ListaTeorica 2 2009.1

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia – 2009.1 
 
 
Lista Teórica 2 
 
1. Considere a seguinte versão modificada do modelo de Samuelson (Review of Economics and 
Statistics, maio de 1939) de interação entre o “multiplicador keynesiano” e o “princípio do 
acelerador”: 
( )1
1
-
-
-=
+=
++=
ttt
ttt
ttt
cci
yc
gicy
b
ea 
onde y, c, i, g e e são, respectivamente, a renda nacional, o consumo, o investimento, os gastos 
do governo e um distúrbio i.i.d. com média zero; a e b são parâmetros positivos que 
representam o multiplicador e o acelerador, respectivamente. Note que os gastos do governo 
são constantes no tempo. 
a) Mostre que a trajetória da renda pode ser descrita por um modelo ARMA(2,1). Você deve 
definir adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes 
desse modelo e os parâmetros do modelo estrutural. 
b) Que restrições os coeficientes a e b devem satisfazer para que o processo que descreve a 
trajetória da renda seja estacionário? Desenhe a região de estacionariedade em um gráfico 
tendo a no eixo vertical e b no horizontal. 
c) Suponha a = b = 0,5 e g = 100. O processo é estacionário? Caso positivo, em torno de qual 
valor a renda deve flutuar? 
 
2. Considere o processo estocástico definido por 
11),,0NID(~, 0
2
110 <<-++= - fseeff tttt YY 
Prove que o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de segunda ordem. 
 
3. Considere o processo estocástico definido por 
),0NID(~, 2332211 seeeqeqeqeqm ttqtqttttY ++++++= ---- L 
Prove que para quaisquer valores de q1,..., qq, o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de 
segunda ordem. 
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4. Verifique a estacionariedade dos processos ARIMA abaixo: 
 
a) tttt uyyy +-= -- 21 1.07.0 
b) tttt uyyy +-= -- 21 5.0 
c) 11 8.05.02 -- +++= tttt uuyy 
d) tt uByBB )5.01()1.09.01(
2 -=-- 
e) ttt uyy ++= -110 
 
5. Considere o seguinte processo estocástico: 
 
Yt = 0,8 Yt-1 – 0,2 Yt-2 + ut – 1,5 ut-1 + 0,5 ut-2 ut ~ ruído branco 
 
 
Todo número complexo x = a + bi, onde 1-=i , pode ser 
representado por um vetor num plano cartesiano; sua 
coordenada horizontal é a parte real do número (a), enquanto 
que a coordenada vertical é sua parte imaginária (b). Dessa 
forma, localize no plano ao lado, em que os quadrados 
pontilhados têm lado unitário, a(s) raíz(es) do polinômio f(B) 
do processo Yt, calculando também o módulo 
(“comprimento”) dela(s). O que a localização dessa(s) raíz(es) 
no plano indica sobre o processo Yt? 
 
 
 
 
 
6. Mostre que a soma de dois processos estocásticos estacionários independentes também é um 
processo estacionário. 
 
 
7. Considere o processo estocástico: 
 
 
î
í
ì
>
=
=
- 1
1
1 tz
t
z
t
t
w
 
 
onde w é uma variável aleatória qualquer. O processo é estacionário? É ergódico (isto é, 
“assintoticamente independente”)? 
 
8. Resolva os seguintes problemas do Wooldridge: 10.2, 11.5, 11.7. 
 
 
Re 
Im 
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 3 
9. De acordo com a “hipótese de eficiência dos mercados” (HEM), nenhuma informação 
disponível antes do período t deveria ajudar a prever o retorno de um ativo no período t. 
Definindo o retorno do índice do Ibovespa como y, a HEM implica que: 
( ) ( )tttt yEyyyE =-- ,...,| 21 
Supondo que a HEM seja válida, qual deve ser o valor do coeficiente associado a yt-1 na 
regressão de yt em uma constante e em yt-1? Você espera que o estimador de MQO seja 
consistente nessa regressão? Não-viesado? 
[Dica: veja os Exemplos 11.3 e 11.4 do Wooldridge] 
 
10. Para cada um dos casos abaixo, quais você espera que sejam as propriedades do estimador de 
MQO (em termos de ausência de viés e consistência)? 
 
