Matemática Financeira

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FUNDAMENTOS DA 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA E A 
UTILIZAÇÃO DA 
CALCULADORA HP 
12C 
Professor (a) : 
Me. Carla Fabiana de Andrade Gonçalves Iori 
Objetivos de aprendizagem 
• Rever conceitos da matemática básica. 
• Conhecer as teclas da calculadora Hp 12c. 
• Manusear a calculadora. 
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Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Matemática Básica 
• Identificando uma Hp 12c 
• Operando a máquina 
Introdução 
Porque você está lendo este livro, nesse momento do tempo? Você poderia estar pedalando, fazendo sua atividade esportiva 
preferida, poderia estar conversando com amigos, poderia estar curtindo o (a) esposo (a) ou o namorado (a), brincando com seus 
filhos, desenvolvendo um relatório importante para a empresa, trocando a lâmpada que queimou na sala, acessando a internet 
para programar a viagem desejada, enfim… você decidiu buscar o conhecimento. Renunciou alternativas possíveis (e desejáveis!) 
para se concentrar em uma atividade intelectual. A palavra renúncia é, para nós, importante aqui. 
Nosso cotidiano está integralmente relacionado à tomada de decisões. Quando crianças alguém decidia por nós. Já adultos, a 
responsabilidade por nossos atos é o peso da nossa liberdade de escolha. Seja no começo da vida, ou depois, a ação nos 
acompanha… e o que isso tem haver com esse material relacionado à matemática financeira? Tudo! Tratar de finanças é analisar, 
com a ajuda de um instrumento matemático, como tomar as decisões mais acertadas possíveis no tempo que nos cerca. 
Nosso objeto de trabalho, dessa maneira, envolve duas variáveis fundamentais nas nossas vidas: dinheiro e tempo. 
Dessa maneira vamos nos atentar para as ferramentas matemáticas que operacionalizam nosso aprendizado para que nossas 
decisões financeiras possam assumir um caráter mais fundamentado e, por consequência, sejam mais acertadas possíveis. Para que 
isso ocorra é importante pensar que, inicialmente, conceitos como razão, proporção, porcentagem, radiciação, potenciação, entre 
outros são fundamentais para nosso entendimento sobre as definições que envolvem os juros e suas implicações. 
Destarte, de forma muito sucinta vamos apresentar alguns exemplos desse conteúdo que envolve a parte da matemática 
comercial, para, na sequência, realizarmos o tratamento adequado para o que envolve as operações mais elaboradas sobre 
capitalização composta. 
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MATEMÁTICA BÁSICA 
Breve revisão da matemática básica 
A matemática financeira é um instrumento fundamental para que nossas tomadas de decisões financeiras sejam o mais acertadas 
possíveis. Para isso, é importante relembrar aspectos da matemática básica. Vamos lá? 
Razão 
O primeiro elemento da matemática financeira (e comercial) e a razão. E o que é mesmo? É o quociente entre dois valores de 
mesma grandeza. 
Imagine uma sala de aula com 20 alunos e 25 alunas. A razão entre alunos e alunas é: 
E, nesta mesma sala de aula, qual a razão entre alunas e alunos? 
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Observe que, no primeiro caso, “alunos” assumiu o termo antecedente, enquanto alunas é o termo conseqüente. No segundo caso, 
os termos inverteram – se. Podemos também encontrar a razão de alunos (as) em relação ao total da turma: 
Proporção 
Proporção é a igualdade de duas razões. Por exemplo: 
Em uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. É a chamada propriedade fundamental da proporção. 
Lemos da seguinte forma: 3 está para 4 assim como 9 está para 12. Podemos, assim, encontrar o valor de a na proporção: 
Usando a propriedade fundamental temos: 
Potenciação 
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A operação aritmética de multiplicação você já conhece muito bem. Sabemos realizar 30 . 15, 30 . 15 . 20, etc. Alguns cálculos até 
fazemos de cabeça. 
Que tal multiplicarmos 3 . 3 . 3? Encontramos 27. Ainda está fácil. Imagine se quiséssemos multiplicar o 3 por ele mesmo sessenta 
vezes. Veja só: 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3... ufa! Que loucura! E ainda falta 50 vezes... Como se trata de multiplicações sucessivas de 
um mesmo número, os matemáticos bolaram uma maneira prática de representar aquelas multiplicações – a potenciação. As 
multiplicações ficariam representadas da seguinte forma: 
Chamamos de base o 3 e de expoente o 60. 
Potenciação é a multiplicação de um número “ a “ R, por ele mesmo, quantas vezes estiver indicado em seu expoente n R, ou seja: 
Operações com Potências 
Existem algumas regras que facilitam o cálculo das potências. Vamos conhecê-las agora. 
• Quando se multiplicam potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
• Na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 
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• Para se elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
Para multiplicarmos potências de diferentes bases, mas com um mesmo expoente, multiplicamos as bases e mantemos o expoente. 
Radiciação 
Até agora trabalhamos com potências de expoente inteiros, do tipo 5² . Tudo bem, (5.5) é fácil! E se de repente você encarar um 
potência do tipo 50 ? Quantas vezes devemos multiplicar a base 5? 0,5 
Esse tipo de potência, com expoente fracionário, é resolvido através da radiciação. 
Sabemos que a operação inversa da adição é a subtração e vice-versa. A operação inversa da multiplicação é a divisão e vice-versa. 
E da potenciação... A radiciação. 
Vamos ver um exemplo: 
ou seja, forma-se um radical (√) , onde: 
De forma geral, temos: 
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Não precisamos colocar 2 como índice. Podemos escrever simplesmente . Esse resultado chama-se raiz quadrada. Há outros tipos 
de raízes. Vejamos: Raiz cúbica – Recebe esse nome quando o índice for 3. Assim: 
Equações 
No dia-a-dia estamos acostumados a resolver equações mecanicamente, sem percebermos. Quer ver? 
Um cliente verifica que o saldo da poupança é de R$ 79.520,00. Sabendo-se que foi aplicado R$ 49.600,00, qual o rendimento 
obtido? 
Basta efetuar a operação: 79.520,00 – 49.600,00 = 29.920,00 
Tudo bem, mas e a equação? 
49.600 + ? =79.520 
Valor aplicado + Rendimento = Saldo 
Nas equações, tudo aquilo que não conhecemos chamamos de incógnita ou variável e representamos por uma letra do alfabeto 
(usualmente o “X”). 
Equacionar é satisfazer uma igualdade descobrindo-se o valor desconhecido. 
49.600 + x = 79.520 
O valor de x que satisfaz a igualdade é 29.920 
IDENTIFICANDO UMA HP-12C 
A Hewlett-Packard é uma empresa de informática e tecnologia estadunidense e desenvolveu a calculadora HP-12C em 1981, em 
substituição às calculadoras HP 38E e 38C. 
Trata-se de uma calculadorafinanceira programável mais conhecida e usada por pessoas que precisam de velocidade e precisão na 
execução de cálculos financeiros envolvendo juros compostos, taxas de retorno, amortização, etc.. 
A diferença de uma HP para as calculadoras convencionais está na forma de entrada dos dados. As calculadoras convencionais 
executam cálculos de uma forma direta, ou seja, obedecendo à sequência natural da Matemática. Para somar 2 mais 3, tecla- -se 
primeiro o 2, depois o (+), em seguida o 3 e, finalmente, a tecla (=). Resultado: 5. 
A HP 12C utiliza método Notação Polonesa Inversa e introduziu o conceito de fluxo de caixa nas calculadoras, utilizando sinais 
distintos para entrada e saída de recursos. Notação Polonesa Inversa (ou RPN na sigla em inglês, Reverse Polish Notation ), foi 
elaborada pelo filósofo e cientista da computação australiano Charles Hamblin em meados dos anos 1950, para habilitar 
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armazenamento de memória de endereço zero. Ela deriva da notação polonesa, introduzida em 1920 pelo matemático polonês Jan 
Łukasiewicz. 
Atualmente existem 4 modelos diferentes da calculadora HP 12C no mercado: Gold, Platinum, Platinum 25th Anniversary Edition 
e Prestige, que apresentam pequenas diferenças entre si. Apesar de lançar vários modelos, a HP não retirou de mercado os 
modelos antigos, podendo estes, ainda serem comprados diretamente em lojas especializadas. 
