Apostila Analise Matricial de Estruturas A - 2o sem 2021

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
Departamento de Estruturas e Construção Civil 
 
 
 
 
 
ANÁLISE MATRICIAL 
DE ESTRUTURAS “A” 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
 
 
 
Santa Maria, março de 2016 
4 
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ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
1 INTRODUÇÃO 
 
 
O objetivo da análise matricial de estruturas é automatizar os procedimentos dos 
Métodos da Flexibilidade e da Rigidez para a análise de estruturas reticuladas. 
Estruturas reticuladas são aquelas compostas por elementos de barra, como por 
exemplo: vigas, treliças planas, treliças espaciais, pórticos planos, pórticos espaciais e grelhas. 
O termo “análise” significa: determinar os valores dos deslocamentos (translações e 
rotações), das reações de apoio, dos esforços internos nas barras (EN, EC, MF e MT) e das 
tensões (normais e de cisalhamento). 
A análise matricial auxilia na fase de projeto correspondente à análise estrutural, 
fornecendo os dados para a fase seguinte de projeto: o dimensionamento das estruturas, as 
quais podem ser de aço, concreto, madeira ou materiais não convencionais (fibra de vidro, 
fibras vegetais, plásticos, entre outros). 
Segundo a ABNT NBR 6118:2003 (revisada em 2007) “Projeto de Estruturas de 
Concreto – Procedimentos” (antiga NB-1), a análise estrutural é definida como: 
 
... 
14 Análise estrutural 
... 
14.2 Princípios gerais da análise estrutural 
14.2.1 Objetivo da análise estrutural 
O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, 
com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. 
A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, 
tensões, deformações e deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. 
14.2.2 Premissas necessárias à análise estrutural 
A análise deve ser feita com um modelo estrutural realista, que permita representar 
de maneira clara todos os caminhos percorridos pelas ações até os apoios da 
estrutura e que permita também representar a resposta não linear dos materiais. 
Em casos mais complexos, a interação solo-estrutura deve ser contemplada pelo 
modelo. 
No caso de aplicação da protensão, deve-se garantir deslocabilidade adequada à sua 
realização efetiva, minimizando a transmissão não desejada para elementos 
adjacentes. 
Análises locais complementares devem ser efetuadas nos casos em que a hipótese da 
seção plana não se aplica, como por exemplo, em regiões de apoios, regiões de 
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introdução de cargas concentradas, uniões de peças estruturais, zonas de ancoragem, 
regiões de mudança de seção. 
Análises locais complementares também devem ser efetuadas quando a não 
linearidade introduzida pela fissuração for importante, como por exemplo, na 
avaliação das flechas. 
14.3 Hipóteses básicas 
14.3.1 Condições de equilíbrio 
As condições de equilíbrio devem ser necessariamente respeitadas. 
As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas com base na geometria 
indeformada da estrutura (teoria de 1ª ordem), exceto nos casos em que os 
deslocamentos alterem de maneira significativa os esforços internos (teoria de 2ª 
ordem). 
14.3.2 Condições de compatibilidade 
Quando as condições de compatibilidade não forem verificadas no estado limite 
considerado, devem ser adotadas medidas que garantam ductilidade adequada da 
estrutura no estado limite último, resguardado um desempenho adequado nos 
estados limites de serviço. 
14.4 Elementos estruturais 
As estruturas podem ser idealizadas como a composição de elementos estruturais 
básicos, classificados de acordo com a sua forma geométrica e a sua função 
estrutural, conforme itens 14.4.1 e 14.4.2. 
14.4.1 Elementos lineares 
São aqueles em que o comprimento longitudinal supera em pelo menos três vezes a 
maior dimensão da seção transversal, sendo também denominados barras. 
De acordo com a sua função estrutural, recebem as designações de 14.4.1.1 a 
14.4.1.4. 
14.4.1.1 Vigas 
Elementos lineares em que a flexão é preponderante. 
14.4.1.2 Pilares 
Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças 
normais de compressão são preponderantes. 
14.4.1.3 Tirantes 
Elementos lineares de eixo reto em que as forças normais de tração são 
preponderantes. 
14.4.1.4 Arcos 
Elementos lineares curvos, em que as forças normais de compressão são 
preponderantes, agindo ou não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, 
cujas ações estão contidas em seu plano. 
... 
 
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1.1 Análise matricial entre os métodos para análise estrutural 
 
 
O esquema abaixo apresenta a posição em que a Análise Matricial de estruturas 
reticuladas está em relação aos diversos métodos utilizados para a análise estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1 – Esquema da posição da Análise Matricial de estruturas reticuladas em relação aos métodos de Análise 
Estrutural. 
 
 
1.2 Método dos deslocamentos x método das forças 
 
 
Este texto faz referência aos métodos dos deslocamentos e das forças, os quais 
derivam do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) e têm como sinônimos os seguintes 
termos: 
 Método da Rigidez = Método dos Deslocamentos: deslocamentos (lineares ou 
angulares) são as incógnitas; 
 Método da Flexibilidade = Método das Forças: forças ou momentos são as 
incógnitas. 
Análise Estrutural 
Métodos Analíticos Métodos Numéricos 
Solução de Equações 
Diferenciais 
Método das 
Diferenças Finitas 
Métodos de 
Integração 
Método dos 
Deslocamentos 
Método das Forças 
Métodos Baseados em 
Discretização 
Análise Matricial de 
Estruturas Reticuladas 
Elementos Finitos Elementos de Contorno 
Métodos Experimentais 
 
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2 ESTRUTURAS RETICULADAS 
 
 
Estruturas reticuladas são estruturas compostas por barras, as quais são representadas 
pelo seu eixo longitudinal (axial) e estão interconectadas através de nós. 
A teoria aplicada para estruturas reticuladas é válida para estruturas formadas por 
elementos que possam ser assemelhados a barras, ou seja, uma de suas dimensões é bem 
maior que as outras duas dimensões. No entanto, isto não impede que estruturas que não 
atendam a este critério, como por exemplo, as lajes, possam ser vistas como estruturas 
reticuladas, uma vez que o comportamento estrutural (forma de se deformar, transmitir e 
distribuir esforços) de uma laje pode ser aproximado através de uma série de barras 
perpendiculares, formando uma grelha. Esta análise é denominada “analogia de grelha”. 
As estruturas reais podem ser classificadas em diversos tipos de estruturas reticuladas. 
Tal classificação está baseada principalmente na geometria da estrutura, na forma como as 
cargas externas são aplicadas, na forma como as barras se interconectame nos tipos de 
vinculação, determinando assim como os esforços são transmitidos entre estas barras até os 
vínculos. Os modelos de viga, treliça, pórtico e grelha são concebidos para representar com 
relativa precisão o comportamento das estruturas reais. 
 
 
2.1 Ações em estruturas 
 
 
Ação em uma estrutura é o agente externo que provoca reações de apoio, esforços 
internos, deformações e deslocamentos na estrutura. A ação pode ser uma força pontual (P), 
uma carga uniformemente distribuída (q), um momento aplicado (M), as forças devidas ao 
vento, um recalque diferencial da fundação (), uma variação térmica (T), entre outras. 
A forma de simbolizar algumas das ações aplicadas em estruturas é mostrada na Figura 2. 
 
 
 
 
Fig. 2 – Ações aplicadas em estruturas. 
 
 T 
P q 
M 
 
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OBS.: 
A palavra “carga” é utilizada para designar as ações relacionadas com a gravidade. 
Portanto, não é correta a expressão “carga de vento”. 
 
 
2.2 Deformações 
 
 
A deformação é o resultado da aplicação de uma ação na estrutura. Pode ser uma 
deformação específica longitudinal () ou uma deformação de cisalhamento, também 
chamada de distorção específica (), como apresentado na Figura 3. As deformações variam 
em cada ponto da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3 – Deformação longitudinal () e de cisalhamento (). 
 
 
2.3 Deslocamentos 
 
 
O deslocamento é o resultado visível e de fácil medição das deformações sofridas pela 
estrutura. Pode ser um deslocamento linear (translação) ou um deslocamento angular (rotação 
de uma seção). 
Os deslocamentos são geralmente referenciados a um sistema de coordenadas global, 
como o sistema de eixos cartesianos (X-Y) mostrado na Figura 4. 
 
 
 
 
 
 = G  
 
 
 
 = L/L 
L L 
P 
 = E  
P 
 
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Fig. 4 – Exemplos de deslocamentos e rotações. 
 
