Análise Estrutural III Cap 1

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Departamento de Engenharia Civil
ANÁLISE ESTRUTURAL III - CIV 7862 
Profª. Drª. Elisabeth Junges
E-mail: bethjunges@gmail.com
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Objetivo da disciplina:
Introduzir o Método dos Deslocamentos (ou da rigidez) com formulação
matricial e as técnicas necessárias ao desenvolvimento e à utilização racional
de programas computacionais para a análise estática linear de estruturas
reticuladas.
Análise Estrutural III
Apresentação da disciplina
Programa:
1. Fundamentos 
1.1 Introdução 
1.2 Idealização Estrutural 
1.3 Divisão em elementos 
1.4 Tipos de estruturas reticuladas 
1.5 Método das forças e Método dos deslocamentos
1.6 Causas de não linearidade 
Análise Estrutural III
Apresentação da disciplina
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
2.1 Apresentação do método
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.3 Matriz de transformação
2.4 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global
2.5 Vetor de esforços de engastamento perfeito 
2.6 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não-restringida
2.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida
2.8 Reações de apoio
2.9 Esforços nos elementos no sistema local
2.10 Exemplos de aplicação
Análise Estrutural III
Apresentação da disciplina
Programa:
3. Algoritmos computacionais para análise de estruturas
3.1 Armazenamento computacional da matriz de rigidez da estrutura
3.2 Métodos de resolução de sistemas de equações
3.2.1 Método de eliminação de Gauss
3.2.2 Método de Cholesky
3.3 Programas de cálculo automático para estruturas reticuladas
3.4 Introdução à programação utilizando o MATLAB
Análise Estrutural III
Apresentação da disciplina
Programa:
4. Método dos deslocamentos – tópicos especiais 
4.1 Introdução
4.2 Articulação em extremidade de barra
4.3 Membros não-prismáticos 
4.4 Temperatura 
4.5 Recalque de apoios
4.6 Apoios elásticos
4.7 Ligações elásticas
Análise Estrutural III
Apresentação da disciplina
Programa:
5 Introdução ao Método dos Elementos Finitos (MEF)
5.1 Introdução
5.2 Conceitos básicos sobre a formulação do método dos elementos 
finitos
5.3 Tipos e famílias de elementos finitos
5.4 Introdução a modelagem utilizando o MEF
5.5 Programas de análise que utilizam o MEF
Análise Estrutural III
Apresentação da disciplina
AVALIAÇÃO
2 Provas + Trabalho
Prova 1: peso 0,4 / conteúdo capítulos 1 e 2 (questões de cálculo de estruturas 
reticuladas utilizando o método dos deslocamentos com formulação matricial); 
Prova 2: peso 0,2 sobre os capítulos 3, 4 e 5 (com perguntas mais teóricas); 
Trabalho: peso 0,4 /em grupo de até 3 alunos / desenvolvimento de um programa para 
análise de estruturas reticuladas utilizando o Matlab.
Média Parcial: MP = (0,4 P1 +0,2 P2+0,4T ) 
Média Final: MF = (MP+PF)/2
A frequência mínima para a aprovação deverá ser maior ou igual a 75%. 
Nota e frequência deverão ser atendidas simultaneamente para a aprovação.
Se MP >= 7,0 aprovado sem PF
Se MP < 7,0 o aluno deverá realizar PF
Se MF >= 5,0 aprovado
Se MF < 5,0 reprovado
Análise Estrutural III
Apresentação da disciplina
AVALIAÇÃO
Segunda chamada:
• A segunda chamada de qualquer prova perdida poderá ser realizada quando 
a falta for devidamente justificada pelo aluno. 
• O aluno deverá realizar a Prova Final como segunda chamada, sendo a nota 
de substituição da prova perdida correspondente a 0,7 da nota obtida na PF. 
Datas:
Prova 1: 19/10
Prova 2: 14/12
Trabalho: 21/12
PF: 04/Jan (quinta-feira)
Análise Estrutural III
Aula 1 - Apresentação da disciplina
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1. SORIANO, H.L. Análise de Estruturas - Formulação Matricial e Implementação Computacional, 
Ed. Ciência Moderna Ltda., Rio de Janeiro, RJ, 2005.
2. GERE, J. M. & WEAVER, W. Análise de Estruturas Reticuladas, Editora Guanabara S.A., 1987.
3. WEAVER, W. GERE, J. M. Matrix analysis of framed structures, Ed. Van Nostrand Reinhold, third 
edition, 1990.
