Apostila Analise Matricial de Estruturas A - 2o sem 2021

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
Departamento de Estruturas e Construção Civil 
 
 
 
 
 
ANÁLISE MATRICIAL 
DE ESTRUTURAS “A” 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
 
 
 
Santa Maria, março de 2016 
4 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
O objetivo da análise matricial de estruturas é automatizar os procedimentos dos 
Métodos da Flexibilidade e da Rigidez para a análise de estruturas reticuladas. 
Estruturas reticuladas são aquelas compostas por elementos de barra, como por 
exemplo: vigas, treliças planas, treliças espaciais, pórticos planos, pórticos espaciais e grelhas. 
O termo “análise” significa: determinar os valores dos deslocamentos (translações e 
rotações), das reações de apoio, dos esforços internos nas barras (EN, EC, MF e MT) e das 
tensões (normais e de cisalhamento). 
A análise matricial auxilia na fase de projeto correspondente à análise estrutural, 
fornecendo os dados para a fase seguinte de projeto: o dimensionamento das estruturas, as 
quais podem ser de aço, concreto, madeira ou materiais não convencionais (fibra de vidro, 
fibras vegetais, plásticos, entre outros). 
Segundo a ABNT NBR 6118:2003 (revisada em 2007) “Projeto de Estruturas de 
Concreto – Procedimentos” (antiga NB-1), a análise estrutural é definida como: 
 
... 
14 Análise estrutural 
... 
14.2 Princípios gerais da análise estrutural 
14.2.1 Objetivo da análise estrutural 
O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, 
com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. 
A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, 
tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. 
14.2.2 Premissas necessárias à análise estrutural 
A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar 
de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da 
estrutura e que permita também representar a resposta não linear dos materiais. 
Em casos mais complexos, a interação solo-estrutura deve ser contemplada pelo 
modelo. 
No caso de aplicação da protensão, deve-se garantir deslocabilidade adequada à sua 
realização efetiva, minimizando a transmissão não desejada para elementos 
adjacentes. 
Análises locais complementares devem ser efetuadas nos casos em que a hipótese da 
seção plana não se aplica, como por exemplo, em regiões de apoios, regiões de 
5 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
introdução de cargas concentradas, uniões de peças estruturais, zonas de ancoragem, 
regiões de mudança de seção. 
Análises locais complementares também devem ser efetuadas quando a não 
linearidade introduzida pela fissuração for importante, como por exemplo, na 
avaliação das flechas. 
14.3 Hipóteses básicas 
14.3.1 Condições de equilíbrio 
As condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas. 
As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com base na geometria 
indeformada da estrutura (teoria de 1ª ordem), exceto nos casos em que os 
deslocamentos alterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de 2ª 
ordem). 
14.3.2 Condições de compatibilidade 
Quando as condições de compatibilidade não forem verificadas no estado limite 
considerado, devem ser adotadas medidas que garantam ductilidade adequada da 
estrutura no estado limite último, resguardado um desempenho adequado nos 
estados limites de serviço. 
14.4 Elementos estruturais 
As estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais 
básicos, classificados de acordo com a sua forma geométrica e a sua função 
estrutural, conforme itens 14.4.1 e 14.4.2. 
14.4.1 Elementos lineares 
São aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a 
maior dimensão da seção transversal, sendo também denominados barras. 
De acordo com a sua função estrutural, recebem as designações de 14.4.1.1 a 
14.4.1.4. 
14.4.1.1 Vigas 
Elementos lineares em que a flexão é preponderante. 
14.4.1.2 Pilares 
Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças 
normais de compressão são preponderantes. 
14.4.1.3 Tirantes 
Elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração são 
preponderantes. 
14.4.1.4 Arcos 
Elementos lineares curvos, em que as forças normais de compressão são 
preponderantes, agindo ou não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, 
cujas ações estão contidas em seu plano. 
... 
 
6 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
1.1 Análise matricial entre os métodos para análise estrutural 
 
 
O esquema abaixo apresenta a posição em que a Análise Matricial de estruturas 
reticuladas está em relação aos diversos métodos utilizados para a análise estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1 – Esquema da posição da Análise Matricial de estruturas reticuladas em relação aos métodos de Análise 
Estrutural. 
 
 
1.2 Método dos deslocamentos x método das forças 
 
 
Este texto faz referência aos métodos dos deslocamentos e das forças, os quais 
derivam do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) e têm como sinônimos os seguintes 
termos: 
 Método da Rigidez = Método dos Deslocamentos: deslocamentos (lineares ou 
angulares) são as incógnitas; 
 Método da Flexibilidade = Método das Forças: forças ou momentos são as 
incógnitas. 
Análise Estrutural 
Métodos Analíticos Métodos Numéricos 
Solução de Equações 
Diferenciais 
Método das 
Diferenças Finitas 
Métodos de 
Integração 
Método dos 
Deslocamentos 
Método das Forças 
Métodos Baseados em 
Discretização 
Análise Matricial de 
Estruturas Reticuladas 
Elementos Finitos Elementos de Contorno 
Métodos Experimentais 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
7 
2 ESTRUTURAS RETICULADAS 
 
 
Estruturas reticuladas são estruturas compostas por barras, as quais são representadas 
pelo seu eixo longitudinal (axial) e estão interconectadas através de nós. 
A teoria aplicada para estruturas reticuladas é válida para estruturas formadas por 
elementos que possam ser assemelhados a barras, ou seja, uma de suas dimensões é bem 
maior que as outras duas dimensões. No entanto, isto não impede que estruturas que não 
atendam a este critério, como por exemplo, as lajes, possam ser vistas como estruturas 
reticuladas, uma vez que o comportamento estrutural (forma de se deformar, transmitir e 
distribuir esforços) de uma laje pode ser aproximado através de uma série de barras 
perpendiculares, formando uma grelha. Esta análise é denominada “analogia de grelha”. 
As estruturas reais podem ser classificadas em diversos tipos de estruturas reticuladas. 
Tal classificação está baseada principalmente na geometria da estrutura, na forma como as 
cargas externas são aplicadas, na forma como as barras se interconectame nos tipos de 
vinculação, determinando assim como os esforços são transmitidos entre estas barras até os 
vínculos. Os modelos de viga, treliça, pórtico e grelha são concebidos para representar com 
relativa precisão o comportamento das estruturas reais. 
 
 
2.1 Ações em estruturas 
 
 
Ação em uma estrutura é o agente externo que provoca reações de apoio, esforços 
internos, deformações e deslocamentos na estrutura. A ação pode ser uma força pontual (P), 
uma carga uniformemente distribuída (q), um momento aplicado (M), as forças devidas ao 
vento, um recalque diferencial da fundação (), uma variação térmica (T), entre outras. 
A forma de simbolizar algumas das ações aplicadas em estruturas é mostrada na Figura 2. 
 
 
 
 
Fig. 2 – Ações aplicadas em estruturas. 
 
 T 
P q 
M 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
8 
OBS.: 
A palavra “carga” é utilizada para designar as ações relacionadas com a gravidade. 
Portanto, não é correta a expressão “carga de vento”. 
 
 
2.2 Deformações 
 
 
A deformação é o resultado da aplicação de uma ação na estrutura. Pode ser uma 
deformação específica longitudinal () ou uma deformação de cisalhamento, também 
chamada de distorção específica (), como apresentado na Figura 3. As deformações variam 
em cada ponto da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 – Deformação longitudinal () e de cisalhamento (). 
 
 
2.3 Deslocamentos 
 
 
O deslocamento é o resultado visível e de fácil medição das deformações sofridas pela 
estrutura. Pode ser um deslocamento linear (translação) ou um deslocamento angular (rotação 
de uma seção). 
Os deslocamentos são geralmente referenciados a um sistema de coordenadas global, 
como o sistema de eixos cartesianos (X-Y) mostrado na Figura 4. 
 
 
 
 
 
 = G  
 
 
 
 = L/L 
L L 
P 
 = E  
P 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4 – Exemplos de deslocamentos e rotações. 
 
 
2.4 Vinculações externas 
 
 
Os vínculos são elementos que representam as formas pelas quais as estruturas 
reticuladas são fixadas ou apoiadas, de forma a impedir determinados deslocamentos 
(translações e/ou rotações). São através das vinculações externas que os esforços oriundos da 
aplicação das ações são transmitidos para o solo. 
Existem diferentes tipos de vinculação que impedem determinados deslocamentos. Por 
exemplo, as vinculações de 1º gênero, impedem deslocamentos lineares (translações) em uma 
direção, vinculações de 2º gênero impedem deslocamentos lineares (translações) em duas 
direções perpendiculares, engastes impedem todos os deslocamentos (translações e rotações), 
além de uma gama de tipos de apoios para estruturas reticuladas espaciais. 
Podem existir também vinculações que impeçam apenas em parte o deslocamento 
como, por exemplo, fundações elásticas, as quais permitem algum recalque. Tais fundações 
são representadas por molas com rigidez equivalente ao solo. Nas Figuras 5 e 6 são ilustrados 
os diversos tipos de vinculação para estruturas planas e espaciais. 
Y 
P1 
P2 
X 
d 
P1 

P2 
f 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
10 
 
 
Fig. 5 – Tipos de vinculação (Introdução à Mecânica Estrutural, J. R. Masuero et al.). 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
11 
 
 
Fig. 6 – Tipos de vinculação (Introdução à Mecânica Estrutural, J. R. Masuero et al.). 
 
 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
12 
2.5 Sistemas de coordenadas (local e global) 
 
 
O sistema de coordenadas (ou de referência) global é o sistema de coordenadas 
utilizado como referencial para a determinação da geometria da estrutura, geralmente 
arbitrado segundo critérios que tornem fácil a definição das coordenadas dos nós da estrutura. 
O sistema de coordenadas local é bastante útil para a definição das propriedades 
geométricas das barras (dimensões, áreas, momentos de inércia) e dos esforços internos, 
também chamados de esforços solicitantes. Estes últimos são necessários para a etapa 
seguinte à análise estrutural que é o “dimensionamento” da barra. 
O sistema de coordenadas local é definido de forma que o eixo “x” local tenha a 
direção do eixo longitudinal da barra e que os outros dois eixos, “y” e “z”, estejam na direção 
dos eixos principais de inércia da seção transversal da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7 – Sistema de coordenadas global da estrutura e local da barra. 
 
 
2.6 Esforços internos (esforços solicitantes) 
 
 
Os esforços internos, também chamados de esforços solicitantes, são as forças e/ou 
momentos resultantes em uma dada seção de uma barra carregada, a fim de manter o seu 
equilíbrio. São referenciados ao sistema de coordenadas local da barra. 
Sistema de coordenadas 
global da estrutura 
Eixos principais de 
inércia da seção 
transversal da barra 
x 
y 
z X 
Z 
Y Sistema de coordenadas 
local da barra 
Eixo longitudinal 
da barra 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
13 
Para uma barra genérica, existe a possibilidade da ocorrência dos seguintes esforços 
(referenciados aos seus eixos locais): N (esforço normal na direção do eixo local “x”), 
Mx ou T (momento de torção em torno do eixo local “x”), My (momento fletor em torno do 
eixo local “y”), Mz (momento fletor em torno do eixo local “z”), Vy (esforço cortante na 
direção do eixo local “y”) e Vz (esforço cortante na direção do eixo local “z”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8 – Esforços internos no sistema de coordenadas local da barra. 
 
 
2.7 Ações pontuais na estrutura 
 
 
As ações pontuais, as quais atuam em pontos localizados na estrutura, podem ser 
forças ou momentos em cada um dos eixos coordenados (Px, Py, Pz, Mx, My e Mz). A direção e 
o sentido de uma força são dados pela direção e sentido do vetor que identifica esta força, 
enquanto que os momentos são identificados por vetores de seta dupla (regra da mão direita), 
como ilustrado na Figura 9. Estas ações são normalmente referenciadas aos eixos globais da 
estrutura. 
 
 
 
 
 
N 
T = Mx 
Vz 
Vy 
My 
Mz 
Sistema de coordenadas 
local da barra 
x 
y 
z 
Sistema de coordenadas 
global da estrutura 
X 
Z 
Y 
 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. JoãoKaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 9 – Ações pontuais na estrutura no sistema de coordenadas global. 
 
 
2.8 Deslocamentos dos nós da estrutura 
 
 
Os deslocamentos possíveis nos nós de uma estrutura espacial podem ser: 
deslocamentos lineares (translações) na direção dos eixos globais e deslocamentos angulares 
(rotações) em torno de eixos paralelos aos eixos globais. Os deslocamentos são sempre 
referenciados aos eixos globais da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10 – Deslocamentos possíveis de um nó de uma estrutura espacial no sistema de coordenadas global. 
X 
Py 
Pz 
Y 
Z 
My 
Mx 
Mz 
Px 
X 
uy 
uz 
Y 
Z 
y 
x 
z 
ux 
15 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
3 TIPOS DE ESTRUTURAS RETICULADAS 
 
 
Dependendo da geometria da estrutura, da disposição das barras e de sua interconexão, 
do tipo e disposição do carregamento e da vinculação, as estruturas reticuladas podem ser 
divididas em: vigas, treliças planas, treliças espaciais, pórticos planos, pórticos espaciais e 
grelhas. 
 
 
3.1 Vigas 
 
 
Vigas são barras colineares, definidas em um plano vertical, o qual contém um dos 
eixos principais de inércia da seção transversal das barras. As forças, os momentos e as cargas 
distribuídas são aplicados neste plano. Os momentos têm seus vetores perpendiculares a este 
plano (regra da mão direita). Em vigas, por definição, não existem forças horizontais. 
 
 
 
 
 
Fig. 11 – Viga contínua. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de uma viga: Vy e Mz. 
Ações possíveis em uma viga: qy, Py e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma viga: uy e z. 
 
 
3.2 Treliças planas 
 
 
Treliças planas são estruturas compostas por barras contidas num plano vertical e 
conectadas por nós rotulados (rótulas). Para que sejam consideradas como treliças, as cargas 
X 
Z 
Y 
Mz 
Py 
qy Py 
16 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
devem ser aplicadas exclusivamente nos nós da estrutura, deste modo não surgem momentos 
fletores. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 12 – Treliça plana. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de uma treliça plana: N. 
Ações possíveis em uma treliça plana: Px e Py. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma treliça plana: ux e uy. 
 
 
3.3 Treliças espaciais 
 
 
Nas treliças espaciais as barras têm direção qualquer no espaço. Da mesma forma que 
nas treliças planas, não devem existir cargas aplicadas no vão das barras, apenas nos nós, os 
quais são rotulados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 13 – Treliça espacial. 
 
 
X 
Z 
Y 
Py Py Py Py Py Py Py 
Px 
X 
Z 
Y 
Py Py 
Pz 
Px 
17 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Esforços possíveis nas barras de uma treliça espacial: N. 
Ações possíveis em uma treliça espacial: Px, Py e Pz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma treliça espacial: ux, uy e uz. 
 
 
3.4 Pórticos planos 
 
 
Os pórticos planos são formados por um conjunto de barras contidas num plano 
vertical e conectadas por nós rígidos e/ou por rótulas. Todas as forças que atuam no pórtico 
plano estão contidas no seu plano e os momentos têm seus vetores perpendiculares a este 
plano. Para este tipo de estrutura reticulada as cargas (concentradas e/ou distribuídas) podem 
ser aplicadas no vão das barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14 – Pórtico plano. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de um pórtico plano: N, Vy e Mz. 
Ações possíveis em um pórtico plano: qx, qy, Px, Py e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de um pórtico plano: ux, uy e z. 
 
 
 
 
 
X 
Z 
Y 
Px 
Mz 
Py 
qy 
18 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
3.5 Pórticos espaciais 
 
 
Os pórticos espaciais possuem a mesma definição que os pórticos planos, só que as 
barras podem ter uma orientação qualquer no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 15 – Pórtico espacial. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de um pórtico espacial: N, Vy, Vz, Mx, My e Mz. 
Ações possíveis em um pórtico espacial: qx, qy, qz, Px, Py, Pz, Mx, My e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de um pórtico espacial: ux, uy, uz, x, y e z. 
 
 
3.6 Grelhas 
 
 
Grelhas são estruturas compostas por barras que estão contidas em um plano 
horizontal. Diferente dos pórticos planos, as cargas aplicadas nas grelhas devem estar fora 
deste plano e os vetores dos momentos devem estar no plano da estrutura. As cargas podem 
ser aplicadas no vão das barras. 
 
X 
Z 
Y 
qy 
Py 
qy 
qy 
qx 
Py 
Py 
Px 
Pz 
19 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 16 – Grelha. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de uma grelha: Vy, Mx e Mz. 
Ações possíveis em uma grelha: qy, Py, Mx e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma grelha: uy, x e z. 
X 
Z 
Y 
qy 
Py 
Py 
Mx 
Mz 
20 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
4 AÇÕES E DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 17 – Convenção para os índices dos deslocamentos. 
 
 
- D1 é um deslocamento linear (translação) correspondente à (no mesmo ponto e na 
mesma direção da) ação A1, causado por A1 e A2. 
- D2 é um deslocamento angular (giro) correspondente à (no mesmo ponto e na 
mesma direção da) ação A2, causado por A1 e A2. 
- D3 é um deslocamento linear (translação) no ponto B (na direção vertical do ponto B 
não há ação correspondente) causado por A1 e A2. 
 
OBS.: 
O deslocamento angular de um ponto (rotação ou giro de uma seção): é o ângulo entre 
a tangente à linha elástica (LE) no ponto (seção) e a horizontal. 
A Correspondência é ÚNICA; a causa pode ser múltipla. 
 
 
4.1 Princípio da Superposição dos Efeitos 
 
 
 
- D11 é um deslocamento correspondente à ação A1, causado por A1 (mantendo as 
demais ações deste estado nulas); 
- D21 é um deslocamento correspondente à ação A2, causada por A1 (mantendo as 
demais ações deste estado nulas). 
 
Correspondência 
Causa 
Tangente à LE no ponto D 
Linha elástica (LE) A1 
A2 
D3 
D1 
D2 
A 
B C 
D 
21 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Generalizando: 
- Dij é um deslocamentocorrespondente à ação Ai, quando a estrutura é submetida a 
uma ação Aj. 
 
Aplicando o princípio da superposição dos efeitos (PSE), tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 18 – Princípio da superposição dos efeitos em uma viga isostática. 
 
D1 = D11 + D12 + D13 
D2 = D21 + D22 + D23 
D3 = D31 + D32 + D33 
 
 
4.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais 
 
 
Se um ponto material m está em equilíbrio, isto é, a resultante das forças é nula, o 
trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças reais iP

 que atuam sobre o ponto m 
D3 
A2 
= 
A3 
D2 D1 
A1 
D32 
D31 
D11 
D21 
A1 
+ 
A2 
D12 
D22 
+ 
 
D13 
A3 D23 
D33 
22 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
quando ele sofre um deslocamento virtual 

 vale zero 0RW 

 (Princípio de 
D’Alembert), onde R

 representa a resultante vetorial do conjunto de forças reais, que neste 
caso vale 0R 

. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 19 – Trabalho virtual de um sistema de forças em equilíbrio. 
 
 
Como os corpos rígidos e elásticos são um somatório de infinitos pontos materiais, a 
extensão do princípio de D’Alembert, conhecida como Teorema dos Trabalhos Virtuais, fica: 
 
 Para corpos rígidos: Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos 
trabalhos virtuais de todas as forças reais externas que sobre ele atuam é nula, para 
qualquer deslocamento virtual aplicado que seja compatível com seus vínculos 
( 0Wext  ); 
 Para corpos elásticos: Para um corpo elástico em equilíbrio, o trabalho virtual total 
das forças reais externas que atuam sobre o corpo é igual ao trabalho virtual das forças 
reais internas (esforços solicitantes) presentes no corpo, para qualquer conjunto de 
deslocamentos virtuais aplicados e que seja compatível com seus vínculos. 
 
0WW .EQUILIBintext  
EQUIV.
int
EQUILIB.
int WW  
EQUIV.
intext WW  
(4.1) 
(4.2) 
(4.3) 
 
ou: 
 
1P

 
1P

 
nP

 
3P

 
2P

 
m
 
nP

 
3P

 
2P

 
m
 


 
23 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
  

 ds 
A G
Q 
Q ds 
A E
 N 
N ds 
J G
 T 
T ds 
I E
 M 
M M P ki
k
i
t
k
i
k
ikikkik (4.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 20 – Deformação causada pelo esforço axial. 
 
 
A 
N
 
A 
P
 σ
ε E σ


 
A E 
N
 
L
 ΔL 
 ε ε E 
A 
N
  (4.5) 
 
 
 
 
4.2.1 Teorema de Betti 
 
 
“Seja uma estrutura qualquer, no regime elástico e linear, sujeita a dois sistemas de 
ações. O trabalho externo realizado pelo 1º sistema de ações (Pi), em relação aos 
deslocamentos produzidos pelo 2º sistema de ações (ik), é igual ao trabalho externo realizado 
pelo 2º sistema de ações (Pk), em relação aos deslocamentos produzidos pelo 1º sistema de 
ações (ki).” 
 
  kikiki δ P δ P (4.6) 
 P Wext  Força x Deslocamento (4.7) 
Igual para todas as seções da 
barra com comprimento L 
 
Deformação 
produzida pelo 
momento fletor 
Deformação 
produzida pelo 
momento de 
torção 
Deformação 
produzida pelo 
esforço axial 
Deformação 
produzida pelo 
esforço cortante 
 = L/L 
L L 
P 
 = E  
P 
 
 
24 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 21 – Estrutura sujeita aos sistemas de ações. 
 
 
No exemplo da Figura 21 tem-se: 
 
P1 x 12 = P2 x 21 (4.8) 
 
 
4.2.2 Teorema de Maxwell 
 
 
O teorema de Maxwell é um caso particular do teorema de Betti em que Pi e Pk são 
forças ou momentos unitários, assim: 
 
kiik  ou 2112  (4.9) 
 
“Para estruturas no regime elástico e linear, o deslocamento em um ponto 1 causado 
por uma ação unitária em outro ponto (ponto 2) é igual ao deslocamento neste outro ponto 2 
causado por uma ação unitária no primeiro ponto (ponto 1).” 
 
 
 
 
 
Fig. 22 – Exemplo de aplicação do Teorema de Maxwell para uma viga biapoiada. 
 
P2=1 
12 
P1=1 
21 
1 2 1 2 
11111 
P1 
2 
21 
1 2 
P2 
12 
25 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
4.3 Rigidez e flexibilidade 
 
 
Seja uma estrutura, representada por uma mola vinculada em uma extremidade e livre 
na outra e submetida a: 
 uma ação unitária na extremidade livre; 
 um deslocamento unitário na extremidade livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 23 – Molas submetidas a uma força unitária e a um deslocamento unitário. 
 
 
A flexibilidade (F) é definida como o deslocamento (D) correspondente a uma ação 
unitária (A = 1). Assim, tem-se: 
 
D = F . A (4.10) 
 
A rigidez (S ou K) é definida como a ação (A) que produz um deslocamento unitário 
(D = 1) correspondente. Assim: 
 
A = S . D (4.11) 
 
Das equações anteriores verifica-se que: 
 
A = S . D = S . F . A  S = F–1 (4.12) 
1 
F 
S 
1 
26 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
4.4 Diferenças entre os métodos da flexibilidade e da rigidez 
 
 
Os dois métodos derivam do princípio dos trabalhos virtuais (PTV), entretanto, na sua 
formulação, apresentam algumas diferenças, identificadas na tabela abaixo. 
 
Quadro 4.1 – Diferenças entre os métodos da flexibilidade e da rigidez. 
Método da Flexibilidade 
(ou Método das Forças) 
Método da Rigidez 
(ou Método dos Deslocamentos) 
A forma principal da estrutura hiperestática é 
uma estrutura estaticamente determinada 
(isostática), obtida a partir da eliminação de 
esforços redundantes (geralmente vínculos). 
A forma principal (geralmente chamado de 
sistema hipergeométrico) é uma estrutura 
cinematicamente determinada, obtida através 
da colocação de vínculos fictícios na estrutura 
original. 
As incógnitas são forças e/ou momentos 
(internos ou externos), associados aos vínculos 
e/ou esforços suprimidos. 
As incógnitas são os deslocamentos (lineares 
e/ou angulares) associados aos vínculos 
fictícios criados para chegar ao sistema 
principal. 
O número de incógnitas é igual ao grau de 
indeterminação estática (grau de 
hiperestaticidade) da estrutura. 
O número de incógnitas é igual ao grau de 
indeterminação cinemática (grau de 
hipergeometria) da estrutura, isto é, o número 
de deslocabilidades (deslocamentos livres) da 
estrutura. 
Existem várias opções de escolha para a forma 
principal. 
Existe apenas uma opção de escolha da forma 
principal, a qual sempre recai em um conjunto 
de barras biengastadas. 
 
Exemplos: 
 
1º Exemplo: Pórtico plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 24 – (a) Pórtico plano hiperestático com o carregamento e as reações de apoio (b) Forma principal no 
método da rigidez, desconsiderando as deformações axiais. 
C B 
A D 
(b) 
A D 
B C 
(a) 
27 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Desconsiderando as deformações axiais: 
 
Quadro 4.2 – Número de deslocamentos livres no método da rigidez para o pórtico da Figura 24, 
desconsiderando as deformações axiais. 
Método da Rigidez 
3 Deslocabilidades (deslocamentos livres): 
 2 rotações (giros) e 
 1 translação (deslocamento horizontal 
 da barra BC) 
 
 
Considerando as deformações axiais: 
 
Quadro 4.3 – Número de deslocamentos livres no método da rigidez para o pórtico da Figura 24, considerando as 
deformações axiais. 
Método da Rigidez 
6 Deslocabilidades (deslocamentos livres): 
 2 rotações (giros) e 
 2 translações verticais (nós B e C) 
 2 translações horizontais (nós B e C) 
 
 
O grau de indeterminação estática (grau de hiperestaticidade), utilizado no método da 
flexibilidade, para o pórtico plano da Figura 24 é 3, obtido a partir do número de reações de 
apoio (6) menos o número de equações da estática no plano (3). 
 
2º Exemplo: Viga contínua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 25 – (a) Viga contínua com o carregamento e as reações de apoio (b) Forma principal no método da 
rigidez. 
(b) 
(a) 
28 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Quadro 4.4 – Diferenças entre os métodos da flexibilidade e da rigidez para uma viga contínua. 
Método da Flexibilidade Método da Rigidez 
4 incógnitas – 2 equações da estática 
4 Deslocabilidades (deslocamentos livres): 
 3 rotações (giros) e 
 1 translação vertical 
2 vezes hiperestática 4 vezes hipergeométrica 
 
 
OBS.: 
Por definição, as vigas não possuem deformações axiais. Assim, esforços axiais não 
são considerados. 
 
A tabela abaixo especifica os casos em que é mais rápido resolver uma estrutura pelo 
método da flexibilidade ou da rigidez, manualmente ou matricialmente por computador. 
 
Quadro 4.5 – Recomendação para uso do método da flexibilidade ou da rigidez. 
Grau de indeterminação 
Método de solução apropriado 
(recomendado) 
Estática Cinemática Manualmente 
Matricialmente por 
computador 
Baixo (  5 ) Baixo (  5 ) Qualquer Rigidez 
Baixo (  5 ) Alto (  6 ) Flexibilidade Rigidez 
Alto (  6 ) Baixo (  5 ) Rigidez Rigidez 
Alto (  6 ) Alto (  6 ) Nenhum Rigidez 
 
29 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
5 APLICAÇÃO DO PTV 
 
 
5.1 Método da carga unitária para calcular deslocamentos em estruturas isostáticas 
 
 
OBS.: 
O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) é válido para estruturas isostáticas e 
hiperestáticas. 
 
Determinar os deslocamentos (D1, D2 e D3) nos pontos de aplicação das ações 
A1, A2, e A3 para a estrutura mostrada na Figura 26. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 26 - Viga isostática. 
 
 
Para calcular os deslocamentos D1, D2 e D3, o problema pode ser equacionado 
matricialmente aplicando o princípio da superposição dos efeitos (PSE) e utilizando ações 
unitárias em cada uma das direções destes deslocamentos, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D3 
A1 A2 
D1 
A3 
D2 
= 
x A1 + 
F31 
A1 = 1 
 
F11 
F21 
B 
D3 
A1 A2 
D1 
A3 
D2 
2EI EI 
A C D 
L L/2 
30 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 27 – Aplicação do PSE na viga isostática. 
 
 
Aplicando o PSE, os deslocamentos D1, D2 e D3 são obtidos por: 
 








3332321313
3232221212
3132121111
AFAFAFD
AFAFAFD
AFAFAFD
 (5.1) 
 
Escrevendo na forma matricial: 
 































3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
A
A
A
 . 
FFF
FFF
FFF
 
D
D
D
 (5.2) 
 
Ou simplesmente: D = F . A; 
 
onde: F é a matriz de flexibilidade → Não tem nenhuma relação com a matriz de 
flexibilidade (F) do método da flexibilidade; 
A é o vetor de ações; 
D é o vetor com os deslocamentos incógnitos. 
 
Assim, o problema se resume em avaliar os Fij para a estrutura com ações unitárias, 
usando o método da carga unitária, o qual está baseado no PTV. 
F32 
F22 
F12 
A2 = 1 
x A2 + 
F33 
F23 
F13 
A3 = 1 
x A3 
31 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Será adotada a seguinte nomenclatura: 
ESTADO A – ESTADO DE SOLICITAÇÃO – É o estado em que a estrutura se 
encontra sob a ação de forças. Neste estado interessam basicamente as FORÇAS. 
ESTADO B – ESTADO DE DEFORMAÇÃO – É o estado constituído pelo conjunto 
de deformações. Neste estado interessam basicamente as DEFORMAÇÕES. 
Os estados são independentes. 
 
 
Cálculo de F11, F21 e F31 usando o método da carga unitária: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 28 - Carga unitária na direção de A1 – Estado B . 
 
 
 Cálculo de F11 
 
 
Estado B 
(ESTADO DE DEFORMAÇÃO) 
Estado A (Carga Unitária) 
(ESTADO DE SOLICITAÇÃO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 29 - Estados de deformação e de solicitação. 
 
A1=1 
11F
2EI EI 
L L/2 
4
L
1  
 
(+) 
2EI EI 
1 
L L/2 
4
L
1  
 
(+) 
B 
2EI EI 
F31 A1=1 
F21 
F11 
A C 
L L/2 
D 
32 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
F11 é um coeficiente de flexibilidade que representa um deslocamento correspondente 
a ação A1 quando a ação unitária (na mesma direção e posição de A1) é imposta à estrutura. 
Pelo princípio dos trabalhos virtuais (PTV) para corpos elásticos, o trabalho indireto 
das forças externas ou trabalho externo indireto ( externoABW ) é igual ao trabalho indireto das 
forças internas ou trabalho interno indireto ( internoABW ): 
 
interno
AB
externo
AB W W  (5.3) 
 
O trabalho externo indireto ( externoABW ) é o trabalho realizado pelas forças do estado de 
solicitação A (carga unitária) em virtude dos deslocamentos correspondentes no estado de 
deformação B (). Neste caso, o trabalho externo indireto é dado pelo produto da ação 
unitária do estado A pelo deslocamento correspondente  do estado B , o qual, por 
definição, é o próprio coeficiente de flexibilidade F11. 
 
11
externo
AB F δ . 1 W  (5.4) 
 
O trabalho interno indireto é o trabalho realizado pelos esforços internos do estado A 
em relação às deformações do estado B . 
Desprezando os esforços de corte, obtém-se: 
 
dsMM2dsMMdsMMW2EI
dsMM2dsMMdsMM
2EI
1
W
ds
EI
MM
ds
2EI
MM
ds
2EI
MM
ds
EI
MM
W
CD
BA
BC
BA
AB
BA
interno
AB
CD
BA
BC
BA
AB
BA
interno
AB
CD
BA
BC
BA
AB
BA
Barras Todas
BAinterno
AB









 (5.5) 
 
Para o cálculo das integrais do produto das funções do momento fletor pode-se utilizar 
a TabelaA.1 do Anexo A, a qual fornece o resultado destas integrais. Para usar esta tabela, 
deve ser calculado inicialmente o comprimento equivalente (L’) a fim de levar em 
consideração as diferenças de rigidez entre os vãos das vigas. Para isto, toma-se como 
referência qualquer uma das inércias da viga (geralmente a maior: neste caso: 2.II ref  ). 
 
33 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Assim: 
Quadro 5.1 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F11. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-B L/2
2I
2I
2
L
 
 
96
L
2
L
4
L
4
L
3
1 3
 
B-C L/2
2I
2I
2
L
 
 96
L
2
L
4
L
4
L
3
1 3
 
 
onde: 
 L’ é o comprimento equivalente; 
 L é o comprimento real da barra; 
 Ibarra é o momento de inércia da barra; 
 Iref é o momento de inércia de referência (ou básico), neste caso igual a 2.I. 
 
Então: 
 
 I E 96 
L
 
 I E 48 
L
 F 
 48 
L
 
 96 
L
 
 96 
L
 F I E
3
ref
3
11
333
11ref




 
(5.6) 
 
 Exemplo do cálculo de F11 resolvendo a integral do produto das funções de momento 
fletor para avaliar o internoABW : 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
Fig. 30 - Estados A e B : cálculo de F11. 
 
L/4 
L/4 
L/4 L/4 
+ + 
+ + 
11F
1 
2EI EI 
L L/2 
(+) 
4
L
1  
 
A1=1 
(+) 
2EI 
L L/2 
4
L
1  
 
EI 
34 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 31 - Ações unitárias impostas à estrutura. 
 
 
int
AB
ext
AB
estrut ref
BAint
AB
11
ext
AB
WW
dx
IE
MM
W
F1W







 
 EI 96 
L
 F 
 2EI 48 
L
 F1 
2EI48
L
W
48
L
8
L
3
1
4
1
2W2EI 
3
x
4
1
2dxx
4
1
dxx
4
1
W2EI 
2EI
dx
x
2
1
x
2
1
2EI
dx
x
2
1
x
2
1
 W
3
11
3
11
3
int
AB
33
int
AB
L/2
0
3
2
L/2
0
2
L/2
0
int
AB
L/2
0
L/2
0
int
AB










 
(5.7) 
 
 
 Cálculo de F21 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 32 - Estados A e B : cálculo de F21. 
 
 
4
L
1 
1 x 2/L
02
1

2EI EI 
L L/2 
x
2/L
02
1

F11 
x
2/L
02
1
 x
2/L
02
1

2EI EI 
L L/2 
A1=1 
4
L
1 
F21= 2EI EI 
A1=1 
2
1
2
1
1 
2EI EI 
L L/2 
2
1
2
3
4
L
1 
2
L
1 
(+) 
L L/2 
)( 
35 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Quadro 5.2 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F21. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
 
32
L
)L
2
L
(
4
L
4
1 3
 
 
Então: 
 
 I E 64 
L
 F 
 32 
L
 F I E
3
21
3
21ref

 (5.8) 
 
 
 Exemplo do cálculo de F21 resolvendo a integral do produto das funções de momento 
fletor para avaliar o internoABW : 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 33 - Estados A e B : cálculo de F21. 
 
 
 
 
 
 
 
L/4 
L/2 
+ - 
x
2/L
02
1

L L/2 
1 
2EI EI 
x
L
2/L2
1

EI 2EI 
A1=1 x 2/L
02
1

L
2/L2
)xL( 
L L/2 
F21= 
4
L
1 
2
L
1 
36 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
















 




L
L/2
2
L/2
0
2interno
AB
L
L/2
L/2
0
interno
AB
dx
4
)xLx(
/4)dx(xWEI2
dx
EI2
x/2
2
x)(L
dx
EI2
x/2)(x/2)(
W
 
32
 L 
 
12
 x
 
8
 Lx 
 
12
 x 
 WEI2
3
L
L/2
3
L
L/2
2
L/2
0
3
interno
AB



 
 
 I E 2 32 
L
 F 1 W W
3
21
externo
AB
interno
AB

 (5.9) 
 
 I E 64 
L
 F
3
21

 (5.10) 
 
 
 Cálculo de F31 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 34 - Estados A e B : cálculo de F31. 
 
 
Quadro 5.3 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F31. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
 
16
L
1)L(
4
L
4
1 2
 
 
L/4 
-1 
+ - 
F31 
2EI EI 
1 
L L/2 
L
1
L
1
L L/2 
2EI EI 
A1=1 
(+) 
2
1
2
1
4
L
1  
 
1
)( 
37 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 I E 64 
L
 F F
3
2112


Então: 
 
 I E 32 
L
 F 
 16 
L
 F I E
2
31
2
31ref

 (5.11) 
 
 
Cálculo de F12, F22 e F32 usando o método da carga unitária: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 35 - Ação unitária na direção de A2 - Estado B . 
 
 
 Cálculo de F12 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 36 - Estados A e B : cálculo de F12. 
 
 
 
(5.12) 
 
 
L L/2 
2EI 
F32 
A2=1 
F22 
F12 
EI 
A2=1 
EI 
)( 
2EI 
2
1
2
3
2
L
1
2EI EI 
1 
)( 
2
1
2
1
4
L
1 
L L/2 L L/2 
F12 
38 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Cálculo de F22 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 37 - Estados A e B : cálculo de F22. 
 
 
Quadro 5.4 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F22. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
12
L
L
2
L
2
L
3
1 3
 
C-D L
I
2I
2
L
 
 
12
L
L
2
L
2
L
3
1 3
 
 
Então: 
 
 EI 12 
 L 
 F 
12
 L 2 
 F I E
3
22
3
22ref

 (5.13) 
 
 
 
 
 
 
 
L/2 
- 
L/2 
- 
L/2 
- 
L/2 
- 
F22 
L L/2 
2EI EI 
A2=1 
)( 
2
1
2
3
1 
)( 
2EI EI 
2
1
2
3
2
L
1
2
L
1
L L/2 
39 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Cálculo de F32 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 38 - Estados A e B : cálculo de F32. 
 
 
Quadro 5.5 - Integrais de produto de momento fletor para calcular F32. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
6
L
1)L)(
2
L
(
3
1 2
 
C-D L
I
2I
2
L
 
 4
L
1)L)(
2
L
(
2
1 2
 
 
Então: 
 
 I E 24 
L 5
 F 
24
 L 10 
 
4
 L 
 
6
 L 
 F I E
2
32
222
32ref

 (5.14) 
 
 
 
 
 
 
-L/2 
-1 
-L/2 -1 
- 
- 
-- 
F32 
A2=1 
2EI EI 
)( 1 
)( 
2EI EI 
2
L
1
1
L L/2 L L/2 
40 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Cálculo de F13, F23 e F33 usando o método da carga unitária: 
 
 
 
 
 
Fig. 39 - Ação unitária na direção de A3 - Estado B . 
 
 
 Cálculo de F13 = F31 
 
 Cálculo de F23 = F32 
 
 Cálculo de F33 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
Fig. 40 - Estados A e B : cálculo de F33. 
 
 
Quadro 5.6 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F33. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
3
L
1)L1)((
3
1
 
C-D L
I
2I
2
L
 
 
L1)L1)(1(  
-1 
-1 
-1 -1 
- 
- 
- - 
F33 
A3=1 
)( 
2EI EI 
1 
EI 
)( 
L L/2 
1 1
2EI 
L L/2 
L L/2 
EI 2EI 
F33 
A3=1 
F23 
F13 
41 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Então: 
 
 I E 3 
L 2
 F 
3
 L 4 
 L 
 3 
 L 
 F I E 3333ref

 (5.15) 
 
Finalmente, a matriz de flexibilidade (F) fica: 
 














2L/3EI/24EI5L/32EIL
/24EI5L/12EIL/64EIL
/32EIL/64EIL/96EIL
 
22
233
233
F (5.16) 
 
Assim, para qualquer valor das ações A1, A2 e A3 os deslocamentos podem ser 
calculados da seguinte forma: 
 
D = F . A (5.17) 
 


































3
2
1
22
233
233
3
2
1
A
A
A
 . 
2L/3EI/24EI5L/32EIL
/24EI5L/12EIL/64EIL
/32EIL/64EIL/96EIL
 
D
D
D
 (5.18) 
 
Substituindo os valores das ações A1, A2, e A3 na equação 5.18 chega-se nos 
deslocamentos nos pontos de aplicação das ações (D1, D2 e D3). 
42 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
6 APLICAÇÃO DO MÉTODO DA FLEXIBILIDADE 
 
 
O método da flexibilidade é o método das forças e será revisado através dos exemplos 
a seguir. 
 
