenha o estimador de variáveis instrumentais (VI) de β, usando Z como instrumento para X. (c) O estimador de VI encontrado no item (b) é consistente, quando determinadas condições são satisfeitas. Estabeleça essas condições e explique por que elas são necessárias. (d) Por que o estimador de VI não é necessariamente superior ao de MQO, mesmo quando as condições para o uso de um instrumento são satisfeitas? Questão 5 Com o objetivo de avaliar os ganhos salariais advindos da educação superior nos EUA e, em particular, comparar os efeitos de cursos universitários “tradicionais” com os cursos de curta duração (“junior colleges”), T.J.Kane e C.E.Rouse (“Labor Market Returns to Two- and Four-Year Colleges”, AER 85:3, 1995) estimaram, a partir de dados da década de 1970 para os EUA, as seguintes equações para uma amostra de 3.249 homens (desvios-padrão em parênteses): uxunivjcolsal ˆˆ)ln( 072,0041,0 )004,0()011,0( +′++= β (1) vzunivjcolsal ˆˆ)ln( 056,0035,0 )005,0()011,0( +′++= γ (2) onde sal é o salário anual do indivíduo (em US$), jcol e univ medem, respectivamente, o número de anos cursados em cursos superiores de curta duração (“junior colleges”, que duram 2 anos) ou de longa duração (“universitários”, que duram 4 anos), x é um vetor de variáveis explicativas adicionais que incluem dummies de raça (negro/hispânico) e região geográfica, experiência profissional (em nível e ao quadrado) e um intercepto; e z é um vetor de variáveis explicativas que inclui, além de todas as variáveis presentes em x, também as seguintes variáveis: renda dos pais, posição do indivíduo no ranking de sua turma na escola secundária, e nota obtida em testes padronizados de avaliação na escola secundária. Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo a) As variáveis jcol e univ estão calculadas em termos de “anos de créditos”; isto é, trata-se da razão entre o total de créditos cursados pelo indivíduo e o número médio de créditos a serem cursados por ano. No artigo, os autores advertem para a possibilidade de erro de mensuração nessas variáveis, devido a informações equivocadas ou diferenças na contabilidade de créditos por parte das instituições de ensino. Que tipo de conseqüência isso poderia acarretar para a qualidade da estimação? b) Os autores tentaram resolver o problema citado no item anterior através do uso da variável instrumental “nível de educação informado pelo próprio indivíduo”. Apresente um raciocínio justificando a validade desse instrumento. Questão 6 Considere um modelo de equações simultâneas com as seguintes equações estruturais iiiii iiii uzwyx uwxy 23210 1210 ++++= +++= δδδδ βββ onde y e x são endógenos, w e z são exógenos e u1 e u2 são termos de erro. a) Mostre que a equação na forma reduzida para y pode ser escrita como iiii vzwy 1210 +++= πππ b) Expresse os parâmetros da equação para y na forma reduzida como funções dos parâmetros das equações estruturais. Qual hipótese adicional sobre os parâmetros estruturais você precisou fazer a fim de poder responder a parte (a)? c) Expresse o termo de erro da forma reduzida, v1, em função dos erros das equações estruturais. d) Suponha que 2β =0. Como você estimaria consistentemente 1β ? Questão 7 Considere a seguinte base de dados, onde Y é uma variável binária que é igual a 1 se a pessoa se encontra desempregada e 0 caso contrário; e X mede anos de estudo: Y 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 X 9 2 5 4 6 7 3 5 2 7 Onde N=10, 50 1 =∑ = N i iX e ( ) 482 1 =−∑ = N i i XX . (a) Seguindo um modelo de probabilidade linear, qual é o impacto de um ano adicional de estudo sobre a probabilidade de estar desempregado? (b) Esse impacto é estatisticamente significante? Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo Questão 8 Considere uma empresa em que homens e mulheres estão distribuídos da seguinte forma entre cargos de gerência e de produção: Gerência: 20 homens e 10 mulheres. Produção: 30 homens e 40 mulheres. a) Estimando, pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários, uma regressão em que a variável dependente é igual a 1 se a pessoa ocupa um cargo de gerência e zero caso contrário e a variável explicativa é uma dummy para mulher, obtenha o coeficiente estimado para essa dummy. Inclua uma constante na regressão. Como você interpreta o resultado encontrado? b) Quais outros métodos poderiam ser empregados para estimar a relação descrita no item a)? Descreva as vantagens e desvantagens de cada abordagem. Questão 9 Considere a seguinte base de dados (N=4), onde Y é uma variável binária que é igual a 1 se a pessoa se encontra desempregada e 0 caso contrário; e X mede anos de estudo: Y 1 1 0 0 X 1 2 3 4 (a) Usando um modelo de probabilidade linear (m.p.l.), obtenha da maneira mais eficiente possível (com menor variância e sem hipóteses sobre a distribuição dos erros) os valores estimados para os parâmetros 0β e 1β na regressão: uXY ++= 10 ββ . (b) Qual a fórmula da variância do estimador de 1β da parte (a)? [não precisa obter uma estimativa, só escrever a fórmula]. (c) Agora suponha que você queira estimar os parâmetros 0β e 1β em um modelo probit. (i) Como você os estimaria? (dê uma descrição detalhada do método de estimação, escrevendo a fórmula da função objetivo que você optimizaria, mas sem fazer uso dos dados (Y,X) acima). (ii) Como o seu método de estimação mudaria se o modelo fosse logit? (d) Como variações em X influenciam Y (em média) em cada umdos modelos acima (m.p.l., probit e logit)? Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo
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