ListaTeorica 1 2009.2 GABARITO

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia – 2009.2 
 
 
Lista Teórica 1 – GABARITO 
 
 
1. Em um modelo com efeito individual não observado (ai), 
 
itiitit uaxy +++= ba (1) 
 
redefina o erro como vit = ai + uit, onde: (i) ai é não-correlacionado com uit e tem variância 
constante e igual a sa
2 ; (ii) uit tem variância constante e igual a su
2; (iii) uit é não-
correlacionado com x, além de serialmente não-correlacionado. 
 
 
a) Explique por que, sob as hipóteses acima, o estimador de MQO da equação (1) é 
consistente mas ineficiente. 
 
 
Defina, agora, a equação transformada: 
 
( ) ( ) ( )iitiitiit vvxxyy llblal -+-+-=- )1( (2) 
 
onde l=1-[ su
2/( su
2 + T sa
2)]1/2. 
 
O estimador de efeitos aleatórios é obtido pela aplicação de MQO nessa equação 
transformada. 
 
 
b) Defina ( )iitit vve l-= . Mostre que, para t¹s, cov(eit,eis??)=0?. Você deve primeiro 
mostrar que E(eit) = 0; depois, que Var(eit) = su
2, t=1,....T; e, enfim, provar o resultado 
desejado. 
 
c) Qual a implicação do resultado do item anterior para as propriedades do estimador de 
MQO na equação transformada (2) - isto é, para as propriedades do estimador de 
efeitos aleatórios? 
 
d) Compare a equação (2) com a equação transformada associada ao estimador de efeitos 
fixos: 
 
( ) ( ) ( )iitiitiit uuxxyy -+-=- b (3) 
 
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Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois estimadores – efeitos fixos 
e aleatórios) são idênticas? Isso faz sentido? 
 
e) Agora compare a equação do estimador de efeitos aleatórios, (2), com a equação 
original (1). Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois 
estimadores - efeitos aleatórios em (2) e MQO em (1)) são idênticas? Isso faz sentido? 
 
RESPOSTA 
 
Atenção: no enunciado da questão, o item (i) deveria ser: “ai é não-correlacionado com xit” (e não com u it). 
Sem essa hipótese, não poderíamos afirmar que MQO é consistente! 
 
(a) Ao estimarmos (1) por MQO “pooled” (isto é, “empilhando os dados”), estamos deixando ai no erro. 
Como estamos supondo que ambos u e a sejam não-correlacionados com x, deixar ai no erro não 
viesa nosso estimador, que permanece consistente. Entretanto, dado que ai é idêntico para todas as 
observações do indivíduo i, existe uma clara correlação entre os erros dessas observações, que não é 
levada em consideração pelo estimador de MQO. Logo, apesar do estimador ser consistente, ele não 
é eficiente. Um estimador mais eficiente será o estimador de MQG que incorpore explicitamente 
essa autocorrelação residual – que é o estimador de efeitos aleatórios. 
 
(b) O objetivo dessa questão é mostrar que, ao transformar a equação original de modo a obter a equação 
(2), chegamos a um modelo no qual os erros não são autocorrelacionados [cov(eit?eis??)=0]. Logo, 
nesse modelo MQO será eficiente, ao contrário do que ocorria na equação (1) – conforme 
discutido no item anterior. O resultado de que cov(eit?eis??)=0 é fácil de provar, ainda que um 
pouco trabalhoso. Mas não se preocupem com as contas em si; o mais importante é a 
implicação desse resultado. 
 
(c) Conforme já dito no item anterior, a ausência de autocorrelação nos erros implica que MQO aplicado 
à equação (2) – isto é, a estimação por efeitos aleatórios – será eficiente (desde que, evidentemente, 
as demais hipóteses sejam satisfeitas – em particular, a hipótese de não-correlação entre o efeito 
individual não observado (a) e o regressor x). 
 