HP 12C Gold 
É o modelo mais antigo, e também o mais tradicional dentre os quatro modelos. Apresenta apenas o modo de cálculos usando a 
notação RPN. Tal notação pode tornar-se de difícil compreensão para usuários iniciantes, porém torna-se uma poderosa 
ferramenta para cálculos financeiros. 
Tem display e moldura dourada e seu teclado preto. 
Figura 1: Calculadora Hp 12c 
Fonte: a autora. 
HP 12C Platinum 
É o modelo lançado posteriormente ao Gold. Este veio ao mercado com o diferencial de ter mais memória interna para 
programação de funções, e maior velocidade de cálculo, além de ser a primeira da série a conter, além do RPN, o modo Algébrico 
de cálculo (modo convencional usado nas calculadoras comuns). 
Bug 
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Algumas das Calculadoras HP 12C Platinum saíram de fábrica com um bug em seu programa no que diz respeito à função de Taxa 
Interna de Retorno (tecla IRR). Este problema não afeta as demais funções, nem ocorre nos demais modelos da calculadora. 
HP 12C Platinum 25th Anniversary edition 
Este modelo foi lançado em 2006 em comemoração ao 25º aniversário de lançamento da calculadora financeira mais famosa da 
atualidade. Além das funções presentes no modelo Platinum, esta também contem 2 novas funções: UNDO (desfazer) e 
BACKSPACE (apagar o ultimo dígito inserido). 
Este foi também o primeiro modelo a acompanhar o case com o novo modelo, abandonando o antigo modelo de envelope ou saco. 
Nesta versão foi corrigido o bug da versão Platinum. 
HP 12C Prestige 
Este é o modelo mais atual existente em mercado. É similar ao modelo comemorativo de 25º aniversário, porém com um visual 
diferenciado. 
Figura 2: Diferenças entre as calculadoras 
Fonte: Disponível em:< https://www.flickr.com/photos/keithmidson/6918874733 >. Acesso em 20 abr 2017. 
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OPERANDO A MÁQUINA 
Para começar a usar sua hp 12c, aperte a tecla ON . Apertando ON novamente desliga a calculadora. Se não desligada 
manualmente, a calculadora se desligará automaticamente entre 8 e 17 minutos depois do último uso. 
Indicador de carga da bateria 
Um ícone de bateria (*) mostrado no canto superior esquerdo do mostrador, quando a calculadora está ligada, significa que a 
bateria está fraca. 
O teclado 
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Muitas das teclas da hp 12c executam duas ou até três funções. A função primária de uma tecla é indicada pelos caracteres 
impressos em branco na sua face superior. As funções secundárias de uma tecla são indicadas pelos caracteres impressos em letra 
dourada acima da tecla e em letra azul na sua face inferior. Essas funções secundárias são selecionadas apertando a tecla de 
prefixo apropriada antes da tecla de função: 
• Liga/Desliga 
• Prefixo f 
Tecla para escolher funções secundárias. Seleciona a função em letra dourada, acima das teclas de função. Usa-se, ainda ao 
formatar o número no mostrador. 
• Prefixo g: Tecla para escolher funções secundárias. Seleciona a função em letra azul, na face inclinada das teclas de 
função. 
• Store. Armazena.Seguida por um número, um ponto decimal e um número, ou uma tecla financeira da primeira linha, 
armazena o número mostrado no registro especificado. Também usada para fazer cálculos aritméticos com os valores 
armazenados nos registros. 
• Recall. Recuperar. Seguida por um número, um ponto decimal e um número, ou uma tecla financeira da primeira linha, 
recupera o valor do registro de armazenamento especificado e coloca-o no registro X. 
Execução de programa 
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Linha de memória 
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Manual de Utilização da Calculadora Financeira HP 12c. Material disponível para download no site da HP. 
Para saber mais, acesse: < http://h10032.www1.hp.com/ctg/Manual/bpia5314. pdf > 
Calendário 
Nesse caso, há também diferença entre o sistema brasileiro e o americano. A ordem americana é mês – dia – ano , diferentemente 
da nossa. A máquina, neste momento, está na forma americana. Vamos colocá-la na configuração brasileira. As teclas a serem 
utilizadas são estas: 
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Cálculos em Cadeia 
Toda vez que o resultado de um cálculo estiver no visor e se desejar armazená- lo para efetuar outro cálculo em seguida não será 
necessário pressionar ENTER , pois o resultado será armazenado automaticamente. Isto ocorre porque a HP 12C possui quatro 
Registradores. São usados para armazenamento de números durante os cálculos. Esses registradores (conhecidos por memórias 
de pilha operacional) são designados por X, Y, Z e T. 
Fonte: Disponível em:< https://support.hp.com/pt-pt/document/c02043563 >. Acesso em 10 mai 2017. 
Para saber quantos dias há entre 13/06/1980 e 30/08/1984, repita na sua calculadora a sequência de 
teclas: data, acione a tecla ponto, insira o mês e ano e verá que são 1.539 dias. Esta resposta reflete o 
número real de dias entre duas datas, levando em conta, ainda, que há um ano bissexto. A HP-12C também 
calcula a diferença entre as duas datas de acordo com o ano comercial (12 meses de 30 dias) e coloca a 
resposta na pilha operacional, em Y. Para ter essa resposta no visor, tecle . No exemplo anterior, 1.517 é o 
número de dias pelo método comercial. 
Fonte: a autora. 
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ATIVIDADES1. são respectivamente potência, potência com expoente fracionário, raiz 
quadrada e raiz cúbica, assinale a alternativa que apresenta a resolução 
desses cálculos: 
a) [20], [1,41], [1] e [2]. 
b) [625, [2,05], [6] e [4]. 
c) [1.024], [4], [1] e [0,25]. 
d) [1.024], [1,41], [2] e [8]. 
e) [1.024], [1,42], [4] e [3]. 
2. Um terreno foi comprado por R$ 50.000,00 e vendido por R$ 65.000,00. Qual o percentual foi referente ao lucro sobre o preço 
de compra? 
a) O lucro sobre o custo foi de 10%. 
b) O lucro sobre o custo foi de 20%. 
c) O lucro sobre o custo foi de 30%. 
d) O lucro sobre o custo foi de 40%. 
e) O lucro sobre o custo foi de 50%. 
3. As cinco principais teclas financeiras da calculadora hp 12c são: 
a) n, i, PV, FV e PMT. 
b) x<>y, n, %, Y e R/S. x 
c) f, g, STO, RCL e clx. 
d) x, ÷ , Δ , + e – . % 
e) CHS, EEX, ENTER, PV e FV. 
Resolução das atividades 
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RESUMO 
É muito importante rever os conceitos da matemática básica para o real entendimento dos diversos elementos da matemática 
financeira, propriamente. 
Razão:Usamos razão para fazer comparação entre duas grandezas. Assim, quando dividimos uma grandeza pela outra estamos 
comparando a primeira com a segunda. 
Proporção: é a equivalência entre razões. 
Potenciação: é a operação matemática que indica quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesma: 
A partir dessas operações matemáticas que vão contribuir enormemente para o entendimento dos regimes de capitalização de 
juros, passamos a conhecer a calculadora financeira hp 12 c. Trata-se de uma ferramenta muito utilizada no mercado financeiro, há 
mais de 30 anos. Foi desenvolvida pela Hewlett-Packard Company. Surgiu no Vale do Silício, nos Estados Unidos. Utiliza-se da 
notação polonesa reversa, desse modo apresenta um sistema operacional diferente, com relação às calculadoras convencionais, 
que operam como o modo algébrico. 
A calculadora tem 40 teclas, e a maioria delas apresentam mais de uma funcionalidade. 
Através dos prefixos g e f, você pode acionar as funções em dourado e azul, respectivamente. A maior funcionalidade atribuída à 
calculadora é para a execução de cálculos financeiros envolvendo juros compostos. Através das teclas, n, i, PV, PMT e FV, podemos 
facilmente obter resultados que envolvem a capitalização exponencial. 
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Material Complementar 
Filme 
Título: O homem que viu o infinito 
Título Original: The Man Who Knew Infinity 
Ano: 2016 
Sinopse: Uma verdadeira história de amizade que mudou a matemática 
para sempre. Em 1913, Ramanujan, um gênio da matemática autodidata 
da Índia viaja para a o Colégio Trinity, na Universidade de Cambridge, 
onde ele se aproxima do seu mentor, o excêntrico professor GH Hardy, e 
luta para mostrar ao mundo a brilhantina de sua mente. 
