ListaTeorica 3 2009.1

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia – 2009.1 
 
Lista Teórica 3 
 
 
SEÇÃO 1 
 
Questão 1 - Esta questão trata do teste Dickey-Fuller. 
 
(a) “A rejeição da hipótese nula do teste Dickey-Fuller implica que a variável em questão é estacionária”. 
Comente essa afirmação. 
 
(b) O que diferencia o teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF) do teste Dickey-Fuller (DF)? Explique como 
você decidiria qual dos dois testes utilizar em determinada situação, apontando as vantagens e 
desvantagens de cada procedimento. 
 
(c) Uma das dificuldades na aplicação do teste Dickey-Fuller refere-se à decisão de incluir ou não termos 
determinísticos (constante/tendência) na regressão de teste. Discuta, para cada uma das séries 
apresentadas no gráfico abaixo, os possíveis problemas derivados da omissão dos termos determinísticos 
na regressão do teste. [Faça referência às hipóteses nula e alternativa do teste] 
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_1
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_2
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_3
5.2
5.6
6.0
6.4
6.8
7.2
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
SERIE_4
 
 
(d) A realização de testes ADF para a Série 2 acima (S2) e suas diferenças gera os seguintes resultados: 
 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
S2t -2,254 -3,467 
DS2t -4,615 -3,467 
D2S2t -6,195 -3,468 
 
Qual é a ordem de integração da variável? 
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 2 
 
 
Questão 2 - Suponha que se deseje aplicar o teste Dickey-Fuller a séries geradas pelos seguintes processos 
ARIMA [onde tu ~ ),0(
2sN ]: 
 
a) ttt uYY += -15,0 
b) ttt uYY += -1 
c) 14,0 --= ttt uuY 
d) tttt uYYY +-= -- 21 14,09,0 
e) 121 5,014,09,0 --- -+-= ttttt uuYYY 
Para quais dos casos acima você esperaria que a hipótese nula do teste ADF fosse rejeitada? Justifique sua 
resposta. 
 
 
Questão 3 - A tabela abaixo contém as estatísticas de teste Dickey-Fuller para três séries econômicas, suas 
diferenças, e os resíduos de algumas regressões entre elas. 
 
 
Série Estatística 
ADF 
Valor crítico a 
5% 
Yt -2,07 -2,52 
Xt -1,21 -2,52 
Zt -1,58 -2,52 
DYt -3,41 -2,81 
DXt -2,16 -2,81 
DZt -2,29 -2,81 
D2Yt -6,12 -3,06 
D2Xt -3,48 -3,06 
D2Zt -3,81 -3,06 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt -2,08 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Zt -2,12 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt e Zt -2,85 -2,82 
 
 
Com base nos resultados da tabela, responda: 
 
(a) Qual é o grau de integração de Yt, Xt e Z t? 
 
(b) Defina cointegração. Como você testaria se duas ou mais variáveis são cointegradas? 
 
(c) Um economista afirma que não é possível que as três séries sejam cointegradas, pois apesar de 
integradas elas têm graus de integração diferentes. Confirme ou desminta essa afirmativa, explicando 
detalhadamente. 
 
(d) A partir dos resultados anteriores, como você construiria um modelo para captar a dinâmica de curto 
prazo da variável Y? 
 
 
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Questão 4 - Um economista estima a seguinte equação por MQO: 
 
tttt uzxy ˆ5,05,2
)70.2()20.3(
++= 
 
R2 = 0,81 DW = 1,45 SC = -8,22 
 
OBS.: Estatísticas -t entre parênteses; DW = estatística Durbin-Watson; 
SC = critério de informação de Schwarz. 
 
A realização de testes ADF para as variáveis (em nível e em primeira diferença) e para o resíduo da equação 
geram os seguintes resultados: 
 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
yt -1,922 -2,90 
xt -1,343 -2,90 
zt -2,140 -2,90 
Dyt -4,088 -2,90 
Dxt -3,450 -2,90 
Dzt -3,880 -2,90 
ût -3,300 -3,10 
 
A partir desses resultados, o economista afirma: 
 
“AS VARIÁVEIS SÃO I(1) E SÃO COINTEGRADAS. 
LOGO, ESSA REGRESSÃO NÃO É ESPÚRIA”. 
 
Responda (justificando suas respostas adequadamente): 
 
a) O que significa uma série ser I(1)? Você diria que as séries acima são realmente I(1)? 
 
b) O que significa duas ou mais séries serem cointegradas? Você diria que as séries acima são realmente 
cointegradas? 
 
c) O que é uma regressão espúria? Você diria que a regressão acima realmente não é espúria? 
 
d) Suponha que o economista deseje estimar uma equação que capte a dinâmica de curto prazo entre as 
variáveis. A partir dos resultados acima, você diria que o procedimento mais correto seria estimar um 
modelo com as variáveis em primeiras diferenças? 
 
Questão 5 - Dois economistas desejam analisar a relação entre a demanda de moeda (m) e a renda nacional 
(y). Eles estimam os seguintes modelos (variáveis em logaritmos, dados anuais): 
 
Economista A: 
ttt uym +=
)20.3(
1.1 (1) 
R2 = 0.7 DW = 1.4 
 
Economista B: 
ttt ym e+D=D
)44.2(
7.0 (2) 
R2 = 0.4 DW = 1.2 
 
onde os valores entre parênteses são as estatísticas-t. 
 