(d) As equações (2) e (3) serão idênticas se l=1. Nesse caso, é evidente que MQO aplicado a (2) – ou 
seja, estimação por efeitos aleatórios – e MQO aplicado a (3) – isto é, estimação por efeitos fixos – 
deverão gerar o mesmo resultado. Isso faz sentido? Sim!! Afinal, l será aproximadamente igual a 1 
se: 
 
022
2
»
+ au
u
Tss
s
 
 
ou seja, se 
2
aTs for grande relativamente a 
2
us - o que pode ocorrer se a variância do efeito não 
observado a for muito grande relativamente à variância de u, ou se a dimensão temporal da amostra 
tender a um valor muito elevado. Note que o estimador de efeitos fixos explora apenas a variação 
temporal das observações – ou seja, explica a variação temporal da variável dependente para cada 
unidade seccional em função da variação temporal das variáveis explicativas para essas unidades 
seccionais. Ao ignorar a informação relativa às diferenças entre cross-sections, o estimador revela-se 
ineficiente relativamente ao estimador de efeitos aleatórios. Entretanto, se a dimensão temporal é 
“infinitamente maior” do que a dimensão seccional (ou seja, T tende a infinito com N fixo), então a 
informação ignorada pelo estimador de efeitos fixos deixa de ser relevante, e os dois estimadores 
tornam-se idênticos. 
 
(e) As equações (1) e (2) serão idênticas se l=0. Nesse caso, é evidente que MQO aplicado a (2) – ou 
seja, estimação por efeitos aleatórios – e MQO aplicado a (1) – isto é, MQO com dados empilhados 
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(“pooled”) – deverão gerar o mesmo resultado. Isso faz sentido? Sim!! Afinal, l será 
aproximadamente igual a 0 se: 
 
122
2
»
+ au
u
Tss
s
 
 
ou seja, se 
2
aTs for muito pequeno relativamente a 
2
us - o que deve ocorrer se a variância do efeito 
não observado a for muito pequena relativamente à variância de u (e a dimensão temporal da amostra 
for reduzida). Note que uma variância relativa de a próxima de 0 significa que o efeito não 
observado é pouco relevante para explicar a variável y; logo, ignorar a sua presença (como feito na 
estimação por MQO) não deve afetar de forma significativa os resultados. Assim, os dois 
estimadores tendem a ser parecidos. 
 
2. Deseja-se estimar, para um painel com dois períodos e 500 indivíduos, a equação 
 
ln (Rendit) = b0 + dT2 + ai + b1 Informal it + uit 
 
Onde: T2 é uma dummy para o segundo período. 
Rend=rendimento 
Informal=dummy igual para trabalhadores informais e zero caso contrário 
ai é um efeito individual não observado 
uit é um erro não-correlacionado com as variáveis explicativas 
 
(i) Qual é o possível problema em estimar esse modelo por MQO (“pooled”)? 
 
(ii) Reescreva o modelo acima em primeira diferença e mostre como isso resolve o problema 
acima. 
 
(iii) Cite um outro método através do qual o problema citado poderia ser solucionado. 
 
(iv) Por que não podemos incluir uma variável dummy para gênero nas regressões dos itens (ii) 
e (iii)? 
 
RESPOSTA 
 
(i) A possível correlação entre o efeito não observado a e a dummy Informal tornaria o estimador de MQO 
viesado e inconsistente. Por exemplo, a região onde mora o indivíduo (que é um efeito não observado 
constante no tempo, mas que varia entre indivíduos – supondo, evidentemente, que nossa amostra contenha 
indivíduos de mais de uma localização) pode estar correlacionada com a probabilidade do indivíduo 
trabalhar no setor informal da economia. 
 
(ii) O modelo fica: 
 
Dln (Rendit) = d + b1 DInformal it + Duit 
 
Isso resolve o problema anterior, pois elimina o efeito não observado a da equação. 
 
(iii) O estimador de efeitos fixos, que elimina o efeito não observado a ao reescrever o modelo em termos de 
desvios da média de cada unidade seccional no tempo: 
 
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( ) ( ) ( )iitiitiit uuxxTyy -+-+-=- bd )5.02( 
 
onde y=ln(Rend), x=Informal 
 
(iv) Dado que o gênero do indivíduo é constante no tempo (ignorando a possibilidade de operação para 
mudança de sexo...), essa variável seria eliminada da equação em primeira diferença ou da equação de efeitos 
fixos, da mesma forma que o efeito não observado a. Logo, esses métodos não permitem identificar o efeito 
de qualquer fator constante no tempo sobre a variável dependente. Mas, apesar de não ser possível estimar o 
efeito em si, é possívelestimar de que forma esse efeito varia no tempo, através de sua interação com uma 
dummy de tempo. Veja a discussão a esse respeito na seção 14.1 do Wooldridge. 
 