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REFERÊNCIAS 
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental – 1. Ed – 2 reimp. – São Paulo: Atlas, 2006. 
BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12C e Excel – 3.ed São Paulo: Atlas, 2004. 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial e financeira . [livro eletrônico]. Curitiba: Intersaberes, 
2012. < http://cesumar.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788582124154/pages/5 > Acesso em 11 mai 2017. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira . 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
HEWLETT-Packard Development Company, L.P. Manual do usuário e guia de resolução de problemas . China, 2003. 225 p. 
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira . São Paulo: Atlas, 2011. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira : objetiva e aplicada – 7. Ed.São Paulo: Saraiva, 2004. 
ROSSETTI, José Paschoal. Introdução à Economia . 20. ed. São Paulo: Atlas, 2003. 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira . São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira . – 4. Ed. São Paulo: Atlas 2001. 
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APROFUNDANDO 
Vamos usar esse espaço para trabalharmos uma função bastante relevante da máquina a Função de Calendário. 
A HP-12C permite fazer cálculos com datas, pelas funções de calendário. É possível trabalhar com datas entre 15 de outubro de 
1582 e 25 de novembro de 4046. 
Conforme exposto na apresentação das teclas, a calculadora trabalha com dois formatos de data. 
» Mês/Dia/Ano (sistema americano) 
12/15/2017 (dia 15 de dezembro de 2017) 
» Dia/Mês/Ano (sistema brasileiro) 
15/12/2017 (dia 15 de dezembro de 2017) 
Para introduzir a data 15/12/2017, tecle: 
Observação: para usar a função calendário, trabalharemos com 6 casas decimais 
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Agora que já sabemos entrar as datas na calculadora, podemos passar ao cálculo de datas futuras ou passadas. 
Obtemos uma nova data com a função 
1. Tecle a data base seguida de 
2. Tecle o número de dias para a data futura (se quiser calcular uma data passada, utiliza a tecla de troca de sinal CHS). 
3. Tecle 
No visor, aparecerá a data futura ou passada, com o dia da semana no canto direito. A convenção para os dias da semana é a 
seguinte: 
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Vamos praticar: 
Para calcular a data de vencimento de um papel de 93 dias, comprado no dia 24/04/2017, com a calculadora ligada, repita as 
teclas: 
Ou ainda você pode saber o dia da semana em que Dom Pedro I proclamou a independência do Brasil: 
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Com a HP-12C, também é possível determinar o número de dias entre duas datas. 
Para isso, é preciso utilizar a função: 
1. Tecle a data base seguida de 
2. Tecle a segunda data. 
3. Tecle 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
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Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
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C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; IORI , Carla Fabiana de Andrade Gonçalves; 
Matemática Financeira. 
Carla Fabiana de Andrade Gonçalves Iori. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
31 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Matemática. 2. Financeira. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
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Unidade 2 Página inicial 
CONCEITOS BÁSICOS 
DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Professor (a) : 
Me. Carla Fabiana de Andrade Gonçalves Iori 
Objetivos de aprendizagem 
• Aprender como fazer cálculos de porcentagem na calculadora financeira Hp 12c. 
• Conhecer a modalidade do desconto de títulos através da calculadora financeira. 
• Interpretar as variáveis financeiras. 
• Diferenciar os dois sistemas de capitalização: Juros Simples e Juros Compostos. 
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Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• O valor do dinheiro no tempo 
• Conceitos Gerais 
• Fluxo de Caixa 
• Regimes de capitalização 
Introdução 
Ao se deparar com situações cotidianas como comprar uma televisão à vista ou parcelada; comprar uma casa financiada e pagar as 
parcelas amortizando via Tabela Price ou SAC; constituir um capital para pagar uma viagem à vista, etc. representam situações que 
implicam em escolhas, decisões sobre antecipar/retardar agora ou depois. 
Esse conteúdo envolve a questão intertemporal. Trata-se da relação entre o que se pagou (custo) e o que se recebeu (benefício) 
numa dada transação. O Juro denota especificamente uma questão que envolve a troca no tempo. De modo que podemos 
entender que implica em um valor, por ora monetário sobre um pagamento/recebimento amanhã por aquilo que se tomou/cedeu 
hoje. É como se olhássemos no tempo, em face da confiança de estarmos vivos amanhã. 
Isso se dá diante da perspectiva de receber/pagar o dinheiro emprestado, ou seja, a credibilidade de que estaremos aqui no futuro. 
Envolve a noção de que o futuro existe e será realizado. Assim, poderemos liquidar uma transação realizada no período presente, 
através da operacionalização da taxa de juros que gerará um montante a ser pago no período final (futuro). 
Nesse sentido, nosso trabalho contará como ferramenta inicial as operações que envolvem porcentagem, dessa forma, nossa 
unidade se inicia com explicações breves sobre esse assunto e, principalmente como aplicar na calculadora financeira HP 12c. 
Outro aprendizado relevante é aquele que envolve a noção de desconto. Este será discutido através de exemplo prático no que 
tange antecipação de capital, fazendo uso da média ponderada para encontrar as variáveis necessárias. 
Na aula dois, trataremos da abordagem dos conceitos gerais que envolvem a matemática financeira. Serão apresentadas as 
definições para Capital, Taxa de Juros e Montante, por exemplo. A questão do fluxo de caixa será motivo da aula três e, 
finalizaremos a unidade, ao compararmos brevemente os dois modelos de capitalização: Juros Simples e Juros compostos. Vamos 
lá? 
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Unidade 2 Página inicial 
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
“A genialidade é 1% inspiração e 99% transpiração.” 
Thomas Edison 
Porcentagem 
O dinheiro tem seu valor no tempo a partir do conceito de juros. E, por sua vez, os juros são mensurados através de índices 
representados pelas taxas. Nesse contexto é importante conhecer sobre porcentagem por ser um elemento matemático 
fundamental para o que envolve o conceito de taxa de juros. 
A porcentagem é a parte proporcional calculada sobre 100 unidades. A solução de um problema de porcentagem envolve sempre 
uma regra de três simples. 
Exemplo: 
De quanto é o aumento de um funcionário que tem um salário de R$ 1.252,00 e recebe um reajuste de 3,38%? 
Utilizando a calculadora, basta inserir o valor referente ao salário seguido da tecla enter e, o número relativo ao reajuste. O valor 
base fica armazenado na pilha operacional e o resultado da porcentagem, no visor. Assim, pode-se somar ou subtrair a 
porcentagem ao valor base, usamos as teclas de soma ou subtração. Exemplo: Um eletrodoméstico tem como preço a prazo R$ 
415,00. Na compra à vista, a loja concede um desconto de 2,5%. Qual será o valor à vista? 
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Diferença Percentual 
A diferença percentual é a diferença entre dois valores expressos na forma percentual. A solução de um problema de diferença 
percentual envolve sempre uma regra de três simples, diretamente proporcional entre a diferença dos valores e o valor base de 
comparação. 
Exemplo: 
Se ações foram compradas a R$ 12.000,00 e, em seguida, vendidas a R$ 18.000,00. Qual foi o lucro em relação ao preço de 
compra? 
18.000 - 12.000 = 6.000 (diferença de valores) 
100 % 12.000 
x 6.000 = 50 % 
Digitar 12000 seguido da tecla enter e 18000 
Resposta: 50,00 %, ou seja, é a diferença percentual entre os dois valores. 
Porcentagem do Total 
Porcentagem do total é a porcentagem de uma parte do total. A solução de um problema desse tipo envolve sempre uma regra de 
três simples, diretamente proporcional entre cada valor parcial e o total considerado. 
Para calcular a porcentagem do total na HP-12C: 
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Exemplo: 
Realizei uma aplicação de R$ 75.000,00. Desse total R$ 25.000,00 
coloquei em poupança e o valor restante em um fundo de renda variável. 
Qual percentual está na caderneta de poupança? 
Resposta: Aproximadamente 34 % do total foi aplicado na caderneta de poupança. 
Média Aritmética Ponderada 
A média aritmética ponderada é um processo matemático para obter o valor médio de um grupo de dados, em que são 
considerados pesos específicos para cada dado (grau de importância da série). 
Exemplo: 
Um comerciante recebe vários cheques pré-datados de seus clientes e deseja fazer uma operação de desconto de títulos em um 
banco comercial. 