 
2.4 Vinculações externas 
 
 
Os vínculos são elementos que representam as formas pelas quais as estruturas 
reticuladas são fixadas ou apoiadas, de forma a impedir determinados deslocamentos 
(translações e/ou rotações). São através das vinculações externas que os esforços oriundos da 
aplicação das ações são transmitidos para o solo. 
Existem diferentes tipos de vinculação que impedem determinados deslocamentos. Por 
exemplo, as vinculações de 1º gênero, impedem deslocamentos lineares (translações) em uma 
direção, vinculações de 2º gênero impedem deslocamentos lineares (translações) em duas 
direções perpendiculares, engastes impedem todos os deslocamentos (translações e rotações), 
além de uma gama de tipos de apoios para estruturas reticuladas espaciais. 
Podem existir também vinculações que impeçam apenas em parte o deslocamento 
como, por exemplo, fundações elásticas, as quais permitem algum recalque. Tais fundações 
são representadas por molas com rigidez equivalente ao solo. Nas Figuras 5 e 6 são ilustrados 
os diversos tipos de vinculação para estruturas planas e espaciais. 
Y 
P1 
P2 
X 
d 
P1 

P2 
f 
 
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Fig. 5 – Tipos de vinculação (Introdução à Mecânica Estrutural, J. R. Masuero et al.). 
 
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Fig. 6 – Tipos de vinculação (Introdução à Mecânica Estrutural, J. R. Masuero et al.). 
 
 
 
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2.5 Sistemas de coordenadas (local e global) 
 
 
O sistema de coordenadas (ou de referência) global é o sistema de coordenadas 
utilizado como referencial para a determinação da geometria da estrutura, geralmente 
arbitrado segundo critérios que tornem fácil a definição das coordenadas dos nós da estrutura. 
O sistema de coordenadas local é bastante útil para a definição das propriedades 
geométricas das barras (dimensões, áreas, momentos de inércia) e dos esforços internos, 
também chamados de esforços solicitantes. Estes últimos são necessários para a etapa 
seguinte à análise estrutural que é o “dimensionamento” da barra. 
O sistema de coordenadas local é definido de forma que o eixo “x” local tenha a 
direção do eixo longitudinal da barra e que os outros dois eixos, “y” e “z”, estejam na direção 
dos eixos principais de inércia da seção transversal da barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 7 – Sistema de coordenadas global da estrutura e local da barra. 
 
 
2.6 Esforços internos (esforços solicitantes) 
 
 
Os esforços internos, também chamados de esforços solicitantes, são as forças e/ou 
momentos resultantes em uma dada seção de uma barra carregada, a fim de manter o seu 
equilíbrio. São referenciados ao sistema de coordenadas local da barra. 
Sistema de coordenadas 
global da estrutura 
Eixos principais de 
inércia da seção 
transversal da barra 
x 
y 
z X 
Z 
Y Sistema de coordenadas 
local da barra 
Eixo longitudinal 
da barra 
 
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Para uma barra genérica, existe a possibilidade da ocorrência dos seguintes esforços 
(referenciados aos seus eixos locais): N (esforço normal na direção do eixo local “x”), 
Mx ou T (momento de torção em torno do eixo local “x”), My (momento fletor em torno do 
eixo local “y”), Mz (momento fletor em torno do eixo local “z”), Vy (esforço cortante na 
direção do eixo local “y”) e Vz (esforço cortante na direção do eixo local “z”). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 8 – Esforços internos no sistema de coordenadas local da barra. 
 
 
2.7 Ações pontuais na estrutura 
 
 
As ações pontuais, as quais atuam em pontos localizados na estrutura, podem ser 
forças ou momentos em cada um dos eixos coordenados (Px, Py, Pz, Mx, My e Mz). A direção e 
o sentido de uma força são dados pela direção e sentido do vetor que identifica esta força, 
enquanto que os momentos são identificados por vetores de seta dupla (regra da mão direita), 
como ilustrado na Figura 9. Estas ações são normalmente referenciadas aos eixos globais da 
estrutura. 
 
 
 
 
 
N 
T = Mx 
Vz 
Vy 
My 
Mz 
Sistema de coordenadas 
local da barra 
x 
y 
z 
Sistema de coordenadas 
global da estrutura 
X 
Z 
Y 
 
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Fig. 9 – Ações pontuais na estrutura no sistema de coordenadas global. 
 
 
2.8 Deslocamentos dos nós da estrutura 
 
 
Os deslocamentos possíveis nos nós de uma estrutura espacial podem ser: 
deslocamentos lineares (translações) na direção dos eixos globais e deslocamentos angulares 
(rotações) em torno de eixos paralelos aos eixos globais. Os deslocamentos são sempre 
referenciados aos eixos globais da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 10 – Deslocamentos possíveis de um nó de uma estrutura espacial no sistema de coordenadas global. 
X 
Py 
Pz 
Y 
Z 
My 
Mx 
Mz 
Px 
X 
uy 
uz 
Y 
Z 
y 
x 
z 
ux 
15 
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3 TIPOS DE ESTRUTURAS RETICULADAS 
 
 
Dependendo da geometria da estrutura, da disposição das barras e de sua interconexão, 
do tipo e disposição do carregamento e da vinculação, as estruturas reticuladas podem ser 
divididas em: vigas, treliças planas, treliças espaciais, pórticos planos, pórticos espaciais e 
grelhas. 
 
 
3.1 Vigas 
 
 
Vigas são barras colineares, definidas em um plano vertical, o qual contém um dos 
eixos principais de inércia da seção transversal das barras. As forças, os momentos e as cargas 
distribuídas são aplicados neste plano. Os momentos têm seus vetores perpendiculares a este 
plano (regra da mão direita). Em vigas, por definição, não existem forças horizontais. 
 
 
 
 
 
Fig. 11 – Viga contínua. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de uma viga: Vy e Mz. 
Ações possíveis em uma viga: qy, Py e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma viga: uy e z. 
 
 
3.2 Treliças planas 
 
 
Treliças planas são estruturas compostas por barras contidas num plano vertical e 
conectadas por nós rotulados (rótulas). Para que sejam consideradas como treliças, as cargas 
X 
Z 
Y 
Mz 
Py 
qy Py 
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devem ser aplicadas exclusivamente nos nós da estrutura, deste modo não surgem momentos 
fletores. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 12 – Treliça plana. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de uma treliça plana: N. 
Ações possíveis em uma treliça plana: Px e Py. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma treliça plana: ux e uy. 
 
 
3.3 Treliças espaciais 
 
 
Nas treliças espaciais as barras têm direção qualquer no espaço. Da mesma forma que 
nas treliças planas, não devem existir cargas aplicadas no vão das barras, apenas nos nós, os 
quais são rotulados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 13 – Treliça espacial. 
 
 
X 
Z 
Y 
Py Py Py Py Py Py Py 
Px 
X 
Z 
Y 
Py Py 
Pz 
Px 
17 
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Esforços possíveis nas barras de uma treliça espacial: N. 
Ações possíveis em uma treliça espacial: Px, Py e Pz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma treliça espacial: ux, uy e uz. 
 
 
3.4 Pórticos planos 
 
 
Os pórticos planos são formados por um conjunto de barras contidas num plano 
vertical e conectadas por nós rígidos e/ou por rótulas. Todas as forças que atuam no pórtico 
plano estão contidas no seu plano e os momentos têm seus vetores perpendiculares a este 
plano. Para este tipo de estrutura reticulada as cargas (concentradas e/ou distribuídas) podem 
ser aplicadas no vão das barras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14 – Pórtico plano. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de um pórtico plano: N, Vy e Mz. 
Ações possíveis em um pórtico plano: qx, qy, Px, Py e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de um pórtico plano: ux, uy e z. 
 
 
 
 
 
X 
Z 
Y 
Px 
Mz 
Py 
qy 
18 
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3.5 Pórticos espaciais 
 
 
Os pórticos espaciais possuem a mesma definição que os pórticos planos, só que as 
barras podem ter uma orientação qualquer no espaço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 15 – Pórtico espacial. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de um pórtico espacial: N, Vy, Vz, Mx, My e Mz. 
Ações possíveis em um pórtico espacial: qx, qy, qz, Px, Py, Pz, Mx, My e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de um pórtico espacial: ux, uy, uz, x, y e z. 
 