1º Exemplo: 
Resolver a viga contínua hiperestática mostrada na Figura 41 através do método da 
flexibilidade, determinando as reações de apoio e traçando o diagrama de momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 41 - Viga contínua com carga distribuída. 
 
 
Avaliação do grau de hiperestaticidade: 
g = 4 incógnitas – 2 equações da estática = 2 x hiperestática (6.1) 
 
Escolha da forma principal (FP) ou sistema principal (SP): 
Como a estrutura é duas vezes hiperestática e a forma principal deve ser uma estrutura 
isostática, uma das alternativas para a FP pode ser encontrada suprimindo os dois vínculos 
intermediários, resultando na viga isostática ilustrada na Figura 42. 
 
 
 
 
 
Fig. 42 - Viga na FP com a carga distribuída e os hiperestáticos X1 e X2: Estado B . 
 
 
As forças X1 e X2 colocadas no lugar dos vínculos suprimidos são as reações nestes 
apoios, chamados de hiperestáticos, e são as incógnitas do problema. 
X1 X2 
q = 10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
q = 10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
43 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
No método das forças as incógnitas são forças e/ou momentos. 
A viga original é idêntica a viga na FP com o agente de deformação, neste caso a carga 
uniformemente distribuída q = 10 kN/m, e os hiperestáticos X1 e X2 (Estado B ). 
Outra FP pode ser encontrada rotulando a viga sobre os apoios intermediários e 
introduzindo os momentos suprimidos nestes pontos, como ilustrado na Figura 43. 
 
 
 
 
 
Fig. 43 – Segunda alternativa para a FP da viga contínua com carga distribuída. 
 
 
Adotando a primeira FP sugerida e aplicando o PSE na viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 44 – Aplicação do PSE na viga contínua com carga distribuída. 
10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
M1 M2 
x X1 + 
0,6667 kN 0,3333 kN 
21 11 
X1 = 1 
Estado A1 
x X2 
0,3333 kN 0,6667 kN 
22 12 
X2 = 1 
Estado A2 
10 kN/m 
30 kN 30 kN 
20 10 
Estado B0 + 
10 kN/m 
X1 X2 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
= 
Viga original 
ou Estado B 
44 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Estado B0  Carregamento externo aplicado à FP com X1 = 0 e X2 = 0 
 
O Estado B0 é o estado de deformação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao agente de deformação, neste caso a carga distribuída q = 10 kN/m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 45 - Viga na FP com carga distribuída: Estado B0 . 
 
 
Estado A1  Hiperestático X1 = 1 aplicado à FP e X2 = 0 
 
O Estado A1 é o primeiro estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X1, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 46 - Viga na FP com o hiperestático X1 = 1: Estado A1 . 
30 kN 30 kN 
40 40 45 
(+) 
10 kN/m 
DMF do 
Estado B0 
30 kN 30 kN 
20 10 
q = 10 kN/m 
Estado B0 
0,6667 kN 0,3333 kN 
21 11 
X1 = 1 
Estado A1 
-1,3333 
0,6667 kN 0,3333 kN 
-0,6667 
-1 
(-) 
DMF do 
Estado A1 
45 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Estado A2  Hiperestático X2 = 1 aplicado à FP e X1 = 0. 
 
O Estado A2 é o segundo estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X2, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 47 - Viga na FP com o hiperestático X2 = 1: Estado A2 . 
 
 
Condições de compatibilidade dos deslocamentos (deslocamentos compatíveis com os 
vínculos): 
Na estrutura original (idêntica a estrutura na FP com o agente de deformação e os 
hiperestáticos – Estado B ), os deslocamentos verticais nos apoios intermediários são nulos, 
portanto: 
 no Estado B =  no Estado B0 + ( no Estado A1 ) . X1 + ( no Estado A2 ) . X2 = 0 
 
Assim, as equações de compatibilidade de deslocamentos ficam: 
 
10 + 11 . X1 + 12 . X2 = 0 
20 + 21 . X1 + 22 . X2 = 0 
(6.2) 
 
Ou, na forma matricial: 
 




























0
0
 
X
X
. 
2
1
2221
1211
20
10
 (6.3) 
0,3333 kN 0,6667 kN 
22 12 
X2 = 1 
Estado A2 
-0,6667 
-1,3333 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1 
(-) 
DMF do 
Estado A2 
46 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Cálculo dos ij, usando o método da carga unitária, o qual está baseado no PTV: Cálculo de 10 
  146,6667 6 45 1,3333 
 6 
 2 
 
 6 
 4 
 1 
 3 
 1 
 I E 10 





 
10 = - 146,6667 / E I 
 
 
 Cálculo de 20 
  146,6667 6 45 1,3333 
 6 
 4 
 
 6 
 2 
 1 
 3 
 1 
 I E 20 





 
20 = - 146,6667 / E I 
 
 
 Cálculo de 11 = F11 
        3,5556 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 11  
11 = F11 =3,5556 / E I 
 
 
 Cálculo de 12 = 21 = F12 = F21 
   
      
      
   
3,1111 I E
2 1,3333 0,6667 
 3 
 1 
 
 2 1,3333 0,6667 2 0,6667 
 6 
 1 
 
 2 1,3333 0,6667 0,6667 
 2 
 1 
 
 2 0,6667 1,3333 
 3 
 1 
 I E
12
12





 
12 = 21 = F12 = F21 = 3,1111 / E I 
 
 
 
 
47 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Cálculo de 22 = F22 
        3,5556 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 22  
22 = F22 = 3,5556 / E I 
 
 
Substituindo os ij nas equações de compatibilidade dos deslocamentos, obtém-se: 
 
- 146,6667 / E I + 3,5556 / E I . X1 + 3,1111 / E I . X2 = 0 
- 146,6667 / E I + 3,1111 / E I . X1 + 3,5556 / E I . X2 = 0 
(6.4) 
 
Na forma matricial: 
 


























0
0
 
X
X
 
EI/5556,3EI/1111,3
EI/1111,3EI/5556,3
 
EI/6667,146
EI/6667,146
2
1
 (6.5) 
 
Resolvendo o sistema de equações chega-se a: 
 
X1 = 22,0 kN 
X2 = 22,0 kN 
 
A matriz de flexibilidade (F) fica: 
 







EI/5556,3EI/1111,3
EI/1111,3EI/5556,3
 F (6.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
O diagrama de momento fletor da viga original (ou da viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) é determinado pela aplicação do PSE, da 
seguinte forma: 
 
DMF do Estado B0 + (DMF do Estado A1 ) . X1 + (DMF do Estado A2 ) . X2 = DMF do Estado B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 48 - Diagramas de momento fletor dos estados B0 , A1 , A2 e da viga original. 
30 kN 30 kN 
40 40 45 
(+) 
DMF do Estado B0 + 
0,3333 kN 
-1,3333 
0,6667 kN 
-0,6667 
-1 
(-) 
x 22,0 + DMF do Estado A1 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1,3333 
-0,6667 
-1 
x 22,0 = 
(-) 
DMF do Estado A2 
-4,0 kN.m -4,0 kN.m 
3,20 kN.m 
1,0 kN.m 3,20 kN.m 
DMF da viga 
original ou do 
Estado B 
49 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Reações de apoio: 
 
 
As reações de apoio na viga original (idêntica a viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) também são determinadas pela aplicação do 
PSE, da seguinte forma: 
 
Reação no Estado B = Reação no Estado B0 + (Reação no Estado A1 ) . X1 + 
(Reação no Estado A2 ) . X2 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
Fig. 49 - Reações de apoio obtidas pela aplicação do PSE. 
 
 
2º Exemplo: 
Resolver a viga contínua hiperestática mostrada na Figura 50 através do método da 
flexibilidade, determinando as reações de apoio e traçando o diagrama de momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 50 - Viga contínua hiperestática com uma carga concentrada. 
 
 
Avaliação do grau de hiperestaticidade: 
g = 4 incógnitas – 2 equações da estática = 2 x hiperestática (6.7) 
 
 
22,0 kN 8,0 kN 22,0 kN 8,0 kN 
P = 10 kN 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
50 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Escolha da forma principal (FP) ou sistema principal (SP): 
Como a estrutura é idêntica a viga do exemplo anterior, foi adotada a mesma FP. 
A viga na FP com o agente de deformação, neste caso a carga concentrada P = 10 kN, e os 
hiperestáticos X1 e X2 (Estado B ) é mostrada na Figura 51. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 51 – Viga na FP com uma carga concentrada e os hiperestáticos X1 e X2: Estado B . 
 
 
As forças X1 e X2 são os chamados hiperestáticos, e são as incógnitas do problema. 
Aplicando o PSE na viga original (Estado B ), como no 1º exemplo, chegam-se aos 
Estados Bo , A1 e A2 , mostrados a seguir. 
 
Estado B0  Solicitação externa aplicada à FP com X1 = 0 e X2 = 0 
 
O Estado B0 é o estado de deformação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao agente de deformação, neste caso a carga concentrada P = 10 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 52 - Solicitação externa aplicada à viga na FP: Estado B0 . 
5 kN 5 kN 
20 10 
10 kN 
5 kN 5 kN 
10 kN 
(+) 
10 10 
15 
Estado B0 
DMF do 
Estado B0 
X2 X1 
EI EI EI 
P = 10 kN 
2 m 2 m 2 m 
Estado B 
51 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Estado A1  Hiperestático X1 = 1 aplicado à FP e X2 = 0 
 
O Estado A1 é o primeiro estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X1, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 53 - Hiperestático X1 aplicado à viga na FP: Estado A1 . 
 
 
Estado A2  Hiperestático X2 = 1 aplicado à FP e X1 = 0. 
 
O Estado A2 é o segundo estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X2, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 54 - Hiperestático X2 aplicado à viga na FP: Estado A2 . 
-0,6667 
-1,3333 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1 
(-) 
0,3333 kN 0,6667 kN 
22 12 
X2 = 1 
Estado A2 
DMF do 
Estado A2 
-1,3333 
0,6667 kN 0,3333 kN 
-0,6667 
-1 
0,6667 kN 0,3333 kN 
21 11 
X1 = 1 
(-) DMF do 
Estado A1 
Estado A1 
52 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Condições de compatibilidade dos deslocamentos (deslocamentos compatíveis com os 
vínculos): 
Na estrutura original (idêntica a estrutura na FP com o agente de deformação e os 
hiperestáticos – Estado B ), os deslocamentos verticais nos apoios intermediários são nulos, 
portanto: 
 no Estado B =  no Estado B0 + ( no Estado A1 ) . X1 + ( no Estado A2 ) . X2 = 0 
 
Assim, as equações de compatibilidade de deslocamentos ficam: 
 
10 + 11 . X1 + 12 . X2 = 0 
20 + 21 . X1 + 22 . X2 = 0 
(6.8) 
 
Ou, na forma matricial: 
 




























0
0
 
X
X
. 
2
1
2221
1211
20
10
 (6.9) 
 
 
Cálculo dos ij, usandoo método da carga unitária, o qual está baseado no PTV: 
 
 Cálculo de 10 
      
      
38,3333 I E
2 10 0,6667 
 3 
 1 
 1 10 2 15 0,6667 10 15 2 1 
 6 
 1 
 
1 15 2 10 1 15 10 2 1,3333 
 6 
 1 
 2 10 1,3333 
 3 
 1 
 I E
10
10



 
I E38,3333 10  
 
 
 Cálculo de 20 
53 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
      
       2 10 1,3333 
 3 
 1 
 1 10 2 15 1,3333 10 15 2 1 
 6 
 1 
 
1 15 2 10 1 15 10 2 0,6667 
 6 
 1 
 2 10 0,6667 
 3 
 1 
 I E 20


 
38,3333 I E 20  
I E38,3333 20  
 
 
 Cálculo de 11 = F11 
    3,5556 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 11  
11 = F11 = 3,5556 / E I 
 
 
 Cálculo de 12 = 21 = F12 = F21 
 
    
 
3,1111 I E
2 1,3333 0,6667 
 3 
 1 
 
2 1,3333 2 0,6667 0,6667 1,3333 0,6667 2 1,3333 
 6 
 1 
 
 2 0,6667 1,3333 
 3 
 1 
 I E
12
12




 
12 = 21 = F12 = F21 = 3,1111 / E I 
 
 
 Cálculo de 22 = F22 
    3,5556 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 22  
22 = F22 = 3,5556 / E I 
 
Substituindo os ij nas equações de compatibilidade dos deslocamentos, obtém-se: 
 
- 38,3333 / E I + 3,5556 / E I . X1 + 3,1111 / E I . X2 = 0 
- 38,3333 / E I + 3,1111 / E I . X1 + 3,5556 / E I . X2 = 0 
(6.10) 
54 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Na forma matricial: 
 




























 0 
0
 
 X 
 X 
 I E / 
 5556,3 1111,3 
 1111,3 5556,3 
 I E / 
 3333,38
 3333,38
2
1
 (6.11) 
 
Resolvendo o sistema de equações chega-se a: 
 
X1 = 5,75 kN 
X2 = 5,75 kN 
 
A matriz de flexibilidade (F) fica: 
 







EI/5556,3EI/1111,3
EI/1111,3EI/5556,3
 F (6.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
O diagrama de momento fletor da viga original (ou da viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) é determinado pela aplicação do PSE, da 
seguinte forma: 
 
DMF do Estado B0 + (DMF do Estado A1 ) . X1 + (DMF do Estado A2 ) . X2 = DMF do Estado B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 55 - Diagramas de momento fletor dos estados B0 , A1 , A2 e da viga original. 
DMF do Estado B0 + 
0,3333 kN 
-1,3333 
0,6667 kN 
-0,6667 
-1 
(-) 
DMF do Estado A1 x 5,75 + 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1,3333 
-0,6667 
-1 
x 5,75 = 
(-) 
DMF do Estado A2 
5 kN 5 kN 
10 kN 
(+) 
10 10 
15 
(+) 
DMF da viga 
original ou do 
Estado B 
 
-1,5 kN.m -1,5 kN.m 
3,5 kN.m 
(-) (-) 
56 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Reações de apoio: 
 
 
As reações de apoio na viga original (idêntica a viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) também são determinadas pela aplicação do 
PSE, da seguinte forma: 
 
Reação no Estado B = Reação no Estado B0 + (Reação no Estado A1 ) . X1 + 
(Reação no Estado A2 ) . X2 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
Fig. 56 - Reações de apoio obtidas pela aplicação do PSE. 
 
 
5,75 kN 0,75 kN 5,75 kN 0,75 kN 
57 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
7 APLICAÇÃO DO MÉTODO DA RIGIDEZ 
 
 
O método da rigidez é o método dos deslocamentos e será revisado através dos 
exemplos a seguir. 
 
1º Exemplo: 
Resolver a viga contínua mostrada na Figura 57 através do método da rigidez, 
determinando os deslocamentos livres, as reações de apoio e traçando o diagrama de 
momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 57 - Viga contínua com uma carga concentrada. 
 
 
Avaliação do grau de hipergeometria ou grau de indeterminação cinemática (GIC): são 
os deslocamentos livres (ou deslocabilidades) da estrutura. Neste caso, GIC = 4. 
 
 
 
 
Fig. 58 – Grau de indeterminação cinemática da estrutura (GIC = 4). 
 
 
Determinação da forma principal (FP) ou sistema hipergeométrico (SH): no método da 
rigidez só existe uma opção para a FP, mostrada na Figura 59. 
 
 
 
 
Fig. 59 - Forma principal da viga. 
 
Convenção p/ giros e 
translações 
+ + EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
P = 10 kN 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
D1 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
D2 D3 D4 
58 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Aplicando o PSE para os deslocamentos, obtém-se: 
 
Viga original = Caso (0) + Caso (1) . D1 + Caso (2) . D2 + Caso (3) . D3 + Caso (4) . D4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga original = 
P = 10 kN 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
x D3 + Caso (3) 
S33 = 4EI/2+4EI/2 
 
D3 = 1 
S43 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S13 = 0,0 
 
S23 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
Caso (2) x D2 + 
S22 = 4EI/2+4EI/2 
 
D2 = 1 
S32 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S42 = 0,0 
 
S12 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
Caso (0) + 
P = 10 kN 
10 = 0,0 
5,0 
20 = 10x2/8 
5,0 
30 = - 10x2/8 
40 = 0,0 
Caso (1) x D1 + 
S11 = 4EI/2 
 
D1 = 1 
S21 = 2EI/2 
 S31 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S41 = 0,0 
 
59 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
Fig. 60 – Aplicação do PSE para os deslocamentos na viga contínua com uma carga concentrada. 
 
 
Os casos (0), (1), (2), (3) e (4) são definidos a seguir: 
 
Caso (0)  Viga na FP com o carregamento externo aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 61 – Viga na forma principal com o carregamento externo aplicado. 
 
 
Os valores das reações e dos momentos de engaste perfeito são determinados 
utilizando o Método das Forças e são fornecidos na Tabela A.2 do Anexo A, para diferentes 
carregamentos. Alguns destes valores estão apresentados na Figura 62: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 62 - Reações e momentos de engaste perfeito. 
 
 
 
 
Caso (4) x D4 
S34 = 2EI/2 
 
D4 = 1 
S44 = 4EI/2 
 
S14 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S24 = 0,0 
 
P = 10kN 
10 = 0,0 
5,0 
20 = 10x2/8 
5,0 
30 = - 10x2/8 
40 = 0,0 
PL/8 
P/2 P/2 
P 
PL/8 q 
qL/2 
qL2/12 
qL/2 
qL2/12 
60 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Caso (1)  Viga na FP com D1 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 63 – Viga na forma principal com D1 unitário aplicado. 
 
 
Os coeficientes de rigidez são determinados a partir do PTV e dos teoremas de BETTI 
e MAXWELL e podem ser encontrados no livro “Análise de Estruturas Reticuladas (Gere e 
Weaver, pg. 425)”, ou na Tabela A.3 do Anexo A. Alguns destes valores são apresentados na 
Figura 64: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 64 - Coeficientes de rigidez produzidos pelos deslocamentos unitários. 
 
 
Caso (2)  Viga na FP com D2 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 65 – Viga na forma principal com D2 unitário aplicado. 
 
 
 
S11 = 4EI/2 
 
D1 = 1 
S21 = 2EI/2 
 S31 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S41 = 0,0 
 
6EI/L² 6EI/L² 
1 
2EI/L 4EI/L 
12EI/L³ 12EI/L³ 
6EI/L² 6EI/L² 
1 
S22 = 4EI/2+4EI/2 
 
D2 = 1 
S32 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S42 = 0,0 
 
S12 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
61 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Caso (3)  Viga na FP com D3 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 66 – Viga na forma principal com D3 unitário aplicado. 
 
 
Caso (4)  Viga na FP com D4 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 67 – Viga na forma principal com D4 unitário aplicado. 
 
 
As equações de equilíbrio de forças, obtidas pela aplicação do PSE, são: 
 











0DSDSDSDSβ
0DSDSDSDSβ
0DSDSDSDSβ
0DSDSDSDSβ
44434324214140
43433323213130
42432322212120
41431321211110
 (7.1) 
 
Escrevendo na forma matricial: 
 
























































 
0
0
0
0
 
D
D
D
D
 . 
SSSS
SSSS
SSSS
SSSS
 
β
β
β
β
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
40
30
20
10
 (7.2) 
 
 
S33 = 4EI/2+4EI/2 
 
D3 = 1 
S43 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S13 = 0,0 
 
S23 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
S34 = 2EI/2 
 
D4 = 1 
S44 = 4EI/2 
 
S14 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S24 = 0,0 
 
62 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Substituindo os valores dos coeficientes  e S, obtém-se: 
 

























































 
0
0
0
0
 
 D 
 D 
 D 
 D 
 . 
2EIEI00
EI4EIEI0
0EI4EIEI
00EI2EI
 
0
 2,5 
2,5
0
4
3
2
1
 (7.3) 
 
Resolvendo o sistema de equações chega-se a: 
 
D1 = 0,5 / E I radianos 
D2 = - 1,0 / E I radianos 
D3 = 1,0 / E I radianos 
D4 = - 0,5 / E I radianos 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
As reações de apoio na viga original são determinadas pela aplicação do PSE nos 
casos (0), (1), (2), (3) e (4), da seguinte forma: 
 
Reações viga original = Reações caso (0) + Reações caso (1) . D1 + Reações caso (2) . D2 + 
Reações caso (3) . D3 + Reações caso (4) . D4 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 68 - Reações de apoio na viga original. 
 
 
5,75 kN 0,75 kN 5,75 kN 0,75 kN 
63 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Diagrama de momento fletor: 
 
 
O diagrama de momento fletor na viga original é determinado pela aplicação do PSE 
nos casos (0), (1), (2), (3) e (4), da seguinte forma: 
 
DMF viga original = DMF caso (0) + DMF caso (1) . D1 + DMF caso (2) . D2 + 
DMF caso (3) . D3 + DMF caso (4) . D4 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
Fig. 69 - Diagrama de momento fletor na viga original. 
 
 
2º Exemplo: 
Resolver a viga contínua mostrada na Figura 70 através do método da rigidez, 
determinando os deslocamentos livres, as reações de apoio e traçando o diagrama de 
momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 70 - Viga contínua com uma carga distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
(+) 
(-) (-) 
-1,5 kN.m -1,5 kN.m 
3,5 kN.m 
q = 10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
64 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
7.1 Relações entre a matriz de flexibilidade e a matriz de rigidez 
 
Seja a viga em balanço (isostática) ilustrada na Figura 71: 
 
 
 
 
 
Fig. 71 – Viga em balanço. 
 
 
Aplicando o princípio da superposição dos efeitos (PSE) para as ações obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 72 - Princípio da superposição dos efeitos para as ações. 
 
 
 
 
 
 
A1 
A2 
EI 
L 
L 
EI 
A1 
D2 
A2 
= 
D1 
D12 
D22 
A2 
L 
EI 
+ 
D11 
D21 
EI 
A1 
65 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Aplicando o princípio da superposição dos efeitos com ações unitárias obtêm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 73 - Princípio da superposição dos efeitos para as ações unitárias. 
 
 
Assim: 
 
D1 = D11 + D12 = F11 . A1 + F12 . A2 
D2 = D21 + D22 = F21 . A1 + F22 . A2 
(7.4) 
 
Matricialmente: 
 



















2
1
2221
1211
2
1
A
A
 . 
FF
FF
 
D
D
 (7.5) 
 
Ou simplesmente: 
 
D = F . A (7.6) 
 
onde: F é a matriz de flexibilidade. 
EI 
A1 
D2 
A2 
= D1 
L 
L 
A1=1 
x A1 + F11 
F21 
EI 
x A2 F12 
F22 
A2=1 
L 
EI 
66 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
OBS.: 
Neste caso, a matriz F é utilizada para calcular os deslocamentos D1 e D2 na estrutura. 
Portanto, esta matriz F NÃO é a mesma matriz de flexibilidade utilizada no método da 
flexibilidade, onde as incógnitas são forças e/ou momentos e não deslocamentos. 
 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade (Fij): 
 
 
 Cálculo de F11 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
Fig. 74 – Estados A e B para cálculo de F11. 
 
  
 I E3 
L
 F L L L 
 3 
1
 F I E
3
1111

 (7.7) 
 
 
 Cálculo de F21 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
Fig. 75 - Estados A e B para cálculo de F21. 
 
  
 I E2 
L
 F L 1 L 
 2 
1
 F I E
2
2121

 
(7.8) 
 
A1=1 
-1.L 
 - 
L 
1 
-1.L 
L 
 - 
A1=1 -1.L 
L 
 - 
L 
-1 
1 
 - 
67 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Cálculo de F12 = F21 
 
 
 Cálculo de F22 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
Fig. 76 - Estados A e B para cálculo de F22. 
 
   
 I E 
L
 F L 1 1 F I E 2222  (7.9) 
 
 
Resultando: 
 



















2
1
2
23
2
1
A
A
 . 
L/EI/2EIL
/2EIL/3EIL
 
D
D
 (7.10) 
 
Portanto, a matriz de flexibilidade (F) fica: 
 













L/EI/2EIL
/2EIL/3EIL
 
FF
FF
 
2
23
2221
1211
F (7.11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
A2=1 
L 
-1 
1 
L 
-1 
 - - 
68 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Seja a mesma viga em balanço ilustrada na Figura 71. Aplicando o PSE, agora para os 
deslocamentos, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 77 - Princípio da superposição dos efeitos para os deslocamentos. 
 
 
Aplicando o PSE para deslocamentos unitários, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 78 - Princípio da superposição dos efeitos para deslocamentos unitários. 
 
 
Assim: 
 
A1 = S11 . D1 + S12 . D2 
A2 = S21 . D1 + S22 . D2 
(7.12) 
S12 = - 6EI/L2 
S22 = 4EI/L 
x D2 
1 
EI 
L 
A1 
D2 
A2 = 
D1 
EI 
L 
1 
EI 
L 
x D1 + 
S11 = 12EI/L3 
S21= - 6EI/L2 
D2 
EI 
L 
D1 
EI 
+ 
L 
A1 
D2 
A2 = 
D1 
EI 
L 
69 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Na forma matricial: 
 



















2
1
2221
1211
2
1
D
D
 . 
SS
SS
 
A
A
 (7.13) 
 
Ou simplesmente: 
 
A = S . D (7.14) 
 
onde: S é a matriz de rigidez da estrutura, utilizada no método da rigidez. 
 
Substituindo os coeficientes de rigidez a matriz S resulta: 
 















4EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L
 
SS
SS
 
2
23
2221
1211
S (7.15) 
 
Efetuando a multiplicação matricial F . S encontra-se a matriz identidade (I): 
 
ISF 
10
01
 
4EI/L6EI/L
6EI/L12EI/L
 . 
L/EI/2EIL
/2EIL/3EIL
 .
2
23
2
23




















 (7.16) 
 
Comprovando que F–1 = S, ou vice-versa S–1 = F. 
 
 
OBS.: 
Por conveniência, a convenção adotada para o sinal dos deslocamentos e dos 
coeficientes de rigidez neste exemplo é contrária à convenção adotada nos demais exemplos 
do método da rigidez desta apostila. 
 
70 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
8. MÉTODO DA RIGIDEZ EM VIGAS 
 
 
Todos os passos para a análise de uma viga utilizando o método da rigidez serão 
apresentados através de um exemplo, para a viga mostrada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 79 – Viga do exemplo. 
 
 
O grau de indeterminação cinemática (GIC) é igual ao número de deslocamentos livres 
da estrutura e não tem nenhuma relação com o grau de estaticidade. A viga do exemplo 
apresenta duas rotações livres (nós B e C) e uma translação vertical livre (nó C), portanto, o 
GIC é igual a três (3), desprezando as deformações axiais (modelo de viga). 
Os 3 deslocamentos livres (ou deslocabilidades) da viga estão ilustrados na figura a seguir. 
 
OBS.: 
Di  representa o i-ésimo deslocamento livre (translação ou rotação). 
 
 
 
 
 
 
Fig. 80 – Numeração dos deslocamentos livres. 
 
 
Convenção de sinais para os deslocamentos: 
 Giro anti-horário: (+) Translação p/ cima: (+) 
 
L L 
M 
P q 
C EI EI A B 
 
D1 
D3 
D2 C 
EI 
EI A B 
L L 
+ + 
71 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para definir a estrutura restringida ou forma principal (FP) é necessário impedir todos 
os deslocamentos livres (deslocabilidades), introduzindo um grampo para impedir o giro nos 
nós que apresentam rotações livres e um apoio adicional (apoio de 1º gênero) para impedir o 
deslocamento vertical nos nós que apresentam translações verticais livres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 81 – Estrutura restringida ou forma principal (FP). 
 
 
OBS.: 
Na estrutura restringida devem atuar todas as cargas externas, exceto aquelas 
correspondentes aos deslocamentos incógnitos (neste caso, P e M), as quais serão 
consideradas mais tarde. 
 
 
8.1 Aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos para o cálculo dos 
deslocamentos incógnitos 
 
 
Pelo princípio da superposição dos efeitos, os esforços (ou os deslocamentos) na 
estrutura original são iguais aos esforços (ou os deslocamentos) na estrutura restringida com 
Estruturalmente 
equivalente 
Apoio de 10 gênero para 
impedir a translação vertical 
q 
Grampos para impedir o giro 
Estrutura 
Restringida C EI EI A B 
L L 
q 
C 
EI EI 
A B 
L L 
72 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
carga, mais os esforços (ou os deslocamentos) que surgem quando se impõem os 
deslocamentos (giro ou translação) unitários à estrutura restringida, um em cada 
deslocabilidade, multiplicados pelos respectivos deslocamentos incógnitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 82 - Aplicação do PSE na viga do exemplo. 
 
 
Na estrutura original, os valores do vetor de ações AD (A - action; D - displacement), 
AD1, AD2 e AD3 são ações (forças ou momentos) que estão aplicadas na estrutura original, 
correspondentes aos deslocamentos incógnitos D1, D2 e D3. Neste caso, tem-se: 
 
A B C 
M 
P q 
= 
L L 
+ 
A B C 
q 
A B C 
x D2 + 
1 
x D1 + 
1 A B C 
1 
A B C 
x D3 
73 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
Fig. 83 - Valores do vetor AD na viga do exemplo. 
 
 
AD1 = 0 
AD2 = - P 
AD3 = - M 
 
Na estrutura restringida, sujeita às cargas externas (exceto as cargas correspondentes 
aos deslocamentos incógnitos, neste caso P e M), as ações correspondentes aos deslocamentos 
incógnitos D1, D2 e D3 são definidas como ADL1, ADL2 e ADL3 (A - action; 
D - displacement; L - load). Neste caso, os valores do vetor ADL são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 84 – Valores do vetor ADL na viga do exemplo. 
 
 
ADL1 = qL
2/12 - qL2/12 = 0 
ADL2 = qL/2 
ADL3 = - qL
2/12 
 
Quando os deslocamentos unitários são aplicados na estrutura restringida, um de cada 
vez, os esforços que surgem correspondentes aos deslocamentos incógnitos são por definição 
os coeficientes de rigidez Sij (S - stiffness). Assim, Sij representa uma ação correspondente ao 
 
q 
AD1 = 0 
AD2 = - P 
AD3 = - M 
C EI EI A B 
L L 
 EI 
EI AB C 
qL/2 ADL2 = qL/2 qL/2 qL/2 qL/2 
L L 
ADL3 = - qL2/12 ADL1 = 0 
qL2/12 qL2/12 qL2/12 qL2/12 
 
q 
74 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
deslocamento Di, quando na estrutura restringida é aplicado um deslocamento Dj unitário, 
mantendo os demais deslocamentos nulos. Para o deslocamento D1 = 1 aplicado na estrutura 
restringida, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 85 - Deslocamento aplicado na estrutura restringida (D1 = 1). 
 
 
S11 = 4EI/L + 4EI/L = 8EI/L 
S21 = - 6EI/L
2 
S31 = 2EI/L 
 
Para o deslocamento D2 = 1 aplicado na estrutura restringida, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 86 - Deslocamento aplicado na estrutura restringida (D2 = 1). 
 
 
S12 = - 6EI/L
2 
S22 = 12EI/L
3 
S32 = - 6EI/L
2 
 
Para o deslocamento D3 = 1 aplicado na estrutura restringida, tem-se: 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
S12 = - 6EI/L2 
S22 = 12EI/L3 
S32 = - 6EI/L2 
1 
12EI/L3 
A B C 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 
S21 = - 6EI/L2 
S31 = 2EI/L S11 = 8EI/L 
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 
1 A B C 
75 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
Fig. 87 - Deslocamento aplicado na estrutura restringida (D3=1). 
 
 
S13 = 2EI/L 
S23 = - 6EI/L
2 
S33 = 4EI/L 
 
Finalmente, pela aplicação do princípio da superposição dos efeitos tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q 
AD1 = 0 
AD2= - P 
AD3 = - M 
C EI EI A B 
L L 
= 
 EI 
EI A B C 
qL/2 ADL2 = qL/2 qL/2 qL/2 qL/2 
L L 
ADL3 = - qL2/12 ADL1 = 0 
qL2/12 qL2/12 qL2/12 qL2/12 
 
q 
+ 
x D1 + 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 
S21 = - 6EI/L2 
S31 = 2EI/L S11 = 8EI/L 
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 
1 A B C 
6EI/L2 6EI/L2 
4EI/L 2EI/L 
S23 = - 6EI/L2 
S33 = 4EI/L S13 = 2EI/L 
1 
A B C 
76 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 88 - Aplicação do PSE na viga do exemplo para calcular os deslocamentos incógnitos. 
 
 
Equações do restabelecimento do equilíbrio de forças: sistema de equações para 
calcular os deslocamentos incógnitos: 
 








33323213133
32322212122
31321211111
D . S D . S D . S ADL AD
D . S D . S D . S ADL AD
D . S D . S D . S ADL AD
 
 
Matricialmente tem-se: 
 











































3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
3
2
1
D
D
D
 
SSS
SSS
SSS
 
ADL
ADL
ADL
 
AD
AD
AD
 
 
ou simplesmente: 
 
)1dx()dxd()1dx()1dx( DSADLAD  ou 
x D2 + 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
S12 = - 6EI/L2 
S22 = 12EI/L3 
S32 = - 6EI/L2 
1 
12EI/L3 
A B C 
x D3 
6EI/L2 6EI/L2 
4EI/L 2EI/L 
S23 = - 6EI/L2 
S33 = 4EI/L S13 = 2EI/L 
1 
A B C 
77 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
)1dx()dxd()1dx()1dx( DSADLAD  
 
onde: d é o número de deslocamentos livres ou incógnitos (GIC). 
 
OBS.: 
Pode-se demonstrar pelo teorema de Maxwell que: Sij = Sji. 
 
 
8.2 Determinação dos deslocamentos incógnitos 
 
 
Para a determinação dos deslocamentos, através da equação anterior, deve-se fazer: 
 
DSADLAD  ou então: 
 ADLADSD 1   
 
onde: AD é o vetor que contém as ações correspondentes aos deslocamentos incógnitos na 
estrutura original; 
ADL é o vetor que contém as ações correspondentes aos deslocamentos incógnitos na 
estrutura restringida sujeita às cargas externas (exceto as cargas externas correspondentes aos 
deslocamentos incógnitos); 
S é a matriz de rigidez que contém os coeficientes de rigidez. A matriz de rigidez é 
simétrica e positivo-definida; 
S-1 é a inversa da matriz de rigidez; 
D é o vetor que contém os deslocamentos incógnitos. 
 
O sistema de equações anterior pode ser resolvido por qualquer método de solução de 
sistemas de equações, seja invertendo a matriz de rigidez (como na equação anterior), ou por 
eliminação de Gauss, fatoração Cholesky, iterativamente por Gauss-Seidel, entre outros. 
 
 
 
 
78 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
8.3 Aplicação do PSE para a determinação das reações de apoio 
 
 
Da mesma forma que o PSE foi aplicado para relacionar as ações na estrutura original 
com as ações nas estruturas restringidas, a fim de obter os deslocamentos livres (incógnitos), 
pode-se relacionar também as reações na estrutura original com as reações nas estruturas 
restringidas para obter as reações de apoio finais na estrutura original. 
Na estrutura original, o vetor AR (A - action; R - reaction) é formado por AR1, AR2 e 
AR3, os quais representam as reações na estrutura original, correspondentes aos 
deslocamentos restringidos (vínculos) existentes. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 89 - Valores do vetor AR na viga do exemplo. 
 
 
Na estrutura restringida com carga, o vetor ARL é formado por ARL1, ARL2 e 
ARL3, os quais representam as reações na estrutura restringida com carga, correspondentes às 
reações na estrutura original. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 90 - Valores do vetor ARL na viga do exemplo. 
 
 
 
ARL2 = qL2/12 
ARL3 = qL ARL1 = qL/2 
EI EI A B C 
qL/2 qL/2 qL/2 qL/2 
L L 
qL2/12 qL2/12 qL2/12 qL2/12 
 
q 
q 
P 
M 
C EI EI B 
L L 
AR2 
AR1 AR3 
A 
79 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Neste caso tem-se: 
 
ARL1 = qL/2 
ARL2 = qL
2/12 
ARL3 = qL/2 + qL/2 = qL 
 
OBS.: 
Caso existissem ações (forças e/ou momentos) aplicadas diretamente sobre os vínculos 
(apoios ou engastes), estas deveriam ser consideradas com sinal trocado na avaliação dos 
ARLi, uma vez que estas ações seriam diretamente absorvidas pelos vínculos. 
Quando os deslocamentos unitários são aplicados na estrutura restringida, um de cada 
vez, os esforços que surgem correspondentes às reações incógnitas na estrutura original são 
chamados de ARDij. Assim, ARDij representa um esforço que surge na estrutura restringida, 
correspondente à reação de apoio ARi na estrutura original, quando, na estrutura restringida é 
aplicado um deslocamento Dj unitário, mantendo os demais deslocamentos nulos. 
Logo, para o deslocamento aplicado D1 = 1 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 91 - Valores do vetor ARD na estrutura restringida com D1 = 1. 
 
 
ARD11 = 6EI/L
2 
ARD21 = 2EI/L 
ARD31 = 6EI/L
2 - 6EI/L2 = 0 
 
Para o deslocamento aplicado D2 = 1, tem-se: 
 
 
1 A B C 
ARD21 = 2EI/L 
ARD11 = 6EI/L2 ARD31 = 0 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L26EI/L2 
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 
80 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 92 - Valores do vetor ARD na estrutura restringida com D2 = 1. 
 
 
ARD12 = 0 
ARD22 = 0 
ARD32 = - 12EI/L
3 
 
Para o deslocamento aplicado D3 = 1: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 93 - Valores do vetor ARD na estrutura restringida com D3 = 1. 
 
 
ARD13 = 0 
ARD23 = 0 
ARD33 = 6EI/L
2 
 
Aplicando o PSE para calcular as reações de apoio, tem-se: 
 
 
 
1 
A B C 
ARD12 = 0 
ARD22 = 0 
ARD32 = - 12EI/L3 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 
4EI/L 2EI/L 
1 
A B C 
ARD23 = 0 
ARD33 = 6EI/L2 
ARD13 = 0 
6EI/L2 6EI/L2 
81 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 94 - Aplicação do PSE na viga do exemplo para calcular as reações de apoio. 
ARL2 = qL2/12 
ARL3 = qL ARL1 = qL/2 
EI EI A B C 
qL/2 qL/2 qL/2 qL/2 
L L 
qL2/12 qL2/12 qL2/12 qL2/12 
 
q 
+ 
x D2 + 
1 
A B C 
ARD12 = 0 
ARD22 = 0 
ARD32 = - 12EI/L3 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 
1 A B C 
ARD21 = 2EI/L 
ARD11 = 6EI/L2 ARD31 = 0 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 
x D1 + 
x D3 
4EI/L 2EI/L 
1 
A B C 
ARD23 = 0 
ARD33 = 6EI/L2 
ARD13 = 0 
6EI/L2 6EI/L2 
= 
q P 
M 
C EI EI B 
L L 
AR2 
AR1 AR3 
A 
82 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Finalmente, as reações de apoio podem ser obtidas por: 
 








33323213133
32322212122
31321211111
D . ARD D . ARD D . ARD ARL AR
D . ARD D . ARD D . ARD ARL AR
D . ARD D . ARD D . ARD ARL AR
 
 
Matricialmente tem-se: 
 











































3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
3
2
1
D
D
D
 
ARDARDARD
ARDARDARD
ARDARDARD
 
ARL
ARL
ARL
 
AR
AR
AR
 
 
ou simplesmente: 
 
)1dx()rxd()1rx()1rx( DARDARLAR  
 
onde: r é o número de reações de apoio e d é o número de deslocamentos livres ou 
incógnitos (GIC). 
 