4. MARTHA, L.F. - O Método de Rigidez direta sob um enfoque matricial, Pontifícia Universidade 
Católica do Rio de Janeiro, 1991.
5. GHALI, A.; NEVILLE, A.M. - Structural Analysis - A Unified Classical and Matrix Approach, third edition, 
Chapman and Hall, London, New York, 1989.
6. LA ROVERE, H. L. Apostila de Análise Matricial de Estruturas, Universidade Federal de Santa Catarina, 
2003.
7. LA ROVERE, H. L. Apostila de Análise Estrutural II, Universidade Federal de Santa Catarina, 2012.
Análise Estrutural III
1. Fundamentos
1. FUNDAMENTOS
1.1 Introdução
➢ Estrutura: parte da construção responsável pela estabilidade e pela
resistência a ações externas.
➢ Deve tanto apresentar segurança à ruptura dos materiais utilizados e
estabilidade global ou parcial de todos seus elementos;
➢ Bom desempenho estrutural, no que diz respeito a deformações e
durabilidade, de acordo com o fim e vida útil para a qual foi projetada.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
➢ Projeto Estrutural
O projeto de uma estrutura usual compreende várias fases, como: 
• definição do sistema estrutural e materiais a serem utilizados; 
• pré-lançamento dos elementos estruturais considerando o projeto 
arquitetônico com a definição do modelo estrutural e levantamento das cargas 
atuantes na estrutura; 
• análise estrutural para obtenção dos deslocamentos (translações e/ou 
rotações) de todos os pontos da estrutura e os esforços internos decorrentes 
das deformações produzidas por estes deslocamentos, além de determinar as 
reações vinculares; 
• dimensionamento dos elementos estruturais a partir dos esforços obtidos na 
análise estrutural.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
A análise matricial:
A Análise Matricial de Estruturas é um tópico da Análise
Estrutural, ou Mecânica das Estruturas, em que as equações que
regem o problema a resolver são formuladas matricialmente,
sejam equações de equilíbrio de forças ou de compatibilidade de
deformações, dependendo do método utilizado.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
Análise Estrutural
Primeira etapa: definição do modelo estrutural a ser adotado. Estes modelos
podem ser contínuos e discretos; e as estruturas podem ser tratadas
globalmente, ou divididas em diversos elementos.
Para definir o modelo estrutural é necessário primeiramente conhecer algumas
especificações sobre estruturas.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
Com relação a suas dimensões as estruturas podem ser classificadas em:
RETICULADAS – uma dimensão predominante
Estruturas compostas por barras, em que o eixo da barra é muito mais 
longo que as dimensões da seção. Ex.: vigas, pórticos, treliças.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
LAMINARES – duas dimensões predominantes
Estruturas de superfície em que as dimensões da superfície são muito 
maiores que sua espessura (chapas, placas, cascas). Ex.: lajes.
TRIDIMENSIONAIS OU DE VOLUME 
Quanto todas as dimensões tem a mesma ordem de grandeza.
Ex.: bloco de fundação.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
As estruturas podem ainda ser classificadas em:
• Hipostáticas - quando a estrutura não é restringida a movimentos de 
corpo rígido e não atinge portanto uma configuração de equilíbrio estável;
• Isostáticas - quando a estrutura é restringida a movimentos de corpo 
rígido e o número de incógnitas a determinar é igual ao número de 
equações de equilíbrio estático;
• Hiperestáticas - quando a estrutura é restringida a movimentos de corpo 
rígido e o número de incógnitas a determinar é maior do que o número de 
equações de equilíbrio estático.
Análise Estrutural III1.1 Introdução
• A maioria das estruturas utilizadas na prática é hiperestática ou
estaticamente indeterminada.
• Estas estruturas podem ser analisadas através de dois métodos clássicos
da Análise Estrutural: Método das Forças e Método dos Deslocamentos
• Apenas para estruturas de pequeno porte, com poucos graus de liberdade,
esta análise pode ser feita "manualmente“.
• Para estruturas com muitos graus de liberdade recorre-se em geral ao
auxílio de computadores.
• O Método dos Deslocamentos é o mais adequado para implementação em
programas computacionais. Para esta implementação será necessário que
as equações utilizadas pelo método sejam formuladas matricialmente.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
Quanto ao tipo de cargas atuantes, a Análise Estrutural pode
ser classificada em:
• Estática - tempo de aplicação das cargas ou ações for
grande em comparação com o período fundamental da
estrutura
• Dinâmica - caso contrário são denominadas dinâmicas.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
A Análise Estrutural pode ainda ser classificada em :
• Linear - quando a estrutura tem comportamento linear, deve
sofrer pequenos deslocamentos e deformações específicas e
seu material deve ser elástico-linear. Sendo a estrutura linear as
ações serão proporcionais aos deslocamentos e poderá ser
utilizado o conceito de "superposição de efeitos".