 
3. A tabela abaixo apresenta os resultados de regressões que usam dados de 27 Unidades da 
Federação (UFs) brasileiras em diferentes períodos, que vão de 1992 a 2002. Nessas regressões, a 
variável dependente é a porcentagem de domicílios, em cada UF, cuja renda per capita está abaixo 
da “linha de pobreza extrema”. Na primeira coluna é estimada uma regressão por Mínimos 
Quadrados Ordinários com os dados “empilhados” (“pooled”). A segunda coluna apresenta o 
resultado da regressão com efeitos fixos e na terceira coluna são mostrados os resultados com 
efeitos aleatórios. 
 
As variáveis explicativas que aparecem nas regressões são as seguintes: 
 
· Desig = Desigualdade de renda em cada UF medida pelo índice de Gini. 
· Educ = média dos anos de educação em cada UF 
· “Dummies” de tempo, representadas por: D1992, D1993,.....D2001. 
 
 
 
Variável dependente: Proporção de domicílios na pobreza extrema
Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t
desig 0.668 5.79 0.315 3.51 0.368 4.06
educ -0.060 -15.74 -0.016 -2.01 -0.039 -6.15
D1992 - - - - - -
D1993 -0.005 -0.33 -0.005 -0.71 -0.005 -0.68
D1995 -0.051 -3.36 -0.056 -7.73 -0.052 -6.94
D1996 -0.040 -2.61 -0.050 -6.44 -0.043 -5.44
D1997 -0.029 -1.87 -0.043 -5.25 -0.033 -4.10
D1998 -0.032 -2.08 -0.052 -6.01 -0.040 -4.71
D1999 -0.014 -0.90 -0.043 -4.60 -0.027 -3.02
D2001 -0.010 -0.61 -0.044 -4.39 -0.025 -2.70
Constante 0.107 1.42 0.099 1.50 0.175 2.75
Obs.
Teste de Hausman
c2(9)
(1) (2) (3)
MQO Efeitos fixos Efeitos aleatórios
19.41
216 216 216
 
 
a) Sob que condições cada um dos estimadores acima é consistente? 
 
b) Comparando os coeficientes estimados para as variáveis desig e educ nas colunas (1) e (2) 
da tabela acima, notamos que os coeficientes estimados por MQO são maiores em módulo 
do que os estimados usando efeitos fixos. O que pode explicar essas diferenças entre os 
coeficientes nas duas regressões? Exemplifique sua argumentação adequadamente. 
 
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c) Na regressão com efeitos fixos: 
 
(i) Podemos incluir uma “dummy” para a região geográfica (Norte, Nordeste etc.) da 
UF? Em caso negativo, por que não? Em caso positivo, como isso seria feito?. 
(ii) Podemos reespecificar o modelo de modo a estimar de que forma o efeito da 
educação varia entre regiões geográficas? Em caso negativo, por que não? Em 
caso positivo, como isso seria feito? 
 
d) O valor-p do teste de Hausman apresentado na tabela acima é menor que 0,025. Qual a 
conclusão que podemos tirar desse teste? Explique. 
 
e) Em geral, sob que condições o estimador de efeitos aleatórios seria superior ao estimador de 
efeitos fixos? 
 
f) Qual é a interpretação dos coeficientes associados às “dummies” de tempo? Como a inclusão 
dessas “dummies” na regressão se diferencia da inclusão de uma tendência temporal linear? 
 
RESPOSTA 
 
(a) MQO e Efeitos Aleatórios serão consistentes se os regressores incluídos na regressão (desig, educ) não 
forem correlacionados com as variáveis omitidas da regressão – aí incluídas variáveis constantes no tempo, 
como, por exemplo, características geográficas como a região da UF. Para que o estimador de efeitos fixos 
seja consistente, é suficiente que as variáveis omitidas que variam no tempo não sejam correlacionadas com 
os regressores. 
 