Relação de cheques: 
Ch. 00001 R$:65,19 Prazo - 28 dias 
Ch. 00002 R$:200,00 Prazo - 60 dias 
Ch. 00003 R$:190,00 Prazo - 15 dias 
Ch. 00004 R$: 800,50 Prazo - 48 dias 
Ch. 00005 R$: 119,50 Prazo - 20 dias 
Na calculadora: 
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E assim, sucessivamente, para todos os prazos e valores, respetivamente. 
Após alimentados todos os dados teclamos: 
O que fizemos nessa prática foi encontrar, com a ajuda da calculadora financeira Hp 12c, o prazo médio da operação que envolve 
esses valores. 
Vamos imaginar que o banco, para efetuar o desconto, fará a operação trabalhando com uma taxa de juros de 3% a.m. 
Calculamos da seguinte forma: 
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Ao fazer a subtração do total dos cheques, encontramoso valor de R$ 1.317,70 (Valor médio atual dos títulos). 
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CONCEITOS GERAIS 
“Tempo é dinheiro”. 
Benjamin Franklin 
Uma das abordagens da matemática financeira é a que trata do estudo das diversas formas de evolução do valor do dinheiro no 
tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação ou obtenção de recursos financeiros. É, ainda, 
um instrumento para nos ajudar a verificar onde pedir emprestado dinheiro, ou ainda, como melhor empregá-lo, auxiliando-nos na 
escolha da melhor opção de onde investir nossos recursos financeiros, ou como captar recursos, escolhendo, por exemplo, os 
melhores prazos e taxas. Dessa forma faz-se necessário estudar Matemática Financeira, primeiramente, através do entendimento 
de algumas definições, tais como: Capital, Juros, Taxas e Montante. Na verdade, a percepção acerca desses conceitos se coincide 
com o que podemos entender como o começo da matemática financeira. E ainda pode-se dizer que a mate - mática financeira teve 
seu início exatamente quando o homem criou esses conceitos. 
Esse trabalho da tratativa financeira está vinculado, necessariamente a questões de ordem prática, por isso é relevante a 
ilustração com exemplos. Então vamos lá: 
Giani é uma jovem senhora de 37 anos, trabalha como representante comercial em uma distribuidora de alimentos, é casada e mãe 
de três filhos adolescentes. A utilização de automóvel é imprescindível para a realização das suas visitas de negócios, bem como 
para a sua dinâmica diária com relação às suas tarefas, como levar os filhos na escola, fazer compras no supermercado, etc. Ela teve 
seu carro roubado, estava sem seguro e precisa, urgentemente comprar um novo veículo. No entanto, ela não tem capital 
suficiente para quitar o pagamento de um veículo à vista, ou seja, entregar o dinheiro e pegar o carro. Sabe que pode comprometer 
um percentual do seu rendimento mensal com parcelas para pagamento deste novo veículo. Ela está diante de uma situação que 
exige cautela na tomada de decisão. Comprar um carro mais barato para poder resolver seu problema de forma imediata? Comprar 
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um carro que atenda sua expectativa como por acolher seus filhos de forma confortável, ter um porta-malas suficiente para uma 
família mais numerosa como a dela, etc. E consequentemente, com valor mais alto? Compensa financiar diretamente na instituição 
financeira que operacionaliza sua conta corrente? Qual seria uma taxa de juros razoável? Em quanto tempo financiar? 
Diante desse contexto podemos apresentar os principais conceitos relacionados ao nosso trabalho: 
Capital (PV): é qualquer valor expresso em moeda disponível em determinada época. O capital que temos inicialmente é 
denominado também de capital inicial ou principal. Ou ainda pode-se entender como valor em dinheiro que você quer aplicar ou 
emprestar. No caso da Giani, o valor à vista do automóvel é o Capital, matematicamente podemos também chamá-lo de Valor 
Presente. 
Na calculadora financeira HP-12c, assim como em outras calculadoras financeiras, o registrador financeiro do capital está na tecla 
PV (Present Value), que em inglês significa valor presente. 
Juros: remuneração do capital empregado. 
• Para o investidor: é a remuneração do investimento. 
• Para o tomador: é o custo do capital obtido por empréstimo. 
Trata-se do “aluguel“ que deve ser pago pela utilização de um valor em dinheiro durante certo tempo; é também o rendimento, em 
dinheiro, recebido pela aplicação de uma quantia monetária por certo período de tempo. 
A Giani precisa do carro imediatamente, mas não tem o Capital. De modo que a antecipar o valor do bem, comprometendo-se a 
restituir esse valor monetário com aplicação de juros. Pagará por essa antecipação um valor monetário na forma de juros. 
Taxa de Juros (i) é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de 
tempo e o capital inicialmente empatado. Giani consultou uma instituição financeira que apresentou proposta em 
aproximadamente 1,85% a.m. 
É importante mencionar que a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser apresentada 
na forma unitária ou percentual. 
Na calculadora financeira, a tecla i é usada para designar a taxa, pois o inglês interest rate pode ser traduzido para taxa de juros. 
Montante (FV): ou capital final de um financiamento (ou aplicação financeira), ou ainda, Valor Futuro. É a soma do capital 
inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). 
Para nosso exemplo, Giani pagará um montante que será composto pelo valor do carro, somado aos juros pagos. 
Na calculadora financeira sua tecla de registro é a FV ( Future Value , em inglês). 
A Giani também não pode assumir prestações por tempo indefinido. De modo que nenhuma operação financeira se prolongará 
indefinidamente, assim entendendo que todas têm um prazo, ainda que longo, o tempo é parâmetro fundamental no processo de 
cálculo dos juros. Na calculadora financeira, o prazo é designado pela letra n. 
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“A Matemática Financeira é um corpo de conhecimento que estuda a mudança de valor do dinheiro com o 
decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do dinheiro em diversos 
pontos do tempo.” 
PUCCINI, Ernesto Coutinho. Matemática financeira e análise de investimentos. Florianópolis : 
Departamento de Ciências da Administração - UFSC; [Brasília] : CAPES : UAB, 2011. 204p 
FLUXO DE CAIXA 
A fim de simplificar o entendimento dos problemas de juros simples e compostos, utilizamos gráficos contendo setas dirigidas para 
cima e para baixo, representando a entrada e a saída do dinheiro ao longo do tempo. Para saber distinguir entradas e saídas, 
devemos definir o ponto de vista sob o qual desejamos enfocar o problema: devedor e credor. 
Exemplo 1: 
Uma aplicação de R$ 100.000,00, com resgate de R$ 130.000,00 no final de 30 dias. Observe o fluxo de caixa sob as duas 
perspectivas: 
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A linha horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, semanas, meses, anos etc. 
• No tempo 0 (zero) houve uma entrada de dinheiro (100.000,00) para a empresa, por exemplo. 
• Após 30 dias houve uma saída do dinheiro (130.000,00) da empresa. 
Afinal, qual é o gráfico correto? Ambos estão corretos! O que importa é que a entrada (PV) e a saída (FV) possuam sempre sentidos 
opostos. No entanto, admite-se como convenção que seta para cima ↑ é entrada e seta para baixo ↓ é saída. 
Esses gráficos são chamados fluxo de caixa. Trata-se de conjunto de entrada e saídas de dinheiro ao longo do tempo. Na 
calculadora financeira para representar essa situação financeira, utilizamos a tecla CHS. 
Então, é necessário estar atento as inter-relações entre as diversas variáveis dentro do contexto financeiro. Conceitos 
apresentados anteriormente como: Capital, Montante e taxa de juros, estão basicamente relacionados com entradas e saídas de 
dinheiro no tempo. Nunca deixe de considerar que uma operação financeira envolve duas partes (o credor e o tomador) com fluxos 
de caixa absolutamente simétricos. A que é entrada de caixa para uma das partes, é saída de caixa para a outra e vice-versa. 
Até aqui aprendemos conceitos e questões operacionais da calculadora financeira, estamos agora em um ponto crucial do nosso 
trabalho, podemos, avançar para o entendimento da metodologia utilizada para incorporação dos juros. Vamos abordar o aspecto 
que envolve os regimes de capitalização. 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
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Em 1994, ano quefoi lançado o Plano Real no Brasil a realidade do valor do dinheiro era bastante diferente dos dias atuais. 