• Não-linear - em caso contrário.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
A disciplina Análise Estrutural III tem como objetivo geral a Modelagem
e a Análise Estática Linear de Estruturas Reticuladas, utilizando o
Método dos Deslocamentos com formulação matricial, visando sua
implementação em programas computacionais.
Análise Estrutural III
1.1 Introdução
Objetivos específicos:
Capacitar os alunos a utilizar racionalmente programas
computacionais de Análise Estrutural, existentes no mercado, e,
ao mesmo tempo, capacitá-los a desenvolverem seus próprios
programas. Será dada ênfase ao Método dos Deslocamentos e às
Estruturas Reticuladas.
Análise Estrutural III
1.2 Idealização Estrutural
1.2 Idealização estrutural – Sistemas Contínuos e Discretos
• Na Análise Estrutural pode-se classificar os sistemas estruturais em
contínuos e discretos.
• Um sistema contínuo é composto por uma infinidade de pontos e possui,
portanto, um número infinito de graus de liberdade. As equações de
equilíbrio para resolução da estrutura são equações diferenciais, em que
as incógnitas são em geral os deslocamentos ou o campo de
deslocamentos da estrutura.
• Nem sempre é tão simples a resolução de uma equação diferencial ou de
um sistema de equações diferenciais parciais de sistemas contínuos, por
isto é de fundamental importância o conhecimento dos métodos de
discretização.
Análise Estrutural III
1.2 Idealização Estrutural
• Pode-se discretizar um sistema contínuo tornando-o discreto, através de
métodos de discretização, tais como o Método dos Elementos Finitos e o
Método das Diferenças Finitas.
• Assim, estruturas contínuas são usualmente tratadas como discretas em
Análise Estrutural. As equações diferenciais que regem o problema são assim
transformadas em equações algébricas (nº de equações = nº de GL).
• No caso de estruturas reticuladas os métodos de discretização conduzem a
soluções exatas, enquanto que, para estruturas laminares e tridimensionais,
as soluções serão, em geral, aproximadas.
Análise Estrutural III
1.3 Divisão em elementos e Sistema de coordenadas
1.3 Divisão em elementos e sistema de coordenadas
1.3.1 Divisão em elementos
• Consideram-se estruturas reticuladas, divididas em elementos ou barras
ligados entre si por pontos nodais, denominados nós, onde se supõem
concentradas todas as forças de ligação entre elementos.
• As ações e deslocamentos são discretizados nos nós e a composição
destes elementos para constituir a estrutura resulta em um sistema de
equações algébricas que é tratado matricialmente.
Análise Estrutural III
1.3.1 Divisão em elementos
Considerações sobre a divisão da estrutura em elementos:
▪ Cada elemento é representado por uma linha reta, que coincide com o eixo da 
barra, ligando 2 nós que não podem ocupar a mesma posição no espaço.
▪ Uma extremidade livre, assim como uma extremidade vinculada a um apoio 
também é considerada um nó.
▪ Deve-se criar um nó fictício sempre que houver descontinuidade de tipo de 
material ou de tipo de seção da barra. 
▪ Pode-se também criar um nó fictício 
sob uma carga concentrada mas não 
é necessário.
Análise Estrutural III
1.3.1 Divisão em elementos
Exemplo de discretização:
Análise Estrutural III
1.3.2 Sistema de coordenadas
1.3.2 Sistema de coordenadas
A estrutura é definida em relação a um sistema global de coordenadas
cartesianas (X, Y, Z) e os elementos em relação a um sistema local (x,y,z ou xL,
yL, zL).
Os três eixos cartesianos são
perpendiculares entre si e formam
um sistema destrógiro (satisfazem
à regra da mão direita).
Análise Estrutural III
1.3.2 Sistema de coordenadas
No sistema local, o eixo local x (ou xL) coincide com o eixo longitudinal da barra
passando pelo centróide da seção e o sentido positivo deste eixo é definido
pela incidência dos nós no elemento (do nó inicial para o nó final)
Em geral o eixo vertical da seção é denominado eixo y (ou yL) e o horizontal
eixo z (ou zL).