(b) Possivelmente, há correlação entre os fatores fixos não observados e os regressores, de modo que a 
estimação por MQO deve estar viesada e “exagera” o efeito dos regressores . Por exemplo, os níveis de 
educação devem estar correlacionados com a região geográfica (no Nordeste, por exemplo, os níveis médios 
de educação são menores), e esta deve ter um efeito independente sobre os índices de pobreza (pois outros 
indicadores sócio-econômicos que variam entre regiões afetam a pobreza). Na estimação por efeitos fixos, 
essa possível fonte de viés foi eliminada. 
 
(c) (i) Não, pois qualquer variável constante no tempo é eliminada da regressão pela transformação de efeitos 
fixos. 
(ii) Sim, incluindo uma variável de interação entre educ e as dummies de região. 
 
(d) A hipótese nula do teste é que o estimador de efeitos aleatórios é consistente. Logo, podemos dizer que, 
ao nível de significância de 5%, rejeita-se a consistência do estimador de ef.aleatórios – e, portanto, que o 
correto é usar efeitos fixos. 
 
(e) Quando não há correlação entre o efeito não-observado fixo no tempo e os regressores – pois, nesse caso, 
não se perde nenhuma informação desnecessariamente através da transformação de efeitos fixos, que perde 
N graus de liberdade e explora apenas a variação temporal dos dados dentro de cada unidade (isto é, não 
capta o efeito de níveis médios dos regressores diferentes entre unidades sobre a variável dependente – pois 
esses níveis médios são eliminados pela transformação). 
 
(f) Trata-se das diferenças nos níveis médios de pobreza observados em cada ano, relativamente a 1992 (cuja 
dummy não foi incluída), explicados por fatores comuns a todos os Estados – por exemplo, eventos 
macroeconômicos em nível nacional. 
 
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4. Suponha que você esteja interessado em saber qual é o efeito do preço da gasolina sobre a 
demanda por esse produto. Você tem à sua disposição os resultados estimados para 18 países com 
dados anuais de 1960 a 1978 da seguinte equação: 
 
Ln (gasolina/carros)it = a + b1 (Y/N) it + b 2 (PG) it + b 3 (carros/N) it + u it 
 
Onde: 
(gasolina/carros)it = consumo de gasolina por automóvel no país i no ano t. 
(Y/N) it = renda real per capita no país i no ano t. 
(PG) it = preço real da gasolina no país i no ano t. 
(carros/N) it = número de carros per capita no país i no ano t. 
 
A tabela abaixo apresenta os resultados estimados usando Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e 
Efeitos Fixos. 
 
Coeficientes estimados 
 
MQO Efeitos Fixos 
1bˆ 0,89 
(0,04) 
0,66 
(0,07) 
2bˆ -0,89 
(0,03) 
-0,32 
(0,04) 
3bˆ -0,76 
(0,02) 
-0,64 
(0,03) 
 
 
a) Após observar esses resultados, uma economista afirma: “O efeito do preço da gasolina sobre o 
consumo está estimado de forma viesada ao usarmos MQO, mas não ao usarmos o estimador 
de efeitos fixos. Logo, a estimação por efeitos fixos é mais confiável”. Explique (sucintamente) 
cada passo da argumentação da economista, exemplificando adequadamente. 
 
b) Um segundo economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina usando efeitos 
aleatórios. Quais as condições para que isso seja apropriado? Você concorda com a sugestão 
desse economista? Explique. 
 
c) Um terceiro economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina reespecificando o 
modelo em primeiras diferenças. Sob que condições (se houver) esse procedimento é preferível 
à estimação por MQO? Sob que condições (se houver) esse procedimento não é preferível à 
estimação por MQO? 
 