Passados 20 anos, dados do DIEESE (Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos) nos ajudam a trazer a 
realidade da dinâmica do dinheiro no tempo com relação àquele ano: O quilo do arroz custava R$ 0,64 em julho de 1994; O quilo 
do filé mignon era R$ 6,80; O litro da gasolina era R$ 0,55. Essa noção corrobora a ideia do valor do dinheiro no tempo. A partir 
dessa compreensão, temos que, ao emprestar/tomar emprestado um dinheiro, há uma remuneração sobre ele que envolve a 
capitalização de juros. Essencialmente ela se dá sob dois formatos: capitalização simples e capitalização composta. 
Temos, portanto, que o processo pelo qual os juros se formam e são incorporados ao capital é chamado CAPITALIZAÇÃO. 
Podemos chamar ainda de “regime de capitalização” a maneira como os juros evoluem através de vários períodos de aplicação, aos 
quais as taxas se referem. 
Existem, basicamente, dois sistemas de Capitalização: Simples e composta. A compreensão, na íntegra do funcionamento desses 
sistemas é determinante diante da resolução de conflitos financeiros. E, para nos aprofundarmos nesse assunto, vale saber que um 
certo número de atributos mentais contribuem para nossa capacidade de lidar com a matemática. É preciso reconhecer que “a 
matemática só pode ser ‘vista’ com os ‘olhos da mente’”. Para muita gente a notação altamente abstrata é um obstáculo à 
compreensão da matemática. Mas, como entender o processo matemático da capitalização? É preciso fazer uso de símbolos 
algébricos, afinal, sem eles grande parte da matemática simplesmente não existiria. Mas não somente. Também será relevante sua 
capacidade cognitiva! O reconhecimento de conceitos abstratos e o desenvolvimento de uma linguagem adequada são dois lados 
de uma mesma moeda. 
Essa noção é importante aqui pois é preciso perceber, que tomar um decisão no contexto monetário, envolve reconhecer, 
interpretar, analisar a linguagem financeira que se apresenta, de modo geral sob dois conceitos abstratos na matemática 
financeira: 
J é o valor dos juros que se quer encontrar. 
PV é o valor do capital inicial, valor presente. 
i é a taxa de juros. 
n é o prazo a que se refere a taxa. 
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FV é o montante, valor futuro. 
PV é o valor do capital inicial, valor presente. 
i é a taxa de juros. 
n é o prazo a que se refere a taxa 
Entender sobre a questão da capacidade matemática vai agregar na nossa tomada de decisões.Será que vale a pena pagar à vista 
ou a prazo? E, se a prazo, em quantas parcelas? Em que condições? Quais os juros que estou pagando? 
Entende-se também que, nessas situações em que dinheiro rende dinheiro, o cálculo desse rendimento é feito sob a forma de 
juros. Daí, quem pretende trabalhar com finanças, ou mesmo quem deseja apenas aprender a administrar suas próprias finanças, 
deve ficar muito alerta quanto ao pagamento ou recebimento dos juros. Esse será nosso trabalho para a próxima unidade. 
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ATIVIDADES 
1. Houve um reajuste no preço de certo imóvel que passou de R$ 580.000,00 para R$ 720.000,00 após dois anos. Qual a taxa de 
aumento? Assinale a alternativa correta. 
a) 10%. 
b) 12,96%. 
c) 19,61%. 
d) 24,14%. 
e) 29,74%. 
2. Uma imobiliária vendeu 20 dos 80 apartamentos de um prédio em construção. Qual o percentual de apartamentos vendidos? 
Assinale a alternativa correta. 
a) 10%. 
b) 12%. 
c) 20%. 
d) 25%. 
e) 30%. 
3. O preço de um terreno sofreu três reajustes consecutivos de 5%, 10% e 15%. Assinale a alternativa que representa o seu preço 
atual se ele custava inicialmente R$ 100.000,00. 
a) R$ 105.000,00. 
b) R$ 115.500,00. 
c) R$ 132.825,00. 
d) R$ 145.000,00. 
e) R$ 150.000,00. 
Resolução das atividades 
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RESUMO 
A Matemática financeira exige que algumas habilidades (que todos os seres humanos têm) sejam despertadas, a principal delas 
para o presente trabalho atribuímos à capacidade de raciocínio relacional. à medida que grande parte da matemática financeira diz 
respeito a relações entre objetos (abstratos). Ao tratar de porcentagem, por exemplo, vimos que trata-se de uma abordagem 
abstrata acerca de uma parte proporcional calculada sobre 100 unidades. A solução de um problema de porcentagem envolve 
sempre uma regra de três simples. Na sequência, aprendemos como calcular a variação percentual e o percentual do total, 
utilizando a calculadora financeira HP 12c. 
Sob uma perspectiva temporal, podemos utilizar a modalidade de desconto de títulos. Como vimos nesse encontro, aprendemos 
que um determinado capital pode ser antecipado em uma instituição financeira. O cálculo para esse tipo de operação envolve 
média ponderada, que também pode ter seu tempo reduzido de cálculo, através da ajuda da calculadora financeira. 
Fazendo uso da relações matemáticas sobre objetos abstratos, aprendemos a reconhecer os seguintes elementos: 
Capital (PV): é qualquer valor expresso em moeda disponível em determinada época. O capital que temos inicialmente é 
denominado também de capital inicial ou principal. 
Juros: remuneração do capital empregado. Taxa de Juros (i) é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou 
recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. 
Ainda no campo das abstrações, pudemos desenvolver o fluxo de caixa como elemento figurativo para a compreensão das 
entradas e saídas de dinheiro. 
Por fim uma questão crucial para uma interpretação razoável das mais diversas situações financeiras, é o aprendizado dos regimes 
de capitalização que envolvem o regime de juros simples e o regime de juros compostos. 
Por enquanto é isso! Bons estudos! 
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Material Complementar 
Leitura 
Título: Progressões e Matemática Financeira 
Autor: Augusto César Morgado, Eduardo Wagner e Sheila C. Zani 
Editora: SBM 
Sinopse: O livro trata de Progressões e de Matemática Financeira. Ele 
pretende mostrar que Matemática Financeira é matemática simples e 
útil, que pode e deve ser ensinada a todos os estudantes, 
independentemente da profissão a que se destinam, e não apenas a 
estudantes de Economia, Contabilidade e Administração. Ela é aqui 
tratada como aplicação natural das Progressões Geométricas, o que a 
torna acessível a alunos da série inicial do Segundo Grau. A Matemática 
Financeira não é um conjunto de fórmulas exóticas para o cálculo de 
juros, mas sim um método de decisão entre alternativas de investimento 
e de financiamento. O uso de calculadoras é estimulado e a abordagem 
das Progressões Geométricas enfatiza o conceito de taxa de crescimento. 
O livro contém uma grande quantidade de problemas e, neles, várias 
aplicações são ensinadas. Em particular, uma teoria de equações de 
recorrência lineares de segunda ordem é esboçada. 
Filme 
Título: Gênio Indomável 
Ano: 1997 
Sinopse: Will é um rapaz brilhante e tem um grande talento para a 
matemática, mas trabalha como faxineiro em uma universidade. O 
psicólogoSean Maguire o ajuda a formar sua identidade, dando a ele uma 
direção na vida.E, ao mesmo tempo, Will muda a vida do próprio Sean. 
Na Web 
Indicar links de textos e/ou vídeos disponíveis na web. 
Fazer um texto de apresentação do link com até 03 linhas ou 250 
caracteres. 
Acesse 
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REFERÊNCIAS 
ASSAF NETO, Alexandre. Mercado financeiro . 11 ed. São Paulo: Atlas, 2012. 
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental - 1. Ed - 2 reimp. - São Paulo: Atlas, 2006. 
BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12C e Excel - 3.ed São Paulo: Atlas, 2004. 
CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Noções básicas de matemática comercial e financeira . [livro eletrônico]. Curitiba: Intersaberes, 
2012. < http://cesumar.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788582124154/pages/5 > Acesso em 11 mai 2017. 
GIANNETTI, Eduardo. O valor do amanhã: ensaio sobre a natureza dos juros. São Paulo: Companhia das Letras, 2005. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira . 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
HEWLETT-Packard Development Company, L.P. Manual do usuário e guia de resolução de problemas . China, 2003. 225 p. 
MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira . São Paulo: Atlas, 2011. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada - 7. Ed.São Paulo: Saraiva, 2004. 
ROSSETTI, José Paschoal. Introdução à Economia . 20. ed. São Paulo: Atlas, 2003. 
SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática Financeira . São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
SOBRINHO, José Dutra Vieira. Matemática Financeira . - 4. Ed. São Paulo: Atlas 2001. 
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APROFUNDANDO 
Essa historinha é muito elucidativa para tratar do dinheiro no tempo. A aproximação entre tempo e dinheiro não é fortuita. Ambos 
têm de fato muita coisa em comum, a começar por algumas propriedades formais. A noção de tempo, assim como a de dinheiro, é 
uma das abstrações mais poderosas e sofisticadas construídas pela razão humana (GIANETTI, 2005). 
A Cigarra e a Formiga 
Tendo a cigarra, em cantigas, 
Folgado todo o verão, 
Achou-se em penúria extrema, 
Na tormentosa estação. 
Não lhe restando migalha 
Que trincasse, a tagarela 
Foi valer-se da formiga, 
Que morava perto dela. 
– Amiga – diz a cigarra 
– Prometo, à fé de animal, 
Pagar-vos, antes de Agosto, 
Os juros e o principal. 
A formiga nunca empresta, 
Nunca dá; por isso, junta. 
– No verão, em que lidavas? 
– À pedinte, ela pergunta. 
Responde a outra: – Eu cantava 
Noite e dia, a toda a hora. 
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– Oh! Bravo! – torna a formiga 
– Cantavas? Pois dança agora! 
É destaque a questão de que as formigas vivem em colônias e mantêm uma organizada divisão do trabalho. Mas é justo julgar a 
cigarra? Qual (uma possível) moral? O mercado financeiro é composto por agentes tomadores de recursos (deficitários) e agentes 
que aplicam recursos (superavitários). Cada um exerce a sua relevância na sociedade, de modo a dinamizar a atividade econômica. 
Cantar ou trabalhar? Ou isto ou aquilo: “ou guardo o dinheiro e não compro o doce, ou compro o doce e gasto o dinheiro”. 
Estamos diante do fato de que tempo e dinheiro implica na noção de custo de oportunidade. O custo implícito na compra de um 
artigo qualquer é o valor daquilo que deixou de ser adquirido com a mesma soma. Com o tempo aplicamos o mesmo raciocínio. Se 
você despende uma hora, digamos, assistindo TV, é uma hora a menos na internet ou na cama. A restrição orçamentária das horas 
disponíveis no intervalo de um dia é equitativa, universal e implacável - nem um segundo a mais. E ainda: há casos em que é 
possível computar com razoável precisão o valor do tempo gasto não só em usos alternativos do próprio tempo, mas em dinheiro, 
quer dizer, como o custo de oportunidade monetário de gastar o tempo de uma forma em vez de outra (GIANNETTI, 2005). 
Essa questão temporal também pode ser refletida à luz da psicologia temporal da juventude. 
De um lado a impulsividade: o vigor dos sentidos e a veemência dos afetos na flor da idade reforçam o apego ao momento e suas 
oportunidades de desfrute imediato. De outro, o otimismo: a perspectiva de um tempo indefinidamente longo à frente e a 
disposição sonhadora diante do que a vida promete - se não a todos, ao menos a si próprio - reforçam a confiança no futuro 
pessoal. 
A resultante desses dois vetores (impulsividade e otimismo), da perspectiva da escolha intertemporal, é clara e “certeira”: forte 
preferência pelo presente ao relação ao porvir, ou seja, uma elevada taxa de desconto do futuro. O efeito da impulsividade é 
imediato. A atração pelo prazer e a aversão à dor atam-nos ao presente. Quaisquer que venham a ser suas consequências 
posteriores, entregar-se com ímpeto e abandono ao momento que passa e se oferece - uma vocação natural da juventude - 
significa propriamente atribuir um valor maior ao aqui e agora do que ao amanhã. A confiança no futuro - são mais sutis, mas não 
menos operantes. 
O crédito é o instrumento de antecipação e o juro é o preço que deverá ser pago, mais à frente, pelo que se importou do futuro. 
Quanto maior a confiança que se tem no amanhã, maior o juro que se estará disposto a pagar para antecipar e desfrutar desde já 
suas promessas. 
Conforme Giannetti (2005) a impulsividade é a força do presente na ação. A antevisão de um amanhã melhor - próspero e 
vitorioso - é um convite a antecipar no tempo, isto é, a procurar usufruir ou tirar partido desde já do que o futuro promete. Na 
prática, essa percepção atende pelo nome de crédito, termo derivado do verbo latino credere: “confiar, acreditar”. “Ter crédito” 
significa, portanto, ser merecedor de confiança, ou seja, de que acreditem naquilo que se promete ou penhora fazer. 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
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Unidade 2 Página inicial 
EDITORIAL 
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a Distância; IORI , Carla Fabiana de Andrade Gonçalves; 
Matemática Financeira. 
Carla Fabiana de Andrade Gonçalves Iori. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
29 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Matemática. 2. Financeira. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
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Unidade 3 Página inicial 
JUROS SIMPLES E 
JUROS COMPOSTOS 
NA PRÁTICA 
Professor (a) : 
Me. Carla Fabiana de Andrade Gonçalves Iori 
Objetivos de aprendizagem 
• Reconhecer a aplicabilidade dos juros simples em operações financeiras. 
• Compreender a sistemática da capitalização composta. 
• Manusear as teclas financeiras da calculadora financeira HP 12c. 
• Diferenciar taxas nominais de taxas equivalentes. 
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Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Juros Simples 
• Juros Compostos 
• As teclas financeiras 
• Taxas 
Introdução 
Em 1994, ano que foi lançado o Plano Real no Brasil a realidade do valor do dinheiro era bastante diferente dos dias atuais. 
Passados 20 anos, dados do DIEESE (Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos) nos ajudam a trazer a 
realidade da dinâmica do dinheiro no tempo com relação àquele ano: O quilo do arroz custava R$ 0,64 em julho de 1994; O quilo 
do filé mignon era R$ 6,80; O litro da gasolina era R$ 0,55. Essa noção corrobora a ideia do valor do dinheiro no tempo. A partir 
dessa compreensão, temos que, ao emprestar/tomar emprestado um dinheiro, há uma remuneração sobre ele que envolve a 
capitalização de juros. Essencialmente ela se dá sob dois formatos: capitalização simples e capitalização composta. 
Já vimos uma breve introdução sobre esses modelos. No entanto, nosso trabalho a partir de agora é nos debruçarmos sobre como 
calculá-los. Vamos conhecer o método do Juros Simples, que envolvem a capitalização de juros somente sobre o montante inicial. 
Nesse sistema, matematicamente, trata-se de uma progressão aritmética. Em que os juros crescem sob forma linear. 
Aprenderemos sobre a aplicabilidade desse mecanismo de juros simples que envolve o método hamburguês. 
Ao conhecer sobre a capitalização composta, vamos perceber que trata-se de uma progressão geométrica, de modo que os juros 
crescem exponencialmente. É o regime conhecido também por, juros sobre juros. Além do entendimento de como calcular através 
da fórmula faremos uso da calculadora financeira. Conhecendo, propriamente as teclas financeiras. 
Na sequência dar-se-á o trabalho sobre o reconhecimento dos diversos tipos de taxas, aquelas relacionadas ao sistema simples de 
capitalização, bem como as taxas equivalentes que podem ser conhecidas à luz do entendimento da capitalização composta. Bons 
estudos! 
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Unidade 3 Página inicial 
JUROS SIMPLES 
“A natureza nos dá a vida, como dinheiro emprestado a juros, sem fixar o dia da restituição.” 
Cícero 
Juros Simples 
Vimos que, no nosso trabalho serão abordados dois sistemas de capitalização: Juros simples e juros compostos. Essa nossa aula se 
ocupará em discorrer sobre alguns detalhes da dinâmica do Juros simples. 
No regime de capitalização simples, os juros incidem somente sobre o montante inicial. 
Exemplo 1: 
Imaginemos que uma pessoa toma emprestada a importância de R$ 10.000,00, pelo prazo de três meses, à taxa de 5% ao mês. 
Usamos simbolizar as variáveis: 
PV = 10.000,00 no início do mês 
I = 5% a.m. 
n = 3 meses 
J = Juros 
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Observe que o capital usado para o cálculo de juros sempre foi o mesmo (R$10.000,00); isso quer dizer que os juros formados no 
final de cada período (mês) não são incorporados ao capital para render juros no período seguinte. 