 
3.6 Grelhas 
 
 
Grelhas são estruturas compostas por barras que estão contidas em um plano 
horizontal. Diferente dos pórticos planos, as cargas aplicadas nas grelhas devem estar fora 
deste plano e os vetores dos momentos devem estar no plano da estrutura. As cargas podem 
ser aplicadas no vão das barras. 
 
X 
Z 
Y 
qy 
Py 
qy 
qy 
qx 
Py 
Py 
Px 
Pz 
19 
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Fig. 16 – Grelha. 
 
 
Esforços possíveis nas barras de uma grelha: Vy, Mx e Mz. 
Ações possíveis em uma grelha: qy, Py, Mx e Mz. 
Deslocamentos possíveis nos nós de uma grelha: uy, x e z. 
X 
Z 
Y 
qy 
Py 
Py 
Mx 
Mz 
20 
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4 AÇÕES E DESLOCAMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 17 – Convenção para os índices dos deslocamentos. 
 
 
- D1 é um deslocamento linear (translação) correspondente à (no mesmo ponto e na 
mesma direção da) ação A1, causado por A1 e A2. 
- D2 é um deslocamento angular (giro) correspondente à (no mesmo ponto e na 
mesma direção da) ação A2, causado por A1 e A2. 
- D3 é um deslocamento linear (translação) no ponto B (na direção vertical do ponto B 
não há ação correspondente) causado por A1 e A2. 
 
OBS.: 
O deslocamento angular de um ponto (rotação ou giro de uma seção): é o ângulo entre 
a tangente à linha elástica (LE) no ponto (seção) e a horizontal. 
A Correspondência é ÚNICA; a causa pode ser múltipla. 
 
 
4.1 Princípio da Superposição dos Efeitos 
 
 
 
- D11 é um deslocamento correspondente à ação A1, causado por A1 (mantendo as 
demais ações deste estado nulas); 
- D21 é um deslocamento correspondente à ação A2, causada por A1 (mantendo as 
demais ações deste estado nulas). 
 
Correspondência 
Causa 
Tangente à LE no ponto D 
Linha elástica (LE) A1 
A2 
D3 
D1 
D2 
A 
B C 
D 
21 
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Generalizando: 
- Dij é um deslocamentocorrespondente à ação Ai, quando a estrutura é submetida a 
uma ação Aj. 
 
Aplicando o princípio da superposição dos efeitos (PSE), tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 18 – Princípio da superposição dos efeitos em uma viga isostática. 
 
D1 = D11 + D12 + D13 
D2 = D21 + D22 + D23 
D3 = D31 + D32 + D33 
 
 
4.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais 
 
 
Se um ponto material m está em equilíbrio, isto é, a resultante das forças é nula, o 
trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças reais iP

 que atuam sobre o ponto m 
D3 
A2 
= 
A3 
D2 D1 
A1 
D32 
D31 
D11 
D21 
A1 
+ 
A2 
D12 
D22 
+ 
 
D13 
A3 D23 
D33 
22 
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quando ele sofre um deslocamento virtual 

 vale zero 0RW 

 (Princípio de 
D’Alembert), onde R

 representa a resultante vetorial do conjunto de forças reais, que neste 
caso vale 0R 

. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 19 – Trabalho virtual de um sistema de forças em equilíbrio. 
 
 
Como os corpos rígidos e elásticos são um somatório de infinitos pontos materiais, a 
extensão do princípio de D’Alembert, conhecida como Teorema dos Trabalhos Virtuais, fica: 
 
 Para corpos rígidos: Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos 
trabalhos virtuais de todas as forças reais externas que sobre ele atuam é nula, para 
qualquer deslocamento virtual aplicado que seja compatível com seus vínculos 
( 0Wext  ); 
 Para corpos elásticos: Para um corpo elástico em equilíbrio, o trabalho virtual total 
das forças reais externas que atuam sobre o corpo é igual ao trabalho virtual das forças 
reais internas (esforços solicitantes) presentes no corpo, para qualquer conjunto de 
deslocamentos virtuais aplicados e que seja compatível com seus vínculos. 
 
0WW .EQUILIBintext  
EQUIV.
int
EQUILIB.
int WW  
EQUIV.
intext WW  
(4.1) 
(4.2) 
(4.3) 
 
ou: 
 
1P

 
1P

 
nP

 
3P

 
2P

 
m
 
nP

 
3P

 
2P

 
m
 


 
23 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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  

 ds 
A G
Q 
Q ds 
A E
 N 
N ds 
J G
 T 
T ds 
I E
 M 
M M P ki
k
i
t
k
i
k
ikikkik (4.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 20 – Deformação causada pelo esforço axial. 
 
 
A 
N
 
A 
P
 σ
ε E σ


 
A E 
N
 
L
 ΔL 
 ε ε E 
A 
N
  (4.5) 
 
 
 
 
4.2.1 Teorema de Betti 
 
 
“Seja uma estrutura qualquer, no regime elástico e linear, sujeita a dois sistemas de 
ações. O trabalho externo realizado pelo 1º sistema de ações (Pi), em relação aos 
deslocamentos produzidos pelo 2º sistema de ações (ik), é igual ao trabalho externo realizado 
pelo 2º sistema de ações (Pk), em relação aos deslocamentos produzidos pelo 1º sistema de 
ações (ki).” 
 
  kikiki δ P δ P (4.6) 
 P Wext  Força x Deslocamento (4.7) 
Igual para todas as seções da 
barra com comprimento L 
 
Deformação 
produzida pelo 
momento fletor 
Deformação 
produzida pelo 
momento de 
torção 
Deformação 
produzida pelo 
esforço axial 
Deformação 
produzida pelo 
esforço cortante 
 = L/L 
L L 
P 
 = E  
P 
 
 
24 
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Fig. 21 – Estrutura sujeita aos sistemas de ações. 
 
 
No exemplo da Figura 21 tem-se: 
 
P1 x 12 = P2 x 21 (4.8) 
 
 
4.2.2 Teorema de Maxwell 
 
 
O teorema de Maxwell é um caso particular do teorema de Betti em que Pi e Pk são 
forças ou momentos unitários, assim: 
 
kiik  ou 2112  (4.9) 
 
“Para estruturas no regime elástico e linear, o deslocamento em um ponto 1 causado 
por uma ação unitária em outro ponto (ponto 2) é igual ao deslocamento neste outro ponto 2 
causado por uma ação unitária no primeiro ponto (ponto 1).” 
 
 
 
 
 
Fig. 22 – Exemplo de aplicação do Teorema de Maxwell para uma viga biapoiada. 
 
P2=1 
12 
P1=1 
21 
1 2 1 2 
11111 
P1 
2 
21 
1 2 
P2 
12 
25 
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4.3 Rigidez e flexibilidade 
 
 
Seja uma estrutura, representada por uma mola vinculada em uma extremidade e livre 
na outra e submetida a: 
 uma ação unitária na extremidade livre; 
 um deslocamento unitário na extremidade livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 23 – Molas submetidas a uma força unitária e a um deslocamento unitário. 
 
 
A flexibilidade (F) é definida como o deslocamento (D) correspondente a uma ação 
unitária (A = 1). Assim, tem-se: 
 
D = F . A (4.10) 
 
A rigidez (S ou K) é definida como a ação (A) que produz um deslocamento unitário 
(D = 1) correspondente. Assim: 
 
A = S . D (4.11) 
 
Das equações anteriores verifica-se que: 
 
A = S . D = S . F . A  S = F–1 (4.12) 
1 
F 
S 
1 
26 
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4.4 Diferenças entre os métodos da flexibilidade e da rigidez 
 
 
Os dois métodos derivam do princípio dos trabalhos virtuais (PTV), entretanto, na sua 
formulação, apresentam algumas diferenças, identificadas na tabela abaixo. 
 
Quadro 4.1 – Diferenças entre os métodos da flexibilidade e da rigidez. 
Método da Flexibilidade 
(ou Método das Forças) 
Método da Rigidez 
(ou Método dos Deslocamentos) 
A forma principal da estrutura hiperestática é 
uma estrutura estaticamente determinada 
(isostática), obtida a partir da eliminação de 
esforços redundantes (geralmente vínculos). 
A forma principal (geralmente chamado de 
sistema hipergeométrico) é uma estrutura 
cinematicamente determinada, obtida através 
da colocação de vínculos fictícios na estrutura 
original. 
As incógnitas são forças e/ou momentos 
(internos ou externos), associados aos vínculos 
e/ou esforços suprimidos. 
As incógnitas são os deslocamentos (lineares 
e/ou angulares) associados aos vínculos 
fictícios criados para chegar ao sistema 
principal. 
O número de incógnitas é igual ao grau de 
indeterminação estática (grau de 
hiperestaticidade) da estrutura. 
O número de incógnitas é igual ao grau de 
indeterminação cinemática (grau de 
hipergeometria) da estrutura, isto é, o número 
de deslocabilidades (deslocamentos livres) da 
estrutura. 
Existem várias opções de escolha para a forma 
principal. 
Existe apenas uma opção de escolha da forma 
principal, a qual sempre recai em um conjunto 
de barras biengastadas. 
 