 
8.4 Aplicação do PSE para a determinação das ações de extremidade de barra 
 
 
Ações de extremidade são as ações (ou reações) situadas nas seções das extremidades 
das barras, de forma que, construindo um diagrama de corpo livre da barra, estas ações, junto 
com as cargas externas aplicadas no vão da barra, mantém a barra em equilíbrio. As ações de 
extremidade são calculadas separadamente para cada uma das barras da estrutura. 
Em uma barra de viga, as ações de extremidade de barra são quatro, duas em cada 
extremidade (um esforço cortante e um momento fletor), independente do tipo de apoio ou 
carga que esteja atuando. O vetor que armazena as quatro ações de extremidade de uma barra 
genérica “m” de uma viga é denominado vetor AMm (A - action; M - member), cujas 
componentes são AM1
m, AM2
m, AM3
m, AM4
m, na seguinte ordem: esforço cortante à 
esquerda, momento fletor à esquerda, esforço cortante à direita, momento fletor à direita. 
83 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A convenção de sinais indicada para o método da rigidez serve para definir o sentido 
destas ações. Entretanto, para o traçado dos diagramas de esforço cortante e momento fletor a 
convenção usual de esforços deverá ser utilizada: 
 
 
 
 
 
 
Assim, as ações de extremidade de barra na estrutura original para a barra AB, são: 
AM1
AB, AM2
AB, AM3
AB, AM4
AB, as quais podem ser determinadas aplicando-se o PSE. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 95 – Ações de extremidade de barra para a barra AB na viga do exemplo (vetor AMAB). 
 
 
Na estrutura restringida sujeita às cargas externas, o vetor AMLm (A-action; 
M-member; L-load) representa as ações de extremidade de uma barra genérica “m”, 
correspondentes às ações de extremidade desta mesma barra na estrutura original (AMm). 
Para a barra AB o vetor AMLAB é formado por AML1
AB, AML2
AB, AML3
AB, e AML4
AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 96 - Valores do vetor AML para a barra AB na viga do exemplo. 
 
Momento 
fletor 
positivo 
+ M 
Traciona 
as fibras 
inferiores 
Cortante à 
esquerda é 
positivo 
para cima 
+Q 
Cortante à 
direita é 
positivo 
para baixo 
+Q 
B 
AML2AB = qL2/12 
AML3AB = qL/2 AML1
AB = qL/2 
EI EI 
A C 
qL/2 qL/2 
L L 
qL2/12 qL2/12 
q AML4AB = - qL2/12 
 
q 
P 
M 
C EI EI B 
L L 
AM2AB 
AM1AB AM3
AB 
AM4AB 
A 
84 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Neste caso tem-se: 
 
AML1
AB = qL/2 
AML2
AB = qL2/12 
AML3
AB = qL/2 
AML4
AB = - qL2/12 
 
Quando são aplicados os deslocamentos unitários na estrutura restringida, um de cada 
vez, as ações de extremidade que surgem na barra genérica “m”, correspondentes às ações de 
extremidade na mesma barra na estrutura original, são chamados de AMDij
m (A-action; 
M-member; D-displacements). Assim, AMDij
m representa a ação de extremidade de barra que 
surge na barra “m” da estrutura restringida, correspondente à ação de extremidade de barra 
AMi
m na estrutura original, quando é aplicado um deslocamento Dj unitário na estrutura 
restringida, mantendo os demais deslocamentos nulos. 
Logo, para o deslocamento aplicado D1 = 1 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 97 - Estrutura restringida com D1 = 1. 
 
 
AMD11
AB = 6EI/L2 
AMD21
AB = 2EI/L 
AMD31
AB = - 6EI/L2 
AMD41
AB = 4EI/L 
 
Para o deslocamento aplicado D2 = 1 tem-se: 
 
 
 
1 A B C 
AMD21AB = 2EI/L 
AMD11AB = 6EI/L2 AMD31
AB = - 6EI/L2 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 
AMD41AB = 4EI/L 
85 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 98 - Estrutura restringida com D2 = 1. 
 
 
AMD12
AB = 0 
AMD22
AB = 0 
AMD32
AB = 0 
AMD42
AB = 0 
 
Para o deslocamento aplicado D3 = 1 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 99 - Estrutura restringida com D3 = 1. 
 
 
AMD13
AB = 0 
AMD23
AB = 0 
AMD33
AB = 0 
AMD43
AB = 0 
 
 
Aplicando o PSE para calcular as ações de extremidade da barra AB, tem-se: 
 
1 
A B C 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 
AMD22AB = 0 
AMD12AB = 0 
AMD32AB = 0 
AMD42AB = 0 
1 
A B C 
6EI/L2 6EI/L2 
4EI/L 2EI/L AMD23AB = 0 
AMD33AB = 0 
AMD13AB = 0 
AMD43AB = 0 
86 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIALDE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 100 - Aplicação do PSE na viga do exemplo para calcular as ações de extremidade da barra AB. 
= 
q 
P 
M 
C EI EI B 
L L 
AM2AB 
AM1AB AM3
AB 
AM4AB 
A 
B 
AML2AB = qL2/12 
AML3AB = qL/2 AML1
AB = qL/2 
EI EI 
A C 
qL/2 qL/2 
L L 
qL2/12 qL2/12 
q AML4AB = qL2/12 
 
+ 
x D1 + 
1 A B C 
AMD21AB = 2EI/L 
AMD11AB = 6EI/L2 AMD31
AB = - 6EI/L2 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 
AMD41AB = 4EI/L 
x D2 + 
1 
A B C 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 
AMD22AB = 0 
AMD12AB = 0 
AMD32AB = 0 
AMD42AB = 0 
1 
A B C 
6EI/L2 6EI/L2 
4EI/L 2EI/L AMD23AB = 0 
AMD33AB = 0 
AMD13AB = 0 
AMD43AB = 0 
x D3 + 
87 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Finalmente, as ações de extremidade da barra AB podem ser obtidas por: 
 











3
AB
432
AB
421
AB
41
AB
4
AB
4
3
AB
332
AB
321
AB
31
AB
3
AB
3
3
AB
232
AB
221
AB
21
AB
2
AB
2
3
AB
132
AB
121
AB
11
AB
1
AB
1
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
 
 
Matricialmente tem-se: 
 























































3
2
1
AB
43
AB
42
AB
41
AB
33
AB
32
AB
31
AB
23
AB
22
AB
21
AB
13
AB
12
AB
11
AB
4
AB
3
AB
2
AB
1
AB
4
AB
3
AB
2
AB
1
D
D
D
 
AMDAMDAMD
AMDAMDAMD
AMDAMDAMD
AMDAMDAMD
 
AML
AML
AML
AML
 
AM
AM
AM
AM
 
 
ou simplesmente: 
 
)1dx(
AB
)xd4(
AB
)1x4(
AB
)1x4( DAMDAMLAM  
 
Para cada uma das barras da estrutura deve-se formar uma equação semelhante à 
anterior, onde: 
d é o número de deslocamentos livres ou incógnitos; 
AM é o vetor de ações de extremidade da barra em questão, na estrutura original; 
AML é o vetor de ações de extremidade desta mesma barra na estrutura restringida 
sujeita às cargas externas (em AML não entram as ações aplicadas diretamente sobre os 
apoios, pois se supõe que estas ações são diretamente absorvidas pelos mesmos); 
AMD é a matriz que contêm as ações de extremidade de barra na estrutura 
restringida, correspondente às ações de extremidade de barra na estrutura original, quando são 
aplicados deslocamentos unitários na estrutura restringida, um de cada vez; 
D é o vetor de deslocamentos livres. 
 
Para o traçado dos diagramas de esforço cortante e momento fletor, o vetor AM de 
cada barra é utilizado, lembrando de levar em consideração a convenção de sinais para o 
traçado dos diagramas. 
88 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
8.5 Resumo 
 
 
As equações para a solução de vigas contínuas empregando o método da rigidez são: 
 
1ª) Equação que relaciona ações com deslocamentos: 
)1dx()dxd()1dx()1dx( DSADLAD  
 
2ª) Equação para calcular as reações de apoio: 
)1xd()dxr()1xr()1xr( DARDARLAR  
 
3ª) Equação para calcular as ações de extremidade de barra (para traçado dos 
diagramas): 
)1xd(
m
)xd4(
m
)1x4(
m
)1x4( DAMDAMLAM  
onde: d é o número de deslocamentos livres ou incógnitos (GIC) e r é o número de reações 
de apoio. 
 
 
8.6 Exemplo 
 
 
Determinar as matrizes e os vetores: AD, ADL, S, ARL, ARD, AMLm e AMDm, 
calcular os deslocamentos livres, as reações de apoio, as ações de extremidade de barra e 
traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga contínua da Figura 101, 
empregando o método da rigidez (método dos deslocamentos). Adotar L = 4 m. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 101 – Viga contínua com 2 vãos. 
q = 10 kN/m 
P = 25 kN 
M = 12 kN.m 
A B C EI EI 
L L/2 L/2 
89 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Avaliação do grau de indeterminação cinemática (GIC): 
Uma rotação em cada um dos nós A, B e C, resultando em três deslocamentos livres, 
ou seja, GIC = 3, identificados na Figura 102. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 102 – Deslocamentos livres na viga contínua com 2 vãos. 
 
 
Determinação da estrutura restringida ou forma principal (FP): 
Para determinar a estrutura restringida ou forma principal, todos os deslocamentos 
livres devem ser impedidos, com a colocação de apoios adicionais para impedir as translações 
livres e de grampos para impedir as rotações livres, indicadas na Figura 103. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 103 – Estrutura restringida ou forma principal (FP) da viga contínua com 2 vãos. 
 
 
 
P 
M 
q 
L L/2 L/2 
D1 
D2 D3 C B A 
EI EI 
L L 
D1 D2 D3 
C B A EI EI 
Estruturalmente 
equivalente 
L L 
C B A EI EI 
90 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Aplicando o princípio da superposição dos efeitos (PSE), obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 104 – Aplicação do PSE na viga contínua com 2 vãos. 
 
L L/2 L/2 
AR3 AR2 AR1 
AD2 = 0 
P 
AD1 = M 
AD3 = 0 
= C B EI EI 
M 
q 
A 
ADL2 P 
qL/2 P/2 P/2 qL/2 
PL/8 PL/8 qL
2/12 qL2/12 
ADL1 ADL3 
+ 
q 
4EI/L 2EI/L 
6EI/L2 6EI/L2 
S11 S21 
S31 = 0 
x D1 + 
2EI/L 2EI/L 4EI/L 4EI/L 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 
S12 S22 S32 
x D2 + 
6EI/L2 
2EI/L 
6EI/L2 
S13 = 0 
S23 S33 
x D3 
4EI/L 
91 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A partir do PSE chega-se na seguinte equação de equilíbrio de forças: 
 
321
321
2
321
2
D 4EI/L D 2EI/L D 0 PL/8 0
D 2EI/L D 8EI/L D 2EI/L /12qLPL/8 0
D 0 D 2EI/L D 4EI/L /12qL M



 
 
Escrevendo na forma matricial, obtém-se: 
 











































3
2
1
2
2
D
D
 D 
 . 
4EI/L2EI/L0
2EI/L8EI/L2EI/L
02EI/L4EI/L
 
PL/8
 /12qLPL/8 
/12qL
 
0
0
 M 
 
 
ou simplesmente: 
 
)1dx()dxd()1dx()1dx( DSADLAD  
 
Resolvendo o sistema de equações chega-se ao vetor D: 
 



































 
I E
 L) P 9 L q 2 M 8 ( 
 
 192 
L
 
 
I E
 L) P 3 L q 2 M 8 ( 
 
 96 
L
 
 
I E
 ) L P 3 L q 6 M 56 ( 
 
 192 
L
 
 
 D 
D
D
 
2
2
2
3
2
1
D 
 
Para L = 4 m os deslocamentos livres resultam: 
 
rad 
I E
 14,0833 
 D
 rad 
I E
 3,1667 
 D
 rad 
I E
 0,25 
 D
3
2
1



 
 
 
92 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A partir do PSE, as equações para calcular as reações de apoio podem ser escritas por: 
 
3
2
2
2
13
3
2
21
2
2
32
2
1
2
1
D 6EI/L D 6EI/L D 0 P/2 AR
D 6EI/L D 0 D 6EI/L P/2 qL/2 AR
D 0 D 6EI/L D 6EI/L qL/2 AR



 
 
Na forma matricial, tem-se: 
 











































3
2
1
22
22
22
3
2
1
D
D
 D 
 . 
6EI/L6EI/L0
6EI/L06EI/L
0EI/L66EI/L
 
P/2
 P/2qL/2 
qL/2
 
AR
AR
 AR 
 
 
ou simplesmente: 
 
)1xd()dxr()1xr()1xr( DARDARLAR  
 
Com os resultados obtidos para os deslocamentos livres, as reações de apoio 
(vetor AR) resultam: 
 




































 
L 32
 ) L P 3 L q 2 M 8 ( 
 
2
 P 
 
 
L 16
 ) L P 3 L q 2 M 24 ( 
 
2
 P 
 
2
 L q 
 
 
L 32
 ) L P 3 L q 2 M 40 ( 
 
2
 L q 
 
 
AR
AR
 AR 
 
2
2
2
3
2
1
AR 
 
Para L = 4 m, tem-se: 
 
kN 8,40625 AR
kN 37,6875 AR
kN 18,90625 AR
3
2
1



 
 
 
93 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
As equações para calcular as ações de extremidade de barra (para traçado dos 
diagramas) também são obtidas a partir do PSE. 
 
Para a barra AB tem-se: 
 
321
2AB
4
32
2
1
2AB
3
321
2AB
2
32
2
1
2AB
1
D 0 D 4EI/L D 2EI/L /12qL AM
D 0 D 6EI/L D 6EI/L qL/2 AM
D 0 D 2EI/L D 4EI/L /12qL AM
D 0 D 6EI/L D 6EI/L qL/2 AM




 
 
Escrevendo na forma matricial, obtém-se: 
 
























































3
2
1
22
22
2
2
AB
4
AB
3
AB
2
AB
1
D
D
 D 
 . 
04EI/L2EI/L
06EI/L6EI/L
02EI/L4EI/L
06EI/L6EI/L
 
 /12qL 
qL/2
/12qL
qL/2
 
AM
AM
AM
 AM 
 
 
ou simplesmente: 
 
)1xd(
AB
)xd4(
AB
)1x4(
AB
)1x4( DAMDAMLAM  
 
Utilizando os resultados obtidos para o vetor D as ações de extremidade da barra AB 
(vetor AMAB) resultam: 
 











































 
 32 
 L P 3 
 
 4 
 M 
 
 16 
 L q 
 
 
L 32
 ) L P 3 L q 2 M 40 ( 
 
2
 L q 
 
M
 
L 32
 ) L P 3 L q 2 M 40 ( 
 
2
 L q 
 
 
AM
AM
AM
 AM 
 
2
2
2
AB
4
AB
3
AB
2
AB
1
AB
AM 
 
Substituindo: L = 4 m, P = 25 kN, M = 12 kN.m e q = 10 kN/m, chega-se a: 
94 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
kN.m 16,375 AM
kN 21,09375 AM
kN.m 12,0 AM
kN 18,90625 AM
AB
4
AB
3
AB
2
AB
1




 
 
Para a barra BC tem-se: 
 
321
BC
4
3
2
2
2
1
BC
3
321
BC
2
3
2
2
2
1
BC
1
D 4EI/L D 2EI/L D 0 L/8P AM
D 6EI/L D 6EI/L D 0 P/2 AM
D 2EI/L D 4EI/L D 0 PL/8 AM
D 6EI/L D 6EI/L D 0 P/2 AM




 
 
Escrevendo na forma matricial, obtém-se: 
 
























































3
2
1
22
22
BC
4
BC
3
BC
2
BC
1
D
D
 D 
 . 
4EI/L2EI/L0
6EI/L6EI/L0
2EI/L4EI/L0
6EI/L6EI/L0
 
 PL/8 
P/2
PL/8
P/2
 
AM
AM
AM
 AM 
 
 
ou simplesmente: 
 
)1xd(
BC
)xd4(
BC
)1x4(
BC
)1x4( DAMDAMLAM  
 
Utilizando os resultados obtidos para o vetor D as ações de extremidade da barra BC 
(vetor AMBC) resultam: 
 











































0
 
L 32
 ) L P 3 L q 2 M 8 ( 
 
 2 
 P 
 
 
 32 
 L P 3 
 
 16 
 qL 
 
 4 
 M 
 
L 32
 ) L P 3 L q 2 M 8 ( 
 
 2 
 P 
 
 
AM
AM
AM
 AM 
 
2
2
2
BC
4
BC
3
BC
2
BC
1
BC
AM 
 
95 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Substituindo: L = 4 m, P = 25 kN, M = 12 kN.m e q = 10 kN/m, chega-se a: 
 
kN.m 0,0 AM
kN 8,40625 AM
kN.m 375,16 AM
kN 16,59375 AM
BC
4
BC
3
BC
2
BC
1




 
 
 
Finalmente, os diagramas de esforço cortante (EC) e de momento fletor (MF) ficam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 105 – Diagramas de EC e MF da viga contínua com 2 vãos. 
 
 
q = 10 kN/m 
P = 25 kN 
M = 12 kN.m 
A B C EI EI 
4 m 2 m 2 m 
Diagrama de EC 
Diagrama de MF 
AM1AB 
AM3AB 
AM1BC 
AM3BC 
AM4BC = 0 
AM2AB = M AM4AB AM2BC 
96 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Verificações: 
 
 kN 18,90625 AR AM 1
AB
1   OK! 
 kN 37,6875 AR AM AM 2
BC
1
AB
3   OK! 
 kN 8,40625 AR AM 3
BC
3   OK! 
 kN.m 12,0 M AMAB2   OK! 
 kN.m 16,375 AM AM BC2
AB
4   OK! 
 kN.m 0,0 AMBC4   OK! 
 
 
8.7 Exemplo 
 
 
Determinar as matrizes e os vetores: AD, ADL, S, ARL, ARD, AMLm e AMDm, 
calcular os deslocamentos livres, as reações de apoio, as ações de extremidade de barra e 
traçar os diagramas de esforço cortante e momento fletor para a viga contínua da Figura 106, 
empregando o método da rigidez (método dos deslocamentos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 106 – Viga contínua do exemplo. 
 
 
2 kN.m 
20 kN 
15 kN 
5 kN/m 
EI 4EI A B C 
2 m 3 m 
10 kN/m 
2 m 
3 kN.m 
97 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
9. DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
EM VIGAS 
 
 
Para o traçado dos diagramas de esforço cortante (EC) e momento fletor (MF) em 
vigas contínuas são utilizadas as quatro ações de extremidade de barra (AM), calculadas para 
todas as barras da viga, e as ações aplicadas ao longo do vão de cada barra (cargas 
distribuídas, cargas concentradas - forças ou momentos, variação de temperatura, etc.). Para 
uma barra genérica “m” com ações aplicadas ao longo do seu vão, o diagrama de corpo livre 
fica: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 107 – Diagrama de corpo livre para uma barra de viga. 
 
 
No diagrama de corpo livre, com as quatro ações de extremidade calculadas, a barra da 
viga está em equilíbrio, isto é, as equações de equilíbrio devem ser satisfeitas. 
Os valores dos esforços nas extremidades da barra “m” são as próprias ações de 
extremidade de barra (AM1
m, AM2
m, AM3
m e AM4
m).Resultados positivos para as ações de 
extremidade indicam que estes esforços possuem o mesmo sentido arbitrado na convenção de 
sinais do método da rigidez, isto é, forças para cima e momentos anti-horários são positivos. 
No entanto, para os diagramas de EC e MF a convenção de sinais usualmente adotada está 
indicada na figura abaixo. 
 
 
 
 
Fig. 108 – Convenção de sinais para os diagramas de EC e MF em vigas. 
+ + 
EC 
 
MF 
 
q 
AM1m 
AM2m 
AM3m 
AM4m 
P 
M 
K 
L 
m J 
98 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Dividindo a barra de comprimento “L” em “n” partes iguais, uma seção genérica “s” 
estará a uma distância “s*L/n” do nó inicial J. Assim, para calcular os esforços solicitantes 
nesta seção tomam-se as ações de extremidade de barra do nó J e todas as ações que estão 
entre o nó J e a seção “s”. A seguir são apresentadas as expressões para calcular o EC e o MF 
em cada seção “s” de cada barra “m” de uma viga, para diferentes tipos de ações: 
 
 
 Carga uniformemente distribuída: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 109 – Barra de viga com carga uniformemente distribuída. 
 
 
EC (s,m) = AM1
m – q.s.L/n  sinal do EC no DEC: entrando pela esquerda ( - ) para baixo. 
MF (s,m) = – AM2
m – q.(s.L/n)2/2 + AM1
m.s.L/n  sinal do MF no DMF: ( - ) traciona as 
fibras de cima. 
 
 
 Carga concentrada localizada a uma distância “x” do nó inicial J: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 110 – Barra de viga com carga concentrada. 
Seção 
“s” 
L 
q 
AM2m AM4m 
AM3m AM1m 
J K 
s.L/n 
m 
K J 
x 
AM2m AM4m 
AM3m AM1m 
P 
s.L/n 
Seção 
“s” 
L 
m 
99 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Se  s.L/n < x: 
EC (s,m) = AM1
m  sinal do EC no DEC: entrando pela esquerda ( - ) para baixo. 
MF (s,m) = – AM2
m + AM1
m . s.L/n  sinal do MF no DMF: ( - ) traciona as fibras de cima. 
 
Se  s.L/n > x: 
EC (s,m) = AM1
m – P  sinal do EC no DEC: entrando pela esquerda ( - ) para baixo. 
MF (s,m) = – AM2
m + AM1
m . s.L/n – P . (s.L/n - x)  sinal do MF no DMF: ( - ) traciona as 
fibras de cima. 
 
 
 Momento aplicado a uma distância “x” do nó inicial J: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 111 – Barra de viga com momento aplicado. 
 
 
Se  s.L/n < x: 
EC (s,m) = AM1
m 
MF (s,m) = – AM2
m + AM1
m . s.L/n 
 
Se  s.L/n > x: 
EC (s,m) = AM1
m 
MF (s,m) = – AM2
m + AM1
m . s.L/n – M 
 
 
 
J K 
x 
AM2m AM4m 
AM3m AM1m 
M 
s.L/n 
Seção 
“s” 
L 
m 
100 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Carga linearmente distribuída do nó J ao nó K (quando q1 < q2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 112 – Barra de viga com carga linearmente distribuída (q1 < q2). 
 
 
EC (s,m) = AM1
m – q1 . (s.L/n) – z . (s.L/n)/2 
MF (s,m) = – AM2
m + AM1
m . (s.L/n) – q1 . (s.L/n)
2/2 – z . (s.L/n)/2 . (s.L/n)/3 
no qual: 
(q2 - q1)/L = z/(s.L/n)  z = (q2 - q1) . (s.L/n)/L = (q2 - q1) . s/n 
 
 
 Carga linearmente distribuída do nó J ao nó K (quando q1 > q2): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 113 – Barra de viga com carga linearmente distribuída (q1 > q2). 
 
 
J K 
s.L/n 
q2 
AM2m AM4m 
AM3m AM1m 
q1 
z 
Seção 
“s” 
L 
m 
J K 
s.L/n 
q2 
AM2m AM4m 
AM3m AM1m 
q1 
z’ 
Seção 
“s” 
L 
m 
101 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
EC (s,m) = AM1
m – (q1 - z’) . (s.L/n) – z’ . (s.L/n)/2 
MF (s,m) = – AM2
m + AM1
m . (s.L/n) – (q1 – z’) . (s.L/n)
2/2 – z’ . (s.L/n)/2 . 2 . (s.L/n)/3 
no qual: 
(q2 - q1)/L = z’/(s.L/n)  z’ = (q1 - q2) . (s.L/n)/L = (q1 - q2) . s/n 
 
 
OBS.: O carregamento uniformemente distribuído é um caso especial destes dois 
últimos tipos de carregamentos, quando q1 = q2. 
 
Segundo o princípio da superposição dos efeitos (PSE), quando duas ou mais ações 
são superpostas os esforços solicitantes correspondentes a cada uma delas devem ser 
somados, lembrando que o PSE só é válido quando a estrutura apresenta comportamento 
linear. 
102 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
10 APOIO SIMETRIA EM VIGAS 
 
 
Quando existir simetria no carregamento, na rigidez à flexão (E.I) das barras e na 
geometria de uma viga contínua, os resultados em termos de deslocamentos, reações de apoio 
e esforços solicitantes também serão simétricos. Assim, para reduzir o tamanho do problema 
(número de nós e barras, matriz de rigidez, vetores de carga e de reações de apoio), pode-se 
colocar um vínculo que represente a simetria no centro da viga e resolver apenas uma das 
duas metades. Os resultados na outra metade serão idênticos. Na figura abaixo é ilustrada uma 
viga simétrica e a sua metade esquerda com o apoio simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 114 – Viga simétrica com o apoio simetria. 
 
 
Observando a linha elástica pode-se perceber que no centro da viga contínua simétrica 
a seção transversal não gira, apenas se desloca na vertical, ou seja, o deslocamento angular 
(giro) é igual a zero neste ponto. O apoio simetria é um vínculo que impede o giro da seção e 
permite o deslocamento vertical. 
Quando a simetria ocorrer sobre um apoio, o tipo de vínculo que deve ser utilizado 
para representar a simetria é o engaste. 
 
 
2EI 
 
 
2EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
P2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L 
 
 
2EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
q 
M M 
M 
103 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 115 – Viga simétrica com o engaste representando a simetria. 
 
 
10.1 Exemplo 
 
 
Determinar as matrizes S, ARD e AMD e os vetores AD, ADL, AR, ARL, AM, e 
AML para a metade esquerda da viga contínua simétrica da figura abaixo, utilizando o apoio 
que representa a simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 116 – Viga contínua simétrica do exemplo 10.1. 
EI 
 
 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
P2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
q 
EI 
 
 L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
A B C D E 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
q 
A B C 
2EI 
 
 
2EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
P2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
2EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
q 
M M 
M 
EI 
 
 
L/2 
 
 q 
104 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Avaliação do grau de indeterminação cinemática: 
O grau de indeterminação cinemática (GIC) é igual ao número de deslocamentos livres 
da estrutura. A metade esquerda da viga contínua do exemplo apresenta duas rotações livres 
(nós A e B) e uma translação vertical livre (nó C), portanto, o GIC é igual a três (3), 
desprezando as deformações axiais (modelo de viga). 
 
Estrutura restringida ou forma principal: 
Para definir a estrutura restringida ou forma principal (FP) é necessário impedir todos 
os deslocamentos livres (deslocabilidades), introduzindo um grampo para impedir o giro nos 
nós que apresentam rotações livres e um apoio adicional (apoio de 1º gênero) para impedir o 
deslocamento vertical nos nós que apresentam translações verticais livres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 117 – Estrutura restringida ou forma principal (FP) para a metade esquerda da viga do exemplo 10.1. 
 
 
 
 
 
 
 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
q 
A B C 
Estruturalmente 
equivalente 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
q 
A B C 
D1 D2 
D3 
105 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Aplicação do PSE na metade esquerda da viga contínua simétrica do exemplo 10.1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 118 - Aplicação do PSE na viga do exemplo 10.1. 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
q 
A B C = 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
+ 
P1/2+qL/2 
 
 
P1L/8+qL2/12 
 
 
P2/2+qL/2 
 
 
P2L/8+qL2/12 
 
 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
q 
C A B 
6EI/L2 
 
 
2EI/L 
6EI/L2 
 
 
4EI/L 
 
 
C A 
x D2 + 
1 
B 
4EI/L 
 
 
6EI/L2 
 
 
6EI/L2 
 
 
2EI/L 
C A 
x D3 
1 
B 
6EI/L2 
 
 
12EI/L3 
 
 
12EI/L3 
 
 
6EI/L2 
6EI/L2 
 
 
4EI/L 
6EI/L2 
 
 
2EI/L 
 
 
C B 
x D1 + 
1 
A 
106 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Equações do restabelecimento do equilíbrio de forças: sistema de equações para 
calcular os deslocamentos livres ou incógnitos (D1, D2 e D3), obtido da aplicação do PSE: 








33323213133
32322212122
31321211111
D . S D . S D . S ADL AD
D . S D . S D . S ADL AD
D . S D . S D . S ADL AD
 
 
Matricialmente tem-se: 











































3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
3
2
1
D
D
 D 
 
SSS
SSS
SSS
 
ADL
ADL
 ADL 
 
AD
AD
 AD 
 
 
ou simplesmente: 
)1x3()3x3()1x3()1x3( DSADLAD  
onde: 











 0 
 0 
 0 
 AD 














 qL/2 /2P 
 L/8 P L/8 P 
 /12qL L/8 P 
 
2
21
2
1
ADL 












32
2
12EI/L6EI/L0
6EI/L8EI/L2EI/L
02EI/L4EI/L
 S 
 
Resolvendo o sistema de equações acima determinam-se os valores dos deslocamentos 
livres D1, D2 e D3. 
 
 
As reações de apoio são determinadas pela aplicação do PSE, chegando-se na equação 
que relaciona reações de apoio com deslocamentos: 








33323213133
32322212122
31321211111
D . ARD D . ARD D . ARD ARL AR
D . ARD D . ARD D . ARD ARL AR
D . ARD D . ARD D . ARD ARL AR
 
 
107 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Matricialmente tem-se: 











































3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
3
2
1
D
D
 D 
 
ARDARDARD
ARDARDARD
ARDARDARD
 
ARL
ARL
 ARL 
 
AR
AR
 AR 
 
 
ou simplesmente: 
)1x3()3x3()1x3()1x3( DARDARLAR  
onde: 











3
2
1
AR
AR
 AR
 AR são as reações de apoio na estrutura original. 














 /12)qL L/8 P ( 
 qL )/2 P P ( 
 qL/2 /2P 
 
2
2
21
1
ARL 












2
32
22
L/EI6L/EI20
L/EI120L/EI6
0L/EI6L/EI6
 ARD 











3
2
1
D
D
 D 
 D são os deslocamentos livres calculados no passo anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 119 – Reações de apoio na viga do exemplo 10.1. 
 
 
As ações de extremidade de barra são também determinadas pela aplicação do PSE, 
chegando-se na equação que relaciona ações de extremidade de barra com deslocamentos: 
 
 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
q 
A B C 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
AR1 AR2 
AR3 
108 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Para a barra AB: 
 











3
AB
432
AB
421
AB
41
AB
4
AB
4
3
AB
332
AB
321
AB
31
AB
3
AB
3
3
AB
232
AB
221
AB
21
AB
2
AB
2
3
AB
132
AB
121
AB
11
AB
1
AB
1
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
D . AMD D . AMD D . AMD AML AM
 
 
Matricialmente tem-se: 























































3
2
1
AB
43
AB
42
AB
41
AB
33
AB
32
AB
31
AB
23
AB
22
AB
21
AB
13
AB
12
AB
11
AB
4
AB
3
AB
2
AB
1
AB
4
AB
3
AB
2
AB
1
D
D
D
 
AMDAMDAMD
AMDAMDAMD
AMDAMDAMD
AMDAMDAMD
 
AML
AML
AML
 AML
 
AM
AM
AM
 AM
 
 
ou simplesmente: 
)1x3(
AB
)3x4(
AB
)1x4(
AB
)1x4( DAMDAMLAM  
onde: 















AB
4
AB
3
AB
2
AB
1
AB
AM
AM
AM
 AM
 AM são as quatro ações de extremidade da barra AB. 



















) /12qL L/8 P ( 
qL/2 /2P
/12qL L/8 P
qL/2 /2P
 
2
1
1
2
1
1
AB
AML 
















04EI/L2EI/L
06EI/L6EI/L
02EI/L4EI/L
06EI/L6EI/L
 
22
22
AB
AMD 











3
2
1
D
D
 D
 D são os deslocamentos livres já calculados. 
 
 
 
109 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
Fig. 120 – Ações de extremidade da barra AB na viga do exemplo 10.1. 
 
 
 Para a barra BC: 
 
)1x3(
BC
)3x4(
BC
)1x4(
BC
)1x4( DAMDAMLAM  
onde: 















BC
4
BC
3
BC
2
BC
1
BC
AM
AM
AM
 AM
 AM são as quatro ações de extremidade da barra BC. 



















 ) /12qLL/8 P ( 
 qL/2 /2P 
 /12qL L/8 P 
 qL/2 /2P 
 
2
2
2
2
2
2
BC
AML 



















2
32
2
32
BC
L/EI6L/EI20
L/EI12L/EI60
L/EI6L/EI40
L/EI12L/EI60
 AMD 











3
2
1
D
D
 D
 D são os deslocamentos livres já calculados. 
 
 
 
 
 
 
 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
q 
C 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
AM3AB AM1AB 
AM4AB 
B 
AM2AB 
A 
110 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 121 – Ações de extremidade da barra BC na viga do exemplo 10.1. 
 
 
10.2 Exercício 
 
 
Colocar um apoio no ponto “C” da viga contínua simétrica do exemplo anterior e 
calcular os deslocamentos livres, as reações de apoio e as ações de extremidade de barra para 
a metade direita da viga, considerando: L = 4 m; P1 = 10 kN; P2 = 15 kN e q = 5 kN/m. 
 
EI 
 
 
EI 
 
 
P1 
 
 
P2 
 
q 
A C 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
L/2 
 
 
AM3BC AM1BC 
AM4BC 
B 
AM2BC 
111 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
11. AUTOMAÇÃO DO MÉTODO DA RIGIDEZ 
 
 
Para resolver qualquer tipo de estrutura reticulada, com um grande número de nós e 
barras, é necessário um procedimento de automação do método da rigidez. Para tanto, alguns 
dados devem ser coletados e gerados para que possam ser calculados, de forma automatizada, 
os deslocamentos livres (ou incógnitos), as reações de apoio e os esforços nas barras. 
Até aqui, na solução de estruturas pelo método da rigidez, apenas os graus de 
liberdade livres (deslocabilidades ou deslocamentos livres) eram numerados. Agora, no 
procedimento de automação do método da rigidez, todos os graus de liberdade da estrutura 
(livres e restringidos) devem ser numerados, pois todos serão utilizados. 
Assim, o método da rigidez para análise matricial de estruturas pode ser dividido nas 
5 etapas a seguir: 
 
1ª) Reunião dos dados da estrutura: 
 
Nesta etapa é definida a topologia da estrutura, para tal devem ser coletados os 
seguintes dados: 
- Número de nós e número de barras da estrutura; 
- Número de graus de liberdade (GDL) por nó, que depende do tipo de estrutura 
reticulada; 
- Coordenadas dos nós; 
- Conectividades das barras, ou seja, o número dos dois nós a que cada barra está 
conectada; 
- Propriedades mecânicas dos materiais que compõem a estrutura; 
- Propriedades geométricas das seções transversais que compõem as barras (área, 
momentos de inércia, etc.); 
- Vinculações externas (apoios e engastes). 
A seguir os nós e as barras devem ser numerados. No caso de vigas contínuas, deve-se 
atribuir uma numeração crescente, da esquerda para direita, para a identificação dos nós e das 
barras. 
A numeração dos graus de liberdade (GDL) da estrutura também deve ser crescente, 
da esquerda para a direita. Inicialmente devem ser numerados os GDL livres (deslocamentos 
112 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
livres), priorizando em um mesmo nó a translação (deslocamento linear) sobre a rotação 
(deslocamento angular ou giro), no caso de vigas contínuas. Terminada a numeração dos 
deslocamentos livres, deve-se retornar ao início e numerar os GDL restringidos 
(deslocamentos restringidos), correspondentes as vinculações externas, também da esquerda 
para direita e priorizando a translação sobre a rotação. Esta forma de numerar os GDL é 
chamada de numeração prioritária. 
Por exemplo, a numeração prioritária para a viga da figura abaixo fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 122 – Numeração prioritária para a viga do exemplo. 
 
 
2ª) Geração da matriz de rigidez global: 
 
A matriz de rigidez é uma propriedade da estrutura e independe do carregamento, 
portanto pode ser determinada imediatamente após a definição da topologia da estrutura. 
A matriz de rigidez global SJ é determinada considerando todos os graus de 
liberdade da estrutura (livres e restringidos), isto é, são aplicados deslocamentos unitários, um 
de cada vez, em todos os GDL e não apenas nos livres. Para cada deslocamento unitário 
aplicado é montada uma coluna da matriz SJ, da mesma forma que na montagem da matriz 
de rigidez S. 
Assim, aplicando-se deslocamentos unitários, um de cada vez, em todos os GDL 
(livres e restringidos) da estrutura, na numeração prioritária, determina-se a matriz de rigidez 
global SJ, como mostrado a seguir para a viga do exemplo: 
 
L L 
M 
P q 
EI EI 
D2 
D1 D3 
D4 
D5 
L L 
D6 
1 
2 
3 1 2 
113 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D1 = 1 
6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 6EI/L2 
SJ21 = - 6EI/L2 
SJ31 = 2EI/L SJ11 = 8EI/L 
2EI/L 4EI/L 4EI/L 2EI/L 
1 
SJ41 = 6EI/L2 SJ61 = 0 
SJ51 = 2EI/L 
1 2 3 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
SJ12 = - 6EI/L2 
SJ22 = 12EI/L3 
SJ32 = - 6EI/L2 
1 
12EI/L3 
 D2 = 1 
SJ62 = - 12EI/L3 
SJ42 = 0 
SJ52 = 0 
1 2 3 
6EI/L2 6EI/L2 
4EI/L 2EI/L 
SJ23 = - 6EI/L2 
SJ33 = 4EI/L SJ13 = 2EI/L 
1 
SJ63 = 6EI/L2 
SJ43 = 0 
SJ53 = 0 
 D3 = 1 
1 2 3 
1 2 3 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
SJ54 = 6EI/L2 
SJ64 = - 12EI/L3 
SJ14 = 6EI/L2 
1 
12EI/L3 
 D4 = 1 
SJ44 = 12EI/L3 
SJ24 = 0 
SJ34 = 0 
114 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 123 – Aplicação dos deslocamentos unitários em todos os GDL da viga do exemplo. 
 
 
E a matriz de rigidez global SJ da estrutura, na numeração prioritária, fica: 
 
 
1D1D1D1D1D1D
32323
22
3232
22
3232
22
654321
24/L6/L12/L6/L12/L0
6/L4/L6/L002/L
12/L6/L12/L006/L
6/L004/L6/L2/L
12/L006/L12/L6/L
02/L6/L2/L6/L8/L
 EI 



























SJ 
 
A matriz SJ é simétrica e positivo-definida (determinante positivo, termos da 
diagonal principal positivos, etc.). Cada linha ou coluna desta matriz representa um GDL da 
estrutura. Assim, sua dimensão é igual ao número total de GDL, ou seja, o número de 
deslocamentos livres mais o número de deslocamentos restringidos. 
Quando a matriz de rigidez global SJ é montada seguindo a numeração prioritária, 
essa matriz pode ser particionada, já que os coeficientes de rigidez correspondentes aos 
Coeficientes de rigidez correspondentes 
aos deslocamentos restringidos, 
causados por deslocamentos unitários 
que estão restringidos na estrutura 
original. 
Coeficientes de rigidez correspondentes aos 
deslocamentos livres, causados por deslocamentos 
unitários que estão livres na estrutura original. 
6EI/L2 6EI/L2 
4EI/L 2EI/L 
SJ65 = - 6EI/L2 
SJ55 = 4EI/L SJ15 = 2EI/L 
1 
SJ45 = 6EI/L2 
SJ25 = 0SJ35 = 0 
 D5 = 1 
1 2 3 
1 2 3 
12EI/L3 
6EI/L2 6EI/L2 
SJ16 0 
SJ26 = - 12EI/L3 
SJ36 = 6EI/L2 
1 
12EI/L3 
 D6 = 1 
SJ66 = 24EI/L3 
12EI/L3 12EI/L3 
6EI/L2 6EI/L2 
SJ56 = - 6EI/L2 
SJ46 = - 12EI/L3 
115 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
deslocamentos livres estão separados daqueles correspondentes aos deslocamentos 
restringidos. As seguintes submatrizes resultam quando a matriz SJ é particionada: 







SRRSRD
SDRS
SJ 
 
onde: S é a matriz de rigidez relativa aos deslocamentos livres (deslocamentos incógnitos), 
usada para calcular esses deslocamentos. 
SRD é a matriz que contém as ações na estrutura restringida correspondentes aos 
deslocamentos restringidos na estrutura original (vínculos), quando é aplicado um 
deslocamento unitário que está livre na estrutura original. Esta matriz é idêntica à 
matriz ARD, utilizada para o cálculo das reações de apoio. 
1) x (33) x (31) x (31) x (3 DARDARLAR  
1) x (33) x (31) x (31) x (3 DSRDARLAR  
 
SDR é a transposta da matriz SRD, pois a matriz SJ é simétrica. 
SRR é a matriz que contém as ações na estrutura restringida correspondentes aos 
deslocamentos restringidos na estrutura original (vínculos), quando é aplicado um 
deslocamento unitário que está restringido na estrutura original. Esta matriz será utilizada na 
análise de estruturas que apresentam deslocamentos de apoio. 
 