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A realização de testes ADF para as variáveis e os resíduos de (1) e (2) gera os seguintes resultados: 
 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
mt -1,422 -2,06 
yt -1,213 -2,06 
ut -3,202 -2,46 
Dmt -2,822 -2,06 
Dyt -3,415 -2,06 
et -2,505 -2,46 
 
 
a) Qual é a ordem de integração de m e y? 
 
b) O que o teste ADF nos resíduos de (1) indica a respeito da relação entre m e y? 
 
c) Considerando as respostas anteriores, você diria que os modelos (1) e (2) estão corretamente 
especificados? Justifique. 
 
 
Questão 6 
 
(a) Um economista investiga a relação entre a taxa de câmbio real e o volume de exportações de um país que 
pratica um regime de câmbio flutuante. Os gráficos abaixo mostram as séries mensais do volume de 
exportações e da taxa de câmbio para o período da década de noventa, além das estatísticas ADF 
correspondentes. 
 
6000
7000
8000
9000
10000
11000
12000
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
ADF = -1,63
ADF crít. 5% = -2,89
EXPORTAÇÕES
 
145
150
155
160
165
170
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
ADF = -0,10
ADF crít. 5% = -2,89
TAXA DE CÂMBIO
 
 
Com base nessas estatísticas e nos gráficos, comente acerca da estacionariedade dos processos geradores 
das séries em questão. 
 
(b) O economista decide testar a existência de cointegração entre os dois processos. Para isso, ele estima 
uma regressão estática em que a variável dependente são as exportações e o regressor é a taxa de câmbio. 
Examinando o gráfico dos resíduos dessa regressão (abaixo) e sua estatística ADF, o economista conclui 
que não há cointegração. Escreva a equação da regressão estática e explique qual foi o raciocínio do 
economista. 
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 5 
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
ADF = -1,72
ADF crít. 5% = -2,89
Resíduos da
regressão estática
 
 
 
(c) Não satisfeito com o resultado do item anterior, o economista decide aumentar o tamanho de sua amostra 
para novamente testar cointegração. Essa estratégia faz sentido? Por quê? 
 
(d) Ele consegue obter as mesmas séries de exportações e taxa de câmbio para todo o século XX: 
 
4000
6000
8000
10000
12000
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
EXPORTAÇÕES
 
80
100
120
140
160
180
00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
TAXA DE CÂMBIO
 
 
 
Novamente, ele estima uma regressão estática, agora com a amostra expandida. A estatística ADF 
obtida para os resíduos é igual a –7,57, para um valor crítico a 5% igual a –2,86. O que essa 
estatística diz sobre os resíduos e sobre a possibilidade de cointegração entre os dois processos? 
 
 
Questão 7 – Considere as seguintes regressões estimadas por MQO para o período de janeiro de 1991 a 
dezembro de 2002 (os valores entre parênteses são as estatísticas-t): 
 
CSFt = -9.1619 + 2.583 Ut (i) 
 (-6.47) (11.21) 
R2 = 0.469 Número de obs.: 144 
 
CSFt = -3.535 + 0.556 Ut + 0.091 t (ii)(-5.16) (4.10) (23.46) 
R2 = 0.892 Número de obs.: 144 
 
Ut = 4.706 + 0.018 t (iii) 
 (30.49) (9.85) 
R2 = 0.406 Número de obs.: 144 
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Onde: 
CSFt = Número de cheques sem fundo (para cada 1.000 compensados). 
Ut = taxa de desemprego 
t = tendência linear 
 
a) Como você explicaria a diferença entre os coeficientes estimados para o efeito do desemprego sobre 
o número de cheques sem fundo nas regressões (i) e (ii)? 
 
b) Como você interpreta o coeficiente estimado para a tendência na regressão (ii)? 
 
 
Questão 8 – Considere os resultados do teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF) para a série de cheques sem 
fundo (CSF) da questão anterior: 
 
 
Especificação da 
regressão de teste 
Estatística 
ADF 
Valor crítico 
a 5% 
(I) Com constante -0.90 -2.88 
(II) Com constante e tendência -3.62 -3.44 
 
 
O gráfico abaixo apresenta o comportamento a série de cheques sem fundo (CSF) entre janeiro de 1995 e 
agosto de 2005 (período para o qual foi realizado o teste ADF): 
 
 
0
4
8
12
16
20
24
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
CSF
 
 
 
(a) Escreva a regressão do teste ADF sob cada uma das especificações acima e indique com clareza as 
hipóteses nula e alternativa do teste. 
 
 
(b) Qual é a conclusão do teste a partir de cada uma das especificações acima? Discuta os resultados à luz do 
gráfico da série. 
 
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Questão 9 – A tabela abaixo apresenta os resultados dos testes de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) para 
o consumo per capita (Ct), o PIB per capita (Yt), e as produções de café (Cft) e de energia elétrica (Et) do 
Brasil entre 1947 e 2004. Os testes são aplicados para as variáveis em nível e em primeira diferença, usando 
as especificações com e sem tendência. 
 