Exemplos: 
 
1º Exemplo: Pórtico plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 24 – (a) Pórtico plano hiperestático com o carregamento e as reações de apoio (b) Forma principal no 
método da rigidez, desconsiderando as deformações axiais. 
C B 
A D 
(b) 
A D 
B C 
(a) 
27 
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Desconsiderando as deformações axiais: 
 
Quadro 4.2 – Número de deslocamentos livres no método da rigidez para o pórtico da Figura 24, 
desconsiderando as deformações axiais. 
Método da Rigidez 
3 Deslocabilidades (deslocamentos livres): 
 2 rotações (giros) e 
 1 translação (deslocamento horizontal 
 da barra BC) 
 
 
Considerando as deformações axiais: 
 
Quadro 4.3 – Número de deslocamentos livres no método da rigidez para o pórtico da Figura 24, considerando as 
deformações axiais. 
Método da Rigidez 
6 Deslocabilidades (deslocamentos livres): 
 2 rotações (giros) e 
 2 translações verticais (nós B e C) 
 2 translações horizontais (nós B e C) 
 
 
O grau de indeterminação estática (grau de hiperestaticidade), utilizado no método da 
flexibilidade, para o pórtico plano da Figura 24 é 3, obtido a partir do número de reações de 
apoio (6) menos o número de equações da estática no plano (3). 
 
2º Exemplo: Viga contínua 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 25 – (a) Viga contínua com o carregamento e as reações de apoio (b) Forma principal no método da 
rigidez. 
(b) 
(a) 
28 
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Quadro 4.4 – Diferenças entre os métodos da flexibilidade e da rigidez para uma viga contínua. 
Método da Flexibilidade Método da Rigidez 
4 incógnitas – 2 equações da estática 
4 Deslocabilidades (deslocamentos livres): 
 3 rotações (giros) e 
 1 translação vertical 
2 vezes hiperestática 4 vezes hipergeométrica 
 
 
OBS.: 
Por definição, as vigas não possuem deformações axiais. Assim, esforços axiais não 
são considerados. 
 
A tabela abaixo especifica os casos em que é mais rápido resolver uma estrutura pelo 
método da flexibilidade ou da rigidez, manualmente ou matricialmente por computador. 
 
Quadro 4.5 – Recomendação para uso do método da flexibilidade ou da rigidez. 
Grau de indeterminação 
Método de solução apropriado 
(recomendado) 
Estática Cinemática Manualmente 
Matricialmente por 
computador 
Baixo (  5 ) Baixo (  5 ) Qualquer Rigidez 
Baixo (  5 ) Alto (  6 ) Flexibilidade Rigidez 
Alto (  6 ) Baixo (  5 ) Rigidez Rigidez 
Alto (  6 ) Alto (  6 ) Nenhum Rigidez 
 
29 
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5 APLICAÇÃO DO PTV 
 
 
5.1 Método da carga unitária para calcular deslocamentos em estruturas isostáticas 
 
 
OBS.: 
O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) é válido para estruturas isostáticas e 
hiperestáticas. 
 
Determinar os deslocamentos (D1, D2 e D3) nos pontos de aplicação das ações 
A1, A2, e A3 para a estrutura mostrada na Figura 26. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 26 - Viga isostática. 
 
 
Para calcular os deslocamentos D1, D2 e D3, o problema pode ser equacionado 
matricialmente aplicando o princípio da superposição dos efeitos (PSE) e utilizando ações 
unitárias em cada uma das direções destes deslocamentos, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D3 
A1 A2 
D1 
A3 
D2 
= 
x A1 + 
F31 
A1 = 1 
 
F11 
F21 
B 
D3 
A1 A2 
D1 
A3 
D2 
2EI EI 
A C D 
L L/2 
30 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Fig. 27 – Aplicação do PSE na viga isostática. 
 
 
Aplicando o PSE, os deslocamentos D1, D2 e D3 são obtidos por: 
 








3332321313
3232221212
3132121111
AFAFAFD
AFAFAFD
AFAFAFD
 (5.1) 
 
Escrevendo na forma matricial: 
 































3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
A
A
A
 . 
FFF
FFF
FFF
 
D
D
D
 (5.2) 
 
Ou simplesmente: D = F . A; 
 
onde: F é a matriz de flexibilidade → Não tem nenhuma relação com a matriz de 
flexibilidade (F) do método da flexibilidade; 
A é o vetor de ações; 
D é o vetor com os deslocamentos incógnitos. 
 
Assim, o problema se resume em avaliar os Fij para a estrutura com ações unitárias, 
usando o método da carga unitária, o qual está baseado no PTV. 
F32 
F22 
F12 
A2 = 1 
x A2 + 
F33 
F23 
F13 
A3 = 1 
x A3 
31 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Será adotada a seguinte nomenclatura: 
ESTADO A – ESTADO DE SOLICITAÇÃO – É o estado em que a estrutura se 
encontra sob a ação de forças. Neste estado interessam basicamente as FORÇAS. 
ESTADO B – ESTADO DE DEFORMAÇÃO – É o estado constituído pelo conjunto 
de deformações. Neste estado interessam basicamente as DEFORMAÇÕES. 
Os estados são independentes. 
 
 
Cálculo de F11, F21 e F31 usando o método da carga unitária: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 28 - Carga unitária na direção de A1 – Estado B . 
 
 
 Cálculo de F11 
 
 
Estado B 
(ESTADO DE DEFORMAÇÃO) 
Estado A (Carga Unitária) 
(ESTADO DE SOLICITAÇÃO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 29 - Estados de deformação e de solicitação. 
 
A1=1 
11F
2EI EI 
L L/2 
4
L
1  
 
(+) 
2EI EI 
1 
L L/2 
4
L
1  
 
(+) 
B 
2EI EI 
F31 A1=1 
F21 
F11 
A C 
L L/2 
D 
32 
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F11 é um coeficiente de flexibilidade que representa um deslocamento correspondente 
a ação A1 quando a ação unitária (na mesma direção e posição de A1) é imposta à estrutura. 
Pelo princípio dos trabalhos virtuais (PTV) para corpos elásticos, o trabalho indireto 
das forças externas ou trabalho externo indireto ( externoABW ) é igual ao trabalho indireto das 
forças internas ou trabalho interno indireto ( internoABW ): 
 
interno
AB
externo
AB W W  (5.3) 
 
O trabalho externo indireto ( externoABW ) é o trabalho realizado pelas forças do estado de 
solicitação A (carga unitária) em virtude dos deslocamentos correspondentes no estado de 
deformação B (). Neste caso, o trabalho externo indireto é dado pelo produto da ação 
unitária do estado A pelo deslocamento correspondente  do estado B , o qual, por 
definição, é o próprio coeficiente de flexibilidade F11. 
 
11
externo
AB F δ . 1 W  (5.4) 
 
O trabalho interno indireto é o trabalho realizado pelos esforços internos do estado A 
em relação às deformações do estado B . 
Desprezando os esforços de corte, obtém-se: 
 
dsMM2dsMMdsMMW2EI
dsMM2dsMMdsMM
2EI
1
W
ds
EI
MM
ds
2EI
MM
ds
2EI
MM
ds
EI
MM
W
CD
BA
BC
BA
AB
BA
interno
AB
CD
BA
BC
BA
AB
BA
interno
AB
CD
BA
BC
BA
AB
BA
Barras Todas
BAinterno
AB









 (5.5) 
 
Para o cálculo das integrais do produto das funções do momento fletor pode-se utilizar 
a TabelaA.1 do Anexo A, a qual fornece o resultado destas integrais. Para usar esta tabela, 
deve ser calculado inicialmente o comprimento equivalente (L’) a fim de levar em 
consideração as diferenças de rigidez entre os vãos das vigas. Para isto, toma-se como 
referência qualquer uma das inércias da viga (geralmente a maior: neste caso: 2.II ref  ). 
 