As matrizes S e SRR são quadradas e simétricas, enquanto que SRD = SDRT não 
são simétricas, nem necessariamente quadradas. 
Pode-se observar que a matriz SJ é formada pela soma dos coeficientes de rigidez de 
todas as barras que concorrem no mesmo nó, para cada GDL do nó. Essa é outra maneira de 
obter a matriz SJ, ou seja, a partir das matrizes de rigidez de cada barra. No procedimento de 
automação do método da rigidez a matriz SJ será determinada desta forma. 
A matriz de rigidez de barra, denominada SM, é determinada impondo-se 
deslocamentos unitários, um de cada vez, à barra biengastada. Para uma barra de viga, a 
matriz SM é obtida da seguinte forma: 
 
 
 
 
116 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 124 – Deslocamentos unitários impostos aos 4 GDL de uma barra de viga biengastada. 
 
 
Assim, SM fica: 




















4/L6/L2/L6/L
6/L12/L6/L12/L
2/L6/L4/L6/L
6/L12/L6/L12/L
 EI 
 
22
2323
22
2323
14D 13D 12D 11D
SM
 
 
A determinação da matriz de rigidez global SJ a partir das matrizes de rigidez de 
cada barra SM para uma viga contínua será mostrada no item 11.1 e no exemplo 11.5. 
D4 
D1 
D2 
L 
EI 
D3 
Para D2 = 1 Para D4 = 1 
SM22 = 4EI/L SM42 = 2EI/L 
SM12 = 6EI/L2 SM32 = - 6EI/L2 
1 
6EI/L2 
4EI/L 2EI/L 
6EI/L2 6EI/L2 
2EI/L 4EI/L 
6EI/L2 
1 
SM24 = 2EI/L SM44 = 4EI/L 
SM14 = 6EI/L2 SM34 = - 6EI/L2 
Para D1 = 1 Para D3 = 1 
SM21 = 6EI/L2 
SM41 = 6EI/L2 
SM11 = 12EI/L3 SM31 = - 12EI/L3 
SM23 = - 6EI/L2 
SM43 = - 6EI/L2 
SM13 = - 12EI/L3 SM33 = 12EI/L3 
1 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 
1 
117 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
3ª) Dados sobre as cargas aplicadas: 
 
Todas as informações a respeito das ações diretamente aplicadas sobre os nós (forças 
ou momentos correspondentes aos GDL livres ou restringidos) e as ações aplicadas nas barras 
(cargas distribuídas e eventualmente forças ou momentos) devem ser coletadas. 
 
4ª) Geração dos vetores associados às cargas: 
 
Na análise matricial os valores incógnitos (deslocamentos livres, reações de apoio e 
ações de extremidade de barra) estão localizados em pontos específicos da estrutura (os nós). 
Assim, as ações aplicadas ao longo das barras devem ser transformadas em ações nodais 
equivalentes, aplicadas nos respectivos GDL dos nós. A equação que relaciona as ações com 
os deslocamentos incógnitos é: 
(Nx1)(NxN)(Nx1)(Nx1) DSADLAD  
ou: 
(Nx1)(NxN)(Nx1)(Nx1) DSADLAD  
 
onde: N é o número de deslocamentos livres; 
 
O vetor (Nx1)ADL pode ser entendido como o vetor das ações nodais equivalentes, 
com sinal trocado, pois contêm as reações e os momentos de engastamento perfeito da 
estrutura restringida, correspondentes aos deslocamentos livres, quando da aplicação das 
cargas nas barras. As ações diretamente aplicadas nos nós da estrutura, correspondentes aos 
deslocamentos livres, entram no vetor AD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
118 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 125 – Ações nodais equivalentes em uma barra de viga. 
 
 
O vetor A é definido como o vetor que contém todas as ações diretamente aplicadas 
nos GDL da estrutura, na numeração prioritária. Para a viga do exemplo, o vetor A fica: 
 























 AR 
 AR 
 AR 
M
P
0
 
6
5
4
A 
 
O vetor AE é definido como o vetor que contém as forças nodais equivalentes 
aplicadas em todos os GDL da estrutura, na numeração prioritária. É formado pela soma das 
reações e dos momentos de engastamento perfeito das barras concorrentes a um mesmo nó, 
para cada GDL do nó, com sinal trocado. Para a viga do exemplo o vetor AE fica: 
Reações e momentos de engastamento 
perfeito na estrutura restringida 
Ações nodais equivalentes 
qL/2+P/2 
qL2/12+PL/8 
P 
L 
q 
qL2/12+PL/8 
qL/2+P/2 
qL/2+P/2 
qL2/12+PL/8 
L 
qL2/12+PL/8 
qL/2+P/2 
Ações diretamente aplicadas na estrutura original 
correspondentes aos deslocamentos livres → vetor AD 
Ações (ou reações) diretamente aplicadas na estrutura 
original correspondentes aos deslocamentos 
restringidos → vetor AR 
119 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 

























qL
/12qL
qL/2
/12qL
qL/2
0
 
2
2
AE 
 
Finalmente, o vetor de ações nodais atuando na estrutura, denominado AC, é dado por: 
AC = A + AE 
 
Neste exemplo AC fica: 


























 qL AR 
 /12qL AR 
 qL/2 AR 
 /12qL M 
 qL/2 P 
 0 
 
6
2
5
4
2
AC 
 
Particionando o vetor AC, ou seja, separando as ações correspondentes aos 
deslocamentos livres daquelas correspondentes aos deslocamentos restringidos, resulta: 
















ARLAR
AC
ARLAR
ADLAD
AC
 
 
 
 
 
 
5ª) Cálculo dos resultados: 
 
Depois de determinado o vetor de ações AC e a matriz de rigidez global SJ, o 
sistema de equações para calcularos deslocamentos incógnitos ( DSAC  ) pode ser 
resolvido por qualquer método de solução de sistemas de equações, como por exemplo, o 
método Cholesky. 
Uma vez resolvido o sistema de equações e calculados os deslocamentos livres, as 
reações de apoio podem ser obtidas por: 
1) x (NN) x (NR1) x (NR1) x (NR DSRDARLAR  
onde: N é o número de deslocamentos livres; 
Ações nodais equivalentes correspondentes aos 
deslocamentos livres → vetor - ADL 
Ações nodais equivalentes correspondentes aos 
deslocamentos restringidos → vetor - ARL 
Ações correspondentes aos deslocamentos 
livres → AD - ADL 
Ações (ou reações) correspondentes aos 
deslocamentos restringidos → AR - ARL 
120 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 NR é o número de reações de apoio (ou deslocamentos restringidos). 
 
As ações de extremidade de barra, para uma barra genérica “m”, podem ser 
determinadas através de: 
m
)1 x 4(
m
)4 x 4(
m
)1 x 4(
m
)1 x 4( DSMAMLAM  
 
onde: AMm é o vetor que contém as 4 ações de extremidade da barra “m” na viga original; 
AMLm é o vetor que contém as 4 ações de extremidade da barra “m” na viga 
restringida sujeita às cargas externas; 
SMm é a matriz de rigidez de barra da barra “m”; 
Dm é o vetor que contém os 4 deslocamentos das extremidades da barra “m” 
(livres e/ou restringidos). 
 
Cabe salientar que na determinação das ações de extremidade de uma barra 
genérica “m” (AMm) pelo procedimento de automação do método da rigidez, a multiplicação 
)1 xN(
m
)N x 4( DAMD  é substituída por 
m
)1 x 4(
m
)4 x 4( DSM  . Ambas resultam exatamente nos 
mesmos valores. 
 
11.1. Considerações sobre a numeração dos nós 
 
Nos exemplos resolvidos anteriormente, aplicando o método da rigidez, apenas os 
GDL livres (deslocamentos livres) eram numerados. Agora, no processo de automação, todos 
os GDL (livres e restringidos) devem ser numerados. O uso da numeração prioritária, onde 
se priorizam os deslocamentos livres para só depois numerar os deslocamentos restringidos, é 
necessário para que a matriz de rigidez global SJ seja montada de maneira tal que possa ser 
particionada, nas seguintes submatrizes: S, SRD, SDR e SRR. 
Deste modo, fica mais fácil obter a matriz S, necessária para o cálculo dos 
deslocamentos incógnitos (livres), a matriz SRD, necessária para a determinação das reações 
de apoio e a matriz SRR, utilizada para analisar uma estrutura que apresente recalque de 
apoio. Se a numeração prioritária não fosse utilizada, a matriz de rigidez global SJ ficaria 
com os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos livres misturados com os 
coeficientes correspondentes aos deslocamentos restringidos, e não seria possível particionar 
esta matriz. 
121 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Entretanto, para que o procedimento de automação do método da rigidez se torne 
eficaz deve existir a possibilidade de que os GDL sejam numerados de forma qualquer, sem a 
necessidade de priorizar GDL livres. Esta numeração é denominada numeração arbitrária. 
Assim, deve ser introduzida uma rotina para passar da numeração arbitrária dos GDL, adotada 
pelo usuário, para a numeração prioritária e vice-versa. Esta rotina é chamada de indexação 
dos GDL. 
Para fazer esta troca de numeração, ou indexação dos GDL, são criados dois vetores: 
RL e CRL, os quais contêm informações a respeito dos GDL da estrutura (livres e 
restringidos). Cada nó em uma viga possui dois GDL: uma translação e uma rotação. Na 
numeração arbitrária os GDL são numerados da esquerda para a direita com prioridade para a 
translação sobre a rotação em um mesmo nó, como ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 126 – Numeração arbitrária da viga do exemplo. 
 
 
O vetor RL é formado por uma sequência de números “0” e “1”, um número para 
cada GDL da estrutura, adotando para um GDL restringido o número 1, e para um GDL livre 
o número 0. Para a viga do exemplo, o vetor RL fica: 
  
T 
3Nó2Nó1Nó
 0 0, ,0 1, ,1 1, 








RL 
 
A dimensão do vetor RL é 2 vezes o número de nós (NJ) da viga. 
A viga do exemplo possui 3 GDL restringidos ou deslocamentos restringidos (NR=3), 
originando 3 reações de apoio, e 3 GDL livres ou deslocamentos livres (N=3). O número total 
de GDL da estrutura é 6 (N + NR = 2 . NJ = 6). 
 
 
L L 
D5 
D4 D6 
D1 
D2 
EI 
D3 
1 2 3 
1 2 
EI 
Numeração arbitrária 
122 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A numeração prioritária para os GDL da viga do exemplo é mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 127 – Numeração prioritária da viga do exemplo. 
 
 
O vetor CRL contém os valores acumulados de RL, ou seja, o valor de um elemento 
qualquer de CRL é igual ao valor do mesmo elemento no vetor RL somado ao valor do 
elemento anterior no vetor CRL. Para a viga do exemplo, CRL fica: 
  
T 
3Nó2Nó1Nó
 3 3, ,3 3, ,2 1, 








CRL 
 
Deve-se observar que o valor do último elemento do vetor CRL corresponde ao 
número de GDL restringidos ou deslocamentos restringidos da estrutura. No caso da viga do 
exemplo, NR = 3, as duas restrições no engaste (translação vertical e giro) e a restrição no 
apoio de 1o gênero (translação vertical). 
Para cada GDL da estrutura (livre ou restringido) corresponde uma coluna (ou linha) 
na matriz de rigidez global SJ. Conhecendo a numeração prioritária dos GDL de uma 
determinada barra, ficam definidas as posições dos respectivos coeficientes de rigidez da 
matriz de rigidez de barra SM na matriz SJ. Sabe-se que SJ é formada pela soma dos 
coeficientes de rigidez das barras que concorrem a um mesmo nó, para cada GDL do nó. 
Assim, para montar a matriz SJ basta colocar os coeficientes de rigidez das matrizes SM de 
todas as barras da estrutura nas respectivas linhas e colunas de SJ, na numeração prioritária, e 
somar os coeficientes que se superpõem. 
Na barra 1 da viga do exemplo os GDL na numeração arbitrária são numerados da 
seguinte forma: 
 
 
L L 
D2 
D1 D3 
D4 
D5 
EI 
D6 
1 2 3 
1 2 
EI 
Numeração prioritária 
123 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
Fig. 128 – Numeração arbitrária da barra 1 da viga do exemplo. 
 
 
A rotina para passar da numeração arbitrária dos GDL para a numeração prioritária 
funciona da seguinte forma: 
a) Para um deslocamento restringido na numeração arbitrária, seu novo índice na 
numeração prioritária deverá ser igual ao número de GDL livres da estrutura (N) somado ao 
valor no vetor CRL na posição correspondente a este deslocamento; 
b) Para um GDL livre na numeração arbitrária, seu novo índice na numeração 
prioritária deverá ser o valor do seu índice na numeração arbitrária subtraído do valor 
correspondente no vetor CRL. 
 
Por exemplo, para a barra 1 acima, tem-se: 
 D1 é um deslocamento restringido→ seu novo índice será N + CRL(1) = 3 + 1 = 4, 
ou seja, na numeração prioritária D1 será renomeado como D4. 
 D2 é um deslocamento restringido → seu novo índice será N + CRL(2) = 3 + 2 = 5, 
ou seja, na numeração prioritária D2 será renomeado como D5. 
 D3 é um deslocamento restringido → seu novo índice será N + CRL(3) = 3 + 3 = 6, 
ou seja, na numeração prioritária D3 será renomeado como D6. 
 D4 é um deslocamento livre → seu novo índice será 4 - CRL(4) = 4 -3 = 1, ou seja, 
na numeração prioritária D4 será renomeado como D1. 
 
Assim, chega-se à numeração prioritária para a barra 1: 
 
 
 
 
 
L 
D4 
D1 
D2 
D3 
1 2 
1 
EI 
Numeração arbitrária 
da barra 1 
124 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 129 – Numeração prioritária da barra 1 da viga do exemplo. 
 
 
Na barra 2 da viga do exemplo os GDL na numeração arbitrária são numerados da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 130 – Numeração arbitrária da barra 2 da viga do exemplo. 
 
 
 D3 é um deslocamento restringido → seu novo índice será N + CRL(3) = 3 + 3 = 6, 
ou seja, na numeração prioritária D3 será renomeado como D6. 
 D4 é um deslocamento livre → seu novo índice será 4 - CRL(4) = 4 -3 = 1, ou seja, 
na numeração prioritária D4 será renomeado como D1. 
 D5 é um deslocamento livre → seu novo índice será 5 - CRL(5) = 5 -3 = 2, ou seja, 
na numeração prioritária D5 será renomeado como D2. 
 D6 é um deslocamento livre → seu novo índice será 6 - CRL(6) = 6 -3 = 3, ou seja, 
na numeração prioritária D6 será renomeado como D3. 
 
Assim, chega-se à numeração prioritária da barra 2: 
 
 
 
L 
D1 
D4 
D5 
D6 
1 2 
1 
EI 
Numeração prioritária 
da barra 1 
L 
D6 
D3 
D4 
D5 
2 3 
2 
EI 
Numeração arbitrária 
da barra 2 
125 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 131 – Numeração prioritária da barra 2 da viga do exemplo. 
 
 
Denominando os 4 GDL existentes em uma barra de viga como: J1, J2, K1, K2, no 
qual J1 é o deslocamento de translação no nó J, J2 o deslocamento de rotação neste mesmo 
nó, K1 o deslocamento de translação no nó K e K2 o deslocamento de rotação neste mesmo 
nó, a indexação deverá ser feita da seguinte forma: 
 Para o nó J: 
Se RL(J1) = 0 (livre)  J1 = J1 - CRL(J1) 
Se RL(J1) = 1 (restringido)  J1 = N + CRL(J1) 
Se RL(J2) = 0 (livre)  J2 = J2 - CRL(J2) 
Se RL(J2) = 1 (restringido)  J2 = N + CRL(J2) 
 
 Para o nó K: 
Se RL(K1) = 0 (livre)  K1 = K1 - CRL(K1) 
Se RL(K1) = 1 (restringido)  K1 = N + CRL(K1) 
Se RL(K2) = 0 (livre)  K2 = K2 - CRL(K2) 
Se RL(K2) = 1 (restringido)  K2 = N + CRL(K2) 
 
Assim, para a barra 1 da estrutura anterior: J1 = 4, J2 = 5, K1 = 6 e K2 = 1, e para a 
barra 2: J1 = 6, J2 = 1, K1 = 2 e K2 = 3. 
Para montar a matriz SJ basta colocar os coeficientes de rigidez da matriz SM de 
todas as barras nas respectivas posições na matriz de rigidez global SJ, na numeração 
prioritária. 
Lembrando que a matriz de rigidez de barra SM para uma barra de viga é: 
L 
D3 
D6 
D1 
D2 
2 3 
2 
EI 
Numeração prioritária 
da barra 2 
126 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
K2 K1 J2 J1
22
2323
22
2323
4/L6/L2/L6/L
6/L12/L6/L12/L
2/L6/L4/L6/L
6/L12/L6/L12/L
 I E 


















SM 
 
Cada barra de uma viga possui sua matriz SM, exatamente igual à matriz acima, 
variando o módulo de elasticidade do material (E), o momento de inércia (I) e o comprimento 
(L) da barra. 
Adotando a seguinte nomenclatura: S1 = 4EI/L, S2 = 6EI/L2 e S3 = 12EI/L3, a 
matriz SM pode ser escrita como: 
K2 K1 J2 J1
S1S2S1/2S2
S2S3S2S3
S1/2S2S1S2
S2S3S2S3
 
















SM 
 
A numeração arbitrária dos nós pode ser qualquer e os respectivos índices dos 
deslocamentos (livres e restringidos) são determinados de forma unívoca, na numeração 
arbitrária, por: 
J1 = 2J - 1 
J2 = 2J 
K1 = 2K - 1 
K2 = 2K 
onde: J e K são os números dos nós inicial e final, respectivamente, da barra em questão. 
 
Por exemplo, para a barra 1 da viga do exemplo, com nó inicial 1 e final 2, os 
índices dos deslocamentos, na numeração arbitrária, são: 
J1 = 2 . 1 – 1 = 1 (D1) 
J2 = 2 . 1 = 2 (D2) 
K1 = 2 . 2 – 1 = 3 (D3) 
K2 = 2 . 2 = 4 (D4) 
 
Para a barra 2, com nó inicial 2 e final 3, os deslocamentos na numeração arbitrária 
são: 
127 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
J1 = 2 . 2 – 1 = 3 (D3) 
J2 = 2 . 2 = 4 (D4) 
K1 = 2 . 3 – 1 = 5 (D5) 
K2 = 2 . 3 = 6 (D6) 
 
Assim, o usuário não precisa se preocupar com a numeração dos GDL da estrutura, 
apenas com a numeração dos nós, já que a numeração arbitrária dos GDL é definida de forma 
única a partir da numeração dos nós. 
Na numeração arbitrária dos GDL, originada da numeração arbitrária dos nós, deve-se 
aplicar a indexação apresentada anteriormente, passando os GDL para a numeração prioritária 
e assim desenvolvendo os cálculos. Cabe salientar que depois de determinados os 
deslocamentos livres e as reações de apoio, é necessário retornar à numeração arbitrária, a fim 
de que tais resultados possam ser compreendidos pelo usuário. 
 
A matriz de rigidez global SJ é montada a partir das matrizes de rigidez de 
barra SM, simplesmente colocando os coeficientes de rigidez das matrizes SM de todas as 
barras da viga nas respectivas linhas e colunas de SJ, na numeração prioritária, somando os 
coeficientes que se superpõem. A rotina para montar a matriz SJ funciona da seguinte forma: 
 
 Para o GDL J1 (na numeração prioritária) da barra “m”: 
SJ(J1,J1) = SJ(J1,J1) + SMm (1,1) = SJ(J1,J1) + S3m 
SJ(J2,J1) = SJ(J2,J1) + SMm (2,1) = SJ(J2,J1) + S2m 
SJ(K1,J1) = SJ(K1,J1) + SMm (3,1) = SJ(K1,J1) – S3m 
SJ(K2,J1) = SJ(K2,J1) + SMm (4,1) = SJ(K2,J1) + S2m 
 
 Para o GDL J2 (na numeração prioritária) da barra “m”: 
SJ(J1,J2) = SJ(J1,J2) + SMm (1,2) = SJ(J1,J2) + S2m 
SJ(J2,J2) = SJ(J2,J2) + SMm (2,2) = SJ(J2,J2) + S1m 
SJ(K1,J2) = SJ(K1,J2) + SMm (3,2) = SJ(K1,J2) – S2m 
SJ(K2,J2) = SJ(K2,J2) + SMm (4,2) = SJ(K2,J2) + S1m/2 
 
 
 
128 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Para o grau de liberdade K1 (na numeração prioritária) da barra “m”: 
SJ(J1,K1) = SJ(J1,K1) + SMm (1,3) = SJ(J1,K1) - S3m 
SJ(J2,K1) = SJ(J2,K1) + SMm (2,3) = SJ(J2,K1) - S2m 
SJ(K1,K1) = SJ(K1,K1) + SMm (3,3) = SJ(K1,K1) + S3m 
SJ(K2,K1) = SJ(K2,K1) + SMm (4,3) = SJ(K2,K1) - S2m 
 
 Para o grau de liberdade K2 (na numeração prioritária) da barra “m”: 
SJ(J1,K2) = SJ(J1,K2) + SMm (1,4) = SJ(J1,K2) + S2m 
SJ(J2,K2) = SJ(J2,K2) + SMm (2,4) = SJ(J2,K2) + S1m/2SJ(K1,K2) = SJ(K1,K2) + SMm (3,4) = SJ(K1,K2) – S2m 
SJ(K2,K2) = SJ(K2,K2) + SMm (4,4) = SJ(K2,K2) + S1m 
 
Estes passos são executados NE vezes, onde NE é o número de barras da viga. 
No final a matriz SJ está montada na numeração prioritária, podendo ser particionada nas 4 
submatrizes: S, SRD, SDR e SRR. 
 
11.2. Dados sobre as cargas 
 
O vetor A deve conter todas as ações aplicadas nos nós da viga (cargas concentradas 
e momentos), inicialmente na numeração arbitrária. A dimensão deste vetor é 2 . NJ (NJ é o 
número de nós da viga). Os valores no vetor A correspondentes aos GDL que não tenham 
carga aplicada devem ser zero. Para a viga do exemplo tem-se: 
 T M P 0 0 0 0 A 
 
O vetor AE contém as ações nodais equivalentes, inicialmente na numeração 
arbitrária, e é obtido a partir dos vetores m )1(4xAML de cada barra “m” da viga, com sinal 
trocado. Possui a mesma dimensão do vetor A. Para a viga do exemplo, AE fica: 
 T 22 /12qL qL/2 0 qL /12qL qL/2 AE 
 
O vetor AC = A + AE é montado na numeração prioritária, adotando o mesmo 
procedimento utilizado na indexação da matriz SJ, uma vez que os cálculos devem ser 
realizados na numeração prioritária. A rotina para montar o vetor AC na numeração 
129 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
prioritária, somando os elementos dos vetores A e AE, que estão na numeração arbitrária, 
funciona da seguinte forma: 
 
Para o GDL J1 do nó J: 
Se RL(J1) = 0 (livre)  K = J1 - CRL(J1) 
Se RL(J1) = 1 (restringido)  K = N + CRL(J1) 
E então: AC(K) = A(J1) + AE(J1) 
 
Para o GDL J2 do nó J: 
Se RL(J2) = 0 (livre)  K = J2 - CRL(J2) 
Se RL(J2) = 1 (restringido)  K = N + CRL(J2) 
E então: AC(K) = A(J2) + AE(J2) 
 
E assim sucessivamente para cada nó da estrutura. Desta forma, o vetor AC é 
montado na numeração prioritária, podendo ser particionado nos vetores AC e - ARL. 
 
11.3. Solução do sistema de equações 
 
O vetor AC , de dimensão N x 1, e a matriz S, de dimensão N x N, onde N é o 
número de deslocamentos livres da estrutura, deverão ser utilizados para resolver o seguinte 
sistema de equações, escrito na forma matricial: 
)1Nx()NxN()1Nx( DSAC  
onde: D contém os N deslocamentos incógnitos (livres) na numeração prioritária. 
 
Depois de resolvido o sistema de equações e calculados os deslocamentos, as reações 
de apoio podem ser obtidas através de: 
1)x(NxN)(NR1)x(NR1)x(NR DSRDARLAR  
 
onde: ARL é um vetor obtido da parte inferior do vetor AC, com o sinal trocado, já na 
numeração prioritária (reindexado); 
SRD é uma matriz obtida da matriz de rigidez global da estrutura SJ. 
 
130 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Por conveniência os vetores AR e D terão dimensão N + NR x 1. No vetor AR, as 
últimas NR posições devem ser ocupadas pelas reações de apoio na numeração prioritária e 
suas N - NR posições iniciais serão ocupadas por zeros. No vetor D, as N primeiras posições 
serão ocupadas pelos valores dos deslocamentos livres, calculados na solução do sistema de 
equações, e as NR últimas posições ocupadas por zeros. 
A seguir, os vetores D e AR são passados para a numeração arbitrária, para que os 
resultados sejam fornecidos na numeração indicada pelo usuário. Partindo-se do último 
deslocamento até o primeiro (JE varia de N + NR até 1, e partindo-se de JJ = N + 1 e 
KK = N + NR + 1), tem-se: 
Se RL(JE) = 1 (restringido)  D(JE) = 0 e KK = KK - 1 AR(JE) = AR(KK) 
Se RL(JE) = 0 (livre)  JJ = JJ – 1 D(JE) = D(JJ) e AR(JE) = 0 
 
Assim, os deslocamentos livres e as reações de apoio ficam na numeração arbitrária. 
 
11.4. Avaliação das ações de extremidade de barra 
 
Os vetores AMLm e as matrizes SMm para cada barra “m” da viga já foram 
determinados. O vetor Dm contêm os 4 valores dos deslocamentos dos 2 nós da barra “m”, na 
seguinte ordem: translação à esquerda, giro à esquerda, translação à direita e giro à direita. 
Deslocamentos restringidos têm valor zero. Portanto, o vetor Dm é um subvetor do vetor de 
deslocamentos livres D. Assim, basta conhecer o número dos nós que compõem a barra “m”, 
para saber quais os deslocamentos do vetor D devem ser colocados no subvetor Dm. Por 
exemplo, para uma barra genérica “m” com nó inicial J e final K, os deslocamentos do 
vetor D que devem ser colocados em Dm, na numeração arbitrária, são: 















D(2K)
 1)D(2K 
D(2J)
1)D(2J
 mD 
 
Finalmente, as 4 ações de extremidade de barra para uma barra genérica “m” podem 
ser calculadas por: 
m
)1 x (4
m
)4 x (4
m
)1 x (4
m
)1 x (4 . DSMAMLAM  
 
131 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Com as ações de extremidade e o carregamento em todas as barras de uma viga, os 
diagramas de esforço cortante e de momento fletor podem ser facilmente determinados, como 
descrito capítulo 09. 
O processo de automação do método da rigidez está resumido na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 132 – Resumo do procedimento de automação do método da rigidez. 
 
Numeração 
arbitrária dos nós 
Numeração 
arbitrária dos 
GDL 
Numeração 
Prioritária dos 
GDL 
Indexação 
Montagem das 
matrizes SMm 
e SJ 
Montagem dos 
vetores A e AE 
na numeração 
arbitrária 
Cálculo das 
reações de apoio 
AR na 
numeração 
prioritária 
D na Numeração 
Prioritária Re-indexação 
Vetores D e AR na 
numeração 
arbitrária 
Cálculo das 
ações de 
extremidade de 
barra AMm 
Indexação 
Montagem do 
vetor AC na 
numeração 
prioritária 
Solução do sistema 
de equações 
DSAC  
Traçado dos 
diagramas de EC 
e de MF 
132 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
11.5. Exemplo 
 
Montar as matrizes de rigidez S e SRD e os vetores de carga para a viga contínua 
apresentada na figura abaixo e calcular os deslocamentos, as reações de apoio e as ações de 
extremidade de barra aplicando o procedimento de automação do método da rigidez, partindo 
da numeração arbitrária dos nós e das barras indicada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 133 – Viga contínua com 3 barras e numeração arbitrária dos nós, barras e GDL. 
 
 
A viga possui 3 barras (M = 3), 4 nós (NJ = 4) e 8 GDL (uma translação e um giro em 
cada nó, 2 * NJ = 8), sendo 4 deslocamentos restringidos (dois no engaste e um em cada 
apoio, NR = 4) e 4 deslocamentos livres ou deslocabilidades (giro nos nós 2, 3 e 4 e 
translação no nó 4, N = 4). Existem 3 nós com algum tipo de vínculo (NRJ = 3). 
A numeração prioritária indicada a seguir pode ser obtida com o auxílio dos vetores 
RL e CRL. 
 
 
 
 
 
Fig. 134 – Numeração prioritária dos GDL para a viga contínua com 3 barras. 
 
1 2 3 
Numeração 
prioritária 
D5 
D6 
D7 
D1 
D8 
D2 
D3 
D4 
2 1 34 
2 1 3 4 
1 2 3 
Numeração 
arbitrária 
D1 
D2 
D3 
D4 
D5 
D6 
D7 
D8 
2 1 3 4 
P4 
P1 
L L 
P3 
q1 
EI EI 
2L 
P2 
EI 
1 2 3 
q2 
133 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Os vetores RL e CRL, na numeração arbitrária, ficam: 
   
T 
4Nó3Nó2Nó1Nó
 0 0, ,0 1, ,0 1, ,1 1, 








RL 
   
T 
4Nó3Nó2Nó1Nó
 4 4, ,4 4, ,3 3, ,2 1, 








CRL 
 
O último elemento do vetor CRL é igual ao número de deslocamentos restringidos, 
neste caso NR = 4. 
 
Seguindo o procedimento de automação do método da rigidez, as matrizes de rigidez 
da estrutura (S e SRD) são geradas da seguinte forma: 
 
Para a barra 1 (i = 1) 
S11 = 4EI/L S21 = 6EI/L2 S31 = 12EI/L3 
Na numeração arbitrária: 
J1 = 1 J2 = 2 K1 = 3 K2 = 4. 
Na numeração prioritária: 
RL(1) = 1  J1 = N + CRL(J1) = 4 + 1 = 5 
RL(2) = 1  J2 = N + CRL(J2) = 4 + 2 = 6 
RL(3) = 1  K1 = N + CRL(K1) = 4 + 3 = 7 
RL(4) = 0  K2 = K2 – CRL(K2) = 4 – 3 = 1 
 
SJ(5,1) = SJ(5,1) + S21 = 6EI/L2 
SJ(6,1) = SJ(6,1) + S11/2 = 2EI/L 
SJ(7,1) = SJ(7,1) – S21 = - 6EI/L2 
SJ(1,1) = SJ(1,1) + S11 = 4EI/L 
 
Para a barra 2 (i = 2) 
S12 = 4EI/L S22 = 6EI/L2 S32 = 12EI/L3 
Na numeração arbitrária: 
J1 = 3 J2 = 4 K1 = 5 K2 = 6. 
Na numeração prioritária: 
134 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
RL(3) = 1  J1 = N + CRL(J1) = 4 + 3 = 7 
RL(4) = 0  J2 = J2 - CRL(J2) = 4 – 3 = 1 
RL(5) = 1  K1 = N + CRL(K1) = 4 + 4 = 8 
RL(6) = 0  K2 = K2 – CRL(K2) = 6 – 4 = 2 
 
SJ(7,1) = SJ(7,1) + S22 = - 6EI/L2 + 6EI/L2 = 0 
SJ(1,1) = SJ(1,1) + S12 = 4EI/L + 4EI/L = 8EI/L 
SJ(8,1) = SJ(8,1) – S22 = 0 - 6EI/L2 = - 6EI/L2 
SJ(2,1) = SJ(2,1) + S12/2 = 0 + 2EI/L = 2EI/L 
 
SJ(7,2) = SJ(7,2) + S22 = 0 + 6EI/L2 = 6EI/L2 
SJ(1,2) = SJ(1,2) + S12/2 = 0 + 2EI/L = 2EI/L 
SJ(8,2) = SJ(8,2) – S22 = 0 - 6EI/L2 = - 6EI/L2 
SJ(2,2) = SJ(2,2) + S12 = 0 + 4EI/L = 4EI/L 
 
Para a barra 3 (i = 3) 
S13 = 4EI/2L S23 = 6EI/(2L)2 S33 = 12EI/(2L)3 
Na numeração arbitrária: 
J1 = 5 J2 = 6 K1 = 7 K2 = 8. 
Na numeração prioritária: 
RL(5) = 1  J1 = N + CRL(J1) = 4 + 4 = 8 
RL(6) = 0  J2 = J2 - CRL(J2) = 6 – 4 = 2 
RL(7) = 0  K1 = K1 - CRL(K1) = 7 – 4 = 3 
RL(8) = 0  K2 = K2 - CRL(K2) = 8 – 4 = 4 
 
SJ(8,2) = SJ(8,2) + S23 = - 6EI/L2 + 6EI/(2L)2 = 30EI/4L2 
SJ(2,2) = SJ(2,2) + S13 = 4EI/L + 4EI/2L = 6EI/L 
SJ(3,2) = SJ(3,2) – S23 = 0 - 6EI/(2L)2 = - 6EI/(2L)2 
SJ(4,2) = SJ(4,2) + S13/2 = 0 + EI/L = EI/L 
 
SJ(8,3) = SJ(8,3) - S33 = 0 - 12EI/(2L)3 = - 12EI/(2L)3 
SJ(2,3) = SJ(2,3) - S23 = 0 - 6EI/(2L)2 = - 6EI/(2L)2 
SJ(3,3) = SJ(3,3) + S33 = 0 + 12EI/(2L)3 = 12EI/(2L)3 
135 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
SJ(4,3) = SJ(4,3) – S23 = 0 - 6EI/(2L)2 = - 6EI/(2L)2 
 
SJ(8,4) = SJ(8,4) + S23 = 0 + 6EI/(2L)2 = 6EI/(2L)2 
SJ(2,4) = SJ(2,4) + S13/2 = 0 + EI/L = EI/L 
SJ(3,4) = SJ(3,4) – S23 = 0 - 6EI/(2L)2 = - 6EI/(2L)2 
SJ(4,4) = SJ(4,4) + S13 = 0 + 4EI/2L = 4EI/2L 
 
Finalmente, a matriz de rigidez global fica: 







































33322
2
1
1
333
333
33322
21
)8 x 8(
2S3S2S2S2S
002S0
0002/1S
0002S
1S2S2/1S0
2S3S2S0
2/1S2S1S1S2/1S
002/1S1S2
 SJ 
 
A seguir devem ser montados os vetores de carga. O vetor A é montado na numeração 
arbitrária, percorrendo-se cada nó da estrutura e verificando a presença de cargas pontuais 
(forças e momentos) aplicadas em cada GDL correspondente (translação e rotação). Assim: 
 T 4321 0 P 0 P 0 P 0 P A 
 
Os vetores AML de cada barra são dados por (lembrando que só podem ser 
consideradas cargas distribuídas nos vãos): 
 
Para a barra 1: 
AML1  T 211211 12/Lq 2L/q 12/Lq 2L/q  
 
Para a barra 2: 
AML2  T 222222 12/Lq 2L/q 12/Lq 2L/q  
 
Para a barra 3: 
AML3  T 222222 3/Lq Lq 3/Lq Lq  
S (4 x 4) 
SRD (4 x 4) 
136 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para montar o vetor de cargas nodais equivalentes AE, deve-se somar as contribuições 
dos vetores AML de cada barra para cada GDL e trocar o sinal do resultado. Assim, o vetor 
AE fica: 


































3/Lq
Lq
4/Lq
2/Lq3
)12/Lq12/Lq(
)2/Lq2/Lq(
12/Lq
2L/q
 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
21
2
1
1
)1 x 8(AE 
 
A seguir o vetor AC é formado pela soma dos vetores A e AE e o resultado é colocado 
na numeração prioritária. 
 
Para o deslocamento vertical do nó 1 (D1 na numeração arbitrária): 
RL(1) = 1 (vínculo)  K = N + CRL(1) = 4 + 1 = 5 
Então: AC(5) = A(1) + AE(1) = q1L
2/12 - q2L
2/12 
 
Para o giro do nó 1 (D2 na numeração arbitrária): 
RL(2) = 1 (vínculo)  K = N + CRL(2) = 4 + 2 = 6 
Então: AC(6) = A(2) + AE(2) = - q2L
2/4 
 
Para o deslocamento vertical do nó 2 (D3 na numeração arbitrária): 
RL(3) = 1 (vínculo)  K = N + CRL(3) = 4 + 3 = 7 
Então: AC(7) = A(3) + AE(3) = - P4 - q2L 
 
Para o giro do nó 2 (D4 na numeração arbitrária): 
RL(4) = 0 (livre)  K = 4 - CRL(4) = 4 – 3 = 1 
Então: AC(1) = A(4) + AE(4) = q2L
2/3 
 
Para o deslocamento vertical do nó 3 (D5 na numeração arbitrária): 
RL(5) = 1 (vínculo)  K = N + CRL(5) = 4 + 4 = 8 
Então: AC(8) = A(5) + AE(5) = - P1 - q1L/2 
137 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para o giro do nó 3 (D6 na numeração arbitrária): 
RL(6) = 0 (livre)  K = 6 - CRL(4) = 6 – 4 = 2 
Então: AC(2) = A(6) + AE(6) = - q1L
2/12 
 
Para o deslocamento vertical do nó 4 (D7 na numeração arbitrária): 
RL(7) = 0 (livre)  K = 7 - CRL(3) = 7 – 4 = 3 
Então: AC(3) = A(7) + AE(7) = - P2 - q1L/2 - q2L/2 
 
Para o giro do nó 4 (D8 na numeração arbitrária): 
RL(8) = 0 (livre)  K = 8 - CRL(4) = 8 – 4 = 4 
Então: AC(4) = A(8) + AE(8) = - P3 - 2q2L/2 
 
Finalmente, o vetor AC, na numeração prioritária, fica: 


































2/Lq3P
2/Lq2/LqP
12/Lq
2/LqP
3/Lq
LqP
4/Lq
12/Lq12/Lq
 
23
212
2
1
11
2
2
24
2
2
2
2
2
1
)1 x 8(AC 
 
OBS.: 
Os vetores A e AE são gerados na numeração arbitrária e no momento em que são 
somados são reindexados. Portanto, o vetor AC já é gerado na numeração prioritária. 
 