Variável dependente Regressores (além da constante) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das exportações brasileiras (em t-1) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das exportações brasileiras (em t-1 e t-2) 
 
 
11. Um economista deseja analisar a relação entre as taxas de crescimento do salário real e do nível de 
emprego na indústria brasileira, representadas por sal e emp, respectivamente. Os gráficos dessas séries 
no período 2000.1-2005.8 são apresentados abaixo: 
 
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
2000 2001 2002 2003 2004 2005
SAL
-.008
-.004
.000
.004
.008
.012
2000 2001 2002 2003 2004 2005
EMP
 
Inicialmente, o economista estima por MQO, para o período acima, os seguintes processos auto-regressivos 
para sal e emp (estatísticas-t entre parênteses): 
 
 
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 4 
ttt usalsal 11
)07,2()76,1(
ˆ247,0003,0 ++= - (1) 
obs = 67; R2 = 0,07; Durbin-Watson = 2,06 
 
 
ttt uempemp 21
)42,6()72,1(
ˆ63,0001,0 ++= - (2) 
obs = 67; R2 = 0,39; Durbin-Watson = 2,21 
 
 
a) A partir dos gráficos e das estimações acima, você diria que as séries em questão parecem 
realizações de processos estocásticos estacionários? Justifique. 
 
b) “Os valores da estatística de Durbin-Watson nas regressões acima permitem concluir que os erros 
não são auto-correlacionados”. Comente. 
 
c) Os estimadores de MQO das equações acima são não-viesados? 
 
Em seguida, o economista estima por MQO as seguintes equações, tendo como variáveis dependentes os 
resíduos das equações (1) e (2): 
 
tttt usalu 31121101 ˆˆ eddd +++= -- (3) 
tttt uempu 41221102 ˆˆ eggg +++= -- (4) 
 
Com base nos resultados da estimação de (3) e (4), o economista conclui que: 
 
(I) sal parece bem representado por um modelo AR(1), mas para emp possivelmente um modelo AR(2) seria 
mais adequado; 
 
(II) o estimador de MQO do coeficiente auto-regressivo na equação (2) é inconsistente. 
 
d) Qual pode ter sido o objetivo da estimação das equações (3) e (4)? Que tipo de resultado teria levado 
o economista às conclusões (I) e (II) acima? 
 
Finalmente, o economista estima (sempre por MQO) duas regressões relacionando as taxas de crescimento 
do salário real e do nível de emprego (estatísticas-t entre parênteses): 
 
ttt uempsal 5
)52,2()01,1(
ˆ919,0001,0 ++= (5) 
obs = 67; R2 = 0,089; Durbin-Watson = 1,64 
 
ttt uempsal 61
)42,2()96,0(
ˆ899,0001,0 ++= - (6) 
obs = 67; R2 = 0,083; Durbin-Watson = 1,66 
 
e) Você espera que os estimadores de MQO das equações (5) e (6) sejam não-viesados? Consistentes? 
 
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12. A figura abaixo apresenta a evolução mensal do número de cheques sem fundo para cada 1.000 
compensados no Brasil, entre 1995 e 2005. 
 
0
4
8
12
16
20
24
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
CSF
 
 
Nas aulas e listas, discutimos as características de vários processos estocásticos. Escreva as equações de dois 
processos estocásticos que, na sua opinião, poderiam gerar séries temporais semelhantes à série de cheques 
sem fundo acima – e, portanto, ser utilizados como aproximações do “verdadeiro” processo gerador da série 
de interesse. Apresente todos os detalhes possíveis, explicitando possíveis valores (ou intervalos de valores) 
para os coeficientes dos processos estocásticos selecionados. Justifique adequadamente a opção por esses 
processos vis-à-vis processos alternativos, bem como a escolha dos valores atribuídos aos coeficientes de 
cada processo. 
 
 
13. Considere o seguinte modelo macroeconômico: 
 
pplp t
E
ttt uy ++= (1) 
y
t
E
ttt uiy +-= - )( 1 pg (2) 
1-= t
E
t pp (3) 
)( ppr -+= tt ii (4) 
onde: 
0 ,01 ,10
0 média com i.i.d. choques"" ,
)(constanteinflação de meta 
)(constante "equilíbrio de" nominal juros de taxa
 tperíodo no nominal juros de taxa
1)-(tanterior período o até informação em base com t,em inflação da aexpectativ 
 tperíodo no produto do hiato 
 tperíodo no inflação 
³<<-<<
=
=
=
=
=
=
=
rgl
p
p
p
p y
tt
t
E
t
t
t
uu
i
i
y
 
 
A equação (1) é uma “curva de Phillips” que relaciona a inflação corrente ao hiato do produto e à expectativa 
passada da inflação, além de um “choque de oferta”. A equação (2) é uma relação do tipo IS, na qual o hiato 
do produto depende da taxa de juros real no período anterior e de um “choque de demanda”. A equação (3) é 
a regra de formação de expectativas, segundo a qual a inflação esperada para o período t é simplesmente a 
inflação observada no período t-1. Finalmente, a equação (4) é a regra de política monetária do Banco 
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Central, que determina a taxa de juros nominal em função do desvio entre a inflação corrente e a meta de 
inflação. 
 
