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Gabarito da Lista 4 Teórica 15 de junho de 2008 Professor: Sérgio Firpo e Maurício Cortez Reis Monitor: Paula Pedro e João Felipe 1 Questão (a) A variável k poderia ser usada como proxy para q. (b) A variável s poderia ser usada como instrumento para a variável x. 2 Questão (a) A primeira equação pode ser identificada pois satisfaz a condição de ordem. Com isso, podemos usar a variável preço como instrumento para a variável álcool. Já na segunda, não há instrumentos que possamos utilizar para ln(rendimentos), visto que a única variável exógena que seria uma candidata a instrumento já está incluída na segunda equação. (b) A estimação da primeira equação poderia ser feita utilizando preço como instrumento para álcool através do Método dos Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E). Primeiro computaríamos a regressão de álcool nas variáveis exógenas (preço,educação) obtendo a parte do consumo de ácool que é exógena, que chamaremos de acoˆol, e depois computando uma regressão de ln(rendimentos) em acoˆol e educação. obs:não devemos computar o segundo estágio manualmente. Ver Wooldridge Pág.470 3 Questão (a) Não. O que é determinado na realidade pela equação é uma quantidade de cigarros de equilíbrio. Isso porque o preço, uma das variáveis explicativas, é determinado pela interação das forças de demanda por maços de cigarro e oferta de maços de cigarro. O que ocorre nessa regressão é um problema de endogeinidade: o preço afeta a demanda por cigarros e a demanda por cigarros, por sua vez, afeta o preço. (b) Sim. Supondo que o imposto é determinado exogenamente e como varia entre as cidades, serve como uma variável instrumental para o preço do cigarro, e assim podemos identificar e estimar a equação da demanda. 1 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo (c) Podemos utilizar o método de MQ2E. Primeiro computamos a seguinte regressão: Pˆ = pi1T + pi2R E depois: C = β0 + β1Pˆ + β2R (d) O fato do imposto ser determinado nacionalmente faz com que não haja mais correlação entre a variável imposto (T) e a variável preço (P). Isto é, Corr(T, P ) = 0. 4 Questão (a) Y = α+ β(S + w) + u Y = α+ βS + (βw + u) Então, se Corr(S,w) 6= 0, o estimador β pode estar viesado. Além disso, o erro de medida deve aumentar a variância. (b) Primeiro computamos a regressão: Sˆ = 1ˆZ Depois computamos a regressão: Y = αˆ+ βSˆ O estimador para o β fica: βˆ = Cov(Y,Z)Cov(X,Z) (c) Corr(Z, S) 6= 0 Isto é, a variável instrumental Z deve estar correlacionada com a variável explicativa S. Corr(Z, u) = 0 Isto é, a variável instrumental Z não pode estar correlacionada com os fatores não observáveis contidos em u. Corr(Z, v) = 0 , onde v = βw + u Isto é, a variável insturmental Z além de não poder estar correlacionada com os fatores não observáveis contidos em u, também não pode estar correlacionada com o erro de medida w. (d) Corr(Z, S) pode ser muito baixa, fazendo com que a variância seja alta e o estimador seja muito ineficiente. Dado isso, se o erro de medida não for muito grande, será melhor estimar por MQO. 5 Questão (a) Esse problema nos diz que a variável explicativa que estaria sendo observada inclui um erro tal que: X = X∗ + e Onde X é o que está sendo observado e X* é a verdadeira variável. Então: Y = β0 + β1X + (β1e+ u) Ou seja, poderemos ter um problema de estimadores viesados caso e seja correlacionado com X. 2 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo (b) Ao adotar a variável nível de educação informado pelo próprio individuo , que, em média, está altamente correlacionado com o nível de educação reportado pela instituição, eliminamos o problema de mensuração a medida que admitimos que aquele não é o verdadeiro valor do nível educacional do individuo. Lembrando que os erros de medida das duas variáveis devem ser idependentes. 6 Questão (a),(b) e (c) { yi = β0 + β1xi + β2wi + u1i xi = δ0 + δ1yi + δ2wi + δ3zi + u2i Substituindo a primeira na segunda: xi = δ0 + δ1(β0 + β1xi + β2wi + u1i) + δ2wi + δ3zi + u2i xi − δ1β1xi = δ0 + δ1β0 + δ1β2wi + δ2wi + δ3zi + δ1u1i + u2i (1 − δ1β1)xi = δ0 + δ1β0 + (δ1β2 + δ2)wi + δ3zi + δ1u1i + u2i Agora devemos fazer a hipótese adicional δ1β1 6= 1, e dividir a equação por (1 − δ1β1): xi = δ0 + δ1β0 (1− δ1β1)︸ ︷︷ ︸ pi0 + (δ1β2 + δ2) (1 − δ1β1)︸ ︷︷ ︸ pi1 wi + δ3 (1− δ1β1)︸ ︷︷ ︸ pi2 zi + δ1u1i + u2i (1− δ1β1)︸ ︷︷ ︸ v1 (d) Fazendo o MQ2E, usando z como instrumento para x (desde que z seja não-correlacionado com u1): xˆi = γ0 + γ1zi + γ2wi yi = β0 + β1xˆi + β2wi + u1i 7 Questão (a) βˆ1 = N∑ i=1 (Xi−X)Yi N∑ i=1 (Xi−X)2 = 348 = 0, 0625 (b) Não. Vejamos porque: t = βˆ1 ep(βˆ1) = 0,06250,0759 = 0, 823 p-valor = 0,43415 Não conseguimos rejeitar a hipótese nula de que β1 = 0 utilizando nenhum dos níveis de significân- cia razoáveis (1 a 10%). Para rejeitar H0 deveríamos ter um nível de significância de 43,4% e isto não é nem um pouco razoável. 3 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo 8 Questão (a) βˆ1 = N∑ i=1 (Xi−X)Yi N∑ i=1 (Xi−X)2 = 0, 20 As mulheres têm uma probabilidade 20% menor de serem gerentes. (b) Poderíamos ter usado um modelo Probit ou Logit. Isso porque o modelo de probabilidade linear apresenta basicamente os seguintes problemas: 1) Heterocedasticidade 2) Dificuldade em interpretar probabilidades >1 e < 0 3) Efeitos marginais constantes No entanto, o o m.p.l é bem mais simples que o probit e o logit, o que o torna útil em várias aplicações. 9 Questão (a) βˆ1 = N∑ i=1 (Xi−X)Yi N∑ i=1 (Xi−X)2 = −25 = −0, 4 (b) V ar(βˆ1) = n∑ i=1 (Xi−X) 2uˆ2 i n∑ i=1 (Xi−X)2 (c) Antes, no modelo de probabilidade linear fazíamos: P (y = 1|x) = β0 + β1x1 + β2x2 + ...+ βkxk Agora temos: P (y = 1|x) = G(β0 + β1x1 + β2x2 + ...+ βkxk) Onde G é uma função assumindo valores estritamente entre 0 e 1. A diferença do modelo Probit para o Logit está na escolha da função G: Probit : G(z) = Φ(z) = z∫ −∞ φ(v)dv Onde φ(z) é a densidade normal padrão: φ(z) = (2pi)−1/2 exp(−z 2 2 ) Logit : 4 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo G(z) = exp(z)1+exp(z) (d) A meta principal desses modelos de resposta binária é explicar os efeitos de x sobre a probabilidade de resposta P(y=1|x). No entanto, quando estimamos utilizando a função objetivo G(z), os coeficientes não têm mais uma interpretação direta. Apesar disso, o sinal dos coeficientes permanece o mesmo. Para medir o efeito parcial da variável X sobre a variável Y, temos que confiar no cálculo: ∂P (y=1|X) ∂X = G ′(β0 + β1X)β1 onde, G′(z) = ∂G∂z (z). 5 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo
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