 
Cálculo dos resultados: 
As matrizes utilizadas para resolver o sistema matricial são: )1 x N(AC e N) x N(S : 
1) x (NN) x (N)1 x N( . DSAC  
 
Para a viga contínua com 3 barras: 
AC (4 x 1) 
- ARL (4 x 1) 
138 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 















































4
3
2
1
3
1
3
2
3
1
3
2
3
3
3
2
3
1
3
2
3
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
24
2
2
2
2
2
1
D
D
D
 D 
. 
SS/2S0
SSS0
/2SSSS/2S
00/2S2S
 
/3Lq
LqP
/4Lq
 /12Lq/12Lq 
 
 
O sistema de equações acima é resolvido pelo método Cholesky, o qual será descrito 
no próximo item. 
Resolvendo o sistema de equações são determinados os deslocamentos livres (ou 
incógnitos), na numeração prioritária. Depois disso devem ser calculadas as reações de apoio, 
da seguinte forma: 
1)x(NN)x(NR1)x(NR1)x(NR DSRDARLAR  
 
Para a viga contínua com 3 barras: 


























































4
3
2
1
3
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
23
212
2
1
11
8
7
6
5
D
D
 D 
 D
 . 
SSSSS
00S0
0002/S
000S
 
2/Lq3P
 2/Lq2/LqP 
12/Lq
2/LqP
 
AR
AR
 AR 
AR
 
 
onde: ARL vem da parte inferior do vetor AC com o sinal trocado e a matriz SRD vem da 
parte inferior esquerda da matriz de rigidez global, ambos na numeração prioritária. 
 
OBS.: 
Por conveniência, os vetores AR e D na numeração prioritária, são expandidos para 
a dimensão NR+N x 1, onde as primeiras N posições do vetor AR e as últimas NR posições 
do vetor D tomam valores nulos. 
 
Os vetores AR e D, na numeração prioritária, ficam: 
139 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 



























8
7
6
5
AR
AR
AR
 AR 
0
0
0
0
 AR 



























0
0
0
0
 D 
D
D
 D 
 
4
3
2
1
D 
 
Os vetores D e AR na numeração prioritária, devem ser reindexados para voltar à 
numeração arbitrária original, da seguinte forma: 
Partindo-se do último deslocamento até o primeiro, JE = N + NR até 1 (8 até 1), e 
fazendo JJ = N + 1 = 4 + 1 = 5 e KK = N + NR + 1 = 9: 
 
Para o giro do nó 4 
RL(8) = 0 (livre)  JJ = 5 – 1 = 4 D(8) = D4 
 AR(8) = 0 
 
Para o deslocamento vertical do nó 4 
RL(7) = 0 (livre)  JJ = 4 – 1 = 3 D(7) = D3 
 AR(7) = 0 
 
Para o giro do nó 3 
RL(6) = 0 (livre)  JJ = 3 – 1 = 2 D(6) = D2 
 AR(6) = 0 
 
Para o deslocamento vertical do nó 3 
RL(5) = 1 (vínculo)  D(5) = 0 
 KK = 9 – 1 = 8 AR(5) = AR(8) 
 
Para o giro do nó 2 
RL(4) = 0 (livre)  JJ = 2 – 1 = 1 D(4) = D1 
 AR(4) = 0 
 
140 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para o deslocamento vertical do nó 2 
RL(3) = 1 (vínculo)  D(3) = 0 
 KK = 8 – 1 = 7 AR(3) = AR(7) 
 
Para o giro do nó 1 
RL(2) = 1 (vínculo)  D(2) = 0 
 KK = 7 – 1 = 6 AR(3) = AR(6) 
 
Para o deslocamento vertical do nó 1 
RL(1) = 1 (vínculo)  D(1) = 0 
 KK = 6 – 1 = 5 AR(1) = AR(5) 
 
Assim, os vetores AR e D, na numeração arbitrária, ficam: 



























0
0
0
 AR 
0
AR
AR
AR
 
8
7
6
5
AR 



























 D 
D
D
0
D
0
0
0
 
4
3
2
1
D 
 
A seguir devem ser determinadas as ações de extremidade para todas as barras da viga 
contínua. Para uma barra genérica “m” as 4 ações de extremidade são calculadas da seguinte 
forma: 
m
)1 x (4
m
)4 x (4
m
)1 x (4
m
)1 x (4 . DSMAMLAM  
 
Os vetores AMLm e as matrizes de rigidez de barra SMm estão referenciados a 
numeração arbitrária. Assim, os 4 deslocamentos Dm das extremidades da barra 
genérica “m” devem estar referenciados a esta mesma numeração. 
 
 
 
 
141 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para a barra 1  nó inicial 1 e nó final 2: 
J1 = 1 J2 = 2 K1 = 3 K2 = 4 















































D(4)
D(3)
D(2)
 D(1) 
 . 
SS/2SS
SSSS
/2SSSS
SSSS
 
 /12Lq
L/2q
/12Lq
L/2q
 
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
3
1
2
1
3
2
1
1
2
1
1
1
AM 
 
Para a barra 2  nó inicial 2 e nó final 3: 
J1 = 3 J2 = 4 K1 = 5 K2 = 6 















































D(6)
D(5)
D(4)
 D(3) 
 . 
SS/2SS
SSSS
/2SSSS
SSSS
 
 /12Lq
L/2q
/12Lq
L/2q
 
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
AM 
 
Para a barra 3  nó inicial 3 e nó final 4: 
J1 = 5 J2 = 6 K1 = 7 K2 = 8 















































D(8)
D(7)
D(6)
 D(5) 
 . 
SS/2S3S
SSSS
/2SSSS
SSSS
 
 /3Lq
Lq
/3Lq
Lq
 
3
1
3
2
3
12
3
2
3
3
3
2
3
3
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
3
3
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
3
AM 
 
Finalmente, os diagramas de esforço cortante (EC) e de momento fletor (MF) podem 
ser traçados. 
 
142 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
12. MÉTODO CHOLESKY PARA SOLUÇÃO DE SISTEMAS 
SIMÉTRICOS DE EQUAÇÕES 
 
 
Para uma estrutura com “N” deslocamentos livres (ou incógnitos), o sistema de 
equações que deve ser resolvido para calcular esses deslocamentos pode ser escrito como: 
1) x N(N) x N(1) x N( . DSAC  
 
onde: S é a matriz de rigidez da estrutura; 
AC é o vetor de cargas nodais; 
D é o vetor de deslocamentos livres (ou incógnitos). 
 
Como a matriz S é positivo-definida (inversível), pode ser fatorada no produto de 
duas matrizes triangulares, uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular 
superior U: 
ULS .  
 
e o sistema de equações fica: 
DULAC . .  
 
Fazendo U . D = B, onde B é um vetor auxiliar, o sistema de equações resulta: 
BLAC .  
 
Como L é uma matriz triangular inferior, fazendo substituições avante, isto é, 
partindo da primeira incógnita até a última, os valores do vetor B podem ser determinados 
com facilidade. Como a matriz U é triangular superior, fazendo retro substituições na 
equação matricial U . D = B, isto é, partindo da última incógnita até a primeira, pode-se 
determinar de uma forma bastante simples os valores do vetor D (deslocamentos incógnitos). 
 
O método Cholesky é empregado no caso de sistemas de equações simétricos, como é 
o caso do sistema DSAC .  , já que a matriz S é simétrica. Esse método fatora a 
143 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof.Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
matriz S em duas matrizes triangulares (superior e inferior), onde uma é igual à transposta da 
outra, ou seja: 
CCS . 
T
 
 
onde: CT é uma matriz triangular inferior e C é sua transposta, triangular superior. Assim: 





































NN
N222
N11211
NN2N1N
2221
11
NN2N1N
N22221
N11211
C00
CC0
CCC
.
CCC
0CC
00C
 
SSS
SSS
SSS












 
 
Deste modo, o produto da linha “i” da matriz CT pela coluna “j” da matriz C 
fornece o valor de Sij na matriz S: 



i
1k
kj
T
ikij C C S ou 


i
1k
kjkiij C C S  para j  i, utilizando apenas a matriz C. 
 
O objetivo é determinar os elementos da matriz C, e consequentemente da matriz CT. 
 
Os elementos da primeira linha de C (i = 1) são calculados da seguinte forma: 
Para j = 1: 
2
1111 C S   S C 1111  
Para j > 1: 
j111j1 C C S   11j1j1 C/S C  
 
Os elementos da diagonal de uma linha “i” qualquer da matriz C (i > 1 e j = i) são 
calculados por: 




1i
1k
2
ki
2
ii
i
1k
2
kiii C C C S  C S C
1i
1k
2
kiiiii 


 
 
Os demais elementos da linha “i” (para j > i) são calculados por: 




1i
1k
kjkiijiiij C C C C S  





 


1i
1k
kjkiij
ii
ij C C S 
 C 
1
 C 
 
 
144 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Uma vez determinados os elementos da matriz C, o sistema de equações fica: 
DCCAC . . T 
 
Fazendo C . D = B, onde B é um vetor auxiliar, o sistema de equações resulta: 
BCAC . T 
 





































 B 
 B 
 B 
.
CCC
0CC
00C
 
 AC 
AC
AC
N
2
1
NN2N1N
2221
11
N
2
1






 
 
Por substituição avante, obtém-se B. 
 
Finalmente, fazendo: 
BDC .  
 





































N
2
1
N
2
1
NN
N222
N11211
B
B
 B 
 
 D 
 D 
 D 
 . 
C00
CC0
CCC





 
 
Por retro substituição, obtém-se D. 
145 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
12.1. Resumo 
 
 
1º) Avaliar os elementos da matriz C (triangular superior): 
 O primeiro elemento é calculado por: S C 1111  ; 
 Os demais elementos da primeira linha (j > 1) são calculados por: 11j1j1 C/S C  ; 
 Para as linhas seguintes (i > 1), avaliar primeiro C S C
1i
1k
2
kiiiii 


 e depois 






 


1i
1k
kjkiij
ii
ij C C S 
 C 
1
 C para j > i; 
 
 
2º) Resolver o primeiro sistema equivalente ( BCAC . T ) 
 Por substituições avante encontrar os valores do vetor B. O primeiro valor de B é 
dado por 
1111 C/AC B  e os valores seguintes (i > 1) por: 
ii
1i
1k
kkiii C/ B C AC B 





 


; 
 
 
3º) Resolver o segundo sistema equivalente ( BDC .  ) 
 Por retro substituições, calcular os valores do vetor D. O último valor de D é dado 
por: NNNN C/B D  e os valores anteriores (i < N) por: 
ii
N
1ik
kikii C/ D C B D 





 

. 
 
146 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
12.2. Exemplo 
 
 
Resolver o sistema de equações 1) x (NN)x(N1)x (N . DSAC  , que representa um sistema 
estrutural com três deslocamentos livres (N = 3), matriz de rigidez S, vetor de cargas 
nodais AC e vetor de deslocamentos incógnitos D, utilizando o método Cholesky: 












621
243
139
 S 











3
 2 
1
 AC 











 D 
 D 
 D 
 
3
2
1
D 
 
 
1º) Avaliar os elementos da matriz C (triangular superior): 
Primeiro elemento: 
3 9 S C 1111  
 
Demais elementos da primeira linha (j > 1): 
11j1j1 C/S C  
0,1 3/3 C12  
3333,0 3/1 C13  
 
Elemento da diagonal (C22) 
 3 1 4 C S C
2
1i
1k
2
kiii22  


 
 
Demais elementos da segunda linha (j > i): 
3472,1 ) 0,3333 . 1,0 2 ( 
 3 
1
 C C S 
 C 
1
 C
12
1k
3k2k23
ii
23 





 


 
 
Elemento da diagonal (C33): 
0184,2 ) 817,1 11,0 ( 6 ) C C ( 6 C
2
23
2
1333  
 
147 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
2º) Resolver o primeiro sistema equivalente ( BCAC . T ) 
































 B 
 B 
 B 
 .
0184,23472,13333,0
07321,10,1
000,3
 
3
 2 
1
3
2
1
 
 
Por substituições avante: 
3333,0 3/1 B1  
9623,0 73,1/) B 2 ( B 12  
0735,2 018,2/) 9623,0 . 3480,1 3333,0 . 3333,0 3 ( B3  
 
3º) Resolver o segundo sistema equivalente ( BDC .  ) 
































0735,2
 9623,0 
3333,0
 
 D 
 D 
 D 
 . 
0184,200
3472,17321,10
3333,00,10,3
3
2
1
 
 
Por retro substituições: 
0273,1 018,2/072,2 D3  
3545,1 7321,1/) 0273,1 . 3480.1 9623,0 ( D2  
4545,0 0,3/)3545,1 . 0,1 0273,1 . 3333,0 3333,0 ( D1  
 
 
12.3. Exemplo 
 
 
Resolver o mesmo sistema de equações 1) x (NN)x(N1)x (N . DSAC  , alterando apenas o 
vetor de cargas nodais: 











5
 4 
3
 AC , quais são os novos deslocamentos ? 
 
Resposta: 71821, D3  ; 3364,2 D2  ; 6364,0 D1  . 
148 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
13. DESLOCAMENTO DE APOIO EM VIGAS 
 
 
A matriz de rigidez global SJ, na numeração prioritária, pode ser particionada em 
quatro submatrizes, como discutido no capítulo 11: 






 
 
 
NR)x(NRN)x(NR
NR)x(NN)x(N
NR)NxNR(N SRRSRD
SDRS
SJ 
 
onde: N é o número de deslocamentos livres, NR é o número de deslocamentos restringidos, 
e N + NR representa o número de graus de liberdade da estrutura; 
SJ é a matriz de rigidez global da estrutura; 
S contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos livres na 
estrutura original quando são aplicados deslocamentos unitários na estrutura restringida, um 
por vez, na direção destes deslocamentos livres. Utilizada para calcular os deslocamentos 
livres; 
SRD contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos 
restringidos na estrutura original, quando são aplicados deslocamentos unitários na estruturarestringida, um por vez, na direção dos deslocamentos livres na estrutura original. É utilizada 
para calcular as reações de apoio; 
SDR contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos livres na 
estrutura original, quando são aplicados deslocamentos unitários na estrutura restringida, um 
por vez, na direção dos deslocamentos restringidos na estrutura original. É idêntica a 
transposta da matriz SRD; 
SRR contém os coeficientes de rigidez correspondentes aos deslocamentos 
restringidos na estrutura original, quando são aplicados deslocamentos unitários na estrutura 
restringida, um por vez, na direção destes deslocamentos restringidos na estrutura original. 
 
Aplicando o P.S.E. na estrutura original e considerando a matriz de rigidez global da 
estrutura (SJ), chega-se a: 
T
1) xNR(NNR)NxNR(N1) xNR(N .   DSJAC 
 
 
 
149 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Particionando os vetores AC e D e a matriz SJ, tem-se: 























 )1xNR(
r
)1xN(
)NRxNR()NxNR(
)NRxN()NxN(
)1xNR()1 xNR(
)1 x N(
 . 
D
D
SRRSRD
SDRS
ARLAR
AC
 
 
onde: )1xNR(
r
D é um vetor que originalmente contém os valores dos deslocamentos 
restringidos, ou seja, zeros. 
 
Quando ocorrer deslocamento em algum vínculo, normalmente um recalque vertical 
em um vínculo (apoio ou engaste) ou um giro num engaste, o vetor )1xNR(
r
D deverá conter os 
valores destes deslocamentos para cada um dos GDL restringidos da estrutura. 
 
Todos os exemplos apresentados até agora não possuíam nenhum deslocamento nos 
vínculos. Portanto, o vetor Dr era considerado nulo: 

























)1xNR(
)1xN(
)NRxNR()NxNR(
)NRxN()NxN(
)1xNR()1xNR(
1) x N()1xN(
 . 
0
D
SRRSRD
SDRS
ARLAR
ADLAD
 
 
ou seja: 






)1xNR()NRxNR()1xN()NxNR()1xNR()1xNR(
)1xNR()NRxN()1xN()NxN()1xN(
 . . 
 . . 
0SRRDSRDARLAR
0SDRDSADLAD
 
 
resultando em: 






)1xN()NxNR()1xNR()1xNR(
)1xN()NxN()1xN(
 . 
 . 
DSRDARLAR
DSADLAD
 
 
as quais são as conhecidas equações para cálculo dos deslocamentos livres e das reações de 
apoio em estruturas com vínculos indeslocáveis (sem recalque de apoio). 
 
Quando ocorrer algum tipo de deslocamento em um vínculo o vetor )1xNR(
r
D não será 
nulo (Dr  0), e todos os coeficientes da matriz de rigidez global SJ devem ser considerados 
para calcular os deslocamentos livres e as reações de apoio. 
 
150 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Admitindo para os deslocamentos de apoio as mesmas convenções adotadas para os 
deslocamentos livres, as equações anteriores podem ser reescritas da seguinte forma: 
 Para calcular os deslocamentos livres: 
r
1) x NR()NRxN()1xN()NxN(1) x N()1xN( . . DSDRDSADLAD  
ou: )1xN(N) x N(
r
1) x NR()NRxN(1) x N()1xN( . . DSDSDRADLAD  
 Para calcular as reações de apoio: 
r
)1xNR()NRxNR()1xN()NxNR()1 xNR()1 xNR( . . DSRRDSRDARLAR  
ou: r )1xNR()NRxNR()1xN()NxNR()1 xNR()1 xNR( . . DSRRDSRDARLAR  
 
Quando existir deslocamento de apoio em vigas, deve-se observar o seguinte: 
 Para calcular os deslocamentos livres )1xN(D , basta subtrair do vetor de cargas 
nodais 1) x (N1) x (N)1xN( ADLADAC  o resultado de 
r
1) x NR()NRxN( . DSDR , igualar a 
)1xN(N) x N( . DS e resolver o sistema de equações resultante; 
 Para calcular as reações de apoio )1 xNR(AR , basta somar ao vetor )1 xNR(ARL o 
resultado de 
)1xN()NxNR( . DSRD e de 
r
)1xNR()NRxNR( . DSRR . 
 
O procedimento para calcular as ações de extremidade de barra é o mesmo aplicado ao 
caso sem deslocamento de apoio. 
 
151 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
13.1. Exemplo 
 
Calcular os deslocamentos, as reações de apoio e os esforços solicitantes na viga da 
figura abaixo, submetida às seguintes ações: carga uniformemente distribuída em todo o vão, 
carga concentrada e momento aplicados na extremidade livre do balanço e um recalque de 
apoio vertical de 2 mm. Os respectivos valores das ações estão indicados na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 135 – Ações e numeração arbitrária da viga do exemplo com recalque de apoio. 
 
 
A matriz de rigidez de barra SM para a barra 1 é dada por: 





































25,115,1
5,15,15,15,1
15,125,1
5,15,15,15,1
 I.E 
L/4L/6L/2L/6
L/6L/12L/6L/12
L/2L/6L/4L/6
L/6L/12L/6L/12
 I.E 
1D 1D 1D 1D
22
2323
22
2323
1
4321
SM 
 
Para a barra 2, SM fica: 





































25,115,1
5,15,15,15,1
15,125,1
5,15,15,15,1
 I.E 
L/4L/6L/2L/6
L/6L/12L/6L/12
L/2L/6L/4L/6
L/6L/12L/6L/12
 I.E 
1D 1D 1D 1D
22
2323
22
2323
2
6543
SM 
 
A matriz de rigidez global SJ pode ser montada a partir das matrizes de rigidez de 
barra SM, somando os coeficientes de rigidez correspondentes aos GDL dos nós onde 
concorrem duas barras. Assim, a matriz SJ, na numeração arbitrária, fica: 
D5 
D4 D6 
D1 
D2 
EI 
D3 
1 2 3 
1 2 
EI 
Numeração arbitrária 
L = 2 m L = 2 m 
M = 5 kN.m 
P = 10 kN 
q = 20 kN/m 
EI EI 
 = 0,002 m 
E.I = 4,27 x 107 N.m2 
152 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 










































44
2
43
2
42
2
41
2
34
2
33
2
32
2
31
2
24
2
23
2
22
2
21
2
14
2
13
2
12
2
11
2
DDDDDD
44
1
43
1
42
1
41
1
34
1
33
1
32
1
31
1
24
1
23
1
22
1
21
1
DDD
14
1
D
13
1
D
12
1
D
11
1
SSSS00
SSSS00
SSSS00
SSSS00
000000
000000
I.E 
000000
000000
00SSSS
00SSSS
00SSSS
00SSSS
 I.E 
2Barra 1Barra 
654321654321
SJ
 






















44
2
43
2
42
2
41
2
34
2
33
2
32
2
31
2
24
2
23
2
22
2
44
1
21
2
43
1
42
1
41
1
14
2
13
2
12
2
34
1
11
2
33
1
32
1
31
1
24
1
23
1
22
1
21
1
DDD
14
1
D
13
1
D
12
1
D
11
1
SSSS00
SSSS00
SS)S(S)S(SSS
SS)S(S)S(SSS
00SSSS
00SSSS
 I.E 
654321
SJ 
 
Entretanto, para que a matriz de rigidez global SJ possa ser particionada, os seus 
coeficientes de rigidez devem ser colocados na ordem da numeração prioritária. 
 
Em uma estrutura com um grande número de deslocamentos livres (incógnitas), 
deve-se empregar o algoritmo automatizado que usa os vetores RL e CRL para a indexação 
da numeração dos GDL, mencionado no capítulo 8. No entanto, para fins deste exemplo, a 
matriz SJ será reordenada manualmente, passando para a numeração prioritária. A 
numeração arbitrária e a prioritária para a viga do exemplo estão indicadas abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 136 – Numeração arbitrária e prioritária da viga do exemplo com recalque deapoio. 
D2 
D1 D3 
D4 
D5 
EI 
D6 
1 2 3 
1 2 
EI 
Numeração prioritária 
D5 
D4 D6 
D1 
D2 
D3 
1 2 3 
1 2 
Numeração arbitrária 
153 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Reordenando os GDL, a matriz SJ resulta: 























)S(SSSSS)S(S
SSS00S
SSS00S
S00SSS
S00SSS
)S(SSSSS)S(S
EI
11
2
33
1
32
1
31
1
14
2
13
2
12
2
34
1
23
1
22
1
21
1
24
1
13
1
12
1
11
1
14
1
41
2
44
2
43
2
42
2
31
2
34
2
33
2
32
2
D
21
2
43
1
D
42
1
D
41
1
D
24
2
D
23
2
D
22
2
44
1
321654
SJ 
 
Substituindo os valores dos coeficientes de rigidez, obtém-se: 


































SRRSRD
SDRS
SJ
31,51,51,51,50
1,521,5001
1,51,51,5001,5
1,50021,51
1,5001,51,51,5
011,511,54
I.E
321654 DDDDDD
 
 
O vetor de cargas nodais na numeração prioritária fica: 












































































qLAR
 12/qLAR 
2/qLAR
12/qLM
2/qLP
0
 
qL
12/qL
2/qL
12/qL
2/qL
 12/qL12/qL 
 
AR
AR
 AR 
M
P
0
 
6
2
5
4
2
2
2
22
6
5
4
AEAAC 
 
Substituindo os valores das ações, obtém-se: 









































ARLAR
ADLAD
ARLAR
AC
AC 
00004 AR
 6667,6666 AR 
00020 AR
6667,1666
30000 
0
 
6
5
4
 
 
O vetor de deslocamentos (livres e restringidos) na numeração prioritária fica: 
154 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 






















 002,0 
0
0
D
D
D
 
3
2
1
D 
 
Assim, o sistema de equações AC = SJ . D fica: 







































































 002,0 
0
0
D
D
D
 .
31,51,51,51,50
1,521,5001
1,51,51,5001,5
1,50021,51
1,5001,51,51,5
015,115,14
 I.E 
00004 AR
 6667,6666 AR 
20000 AR
6667,1666
30000 
0
3
2
1
6
5
4
 
 
Resolvendo o seguinte sistema de equações para calcular os deslocamentos livres: 
AD – ADL = S . D + SDR . Dr ou 
AD – ADL - SDR . Dr = S . D 



























































3
2
1
77
D
D
D
 
25,11
5,15,15,1
15,14
 10 27,4 
002,0
0
0
 
5,100
5,100
015,1
 10 74,2 
 6667,1666 
30000 
0
 
 
Obtém-se: 
rad
m
rad
 
 003510148,0 
 008161593,0 
 002183060,0 
 
D
 D 
D
3
2
1
























 
 
Resolvendo as equações para calcular as reações de apoio: 
AR = ARL + SRR . Dr + SRD . D 
 
Numeração prioritária 
155 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 


































































 003510148,0 
 008161593,0 
 002183060,0 
 
5,15,10
001
005,1
 10 74,2
 
 002,0 
0
0
 
35,15,1
5,125,1
5,15,15,1
 10 27,4 
40000 AR
 6667,6666 AR 
20000 AR
7
7
6
5
4
 
 
Chega-se a: 
N
m.N
N
 
 0,81725 
0,41550
0,8275
 
AR
AR
 AR 
6
5
4





















 
 
Os vetores com os resultados dos deslocamentos e das reações de apoio estão na 
numeração prioritária. Para apresentar os resultados estes vetores devem ser ordenados na 
numeração arbitrária, resultando: 

























 003510148,0 
 008161593,0 
 002183060,0 
002,0 
0
0
 D 





















0
0
0
 0,81725 
0,41550
0,8275
 AR 
 
As ações de extremidade de barra, utilizadas no traçado dos diagramas de esforço 
cortante e momento fletor, são calculadas da seguinte forma: 
 
Para a barra 1: 




























































 002183060,0 
002,0 
0
0
 
25,115,1
5,15,15,15,1
15,125,1
5,15,15,15,1
 10 27,4 
 6667,6666 
20000
6667,6666
20000
 
AM
AM
 AM 
AM
7
1 
4
1 
3
1 
2
1 
1
 
 
 
 
Numeração arbitrária 
156 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
m.N
N
m.N
N
 
 0,65000 
 31725,0 
0,41550
0,8275
 
AM
AM
 AM 
AM
1 
4
1 
3
1 
2
1 
1




























 
 
Para a barra 2: 






























































 003510148,0 
 008161593,0 
 002183060,0 
002,0
 
25,115,1
5,15,15,15,1
15,125,1
5,15,15,15,1
 10 27,4 
 6667,6666 
20000
6667,6666
20000
 
AM
AM
 AM 
AM
7
2 
4
2 
3
2 
2
2 
1
 
m.N
N
m.N
N
 
 0,5000 
 0,10000 
 0,65000 
0,50000
 
AM
AM
 AM 
AM
2 
4
2 
3
2 
2
2 
1





























 
 
Finalmente, os diagramas de esforço cortante (EC) e de momento fletor (MF) ficam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 137 – Diagramas de EC e MF da viga do exemplo 13.1. 
 
4
1 
1 AR AM 
 
Diagrama de EC 
1 
3AM
 
kN 10 P AM 2 3 
 
2 
1AM
 
5
1 
2 AR AM 
 
1 
4AM
 
Diagrama de MF 
2 
2AM
 
kN.m 5 M AM 2 4 
 
2 m 2 m 
M = 5 kN.m 
P = 10 kN 
q = 20 kN/m 
EI EI 
 = 0,002 m 
157 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Verificações: 
 
 N 8275,0 AR AM 4
1 
1   OK! 
 N.m 41550,0 AR AM 5
1 
2   OK! 
 N 81725,0 AR AM AM 6
2 
1
1 
3   OK! 
 N.m 65000,0 AM AM 2 2
1 
4   OK! 
 N 000,010 P AM 2 3   OK! 
 N.m 000,05 M AM 2 4   OK! 
 
 
13.2. Exercício 
 
Calcular os deslocamentos, as reações de apoio e os esforços solicitantes na viga do 
exemplo anterior, submetida às mesmas ações e sem nenhum deslocamento de apoio. 
Comparar os resultados: deslocamentos, reações de apoio e diagramas de esforço cortante e 
de momento fletor, concluindo sobre o efeito do recalque de 2 mm no apoio da viga. 
 
158 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS“A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
14. ESTRUTURAS COM BARRAS INCLINADAS 
 
 
Nas vigas contínuas todas as barras estão contidas no mesmo plano e no mesmo eixo 
horizontal, ou seja, as barras são colineares. Em outros tipos de estruturas reticuladas, como 
nas treliças e nos pórticos, as barras podem ter qualquer orientação (direção), no plano ou no 
espaço. 
Como lidar com as barras que têm uma orientação qualquer? 
 
 
14.1. Rotação no plano 
 
 
Imaginando um vetor V

 qualquer, referenciado a um sistema de coordenadas plano, 
denominado sistema de coordenadas “global” X – Y, e a um sistema de coordenadas plano 
alternativo, chamado de “local” xL – yL, situado na mesma origem do sistema global, 
mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 138 – Vetor V

 referenciado aos sistemas de coordenadas X – Y e xL – yL. 
 
 
Decompondo o vetor V

 nas coordenadas locais e globais e admitindo que  seja o 
ângulo entre o eixo xL do sistema local e o eixo X do sistema global, e  o ângulo entre o 
vetor V

 e o eixo X do sistema global, tem-se: 
VX = |V| . cos  = V . cos  
VY = |V| . sen  = V . sen  
Vx
L 
X 
Y 
xL 
yL 
Vx 
Vy 
Vy
L 
 
 
V

 
159 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Vx
L = |V| . cos ( – ) = V . cos ( – ) 
Vy
L = |V| . sen ( – ) = V . sen ( – ) 
 
onde: |V| ou V é o módulo do vetor V

. 
 
Da trigonometria sabe-se que: 
cos ( – ) = cos  . cos  + sen  . sen  
sen ( – ) = sen  . cos  – cos  . sen  
 
Assim: 
Vx
L = V . (cos  . cos  + sen  . sen ) = VX . cos  + VY . sen  
Vy
L = V . (sen  . cos  – cos  . sen ) = – VX . sen  + VY . cos  
 
Escrevendo na forma matricial, obtém-se: 

























Y
X
L
y
L
x
V
V
 . 
cossen
sencos
 
V
V
 
 
ou simplesmente: 
VL = r . V 
 
onde: r é a matriz de rotação nodal (apenas do nó); 
VL = r . V é a expressão que relaciona as componentes do vetor V

 no sistema de 
coordenadas global com suas componentes no sistema local. 
 
Expressando o vetor V

 em função de suas componentes locais, chega-se a: 

























L
y
L
x
Y
X
V
V
 . 
cossen
sencos
 
V
V
 
 
ou simplesmente: 
V = r–1 . VL 
 
160 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
onde: V = r–1 . VL é a expressão que relaciona as componentes locais do vetor V

 com as 
componentes globais deste vetor. 
 
Analisando as duas equações, pode-se concluir que r–1 = rT, ou seja, a matriz r é 
ortogonal (sua inversa é igual à sua transposta). 
 
Barras de estruturas reticuladas são definidas por nós iniciais (J) e finais (K) em um 
sistema de coordenadas global (X – Y), no caso de estruturas planas, com coordenadas xJ, yJ 
e xK, yK. Os nós J e K estão situados sobre o eixo longitudinal da barra, o qual coincide com 
o eixo local xL. 
Assim, as quantidades cos  e sen , chamadas de cossenos diretores da barra, 
podem ser avaliadas em função das coordenadas dos nós J e K: 
cos  = (xK – xJ) / L 
sen  = (yK – yJ) / L = cos ( – 90º) 
 
onde: L é o comprimento da barra, dado por: )yy()xx( L 2JK
2
JK  . 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 139 – Coordenadas dos nós J e K no sistema de coordenadas global (X – Y). 
 
 
Para uma barra “i” de treliça plana com nó inicial J e final K, com uma orientação 
qualquer no plano X – Y, como indicado na figura a seguir, os deslocamentos possíveis são as 
translações nas direções X e Y, isto é, DJx e DJy para o nó J e DKx e DKy para o nó K, 
no sistema de coordenadas global (X – Y). 
 
 
 
 
 X 
Y 
K 
J 
xJ xK 
yK 
yJ 
Cossenos diretores da barra 
161 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 140 – Deslocamentos em uma barra “i” de treliça plana. 
 
 
Os deslocamentos são entidades vetoriais. Assim, para obter as componentes dos 
vetores deslocamento dos nós J e K em relação aos eixos locais, basta utilizar a matriz de 
rotação nodal r: 
DJL = r . DJ 
DKL = r . DK 
 
Generalizando: 





















DK
DJ
r0
0r
DK
DJ
 . 
L
L
 
 
ou simplesmente: 
Di
L = Ri . Di 
 
onde: Di
L são os deslocamentos dos nós inicial (J) e final (K) da barra “i” no sistema de 
coordenadas local: 


























 DK 
 DK 
 DJ 
 DJ 
 
 
 
 
L
y
L
x
L
y
L
x
L
L
DK
DJ
D
L
i 
Ri é a matriz de rotação da barra “i”: 









r0
0r
R i 
 
θ 
i 
J 
K 
X 
Y 
DKx 
DKy 
DJx 
DJy 
DJxL 
i 
J 
K 
X 
Y 
DKxL 
DKyL 
DJyL 
xL 
yL 
θ 
162 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
r é a matriz de rotação nodal, dada por: 








cossen
sencos
 r ; 







00
00
 0 ; 
Di são os deslocamentos dos nós inicial (J) e final (K) da barra “i” no sistema de 
coordenadas global: 






















 DK 
 DK 
 DJ 
 DJ 
 
 
 
 
y
x
y
x
i
DK
DJ
D 
 
Assim, para uma barra “i” de treliça plana, a matriz de rotação Ri fica: 

















cossen00
sencos00
00cossen
00sencos
 iR 
 
A equação Di
L = Ri . Di relaciona os deslocamentos nodais de uma barra “i”, 
referenciados ao sistema de coordenadas global, com os deslocamentos nodais desta barra 
referenciados ao sistema de coordenadas local. 
 
As ações de extremidade para uma barra “i” de treliça plana com nó inicial J e 
final K, com uma orientação qualquer no plano X – Y, são as forças nas direções X e Y, 
isto é, AMJx e AMJy para o nó J e AMKx e AMKy para o nó K, como indicado na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 141 – Ações de extremidade em uma barra “i” de treliça plana. 
θ 
i 
J 
K 
X 
Y 
AMKx 
AMKy 
AMJx 
AMJy 
AMJxL 
i 
J 
K 
X 
Y 
AMKxL 
AMKyL 
AMJyL 
xL 
yL 
θ 
163 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
As ações de extremidade de barra também são entidades vetoriais. Assim, para obter 
as suas componentes em relação aos eixos locais basta utilizar a matriz de rotação nodal r, do 
mesmo modo utilizado para os deslocamentos, chegando-se às seguintes equações: 
AMJL = r . AMJ 
AMKL = r . AMK 
 
Generalizando: 





















AMK
AMJ
r0
0r
AMK
AMJ
 . 
L
L
 
 
ou simplesmente: 
AMi
L = Ri . AMi 
 
onde: AMi
L são as ações de extremidade de barra nos nós inicial (J) e final (K) da barra “i” 
no sistema de coordenadaslocal: 


























 AMK 
 AMK 
 AMJ 
 AMJ 
 
 
 
 
L
y
L
x
L
y
L
x
L
L
AMK
AMJ
AM
L
i 
Ri é a matriz de rotação da barra “i”: 









r0
0r
R i 
 
r é a matriz de rotação nodal, dada por: 








cossen
sencos
 r ; 







00
00
 0 ; 
AMi são as ações de extremidade de barra nos nós inicial (J) e final (K) da barra “i” 
no sistema de coordenadas global: 






















 AMK 
 AMK 
 AMJ 
 AMJ 
 
 
 
 
y
x
y
x
i
AMK
AMJ
AM 
164 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
14.2 Transformação de coordenadas: 
 
 
Nas barras de vigas contínuas a matriz de rotação é uma matriz identidade, ou seja, as 
ações e os deslocamentos no sistema de coordenadas local da barra são iguais às ações e os 
deslocamentos no sistema de coordenadas global da estrutura. 
Para utilizar as mesmas equações do método da rigidez apresentadas para vigas 
contínuas em qualquer tipo de estrutura reticulada, devem ser aplicadas as devidas rotações 
mencionadas no item anterior. 
Para as ações de extremidade de uma barra “i” tem-se: 
AMi
L = AMLi
L + SMi
L . Di
L 
 
Porém: 
AMi
L = Ri . AMi 
Di
L = Ri . Di 
AMLi
L = Ri . AMLi 
 
Como: 
AMi = Ri
T . AMi
L 
 
Então: 
AMi = Ri
T . (AMLi
L + SMi
L . Di
L) 
AMi = Ri
T . (AMLi
L + SMi
L . Ri . Di) 
AMi = Ri
T . AMLi
L + Ri
T . SMi
L . Ri . Di 
 
Como: AMi = AMLi + SMi . Di , então: 
AMLi = Ri
T . AMLi
L; 
SMi = Ri
T . SMi
L . Ri. 
SMi é chamada de matriz de rigidez da barra “i” no sistema de coordenadas global. 
 
Assim, qualquer valor definido no sistema de coordenadas local pode ser rotacionado 
para o sistema de coordenadas global. 
165 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para obter os deslocamentos nodais ou as ações de extremidade de uma barra “i” em 
coordenadas locais, basta pré-multiplicar os vetores dos deslocamentos nodais ou das ações 
de extremidade de barra em coordenadas globais pela matriz de rotação Ri. 
 
A operação inversa (passar do sistema local para o global) para os vetores dos 
deslocamentos nodais ou das ações de extremidade de barra consiste em pré-multiplicar tais 
vetores em coordenadas locais pela matriz de rotação transposta Ri
T. 
 
Para obter a matriz de rigidez de uma barra “i” em coordenadas globais, basta 
pré-multiplicar a matriz de rigidez de barra em coordenadas locais SMi
L pela matriz de 
rotação transposta Ri
T e pós-multiplicar pela matriz de rotação Ri. 
 
A operação inversa (passar do sistema global para o local) para a matriz de rigidez de 
barra consiste em pré-multiplicar a matriz de rigidez de barra em coordenadas 
globais SMi pela matriz de rotação Ri e pós-multiplicar pela matriz de rotação 
transposta Ri
T. 
166 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
15. TRELIÇAS PLANAS 
 
 
As possibilidades de deslocamento em um nó de uma treliça plana são duas: 
a translação na direção “X” e a translação na direção “Y”. A numeração arbitrária das 
possibilidades de deslocamento ou graus de liberdade (GDL) da estrutura segue a numeração 
dos nós, que pode ser qualquer, priorizando o deslocamento horizontal sobre o vertical em um 
mesmo nó, como ilustrado na treliça plana da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 145 – Numeração arbitrária dos GDL da treliça plana. 
 
 
A treliça da figura possui quatro nós (NJ = 4), cinco barras (M = 5), dois nós com 
algum tipo de restrição (NRJ = 2), quatro deslocamentos restringidos (NR = 4  D3, D4, D5 e 
D6) e quatro deslocamentos livres (N = 4  D1, D2, D7 e D8), num total de oito GDL 
(N + NR = 4 + 4 = 8). 
Na numeração prioritária, a treliça fica com a seguinte numeração para os GDL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 146 – Numeração prioritária dos GDL da treliça plana. 
X 
Y 
2 
1 
5 
4 
3 
D3 
D4 
D5 
D6 
D7 
D8 
D1 
D2 
1 
3 
4 
2 
2 
1 
5 
4 
3 
D7 
D8 
D3 
D4 
D5 
D6 
D1 
D2 
1 
3 
4 
2 
X 
Y 
167 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
As equações básicas para a solução das treliças planas são as mesmas utilizadas pelo 
método da rigidez na resolução de vigas contínuas: 
DSADLAD .  
DSRDARLAR .  
ii
L
i
L
i
L
i
L
i
L
i
L
i . . . DRSMAMLDSMAMLAM  







SRRSRD
SDRS
SJ e 



















 
 
 
 
 
____
ARLAR
AC
ARLAR
ADLAD
AEAAC 
 
Por definição, nas treliças todos os nós são rotulados e não existem cargas aplicadas 
no vão das barras, apenas forças nodais. Portanto, os vetores ADL e AML são nulos, uma 
vez que eles surgem da consideração das cargas nos vãos das barras, na estrutura restringida. 
O vetor AE, que é formado a partir dos vetores AML de cada barra, também será nulo. 
Já o vetor ARL poderá ser não nulo, caso exista alguma carga aplicada sobre um apoio da 
treliça, na direção de um deslocamento restringido. 
 