RESPOSTA 
 
(a) Primeiro, é razoável esperar que nas regressões entre países os efeitos fixos não-observados sejam 
correlacionados com os regressores, pois diversas características de cada país devem estar 
correlacionadas com as variáveis incluídas na regressão – por exemplo, sistemas de regulação, 
legislação, características culturais, educação etc. Segundo, os coeficientes BETA2 estimados por 
MQO e Efeitos Fixos são bastante diferentes; como a diferença entre os dois métodos é o fato de que 
o segundo controla para os fatores fixos de cada país, é razoável supor que tais fatores sejam 
correlacionados com os regressores – caso contrário, ao controlar para tais fatores, os resultados não 
deveriam mudar muito. Logo, o estimador de MQO deve ser viesado, pois ignora a presença de tais 
fatores fixos no erro, ao passo que o estimador de efeitos fixos, que elimina esses fatoresda 
regressão, tem maior chance de ser não-viesado. (Note, porém, que nada garante que esse estimador 
seja realmente não-viesado, pois pode haver correlação entre os regressores e a parte do erro que 
varia no tempo!) 
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(b) Isso somente seria apropriado se os efeitos fixos não-observados não fossem correlacionados com os 
regressores; já vimos, porém, que essa hipótese é provavelmente violada, de modo que não 
deveríamos usar esse estimador. 
(c) A estimação por primeira diferença, assim como a estimação por efeitos fixos, elimina o efeito não-
observado constante no tempo; logo, esse método será preferível a MQO sempre houver correlação 
entre os efeitos fixos não-observados e os regressores. Se, porém, os efeitos fixos não-observados 
não forem correlacionados com os regressores, o estimador de MQO deve ser preferível, pois não 
perde nenhuma informação desnecessariamente, como ocorre com as transformações de 1ª.diferença 
e efeitos fixos. 
 
 
5. Você trabalha no Ministério da Justiça do Brasil, onde há grande preocupação com os elevados 
índices de criminalidade nos municípios brasileiros. O Ministro da Justiça lhe solicita a realização 
de um estudo econométrico para comprovar a hipótese de que um aumento do número de 
policiais per capita do município poderia reduzir os índices de criminalidade. 
 
Para uma amostra aleatória dos municípios da Federação, você dispõe de dados anuais entre 2000 e 
2004, inclusive: 
 
Crime: Número de crimes (em unidades) PIB: PIB (em R$ milhões) 
Pop: População (em 1.000 habitantes) SalPol: Salário médio dos policiais do município (em 
R$) 
Esc: Escolaridade média da população (em anos) EduPol: Educação média dos policiais do município 
(em anos) 
Rural: Variável binária (dummy) indicando se o 
município é rural 
ExpPol: Experiência média dos policiais do 
município (em anos de serviço) 
Ind: Variável binária (dummy ) indicando se o 
município é industrial 
IdPol: Idade média da população (em anos) 
Des: Índice de desigualdade social NumPol: Número de policiais per capita do 
município 
U: Taxa de desemprego (em %) Cond: Percentual dos crimes que foram resolvidos e 
o(s) criminosos foram efetivamente condenados 
Apo: Número de aposentados do município NumEsc: Número de escolas per capita do município 
 
Além disso, você dispõe dos seguintes dados para o Brasil como um todo: 
PIBBrasil: PIB do Brasil (em R$ bilhões) TxJuros: Taxa de juros (em %) 
UBrasil: Taxa de desemprego (em %) IdPopBrasil: Idade média da população (em anos) 
Salmin: Salário mínimo Inf: Taxa de inflação 
 
(a) Proponha um modelo econométrico a ser estimado usando parte, ou a totalidade, das variáveis 
acima que permita testar a hipótese de interesse e ao mesmo tempo possa explicar as principais 
causas dos elevados índices de criminalidade. Caso a hipótese não seja rejeitada, determine o 
aumento percentual do número de policiais per capita requerido para reduzir os índices de 
criminalidade em 15%. Seja preciso no que se refere aos seguintes pontos, justificando-os 
adequadamente: 
- Defina claramente a forma funcional da equação a ser estimada; 
- Defina claramente a variável dependente da equação. 
- Defina claramente as variáveis explicativas incluídas na equação. 
- Defina claramente possíveis variáveis que não estão listadas acima e que deveriam 
ser incluídas no modelo. 
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- Defina claramente os índices de cada variável, ou seja, indique precisamente quais 
variáveis variam somente ao longo do tempo, quais variam unicamente entre municípios e 
quais variam em ambas as dimensões; 
- Defina claramente, em termos dos parâmetros do seu modelo, a hipótese a ser testada. 
- Defina os possíveis fatores não observados, fixos ao longo do tempo, que poderiam 
afetar os índices de criminalidade. Como você incluiria esses fatores no seu modelo? 
(b) Como você estimaria o modelo definido no item anterior? Justifique cuidadosamente. 
(c) Suponha que os níveis de escolaridade de todos os municípios da amostra tenham se mantido 
constantes ao longo do tempo. O método de estimação proposto por você permite estimar a 
elasticidade entre escolaridade e índices de criminalidade? 
 