Análise Estrutural III
1.4 Estruturas reticuladas
1.4 Estruturas reticuladas
Classificação:
1. vigas
2. treliças planas
3. pórticos planos
4. treliças espaciais;
5. grelhas
6. pórticos espaciais
estruturas planas
estruturas espaciais
Análise Estrutural III
1.4 Estruturas reticuladas
Estruturas reticuladas planas
Para que as estruturas planas deformem-se no mesmo plano em que se situam
os eixos de suas barras (x) é necessário que o eixo vertical da seção das barras
(y) seja um eixo de simetria.
Desta forma os eixos da S.T. (y,z) são eixos principais de inércia e
o centróide coincide com o centro de torção da seção, ou seja, se
as forças aplicadas situarem-se no plano XY (ou xy) e os binários
também atuarem no plano XY, em torno de um eixo paralelo a Z,
as barras se deformarão no plano XY ou xy (deformação por
flexão, axial, por cisalhamento), não haverá torção.
Caso contrário, se y não for um eixo de simetria, haverá torção e a
barra se deformará portanto fora do plano XY.
Análise Estrutural III
1.4 Estruturas reticuladas
Situações consideradas nesta disciplina:
• As barras das estruturas reticuladas serão consideradas prismáticas,
ou seja de seção transversal constante, e de eixo reto.
• Em geral as ligações de barras de treliças planas ou espaciais são
articuladas e as ligações de barras de vigas, grelhas, pórticos planos e
espaciais são rígidas, mas pode haver algumas ligações articuladas.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas: características, elementos,
graus de liberdade no sistema local
Definindo:
Define-se grau de liberdade (GL) de um nó como a direção possível deste se 
deslocar. Portanto, o número de deslocamentos possíveis em um nó é igual ao 
número total de “graus de liberdade” (GL) deste nó. 
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
VIGA 
(2 GL por nó  translação paralela a y e rotação em torno de z)
Geometria: Estrutura plana em que o eixo longitudinal das barras (x) está
contido no plano XY e é sempre paralelo ao eixo X. O eixo y da ST das barras
deve ser um eixo de simetria para garantir que não ocorra torção na barra; os
eixos da ST serão assim eixos principais de inércia e o centro de gravidade
coincidirácom o centro de torção da seção.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
Cargas: as forças concentradas ou distribuídas e situam-se no plano XY. Os
binários aplicados devem ter seus vetores-momento (seta dupla) normais ao plano
XY (paralelos ao eixo Z).
Deformações: se deformarmam no plano xy, não sofrendo torção nem flexão fora
do plano. As deformações por flexão predominam e no caso de vigas longas, em
que a relação h/L (altura da ST sobre comprimento do vão) for pequena, pode-se
desprezar o efeito da força cortante. As deformações axiais não serão
consideradas.
Esforços : a viga estará submetida a esforço cortante e momento fletor; não será
considerado o esforço axial.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
TRELIÇA PLANA 
(2 GL por nó  translação paralela a x e a y)
Geometria: eixo longitudinal (x) está contido no plano XY e pode ter uma
orientação arbitrária em relação ao eixo X.
Cargas: concentradas ou distribuídas e situam-se no plano XY. Os binários
aplicados devem ter seus vetores-momento (seta dupla) normais ao plano XY
(paralelos ao eixo Z). Pode haver forças aplicadas diretamente nos nós ou nas
barras mas não pode haver binários aplicados diretamente nos nós (apenas nas
barras).
Ligações: as barras são articuladas,
ou seja, ligadas entre si por rótulas.
Deformações: as deformações axiais predominam; pode haver também
deformação por flexão mas a de cisalhamento será sempre desprezada.
Esforços: se só houver forças aplicadas diretamente nos nós e forças axiais
ao longo das barras, as barras estarão submetidas apenas a esforço axial. Se
houver forças transversais e binários ao longo das barras haverá esforço
cortante e momento fletor também (obtidos considerando-se as barras como
vigas bi-apoiadas).
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
TRELIÇA ESPACIAL 
(3 GL por nó  translação paralela a x, y e z)
Geometria: idêntica à treliça plana, exceto que as barras podem ter qualquer
direção no espaço.
Cargas: as forças têm direção arbitrária mas binários devem ter seu vetor-
momento perpendicular ao eixo da barra. As barras de treliças não resistem à
momento torsor.
Ligações, deformações
e esforços: idem treliça plana.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
PÓRTICO PLANO 
3 GL/nó  translação paralela a x e a y e rotação em torno de z)
Geometria: é constituído por barras prismáticas, situadas no plano XY, com
orientação arbitrária em relação ao eixo X. Eixo vertical (y) da ST é de simetria
e portanto y e z são eixos principais de inércia.