 Estatísticas ADF - 
com constante 
Valor crítico 
(10%) - com 
constante 
Estatísticas ADF 
- com constante 
e tendência 
Valor crítico 
(10%) - com 
constante e 
tendência 
Consumo per capita -1.091 - 2,57 -1.885 -3,12 
D Consumo per capita -5.320 - 2,57 -5.319 -3,12 
PIB per capita -0.917 - 2,57 1.760 -3,12 
D PIB per capita -4.248 - 2,57 -4.237 -3,12 
Log da produção de energia elétrica 0.437 - 2,57 -1.945 -3,12 
D Log da produção de energia elátrica -5.416 - 2,57 -5.417 -3,12 
Produção de café (toneladas) -3.382 - 2,57 -3.351 -3,12 
D Produção de café (toneladas) -4.486 - 2,57 -4.556 -3,12 
 
a) Qual é a ordem de integração de cada uma das variáveis? 
 
b) Suponha que você deseje estimar o efeito do PIB per capita sobre a produção de café. Como você 
especificaria essa relação? 
 
c) Pode existir algum problema em estimar uma regressão por MQO usando o PIB per capita como 
variável dependente e o log da produção de energia elétrica como variável independente? Explique. 
 
Estimando uma regressão por MQO com o consumo per capita como variável dependente e o PIB per capita 
como regressor, encontramos o seguinte resultado (os valores entre parênteses são as estatísticas-t):: 
 
Ct = 59043.5 + 0.767436 Yt 
 (2.027) (104.67) 
 
O Teste de Dickey-Fuller Aumentado (sem constante e sem tendência) para os resíduos da regressão acima 
apresenta o seguinte resultado: 
 
ADF(4): t = -3.06427 
[O valor crítico para o nível de significância de 10% é –1,62] 
 
d) Analisando esses resultados, podemos dizer que as duas variáveis (Ct e Yt) são cointegradas pelo 
teste de Engle-Granger? Justifique a sua resposta. 
 
 
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Questão 10 – Um certo país mantém sua taxa de câmbio real controlada, igual a 1. Essa taxa determina um 
nível de exportações de equilíbrio (Y*), ao qual as exportações observadas (Y) tendem a convergir. 
Subitamente, o país sofre um choque cambial, no qual a moeda local se desvaloriza 100%. Essa 
desvalorização determina um novo nível ideal de exportações. 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
X(t)
Y(t)
Y*(t)
 
 
 
(a) Para modelar a relação entre a taxa de câmbio real e as exportações, um economista propõe o seguinte 
modelo ADL: 
ttttt uXXYY +++= -- 1101 bba 
 
Mostre que esse modelo ADL tem uma representação de correção de erro e identifique na equação o 
termo que representa o “erro”. De que “erro” exatamente se trata? 
 
(b) O economista estima a igual a 0,9 e b0 igual a 0,3. Estime o valor do terceiro parâmetro do modelo 
ADL. Para que valor as exportações tenderão, a longo prazo, se a taxa de câmbio sofrer uma segunda 
desvalorização de 100%? 
 
(c) Podemos afirmar algo sobre a relação entre as séries de taxa de câmbio e de exportações, com base no 
fato de que o modelo que as associa tem uma representação de correção de erro? 
 
 
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Questão 10 – Considere o modelo abaixo, baseado em artigo publicado em 1993 na Applied Financial 
Economics, vol. 3(1), pelo economista Dorian Owen: 
e
ttt ir p-º (1) 
t
e
tt ur ++= bpa (2) 
A equação (1) é a identidade que define a taxa de juros real (r) como a diferença entre a taxa de juros 
nominal (i) e a taxa de inflação esperada (pe). A equação (2) é a equação de determinação da taxa de juros 
real, que depende de variáveis agregadas no termo estacionário tu e, possivelmente, da inflação esperada, 
caso o valor do parâmetro ß seja diferente de zero (note que, em princípio, esse parâmetro poderia ser 0). 
 
Suponha que esse modelo descreva adequadamente o funcionamento da economia (ou seja, que todas as 
hipóteses acima sejam verdadeiras). Dada uma mudança nas expectativas de inflação, a identidade (1) 
implica que pelo menos uma das taxas r e i deve se alterar. Podemos distinguir dois casos extremos: 
 
· “Hipótese de Fisher”: uma variação em pe acarreta igual variação em i, de modo que a taxa de juros 
real r se mantém constante. Logo, na equação (2) devemos ter ß=0 (pois r não varia com pe). 
 
· “Hipótese de Fisher invertida”: uma variação em pe acarreta variação em r de igual magnitude mas 
com sinal invertido, de modo que a taxa de juros nominal i se mantém constante. Isso significa que, 
na equação (2), devemos ter ß = -1. 
 