33 
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Assim: 
Quadro 5.1 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F11. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-B L/2
2I
2I
2
L
 
 
96
L
2
L
4
L
4
L
3
1 3
 
B-C L/2
2I
2I
2
L
 
 96
L
2
L
4
L
4
L
3
1 3
 
 
onde: 
 L’ é o comprimento equivalente; 
 L é o comprimento real da barra; 
 Ibarra é o momento de inércia da barra; 
 Iref é o momento de inércia de referência (ou básico), neste caso igual a 2.I. 
 
Então: 
 
 I E 96 
L
 
 I E 48 
L
 F 
 48 
L
 
 96 
L
 
 96 
L
 F I E
3
ref
3
11
333
11ref




 
(5.6) 
 
 Exemplo do cálculo de F11 resolvendo a integral do produto das funções de momento 
fletor para avaliar o internoABW : 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
Fig. 30 - Estados A e B : cálculo de F11. 
 
L/4 
L/4 
L/4 L/4 
+ + 
+ + 
11F
1 
2EI EI 
L L/2 
(+) 
4
L
1  
 
A1=1 
(+) 
2EI 
L L/2 
4
L
1  
 
EI 
34 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 31 - Ações unitárias impostas à estrutura. 
 
 
int
AB
ext
AB
estrut ref
BAint
AB
11
ext
AB
WW
dx
IE
MM
W
F1W







 
 EI 96 
L
 F 
 2EI 48 
L
 F1 
2EI48
L
W
48
L
8
L
3
1
4
1
2W2EI 
3
x
4
1
2dxx
4
1
dxx
4
1
W2EI 
2EI
dx
x
2
1
x
2
1
2EI
dx
x
2
1
x
2
1
 W
3
11
3
11
3
int
AB
33
int
AB
L/2
0
3
2
L/2
0
2
L/2
0
int
AB
L/2
0
L/2
0
int
AB










 
(5.7) 
 
 
 Cálculo de F21 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 32 - Estados A e B : cálculo de F21. 
 
 
4
L
1 
1 x 2/L
02
1

2EI EI 
L L/2 
x
2/L
02
1

F11 
x
2/L
02
1
 x
2/L
02
1

2EI EI 
L L/2 
A1=1 
4
L
1 
F21= 2EI EI 
A1=1 
2
1
2
1
1 
2EI EI 
L L/2 
2
1
2
3
4
L
1 
2
L
1 
(+) 
L L/2 
)( 
35 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Quadro 5.2 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F21. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
 
32
L
)L
2
L
(
4
L
4
1 3
 
 
Então: 
 
 I E 64 
L
 F 
 32 
L
 F I E
3
21
3
21ref

 (5.8) 
 
 
 Exemplo do cálculo de F21 resolvendo a integral do produto das funções de momento 
fletor para avaliar o internoABW : 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 33 - Estados A e B : cálculo de F21. 
 
 
 
 
 
 
 
L/4 
L/2 
+ - 
x
2/L
02
1

L L/2 
1 
2EI EI 
x
L
2/L2
1

EI 2EI 
A1=1 x 2/L
02
1

L
2/L2
)xL( 
L L/2 
F21= 
4
L
1 
2
L
1 
36 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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















 




L
L/2
2
L/2
0
2interno
AB
L
L/2
L/2
0
interno
AB
dx
4
)xLx(
/4)dx(xWEI2
dx
EI2
x/2
2
x)(L
dx
EI2
x/2)(x/2)(
W
 
32
 L 
 
12
 x
 
8
 Lx 
 
12
 x 
 WEI2
3
L
L/2
3
L
L/2
2
L/2
0
3
interno
AB



 
 
 I E 2 32 
L
 F 1 W W
3
21
externo
AB
interno
AB

 (5.9) 
 
 I E 64 
L
 F
3
21

 (5.10) 
 
 
 Cálculo de F31 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 34 - Estados A e B : cálculo de F31. 
 
 
Quadro 5.3 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F31. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
 
16
L
1)L(
4
L
4
1 2
 
 
L/4 
-1 
+ - 
F31 
2EI EI 
1 
L L/2 
L
1
L
1
L L/2 
2EI EI 
A1=1 
(+) 
2
1
2
1
4
L
1  
 
1
)( 
37 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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 I E 64 
L
 F F
3
2112


Então: 
 
 I E 32 
L
 F 
 16 
L
 F I E
2
31
2
31ref

 (5.11) 
 
 
Cálculo de F12, F22 e F32 usando o método da carga unitária: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 35 - Ação unitária na direção de A2 - Estado B . 
 
 
 Cálculo de F12 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 36 - Estados A e B : cálculo de F12. 
 
 
 
(5.12) 
 
 
L L/2 
2EI 
F32 
A2=1 
F22 
F12 
EI 
A2=1 
EI 
)( 
2EI 
2
1
2
3
2
L
1
2EI EI 
1 
)( 
2
1
2
1
4
L
1 
L L/2 L L/2 
F12 
38 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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 Cálculo de F22 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 37 - Estados A e B : cálculo de F22. 
 
 
Quadro 5.4 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F22. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
12
L
L
2
L
2
L
3
1 3
 
C-D L
I
2I
2
L
 
 
12
L
L
2
L
2
L
3
1 3
 
 
Então: 
 
 EI 12 
 L 
 F 
12
 L 2 
 F I E
3
22
3
22ref

 (5.13) 
 
 
 
 
 
 
 
L/2 
- 
L/2 
- 
L/2 
- 
L/2 
- 
F22 
L L/2 
2EI EI 
A2=1 
)( 
2
1
2
3
1 
)( 
2EI EI 
2
1
2
3
2
L
1
2
L
1
L L/2 
39 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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 Cálculo de F32 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 38 - Estados A e B : cálculo de F32. 
 
 
Quadro 5.5 - Integrais de produto de momento fletor para calcular F32. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
6
L
1)L)(
2
L
(
3
1 2
 
C-D L
I
2I
2
L
 
 4
L
1)L)(
2
L
(
2
1 2
 
 
Então: 
 
 I E 24 
L 5
 F 
24
 L 10 
 
4
 L 
 
6
 L 
 F I E
2
32
222
32ref

 (5.14) 
 
 
 
 
 
 
-L/2 
-1 
-L/2 -1 
- 
- 
-- 
F32 
A2=1 
2EI EI 
)( 1 
)( 
2EI EI 
2
L
1
1
L L/2 L L/2 
40 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Cálculo de F13, F23 e F33 usando o método da carga unitária: 
 
 
 
 
 
Fig. 39 - Ação unitária na direção de A3 - Estado B . 
 
 
 Cálculo de F13 = F31 
 
 Cálculo de F23 = F32 
 
 Cálculo de F33 
 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
 
Fig. 40 - Estados A e B : cálculo de F33. 
 
 
Quadro 5.6 – Integrais de produto de momento fletor para calcular F33. 
Barra 
barra
ref
I
LI
L  
Estado 
B 
Estado 
A 
L
0
BA
barra
ref dsMM
I
I
 
A-C L
2I
2I
L  
 
3
L
1)L1)((
3
1
 
C-D L
I
2I
2
L
 
 
L1)L1)(1(  
-1 
-1 
-1 -1 
- 
- 
- - 
F33 
A3=1 
)( 
2EI EI 
1 
EI 
)( 
L L/2 
1 1
2EI 
L L/2 
L L/2 
EI 2EI 
F33 
A3=1 
F23 
F13 
41 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Então: 
 
 I E 3 
L 2
 F 
3
 L 4 
 L 
 3 
 L 
 F I E 3333ref

 (5.15) 
 
Finalmente, a matriz de flexibilidade (F) fica: 
 














2L/3EI/24EI5L/32EIL
/24EI5L/12EIL/64EIL
/32EIL/64EIL/96EIL
 
22
233
233
F (5.16) 
 
Assim, para qualquer valor das ações A1, A2 e A3 os deslocamentos podem ser 
calculados da seguinte forma: 
 
D = F . A (5.17) 
 


































3
2
1
22
233
233
3
2
1
A
A
A
 . 
2L/3EI/24EI5L/32EIL
/24EI5L/12EIL/64EIL
/32EIL/64EIL/96EIL
 
D
D
D
 (5.18) 
 
Substituindo os valores das ações A1, A2, e A3 na equação 5.18 chega-se nos 
deslocamentos nos pontos de aplicação das ações (D1, D2 e D3). 
42 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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6 APLICAÇÃO DO MÉTODO DA FLEXIBILIDADE 
 
 
O método da flexibilidade é o método das forças e será revisado através dos exemplos 
a seguir. 
 