Ligações: as barras são em geral rigidamente ligadas entre si.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
Cargas: como nas vigas, as forças atuam no plano XY e binários atuam
perpendicularmente ao plano XY (direção Z).
Esforços internos: flexão, axial e cortante.
Deformações: por flexão predominam, e ocorrem no plano XY. Consideram-
se as barras longas; desprezam-se portanto as deformações por
cisalhamento. As deformações por flexão e axial são consideradas
independentemente uma da outra.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
GRELHA 
3 GL/nó  translação paralela a z e rotação em torno de x e de y)
Geometria: estrutura plana (plano XY) composta de barras contínuas que se
interceptam mutuamente.
Cargas: ao contrário do pórtico plano, todas as forças atuam normalmente ao
plano XY e todos os binários têm seus vetores (seta dupla) no plano da grelha
(XY).
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
Esforços internos: de flexão, torção e cortante.
Deformação: predominante por flexão (deformações por torção e por
cisalhamento são secundárias). Dois eixos de simetria na seção transversal,
um está no plano XY e o outro paralelo à direção Z. Isto implica em que os
esforços de momento torsor e fletor ajam independentemente e também
implica que as barras se deformem por flexão na direção Z.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
PÓRTICO ESPACIAL 
6 GL/nó  translação paralela a x, y e z e rotação em torno de x, y e z)
Geometria: tipo de estrutura mais geral, não há restrição na posição dos nós,
barras ou direção das cargas. No entanto, considera-se que a ST tem dois
eixos de simetria (planos principais de flexão) de forma a não ocorrer interação
entre flexão e torção.
Análise Estrutural III
1.4.1 Tipos de estruturas reticuladas
Esforços Internos: axial, de torção, esforço cortante nas duas direções
principais e também de flexão nas duas direções principais.
Deformação: por flexão, axial e por torção; no caso de barras longas pode-se
desprezar a deformação por cisalhamento.
Análise Estrutural III
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
Análise Estrutural III
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
Análise Estrutural III
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
Análise Estrutural III
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
Análise Estrutural III
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
Análise Estrutural III
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
Análise Estrutural III
1.4.2 Deformações em estruturas reticuladas
• Treliças planas e espaciais: deformação axial predominante
• Vigas e pórticos planos: predomina a deformação por flexão, em geral
despreza-se a deformação axial em vigas, mas não necessariamente. Admite-
se que os deslocamentos sofridos pelos eixos das barras são pequenos, não
havendo portanto interação entre esforço axial e de flexão nos pórticos planos
e espaciais.
• Nas grelhas e pórticos espaciais em geral predomina também a
deformação por flexão, Em barras rígidas à torção, como as com seção em
caixão, a deformação por torção pode tornar-se significativa. Sendo os dois
eixos da seção de simetria, não haverá interação entre flexão e torção.
Análise Estrutural III
1.5 Método das forças e método dos deslocamentos
1.5 Método das forças e método dos deslocamentos
1.5.1 Método das forças (Método da Flexibilidade)
Análise Estrutural III
1.5 Método das forças e método dos deslocamentos
1.5.2 Método dos deslocamentos
Análise Estrutural III
1.5 Método das forças e método dos deslocamentos
1.5.2 Método dos deslocamentos
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
Exemplos
1) Influência da mudança de configuração nas equações de equilíbrio
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
1) Influência da mudança de configuração nas equações de equilíbrio
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
Exemplos
1) Influência da mudança de configuração nas equações de equilíbrio
b) Efeito de membrana:
Quando a viga for restringida
horizontalmente surgirá uma força
horizontal H no apoio (e reação igual
no outro apoio) já que as extremidades
não podem aproximar-se.
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
1) Influência da mudança de configuração nas equações de equilíbrio
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
2) Não linearidade das relações deformação específica x deslocamento
Na teoria da Resistênciado Materiais admite-se em geral uma fórmula aproximada para a
curvatura, que é linear:
A fórmula exata porém não é linear:
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
3) Não linearidade das relações tensão  deformação-específica de 
materiais que não seguem a lei de Hooke (elástico-linear).
As figuras abaixo apresentam dois materiais, aço e concreto, que só
seguem a lei de Hooke até uma certa deformação limite:
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
3) Não linearidade das relações tensão  deformação-específica de 
materiais que não seguem a lei de Hooke (elástico-linear).
Análise Estrutural III
1.6 Causas de não linearidade - Comportamento Linear
Admitindo-se um comportamento linear para as estruturas, pode-se 
aplicar os seguintes princípios:
1) Princípio da superposição de efeitos
2) Princípio de proporcionalidade (causa x efeito)
3) Unicidade da solução