 
15.1 Matriz de rigidez de barra de treliça plana no sistema de coordenadas local 
 
 
Uma barra genérica de treliça plana pode estar situada em qualquer posição no plano, 
como a barra “i” de treliça plana indicada abaixo, com nó inicial J e nó final K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 147 – Barra “i” de treliça plana com os sistemas de coordenadas global e local. 
 
 
K 
X 
Y 
xL 
yL 
1 
2 
J 
i 
xJ xK 
yJ 
yK 3 
4 
168 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
No sistema de coordenadas local, no qual o eixo xL coincide com o eixo longitudinal 
da barra, a posição da barra no plano não tem importância. A numeração dos GDL de um 
elemento de treliça plana no sistema local será sempre a mesma, como ilustrado na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 148 – Numeração dos GDL de um elemento de treliça plana no sistema de coordenadas local. 
 
 
A matriz de rigidez da barra em coordenadas locais (sistema local) é obtida 
impondo-se à barra restringida de treliça plana (com dois apoios duplos), deslocamentos 
unitários, um de cada vez, na direção dos quatro deslocamentos restringidos, da seguinte 
forma: 
 
 Para DL1 = 1 
 
 
 
 
Fig. 149 – Deslocamento unitário na direção de D1L na barra “i” birrotulada. 
 
 
Admitindo que a barra “i” tenha seção transversal com área “A” e material com 
módulo de elasticidade “E”, da resistência dos materiais tem-se: 
 . E 
A/P  
L/L  
 
introduzindo a 2a e a 3a equações na 1a, obtém-se: 
L/L . E A/P   L/L . A . E P  
i 
P P 
L = D1L = 1 
xL 
i 
D3
L D1
L 
D2L D4
L 
yL 
169 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para 1L  obtêm-se os coeficientes de rigidez SML11, SM
L
21, SM
L
31 e SM
L
41: 
L/EA SML11  
0 SML21  
L/EA SML31  
0 SML41  
 
 Para DL2 = 1 
 
 
 
 
Fig. 150 – Deslocamento unitário na direção de D2L na barra “i” birrotulada. 
 
 
Como a barra é birrotulada não surgem esforços, portanto: 
0 SML12  
0 SML22  
0 SM L32  
0 SML42  
 
 Para DL3 = 1 
 
 
 
 
Fig. 151 – Deslocamento unitário na direção de D3L na barra “i” birrotulada. 
 
 
Da mesma forma que para DL1 = 1, tem-se: 
L/EA SML13  
0 SM L23  
i 
P P 
L = D3L = 1 
i 
D2L = 1 
170 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
L/EA SML33  
0 SM L43  
 
 Para DL4 = 1 
 
 
 
 
Fig. 152 – Deslocamento unitário na direção de D4L na barra “i” birrotulada. 
 
 
Como a barra é birrotulada não surgem esforços, portanto: 
0 SML14  
0 SML24  
0 SM L34  
0 SML44  
 
Assim, a matriz de rigidez para uma barra de treliça plana no sistema de coordenadas 
local fica: 















0000
0L/EA0L/EA
0000
0L/EA0L/EA
 
L
iSM 
 
 
15.2 Matriz de rigidez de barra de treliça plana no sistema de coordenadas global 
 
 
Para passar a matriz de rigidez da barra “i” do sistema local para o sistema global, 
deve-se aplicar a seguinte equação: 
SMi = Ri
T . SMi
L . Ri 
 
i 
D4L = 1 
171 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
OBS.: o subíndice “i” identifica a barra. 
 
Como estudado no capítulo anterior, a matriz de rotação para uma barra “i” Ri de 
treliça plana é: 

















cossen00
sencos00
00cossen
00sencos
 iR 
 
onde: cos  = (xK - xJ) / L 
sen  = (yK - yJ) / L 
 )y (y )x x( L 2JK
2
JK  
 
Substituindo a matriz de rotação Ri e a matriz de rigidez de barra em coordenadas 
locais SMi
L na equação anterior, a matriz de rigidez de uma barra de treliça plana em 
coordenadas globais fica: 



















22
22
22
22
i
sensen cossensen cos
sen coscossen coscos
sensen cossensen cos
sen coscossen coscos
 . 
L
 A E 
 SM 
 
 
15.3 Montagem da matriz de rigidez global da treliça plana 
 
 
Com as matrizes de rigidez de todas as barras no sistema de coordenadas global, a 
matriz de rigidez global SJ de uma treliça plana pode ser montada, seguindo o mesmo 
procedimento utilizado nas vigas contínuas, isto é, os coeficientes de rigidez das matrizes de 
rigidez de barra em coordenadas globais de todas as barras i (SMi ) são colocados nas 
respectivas posições dentro da matriz SJ, em função da numeração prioritária dos GDL. 
Para cada GDL de um nó, no qual concorram duas ou mais barras, os correspondentes 
coeficientes de rigidez devem ser somados. 
 
172 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
15.4 Considerações sobre as ações de extremidade de barra 
 
 
As ações de extremidade para uma barra “i” de treliça plana com nó inicial J e 
final K, com uma orientação qualquer no plano X – Y, são as forças nas direções X e Y, 
isto é, AMJx e AMJy para o nó J e AMKx e AMKy para o nó K, como indicado na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 153 – Ações de extremidade em uma barra “i” de treliça plana em coordenadas globais. 
 
 
As ações de extremidade de barra devem ser expressas em coordenadas locais, como 
ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 154 – Ações de extremidade em uma barra “i” de treliça plana em coordenadas locais. 
 
 
 
 
θ 
i 
J 
K 
X 
Y 
AMKx = AMi 3 
 
AMKy = AMi 4 
 
AMJx = AMi 1 
AMJy = AMi 2 
 
J 
xL 
yL 
θ 
i 
K 
X 
Y 
AMJxL = AMiL1 
AMJyL = AMiL2 
 
AMKxL = AMiL3 
AMKyL = AMiL4 
 
173 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A equação utilizada no método da rigidez para calcular as quatro ações de extremidade 
de uma barra genérica “i” de treliça plana AMi
L, em coordenadas locais, é a seguinte: 
L
i
L
i
L
i
L
i . DSMAMLAM  
 
onde: AMLi
L é igual a zero nas treliças planas; 
 SMi
L é a matriz de rigidez de barra em coordenadas locais, apresentada no item 15.1; 
 Di
L é o vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial (J) e final (K) da barra “i”, 
em coordenadas locais. 
 
Os deslocamentos livres obtidos da solução do sistema de equações DSAC .  
resultam em coordenadas globais. Portanto, para determinar Di
L basta fazer: 
Di
L = Ri . Di 
 
onde: Ri é a matriz de rotação da barra “i” da treliça plana; 
Di é o vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial (J) e final (K) da barra “i”, 
em coordenadas globais. 
 
Finalmente, as ações de extremidade de uma barra de treliça plana em coordenadas 
locais AMi
L podem ser obtidas por: 
ii
L
i
L
i . . DRSMAM  
 
 
15.5 Considerações sobre o traçado do diagrama de EN 
 
 
Depois de calculadas as ações de extremidade de barra em coordenadas locais, 
deve-se observar a convenção de sinais para traçar o diagrama de esforço normal (EN). Para o 
nó inicial J, AM1
L positivo (+) significa esforço normal de compressão (-). Para o nó 
final K, AM3
L deve resultar sempre com valor igual e sinal contrário ao AM1
L. Por exemplo, 
no caso de AM1
L resultar positivo, AM3
L deve resultar negativo (-) e a barra estará 
comprimida (-). Caso contrário, a barra estará tracionada (+). Nas barras de treliça não surgem 
esforços de corte, assim, os valores de AM2
L e AM4
L (esforço cortante) devem resultar 
sempre iguais a zero. 
174 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
15.6 Exemplo 
 
 
Calcular os deslocamentos, as reações de apoio e os esforços nas barras da treliça 
plana submetida ao carregamento indicado na figura abaixo, empregando o método da rigidez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 155 – Treliça plana do exemplo 15.6 na numeração arbitrária. 
 
 
Os nós da treliça são numerados de forma qualquer. A numeração arbitrária dos GDL 
segue a numeração dos nós, priorizando o deslocamento horizontal sobre o vertical em um 
mesmo nó. 
A treliça plana do exemplo possui três nós (NJ = 3), três barras (M = 3), dois nós com 
algum tipo de restrição (NRJ = 2), três deslocamentos livres (N = 3  D2, D3 e D4) e três 
deslocamentos restringidos (NR = 3  D1, D5 e D6), num total de seisGDL 
(N + NR = 3 + 3 = 6). 
A origem do sistema de coordenadas global é adotada no nó 1. As conectividades das 
barras são consideradas da seguinte forma: 
Barra 1  do nó 1 ao nó 2; 
Barra 2  do nó 1 ao nó 3; 
Barra 3  do nó 2 ao nó 3; 
 
Y 
X 
Conectividades: 
 Barra Nó J Nó K 
 1 1 2 
 2 1 3 
 3 2 3 
2,0 m 
20 kN 45 kN 
Numeração 
arbitrária 
53,13º 
36,87º 
2 
1 
3 
D5 
D6 
D3 
D4 
D1 
D2 
1 2 
3 
1,5 m 
A = 15 cm2 = 0,0015 m2 
E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
175 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de 
coordenadas local e global: 
Para a barra “1”   = 0º 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 156 – Barra “1” da treliça plana do exemplo 15.6 na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento “L” da barra “1” vale: 
 )yy()xx( L
2
JK
2
Jk  
m 2 )00()02( L 221  
 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de coordenadas local fica: 

















0000
0101
0000
0101
 . 
L
 A E 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
1
11L
1SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 
m2
 m 0015,0.m/N 10.200 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
229
L
1SM 


































0000
00,15015,0
0000
015,0015,0
 . 10 
0000
0101
0000
0101
 . 10.150, 
L
4
L
3
L
2
L
1
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
9
DDDD
9L
1SM 
 
O ângulo da barra com o eixo “X” global θ = 0º, assim: 
xL 
1 
D3 D1 
D2 D4 
Y 
1 2 
X 
yL 
176 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
1 
2
 0 2 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0 
2
 0 0 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de coordenadas global fica: 



















22
22
22
22
1
11
1
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
 . 
L
 A E 
 SM 















0000
0101
0000
0101
.
m2
m0015,0m/N10.200 229
1SM 


































0000
00,15015,0
0000
015,0015,0
 . 10 
0000
0101
0000
0101
 . 10.150, 
43214321 DDDD
9
DDDD
9
1SM 
Pode-se observar que para a barra “1” a matriz L1SM é igual a 1SM , pois θ = 0º. 
Neste caso, a matriz de rotação R é igual a matriz identidade. 
 
Para a barra “2”   = 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 157 – Barra “2” da treliça plana do exemplo 15.6 na numeração arbitrária. 
 
yL 
2 
D5 
D6 
Y 
3 
1 
X 
xL 
D1 
D2 
177 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
O comprimento “L” da barra “2” vale: 
 )yy()xx( L
2
JK
2
Jk  
m 1,5 )05,1()00( L 222  
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de coordenadas local fica: 

















0000
0101
0000
0101
 . 
L
 A E 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
2
22L
2SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 
m5,1
 m 0015,0.m/N 10.200 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
229
L
2SM 


































0000
00,20020,0
0000
020,0020,0
 . 10 
0000
0101
0000
0101
 . 10.0,20 
L
4
L
3
L
2
L
1
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
9
DDDD
9L
2SM 
 
O ângulo da barra com o eixo “X” global θ = 90º. Assim, os cossenos diretores da 
barra “2” são: 
0 
5,1
 0 0 
 
L
 x x
 cos JK 



 
1 
5,1
 0 1,5 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de coordenadas global fica: 



















22
22
22
22
2
22
2
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
 . 
L
 A E 
 SM 
178 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
































20,0020,00
0000
20,0020,00
0000
 . 10 
1010
0000
1010
0000
 . 10.0,20 
65216521 DDDD
9
DDDD
9
2SM 
 
Para a barra “3”   = 143,13º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 158 – Barra “3” da treliça plana do exemplo 15.6 na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento “L” da barra “3” vale: 
 )yy()xx( L
2
JK
2
Jk  
m 2,5 )05,1()20( L 223  
 
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de coordenadas local fica: 

















0000
0101
0000
0101
 . 
L
 A E 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
3
33L
3SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 
m5,2
 m 0015,0.m/N 10.200 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
229
L
3SM 
143,13º 
3 
D5 
D6 
D3 
D4 
2 
3 
xL 
Y 
X 
yL 
179 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 


































0000
00,12012,0
0000
012,0012,0
 . 10 
0000
0101
0000
0101
 . 10.0,12 
L
4
L
3
L
2
L
1
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
9
DDDD
9L
3SM 
 
O ângulo da barra com o eixo “X” global θ = 143,13º. Assim, os cossenos diretores da 
barra “3” são: 
0,8 
5,2
 2 0 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0,6 
5,2
 0 1,5 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de coordenadas global fica: 



















22
22
22
22
3
33
3
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
 . 
L
 A E 
 SM 



















36,048,036,048,0
48,00,6448,064,0
36,048,036,048,0
48,064,048,064,0
 . 10.0,12 
6543 DDDD
9
3SM 



















0432,00576,00432,00576,0
0576,00,07680576,00768,0
0432,00576,00432,00576,0
0576,00768,00576,00768,0
 . 10 
6543 DDDD
9
3SM 
 
A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numeração arbitrária, somando as 
matrizes de rigidez das barras, expandidas à dimensão da matriz de rigidez global 
(SJ = SM1 + SM2 + SM3). 
 
 
 
180 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 














































 
20,000020,00
000000
000000000000
20,000020,00
000000
 . 10 
000000
000000
000000
00015,0015,0
000000
00015,0015,0
 . 10 
654321654321 DDDDDD
9
DDDDDD
9
SJ 
























0432,00576,00432,00576,000
0576,00768,00576,00768,000
0432,00576,00432,00576,000
0576,00768,00576,00768,000
000000
000000
 . 10 
654321 DDDDDD
9 



























2432,00576,00432,00576,020,00
0576,00768,00576,00768,000
0432,00576,00432,00576,000
0576,00768,00576,02268,0015,0
20,000020,00
00015,0015,0
 . 10 
654321 DDDDDD
9
SJ 
 
A matriz SJ deve ser colocada na numeração prioritária, para que possa ser 
particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numeração prioritária dos GDL para a treliça do 
exemplo está indicada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 159 – Treliça plana do exemplo 15.6 na numeração prioritária. 
 
2,0 m 
20 kN 45 kN 
Numeração 
prioritária 
53,13º 
36,87º 
2 
1 
3 
D5 
D6 
D2 
D3 
D4 
D1 
1 2 
3 
1,5 m 
181 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numeração prioritária, obtém-se: 


































SRRSRD
SDRS
SJ
2432,00576,000432,00576,020,0
0576,00768,000576,00768,00
0015,0015,00
0432,00576,000432,00576,00
0576,00768,015,00576,02268,00
20,0000020,0
 . 10 
651432 DDDDDD
9
 
Assim, as matrizes S e SRD ficam: 












0432,00576,00
0576,02268,00
000,20
 . 10 9S 














0432,00576,00,20
0,05760768,00
00,150
 . 10 9SRD 
 
O vetor de cargas nodais na numeração prioritária fica: 













 45000 
0
20000
 
____
AC 
 
Resolvendo o sistema de equações DSAC 
____
 chega-se aos deslocamentos livres: 

















 10 . 1,575 
10 . 4,0
10 . 1,0
 
3
4
4
D (em metros) na numeração prioritária 
 
As reações são calculadas por AR = ARL + SRD . D, sendo ARL = 0, uma vez que 
não existem cargas aplicadas diretamente sobre apoios, na direção de um deslocamento 
restringido. 











4
4
4
10 . 6,5
 10 . 6,0 
10 . 6,0
 AR (em N) na numeração prioritária 
 
182 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Estes valores devem ser apresentados na numeração arbitrária. Assim: 



























0
0
 10 . 1,575 
10 . 4,0
10 . 1,0
0
 
3
4
4
D (em metros) na numeração arbitrária 






















4
4
4
10 . 6,5
 10 . 6,0 
0
0
0
10 . 6,0
 AR (em N) na numeração arbitrária 
 
As ações de extremidade de barra são calculadas através de AMi
L = SMi
L . Di
L, uma 
vez que nas treliças AMLi
L = 0. Para avaliar Di
L, basta fazer Di
L = Ri . Di. Assim, 
AMi
L = SMi
L . Ri . Di. 

















































 10 . 575,1 
10 . 0,4
10 . 0,1
0
 . 
1000
0100
0010
0001
 . 
0000
0101
0000
0101
 . 10.15,0 
3
4
4
DDDD
9L
1
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
 
kN
kN
 
0
 60 
0
 60 
 
N
N
 
0
 10 . 0,6 
0
 10 . 6,0 
 
4
4
L
1































AM 
 















































0
0
10 . 0,1 
0
 . 
0100
1000
0001
0010
 . 
0000
0101
0000
0101
 . 10.2,0 
4
DDDD
9L
2
L
4
L
3
L
2
L
1
AM
 
 
183 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
kN
kN
 
0
 20 
0
 20 
 
N
N
 
0
 10 . 0,2
0
 10 . 2,0 
 
4
4
L
2













 














 
AM
 
 



















































0
0
 10 . 575,1 
10 . 0,4
 . 
8,06,000
6,08,000
008,06,0
006,08,0
 . 
0000
0101
0000
0101
 . 10.12,0 
3
4DDDD
9L
3
L
4
L
3
L
2
L
1
AM
 
 
kN
kN
 
0
 75 
0
 75 
 
N
N
 
0
 10 . 5,7 
0
 10 . 7,5 
 
4
4
L
3













 














 
AM 
 
Deve-se observar que para uma barra “i” AMi
L
1 significa esforço normal de 
compressão quando positivo e de tração quando negativo e AMi
L
3 significa esforço normal 
de compressão quando negativo e de tração quando positivo, enquanto que AMi
L
2 e AMi
L
4 
são sempre zero, pois não existe esforço cortante nas barras das treliças, como ilustrado na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 160 – Esforço normal nas barras da treliça plana do exemplo 15.6. 
1 
60 kN 
1 2 
60 kN 
2 
20 kN 
3 
1 
20 kN 
3 
75 kN 
2 
3 
75 kN 
184 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
15.7 Exemplo 
 
 
Calcular os deslocamentos, as reações de apoio e os esforços nas barras da treliça 
plana submetida ao carregamento indicado na figura abaixo, empregando o método da rigidez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 161 – Treliça plana do exemplo 15.7 na numeração arbitrária. 
 
 
Os nós da treliça são numerados de forma qualquer. A numeração arbitrária dos GDL 
segue a numeração dos nós, priorizando o deslocamento horizontal sobre o vertical em um 
mesmo nó. 
A treliça plana deste exemplo possui três nós (NJ = 3), três barras (M = 3), três nós 
com algum tipo de restrição (NRJ = 3), dois deslocamentos livres (N = 2  D4 e D5) e quatro 
deslocamentos restringidos (NR = 4  D1, D2, D3 e D6), num total de seis GDL 
(N + NR = 2 + 4 = 6). 
A origem do sistema de coordenadas global é adotada no nó 1. As conectividades das 
barras são consideradas da seguinte forma: 
Conectividades: 
 Barra Nó J Nó K 
 1 1 2 
 2 2 3 
 3 1 3 
A = 1000 mm2 = 0,001 m2 
E = 200 GPa = 200 . 109 N/m2 
10 kN 
45º 45º 
2,0 m 
5 kN 
Numeração 
arbitrária 
2 1 
3 
D1 
D2 
1 
2 
3 
D5 
D6 
D3 
D4 
5 kN 
2,0 m 
2,0 m 
Y 
X 
185 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Barra 1  do nó 1 ao nó 2; 
Barra 2  do nó 2 ao nó 3; 
Barra 3  do nó 1 ao nó 3; 
 
Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de 
coordenadas local e global: 
Para a barra “1”   = 45º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 162 – Barra “1” da treliça plana do exemplo 15.7 na numeraçãoarbitrária. 
 
 
O comprimento “L” da barra “1” vale: 
 )yy()xx( L
2
JK
2
Jk  
m 828,2 )02()02( L 221  
 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de coordenadas local fica: 

















0000
0101
0000
0101
 . 
L
 A E 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
1
11L
1SM 
45º 
1 
D1 
D2 
D3 
D4 
2 
1 
xL 
yL 
Y 
X 
186 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 

















0000
0101
0000
0101
 . 
m828,2
 m 001,0.m/N 10.200 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
229
L
1SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 10.7,071 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
7L
1SM 
 
O ângulo da barra “1” com o eixo “x” global θ = 45º. Assim, os cossenos diretores da 
barra “1” são: 
0,7071 
 828,2 
 0 2 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0,7071 
 828,2 
 0 2 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de coordenadas global fica: 



















22
22
22
22
1
11
1
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
 . 
L
 A E 
 SM 

















5,05,05,05,0
5,00,55,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
.
m828,2
m001,0m/N10.200 229
1SM 



















5,05,05,05,0
5,00,55,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
 . 10.7,071 
4321 DDDD
7
1SM 



















54,354,354,354,3
54,33,5454,354,3
54,354,354,354,3
54,354,354,354,3
 . 10 
4321 DDDD
7
1SM 
187 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para a barra “2”   = - 45º = 315º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 163 – Barra “2” da treliça plana do exemplo 15.7 na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento “L” da barra “2” vale: 
 )yy()xx( L
2
JK
2
Jk  
m 828,2 )20()24( L 222  
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de coordenadas local fica: 

















0000
0101
0000
0101
 . 
L
 A E 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
2
22L
2SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 
m828,2
 m 001,0.m/N 10.200 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
229
L
2SM 
- 45º 
2 
D5 
D6 
3 
xL 
yL 
Y 
X 
D3 
D4 
2 
188 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 

















0000
0101
0000
0101
 . 10.7,071 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
7L
2SM 
 
O ângulo da barra “2” com o eixo “x” global θ = - 45º. Assim, os cossenos diretores 
da barra “2” são: 
0,7071 
 828,2 
 2 4 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0,7071 
 828,2 
 2 0 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de coordenadas global fica: 



















22
22
22
22
2
22
2
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
 . 
L
 A E 
 SM 

















5,05,05,05,0
5,00,55,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
.
m828,2
m001,0m/N10.200 229
2SM 



















5,05,05,05,0
5,00,55,05,0
5,05,05,05,0
5,05,05,05,0
 . 10.7,071 
6543 DDDD
7
2SM 



















54,354,354,354,3
54,33,5454,354,3
54,354,354,354,3
54,354,354,354,3
 . 10 
6543 DDDD
7
2SM 
 
 
 
 
189 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para a barra “3”   = 0º 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 164 – Barra “3” da treliça plana do exemplo 15.7 na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento “L” da barra “3” vale: 
 )yy()xx( L
2
JK
2
Jk  
m 4 )00()04( L 223  
 
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de coordenadas local fica: 

















0000
0101
0000
0101
 . 
L
 A E 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
3
33L
3SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 
m4
 m 001,0.m/N 10.200 
 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
229
L
3SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 10.5,0 
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDD
7L
3SM 
 
O ângulo da barra “3” com o eixo “x” global é θ = 0º. Assim, os cossenos diretores da 
barra “3” são: 
xL 
3 
D5 D1 
D2 D6 
Y 
X 
yL 
1 3 
190 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
1 
4
 0 4 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0 
4
 0 0 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de coordenadas global fica: 



















22
22
22
22
3
33
3
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
sensencossensen cos
sencoscossencoscos
 . 
L
 A E 
 SM 















0000
0101
0000
0101
.
m4
m001,0m/N10.200 229
3SM 

















0000
0101
0000
0101
 . 10.5,0 
6521 DDDD
7
3SM 
 
Pode-se observar que para a barra “3” a matriz 
L
3SM é igual a 3SM , pois θ = 0º. 
Neste caso, a matriz de rotação R é igual a matriz identidade. 
 
A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numeração arbitrária, somando as 
matrizes de rigidez das barras, expandidas à dimensão da matriz de rigidez global 
(SJ = SM1 + SM2 + SM3). 

























 
000000
000000
0054,354,354,354,3
0054,354,354,354,3
0054,354,354,354,3
0054,354,354,354,3
 . 10 
654321 DDDDDD
7
SJ 
191 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 















































000000
00,50000,5
000000
000000
000000
00,50000,5
 .10 
54,354,354,354,300
54,354,354,354,300
54,354,354,354,300
54,354,354,354,300
000000
000000
 .10
654321654321 DDDDDD
7
DDDDDD
7 
 



























54,354,354,354,300
54,354,854,354,3000,5
54,354,308,7054,354,3
54,354,3008,754,354,3
0054,354,354,354,3
000,554,354,354,354,8
 . 10 
654321 DDDDDD
7
SJ 
 
A matriz SJ deve ser colocada na numeração prioritária, para que possa ser 
particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numeração prioritária dos GDL da treliça está 
indicada na figura abaixo.Fig. 165 – Treliça plana do exemplo 15.7 na numeração prioritária. 
 
 
 
 
10 kN 
D1 
45º 45º 
5 kN 
Numeração 
prioritária 
2 1 
3 
D3 
D4 
1 
2 
3 
D2 
D6 
D5 
5 kN 
Y 
X 
192 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numeração prioritária, obtém-se: 


































SRRSRD
SDRS
SJ 
54,354,30054,354,3
54,308,754,354,354,30
054,354,354,3054,3
054,354,354,800,554,3
54,354,3000,554,854,3
54,3054,354,354,308,7
 . 10 
632154 DDDDDD
7 
 
Assim, as matrizes S e SRD ficam: 







8,53553,5355
3,53557,0711
 . 10 7S 

















3,53553,5355
3,53550
03,5355
,000053,5355
 . 10 7SRD 
 
O vetor de cargas nodais na numeração prioritária fica: 







 0 
10000
 
____
AC 
 
Resolvendo o sistema de equações SDAC 
____
 chega-se aos deslocamentos livres: 











 10 . 7,3878 
10 . 1,7836
 
5
4
D (em metros) na numeração prioritária 
 
Como existem cargas aplicadas nos apoios, na direção de deslocamentos restringidos, 
o vetor ARL não será nulo, resultando: 

















0
 5000 
 0
5000
ARL 
 
As reações são calculadas por AR = ARL + SRD . D: 
193 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 



























































 10 . 7,3878 
10 . 1,7836
 . 
3,53553,5355
3,53550
03,5355
,000053,5355
 . 10 
0
 5000 
0
5000
 
AR
AR
 AR 
AR
 
5
4
7
6
5
4
3
AR 

















3
3
3
3
10 . 694,3
10 . 612,7
10 . 306,6
 10 . 388,2 
 AR (em N) na numeração prioritária 
 
Estes valores devem ser apresentados na numeração arbitrária. Assim: 
























 0
10 . 7,3878
 10 . 1,7836 
0
0
0
 
5
4
D (em metros) na numeração arbitrária 

























3
3
3
3
10 . ,6943
0
0
 10 . 612,7 
10 . 306,6
10 . 388,2
 AR (em N) na numeração arbitrária 
 
As ações de extremidade de barra são calculadas através de AMi
L = SMi
L . Di
L, uma 
vez que nas treliças AMLi
L = 0. Para avaliar Di
L, basta fazer Di
L = Ri . Di. Assim, 
AMi
L = SMi
L . Ri . Di. 
















































 10 . 7836,1 
0
0
0
 . 
707,0707,000
707,0707,000
00707,0707,0
00707,0707,0
 . 
0000
0101
0000
0101
 . 10 . 071,7 
4
DDDD
7L
1
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
kN
kN
 
0
 918,8 
0
 918,8 
 
N
N
 
0
 10 . 918,8 
0
 10 . 918,8 
 
3
3
L
1































AM 
194 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 


















































0
10 . 3878,7
 10 . 7836,1 
0
 . 
707,0707,000
707,0707,000
00707,0707,0
00707,0707,0
 . 
0000
0101
0000
0101
 . 10 . 7,071 
5
4
DDDD
7L
2
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
kN
kN
 
0
 224,5 
0
 224,5 
 
N
N
 
0
 10 . 224,5 
0
 10 . 224,5 
 
3
3
L
2































AM 
 














































0
 10 . 3878,7 
 0 
0
 . 
1000
0100
0010
0001
 . 
0000
0101
0000
0101
 . 10 . 0,5 
5
DDDD
7L
3
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
kN
kN
 
0
 694,3 
0
 3,694 
 
N
N
 
0
 10 . 694,3 
0
 10 . 694,3 
 
3
3
L
3













 














 
AM 
 
Deve-se observar que para uma barra “i” AMi
L
1 significa esforço normal de 
compressão quando positivo e de tração quando negativo e AMi
L
3 significa esforço normal 
de compressão quando negativo e de tração quando positivo, enquanto que AMi
L
2 e AMi
L
4 
são sempre zero, pois não existe esforço cortante nas barras das treliças, como ilustrado na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 166 – Esforço normal nas barras da treliça plana do exemplo 15.7. 
8,918 kN 5,224 kN 
2 
1 
8,918 kN 
2 
5,224 kN 
3 
1 2 
3,694 kN 3,694 kN 
1 3 3 
195 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
16. PÓRTICOS PLANOS 
 
 
Os graus de liberdade (GDL) ou possibilidades de deslocamento em um nó de um 
pórtico plano são três: duas translações nas direções “X” e “Y” e uma rotação (ou giro) em 
torno do eixo “Z”. Portanto, uma barra de um pórtico plano tem seis GDL e a matriz de 
rigidez de barra tem dimensão 6 x 6. 
 
A numeração arbitrária dos GDL da estrutura segue a numeração dos nós, que pode 
ser qualquer, priorizando o deslocamento horizontal, em seguida o vertical e depois o giro, em 
um mesmo nó, como ilustrado no pórtico plano da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 167 – Numeração arbitrária dos GDL do pórtico plano. 
 
 
O pórtico da figura possui quatro nós (NJ = 4), três barras (M = 3), dois nós com 
algum tipo de restrição (NRJ = 2), sete deslocamentos livres (N = 7  D4, D5, D6, D7, D8, D9 
e D12) e cinco deslocamentos restringidos (NR = 5  D1, D2, D3, D10 e D11), num total de 
doze GDL (N + NR = 5 + 7 = 12). 
D9 
D7 
D8 
3 
1 
2 
3 
1 
D3 
D1 
D2 
D6 
D4 
D5 
2 
4 
D12 
D10 
D11 
X 
Y 
Z 
196 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Na numeração prioritária, na qual são numerados primeiro os deslocamentos livres e 
depois os restringidos, o pórtico plano fica com a seguinte numeração para os GDL: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 168 – Numeração prioritária dos GDL do pórtico plano. 
 
 
As equações básicas para a solução de pórticos planos são as mesmas utilizadas pelo 
método da rigidez na resolução de vigas contínuas, com a consideração da matriz de rotação 
das barras inclinadas: 
DSADLAD .  
DSRDARLAR .  
ii
L
i
L
i
L
i
L
i
L
i
L
i . . . DRSMAMLDSMAMLAM  
 







SRRSRD
SDRS
SJ e 



















 
 
 
 
 
____
ARLAR
AC
ARLAR
ADLAD
AEAAC 
 
Nos pórticos planos as cargas aplicadas podem ser: cargas distribuídas aplicadas no 
vão das barras, momentos e cargas concentradasaplicados nos nós e/ou no vão das barras. 
Todas contidas no plano do pórtico (o vetor momento é perpendicular a este plano). 
 
X 
Y 
D6 
D4 
D5 
3 
1 
2 
3 
1 
D10 
D8 
D9 
D3 
D1 
D2 
2 
4 
D7 
D11 
D12 
Z 
197 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
As barras de um pórtico plano podem ter qualquer orientação (direção) no plano. 
Deste modo, tal como nas treliças planas, será necessária a matriz de rotação R para 
determinar as matrizes e os vetores envolvidos na solução da estrutura. 
 
 
16.1 Matriz de rigidez de barra de pórtico plano no sistema de referência local 
 
 
Uma barra qualquer de pórtico plano possui seis GDL, podendo estar situada em 
qualquer posição no plano. A numeração dos GDL para uma barra “i” com nó inicial J e nó 
final K está indicada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 169 – Barra “i” de pórtico plano com os sistemas de referência global e local. 
 
 
No sistema de referência local, no qual o eixo xL coincide com o eixo longitudinal da 
barra, a posição da barra no plano não tem importância. A numeração dos GDL de um 
elemento de pórtico plano no sistema de referência local será sempre a mesma, como ilustrado 
na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 170 – Numeração dos GDL de um elemento de pórtico plano no sistema de referência local. 
 
xL 
i 
D1
L 
D2
L 
yL 
D3
L 
D4
L 
D5
L 
D6
L 
D3 
K 
X 
Y xL 
yL 
D1 
D2 
i 
XJ XK 
YJ 
YK D4 
D5 
J 
D6 
198 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A matriz de rigidez da barra em coordenadas locais (sistema de referência local) é 
obtida impondo-se à barra restringida de pórtico plano (biengastada) deslocamentos unitários, 
um de cada vez, na direção dos seis deslocamentos restringidos. Admitindo que a barra “i” 
tenha comprimento “L”, seção transversal com área “A”, momento de inércia “Iz” e material 
com módulo de elasticidade longitudinal “E”, a matriz 
L
SM é obtida da seguinte forma: 
 
 Aplicando 1 DL1  : 
 
 
 
 
 
Fig. 171 – Deslocamento unitário na direção de L1D na barra “i” biengastada. 
 
 
A primeira coluna da matriz 
L
SM fica: 
L/EA SML11  
0 SML21  
0 SM L31  
L/EA SML41  
0 SM L51  
0 SM L61  
 
 Aplicando 1 DL2  : 
 
 
 
 
 
 
Fig. 172 – Deslocamento unitário na direção de L2D na barra “i” biengastada. 
i EA/L 
1 DL1  
EA/L 
xL 
yL 
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 
i 
xL 
yL 
1 DL2  
199 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A segunda coluna da matriz 
L
SM fica: 
0 SML12  
3
z
L
22 L/I E 12 SM  
2
z
L
32 L/I E 6 SM  
0 SML42  
3
z
L
52 L/I E 12 SM  
2
z
L
62 L/I E 6 SM  
 
 Aplicando 1 D
L
3  : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 173 – Deslocamento unitário na direção de L3D na barra “i” biengastada. 
 
 
A terceira coluna da matriz 
L
SM fica: 
0 SML13  
2
z
L
23 L/I E 6 SM  
L/I E 4 SM z
L
33  
0 SM L43  
2
z
L
53 L/I E 6 SM  
L/I E 2 SM z
L
63  
 
 
 
i 
xL 
yL 
6EI/L2 
4EI/L 2EI/L 
6EI/L2 
1 DL3  
200 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Aplicando 1 DL4  : 
 
 
 
 
 
 
Fig. 174 – Deslocamento unitário na direção de L4D na barra “i” biengastada. 
 
 
A quarta coluna da matriz 
L
SM fica: 
L/EA SML14  
0 SML24  
0 SM L34  
L/EA SML44  
0 SM L54  
0 SM L64  
 
 Aplicando 1 D
L
5  : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 175 – Deslocamento unitário na direção de L5D na barra “i” biengastada. 
 
 
 
i EA/L EA/L 
xL 
yL 
1 DL4  
12EI/L3 
6EI/L2 
6EI/L2 
12EI/L3 
i 
xL 
yL 
1 DL5  
201 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A quinta coluna da matriz 
L
SM fica: 
0 SM L15  
3
z
L
25 L/I E 12 SM  
2
z
L
35 L/I E 6 SM  
0 SM L45  
3
z
L
55 L/I E 12 SM  
2
z
L
65 L/I E 6 SM  
 
 Aplicando 1 D
L
6  : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 176 – Deslocamento unitário na direção de L6D na barra “i” biengastada. 
 
 
A sexta coluna da matriz 
L
SM fica: 
0 SM L16  
2
z
L
26 L/I E 6 SM  
L/I E 2 SM z
L
36  
0 SM L46  
2
z
L
56 L/I E 6 SM  
L/I E 4 SM z
L
66  
 
 
i 
xL 
yL 
6EI/L2 
2EI/L 4EI/L 
6EI/L2 
1 DL6  
202 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Assim, a matriz de rigidez de barra para uma barra de pórtico plano no sistema de 
referência local fica: 

























L/EI4L/EI60L/EI2L/EI60
L/EI6L/EI120L/EI6L/EI120
00L/EA00L/EA
L/EI2L/EI60L/EI4L/EI60
L/EI6L/EI120L/EI6L/EI120
00L/EA00L/EA
 
22
2323
22
2323
L
iSM 
 
 
16.2 Matriz de rigidez de barra de pórtico plano no sistema de referência global 
 
 
Para passar a matriz de rigidez da barra “i” do sistema de referência local para o 
global, deve-se aplicar a mesma equação utilizada na treliça plana: 
i
L
i
T
ii . . RSMRSM  
 
OBS.: o subíndice “i” identifica a barra. 
 
A matriz de rotação para uma barra “i” de pórtico plano iR deve ser: 

























100000
0cossen000
0sencos000
000100
0000cossen
0000sencos
 iR 
 
onde: cos  = (xK - xJ) / L; 
sen  = (yK - yJ) / L; 
 )y (y )x x( L 2JK
2
JK  é o comprimento da barra “i”. 
 
A matriz de rotação iR para uma barra de pórtico plano é obtida conforme descrito 
no capítulo 14, com as seguintes observações: 
203 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Cada nó de pórtico plano tem três GDL (duas translações e um giro) e cada barra 
tem seis GDL. Portanto, a matriz de rotação 
iR para uma barra de pórtico plano deverá ter a 
dimensão 6 x 6; 
 Os elementos da matriz 
iR dos pórticos planos correspondentes as duas 
translações são idênticos aos elementos da matriz 
iR das treliças planas. O termo da 
diagonal da matriz 
iR correspondente ao giro é igual à unidade, pois para o giro não é 
necessária nenhuma rotação, uma vez que qualquer giro em torno do eixo “Z” terá o mesmo 
valor nos sistemas de referência global e local. 
 
Substituindoa matriz de rotação iR e a matriz de rigidez de barra no sistema de 
referência local 
L
iSM na equação anterior, a matriz de rigidez de uma barra de pórtico plano 
no sistema de referência global 
iSM resulta: 

















































L
I 4
C
L
I 6
S
L
I 6
L
I 2
C
L
I 6
S
L
I 6
C
L
I 6
C
L
I 12
S
L
A
C S
L
I 12
C S
L
A
C
L
I 6
C
L
I 12
S
L
A
C S
L
I 12
C S
L
A
S
L
I 6
C S
L
I 12
C S
L
A
S
L
I 12
C
L
A
S
L
I 6
C S
L
I 12
C S
L
A
S
L
I 12
C
L
A
L
I 2
C
L
I 6
S
L
I 6
L
I 4
C
L
I 6
S
L
I 6
C
L
I 6
C
L
I 12
S
L
A
C S
L
I 12
C S
L
A
C
L
I 6
C
L
I 12
S
L
A
C S
L
I 12
C S
L
A
S
L
I 6
C S
L
I 12
C S
L
A
S
L
I 12
C
L
A
S
L
I 6
C S
L
I 12
C S
L
A
S
L
I 12
C
L
A
 . E 
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
2222
2
2
3
2
32
2
3
2
3
23
2
3
2
23
2
3
2
iSM
 
onde: C = cos  = (xK - xJ) / L; 
S = sen  = (yK - yJ) / L; 
 )y (y )x x( L 2JK
2
JK  é o comprimento da barra “i”; 
E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; 
A é a área da seção transversal da barra “i”; 
I = Iz é o momento de inércia da seção transversal barra “i” em relação ao eixo “z
L” 
local. 
 
 
204 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
16.3 Montagem da matriz de rigidez global do pórtico plano 
 
 
Com as matrizes de rigidez de todas as barras no sistema de referência global, a matriz 
de rigidez global SJ de um pórtico plano pode ser montada, seguindo o mesmo 
procedimento utilizado nas vigas contínuas e nas treliças planas, isto é, para cada GDL de um 
nó onde concorram duas ou mais barras, os correspondentes coeficientes de rigidez são 
somados e colocados nas respectivas posições dentro da matriz SJ . 
 
