Análise Estrutural III Cap 2 2.1 a 2.5

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Departamento de Engenharia Civil
ANÁLISE ESTRUTURAL III - CIV 7862 
Profª. Drª. Elisabeth Junges
E-mail: bethjunges@gmail.com
CAPÍTULO 2:
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS COM FORMULAÇÃO 
MATRICIAL
Análise Estrutural III
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
2.1 Apresentação do método
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.3 Matriz de transformação
2.4 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global
2.5 Vetor de esforços de engastamento perfeito 
2.6 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não-restringida
2.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida
2.8 Reações de apoio
2.9 Esforços nos elementos no sistema local
2.10 Exemplos de aplicação
2.1 Apresentação do Método
➢ Etapas: 
1) Divisão da estrutura em elementos, com numeração dos nós, elementos e 
graus de liberdade da estrutura.
2) Cada elemento é considerado isoladamente. Calcula-se a matriz de rigidez do 
elemento não-restringido, em relação a todos os graus de liberdade do 
elemento, inicialmente no sistema local de coordenadas [SL].
3) Quando houver cargas aplicadas ao longo dos elementos ou barras, será 
calculado o vetor de esforços de engastamento perfeito (para o elemento fixo), 
inicialmente no sistema local {FLEP}.
Análise Estrutural III
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
4) Em seguida, por meio de uma transformação de coordenadas (matriz de 
rotação), encontra-se a matriz de rigidez do elemento no sistema global 
[SG] e o vetor de esforços de engastamento perfeito no sistema global 
{FGEP}.
5) Levando-se em conta a contribuição de todos os elementos será formado
o sistema de equações de equilíbrio para a estrutura não-restringida,
em relação a todos os GL possíveis (inclusive os restringidos por apoios).
Análise Estrutural III
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
6) Em seguida são impostas as condições de contorno (apoios), 
encontrando-se o sistema de equações de equilíbrio para a estrutura 
restringida:
Resolve-se o sistema de equações e obtém-se o vetor de deslocamentos:
A partir de {D} obtêm-se as reações de apoio pelo sistema de equações 
acima. 
Análise Estrutural III
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
7) Encontra-se o vetor de deslocamentos nas extremidades de cada 
elemento, no sistema local, {uL}, e os esforços no elemento no sistema local:
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2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.1 Elemento de viga
Análise Estrutural III
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
Seja o elemento de viga com dois graus de liberdade por nó cujo sistema local 
coincide com o sistema global.
O elemento (i) tem nó inicial J e nó final K, comprimento l e o momento
de inércia I. O vetor de deslocamentos nodais do elemento
O vetor de deslocamentos nodais do elemento
2.2.1 Elemento de viga
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
O vetor de deslocamentos nodais do elemento:
A matriz de rigidez do elemento no sistema local:
Os parâmetros Sij , são os parâmetros 
de rigidez das barras ao aplicar 
deslocamentos e rotações unitárias nas 
suas extremidades
Sij é numericamente igual à força 
generalizada (ação) na direção i quando 
se faz o sistema no sistema de 
equações uj=1 e todos os demais =0
Sij é o coeficiente que exprime a 
influência (proporcionalidade) do 
deslocamento uj na ação Ai.
i – efeito (ação)
j – causa (deslocamento)
2.2.1 Elemento de viga
Para se obter os coeficientes da matriz de rigidez, SLij, inicialmente fixam-se as 
extremidades do elemento e impõe-se u1 = 1; impõe-se em seguida u2 = 1
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
S11 S31
2.2.1 Elemento de viga
Impõe-se após o deslocamento unitário u3 = 1 e por fim impõe-se u4 = 1
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.1 Elemento de viga
Todos os coeficientes de rigidez, SLij podem ser calculados pelo Método das 
Forças. Pode-se, por exemplo, determiner os coeficientes S44, S24, ou S22, 
S42 primeiramente pelo método das forças e determinar os demais coeficientes 
por equilíbrio e ainda sabendo-se que Sij = Sji (matriz de rigidez é simétrica).