A principal distinção entre as duas hipóteses acima diz respeito, portanto, ao fato de ß ser ou não ser igual a 
zero. De acordo com Owen, é possível verificar qual dessas hipóteses é mais plausível para certo país, a 
partir da identificação da ordem de integração de r, i e pe. Considere os seguintes casos possíveis: 
 
 CASO (I) CASO (II) 
r I(0) I(1) 
i I(1) I(0) 
pe I(1) I(1) 
 
(a) Qual das duas hipóteses (“Fisher” ou “Fisher invertida”) é compatível com cada um dos casos 
acima? Explique sua argumentação cuidadosamente. [Dica: Para responder a essa pergunta, você 
deve analisar com cuidado o modelo formado por (1) e (2), lembrando que, na equação (2), u é 
estacionário por hipótese, e que a diferença entre as duas hipóteses diz respeito ao valor de ß.] 
(b) Sob cada um dos casos acima, é possível afirmar que duas ou mais variáveis são cointegradas? 
Exp lique. [Vale a mesma dica acima] 
Visando preparar uma questão interessante, inteligente e original, seu modesto professor decide aplicar a 
metodologia acima para o Brasil. A realização de testes ADF para as variáveis em questão (em nível e em 
primeira dife rença) gera os seguintes resultados: 
Variável Estatística-ADF 
pet -2,550 
it -1,910 
rt -3,608 
D pet -4,672 
Dit -3,298 
Drt -11,138 
 Valor crítico a 5% = -2,9165 
 
(c) De acordo com o teste acima, qual é a ordem de integração das variáveis r, i e pe? O que isso 
indica acerca da validade das hipóteses de Fisher/Fisher invertida para o Brasil? 
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Questão 11 - Um economista deseja saber qual a relação entre duas variáveis Yt e Zt. Para tal, eleestima a 
seguinte regressão: Y_t = a + b Zt + ut. Os valores estimados para os coeficientes, bem como as estatísticas 
de teste relevantes estão apresentadas abaixo: 
 
 
Parâmetros Valores Estimados Erro-padrão Estatística-t p-valor 
a 454,31 3,88 117,06 <0,001 
b -1,26 0,01 -95,24 <0,001 
R2 0,947 
Durbin-Watson: 1,201 
 
Como pode ser observado na tabela acima, a correlação entre as variáveis é negativa e altamente significante, 
com ótimo ajuste aos dados. Ao apresentar os dados a outro economista, este diz que se trata de uma 
“regressão espúria” e pede para o primeiro economista verificar se as variáveis são estacionárias. 
 
Abaixo estão as tabelas com os resumos dos testes ADF para ambas as séries: 
 
Variável dependente: DYt 
 Coeficientes Estimados Estatística-t p-valor 
Yt-1 -0,509 -13,31 - 
DYt-1 0,291 6,75 <0,001 
Constante 6,174 10,33 <0,001 
Tendência 0,153 13,21 <0,001 
 
 
 
Variável dependente: DZt 
 Coeficientes Estimados Estatística-t p-valor 
Zt-1 -0,678 -16,79 - 
DZt-1 0,427 10,36 <0,001 
Constante 203,89 16,76 <0,001 
Tendência 0,135 16,50 <0,001 
 
 
Valores Críticos do Teste ADF 
 Equação com intecepto Equação com Intercepto e Tendência 
5% -2,86 -3,41 
10% -2,57 -3,12 
 
 
Com base nesses dados responda os itens a seguir. 
 
(a) Por que o economista incluiu a constante, a tendência e uma defasagem da primeira diferença na equação 
do teste ADF? 
(b) Quais séries são não-estacionárias e qual a ordem de integração de cada uma delas? Justifique. 
(c) Quais são os principais indicadores que levaram o segundo economista a pensar que se trata de uma 
“regressão espúria”? Com base nos resultados apresentados acima e em sua resposta do item anterior, ele 
pode estar correto? Justifique. 
(d) Explique detalhadamente como o primeiro economista deve redefinir a regressão acima para convencer o 
segundo economista sobre sua validade. Apresente todos os passos necessários, explicando como 
proceder em cada um deles; todas as novas variáveis que devem ser definidas e todas as regressões que 
devem ser feitas. 
 
 
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Questão 12 - Suponha que a relação entre duas variáveis econômicas, x e y, satisfaça as seguintes condições: 
 
tttttt
tttttt
uuuyx
uuuyx
,21,22,2,22
,11,11,1,11
 onde 
 onde 
erb
erb
+==+
+==+
-
-
 
 
e e1t , e2t são distúrbios estacionários. 
 
Para cada um dos casos abaixo, indique: (i) o grau de integração (número de raízes unitárias) de x e y; (ii) se 
x e y são cointegradas; (iii) o vetor de cointegração, caso as variáveis sejam cointegradas. Se houver 
múltiplas alternativas possíveis, indique todas elas (p.ex.: “O grau de integração de x pode ser A ou B...”). 
 
Caso (I): 0,0,0 2121 ==¹= rrbb 
Caso (II): 1,1,0,0 2121 <<¹= rrbb 
Caso (III): 1,1, 2121 <<¹ rrbb 
Caso (IV): 1,1,0 211 <== rrb 
Caso (V): 1,1,0 212 <== rrb 
Caso (VI) : 1,1,0 212 <=¹ rrb 
 
Questão 13 – Considere as séries mensais de taxa de câmbio real e PIB real para o Brasil no período 1992-
1997: 
.068
.072
.076
.080
.084
.088
.092
1992 1993 1994 1995 1996 1997
TCR
95
100
105
110
115
120
125
130
1992 1993 1994 1995 1996 1997
PIBR
 
Um economista decide testar a existência de raiz unitária nos “processos geradores” dessas séries através do 
teste Dickey-Fuller baseado na seguinte regressão, onde Y é a série de interesse: 
 
ttt uYY +=D -1g (*) 
 
Explique por que o teste acima pode gerar resultados “enganosos” para as séries em questão, e como você 
resolveria esse problema, de modo a testar adequadamente a hipótese de raiz unitária. 
 