1º Exemplo: 
Resolver a viga contínua hiperestática mostrada na Figura 41 através do método da 
flexibilidade, determinando as reações de apoio e traçando o diagrama de momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 41 - Viga contínua com carga distribuída. 
 
 
Avaliação do grau de hiperestaticidade: 
g = 4 incógnitas – 2 equações da estática = 2 x hiperestática (6.1) 
 
Escolha da forma principal (FP) ou sistema principal (SP): 
Como a estrutura é duas vezes hiperestática e a forma principal deve ser uma estrutura 
isostática, uma das alternativas para a FP pode ser encontrada suprimindo os dois vínculos 
intermediários, resultando na viga isostática ilustrada na Figura 42. 
 
 
 
 
 
Fig. 42 - Viga na FP com a carga distribuída e os hiperestáticos X1 e X2: Estado B . 
 
 
As forças X1 e X2 colocadas no lugar dos vínculos suprimidos são as reações nestes 
apoios, chamados de hiperestáticos, e são as incógnitas do problema. 
X1 X2 
q = 10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
q = 10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
43 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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No método das forças as incógnitas são forças e/ou momentos. 
A viga original é idêntica a viga na FP com o agente de deformação, neste caso a carga 
uniformemente distribuída q = 10 kN/m, e os hiperestáticos X1 e X2 (Estado B ). 
Outra FP pode ser encontrada rotulando a viga sobre os apoios intermediários e 
introduzindo os momentos suprimidos nestes pontos, como ilustrado na Figura 43. 
 
 
 
 
 
Fig. 43 – Segunda alternativa para a FP da viga contínua com carga distribuída. 
 
 
Adotando a primeira FP sugerida e aplicando o PSE na viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 44 – Aplicação do PSE na viga contínua com carga distribuída. 
10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
M1 M2 
x X1 + 
0,6667 kN 0,3333 kN 
21 11 
X1 = 1 
Estado A1 
x X2 
0,3333 kN 0,6667 kN 
22 12 
X2 = 1 
Estado A2 
10 kN/m 
30 kN 30 kN 
20 10 
Estado B0 + 
10 kN/m 
X1 X2 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
= 
Viga original 
ou Estado B 
44 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Estado B0  Carregamento externo aplicado à FP com X1 = 0 e X2 = 0 
 
O Estado B0 é o estado de deformação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao agente de deformação, neste caso a carga distribuída q = 10 kN/m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 45 - Viga na FP com carga distribuída: Estado B0 . 
 
 
Estado A1  Hiperestático X1 = 1 aplicado à FP e X2 = 0 
 
O Estado A1 é o primeiro estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X1, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 46 - Viga na FP com o hiperestático X1 = 1: Estado A1 . 
30 kN 30 kN 
40 40 45 
(+) 
10 kN/m 
DMF do 
Estado B0 
30 kN 30 kN 
20 10 
q = 10 kN/m 
Estado B0 
0,6667 kN 0,3333 kN 
21 11 
X1 = 1 
Estado A1 
-1,3333 
0,6667 kN 0,3333 kN 
-0,6667 
-1 
(-) 
DMF do 
Estado A1 
45 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Estado A2  Hiperestático X2 = 1 aplicado à FP e X1 = 0. 
 
O Estado A2 é o segundo estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X2, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 47 - Viga na FP com o hiperestático X2 = 1: Estado A2 . 
 
 
Condições de compatibilidade dos deslocamentos (deslocamentos compatíveis com os 
vínculos): 
Na estrutura original (idêntica a estrutura na FP com o agente de deformação e os 
hiperestáticos – Estado B ), os deslocamentos verticais nos apoios intermediários são nulos, 
portanto: 
 no Estado B =  no Estado B0 + ( no Estado A1 ) . X1 + ( no Estado A2 ) . X2 = 0 
 
Assim, as equações de compatibilidade de deslocamentos ficam: 
 
10 + 11 . X1 + 12 . X2 = 0 
20 + 21 . X1 + 22 . X2 = 0 
(6.2) 
 
Ou, na forma matricial: 
 




























0
0
 
X
X
. 
2
1
2221
1211
20
10
 (6.3) 
0,3333 kN 0,6667 kN 
22 12 
X2 = 1 
Estado A2 
-0,6667 
-1,3333 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1 
(-) 
DMF do 
Estado A2 
46 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Cálculo dos ij, usando o método da carga unitária, o qual está baseado no PTV: Cálculo de 10 
  146,6667 6 45 1,3333 
 6 
 2 
 
 6 
 4 
 1 
 3 
 1 
 I E 10 





 
10 = - 146,6667 / E I 
 
 
 Cálculo de 20 
  146,6667 6 45 1,3333 
 6 
 4 
 
 6 
 2 
 1 
 3 
 1 
 I E 20 





 
20 = - 146,6667 / E I 
 
 
 Cálculo de 11 = F11 
        3,5556 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 11  
11 = F11 =3,5556 / E I 
 
 
 Cálculo de 12 = 21 = F12 = F21 
   
      
      
   
3,1111 I E
2 1,3333 0,6667 
 3 
 1 
 
 2 1,3333 0,6667 2 0,6667 
 6 
 1 
 
 2 1,3333 0,6667 0,6667 
 2 
 1 
 
 2 0,6667 1,3333 
 3 
 1 
 I E
12
12





 
12 = 21 = F12 = F21 = 3,1111 / E I 
 
 
 
 
47 
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 Cálculo de 22 = F22 
        3,5556 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 22  
22 = F22 = 3,5556 / E I 
 
 
Substituindo os ij nas equações de compatibilidade dos deslocamentos, obtém-se: 
 
- 146,6667 / E I + 3,5556 / E I . X1 + 3,1111 / E I . X2 = 0 
- 146,6667 / E I + 3,1111 / E I . X1 + 3,5556 / E I . X2 = 0 
(6.4) 
 
Na forma matricial: 
 


























0
0
 
X
X
 
EI/5556,3EI/1111,3
EI/1111,3EI/5556,3
 
EI/6667,146
EI/6667,146
2
1
 (6.5) 
 
Resolvendo o sistema de equações chega-se a: 
 
X1 = 22,0 kN 
X2 = 22,0 kN 
 
A matriz de flexibilidade (F) fica: 
 







EI/5556,3EI/1111,3
EI/1111,3EI/5556,3
 F (6.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
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Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
O diagrama de momento fletor da viga original (ou da viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) é determinado pela aplicação do PSE, da 
seguinte forma: 
 
DMF do Estado B0 + (DMF do Estado A1 ) . X1 + (DMF do Estado A2 ) . X2 = DMF do Estado B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 48 - Diagramas de momento fletor dos estados B0 , A1 , A2 e da viga original. 
30 kN 30 kN 
40 40 45 
(+) 
DMF do Estado B0 + 
0,3333 kN 
-1,3333 
0,6667 kN 
-0,6667 
-1 
(-) 
x 22,0 + DMF do Estado A1 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1,3333 
-0,6667 
-1 
x 22,0 = 
(-) 
DMF do Estado A2 
-4,0 kN.m -4,0 kN.m 
3,20 kN.m 
1,0 kN.m 3,20 kN.m 
DMF da viga 
original ou do 
Estado B 
49 
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Reações de apoio: 
 
 
As reações de apoio na viga original (idêntica a viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) também são determinadas pela aplicação do 
PSE, da seguinte forma: 
 
Reação no Estado B = Reação no Estado B0 + (Reação no Estado A1 ) . X1 + 
(Reação no Estado A2 ) . X2 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
Fig. 49 - Reações de apoio obtidas pela aplicação do PSE. 
 
 
2º Exemplo: 
Resolver a viga contínua hiperestática mostrada na Figura 50 através do método da 
flexibilidade, determinando as reações de apoio e traçando o diagrama de momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 50 - Viga contínua hiperestática com uma carga concentrada. 
 
 
Avaliação do grau de hiperestaticidade: 
g = 4 incógnitas – 2 equações da estática = 2 x hiperestática (6.7) 
 
 
22,0 kN 8,0 kN 22,0 kN 8,0 kN 
P = 10 kN 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
50 
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Escolha da forma principal (FP) ou sistema principal (SP): 
Como a estrutura é idêntica a viga do exemplo anterior, foi adotada a mesma FP. 
A viga na FP com o agente de deformação, neste caso a carga concentrada P = 10 kN, e os 
hiperestáticos X1 e X2 (Estado B ) é mostrada na Figura 51. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 51 – Viga na FP com uma carga concentrada e os hiperestáticos X1 e X2: Estado B . 
 