Nesse caso, dizemos que os juros são simples, ou não capitalizados, e que o valor a ser pago, ao final do terceiro mês, é de R$ 
11.500,00. 
Ora, se o Montante (FV) é o capital + juros, temos que: 
Substituindo J = PV x i x n, temos: 
Assim, se colocarmos o PV em evidência temos: 
A juros simples o dinheiro cresce linearmente ao longo do tempo. Ainda pode-se dizer que na capitalização simples o dinheiro 
cresce em progressão aritmética ao longo do tempo. Tem crescimento constante ao longo do período de aplicação. É conveniente 
observar que os juros simples podem ser: 
Exatos: quando se emprega na unidade de tempo o calendário civil - ano com 365 ou 366 dias; mês com 28, 29, 30 ou 31 dias, 
conforme o caso. 
Ordinários: quando se emprega na unidade de tempo o calendário comercial - ano com 360 dias e mês com 30 dias. 
Convencionamos usar os juros ordinários (ano comercial), por ser usual nas instituições financeiras. 
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Exemplo 2: 
O Sr. Theobaldo aplicou R$ 50.000,00, a juros simples de 5% ao mês, por 90 dias. Quanto rendeu a aplicação? Quanto resgatou? 
PV = 50.000,00 
n = 3 meses = 90 dias 
i = 5% ao mês 
O período de aplicação está em dias e a taxa ao mês. Nesse caso precisamos transformá-los para a mesma periodicidade, ou seja, 
ou passamos a taxa ao dia (dividindo-a por 30) ou encontramos o número de meses que temos em 90 dias (dividindo por 30). Aqui 
escolhemos transformar o n em meses, assim: n = 90/30 = 3 meses. 
Aplicando a fórmula: 
O problema está pedindo também o valor resgatado ou Montante (FV). Como os juros já estão calculados, basta adicioná-lo ao 
capital. 
Daí a idéia de MONTANTE (FV): 
Contas garantidas e o Método Hamburguês 
A conta garantida é um instrumento valioso na administração de recursos no curto prazo, porque é uma reserva que pode ser 
sacada a qualquer tempo, o que, em uma eventualidade, dá segurança à empresa. Por exemplo, se acontecer o não-recebimento do 
valor de vendas previsto, a empresa dispõe dessa linha de crédito, para honrar seus compromissos, sacando recursos a qualquer 
momento, sem negociação prévia. 
Como calcular os juros sobre as contas garantidas de pessoas jurídicas, ou mesmo sobre contas de cheques especiais de pessoas 
físicas? 
Essas contas têm limites máximos definidos, para utilização de recursos. O cliente saca a descoberto e os juros são calculados 
periodicamente sobre o saldo médio utilizado. 
O Método Hamburguês é a denominação para o a maneira que é calculada esses encargos financeiros sobre o saldo devedor e é 
feito através da capitalização simples. 
Exemplo 3: 
O Sr. João Oliveira mantém um cheque especial em um banco, com limite de R$ 25.000,00. Ao final do mês de abril/2017, o banco 
expede um extrato com a movimentação financeira naquele mês. Sabendo-se que os encargos eram de 12% a.m., determinar o 
total a ser pago pelo Sr. João. 
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Para calcularmos os juros a serem pagos, precisamos montar a seguinte tabela: 
• Abril tem 30 dias 
• Achar Saldo Médio Negativo 
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Exemplo 4: 
Admita um cliente que mantenha um cheque especial com limite definido de R$ 2.000,00. Ao final do mês de junho, o banco 
expede um extrato de movimentação do período conforme ilustradoa seguir. Sabendo-se que esse banco cobra 8% a.m. de juros. 
Determinar os encargos totais do mês que devem ser debitados na conta do cliente. 
Extrato de Movimentação Financeira: 
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• Junho tem 30 dias 
• Achar Saldo Médio negativo: 
JUROS COMPOSTOS 
“O juro composto é a maior invenção da humanidade, porque permite uma confiável e sistemática acumulação de riqueza.” 
Juros Compostos 
No regime de juros compostos, os juros obtidos a cada novo período são incorporados ao capital, formando um montante que 
passará a participar da geração de juros no período seguinte, e assim sucessivamente. Dessa forma, não apenas o capital inicial 
rende juros, mas estes são devidos a cada período de forma cumulativa. Daí serem chamados juros capitalizados. 
Para compreender qualquer conceito que envolva juros compostos inicialmente é preciso que se tenha uma clara definição de 
Valor Presente (PV) e de Valor Futuro (FV). Partindo do pressuposto de que existem investidores e tomadores de crédito, o 
comportamento de suas operações financeiras pode indicar o caminho mais adequado para cada uma das partes. Aplicações na 
caderneta de poupança a longo prazo e nos fundos de investimento, por exemplo, têm seu valor de resgate determinado por uma 
taxa de juros menos os impostos pagos. Esse valor a ser resgatado é denominado Valor Futuro ou Montante (FV) e está em função 
do valor investido, denominado Valor Presente (PV). A relação FV/PV é a base de todo o estudo de juros compostos. 
• Conceito de Valor Presente: As operações financeiras partem de um valor que deverá ser corrigido por uma taxa de juros em 
função do tempo. Esse valor é denominado Valor Presente. PV = Capital Inicial 
• É necessário saber quanto tempo o valor presente deve ficar aplicado para gerar um determinado valor futuro ou de resgate. 
n = Tempo 
• Conceito de Valor Futuro: uma vez que o valor presente seja corrigido por uma taxa de juros em função do tempo, ele produzirá 
um valor futuro composto pelo valor presente mais os juros ocorridos no período 
FV = Montante no regime de juros compostos 
Na capitalização composta, a taxa de juros (i) incide sobre o montante (PV + J) do período anterior. Portanto, difere do regime de 
juros simples, em que a incidência é sempre sobre o Capital Inicial (PV). 
Exemplo 1: 
Para um capital de R$ 10.000,00, pelo prazo de três, à taxa de 5%a.m, teríamos: 
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Observe que os juros são cobrados a cada período de capitalização que, neste caso, é mensal. No período n = 0, o capital ainda não 
rendeu juros, pois é nesse momento que a aplicação se inicia. A remuneração (juros) de cada período é obtida pela multiplicação do 
montante do período anterior pela taxa de juros. 
Os juros compostos também são chamados de juros exponenciais, diferentes dos juros simples que são lineares. 
Os juros compostos crescem em progressão geométrica e não em progressão aritmética como é o caso dos juros simples. 
Nos juros simples, apenas o principal rende juros, ao passo que a juros compostos, os rendimentos são calculados sobre os 
montantes. Havendo, portanto uma incidência de juros sobre juros. 
Dedução da expressão genérica para capitalização: 
Juros = PV x i 
Montante no primeiro mês = PV + (PV x i) ou seja, 
Montante = Principal + juros 
A partir do segundo mês ocorre a capitalização dos juros, isto é, juros sobre juros, então temos: 
Para três períodos o raciocínio é análogo até chegar à fórmula geral: Nessa expressão: 
• a taxa de juros i está expressa em fração decimal; 
• a unidade de medida do tempo n deve ser a mesma que a utilizada na medida da taxa de juros i. 
A unidade de tempo utilizada para o período (n) deve ser a mesma da taxa de juros (i), ou seja, se o período (n) é dado em: 
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• Dia - taxa em dia (i % a.d.) 
• Mês - taxa em mês (i % a.m.) 
• Ano - taxa em ano (i % a.a.) 
AS TECLAS FINANCEIRAS 
Esse ponto do aprendizado é fundamental. É chegada a hora de praticar através da calculadora. A máquina foi desenvolvida 
justamente para agilizar os cálculos para a capitalização composta. Vamos operacionalizar as teclas financeiras? 
Memórias financeiras da calculadora Hp 12c 
As memórias financeiras da calculadora HP-12C são: 
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Para armazenar dados nas memórias financeiras, basta digitar o valor desejado e em seguida pressionar a função financeira. 
Exemplo 1: 
Armazene os valores 100, 200, 300, 400 e 500 em: 
Assim: 
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Para colocar no visor cópia dos valores armazenados nas memórias financeiras, pressione a sequência de teclas: 
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Muitas vezes você necessita limpar/zerar as memórias financeiras da calculadora. Para isso, você utilizará as 
alternativas: 
Teclas - utiliza-se para limpar/zerar TODAS as memórias financeiras, 
sem, no entanto, alterar a pilha operacional. 
