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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Lugar Geométrico das Raízes GENERALIZADO:
- O desenho do Lugar Geométrico das Raízes não é feito apenas em função da 
variação do ganho do percurso direto “K”.
- O projetista de sistemas de controle precisa saber como os pólos em malha fechada 
são alterados em função de um outro parâmetro.
Lugar das Raízes – Parte III (Capítulo 8, NISE)
- A pergunta é: Como seria possível obter o lugar geométrico das raízes considerando as 
variações no valor de p1?
- A função KG(s)H(s) é formada por:
- O problema é que p1 não é um fator multiplicador da função, como o ganho, K , foi até agora nos 
problemas avaliados.
- Solução: Criar um sistema equivalente, onde p1 apareça como um ganho de percurso direto.
- Como o denominador da função de transferência em malha fechada é 1+KG(s)H(s), deseja-se, 
na verdade, criar um sistema equivalente cujo denominador também seja 1+KG(s)H(s).
))(2(
10
)()(
1pss
sHsKG
++
=
O sistema ao lado é um exemplo: 
- O parâmetro de interesse é o pólo 
em malha aberta posicionado em –p1. 
Sistemas de Controle 2010-1
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Lugar Geométrico das Raízes GENERALIZADO:
- Função de transferência de malha fechada do 
sistema original:
- Isolando p1:
- Converter o denominador deT(s) para a forma 
[1+p1G(s)H(s)] � dividir o numerador e o 
denominador pelo termo que não possui p1, 
s2+2s+10:
-O que implica a existência de um sistema 
equivalente para o qual a função de transferência 
de malha aberta é :
Lugar das Raízes – Parte III (Capítulo 8, NISE)
102)2(
10
)()(1
)(
)(
11
2 ++++
=
+
=
pspssHsKG
sKG
sT
- O Lugar Geométrico das Raízes pode agora ser 
esboçado como uma função de p1: 
)2(102
10
)(
1
2 ++++
=
spss
sT
102
)2(
1
102
10
)(
2
1
2
++
+
+
++
=
ss
sp
sssT
102
)2(
)()(
2
1
++
+
=
ss
sp
sHsKG
10
)2(1 +sp
102
10
2 ++ ss
Sistema Original
Sistema Equivalente
10
)2(
 e 
102
10
)( 1
2
+
=
++
=
sp
H(s)
ss
sKG
Onde:
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REGRAS para o Lugar das Raízes – Realimentação POSITIVA:
Lugar das Raízes – Parte III (Capítulo 8, NISE)
¯
Sistema com Realimentação Negativa: Sistema com Realimentação Positiva:
)()(1
)(
)(
sHsKG
sKG
sT
+
=
)()(1
)(
)(
sHsKG
sKG
sT
−
=
0180)12(1)()(
1)()(
+∠=
−=
ksHsKG
sHsKG
03601)()(
1)()(
ksHsKG
sHsKG
∠=
=
- Função de Transferência de Malha Fechada:
- Condição para fazer parte do Lugar Geométrico das Raízes:
Todos os pontos do plano “s” onde o ângulo 
de KG(s)H(s) é igual a (2k+1)1800
Todos os pontos do plano “s” onde o ângulo 
de KG(s)H(s) é igual a k3600
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R1 – Número de Ramos (não há alteração)
O número de ramos do lugar geométrico das raízes é igual ao número de pólos do sistema.
R2 – Simetria (não há alteração)
O lugar geométrico das raízes é simétrico em relação ao eixo real.
R3 – Segmentos do Eixo Real (existe alteração)
O segmento de eixo real que está a esquerda de um número PAR de pólos e/ou zeros finitos de malha 
aberta faz parte do lugar geométrico das raízes.
R4 – Pontos de Ínicio e de Término (não há alteração)
O lugar geométrico das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) (FTMA) e termina nos 
zeros finitos e infinitos de G(s)H(s) (FTMA).
R5 – Comportamento no Infinito (existe alteração)
Os ramos do lugar geométrico das raízes que vão para o infinito tendem a retas assintóticas. Além 
disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de interseção sobre o eixo real, σ
a
, e o ângulo, θ
a
, conforme 
equações: 
Demais regras:
- Os pontos de interseção do eixo imaginário: procurar os pontos onde os ângulos totalizam um múltiplo de 3600;
- Os pontos de saída são encontrados procurando-se o valor máximo do ganho K;
- Os pontos de entrada são encontrados procurando-se o valor mínimo de K.
Lugar das Raízes – Parte III (Capítulo 8, NISE)
( ) ( )
,.....2,1,0
..
2
..
±±=
−
=
−
−
=
∑ ∑
konde
finitoszeros�umfinitospólos�úm
k
finitoszeros�umfinitospólos�úm
finitoszerosfinitospólos
a
a
piθ
σ (não há alteração)
REGRAS para o Lugar das Raízes – Realimentação POSITIVA:
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Lugar das Raízes – Parte III (Capítulo 8, NISE)
Plano s
Observação
- Como os sistemas com realimentação positiva
podem ser vistos também como sistemas com 
realimentação negativa com ganho negativo, as 
regras anteriores aplicam-se igualmente a 
sistemas com realimentação negativa com 
ganho negativo.
Exemplo:
- Esboce o lugar das raízes em função do ganho 
negativo, K, para o sistema abaixo:
σ
a
= [(-1-2-4)-(-3)] / (4-1) = -4/3
θ
a
= k2pi / (4-1) 
θ
a
= 0 para k=0
= 2pi/3 (120o) para k=1
= 4pi/3 (240o) para k=2
Sistema equivalente com realimentação positiva :
À medida que o ganho do 
sistema equivalente percorre 
valores positivos de K, o 
lugar das raízes será
equivalente ao gerado pelo 
ganho K do sistema original à
medida que este percorre 
valores negativos.
REGRAS para o Lugar das Raízes – Realimentação POSITIVA:
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Atividades para os alunos:
- Estudar os exemplos e exercícios de avaliação relacionados a este conteúdo no 
cap. 08 do livro texto
- Destaque para os Exemplos 8.7, 8.8 e 8.10.
- Estudar os itens:
– 8.6 – Um exemplo
– 8.7 – Projeto da resposta transiente através do ajuste de ganho
– 8.8 – Lugar geométrico das raízes generalizado
– 8.9 – Lugar geométrico das raízes para sistemas com realimentação positiva
– 8.10 – Sensibilidade dos Pólos.
- Fazer os problemas relacionados (NISE, 5ª Edição): 32, 34, 38, 42, 43 e 44.
Lugar das Raízes – Parte III (Capítulo 8, NISE)