 
As forças X1 e X2 são os chamados hiperestáticos, e são as incógnitas do problema. 
Aplicando o PSE na viga original (Estado B ), como no 1º exemplo, chegam-se aos 
Estados Bo , A1 e A2 , mostrados a seguir. 
 
Estado B0  Solicitação externa aplicada à FP com X1 = 0 e X2 = 0 
 
O Estado B0 é o estado de deformação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao agente de deformação, neste caso a carga concentrada P = 10 kN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 52 - Solicitação externa aplicada à viga na FP: Estado B0 . 
5 kN 5 kN 
20 10 
10 kN 
5 kN 5 kN 
10 kN 
(+) 
10 10 
15 
Estado B0 
DMF do 
Estado B0 
X2 X1 
EI EI EI 
P = 10 kN 
2 m 2 m 2 m 
Estado B 
51 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Estado A1  Hiperestático X1 = 1 aplicado à FP e X2 = 0 
 
O Estado A1 é o primeiro estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X1, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 53 - Hiperestático X1 aplicado à viga na FP: Estado A1 . 
 
 
Estado A2  Hiperestático X2 = 1 aplicado à FP e X1 = 0. 
 
O Estado A2 é o segundo estado de solicitação, ou seja, a estrutura na FP (isostática) 
submetida ao hiperestático X2, igualado à unidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 54 - Hiperestático X2 aplicado à viga na FP: Estado A2 . 
-0,6667 
-1,3333 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1 
(-) 
0,3333 kN 0,6667 kN 
22 12 
X2 = 1 
Estado A2 
DMF do 
Estado A2 
-1,3333 
0,6667 kN 0,3333 kN 
-0,6667 
-1 
0,6667 kN 0,3333 kN 
21 11 
X1 = 1 
(-) DMF do 
Estado A1 
Estado A1 
52 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Condições de compatibilidade dos deslocamentos (deslocamentos compatíveis com os 
vínculos): 
Na estrutura original (idêntica a estrutura na FP com o agente de deformação e os 
hiperestáticos – Estado B ), os deslocamentos verticais nos apoios intermediários são nulos, 
portanto: 
 no Estado B =  no Estado B0 + ( no Estado A1 ) . X1 + ( no Estado A2 ) . X2 = 0 
 
Assim, as equações de compatibilidade de deslocamentos ficam: 
 
10 + 11 . X1 + 12 . X2 = 0 
20 + 21 . X1 + 22 . X2 = 0 
(6.8) 
 
Ou, na forma matricial: 
 




























0
0
 
X
X
. 
2
1
2221
1211
20
10
 (6.9) 
 
 
Cálculo dos ij, usandoo método da carga unitária, o qual está baseado no PTV: 
 
 Cálculo de 10 
      
      
38,3333 I E
2 10 0,6667 
 3 
 1 
 1 10 2 15 0,6667 10 15 2 1 
 6 
 1 
 
1 15 2 10 1 15 10 2 1,3333 
 6 
 1 
 2 10 1,3333 
 3 
 1 
 I E
10
10



 
I E38,3333 10  
 
 
 Cálculo de 20 
53 
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      
       2 10 1,3333 
 3 
 1 
 1 10 2 15 1,3333 10 15 2 1 
 6 
 1 
 
1 15 2 10 1 15 10 2 0,6667 
 6 
 1 
 2 10 0,6667 
 3 
 1 
 I E 20


 
38,3333 I E 20  
I E38,3333 20  
 
 
 Cálculo de 11 = F11 
    3,5556 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 11  
11 = F11 = 3,5556 / E I 
 
 
 Cálculo de 12 = 21 = F12 = F21 
 
    
 
3,1111 I E
2 1,3333 0,6667 
 3 
 1 
 
2 1,3333 2 0,6667 0,6667 1,3333 0,6667 2 1,3333 
 6 
 1 
 
 2 0,6667 1,3333 
 3 
 1 
 I E
12
12




 
12 = 21 = F12 = F21 = 3,1111 / E I 
 
 
 Cálculo de 22 = F22 
    3,5556 2 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 4 1,3333 1,3333 
 3 
 1 
 I E 22  
22 = F22 = 3,5556 / E I 
 
Substituindo os ij nas equações de compatibilidade dos deslocamentos, obtém-se: 
 
- 38,3333 / E I + 3,5556 / E I . X1 + 3,1111 / E I . X2 = 0 
- 38,3333 / E I + 3,1111 / E I . X1 + 3,5556 / E I . X2 = 0 
(6.10) 
54 
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Na forma matricial: 
 




























 0 
0
 
 X 
 X 
 I E / 
 5556,3 1111,3 
 1111,3 5556,3 
 I E / 
 3333,38
 3333,38
2
1
 (6.11) 
 
Resolvendo o sistema de equações chega-se a: 
 
X1 = 5,75 kN 
X2 = 5,75 kN 
 
A matriz de flexibilidade (F) fica: 
 







EI/5556,3EI/1111,3
EI/1111,3EI/5556,3
 F (6.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
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Diagrama de Momento Fletor: 
 
 
O diagrama de momento fletor da viga original (ou da viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) é determinado pela aplicação do PSE, da 
seguinte forma: 
 
DMF do Estado B0 + (DMF do Estado A1 ) . X1 + (DMF do Estado A2 ) . X2 = DMF do Estado B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 55 - Diagramas de momento fletor dos estados B0 , A1 , A2 e da viga original. 
DMF do Estado B0 + 
0,3333 kN 
-1,3333 
0,6667 kN 
-0,6667 
-1 
(-) 
DMF do Estado A1 x 5,75 + 
0,3333 kN 0,6667 kN 
-1,3333 
-0,6667 
-1 
x 5,75 = 
(-) 
DMF do Estado A2 
5 kN 5 kN 
10 kN 
(+) 
10 10 
15 
(+) 
DMF da viga 
original ou do 
Estado B 
 
-1,5 kN.m -1,5 kN.m 
3,5 kN.m 
(-) (-) 
56 
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Reações de apoio: 
 
 
As reações de apoio na viga original (idêntica a viga na FP com o agente de 
deformação e os hiperestáticos – Estado B ) também são determinadas pela aplicação do 
PSE, da seguinte forma: 
 
Reação no Estado B = Reação no Estado B0 + (Reação no Estado A1 ) . X1 + 
(Reação no Estado A2 ) . X2 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
Fig. 56 - Reações de apoio obtidas pela aplicação do PSE. 
 
 
5,75 kN 0,75 kN 5,75 kN 0,75 kN 
57 
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7 APLICAÇÃO DO MÉTODO DA RIGIDEZ 
 
 
O método da rigidez é o método dos deslocamentos e será revisado através dos 
exemplos a seguir. 
 
1º Exemplo: 
Resolver a viga contínua mostrada na Figura 57 através do método da rigidez, 
determinando os deslocamentos livres, as reações de apoio e traçando o diagrama de 
momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 57 - Viga contínua com uma carga concentrada. 
 
 
Avaliação do grau de hipergeometria ou grau de indeterminação cinemática (GIC): são 
os deslocamentos livres (ou deslocabilidades) da estrutura. Neste caso, GIC = 4. 
 
 
 
 
Fig. 58 – Grau de indeterminação cinemática da estrutura (GIC = 4). 
 
 
Determinação da forma principal (FP) ou sistema hipergeométrico (SH): no método da 
rigidez só existe uma opção para a FP, mostrada na Figura 59. 
 
 
 
 
Fig. 59 - Forma principal da viga. 
 
Convenção p/ giros e 
translações 
+ + EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
P = 10 kN 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
D1 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
D2 D3 D4 
58 
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Aplicando o PSE para os deslocamentos, obtém-se: 
 
Viga original = Caso (0) + Caso (1) . D1 + Caso (2) . D2 + Caso (3) . D3 + Caso (4) . D4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga original = 
P = 10 kN 
EI EI EI 
2 m 2 m 2 m 
x D3 + Caso (3) 
S33 = 4EI/2+4EI/2 
 
D3 = 1 
S43 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S13 = 0,0 
 
S23 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
Caso (2) x D2 + 
S22 = 4EI/2+4EI/2 
 
D2 = 1 
S32 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S42 = 0,0 
 
S12 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
Caso (0) + 
P = 10 kN 
10 = 0,0 
5,0 
20 = 10x2/8 
5,0 
30 = - 10x2/8 
40 = 0,0 
Caso (1) x D1 + 
S11 = 4EI/2 
 
D1 = 1 
S21 = 2EI/2 
 S31 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S41 = 0,0 
 
59 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Fig. 60 – Aplicação do PSE para os deslocamentos na viga contínua com uma carga concentrada. 
 