(d) Explique como você testaria a hipótese de interesse. Seja preciso no que se refere ao nível de 
significância, valor crítico e regra de rejeição do teste. 
 
RESPOSTA 
Não há apenas uma resposta correta, mas... 
(a) Uma possível especificação da equação a ser estimada é: 
 
ititttt
itittitititit
itititititit
uaDDDD
UDesRuralCapitalEscCondIdPop
EduPolSalPolExpPolNumPolPopCrime
++++++
+++++++
++++=
2004200320022001
/
15141312
111098765
43210
bbbb
bbbbbbb
bbbbb
 
 
A hipótese básica de interesse diz respeito ao coeficiente associado à variável NumPol. 
Poderíamos definir o seguinte teste de hipótese: 
0:1
0:0
1
1
<
³
b
b
H
H
 
ou seja, a hipótese nula seria que o número de policiais não tem efeito negativo sobre a 
criminalidade (podendo ter efeito positivo), e a hipótese alternativa seria que o efeito é 
negativo. 
 
As variáveis explicativas incluídas acima devem ser relevantes para explicar o índice de 
criminalidade, e devem estar correlacionadas com a variável de interesse, NumPol. Logo, a 
omissão de tais variáveis viesaria a estimação do coeficiente de interesse, prejudicando o 
resultado do teste. 
 
As variáveis D2001, D2002 etc. são variáveis dummy correspondentes aos anos de 2001, 
2002 etc., destinadas a captar a variação na criminalidade média no país como um todo em 
cada ano. A inclusão dessa variável torna redundante a inclusão de qualquer outra variável 
macroeconômica (que varie entre períodos mas seja igual para todos os municípios). 
 
Vale notar que uma especificação mais completa poderia incluir várias interações entre as 
variáveis explicativas acima. Além disso, seria interessante incluir outras variáveis, como 
dummies para a UF e/ou para a Região Geográfica do município. 
 
Por outro lado, é provável que haja fatores determinantes da criminalidade que não são 
observados, e que inevitavelmente serão omitidos da regressão – sendo relegados ao erro da 
mesma. Dentre tais fatores não observados, podemos distinguir entre fatores que variam 
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entre municípios mas são fixos no período sob análise, tais como fatores sócio-culturais que 
afetam a tolerância de cada município à criminalidade – identificados pelo termo ai na 
equação acima –, e fatores que variam entre municípios e no tempo - identificados, na 
equação acima, pelo termo uit. 
 
(b) A fim de eliminar da equação o efeito não-observado constante no tempo, a, e portanto 
eliminar uma possível fonte de viés para nossa estimação, poderíamos estimar o modelo por 
efeitos fixos ou primeira diferença. 
 
Mas esse não é o único problema dessa estimação. De fato, é possível que a equação sofra 
de viés de simultaneidade, pois é provável que municípios onde a criminalidade é maior 
tenham mais policiais (justamente para tentar coibir a criminalidade). A fim de estimar o 
modelo levando essa questão em consideração, poderíamos estimar o modelo em primeira 
diferença, ou transformado segundo a transformação de efeitos fixos, por variáveis 
instrumentais (se dispuséssemos de instrumentos adequados). 
 
(c) Não, pois os métodos de efeito fixos ou primeira diferenças eliminam da equação todas as 
variáveis explicativas constantes no tempo. 
 