 
Questão 14 – Um economista deseja estimar a seguinte equação de demanda de moeda para o Brasil: 
 
upym +++= 210 bbb (1) 
 
onde m é o logaritmo do estoque real de moeda, y o logaritmo do pib, p a taxa de inflação e u um distúrbio 
aleatório. Os dados são trimestrais (dessazonalizados) para o período 1991.1-2002.4. 
 
Antes de estimar a equação (1), o economista estima as seguintes equações (estat.-t em parênteses): 
 
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 12 
ttttt vmmmtm ˆ18.035.023.071.106.12 2
)25.1(
1
)47.2(
1
)09.3()19.3()88.1(
+D-D+-+=D -
-
--
-
 (2) 
R2=0.33 DW=1.85 SC=8.61 No.Obs.: 45 
ttttt wyyyty ˆ43.029.022.015.052.22 2
)46.3(
1
)24.2(
1
)76.1()63.1()85.1(
+D-D+-+=D -
-
--
-
 (3) 
R2=0.43 DW=1.79 SC=4.07 No.Obs.: 45 
ttttt zpppp ˆ34.058.008.002.0 2
)39.2(
1
)21.4(
1
)47.1()58.0(
+D-D+-=D -
-
--
-
 (4) 
R2=0.34 DW=1.89 SC=-0.24 No.Obs.: 45 
 
onde t é uma tendência determinística, zwv ˆ,ˆ,ˆ são os resíduos das regressões estimadas, DW é a estatística 
de Durbin-Watson e SC o critério de informação de Schwarz. 
 
(a) O que o economista pretende testar ao estimar as equações (2)-(4)? Por que os resultados dessas 
regressões são relevantes para a estimação correta da equação de interesse, isto é, a equação (1)? 
Interprete os resultados numéricos obtidos. (2 PONTOS) 
 
Após estimar (2)-(4), o economista estima a equação (1), obtendo o seguinte resultado: 
 
tttt upym ˆ46.070.238.7
)26.6()53.6()71.3(
+-+-=
--
 (1’) 
R2=0.86 DW=0.28 SC=-0.36 No.Obs.: 48 
Eis o gráfico dos resíduos da regressão acima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Baseando-se nas informações disponíveis até o momento, o economista afirma: “É provável que a 
regressão (1’) seja espúria”. O que é uma regressão espúria? Você concorda ou discorda da afirmação 
do economista? Caso a regressão não seja espúria, o que se pode dizer sobre a relação entre as variáveis? 
 
(c) A fim de verificar se (1’) é realmente uma regressão espúria, o que o economista deveria fazer? Explique 
cuidadosamente. (0,5 PONTO) 
 
(d) Observe abaixo os gráficos das séries m, y e p para o período analisado (1991.1-2002.4). A partir desses 
gráficos, que tipo de crítica poderia ser feito à análise realizada pelo economista acima? (0,5 PONTO) 
 
4.0
4.4
4.8
5.2
5.6
6.0
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
M
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
Y
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02
P
 
-6
-4
-2
 0
 2
 4
 6
 1992 1994 1996 1998 2000 2002
u
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 13 
 
SEÇÃO 2 
 
Questão 1 – [Adaptado de Hamilton, 1994] Considere um ativo que pague dividendos Dt. Suponha que o 
retorno esperado do ativo seja o valor constante R, de modo que o preço do ativo, Pt, deve satisfazer a 
equação: 
úû
ù
êë
é= +
¥
=
-å st
s
s
tt DREP
1
 (*) 
 
Evidentemente, essa expressão deixa claro que D causa P. Suponha, porém, que Dt evolua de acordo com 
um processo MA(1). Mostre que, em termos de causalidade de Granger, é P que causa D, e não o inverso. 
Explique esse aparente paradoxo. 
 
[Dica: primeiro, calcule o valor esperado de Dt+s para diferentes valores de s e substitua em (*). Resolva, 
então, para Pt e Dt em função de seus valores defasados e dos choques aleatórios que determinam a 
evolução de Dt] 
 
 
 
Questão 2 – “As vendas de ovos de Páscoa não causam a Páscoa no sentido econômico – isto é, não 
determinam a ocorrência da Páscoa. Entretanto, elas causam a Páscoa no sentido de Granger”. 
Comente. 
 
 
Questão 3 – Um VAR para 3 variáveis macroeconômicas foi estimado com o número de defasagens de cada 
variável variando entre 1 e 5. A tabela abaixo apresenta os valores dos critérios de informação de Schwarz, 
Akaike e Hannan-Quinn obtidos para cada especificação: 
 
Número de 
defasagens 
AIC SC HQ 
1 19.33201 19.60494 19.44288 
2 19.10852 19.58615 19.30255 
3 19.09986 19.78219 19.37704 
4 19.10670 19.99373 19.46703 
5 19.00596 20.09768 19.44944 
 AIC: Akaike information criterion 
 SC: Schwarz information criterion 
 HQ: Hannan-Quinn information criterion 
 
(a) Qual é o número ótimo de defasagens do VAR segundo cada critério? 
(b) Além dos critérios de informação acima,aponte outros dados que poderiam nos 
ajudar a selecionar o número ótimo de defasagens de um VAR. 
(c) Quais são as conseqüências de estimar um VAR com número insuficiente de 
defasagens? E de estimar o modelo com número excessivo de defasagens? 
 