Imagine que um capital de R$ 500.000,00 foi aplicado a uma taxa de 0,98% a.m. Determine o montante no final de seis meses. 
PV = 500.000,00 
n = 6 meses 
i = 0,98% a.m. 
Observe que as unidades de tempo “n” e de taxa “i” são as mesmas. Neste caso, armazene os dados na calculadora. 
Simples, não é mesmo? Basta interpretar a situação financeira proposta, e, a partir da identificação das variáveis teclar os 
elementos correspondentes. 
Por conta do conceito de fluxo de caixa, é necessário utilizar a 
tecla . 
Essa técnica é utilizada para informar a máquina de que trata-se de entrada (ou saída) de capital. Conforme 
foi visto na Unidade II deste material. 
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Caro (a) aluno(a) é fundamental que você pratique exercícios para que possa desenvolver a habilidade do 
raciocínio lógico aplicado ao uso da máquina. Você, certamente perceberá que cada situação financeira 
merece um tratamento específico, haja vista nos deparamos no dia a dia com uma infinidade de situações 
que merecem ser interpretadas à luz da sua particularidade. 
Não esqueça: Antes de armazenar os dados do problema nas teclas financeiras, verifique se a unidade de 
tempo no período “n” é a mesma da taxa “i”. Se não for, compatibilize o período à taxa. Por exemplo: taxa ao 
mês, período em dias: mude o período para o mês. 
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TAXAS 
Vamos recordar o conceito de taxa: 
• É a unidade de medida pela qual os juros são fixados na remuneração de um capital num determinado período de tempo (dias, 
meses, anos, etc.). 
Refere-se, também, à interpretação financeira que podemos extrair do desempenho de uma empresa, de um investimento etc., ao 
longo do tempo. 
O mercado adota nomenclaturas diversas, tais como: taxa nominal, taxa efetiva, taxa equivalente, na busca de determinar 
precisamente o custo do dinheiro no tempo. 
Tipos de Taxas de Juros 
Taxa Nominal 
Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, 
trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais: 
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente 
• 24% ao ano, capitalizados semestralmente 
• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente 
• 18% ao ano, capitalizados diariamente 
A taxa nominal apesar de ser bastante utilizada no mercado, não representa uma taxa efetiva, por isso, não deve ser usada noscálculos financeiros, no regime de juros compostos. Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a 
taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, 
no regime de juros simples. 
Taxa Efetiva 
Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de 
capitalização. São exemplos de taxa efetiva: 
• 2% ao mês capitalizados mensalmente 
• 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente 
• 6% ao semestre, capitalizados semestralmente 
• 10% ao ano, capitalizados anualmente 
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Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, 
costuma-se simplesmente dizer: 2% ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre e 10% ao ano. 
Taxas proporcionais 
Taxas Proporcionais: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo 
principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples. 
Por exemplo: 
Taxa Equivalentes 
Taxas Equivalentes: são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal 
durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos. 
O conceito de taxas equivalentes está diretamente ligado ao regime de juros compostos. 
Abaixo, estão dispostas, de forma estruturada, as relações de conversão. 
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Exemplo 1: 
PV = R$ 1.000,00 
Ia = 20% a.a. 
im = ? 
Para o exemplo 1 temos que descobrir qual a taxa mensal equivalente a 20% a.a. 
Exemplo 2: 
Qual a taxa semestral equivalente à taxa mensal de 5% a.m. no regime de juros compostos? 
Em juros compostos, o que é preferível: aplicar um capital por um ano à taxa de 26% a.a. ou à taxa de 2,1% 
a.m.? 
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O processo para conversão de taxas pode ser facilitado e acelerado ainda mais na calculadora financeira 
HP12C. Isto porque, por meio de seu modo de programação, ela permite a gravação de um programa pelo 
qual, com a inserção de apenas três informações básicas, ela calcula e retorna automaticamente a taxa 
equivalente no período desejado. 
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Unidade 3 Página inicial 
ATIVIDADES 
1. Apliquei hoje R$ 5.000,00 em caderneta de poupança. Qual será o saldo dessa poupança daqui a dois anos e meio, considerando 
um rendimento de 0,7% ao mês, sabendo que ela é corrigida mensalmente? Assinale a alternativa correta. 
a) R$ 4.735,00. 
b) R$ 5.321,10. 
c) R$ 6.163,88. 
d) R$ 7.691,12. 
e) R$ 8.500,93. 
2. Qual é o saldo final de uma aplicação financeira de R$ 1.300,00 que rende juros de 1% ao mês, capitalizado mensalmente, por 
105 dias? Assinale a alternativa correta. 
a) R$ 1.346,07. 
b) R$ 2.000,00. 
c) R$ 3.295,88. 
d) R$ 4.357,14. 
e) R$ 5.312,85. 
3. Quanto rende de juros um capital de R$ 350,00 durante 300 meses com taxa de 1,2% ao mês capitalizado mensalmente? 
Assinale a alternativa correta. 
a) R$ 12.000,00. 
b) R$ 12.187,81. 
c) R$ 12.537,81. 
d) R$ 13.195,98. 
e) R$ 14.350,00. 
Resolução das atividades 
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Unidade 3 Página inicial 
RESUMO 
Caro(a) aluno (a) o trabalho realizado envolve uma relevância fundamental para o entendimento da dinâmica dos regimes de 
capitalização. Sabemos que esse processo de incorporação de juros envolve o instante de tempo no qual a aplicação rende os juros 
contratados. Sendo, por exemplo, o tempo de aplicação igual a 2 anos e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos 
de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 
4, e assim sucessivamente. Nesse sentido a sistemática dos juros simples é mais fácil quando comparada aos juros compostos. No 
entanto, não implica em afirmar que não é utilizado esse tipo de cálculo no mercado financeiro. As contas garantidas e o método 
hamburguês nos demonstram a aplicabilidade desse sistema no mercado financeiro. 
O método linear relacionado à capitalização simples apresenta a fórmula básica: 
No caso da capitalização composta temos uma situação de progressão geométrica, de modo que os juros crescem de modo 
exponencial. Isso representa, na prática, juros sobre juros. Haja vista que os juros são incorporados ao montante do período 
anterior. Sua fórmula básica: 
Na sequência do nosso trabalho aprendemos a praticar na calculadora através das teclas financeiras. É importante também caro(a) 
aluno(a) que esteja sempre atento à importância da interpretação das variáveis financeiras para que possa efetuar seus cálculos de 
modo correto. Isso implica em saber diferenciar, ao teclar na máquina, quem se refere à tempo, Valor Presente, Valor Futuro, etc. 
Entendemos como fundamental a aplicabilidade dos cálculos utilizando a calculadora pois, assim como os computadores, são 
necessários essas ferramentas, haja vista, os números são muitas vezes grandes ou fracionários, enfim, realizar cálculos com 
precisão é algo sempre importante. Mesmo em juros simples, sua aplicabilidade e velocidade de resposta produzem claros 
benefícios ao usuário. 
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Material Complementar 
Filme 
Título: O mercador de Veneza 
Ano: 2004 
Sinopse: Na cidade de Veneza, no século XVI, Bassanio (Joseph Fiennes) 
pede a Antonio (Jeremy Irons) o empréstimo de três mil ducados para que 
possa cortejar Portia (Lynn Collins), herdeira do rico Belmont. Antonio é 
rico, mas todo seu dinheiro está comprometido em empreendimentos no 
exterior. Assim ele recorre ao judeu Shylock (Al Pacino), que vinha 
esperando uma oportunidade para se vingar de Antonio. O agiota impõe 
uma condição absurda: se o empréstimo não for pago em três meses, 
Antonio dará um pedaço de sua própria carne a Shylock. A notícia de que 
seus navios naufragaram deixa Antonio em uma situação complicada, 
com o caso sendo levado à corte para que se defina se a condição será 
mesmo executada. 
Na Web 
O processo de programação disponível para taxas equivalentes pode ser 
acompanhado passo a passo no vídeo abaixo. 
Acesse 
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REFERÊNCIAS 
BAUER, Udibert Reinoldo. Matemática Financeira Fundamental - 1. Ed - 2 reimp. - São Paulo: Atlas, 2006. 
BRUNI, Adriano Leal. Matemática Financeira: com HP 12C e Excel - 3.ed São Paulo: Atlas, 2004.