(d) Dividindo o coeficiente estimado de NumPol por seu erro-padrão, obteríamos a estatística-t 
a ser comparada ao valor crítico apropriado. Ao nível de significância de 5%, o valor crítico 
para um teste unicaudal seria aproximadamente 1,65. Se a estatística-t fosse maior do que 
esse valor, rejeitaríamos a hipótese nula e concluiríamos que há evidências favoráveis à 
hipótesede que o número de policiais tem efeito negativo sobre a criminalidade. 
 
 
 
6. A fim de analisar a relação entre comparecimento às aulas e desempenho escolar, um economista 
australiano observou os alunos do Curso de Estatística da Universidade de Wollongong durante um 
semestre (J.R.Rodgers, “A Panel-Data Study of the Effect of Student Attendance on University 
Performance, Australian Journal of Education, 45(3), 2001”). O semestre era dividido em 4 
períodos, e ao final de cada período o aprendizado da matéria era avaliado a partir da realização de 
uma prova. 
Com base nas informações sobre a freqüência dos alunos às aulas e seu desempenho nas provas de 
cada período do semestre, o economista inicialmente estimou a seguinte equação por MQO (usando 
apenas as observações referentes aos 167 alunos que fizeram todas as provas): 
Onde: 
(NOTA)it = nota do aluno i na prova do período t. 
(FREQUENCIA) it = freqüência de comparecimento do aluno i às aulas do período t. 
(DUM1)t = variável dummy para o período 1. 
(DUM2)t = variável dummy para o período 2. 
(DUM3)t = variável dummy para o período 3. 
Uit = termo de erro. 
A estimativa obtida para o parâmetro foi 1bˆ de 0,20, com erro-padrão 0,01. 
a) Qual é a implicação desse resultado para a relação esperada entre comparecimento às aulas e 
desempenho escolar? Por que é provável que essa estimativa esteja viesada? 
 
b) Qual é a relevância de se incluir na regressão as dummies DUM1, DUM2 e DUM3? 
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Em seguida, o economista reestimou a equação acima através de dois métodos distintos, obtendo os 
seguintes resultados: 
- Efeitos fixos: 1bˆ = 0,05, erro-padrão = 0,024 
- Efeitos aleatórios: 1bˆ = 0,10, erro-padrão = 0,01 
 
c) Esses resultados fazem sentido, à luz de sua resposta ao item (a)? 
 
d) A estatística do teste de Hausman para testar efeitos fixos contra efeitos aleatórios foi 17,73 (p-
valor 0,0014). O que isso significa? 
Por fim, o economista estimou novamente a equação acima, adicionando, porém, outras variáveis 
explicativas, dentre as quais: (i) nota média do aluno i nas outras matérias cursadas no semestre sob 
investigação; (ii) dummy de sexo; (iii) dummy para aluno em tempo integral. A nova estimativa 
para 1bˆ foi de 0,06, com erro-padrão 0,02. 
 
e) Compare essa nova estimativa com as obtidas anteriormente, discutindo as razões para eventuais 
semelhanças ou diferenças. 
 
 
RESPOSTA 
a) A implicação é de que a freqüência afeta positivamente as notas. A estimativa deve ser viesada pois a 
freqüência deve estar correlacionada com habilidade e motivação, de modo que o coeficiente esta 
captando parte do efeito da motivação e da habilidade sobre o desempenho. Isto é, se: 
 
Temos que 0)|( ¹itit frequenciauE . 
b) Podemos imaginar que o esforço do aluno varie de período para período dependendo das notas 
obtidas (p. ex., ir mal no começo eleva o esforço no final; ou uma parte da matéria que seja 
particularmente difícil pode afetar negativamente a frequência e a nota). Queremos que o 
impacto da freqüência seja livre das diferenças de esforços/dificuldade da matéria entre os 
períodos. 
c) Sim. Se fizermos itiit vau += , e tivermos que ia seja correlacionado com itX (freqüência), o 
estimador de efeito aleatório será ainda viesado, apenas o efeito fixo será não viesado. 
d) Como na questão 3d. 
e) A nota média e a dummy de tempo integral podem servir de proxies para a habilidade cognitiva 
e a motivação do aluno de modo diminuir a correlação entre fatores não observados ( itu ) e a 
frequência, o que faz com que a estimativa seja menos viesada e se aproxime do estimador de 
efeitos fixos. 
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