 
 
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 14 
Questão 4 – Um economista decide analisar a relação entre a taxa de juros e o hiato do produto, com o 
objetivo de investigar a existência de efeitos reais da política monetária. O hiato do produto é definido como 
o desvio do PIB em relação à sua “tendência de longo prazo”. 
 
a) Cite dois métodos através dos quais seria possível calcular o hiato do produto. Sob que condições 
você esperaria que os dois métodos gerassem resultados semelhantes? 
 
O economista postula que a relação entre a taxa de juros (y1) e o hiato do produto (y2) possa ser representada 
pelo seguinte modelo “estrutural”: 
 
ttt uyyB G 1
,2
,1
1,2
1,1
2221
1211
,2
,1
2221
1211
+=
ú
û
ù
ê
ë
é
+ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
-
t
t
t
t
t
t
u
u
y
y
y
y
bb
bb
gg
gg
 
 
b) Mostre que a forma reduzida desse modelo é um modelo VAR, explicitando a relação entre os 
coeficientes das formas reduzida e estrutural. [Sugestão: use notação matricial (caso contrário,você 
terá muito mais trabalho e precisará usar o verso da página!)] 
 
c) “Os dados que observamos permitem estimar a forma reduzida do modelo. Entretanto, em geral não 
é possível recuperar os parâmetros da forma estrutural a partir da forma reduzida”. Comente. 
 
O economista estima o VAR correspondente à forma reduzida do modelo acima, obtendo: 
 
tttt
tttt
eyyy
eyyy
,21,2
)9.3(
1,1
)5.2(
,2
,11,2
)0.1(
1,1
)0.3(
,1
ˆ8.02.0
ˆ1.05.0
++-=
++=
--
--
 
 
d) “Dado que te ,1ˆ é uma estimativa dos choques na taxa de juros, os resultados do VAR acima nos 
permitem afirmar que um choque restritivo de política monetária no período t não afeta o hiato do 
produto contemporaneamente, mas causa uma redução do hiato do produto no período t+1”. 
Comente cuidadosamente (mas sucintamente!). 
 
e) O economista decide estimar as “funções de resposta a impulso” do modelo através do método 
padrão na análise de modelos VAR, baseado na “decomposição de Choleski”. 
 
(e.1) O que é uma “função de resposta a impulso”? 
 
(e.2) Explicite todas as restrições que devem ser impostas ao modelo estrutural através do método da 
decomposição de Choleski, explicando de que forma a imposição dessas restrições resolve o 
problema de identificação do modelo estrutural. 
 
f) No caso de um VAR bivariado, a decomposição de Choleski pode ser obtida através de duas 
especificações alternativas da matriz de relações contemporâneas B. O que diferencia essas 
especificações? Qual delas você julga mais adequada ao caso em questão? Por quê? 
 
g) “De acordo com o VAR estimado acima, é possível afirmar que a taxa de juros causa o hiato do 
produto no sentido de Granger. Mas isso não significa necessariamente que a política monetária 
tenha efeitos reais”. Comente cuidadosamente. 
 
 
 
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 15 
Questão 5 – Suponha que as relações entre 3 variáveis possam ser descritas por um VAR(p): 
 
tptp2t21t1t vx?...x?x?x ++++= --- 
 
onde: 
xt = vetor (3 x 1) de variáveis (X1, X2 e X3) 
P i = matrizes (3 x 3) de parâmetros 
vt = vetor (3 x 1) de distúrbios 
 
a) Que método de estimação você usaria para estimar o modelo VAR acima? Como você 
determinaria a ordem de defasagens (p) do modelo? 
b) Suponha que um economista tenha decidido identificar o modelo estrutural associado ao 
VAR acima através da imposição de uma estrutura recursiva de relações contemporâneas 
com a seguinte ordenação causal: X1ÞX2ÞX3. Além disso, suponha que X2 não cause X1 
no sentido de Granger. Com base unicamente nessas informações, o que podemos dizer 
sobre as matrizes P i do VAR? E sobre as funções de resposta a impulso do modelo? 
Explique sua resposta. 
 
 
 
Questão 6 – Com o objetivo de testar a hipótese de “neutralidade da moeda” – isto é, a hipótese de 
que a moeda não tem efeitos reais –, um economista decide verificar se a moeda causa o produto no 
sentido de Granger a partir do seguinte VAR, estimado com 120 dados trimestrais 
dessazonalizados: 
 
1
1)5.3(1)0.5()1.2(
ˆ15.060.001.0 tttt uymm +++= -- 
2
1)2.4(1)0.3()1.2(
ˆ30.020.001.0 tttt uymy +++= -- 
 
onde m é a taxa de emissão monetária, y é a taxa de crescimento do produto e ituˆ denota o resíduo 
da i-ésima equação. Os valores entre parênteses são as estatísticas-t. 
 