 
Os casos (0), (1), (2), (3) e (4) são definidos a seguir: 
 
Caso (0)  Viga na FP com o carregamento externo aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 61 – Viga na forma principal com o carregamento externo aplicado. 
 
 
Os valores das reações e dos momentos de engaste perfeito são determinados 
utilizando o Método das Forças e são fornecidos na Tabela A.2 do Anexo A, para diferentes 
carregamentos. Alguns destes valores estão apresentados na Figura 62: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 62 - Reações e momentos de engaste perfeito. 
 
 
 
 
Caso (4) x D4 
S34 = 2EI/2 
 
D4 = 1 
S44 = 4EI/2 
 
S14 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S24 = 0,0 
 
P = 10kN 
10 = 0,0 
5,0 
20 = 10x2/8 
5,0 
30 = - 10x2/8 
40 = 0,0 
PL/8 
P/2 P/2 
P 
PL/8 q 
qL/2 
qL2/12 
qL/2 
qL2/12 
60 
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Caso (1)  Viga na FP com D1 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 63 – Viga na forma principal com D1 unitário aplicado. 
 
 
Os coeficientes de rigidez são determinados a partir do PTV e dos teoremas de BETTI 
e MAXWELL e podem ser encontrados no livro “Análise de Estruturas Reticuladas (Gere e 
Weaver, pg. 425)”, ou na Tabela A.3 do Anexo A. Alguns destes valores são apresentados na 
Figura 64: 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 64 - Coeficientes de rigidez produzidos pelos deslocamentos unitários. 
 
 
Caso (2)  Viga na FP com D2 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 65 – Viga na forma principal com D2 unitário aplicado. 
 
 
 
S11 = 4EI/2 
 
D1 = 1 
S21 = 2EI/2 
 S31 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S41 = 0,0 
 
6EI/L² 6EI/L² 
1 
2EI/L 4EI/L 
12EI/L³ 12EI/L³ 
6EI/L² 6EI/L² 
1 
S22 = 4EI/2+4EI/2 
 
D2 = 1 
S32 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S42 = 0,0 
 
S12 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
61 
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
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Caso (3)  Viga na FP com D3 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 66 – Viga na forma principal com D3 unitário aplicado. 
 
 
Caso (4)  Viga na FP com D4 = 1 aplicado: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 67 – Viga na forma principal com D4 unitário aplicado. 
 
 
As equações de equilíbrio de forças, obtidas pela aplicação do PSE, são: 
 











0DSDSDSDSβ
0DSDSDSDSβ
0DSDSDSDSβ
0DSDSDSDSβ
44434324214140
43433323213130
42432322212120
41431321211110
 (7.1) 
 
Escrevendo na forma matricial: 
 
























































 
0
0
0
0
 
D
D
D
D
 . 
SSSS
SSSS
SSSS
SSSS
 
β
β
β
β
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
40
30
20
10
 (7.2) 
 
 
S33 = 4EI/2+4EI/2 
 
D3 = 1 
S43 = 2EI/2 
6EI/4 -6EI/4 
S13 = 0,0 
 
S23 = 2EI/2 
 
6EI/4 -6EI/4 
S34 = 2EI/2 
 
D4 = 1 
S44 = 4EI/2 
 
S14 = 0,0 
 
6EI/4 -6EI/4 
S24 = 0,0 
 
62 
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Substituindo os valores dos coeficientes  e S, obtém-se: 
 

























































 
0
0
0
0
 
 D 
 D 
 D 
 D 
 . 
2EIEI00
EI4EIEI0
0EI4EIEI
00EI2EI
 
0
 2,5 
2,5
0
4
3
2
1
 (7.3) 
 
Resolvendo o sistema de equações chega-se a: 
 
D1 = 0,5 / E I radianos 
D2 = - 1,0 / E I radianos 
D3 = 1,0 / E I radianos 
D4 = - 0,5 / E I radianos 
 
 
Reações de apoio: 
 
 
As reações de apoio na viga original são determinadas pela aplicação do PSE nos 
casos (0), (1), (2), (3) e (4), da seguinte forma: 
 
Reações viga original = Reações caso (0) + Reações caso (1) . D1 + Reações caso (2) . D2 + 
Reações caso (3) . D3 + Reações caso (4) . D4 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 68 - Reações de apoio na viga original. 
 
 
5,75 kN 0,75 kN 5,75 kN 0,75 kN 
63 
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Diagrama de momento fletor: 
 
 
O diagrama de momento fletor na viga original é determinado pela aplicação do PSE 
nos casos (0), (1), (2), (3) e (4), da seguinte forma: 
 
DMF viga original = DMF caso (0) + DMF caso (1) . D1 + DMF caso (2) . D2 + 
DMF caso (3) . D3 + DMF caso (4) . D4 
 
Resultando: 
 
 
 
 
 
Fig. 69 - Diagrama de momento fletor na viga original. 
 
 
2º Exemplo: 
Resolver a viga contínua mostrada na Figura 70 através do método da rigidez, 
determinando os deslocamentos livres, as reações de apoio e traçando o diagrama de 
momento fletor. 
 
 
 
 
 
Fig. 70 - Viga contínua com uma carga distribuída. 
 
 
 
 
 
 
 
(+) 
(-) (-) 
-1,5 kN.m -1,5 kN.m 
3,5 kN.m 
q = 10 kN/m 
2 m 2 m 2 m 
E.I E.I E.I 
64 
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7.1 Relações entre a matriz de flexibilidade e a matriz de rigidez 
 
Seja a viga em balanço (isostática) ilustrada na Figura 71: 
 
 
 
 
 
Fig. 71 – Viga em balanço. 
 
 
Aplicando o princípio da superposição dos efeitos (PSE) para as ações obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 72 - Princípio da superposição dos efeitos para as ações. 
 
 
 
 
 
 
A1 
A2 
EI 
L 
L 
EI 
A1 
D2 
A2 
= 
D1 
D12 
D22 
A2 
L 
EI 
+ 
D11 
D21 
EI 
A1 
65 
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Aplicando o princípio da superposição dos efeitos com ações unitárias obtêm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 73 - Princípio da superposição dos efeitos para as ações unitárias. 
 
 
Assim: 
 
D1 = D11 + D12 = F11 . A1 + F12 . A2 
D2 = D21 + D22 = F21 . A1 + F22 . A2 
(7.4) 
 
Matricialmente: 
 



















2
1
2221
1211
2
1
A
A
 . 
FF
FF
 
D
D
 (7.5) 
 
Ou simplesmente: 
 
D = F . A (7.6) 
 
onde: F é a matriz de flexibilidade. 
EI 
A1 
D2 
A2 
= D1 
L 
L 
A1=1 
x A1 + F11 
F21 
EI 
x A2 F12 
F22 
A2=1 
L 
EI 
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ECC 1002 – ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS “A” Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
Prof. Dr. Herbert Martins Gomes – UFRGS 
OBS.: 
Neste caso, a matriz F é utilizada para calcular os deslocamentos D1 e D2 na estrutura. 
Portanto, esta matriz F NÃO é a mesma matriz de flexibilidade utilizada no método da 
flexibilidade, onde as incógnitas são forças e/ou momentos e não deslocamentos. 
 
 
Cálculo dos coeficientes de flexibilidade (Fij): 
 
 
 Cálculo de F11 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
Fig. 74 – Estados A e B para cálculo de F11. 
 
  
 I E3 
L
 F L L L 
 3 
1
 F I E
3
1111

 (7.7) 
 
 
 Cálculo de F21 
 
Estado B Estado A 
 
 
 
 
 
Fig. 75 - Estados A e B para cálculo de F21. 
 
  
 I E2 
L
 F L 1 L 
 2 
1
 F I E
2
2121

 
(7.8) 
 
A1=1 
-1.L 
 - 
L 
1 
-1.L 
L 
 - 
A1=1 -1.L 
L 
 - 
L 
-1 
1 
 - 
67 
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