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
S11 S31
2.2.1 Elemento de viga
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
A matriz de rigidez obtida para o elemento de viga, considerando todos os graus de 
liberdade, é:
2.2.1 Elemento de viga
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
• Esta matriz de rigidez é singular, seu determinante é nulo, logo ela não é
inversível. É necessário restringir o elemento para resolver o sistema de
equações de equilíbrio. Não existe, portanto, uma matriz de flexibilidade (que
é a inversa da matriz de rigidez) para elemento não-restringido.
• Os coeficientes da diagonal de [SL] são sempre positivos.
• Para elemento de viga a matriz de rigidez no sistema local coincide com o
global.
2.2.2 Elemento de treliça
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.2 Elemento de treliça
O elemento tem comprimento l e a área da seção transversal é A.
Inicialmente, fixa-se o elemento a movimentos de translação (sistema
principal), lembrando que as ligações são articuladas (rotações não
produzem esforços nos elementos)
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.2 Elemento de treliça
Impõem-se em seguida deslocamento unitário na direção de u1, lembrando
que , obtém-se os demais coeficientes por equilíbrio:
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.2 Elemento de treliça
Impõe-se após u2 = 1, causando um movimento de corpo rígido (o elemento
não se deforma, logo não há esforços), obtêm-se então:
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2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.2 Elemento de treliça
Impõe-se em seguida u3 = 1, calculam-se os coeficientes de rigidez por 
equilíbrio, lembrando que:
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.2 Elemento de treliça
E por último, impondo-se u4 = 1, que causa apenas um movimento de corpo 
rígido, encontra-se que:
Análise Estrutural III
2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.2 Elemento de treliça
A matriz de rigidez do elemento de treliça plana no sistema local pode então 
ser escrita:
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2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.3 Elemento de pórtico plano
Seja o elemento de pórtico plano com 3 graus de liberdade por nó, formado
pelos nós J e K . O vetor de deslocamentos nodais é {uL} e a matriz de
rigidez é [SL]. Em geral o sistema local não coincide com o sistema global do
elemento.
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2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.3 Elemento de pórtico plano
A matriz de rigidez do elemento de pórtico plano pode ser encontrada
superpondo-se a matriz de rigidez do elemento de viga com a matriz de rigidez
do elemento de treliça plana, uma vez que não há interação entre esforço axial e
de flexão (pequenos deslocamentos, estrutura linear). Escreve-se a
correspondência entre a numeração dos graus de liberdade do elemento:
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2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.2.3 Elemento de pórtico plano
Obtêm-se a seguiros coeficientes de rigidez do elemento de pórtico plano a
partir dos coeficientes de rigidez dos elementos de viga e de treliça plana
obtidos anteriormente.
Assim, no sistema local, a matriz de rigidez do elemento de pórtico plano, fica
sendo:
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2.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema local
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de 
coordenadas
Análise Estrutural III
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas
Análise Estrutural III
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas
Análise Estrutural III
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas
Observa-se que uL3 = uG3 e uL6 = uG6, pois a rotação do nó J assim como do nó K 
é a mesma no plano (xL, yL ou xG, xG)
Análise Estrutural III
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas
Matricialmente pode-se escrever para o nó J:
Analogamente para o nó K tem-se que:
Análise Estrutural III
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas
Análise Estrutural III
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas
Análise Estrutural III
2.3 Matriz de rotação – transformação do sistema de coordenadas
Elemento de Treliça
Elemento de Treliça
Analogamente ao elemento de pórtico plano, chega-se à seguinte matriz de
transformação de coordenadas (do sistema global para o local) para o
elemento de treliça plana:
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2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
2.4 Matriz de Rigidez de um elemento no sistema global
Análise Estrutural III
2. Método dos deslocamentos com formulação matricial
Análise Estrutural III
2.4 Matriz de Rigidez de um elemento no sistema global
Análise Estrutural III
2.4 Matriz de Rigidez de um elemento no sistema global
2.5 Vetor de esforços de engastamento perfeito {FEP}
Para cada elemento da estrutura tem-se um vetor {FLEP}
Para formar o vetor de esforços de engastamento perfeito da estrutura,
primeiramente deve-se transformar os esforços de engastamento perfeito de
todos os elementos do sistema local {FLEP} para o global {FGEP}, da seguinte
forma:
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2. Método dos deslocamentos com formulação matricial