 
16.4 Montagem do vetor de cargas do pórtico plano 
 
 
O vetor de cargas AC é igual a soma do vetor de cargas nodais A (cargas 
concentradas e/ou momentos aplicados diretamente nos nós do pórtico plano) com o vetor de 
cargas nodais equivalentes AE (reações e momentos de engaste perfeito na estrutura 
restringida com sinais trocados). Os vetores A , AE e AC devem ser montados na 
numeração prioritária e em coordenadas globais. 
 
As reações e os momentos de engaste perfeito, em coordenadas locais, para uma 
barra “i” de pórtico plano, com carga uniformemente distribuída q perpendicular ao eixo 
longitudinal da barra, estão ilustrados na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 177 – Reações e momentos de engaste perfeito para uma barra “i” de pórtico plano com carga 
uniformemente distribuída q perpendicular ao eixo xL. 
 
 
i 
q 
L 
qL/2 
qL2/12 qL2/12 
qL/2 
xL 
yL 
205 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Os valores das reações e dos momentos de engaste perfeito, em coordenadas locais, 
de cada barra “i” do pórtico plano são colocados nos vetores 
L
iAML . Para uma barra “i” com 
carga uniformemente distribuída q , perpendicular ao seu eixo x
L
 , o vetor 
L
iAML fica: 
N.m
N
N.m
N
 
 
12
 L q 
 
 
2
 L q 
 
0
 
12
 L q 
 
 
2
 L q 
 
0
 
2
2
L
i



































AML 
 
onde: q é a carga uniformemente distribuída perpendicular ao eixo xL da barra “i”; 
 L é o comprimento da barra “i”. 
 
O vetor AE é montado a partir dos vetores iAML , em coordenadas globais. 
Para calcular os vetores iAML de todas as barras em coordenadas globais deve ser usada a 
seguinte expressão: 
L
i
T
ii . AMLRAML  
 
Finalmente, o vetor AE pode ser montado com os valores dos vetores iAML , em 
coordenadas globais, com os sinais trocados e seguindo a numeração prioritária dos GDL. 
 
 
16.5 Considerações sobre as ações de extremidade de barra 
 
 
As ações de extremidade para uma barra “i” de pórtico plano com nó inicial J e 
final K, com uma orientação qualquer no plano X – Y, são as forças nas direções X e Y e o 
momento em torno do eixo “Z”, isto é, AMJx, AMJy e AMJz para o nó J e AMKx, AMKy e 
AMKz para o nó K, como indicado na figura abaixo. 
 
206 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 178 – Ações de extremidade em uma barra “i” de pórtico plano em coordenadas globais. 
 
 
As ações de extremidade de barra devem ser expressas em coordenadas locais, como 
ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 179 – Ações de extremidade em uma barra “i” de pórtico plano em coordenadas locais. 
 
 
A equação utilizada no método da rigidez para calcular as seis ações de extremidade 
de uma barra genérica “i” de pórtico plano 
L
iAM ,em coordenadas locais, é a seguinte: 
L
i
L
i
L
i
L
i . DSMAMLAM  
 
onde: 
L
iAML é o vetor que contém as reações e os momentos de engaste perfeito da 
barra “i”, em coordenadas locais, apresentada no item 16.4; 
 
L
iSM é a matriz de rigidez de barra em coordenadas locais, apresentada no item 16.1; 
θ 
i 
J 
K 
X 
Y 
AMKx = AMi 4 
 
AMKy = AMi 5 
 
AMJx = AMi 1 
AMJy = AMi 2 
 
AMJz = AMi 3 
 
AMKz = AMi 6 
 
xL 
yL 
θ 
i 
J 
K 
X 
Y 
AMJxL = AMiL1 
AMJyL = AMiL2 
 
AMJzL = AMiL3 
AMKxL = AMiL4 
AMKyL = AMiL5 
 
AMKzL = AMiL6 
207 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
L
iD é o vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial e final da barra “i”, em 
coordenadas locais. 
 
Os deslocamentos livres obtidos da solução do sistema de equações DSAC .  
resultam em coordenadas globais. Portanto, para determinar 
L
iD basta fazer: 
ii
L
i . DRD  
 
onde: iR é a matriz de rotação da barra “i” do pórtico plano; 
iD é o vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial J e final K da barra “i”, 
em coordenadas globais. 
 
Finalmente, as ações de extremidade de barra 
L
iAM ,em coordenadas locais, podem 
ser obtidas por: 
ii
L
i
L
i
L
i . . DRSMAMLAM  
 
 
16.6 Considerações sobre o traçado dos diagramas de EN, EC e MF 
 
 
Depois de calculadas as ações de extremidade de barra em coordenadas locais, 
deve-se observar a convenção de sinais para traçar os diagramas de esforço normal (EN), 
esforço cortante (EC) e momento fletor (MF). Para uma barra “i”, no nó inicial J, 
AMi
L
1 positivo (+) significa esforço normal negativo (–) de compressão, AMi
L
2 positivo (+) 
significa esforço cortante positivo (+) e AMi
L
3 positivo (+) significa momento fletor 
negativo (–), enquanto que no nó final K, AMi
L
4 positivo (+) significa esforço normal 
positivo (+) de tração, AMi
L
5 positivo (+) significa esforço cortante negativo (–) e 
AMi
L
6 positivo (+) significa momento fletor positivo. 
 
208 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
16.7 Exemplo 
 
 
Calcular os deslocamentos, as reações de apoio e os esforços nas barras do pórtico 
plano submetido ao carregamento indicado na figura abaixo, empregando o método da 
rigidez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 180 – Pórtico plano do exemplo na numeração arbitrária. 
 
 
Todas as barras têm seção transversal com área A = 0,005 m2, momento de inércia 
Iz = 0,0004 m
4 e material com módulo de elasticidade longitudinal E = 210 GPa. 
 
Os nós do pórtico são numerados de forma qualquer. A numeração arbitrária dos GDL 
segue a numeração dos nós, priorizando o deslocamento horizontal, depois o vertical e em 
seguida o giro, em um mesmo nó. 
 
O pórtico plano do exemplo possui quatro nós (NJ = 4), três barras (M = 3), dois nós 
com algum tipo de restrição (NRJ = 2), sete deslocamentos livres (N = 7  D4, D5, D6, D7, 
D8, D9 e D12) e cinco deslocamentos restringidos (NR = 5  D1, D2, D3, D10 e D11), num total 
de doze GDL (N + NR = 7 + 5 = 12). 
D9 
D7 
D8 
3 
1 
2 
3 
1 
D3 
D1 
D2 
D6 
D4 
D5 
2 
4 
D12 
D10 
D11 
X 
Y 
Z 
4,0 m 
4,0 m 
100 kN Numeração 
arbitrária 
Conectividades: 
 Barra Nó J Nó K 
 1 1 2 
 2 2 3 
 3 4 3 
q = 10 kN/m 
209 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A origem do sistema de referência global é adotada no nó “1”. As conectividades das 
barras são consideradas da seguinte forma: 
Barra “1”  do nó “1” ao nó “2”; 
Barra “2”  do nó “2” ao nó “3”; 
Barra “3”  do nó “4” ao nó “3”. 
 
Inicialmente, devem ser determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de 
referência local e global: 
 
 
Para a barra “1”   = 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 181 – Barra “1” do pórtico plano do exemplo na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento da barra “1” (L1) vale: 
 )y (y )x x( L 2JK
2
JK  
m 4 )04()00( L 221  
 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência local fica: 
Y 
yL 
xL 
1 
D3 
D1 
D2 
D6 
D4 
D5 
1 
2 
X 
 = 90º 
210 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 



























111
2
111111
2
111
2
111
3
111
2
111
3
111
111111
111
2
111111
2
111
2
111
3
111
2
111
3
111
111111
L
1
L/I E 4L/I E 60L/I E 2L/I E 60
L/I E 6L/I E 120L/I E 6L/I E 120
00L/A E00L/A E
L/I E 2L/I E 60L/I E 4L/I E 60
L/I E 6L/I E 120L/I E 6L/I E 120
00L/A E00L/A E
 SM 
 
onde: E1 = E = 210 GPa = 210 x 10
9 N/m2 = 2,1 x 1011 N/m2 
 A1 = A = 0,005 m
2 
 I1 = Iz = 0,0004 m
4 
 L1 = 4,0 m 
 
Assim: 



























400,8150,30200,4150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
200,4150,30400,8150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
 10 
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDDDD
7L
1SM 
 
Os cossenos diretores são: 
0 
4
 0 0 
 
L
 x x
 cos JK 



 
1 
4
 0 4 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
Portanto, o ângulo da barra “1” com o eixo “X” global é θ = 90º. 
 
A matriz de rotação para a barra “1” de pórtico plano (R1) fica: 
















































100000
001000
010000
000100
000001
000010
 
100000
0cossen000
0sencos000
000100
0000cossen
0000sencos
 1R 
211 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência global fica: 
SM1 = R1
T . SM1
L . R1 
 
Resultando, na numeração arbitrária: 



























400,80150,3200,40150,3
025,260025,260
150,30575,1150,30575,1
200,40150,3400,80150,3
025,260025,260
150,30575,1150,30575,1
 . 10 
654321 DDDDDD
7
1SM 
 
 
Para a barra “2”   = 0º 
 
 
 
 
 
 
Fig. 182 – Barra “2” do pórtico plano do exemplo na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento da barra “2” (L2) vale: 
 )y (y )x x( L 2JK
2
JK  
m 4 )44()04( L 222  
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência local fica: 



























222
2
222222
2
222
2
222
3
222
2
222
3
222
222222
222
2
222222
2
222
2
222
3
222
2
222
3
222
222222
L
2
L/I E 4L/I E 60L/I E 2L/I E 60
L/I E 6L/I E 120L/I E 6L/I E 120
00L/A E00L/A E
L/I E 2L/I E 60L/I E 4L/I E 60
L/I E 6L/I E 120L/I E 6L/I E 120
00L/A E00L/A E
 SM 
 
X ≡ xL 
D9 
D7 
D8 
3 
2 
D6 
D4 
D5 
2 
Y ≡ yL 
212 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
onde: E2 = E = 210 GPa = 210 x 10
9 N/m2 = 2,1 x 1011 N/m2 
 A2 = A = 0,005 m
2 
 I2 = Iz = 0,0004 m
4 
 L2 = 4,0 m 
 
Assim: 



























400,8150,30200,4150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
200,4150,30400,8150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
 10 
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDDDD
7L
2SM 
 
Os cossenos diretores são: 
1 
4
 0 4 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0 
4
 0 0 
 
L
 y y 
 sen JK 



 
 
Portanto, o ângulo da barra “2” com o eixo “X” global é θ = 0º. 
 
A matriz de rotação para a barra “2” de pórtico plano (R2) fica: 














































100000
010000
001000
000100
000010
000001
 
100000
0cossen000
0sencos000
000100
0000cossen
0000sencos
 2R 
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência global fica: 
SM2 = R2
T . SM2
L . R2 
 
Resultando, na numeração arbitrária: 
213 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 



























400,8150,30200,4150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
200,4150,30400,8150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
 10 
987654 DDDDDD
7
2SM 
 
Pode-se observar que para a barra “2” a matriz L2SM é igual a 2SM , pois θ = 0º e 
consequentemente R2 é igual à matriz identidade. 
 
 
Para a barra “3”   = 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 183 – Barra “3” do pórtico plano do exemplo na numeração arbitrária. 
 
 
A conectividade escolhida para a barra “3” leva a um ângulo  = 90º, idêntico ao da 
barra “1”. Como estas duas barras têm o mesmo comprimento “L” e a mesma seção 
transversal, as matrizes de rigidez em coordenadas globais das duas barras serão idênticas, 
isto é: SM3 = SM1. 
Y 
yLxL 
3 
D12 
D10 
D11 
D9 
D7 
D8 
4 
3 
X 
 = 90º 
214 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 



























400,80150,3200,40150,3
025,260025,260
150,30575,1150,30575,1
200,40150,3400,80150,3
025,260025,260
150,30575,1150,30575,1
 . 10 
987121110 DDDDDD
7
31 SMSM 
 
A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numeração arbitrária, somando as 
matrizes de rigidez das barras, expandidas à dimensão da matriz de rigidez global 
(SJ = SM1 + SM2 + SM3), resultando: 













































































400,80150,3200,40150,3000000
0250,2600250,260000000
150,30575,1150,30575,1000000
200,40150,3800,16150,3150,3200,4150,30000
0250,260150,3825,270150,3575,10000
150,30575,1150,30825,2700250,26000
000200,4150,30800,16150,3150,3200,40150,3
000150,3575,10150,3875,2700250,260
00000250,26150,30825,27150,30575,1
000000200,40150,3400,80150,3
0000000250,2600250,260
000000150,30575,1150,30575,1
 . 10 
121110987654321 DDDDDDDDDDDD
7
SJ 
 
A matriz SJ deve ser colocada na numeração prioritária, para que possa ser 
particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numeração prioritária dos GDL para o pórtico do 
exemplo está indicada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
215 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 184 – Pórtico plano do exemplo na numeração prioritária. 
 
 
Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numeração prioritária, obtém-se: 













































































250,260000002500,260000
0575,1000150,3150,30575,1000
00400,80150,30000200,40150,3
000250,26000000250,260
00150,30575,10000150,30575,1
0150,3000400,8200,40150,3000
0150,3000200,4800,16150,3150,3200,4150,30
250,2600000150,3875,270150,3575,10
0575,1000150,3150,30825,2700250,26
00200,40150,30200,4150,30800,16150,3150,3
000250,2600150,3575,10150,3825,270
00150,30575,1000250,26150,30825,27
 . 10 
111032112987654 DDDDDDDDDDDD
7
SJ 
 







SRRSRD
SDRS
SJ 
X 
Y 
D6 
D4 
D5 
3 
1 
2 
3 
1 
D10 
D8 
D9 
D3 
D1 
D2 
2 
4 
D7 
D11 
D12 
Z 
216 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Assim, as matrizes S e SRD ficam: 





























400,8200,40150,3000
200,4800,16150,3150,3200,4150,30
0150,3825,270150,3575,10
150,3150,30825,2700250,26
0200,4150,30800,16150,3150,3
0150,3575,10150,3825,270
000250,26150,30825,27
 . 10 7S 
 





















00250,260000
150,3150,30575,1000
0000200,40150,3
00000250,260
0000150,30575,1
 . 10 7SRD 
 
O vetor de cargas AC é obtido da mesma forma que nas vigas contínuas e nas treliças 
planas, na numeração prioritária. O vetor AC é formado pela soma do vetor de ações nodais 
(forças e/ou momentos) diretamente aplicadas nos nós do pórtico plano A com o vetor de 
ações nodais equivalentes AE. 

















 
 
 
 
 
ARLAR
AC
ARLAR
ADLAD
AEAAC 
 
Para o pórtico plano do exemplo, o vetor A na numeração prioritária fica: 







































 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
0
0
0
0
0
0
 100000 
 
12
11
10
9
8
A 
217 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
O vetor AE é obtido a partir das reações e momentos de engaste perfeito das barras 
do pórtico, em coordenadas globais e na numeração prioritária. As reações e os momentos de 
engaste perfeito no sistema local de coordenadas das barras “1” e “3” são nulos, uma vez que 
não existe nenhuma carga aplicada nestas barras. Na barra “2” existe uma carga 
uniformemente distribuída e as reações e os momentos de engaste perfeito estão ilustrados na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 185 – Reações e momentos de engaste perfeito para a barra “2” do pórtico plano do exemplo. 
 
 
Deste modo, o vetor AMLL (em coordenadas locais) para a barra “2” fica: 
N.m
N
N
N.m
N
N
 
 333,13333 
20000
0
 333,13333 
 20000 
0
 L2





















AML 
 
O vetor de ações nodais equivalentes AE é obtido a partir dos vetores AMLi de 
todas as barras, em coordenadas globais e com o sinal trocado. 
Para calcular os vetores AMLi de todas as barras em coordenadas globais deve ser 
usada a seguinte expressão: 
AMLi = Ri
T . AMLi
L 
 
Para a barra “2” o vetor AML2 (em coordenadas globais) é igual a AML2
L (em 
coordenadas locais), pois θ = 0º e a matriz de rotação R2 é igual à matriz identidade. 
AML1 e AML3 são vetores nulos. 
2 
q = 10 kN/m 
4,0 m 
qL/2 = 20 kN 
qL2/12 = 13,333 kN.m 
 
 
qL2/12 = 13,333 kN.m 
 
 
qL/2 = 20 kN 
218 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para o pórtico do exemplo, o vetor AE na numeração prioritária fica: 










































0
0
0
0
0
0
 13333,333 
 20000 
 0 
 13333,333 
 20000 
 0 
 AE 
 
Assim, o vetor AC pode ser calculado, na numeração prioritária: 



























































































































 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
0
 13333,333 
 20000 
0
 13333,333 
 20000 
 100000 
 
0
0
0
0
0
0
 13333,333 
20000
0
 13333,333 
 20000 
 0 
 
 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
0
0
0
0
0
0
 100000 
 
12
11
10
9
8
12
11
10
9
8
AEAAC 
 








 
 
ARLAR
AC
AC 
 
Finalmente, os vetores AC e AR – ARL ficam: 
 
 
219 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 


























 0 
 13333,333 
 20000 
 0 
 13333,333 
 20000 
 100000 
 AC 
 

















 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
 
12
11
10
9
8
ARLAR 
 
Resolvendoo sistema de equações DSAC . 
____
 chega-se aos deslocamentos livres: 
rad
rad
m
m
rad
m
m
 
 2,7184 
 0,3924 
 0,2825 
 7,7722 
 1,5334 
 0,1301 
 7,8653 
 . 10 3-


























D na numeração prioritária 
 
As reações de apoio são calculadas por AR = ARL + SRD . D, resultando: 
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 74,162 
 24,424 
 183,354 
 162,34 
 576,75 
 
N
N
N.m
N
N
 
 74161,52 
 24423,64 
 183353,92 
 52,34161 
 36,75576 
 







































AR na numeração prioritária 
 
Os vetores D e AR na numeração arbitrária ficam: 
 
220 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
rad
m
m
rad
m
m
rad
m
m
rad
m
m
 
 2,7184 
 0 
 0 
 0,3924 
 0,2825 
 7,7722 
 1,5334 
 0,1301 
 7,8653 
 0 
 0 
 0 
 . 10 3-










































D 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 0 
 74,162 
 24,424 
 0 
 0 
 0 
 0 
 0 
 0 
 183,354 
 162,34 
 576,75 
 









































AR 
 
As ações de extremidade de barra devem ser expressas em coordenadas locais. Para 
uma barra genérica “i” as ações de extremidade são dadas por: 
ii
L
i
L
i
L
i . . DRSMAMLAM  
 
Para a barra “1” tem-se: 
11
L
1
L
1
L
1 . . DRSMAMLAM  



























































































 
 1,5334 
 0,13014 
 7,8653 
 0 
 0 
 0 
 . 10 . 
100000
001000
010000
000100
000001
000010
 . 
400,8150,30200,4150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
200,4150,30400,8150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
 . 10 
0
0
0
0
0
 0 
 3
DDDDDD
7L
1
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1
AM
 
 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 952,118 
 576,75 
 162,34 
 354,183 
 576,75 
 162,34 
 
N.m
N
N
N.m
N
N
 
 51,118951 
 36,75576 
 52,34161 
 92,183353 
 36,75576 
 52,34161 
 L1













































AM 
 
Para a barra “2” tem-se: 
22
L
2
L
2
L
2 . . DRSMAMLAM  
221 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 





























































































 
 0,39235 
 0,28252 
 7,7722 
 1,5334 
 0,13014 
 7,8653 
 . 10 . 
100000
010000
001000
000100
000010
000001
 . 
400,8150,30200,4150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
200,4150,30400,8150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
 . 10 
 333,13333 
20000
0
 333,13333 
 20000 
0
 3
DDDDDD
7L
2
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 694,97 
 74,162 
 424,24 
 118,952 
 162,34 
 424,24 
 
N.m
N
N
N.m
N
N
 
 56,97694 
 74161,52 
 64,24423 
 118951,51 
 52,34161 
 64,24423 
 L2

















































AM 
 
Para a barra “3” tem-se: 
33
L
3
L
3
L
3 . . DRSMAMLAM  






























































































 
 0,39235 
 0,28252 
 7,7722 
 2,7184 
 0 
 0 
 . 10 . 
100000
001000
010000
000100
000001
000010
 . 
400,8150,30200,4150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
200,4150,30400,8150,30
150,3575,10150,3575,10
0025,260025,26
 . 10 
0
0
0
0
0
 0 
 3
DDDDDD
7L
3
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1
AM
 
 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 97,694 
 24,424 
 162,74 
 0,000 
 24,424 
 74,162 
 
N.m
N
N
N.m
N
N
 
 97694,56 
 24423,64 
 52,74161 
 0,000 
 24423,64 
 74161,52 
 L3













































AM 
 
Deve-se observar que para uma barra “i” AMi
L
1 significa esforço normal de 
compressão quando positivo e de tração quando negativo e AMi
L
4 significa esforço normal 
de compressão quando negativo e de tração quando positivo. Portanto, sempre ocorrerá 
AMi
L
1 = - AMi
L
4. As ações de extremidade de barra AMi
L
2 e AMi
L
5 são esforços cortantes, 
enquanto que AMi
L
3 e AMi
L
6 são momentos fletores, como ilustrado na figura abaixo para o 
pórtico plano do exemplo. 
 
 
222 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 186 – Ações de extremidade nas barras do pórtico plano do exemplo. 
 
 
Verificações: 
 
 kN 34,162 AR AM AM 94
L
11
L
1   OK! 
 kN 75,576 AR AM 82
L
1   OK! 
 kN.m 183,354 AR AM 103
L
1   OK! 
 
 kN 34,162 AM AM 2
L
24
L
1   OK! 
 kN 100 AM AM 1
L
25
L
1   OK! 
 kN.m 118,952 AM AM 3
L
26
L
1   OK! 
AM1L1 = 
- 34,162 kN 
AM1L4 = 
34,162 kN 2 
1 
1 
AM1L2 = 
75,576 kN 
AM1L3 = 
183,354 kN.m 
AM1L5 = 
- 75,576 kN AM1L6 = 
118,952 kN.m 
AM3L4 = 
- 74,162 kN 3 
3 
4 
AM3L2 = 
24,424 kN 
AM3L3 = 
0,000 kN.m 
AM3L5 = 
- 24,424 kN AM3L6 = 
97,694 kN.m 
AM3L1 = 
74,162 kN 
3 
2 
2 
AM2L4 = 
- 24,424 kN 
AM2L2 = 
- 34,162 kN 
AM2L3 = 
- 118,952 kN.m 
AM2L5 = 
74,162 kN 
AM2L6 = 
- 97,694 kN.m 
AM2L1 = 
24,424 kN 
Equilíbrio 
do nó “2” 
223 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 kN ,42442 AM AM 5
L
34
L
2   OK! 
 kN ,16274 AM AM 4
L
35
L
2   OK! 
 kN.m 97,694 AM AM 6
L
36
L
2   OK! 
 
 kN 4,1627 AR AM AM 124
L
31
L
3   OK! 
 kN 24,424 AR AM 112
L
3   OK! 
 kN.m 0 AM 3
L
3   OK! 
 
Lembrando que as ações de extremidade de barra são as ações (ou reações) situadas 
nas seções das extremidades das barras, de forma que, construindo um diagrama de corpo 
livre da barra, estas ações, junto com as cargas externas aplicadas, mantém a barra em 
equilíbrio. 
 
Finalmente, os diagramas de esforço normal (EN), esforço cortante (EC) e momento 
fletor (MF) do pórtico plano ficam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 187 – Diagrama de esforço normal (EN) do pórtico plano do exemplo.AM2L4 = 
- 24,424 kN 
AM2L1 = 
24,424 kN 
AM1L1 = 
- 34,162 kN 
AM1L4 = 
34,162 kN 
AM3L4 = 
- 74,162 kN 
AM3L1 = 
74,162 kN 
Equilíbrio 
do nó “3” 
224 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 188 – Diagrama de esforço cortante (EC) do pórtico plano do exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 189 – Diagrama de momento fletor (MF) do pórtico plano do exemplo. 
 
 
AM1L2 = 
75,576 kN 
AM1L5 = 
- 75,576 kN 
AM2L2 = 
- 34,162 kN AM2L5 = 
74,162 kN 
AM3L2 = 
24,424 kN 
AM3L5 = 
- 24,424 kN 
AM1L3 = 
183,354 kN.m 
AM1L6 = 
118,952 kN.m 
AM2L3 = 
- 118,952 kN.m 
AM2L6 = 
- 97,694 kN.m 
AM3L3 = 
0,000 kN.m 
AM3L6 = 
97,694 kN.m 
225 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
16.8 Exemplo 
 
 
Resolver o mesmo pórtico do exemplo anterior substituindo o apoio duplo do nó “4” 
por um engaste. 
Resposta: 
rad
m
m
rad
m
m
 
 6182,0 
 2367,0 
 573,4 
 8799,0 
 08432,0 
 773,4 
 . 10 3























 D na numeração prioritária 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 073,118 
135,62
 52,545 
 388,113 
 135,22 
 455,47 
 























AR na numeração prioritária 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 76,432 
 455,47 
 22,135 
 388,113 
 47,455 
 135,22 
 L1






















AM 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 92,108 
 135,62 
 52,545 
 76,432 
 22,135 
 545,25 
 L2
























AM 
kN.m
kN
kN
kN.m
kN
kN
 
 92,108 
 52,545 
 2,1356 
 118,073 
 2,5455 
 135,26 
 L3






















AM
 
226 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
17. GRELHAS 
 
 
As grelhas são estruturas reticuladas contidas no plano horizontal (plano X – Z) que 
recebem cargas perpendiculares a este plano. Os graus de liberdade (GDL), ou possibilidades 
de deslocamento, em um nó de uma grelha são três: uma translação na direção do eixo “Y” e 
duas rotações (ou giros) em torno dos eixos “X” e “Z”. Portanto, uma barra de uma grelha tem 
seis GDL e a matriz de rigidez de barra tem dimensão 6 x 6. 
 
A numeração arbitrária dos GDL da estrutura segue a numeração dos nós, que pode 
ser qualquer, priorizando o giro em torno do eixo “X”, em seguida o deslocamento vertical na 
direção “Y” e depois o giro em torno de “Z”, em um mesmo nó, como ilustrado na grelha da 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 190 – Numeração arbitrária dos GDL da grelha. 
 
 
A grelha da figura possui seis nós (NJ = 6), sete barras (M = 7), três nós com algum 
tipo de restrição (NRJ = 3), treze deslocamentos livres (N = 13  D4, D5, D6, D7, D9, D10, 
D12, D13, D14, D15, D16, D17 e D18) e cinco deslocamentos restringidos (NR = 5  D1, D2, D3, 
D8 e D11), num total de dezoito GDL (N + NR = 13 + 5 = 18). 
 
Na numeração prioritária, na qual são numerados primeiro os deslocamentos livres e 
depois os restringidos, a grelha fica com a seguinte numeração para os GDL: 
D18 
D16 
D17 
6 
6 7 
3 
1 
D3 
D1 
D2 
D12 
D10 
D11 
4 
3 
D9 
D7 
D8 
X 
Y 
Z 
4 5 
1 2 
D15 
D13 
D14 
5 
D6 
D4 
D5 
2 
227 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 191 – Numeração prioritária dos GDL da grelha. 
 
 
As equações básicas para a solução de grelhas são as mesmas utilizadas pelo método 
da rigidez na resolução de pórticos planos: 
DSADLAD .  
DSRDARLAR .  
ii
L
i
L
i
L
i
L
i
L
i
L
i . . . DRSMAMLDSMAMLAM  







SRRSRD
SDRS
SJ e 



















 
 
 
 
 
____
ARLAR
AC
ARLAR
ADLAD
AEAAC 
 
Nas grelhas, as cargas aplicadas podem ser: cargas distribuídas (qy) aplicadas no vão 
das barras, momentos (Mx e Mz) e cargas concentradas (Py) aplicados nos nós e/ou no vão das 
barras. As cargas concentradas e distribuídas são perpendiculares ao plano da grelha 
(plano X – Z) e os momentos têm seus vetores contidos neste plano. 
 
As barras de uma grelha podem ter qualquer orientação (direção) no plano horizontal. 
Deste modo, tal como nas treliças planas e nos pórticos planos, será necessária a matriz de 
rotação R para determinar as matrizes e os vetores envolvidos na solução da estrutura. 
 
 
 
D13 
D11 
D12 
6 
6 7 
3 
1 
D16 
D14 
D15 
D7 
D6 
D18 
4 
3 
D5 
D4 
D17 
X 
Y 
Z 
4 5 
1 2 
D10 
D8 
D9 
5 
D3 
D1 
D2 
2 
228 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
17.1 Matriz de rigidez de barra de grelha no sistema de referência local 
 
 
Uma barra qualquer de grelha possui seis GDL, podendo estar situada em qualquer 
posição no plano. A numeração dos GDL para uma barra “i” com nó inicial J e nó final K 
está indicada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 192 – Barra “i” de grelha com os sistemas de referência global e local. 
 
 
No sistema de referência local, no qual o eixo xL coincide com o eixo longitudinal da 
barra, a posição da barra no plano não interessa. A numeração dos GDL de um elemento de 
grelha no sistema de referência local será sempre a mesma, como ilustrado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 193 – Numeração dos GDL de um elemento de grelha no sistema de referência local. 
 
 
A matriz de rigidez de barra em coordenadas locais (sistema de referência local) é 
obtida impondo-se à barra restringida de grelha (biengastada) deslocamentos unitários, um de 
cada vez, na direção dos seis deslocamentos restringidos. Admitindo que a barra “i” tenha 
xL 
i 
D1
L 
D2
L 
yL 
D3
L 
D4
L 
D5
L 
D6
L 
D3 
K 
X 
Y 
xL 
zL 
D1 
D2 i 
xJ xK 
zK 
zJ 
J 
D4 
D5 
D6 

Z 
yL 
229 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
comprimento “L”, seção transversal com momento de inércia à flexão “Iz” , momento de 
inércia à torção “Ix”, material com módulo de elasticidade longitudinal “E” e módulo de 
elasticidade transversal “G”, a matriz SMi
L é obtida da seguinte forma: 
 
 
 Aplicando 1 DL1  : 
 
 
 
 
Fig. 194 – Deslocamento unitário na direção de L1D (giro em torno de x
L) na barra “i” biengastada. 
 
 
A primeira coluna da matriz SML fica: 
L/IG SM x
L
11  
0 SML21 
0 SM L31  
L/IG SM x
L
41  
0 SM L51  
0 SM L61  
 
 
 Aplicando 1 DL2  : 
 
 
 
 
 
 
Fig. 195 – Deslocamento unitário na direção de L2D na barra “i” biengastada. 
 
12 E Iz / L3 
6 E Iz / L2 
6 E Iz / L2 
12 E Iz / L3 
i 
xL 
yL 
1 DL2  
i G Ix / L 1 D
L
1  
xL 
yL 
G Ix / L 
230 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A segunda coluna da matriz SML fica: 
0 SML12  
3
z
L
22 L / I E 12 SM  
2
z
L
32 L / I E 6 SM  
0 SML42  
3
z
L
52 L / I E 12 SM  
2
z
L
62 L / I E 6 SM  
 
 
 Aplicando 1 D
L
3  : 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 196 – Deslocamento unitário na direção de L3D na barra “i” biengastada. 
 
 
A terceira coluna da matriz SML fica: 
0 SML13  
2
z
L
23 L / I E 6 SM  
L / I E 4 SM z
L
33  
0 SM L43  
2
z
L
53 L / I E 6 SM  
L / I E 2 SM z
L
63  
 
 
 
i 
xL 
yL 
6 E Iz / L2 
4 E Iz / L 2 E Iz / L 
6 E Iz / L2 
1 DL3  
231 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 Aplicando 1 DL4  : 
 
 
 
 
 
Fig. 197 – Deslocamento unitário na direção de L4D (giro em torno de x
L) na barra “i” biengastada. 
 
 
A quarta coluna da matriz SML fica: 
L/IG SM x
L
14  
0 SML24  
0 SM L34  
L/IG SM x
L
44  
0 SM L54  
0 SM L64  
 
 
 Aplicando 1 D
L
5  : 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 198 – Deslocamento unitário na direção de L5D na barra “i” biengastada. 
 
 
 
 
i 
xL 
yL 
1 DL4  G Ix / L G Ix / L 
12 E Iz / L3 
6 E Iz / L2 
6 E Iz / L2 
12 E Iz / L3 
i 
xL 
yL 
1 DL5  
232 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A quinta coluna da matriz SML fica: 
0 SM L15  
3
z
L
25 L/I E 12 SM  
2
z
L
35 L/I E 6 SM  
0 SM L45  
3
z
L
55 L/I E 12 SM  
2
z
L
65 L/I E 6 SM  
 
 
 Aplicando 1 D
L
6  : 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 199 – Deslocamento unitário na direção de L6D na barra “i” biengastada. 
 
 
A sexta coluna da matriz SML fica: 
0 SM L16  
2
z
L
26 L/I E 6 SM  
L/I E 2 SM z
L
36  
0 SM L46  
2
z
L
56 L/I E 6 SM  
L/I E 4 SM z
L
66  
 
 
 
i 
xL 
yL 
6 E Iz / L2 
2 E Iz / L 4 E Iz / L 
6 E Iz / L2 
1 DL6  
233 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Assim, a matriz de rigidez da barra “i” de grelha, no sistema de referência local, fica: 



























L / I E 4L/I E 60L / I E 2L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
L/I E 2L/I E 60L / I E 4L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
 
z
2
zz
2
z
2
z
3
z
2
z
3
z
xx
z
2
zz
2
z
2
z
3
z
2
z
3
z
xx
L
iSM 
 
onde: L é o comprimento da barra “i”; 
E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; 
G é o módulo de elasticidade transversal do material; 
Iz é o momento de inércia à flexão da seção transversal da barra “i” em relação ao 
eixo zL; 
Ix é o momento de inércia à torção da seção transversal da barra “i”. 
 
 
17.2 Matriz de rigidez de barra de grelha no sistema de referência global 
 
 
Para passar a matriz de rigidez da barra “i” do sistema de referência local para o 
global, deve-se aplicar a mesma equação utilizada no pórtico plano: 
SMi = Ri
T . SMi
L . Ri 
 
OBS.: o subíndice “i” identifica a barra. 
 
A matriz de rotação para uma barra “i” de grelha Ri deve ser: 

























cos0sen000
010000
sen0cos000
000cos0sen
000010
000sen0cos
 iR 
 
onde: cos  = (xK - xJ) / L; 
234 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
sen  = (zK - zJ) / L; 
 )z (z )x x( L 2JK
2
JK  é o comprimento da barra “i”. 
 
A matriz de rotação Ri para uma barra de grelha é obtida conforme descrito no 
capítulo 12, com as seguintes observações: 
 cada nó de grelha tem três GDL (uma translação e dois giros) e cada barra tem seis 
GDL. Portanto, a matriz de rotação Ri para uma barra de grelha deverá ter a dimensão 6 x 6; 
 a rotação na matriz Ri correspondente aos dois giros (x e z) é idêntica a rotação 
na matriz Ri nas treliças planas (correspondente as translações ux e uy), enquanto que para a 
translação uy na barra de grelha não é necessária nenhuma rotação, pois qualquer translação 
na direção do eixo “y” terá o mesmo valor nos sistemas de referência local e global. Por isso, 
o termo da diagonal da matriz Ri correspondente a translação em uy é igual à unidade e os 
demais termos da linha e da coluna são zero. 
 
Substituindo a matriz de rotação Ri e a matriz de rigidez de barra no sistema de 
referência local SMi
L na equação anterior, a matriz de rigidez de uma barra de grelha no 
sistema de referência global SMi resulta: 

























































2C
L
 zI E 4 2S
 L 
 xI G C
2L
 zI E 6 C S
L
 zI E 4 C S
 L 
 xI G 2C
L
 zI E 2 2S
 L 
 xI G C
2L
 zI E 6 C S
L
 zI E 2 C S
 L 
 xI G 
C
2L
 zI E 6 
3L
 zI E 12 S
2L
 zI E 6 C
2L
 zI E 6 
3L
 zI E 12 S
2L
 zI E 6 
C S
L
 zI E 4 C S
 L 
 xI G S
2L
 zI E 6 2S
L
 zI E 4 2C
 L 
 xI G C S
L
 zI E 2 C S
 L 
 xI G S
2L
 zI E 6 2S
L
 zI E 2 2C
 L 
 xI G 
2C
L
 zI E 2 2S
 L 
 xI G C
2L
 zI E 6 C S
L
 zI E 2 C S
 L 
 xI G 2C
L
 zI E 4 2S
 L 
 xI G C
2L
 zI E 6 C S
L
 zI E 4 C S
 L 
 xI G 
C
2L
 zI E 6 
3L
 zI E 12 S
2L
 zI E 6 C
2L
 zI E 6 
3L
 zI E 12 S
2L
 zI E 6 
C S
L
 zI E 2 C S
 L 
 xI G S
2L
 zI E 6 2S
L
 zI E 2 2C
 L 
 xI G C S
L
 zI E 4 C S
 L 
 xI G S
2L
 zI E 6 2S
L
 zI E 4 2C
 L 
 xI G 
 iSM 
 
onde: C = cos  = L)x x( JK  ; 
S = sen  = L)z z( JK  ; 
 )z (z )x x( L 2JK
2
JK  é o comprimento da barra “i”; 
E é o módulo de elasticidade longitudinal do material; 
G é o módulo de elasticidade transversal do material; 
235 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Iz é o momento de inércia à flexão da seção transversal da barra “i” em relação ao 
eixo zL; 
Ix é o momento de inércia à torção ou módulo de torção da seção transversal da 
barra “i” em relação ao eixo xL. 
 
 
17.3 Considerações sobre o momento de inércia à torção Ix 
 
 
A seguir são apresentadas as equações para calcular o momento de inércia à torçãoou 
módulo de torção Ix em barras com diferentes seções transversais. O módulo de torção Ix 
corresponde ao momento de inércia polar Io da seção circular. 
Seção elíptica: 
22
33
x
b a
 b . a . π
 I

 a > b 
 
Seção retangular: 3x b . a . β I  a > b 
 
Seção quadrada: 4x a . β I  
 
Seção retangular alongada: 
 3 
 b . a 
 I
3
x  n = a / b  20 
 
onde: 
n = a / b 1,00 1,50 2,00 3,00 4,00 6,00 8,00 10  
 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281 0,298 0307 0,312 0,333 
 
 é uma constante adimensional obtida através da teoria da elasticidade. 
 
a 
b 
a 
b 
a 
a 
a 
b 
236 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
17.4 Montagem da matriz de rigidez global da grelha 
 
 
Depois de determinadas as matrizes de rigidez de todas as barras no sistema de 
referência global SMi , a matriz de rigidez global SJ de uma grelha pode ser montada 
seguindo o mesmo procedimento utilizado nas vigas contínuas, nas treliças planas e nos 
pórticos planos, isto é, os coeficientes de rigidez das matrizes SMi de cada barra são 
colocados nas respectivas posições dentro da matriz SJ. Para cada GDL de um nó onde 
concorram duas ou mais barras, os correspondentes coeficientes de rigidez são somados 
dentro da matriz SJ. 
 
 
17.5 Montagem do vetor de cargas da grelha 
 
 
O vetor de cargas AC é igual a soma do vetor de ações nodais A (cargas 
concentradas e/ou momentos aplicados diretamente nos nós da grelha) com o vetor de ações 
nodais equivalentes AE (reações e momentos de engaste perfeito na estrutura restringida com 
sinais trocados). Os vetores A, AE e AC devem ser montados na numeração prioritária e 
em coordenadas globais. 
 