(a) Mostre que a trajetória da inflação pode ser descrita por um processo ARMA(p,q). Você deve definir 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do modelo estrutural acima. 
 
(b) Considere três possíveis valores para o coeficiente r na regra de política monetária do Banco 
Central: 0, 1 e 2. Em cada caso, diga se a inflação segue um processo estacionário ou não-
estacionário (de segunda ordem), justificando sua resposta adequadamente. O que você pode inferir, 
a partir desses resultados, acerca da condução adequada da política monetária nessa economia? 
 
(c) Um economista (que não conhece o “verdadeiro” modelo da economia apresentado acima) deseja 
estimar a relação entre inflação e hiato do produto, por MQO, a partir da seguinte regressão: 
 
ttt ey ++= 10 bbp 
 
Na sua opinião, MQO será viesado nessa regressão? Consistente? Justifique suas respostas. 
 
(d) Um segundo economista (que também não conhece o “verdadeiro” modelo da economia) decide 
estimar por MQO a seguinte equação: 
 
tttt ey +++= -1210 pbbbp 
 
Na sua opin ião, MQO será viesado nessa regressão? Consistente? Justifique suas respostas. 
 
 
14. Um economista decide estimar o multiplicador de longo prazo do crescimento do nível de emprego na 
economia brasileira em relação ao crescimento do salário médio na indústria, através da seguinte 
equação, estimada em base mensal por MQO: 
 
 
tttt usalsalemp ˆ124.0172.0142.0 1
)50.3()84.4()02.4(
+++-= -
-
 
 
R2 = 0.30 DW=0.60 n=125 
 
 
onde emp é a taxa de crescimento do emprego e sal é a taxa de crescimento salarial (ambas definidas em 
porcentagens – por exemplo, o valor 1 denota um aumento de 1%, e assim por diante). Os valores entre 
parênteses são as estatísticas-t, n é o número de observações e DW é a estatística de Durbin-Watson. 
 
(a) A partir da equação acima, qual deve ser, no longo prazo, o efeito sobre o crescimento do emprego 
de um aumento permanente de 1 ponto percentual na taxa de crescimento salarial? 
 
(b) É possível, a partir da equação acima, testar a hipótese nula de que o multiplicador de longo prazo é 
igual a 1? Caso positivo, realize o teste. Caso negativo, descreva em detalhe como você realizaria o 
teste. 
 
 
Um segundo economista também deseja estimar o efeito de longo prazo do crescimento do salário sobre o 
crescimento do emprego, mas opta por fazê-lo a partir da estimação (por MQO) da equação a seguir: 
 
 
tttt uempsalemp ˆ78.0048.003.0 1
)0.14()97.1()46.1(
+++-= -
-
 
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R2 = 0.71 DW=2.28 n=125 
 
 
(c) Qual é a diferença fundamental entre a dinâmica da resposta de emp a um aumento permanente em 
sal segundo cada um dos modelos acima? 
 
(d) Calcule o multiplicador de longo prazo do crescimento do emprego em relação ao crescimento do 
salário estimado a partir dessa nova equação. 
 
(e) “O uso da estatística de Durbin-Watson é certamente inválido em uma das equações acima, e 
provavelmente inválido na outra”. Comente cuidadosamente. 
 
(f) Quais seriam as consequências da presença de autocorrelação nos distúrbios das equações acima 
para as propriedades do estimador de MQO? Descreva em detalhe o procedimento que você adotaria 
para verificar a existência (ou não) de autocorrelação nos distúrbios dessas equações. 
 
 
15. Considere os seguintes processos estocásticos: 
 
),0(~ e ),0(~ 
0, 0, , 10 onde (II)
 (I)
22
1
1
x
x
ty
y
t
xy
x
ttxt
y
ttyt
NuNu
uXX
uYY
ss
mmffm
m
³³<<++=
++=
-
-
 
 
(a) Por que se diz que o processo Y é um “processo com raiz unitária”? 
 
(b) Mostre de que forma os valores de Xt e Yt dependem de todos os respectivos choques aleatórios 
(u´s) ocorridos no passado. 
 
(c) O que os resultados do item (b) implicam em termos da persistência ou transitoriedade dos 
efeitos dos choques que afetam Y e X? E em termos das médias e das variâncias de Y e X? 
 
(d) Na sua opinião, qual desses processos representaria uma melhor aproximação para o 
comportamento do PIB do país? E para o comportamento da taxa de juros real? Em cada caso, 
seria mais razoável considerar 0=m ou 0>m ? 
 
 
 
 
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