(a) (1,0 ponto) É possível, a partir dessas informações, testar se a moeda causa o produto no 
sentido de Granger? Caso positivo, realize o teste. Caso negativo, indique como você 
poderia realizar o teste. 
 
(b) (1,0 ponto) Suponha que m e y façam parte de um sistema de equações mais amplo, que 
inclua uma terceira variável macroeconômica (x) e cuja dinâmica possa ser representada 
pelo VAR abaixo: 
 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
y
x
m
y
x
m
,3
,2
,1
1
1
1
3332
22
1211
0
00
0
gg
g
gg
 
 
 À luz dessa nova informação, comente sobre a validade do teste do item anterior 
 como forma de testar a hipótese de “neutralidade da moeda”. 
 
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 16 
Questão 7 – Um economista estima um modelo VAR para o PIB e o déficit fiscal, com o número de 
defasagens de cada variável variando entre 1 e 5. A tabela abaixo apresenta os valores do critério de 
informação de Akaike para cada especificação: 
 
Número de 
defasagens 
C.I. 
Akaike 
1 10.18 
2 10.08 
3 10.02 
4 10.20 
5 10.45 
 
ii) Qual é o número ótimo de defasagens do VAR segundo o critério de Akaike? O que você pode 
dizer sobre o número ótimo de defasagens do VAR a que o economista teria chegado se ele 
tivesse se baseado no critério de informação de Schwarz? (0,75 PONTO) 
 
iii) Um economista deseja testar a hipótese de que o déficit fiscal causa o PIB no sentido de 
Granger. Explique como ele poderia realizar esse teste, especificando adequadamente as 
hipóteses nula e alternativa. (0,5 PONTO) 
 
iv) Após realizar os testes apropriados, o economista conclui que o déficit fiscal causa o PIB no 
sentido de Granger, sendo que déficits mais elevados são seguidos por valores mais baixos do 
PIB. Na opinião do economista, esse resultado corrobora a tese de que a política fiscal tem 
efeitos “não-keynesianos” – ou seja, aumentos de gastos e/ou reduções de impostos, que levem 
ao aumento do déficit, geram redução da atividade econômica. Por que o resultado do teste de 
causalidade de Granger não corrobora necessariamente a tese dos efeitos não-keynesianos da 
política fiscal? Exemplifique sua resposta através de dois argumentos econômicos distintos. (1 
PONTO) 
 
v) Outro economista argumenta que, a fim de testar a hipótese de efeitos não-keynesianos da 
política fiscal, o mais correto seria estimar o efeito de um “choque” fiscal sobre o PIB, através da 
estimação de “funções de resposta a impulso”; para tanto, porém, seria necessário identificar o 
“modelo estrutural” que teria dado origem ao VAR em questão. Explique o que é uma função de 
resposta a impulso, e por que esse tipo de análise só faz sentido quando realizado com base no 
modelo na “forma estrutural” (e não na “forma reduzida”). (0,75 PONTO) 
 
vi) Explique detalhadamente como o economista poderia identificar o modelo estrutural que teria 
dado origem ao VAR estimado acima. (1 PONTO) 
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 17 
 
SEÇÃO 3 
 
Questão 1 - Calcule a função de autocorrelação dos processos abaixo. Mostre os 5 primeiros valores da FAC 
numgráfico. 
(a) ttt uyy += -15.0 
(b) 21 3.02.0 -- --= tttt uuuy 
 
 
Questão 2 - Considere o seguinte processo estocástico: 
 
21 )3,0()1,0( -- --= tttt uuuY (*) 
ut ~ N(0, 1) 
 
(a) Que formato você esperaria para a FAC e FACP de uma realização do processo? 
 
(b) O economista A observa uma realização do processo, sem saber que o verdadeiro processo gerador dos 
dados é (*). Ele deseja identificar o processo através da análise da FAC e FACP amostral. Mas o 
economista B, que conhece o processo gerador (*), afirma: “Dificilmente o economista A conseguirá 
identificar corretamente o processo, a menos que disponha de número muito grande de observações”. 
Comente essa afirmação. 
 
 
Questão 3 - A FACP teórica de um processo ARIMA decai exponencialmente, enquanto que sua FAC 
teórica tem o seguinte gráfico, onde r(?k) = 0 para k > 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva a equação completa do processo, com o valor teórico dos parâmetros e verifique se ele é 
estacionário. Suponha que Var(ut) = 2 e a Var(Yt) = 12. [Dica: Primeiro escreva a equação do processo em 
função de parâmetros desconhecidos; em seguida, calcule o valor desses parâmetros a partir da função de 
autocorrelação do processo e das informações acima.] 
 
 
 
 
Defasagem 1 
2 
1/3 
-1/2 
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 18 
Questão 4 - Um processo da classe ARIMA apresenta os seguintes formatos para a FAC e FACP: 
F A C
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 13 14 1 5
Defasagem
 
F A C P
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Defasagem
 
Você observa uma realização do processo até o período T e deseja prever os valores que serão observados 
em T+1 e T+2. Além da FAC e FACP acima, você dispõe das seguintes informações: (i) a média do processo 
é 10; (ii) o valor de Y em T é 12; (iii) as inovações ut têm distribuição N(0,1). 
(a) Calcule as previsões para T+1 e T+2. 
(b) Calcule a variância do erro de previsão para as previsões acima. 
(c) O intervalo de confiança para suas previsões é maior em T+1 ou T+2? Comente. 
(d) Qual é o valor previsto para T+100? 
 