As reações e os momentos de engaste perfeito, em coordenadas locais, para uma 
barra “i” de grelha com carga uniformemente distribuída q estão ilustrados na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 200 – Reações e momentos de engaste perfeito para uma barra “i” de grelha com carga 
uniformemente distribuída q. 
 
i 
q 
L 
qL/2 
qL2/12 qL2/12 
qL/2 
xL 
yL 
237 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Os valores das reações e dos momentos de engaste perfeito, em coordenadas locais, 
de cada barra “i” da grelha são colocados nos vetores AMLi
L. Para uma barra “i” com carga 
uniformemente distribuída q o vetor AMLi
L fica: 
N.m
N
N.m
N
 
 
12
 L q 
 
 
2
 L q 
 
0
 
12
 L q 
 
 
2
 L q 
 
0
 
2
2
L
i



































AML 
 
onde: q é a carga uniformemente distribuída na barra “i”; 
 L é o comprimento da barra “i”. 
 
O vetor AE é montado a partir dos vetores AMLi , em coordenadas globais. 
Para calcular os vetores AMLi de todas as barras em coordenadas globais deve ser usada a 
seguinte expressão: 
AMLi = Ri
T . AMLi
L 
 
Finalmente, o vetor AE pode ser montado com os valores dos vetores AMLi , em 
coordenadas globais, com os sinais trocados e seguindo a numeração prioritária dos GDL. 
 
 
17.6 Considerações sobre as ações de extremidade de barra 
 
 
As ações de extremidade para uma barra “i” de grelha com nó inicial J e final K, com 
uma orientação qualquer no plano X – Z, são os momentos em torno dos eixos “X” e “Z” e a 
força na direção “Y”, isto é, AMJx, AMJy e AMJz para o nó J e AMKx, AMKy e AMKz 
para o nó K, como indicado na figura abaixo. 
 
 
238 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 201 – Ações de extremidade em uma barra “i” de grelha em coordenadas globais. 
 
 
As ações de extremidade de barra devem ser expressas em coordenadas locais, como 
ilustrado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 202 – Ações de extremidade em uma barra “i” de grelha em coordenadas locais. 
 
 
A equação utilizada no método da rigidez para calcular as seis ações de extremidade 
de uma barra genérica “i” de grelha AMi
L
 ,em coordenadas locais, é a seguinte: 
L
i
L
i
L
i
L
i . DSMAMLAM  
 
onde: AMLi
L é o vetor que contém as reações e os momentos de engaste perfeito da 
barra “i”, em coordenadas locais, apresentada no item 17.5; 
X 
Y 
Z 
AMJy = AMi 2 
 
AMJz = AMi 3 
 
AMJx = AMi 1 
K 
xL 
zL 
i 
J 
yL AMKy = AMi 5 
 
AMKz = AMi 6 
 
AMKx = AMi 4 
X 
Y 
Z 
AMJyL = AMiL2 
 
AMJzL = AMiL3 
L
 
AMJxL = AMiL1 
K 
xL 
zL 
i 
J 
yL AMKy
L = AMiL5 
 
AMKzL = AMiL6 
 
AMKxL = AMiL4 
239 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 SMi
L é a matriz de rigidez de barra em coordenadas locais, apresentada no item 17.1; 
 Di
L é o vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial e final da barra “i”, em 
coordenadas locais. 
 
Os deslocamentos livres obtidos da solução do sistema de equações DSAC .  
resultam em coordenadas globais. Portanto, para determinar Di
L basta fazer: 
Di
L = Ri . Di 
 
onde: Ri é a matriz de rotação da barra “i” da grelha; 
Di é o vetor que contém os deslocamentos nos nós inicial e final da barra “i”, em 
coordenadas globais. 
 
Finalmente, as ações de extremidade de barra AMi
L
 ,em coordenadas locais, podem 
ser obtidas por: 
ii
L
i
L
i
L
i . . DRSMAMLAM  
 
 
17.7 Considerações sobre o traçado dos diagramas de MT, EC e MF 
 
 
Depois de calculadas as ações de extremidade de barra em coordenadas locais, deve-
se observar a convenção de sinais para traçar os diagramas de momento de torção (MT), 
esforço cortante (EC) e momento fletor (MF). Para uma barra “i”, no nó inicial J, 
AMi
L
1 positivo (+) significa momento de torção positivo (+), AMi
L
2 positivo (+) significa 
esforço cortante positivo (+) e AMi
L
3 positivo (+) significa momento fletor negativo (–), 
enquanto que no nó final K, AMi
L
4 positivo (+) significa momento de torção negativo (–), 
AMi
L
5 positivo (+) significa esforço cortante negativo (–) e AMi
L
6 positivo (+) significa 
momento fletor positivo (+). 
 
Deve-se observar que para uma barra “i” AMi
L
1 e AMi
L
4 são momentos de torção. 
Caso não exista nenhum momento de torção aplicado no meio da barra “i”, sempre ocorrerá 
AMi
L
1 = – AMi
L
4. 
240 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
17.8 Exemplo 
 
 
Calcular os deslocamentos, as reações de apoio e os esforços nas barras da grelha 
submetida ao carregamento indicado na figura abaixo, empregando o método da rigidez. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 203 – Grelha do exemplo com dimensões e carregamento. 
 
 
Todas as barras têm seção transversal de 15 x 40 cm e são de concreto armado, com 
módulo de elasticidade longitudinal E = 20 GPa. O módulode elasticidade transversal G 
pode ser calculado por: 
 ) 1 ( 2
 E 
 G

 
 
onde:  é o coeficiente de Poisson. No caso do concreto  = 0,20. Assim: 
GPa 8,3333 
 ) 0,20 1 ( 2
 20 
 G 

 
 
Os nós da grelha são numerados de forma qualquer. A numeração arbitrária dos GDL 
segue a numeração dos nós, priorizando o giro em torno do eixo “X”, depois o deslocamento 
vertical na direção “Y” e em seguida o giro em torno do eixo “Z”, em um mesmo nó, como 
indicado na figura a seguir. 
 
X 
Y 
Z 
4,0 m 
5,0 m 
q = 10 kN/m 
Mx = 5 kN.m 
Mz = 7 kN.m 
241 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A grelha do exemplo possui três nós (NJ = 3), três barras (M = 3), três nós com algum 
tipo de restrição (NRJ = 3), quatro deslocamentos livres (N = 4  D4, D6, D7 e D9) e cinco 
deslocamentos restringidos (NR = 5  D1, D2, D3, D5 e D8), num total de nove GDL 
(N + NR = 4 + 5 = 9). 
 
A origem do sistema de referência global é adotada no nó “1”. As conectividades das 
barras são consideradas da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 204 – Grelha do exemplo na numeração arbitrária dos GDL. 
 
 
Inicialmente são calculados os momentos de inércia à flexão Iz e à torção Ix das 
barras. 
4
33
z m 0,0008 
12
 0,40 0,15 
 
12
 h b 
 I 



 
3
x b . a . β I  para a > b 
Sendo: a / b = 2,667 →  = 0,252. Assim: 
433
x m 0,00034 0,15 . 0,40 . 0,252 b . a . β I  
 
A seguir são determinadas as matrizes de rigidez de barra nos sistemas de referência 
local e global: 
 
 
 
D3 
X 
Y 
D1 
D2 
2 
Z 
1 
3 
D7 
D8 
D9 
Numeração 
arbitrária 
Conectividades: 
 Barra Nó J Nó K 
 1 1 2 
 2 1 3 
 3 2 3 
2 1 
3 
4,0 m 
5,0 m 
D4 
D5 
D6 
242 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para a barra “1”   = 0º 
 
 
 
 
 
Fig. 205 – Barra “1” da grelha do exemplo na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento da barra “1” (L1) vale: 
 )z (z )x x( L 2JK
2
JK  
m 4 )00()04( L 221  
 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência local fica: 



























1z11
2
11z11z11
2
11z1
2
11z1
3
1z11
2
11z1
3
1z11
11x111x1
11z1
2
11z11z11
2
11z1
2
11z1
3
1z11
2
11z1
3
1z11
11x111x1
L
1
L / I E 4L/I E 60L / I E 2L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
L/I E 2L/I E 60L / I E 4L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
 SM 
 
onde: E1 = E = 20 GPa = 20 x 10
9 N/m2 = 2,0 x 1010 N/m2 
 G1 = G = 8,3333 GPa = 8,333 x 10
9 N/m2 = 0,83333 x 1010 N/m2 
 Iz1 = Iz = 0,0008 m
2 
 Ix1 = Ix = 0,00034 m
4 
 L1 = 4,0 m 
 
Assim: 





























000,1600000,6000000,800000,6000
000,600000,3000000,600000,3000
008333,70008333,70
000,800000,6000000,1600000,6000
000,600000,3000000,600000,3000
008333,70008333,70
 10 
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDDDD
4L
1SM 
D3 
D1 
D2 
1 2 1 
4,0 m 
D4 
D5 
X ≡ xL 
Y ≡ yL 
D6 
243 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Os cossenos diretores são: 
1 
4
 0 4 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0 
4
 0 0 
 
L
 z z 
 sen JK 



 
 
Portanto, o ângulo da barra “1” com o eixo “X” global é θ = 0º. 
 
A matriz de rotação para a barra “1” da grelha (R1) fica: 














































100000
010000
001000
000100
000010
000001
 
cos0sen000
010000
sen0cos000
000cos0sen
000010
000sen0cos
 1R 
 
A matriz de rotação R1 é igual à matriz identidade. 
 
A matriz de rigidez da barra “1” no sistema de referência global fica: 
SM1 = R1
T . SM1
L . R1 
 
Resultando, na numeração arbitrária: 



























000,1600000,6000000,800000,6000
000,600000,3000000,600000,3000
008333,70008333,70
000,800000,6000000,1600000,6000
000,600000,3000000,600000,3000
008333,70008333,70
 10 
654321 DDDDDD
4
1SM 
 
Pode-se observar que para a barra “1” a matriz L1SM é igual a 1SM , pois θ = 0º e 
consequentemente R1 é igual à matriz identidade. 
 
 
 
 
244 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para a barra “2”   = + 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 206 – Barra “2” da grelha do exemplo na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento da barra “2” (L2) vale: 
 )z (z )x x( L 2JK
2
JK  
m 5 )05()00( L 221  
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência local fica: 



























2z22
2
22z22z22
2
22z2
2
22z2
3
2z22
2
22z2
3
2z22
22x222x2
22z2
2
22z22z22
2
22z2
2
22z2
3
2z22
2
22z2
3
2z22
22x222x2
L
2
L / I E 4L/I E 60L / I E 2L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
L/I E 2L/I E 60L / I E 4L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
 SM
 
 
onde: E2 = E = 20 GPa = 20 x 10
9 N/m2 = 2,0 x 1010 N/m2 
 G2 = G = 8,333 GPa = 8,333 x 10
9 N/m2 = 0,8333 x 1010 N/m2 
 Iz2 = Iz = 0,0008 m
2 
 Ix2 = Ix = 0,00034 m
4 
 L2 = 5,0 m 
 
D3 
D1 
D2 
2 
Z 
D7 
D8 
D9 
1 
3 
5,0 m 
Y ≡ yL 
X 
 = + 90º 
xL 
245 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Assim: 





























000,1280000,3840000,640000,3840
000,384600,1530000,384600,1530
006667,56006667,56
000,640000,3840000,1280000,3840
000,384600,1530000,384600,1530
006667,56006667,56
 10 
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDDDD
4L
2SM 
 
Os cossenos diretores são: 
0 
4
 0 0 
 
L
 x x
 cos JK 



 
1 
5
 0 5 
 
L
 z z 
 sen JK 



 
 
Portanto, o ângulo da barra “2” com o eixo “X” global é θ = + 90º. 
 
A matriz de rotação para a barra “2” da grelha (R2) fica: 
















































001000
010000
100000
000001
000010
000100
 
cos0sen000
010000
sen0cos000
000cos0sen
000010
000sen0cos
 2R 
 
A matriz de rigidez da barra “2” no sistema de referência global fica: 
SM2 = R2
T . SM2
L . R2 
 
Resultando, na numeração arbitrária: 



























6667,56006667,5600
0600,153000,3840600,153000,384
0000,384000,12800000,384000,640
6667,56006667,5600
0600,153000,3840600,153000,384
0000,384000,6400000,384000,1280
 . 10 
987321 DDDDDD
4
2SM 
 
 
246_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Para a barra “3”   = + 128,66º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 207 – Barra “3” da grelha do exemplo na numeração arbitrária. 
 
 
O comprimento da barra “3” (L3) vale: 
 )z (z )x x( L 2JK
2
JK  
m 6,4031 )05()40( L 223  
 
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência local fica: 



























3z33
2
33z33z33
2
33z3
2
33z3
3
3z33
2
33z3
3
3z33
33x333x3
33z3
2
33z33z33
2
33z3
2
33z3
3
3z33
2
33z3
3
3z33
33x333x3
L
3
L / I E 4L/I E 60L / I E 2L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
L/I E 2L/I E 60L / I E 4L/I E 60
L/I E 6L / I E 120L/I E 6L / I E 120
00L/I G00L/I G
 SM 
 
onde: E3 = E = 20 GPa = 20 x 10
9 N/m2 = 2,0 x 1010 N/m2 
 G3 = G = 8,333 GPa = 8,333 x 10
9 N/m2 = 0,8333 x 1010 N/m2 
 Iz3 = 0,0008 m
2 
 Ix3 = 0,00034 m
4 
 L3 = 6,4031 m 
 
 
 
X 
Y 
Z 
3 
D7 
D8 
D9 
2 
3 
4,0 m 
5,0 m 
D4 
D5 
D6 
xL 
 = + 128,66º 
247 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Assim: 





























512,999146,2340756,499146,2340
146,234135,730146,234135,730
002492,44002492,44
756,499146,2340512,999146,2340
146,234135,730146,234135,730
002492,44002492,44
 10 
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1 DDDDDD
4L
3SM 
 
Os cossenos diretores são: 
0,6247 
 4031,6 
 4 0 
 
L
 x x
 cos JK 



 
0,7809 
 4031,6 
 0 5 
 
L
 z z 
 sen JK 



 
 
Portanto, o ângulo da barra “3” com o eixo “X” global é θ = + 128,66º. 
 
A matriz de rotação para a barra “3” da grelha (R3) fica: 


















































6247,007809,0000
010000
7809,006247,0000
0006247,007809,0
000010
0007809,006247,0
 
cos0sen000
010000
sen0cos000
000cos0sen
000010
000sen0cos
 3R 
 
A matriz de rigidez da barra “3” no sistema de referência global fica: 
SM3 = R3
T . SM3
L . R3 
 
Resultando, na numeração arbitrária: 



























035,417270,146982,465046,168270,146 368,265 
270,146135,73838,182270,146135,73838,182
982,465838,182727,626368,265838,182461,287
046,168270,146368,265035,417270,146982,465
270,146135,73838,182270,146135,73 838,182 
368,265838,182461,287982,465838,182727,626
 . 10 
987654 DDDDDD
4
3SM 
 
248 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
A matriz de rigidez global SJ pode ser obtida, na numeração arbitrária, somando as 
matrizes de rigidez das barras, expandidas à dimensão da matriz de rigidez global 
(SJ = SM1 + SM2 + SM3): 
 









































000000000
000000000
000000000
000000,1600000,6000000,800000,6000
000000,600000,3000000,600000,3000
000008333,70008333,70
000000,800000,6000000,1600000,6000
000000,600000,3000000,600000,3000
 0 0 0 008333,70008333,70
 . 10 
987654321 DDDDDDDDD
4
SJ + 
 








































6667,56000006667,5600
0600,153000,3840000600,153000,384
0000,384000,12800000000,384000,640
000000000
00000 0 000
00000 0 000
6667,56000006667,5600
0600,153000,38400 0 0600,153000,384
 0 000,384000,640 0 0 0 0 000,384000,1280
 . 10 
987654321 DDDDDDDDD
4 + 
 








































035,417270,146982,465046,168270,146368,265000
270,146135,73838,182270,146135,73838,182000
982,465838,182727,626368,265838,182461,287000
046,168270,146368,265035,417270,146982,465000
270,146135,73838,182270,146135,73838,182000
368,265838,182461,287982,465838,182727,626000
000000000
000000000
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 . 10 
987654321 DDDDDDDDD
4 
 
Resultando: 
249 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 












































702,473270,146982,465046,168270,146368,2656667,5600
270,146735,226838,566270,146135,73838,1820600,153000,384
982,465838,566727,1906368,265838,182461,2870000,384000,640
046,168270,146368,265035,2017270,746982,465000,800000,6000
270,146135,73838,182270,746135,373838,182000,600000,3000
368,265838,182461,287982,465838,182560,697008333,70
6667,5600000,800000,6000667,1656000,6000
0600,153000,384000,600000,3000000,600600,453000,384
0000,384000,640008333,700000,384833,1350
 . 10 
987654321 DDDDDDDDD
4
SJ 
 
A matriz SJ deve ser colocada na numeração prioritária, para que possa ser 
particionada em S, SRD, SDR e SRR. A numeração prioritária dos GDL da grelha do 
exemplo está indicada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 208 – Grelha do exemplo na numeração prioritária. 
 
 
Reordenando as linhas e as colunas de SJ para a numeração prioritária, obtém-se: 












































735,226135,730600,153000,384270,146838,566270,146838,182
135,73135,373000,600000,3000270,146838,182270,746 838,182 
0000,600667,1656000,6000667,560000,8000
600,153000,300000,600600,453000,3840000,384000,6000
000,38400000,384833,13500000,6400833,70
270,146270,146667,5600702,473982,465046,168368,265
838,566838,1820000,384000,640982,465727,1906368,265461,287
270,146270,746000,800000,6000046,168368,265035,2017982,465
838,182838,18200833,70368,265461,287982,465560,697
 . 10 
853219764 DDDDDDDDD
4
SJ 
D2 D7 
X 
Y 
D5 
D6 
2 
Z 
1 
3 
D3 
D9 
D4 
Numeração 
prioritária 
Conectividades: 
 Barra Nó J Nó K 
 1 1 2 
 2 1 3 
 3 2 3 
2 
4,0 m 
5,0 m 
D1 
D8 
3 
1 
250 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 







SRRSRD
SDRS
SJ 
 
Assim, as matrizes S e SDR ficam: 















702,473982,465046,168368,265
982,465727,1906368,265461,287
046,168368,265035,2017982,465
368,265461,287982,465560,697
 . 10 4S 
 























270,146838,566270,146838,182
270,146838,182270,746838,182
667,560000,8000
0000,384000,6000
0000,6400833,70
 . 10 4SRD 
 
O vetor de cargas (AC) é obtido da mesma forma que nos pórticos planos, na 
numeraçãoprioritária. O vetor AC é formado pela soma do vetor de ações nodais (forças 
e/ou momentos) diretamente aplicadas nos nós da grelha (A) com o vetor de ações nodais 
equivalentes (AE). 

















 
 
 
 
 
ARLAR
AC
ARLAR
ADLAD
AEAAC 
 
Para a grelha do exemplo, o vetor A na numeração prioritária fica: 































9
8
7
6
5
AR
AR
AR
AR
AR
 7,0000 
0,0000
0,0000
5,0000
 A 
 
251 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
O vetor AE é obtido a partir das reações e momentos de engaste perfeito das barras 
da grelha (vetores AMLi de cada barra), em coordenadas globais e na numeração prioritária. 
As reações e os momentos de engaste perfeito no sistema local de coordenadas das barras 
“1”, “2” e “3” estão ilustrados nas figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 209 – Reações e momentos de engaste perfeito para a barra “1” da grelha do exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 210 – Reações e momentos de engaste perfeito para a barra “2” da grelha do exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 211 – Reações e momentos de engaste perfeito para a barra “3” da grelha do exemplo. 
 
 
Deste modo, os vetores AMLL (em coordenadas locais) para as barras “1”, “2” e “3” 
ficam: 
xL 
2 
q = 10 kN/m 
5,0 m 
qL/2 = 25 kN 
qL2/12 = 20,833 kN.m 
 
 
qL2/12 = 20,833 kN.m 
 
 
qL/2 = 25 kN 
xL 
3 
q = 10 kN/m 
6,403 m 
qL/2 = 32,016 kN 
qL2/12 = 34,167 kN.m 
 
 
qL2/12 = 34,167 kN.m 
 
 
qL/2 = 32,016 kN 
xL 
1 
q = 10 kN/m 
4,0 m 
qL/2 = 20 kN 
qL2/12 = 13,333 kN.m 
 
 
qL2/12 = 13,333 kN.m 
 
 
qL/2 = 20 kN 
252 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
kN.m
kN
kN.m
kN.m
kN
kN.m
 
 333,13 
000,20
0
 333,13 
 000,20 
0
 L1





















AML 
kN.m
kN
kN.m
kN.m
kN
kN.m
 
 833,20 
000,25
0
 833,20 
 000,25 
0
 L2





















AML 
kN.m
kN
kN.m
kN.m
kN
kN.m
 
 167,34 
016,32
0
 167,34 
 016,32 
0
 L3























AML 
 
O vetor de ações nodais equivalentes (AE) é obtido a partir dos valores dos vetores 
AMLi de todas as barras, em coordenadas globais e com o sinal trocado. 
 
Para calcular os vetores AMLi de todas as barras em coordenadas globais deve ser 
usada a seguinte expressão: 
AMLi = Ri
T . AMLi
L 
 
Para a barra 1, o vetor AML1 em coordenadas globais e na numeração prioritária, fica: 
AML1 = R1
T . AML1
L 

































































 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 . 
cos0sen000
010000
sen0cos000
000cos0sen
000010
000sen0cos
 
AML
AML
AML
AML
AML
 AML 
L
1 6
L
1 5
L
1 4
L
1 3
L
1 2
L
1 1
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
 
 
2
8
1
7
6
5
1 6
1 5
1 4
1 3
1 2
1 1
D
D
D
D
D
D
 
 333,13 
000,20
0
 333,13 
 000,20 
0
 
 333,13 
000,20
0
 333,13 
 000,20 
0
 . 
100000
010000
001000
000100
000010
000001
 
AML
AML
AML
AML
AML
 AML 



















































































 
253 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Pode-se observar que para a barra “1” o vetor AML1 (em coordenadas globais) é 
igual a AML1
L (em coordenadas locais), pois θ = 0º e a matriz de rotação R1 é igual à 
matriz identidade. 
 
 
Para a barra 2, o vetor AML2 em coordenadas globais e na numeração prioritária, fica: 
AML2 = R2
T . AML2
L 

































































 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 . 
cos0sen000
010000
sen0cos000
000cos0sen
000010
000sen0cos
 
AML
AML
AML
AML
AML
 AML 
L
2 6
L
2 5
L
2 4
L
2 3
L
2 2
L
2 1
2 6
2 5
2 4
2 3
2 2
2 1
 
 
4
9
3
7
6
5
2 6
2 5
2 4
2 3
2 2
2 1
D
D
D
D
D
D
 
 0 
000,25
 833,20 
 0 
 000,25 
 833,20 
 
 833,20 
000,25
0
 833,20 
 000,25 
0
 . 
001000
010000
100000
000001
000010
000100
 
AML
AML
AML
AML
AML
 AML 



















 
































































 
 
 
Para a barra “3”, o vetor AML3 (em coordenadas globais) fica: 
AML3 = R3
T . AML3
L 

































































 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 AML 
 . 
cos0sen000
010000
sen0cos000
000cos0sen
000010
000sen0cos
 
AML
AML
AML
AML
AML
 AML 
L
3 6
L
3 5
L
3 4
L
3 3
L
3 2
L
3 1
3 6
3 5
3 4
3 3
3 2
3 1
 
 
254 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 







































































 167,34 
016,32
0
 167,34 
 016,32 
0
 . 
6247,007809,0000
010000
7809,006247,0000
0006247,007809,0
000010
0007809,006247,0
 
AML
AML
AML
AML
AML
 AML 
3 6
3 5
3 4
3 3
3 2
3 1
 
4
9
3
2
8
1
3 6
3 5
3 4
3 3
3 2
3 1
D
D
D
D
D
D
 
 344,21 
016,32
680,26
 344,21 
016,32
 680,26 
 
AML
AML
AML
AML
AML
 AML 















































 
 
Para a grelha do exemplo, o vetor AE na numeração prioritária fica: 
9
8
7
6
5
4
3
2
1
D
D
D
D
D
D
D
D
D
 
 016,57 
 016,52 
 13,333 
 45,000 
 20,833 
 21,344 
 513,47 
677,34
680,26
 
 016,32 25,000 
 016,32 20,000 
 0,000 13,333 
 25,000 20,000 
833,20 0,000
344,21 000,0
 680,26 833,20 
 344,21 333,13 
 680,26 0 
 












































































AE 
 
Lembrando que, para montar o vetor AE basta pegar os respectivos valores nos 
vetores AMLi das barras da grelha, em coordenadas globais, na numeração prioritária e com 
os sinais trocados. 
 
Assim, o vetor AC, na numeração prioritária, fica: 
255 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS“A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 










































































































 57,016 AR 
 52,016 AR 
 13,333 AR 
 45,000 AR 
 20,833 AR 
 34414, 
 513,47 
 34,677 
 31,680 
 
 016,57 
 016,52 
 13,333 
 45,000 
 20,833 
 21,344 
 513,47 
677,34
680,26
 
AR
AR
AR
AR
AR
 7,0000 
0,0000
0,0000
5,0000
 
9
8
7
6
5
9
8
7
6
5AEAAC 








 
 
ARLAR
AC
AC 
 
Finalmente, os vetores AC e AR – ARL ficam: 

















 34414, 
 513,47 
 34,677 
 31,680 
 AC 






















 57,016 AR 
 ,01652 AR 
 13,333 AR 
 45,000 AR 
 20,833 AR 
 
9
8
7
6
5
ARLAR 
 
Resolvendo o sistema de equações DSAC . 
____
 : 











































 D 
 D 
 D 
 D 
 . 
701,473982,465046,168368,265
982,465727,1906368,265461,287
046,168368,265035,2017982,465
368,265461,287982,465560,697
 . 10 
 34414, 
 513,47 
 34,677 
 31,680 
4
3
2
1
4
 
 
obtêm-se os deslocamentos livres: 
rad
rad
rad
rad
 
 0,46773 
 0,24900 
 08741,0 
 67631,0 
 . 10 5
















 D na numeração prioritária 
256 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
As reações de apoio são calculadas por AR = ARL + SRD . D: 




















































 




















 0,46773 
 0,24900 
 08741,0 
 67631,0 
 . 10 . 
270,146838,566270,146838,182
270,146838,182270,746838,182
667,560000,8000
0000,384000,6000
0000,6400833,70
 . 10 
 57,016 
 ,01625 
 13,333 
 45,000 
 20,833 
 
 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
 AR 
54
9
8
7
6
5
 
 
resultando: 
kN
kN
kN.m
kN
kN.m
 
 49,703 
 44,522 
 22,977 
 59,806 
 ,56141 
 















 
AR na numeração prioritária 
 
Os vetores D e AR na numeração arbitrária ficam: 
rad
rad
rad
rad
 
 0,46773 
0
 0,24900 
 08741,0 
0
 67631,0 
0
0
0
 . 10 5
































 D 
kN
kN
kN.m
kN
kN.m
 
0
 49,703 
0
0
 44,522 
0
 22,977 
 59,806 
 561,41 
 





























 
AR 
 
As ações de extremidade de barra devem ser expressas em coordenadas locais. Para 
uma barra genérica “i” as ações de extremidade são dadas por: 
ii
L
i
L
i
L
i . . DRSMAMLAM  
 
Para a barra “1” tem-se: 
11
L
1
L
1
L
1 . . DRSMAMLAM  




























































































 0,08741 
0
 0,67631 
0
0
 0 
.5.10
100000
010000
001000
000100
000010
000001
.
000,1600000,6000000,800000,6000
000,600000,3000000,600000,3000
008333,70008333,70
000,800000,6000000,1600000,6000
000,600000,3000000,600000,3000
D
0
D
0
D
8333,70
D
0
D
0
D
8333,70
.410 
 13,333 
20,000
0
 13,333 
 20,000 
0
 L
1
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
257 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
kN.m
kN
kN.m
kN.m
kN
kN.m
 
 0,652 
 14,756 
 4,791 
 20,326 
 25,244 
 ,7914 
 L1



















 
AM 
 
Para a barra “2” tem-se: 
22
L
2
L
2
L
2 . . DRSMAMLAM  
































































































 0,46773 
0
 0,24900 
0
0
0
.5.10
001000
010000
100000
000001
000010
000100
.
000,1280000,3840000,640000,3840
000,384600,1530000,384600,1530
006667,56006667,56
000,640000,3840000,1280000,3840
000,384600,1530000,384600,1530
D
0
D
0
D
6667,56
D
0
D
0
D
6667,56
.410 
 833,20 
000,25
0
 833,20 
 000,25 
0
 L
2
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
 
kN.m
kN
kN.m
kN.m
kN
kN.m
 
 11,039 
 15,438 
 ,6512 
 36,770 
 34,562 
 2,651 
 L2





















AM 
 
Para a barra “3” tem-se: 
33
L
3
L
3
L
3 . . DRSMAMLAM  


































































































 
 0,46773 
0
 0,24900 
 0,08741 
0
 0,67631 
..10
6247,007809,0000
010000
7809,006247,0000
0006247,007809,0
000010
0007809,006247,0
.
512,999146,2340756,499146,2340
146,234135,730146,234135,730
002492,44002492,44
756,499146,2340512,999146,2340
146,234135,730146,234135,730
002492,44002492,44
.10 
 34,167 
 32,016 
0
 34,167 
 32,016 
0
 5
DDDDDD
4L
3
L
6
L
5
L
4
L
3
L
2
L
1
AM 
 
kN.m
kN
kN.m
kN.m
kN
kN.m
 
 ,64914 
 34,265 
 ,6400 
 0,243 
 29,766 
 0,640 
 L3






















AM 
 
258 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Deve-se observar que para uma barra genérica “i” AMi
L
1 e AMi
L
4 são momentos de 
torção. Caso não exista nenhum momento de torção aplicado no meio da barra “i”, sempre 
ocorrerá AMi
L
1 = – AMi
L
4. As ações de extremidade de barra AMi
L
2 e AMi
L
5 são esforços 
cortantes, enquanto que AMi
L
3 e AMi
L
6 são momentos fletores, como ilustrado na figura 
abaixo para a grelha do exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 212 – Esforços nas barras da grelha do exemplo. 
 
 
Verificações: 
 
 kN.m 561,41 AR ) 36,770 4,791 ( ) AM AM ( 53
L
21
L
1   OK! 
 kN 59,806 AR 34,562 25,244 AM AM 62
L
22
L
1   OK! 
 kN.m 22,977 AR 2,651 20,326 AM AM 71
L
23
L
1   OK! 
 kN 44,522 AR 29,766 14,756 AM AM 82
L
35
L
1   OK! 
 kN 49,703 AR 34,265 15,438 AM AM 95
L
35
L
2   OK! 
2 
1 
3 
2 
3 
1 
1 
2 
3 
AM3L6 = 
- 14,649 kN.m 
AM3L4 = 
0,640 kN.m 
AM3L5 = 
34,265 kN 
AM3L2 = 
29,766 kN 
AM3L3 = 
0,243 kN.m 
AM3L1 = 
- 0,640 kN.m 
AM2L4 = 
- 2,651 kN.m 
AM2L6 = 
11,039 kN.m 
AM2L5 = 
15,438 kN 
AM2L2 = 
34,562 kN 
AM2L3 = 
36,770 kN.m 
AM2L1 = 
2,651 kN.m 
AM1L1 = 
- 4,791 kN.m 
AM1L3 = 
20,326 kN.m 
AM1L2 = 
25,244 kN 
AM1L4 = 
4,791 kN.m 
AM1L6 = 
0,652 kN.m 
AM1L5 = 
14,756 kN 
259 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
Lembrando que as ações de extremidade de barra são as ações (ou reações) situadas 
nas seções das extremidades das barras, de forma que, construindo um diagrama de corpo 
livre da barra, estas ações, junto com as cargas externas aplicadas no vão da barra, mantém a 
barra em equilíbrio. 
 
260 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
17.9 Exemplo 
 
 
Resolver a mesma grelha do exemplo anterior, substituindo o engaste nó “1” por um 
apoio, como ilustrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 213 – Grelha do exemplo 17.9 com dimensões e carregamento. 
 
 
Todas as barras têm seção transversal de 15 x 40 cm e são de concreto armado, com 
módulo de elasticidade longitudinal E = 20 GPa e módulo de elasticidade transversal 
G = 8,3333 GPa. 
 
Os nós da grelha são numerados da mesma maneira que no exemplo anterior. 
A numeração arbitrária dos GDL segue a numeração dos nós, priorizando o giro em torno do 
eixo “X”, depois o deslocamento vertical na direção “Y” e em seguida o giro em torno do 
eixo “Z”, em um mesmo nó, como indicado na figura a seguir. 
 
A grelha do exemplo possui três nós (NJ = 3), três barras (M = 3), três nós com algum 
tipo de restrição (NRJ = 3), seis deslocamentos livres (N = 6  D1, D3, D4, D6, D7 e D9) e três 
deslocamentos restringidos (NR = 3  D2, D5 e D8), num total de nove GDL 
(N + NR = 6 + 3 = 9). 
 
A origem do sistema de referência global é adotada no nó “1”. As conectividades das 
barras são consideradas da seguinte forma: 
X 
Y 
Z 
4,0 m 
5,0 m 
q = 10 kN/m 
Mx = 5 kN.m 
Mz = 7 kN.m 
261 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 214 – Grelha do exemplo 17.9 na numeração arbitrária dos GDL. 
 
 
Os momentos de inércia à flexão Iz e à torção Ix das barras são: 
4
33
z m 0,0008 
12
 0,40 0,15 
 
12
 h b 
 I 



 
433
x m 0,00034 0,15 . 0,40 . 0,252 b . a . β I  
 
D3 
X 
Y 
D1 
D2 
2 
Z 
1 
3 
D7 
D8 
D9 
Numeração 
arbitrária 
Conectividades: 
 Barra Nó J Nó K 
 1 1 2 
 2 1 3 
 3 2 3 
2 1 
3 
4,0 m 
5,0 m 
D4 
D5 
D6 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXO A 
 
Tabela A.1 - Cálculo das Integrais de momentos:  ds M M I/ Ic (comprimento equivalente I/ I . ' c  ) 
 
 
 
' M M  ' M M 
2
1
B 
 
' )M M( M 
2
1
BA 
 
' M M 
3
2
m 
 
' M M 
3
2
B 
 
' M M 
3
1
B 
 
' M M 
2
1

 
 
' M M 
2
1
B 
 
' M M 
3
1
BB 
 
' )M 2 M( M 
6
1
BAB 
 
' M M 
3
1
mB 
 
' M M 
12
5
BB 
 
' M M 
4
1
BB 
 
' M M α) (1 
6
1
B 
 
 
' M M 
2
1
A 
 
' M M 
6
1
BA 
 
' )M M (2 M 
6
1
BAA 
 
' M M 
3
1
mA 
 
' M M 
4
1
BA 
 
' M M 
12
1
BA 
 
' M M β) (1 
6
1
A 
 
 
' M )M (M 
2
1
BA 
 
' M )M 2 (M 
6
1
BBA 
 
' )]M 2 (M M
 )M M (2 M[ 
6
1
BAB
BAA

 
' M )M (M 
3
1
mBA 
 
' M )M 5
 M (3 
12
1
BB
A


 
' M )M 3
 (M 
12
1
BB
A

 
' M α)] (1 M
 β) (1 [M 
6
1
B
A

 
 
' M M 
3
2
m 
 
' M M 
3
1
Bm 
 
' )M M( M 
3
1
BAm 
 
' M M 
15
8
mm 
 
' M M 
15
7
Bm 
 
' M M 
5
1
Bm 
 
' M M β) α (1 
3
1
m 
 
 
' M M 
3
2
B 
 
' M M 
12
5
BB 
 
' )M 5 M (3 M 
12
1
BAB 
 
' M M 
15
7
mB 
 
' M M 
12
8
BB 
 
' M M 
10
3
BB 
 
' M M )β
 β (5 
12
1
B
2 

 
 
' M M 
3
2
A 
 
' M M 
4
1
BA 
 
' )M 3 M (5 M 
12
1
BAA 
 
' M M 
15
7
mA 
 
' M M 
30
11
BA 
 
' M M 
15
2
BA 
 
' M M )α
 α (5 
12
1
A
2 

 
 
' M M 
3
1
B 
 
' M M 
4
1
BB 
 
' )M 3 M( M 
12
1
BAB 
 
' M M 
5
1
mB 
 
' M M 
10
3
BB 
 
' M M 
5
1
BB 
 
' M M )α
 α (1 
12
1
B
2 

 
 
' M M 
3
1
A 
 
' M M 
14
1
BA 
 
' )M M (3 M 
12
1
BAA 
 
' M M 
5
1
mA 
 
' M M 
15
2
BA 
 
' M M 
30
1
BA 
 
' M M )β
 β (1 
12
1
A
2 

 
 
' M M 
2
1

 
' M M α) (1 
6
1
B 
 
' ]M α) (1
 M β) [(1 M 
6
1
B
A

 
' M M β) α (1 
3
1
m 
 
' M M )β
 β (5 
12
1
B
2 

 
' M M )α
 α (1 
12
1
B
2 

 
' M M 
3
1

 
OBS.: 
 
 a 
 α

 
 
 b 
 

 b a 
a b 
M 
a b Parábola 2º grau 
M 
Parábola 2º grau 
MB 
MA 
Parábola 2º grau 
Mm 
Parábola 2º grau 
MA 
MB 
Parábola 2º grau 
Parábola 2º grau 
MA 
MB 
Parábola 2º grau 
MB 
MA 
MA 
MB 
Parábola 2º grau 
Mm 
MB M 
M 
M 
MB 
 
Tabela A.2 - Forças de engastamento produzidas por cargas no vão (barra biengastada). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ba
2
L / a)b (2 a M BM
2
L / b)a (2 b M AM
3
L / b a M 6BR AR




L/2 b a
4 / M BM
4 / M AM
2L / 3MBR AR




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d / )T T ( α I EM M 21BA  
 
 
 
 
 
T αA ER R BA  
 
 
 
 
 
 
 
20 / 
2
L w BM 30 / 
2
L w 
A
M
20 / L w7 BR 20 / L w3 A
R


 
 
 
 
 
 
 
 
2 / PBR
2 / P
A
R


 
8L/ P BM
8L/ P
A
M


 
 
12 / L wM M
2 / L wRR
2
BA
BA

 
 L / a T T
L / b T T
B
A


 
 
 L / a P R
L / b P R
B
A

 
23
B
2222
A
33
B
3323
A
L 12 / a) 3L (4 a wM
L 12 / )a 3L a 8L (6 a wM
L 2 / a)L (2 a wR
L 2 / )aL a 2L (2 a wR




 
32
B
32
A
L / b) 3(a a PR
L / b)a (3 b PR

 
22
B
22
A
L / b a P M
L / b a PM

 
Diferença de temperatura 
B A 
T2 
T1 
Aumento uniforme de temperatura 
B A 
T RA RB 
B A 
a 
P 
b 
RA RB 
B A 
a 
w 
b 
B A w 
L 
B A 
a b 
M 
B A 
a 
P 
b 
B A 
L 
RA RB 
MB MA 
B A 
a 
T 
b 
TA TB 
w B A 
L 
 B A 
L/2 
P 
L/2 
 
 
Tabela A.3 - Forças de engastamento produzidas por deslocamentos na extremidade de barras 
biengastadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L / A ERR BA  
2
BA
3
BA
/LΔ I E6 MM
L / Δ I E 12RR 


 
 /LIE4M
/LIE2M
 /LIE6R R
B
A
2
BA



 
 /LJGTT BA  
B A 
L 
RA RB 
B 
A 
L 

RA RB 
MA 
MB 
B A 
L 
TA TB 

B A 
L 
RA RB 
MB 
MA 
2
/LΔ I E6 BMA
M
3
L / Δ I E 12BRA
R


 
A 
B 
L 

 RB RA 
 MB 
MA