 
Questão 5 - Um economista analisa uma série temporal macroeconômica com freqüência mensal, 
abrangendo o período de janeiro de 1970 a dezembro de 2004. Abaixo, o gráfico do logaritmo da série e uma 
tabela com suas FAC e FACP: 
 
 
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
30 40 50 60 70 80 90 00
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.997 0.997 
2 0.994 -0.129 
3 0.990 -0.070 
4 0.986 -0.016 
5 0.981 0.017 
6 0.977 0.011 
7 0.973 -0.015 
8 0.969 0.007 
9 0.965 -0.023 
10 0.961 -0.021 
 
 
a) Que propriedade importante o processo gerador dessa série parece não possuir, e qual a sua relevância 
para a estimação de um modelo da classe ARMA? Justifique sua resposta através do gráfico da série e da 
tabela que o acompanha. 
 
O economista calculou a primeira diferença da série mostrada no item anterior e, para essa série de 
diferenças, obteve as seguintes FAC e FACP: 
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 19 
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.480 0.480 
2 0.209 -0.028 
3 0.077 -0.017 
4 -0.008 -0.044 
5 -0.032 -0.008 
6 -0.039 -0.015 
7 -0.042 -0.018 
8 -0.002 0.036 
9 0.000 -0.013 
10 0.013 0.016 
 
b) Lembrando que as autocorrelações amostrais (simples e parciais) são distribuídas assintoticamente 
como: 
( )
)1,0(~ˆ:
1 )21(,0
1 )1,0(
~: 1
1
2
TNFACP
kTrN
kTN
rFAC
kk
k
j j
k
d
ïî
ï
í
ì
>+
=
å -=
 
 
calcule o intervalo de confiança de 95% para a FAC e FACP. Até que defasagem a FAC é 
estatisticamente significativa? E a FACP? 
c) Com base nos itens anteriores, sugira um modelo ARIMA(p,d,q) para a série macroeconômica original, 
especificando os valores dos hiperparâmetros e, se possível, fornecendo uma estimativa do(s) 
parâmetro(s) da equação. 
 
 
Questão 6 – Suponha que o PIB brasileiro trimestral (com ajuste sazonal) seja representado pelo 
seguinte processo estocástico: 
)()( I
t
P
tt yyy += , (Equação 1) 
onde Pty é o componente permanente (tendência) ou “PIB potencial” e 
I
ty é o componente irregular 
out “hiato do produto”. Suponha ainda que: 
,
,
11
)(
22
)(
110
)(
)(
tt
I
t
I
t
I
t
P
t
yyy
btay
hhqfff +-++=
+=
---
 (Equação 2) 
onde a, b, f0, f1, f2 e q1 são parâmetros desconhecidos, ut e th são dois ruídos-branco com média 
nula e variâncias 2us e 
2
hs , respectivamente e ( ) tht ,,0E tut "= . Suponha ainda que q1 tenha 
exatamente o mesmo valor do inverso de uma das raízes do polinômio auto-regressivo F(L) = (1 - 
f1L - f2L
2). Somente a série yt é observada. Você é um economista recém contratado do Banco 
Central e a sua primeira tarefa é modelar o PIB trimestral do Brasil. Suponha que você tenha uma 
amostra de 40 observações. 
 
(a) (0,5 ponto) Explique como você obteria uma estimativa do PIB potencial e do hiato do 
produto. 
 
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 20 
Um estagiário seu estimou o PIB potencial e encontrou as seguintes FAC e FACP para o hiato: 
FAC 
 
FACP 
 
 
 
(b) (0,5 ponto) A FAC e a FACP estimadas pelo estagiário estão de acordo com o esperado? 
Justifique cuidadosamente. 
(c) (0,75 ponto) A partir do resultado do item (c) o seu estagiário resolveu estimar o seguinte 
modelo MA(1) para o hiato e obteve os resultados abaixo: 
 
Modelo Estimado 
 
 
Variável Coeficiente 
Erro 
padrão 
Estatística 
t p-valor 
 
 Constante 2.598385 0.140002 18.55959 0.0000 
MA(1) 0.667790 0.124203 5.376606 0.0000 
 
 R2 0.450413 
R2 ajustado 0.435950 
 
 
 
 
A FAC, FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos estão 
apresentadas a seguir. 
 
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 21 
 
FAC 
 
FACP 
 
Estatística Q de Ljung-Box 
 
 
 
 
 
 Defasagem Q-
Stat P-valor 
 
 1 3,7683 
2 17,172 0.000 
3 20,661 0.000 
4 24,881 0.000 
5 29,067 0.000 
6 31,517 0.000 
7 32,498 0.000 
8 32,570 0.000 
9 32,572 0.000 
10 33,063 0.000 
 
Interpretando todas as estatísticas fornecidas, você acredita que o modelo estimado pelo 
estagiário está adequado aos dados? Justifique cuidadosamente. 
 
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