Lista EDO - 1a ordem (1)

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Lista de EDOs de 1ª ordem 
Resolva as Equações Diferenciais Variáveis Separáveis 
 
1) 𝑦 = 2𝑥𝑦𝑒𝑥
2
 Resp. 𝑦 = 𝑒𝐶+𝑒
𝑥2
= 𝐴. 𝑒𝑒
𝑥2
 
 
2) 𝑥(𝑥 − 1)𝑦 = 𝑦 Resp. y =
𝐶(𝑥−1)
𝑥
 
 
3) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒3𝑥−2𝑦 Resp. 𝑦 = ln √𝐶 +
2
3
𝑒3𝑥 
 
4) (𝑠𝑒𝑐𝑥)𝑑𝑦 − (𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑦)𝑑𝑥 = 0 Resp. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝐶 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 
 
5) 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦√𝑥 − 3 Resp. 𝑦 = − ln |𝐶 −
2
5
(𝑥 − 3)
5
2⁄ − 2(𝑥 − 3)
3
2⁄ | 
 
6) 
dy
dx
= 
𝑥𝑦+3𝑥−𝑦−3
𝑥𝑦−2𝑥+4𝑦−8
 Resp. (𝑦 + 3)5𝑒𝑥 = 𝐶(𝑥 + 4)5𝑒𝑦 
 
 
Resolver o problema de valor inicial: 
 
7) 𝑦 , − 𝑥2 = 𝑥, 𝑦(0) = 1 Resp.𝑦 = 
𝑥3
3
+
𝑥2
2
+ 1 
 
8) 𝑥2𝑦 , = 𝑦 − 𝑦𝑥 , 𝑦(1) = 1 Resp. 𝑦 =
1
𝑥
𝑒
−1
𝑥
 + 1
 
 
9) 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 1 ; 𝑦(0) = −3 Resp. 𝑦 = 1 −
4
𝑒𝑡𝑔𝑥
 
 
10) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑡𝑦 = 𝑡 , 𝑦(1) = −1 Resp. y=1− 
2√𝑒
𝑒
𝑡2
2
 
 
 
 
 
 
 
Mais equações diferenciais separáveis: 
1. 02 =− dxyxdy 9. 02
=−
y
e
dx
dy x
 
2. 03 23 =− xydydxyx 10. 0
3 =− xx e
dx
dy
e 
3. 0=+ ydxxdy 11. 031 2 =−− dydxyx 
4. sec (𝑥)𝑑𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑦)𝑑𝑥 = 0 12. (1 + x2)dy – dx = 0 
5. 
y
x
dx
dy 2
= 13. (1 + x2)dy + xdx = 0 
6. 
32 +
=
x
xy
dx
dy
 14. 22221 yxyx
dx
dy
+++= 
7. 0cos3 =+ xy
dx
dy
 15. yxe
dx
dy += 
8. ( ) 0sec13 2 =−+ dyyedxtgye xx 16. ( ) ( ) 022 =−+− dyyxydxxyx 
 
Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial 
sujeitas às condições dadas. 
17. 42 yx
dx
dy
= ; y (1) = 1 19. 
yxy
x
dx
dy
2
2
+
= ; y (0) = 4 
18. 02 =+−
dx
dy
ye x ; y (0) = 2 20. ydxdyx =
2 ; y (1) = 1 
 
 
 
 
Respostas 
1) y.lnx + 1 = Cy 8) y = arc tg[(ex – 1)³.k] 15) y = ( ) Ce x +− /1ln 
2) y = k.
3xe 9) y = 
3 x ke3 + 16) (1 − 𝑥
2)(1 − 𝑦2) = 𝑘 
3) y = C/x 10) 2y + e-2x = C 17) (2 – x³).y³ = 1 
4) y = arccos(senx + c) 11) y = sen ( ) Cx +6/2 18) 𝑦2 + 4𝑒𝑥 = 8 
5) 3y² = 2x³ + C 12) y = arc tg x + C 19) y² = 2.ln(x² + 1) + 16 
6) y = k. 3x
2 + 13) y = - Cx ++1ln.5,0
2 
20) y = x
1x
e
−
 
7) 1 = 2y².(senx + C) 14) arc tg y = x + ( )3/3x +C 
 
Resolva as equações diferenciais homogêneas dadas. 
1. 
x
yx
y
2
'
+
= 4. 
xy
yx
y
2
'
22 +
= 
2. 
)yx(2
y
'y
+
= (usar a subst. x = yv) 5. 
22
'
yx
xy
y
−
= 
3. 
yx
yx
y
+
−
=' 6. 
x
yx
y
23
'
+
= 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 
7. xdy – (2xe-y/x + y)dx = 0; y(1) = 0 9. 0sec =−





+ xdydxy
x
y
x ; y(1) = 0 
8. – y2dx + x(x + y)dy = 0; y(1) = 1 10. 0
22 =−




 −− xdydxyxy ; y(1) = 0 
 
 
 Respostas 
1) x = C.(x – y)² 
5) y = C
2
2
y2
x
e
−
 
9) y = x arc sen(ln x) 
2) x = k.y² - 2y 6) y = kx² - 3x 10) y = x sen(- lnx) 
3) x² - 2xy – y² = k 7) x
y
e = ln x² + 1 
 
4) x² - kx = y² 8) y = 
1
x
y
e
+
−
 
 
 
Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução 
geral. 
1. (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 6. 2y2
2xye dx + 2xy
2xye dy = 0 
2. yexdx + exdy = 0 7. 0)(
1
22
=−
+
ydxxdy
yx
 
3. (3y2 + 10xy2)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0 8. 0)()(
22
=++− ydyxdxe yx 
4. 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 9. 
( )
0)(
1 22
2
=+
−
dyxdxy
yx
 
5. (4x3 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0 10. ( )  0cos =++ dytgxyxydxxye y 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 
11.   02)1ln(
1
=+−+
−
dyyxdx
x
y
 y(2)=4 14. 0)3cos3(sen3 =+ ydyydxe x ; y(0) =  
12. 0)(
1
22
=+
+
ydyxdx
yx
; y(4) = 3 
15. (2xtgy + 5)dx + (x2sec2y)dy = 0; y(0) = 0 
13. 0)(
1
22
=+
+
ydyxdx
yx
; y(0) = 4 16. (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1 
 
 Respostas 
1) x² - 3xy + y² = C 7) arc tg(x/y) = C 
13) x² + y² = 16 
 
2) yex = C 8) 
( ) Ce.
2
1 22 yx =− +− 14) e3x.sen3y = 0 
3) 3xy² + 5x²y² - 2y = C 9) não é exata 
15) x². tgy - 5x = 0 
 
4) sen(2x – y) = C 
10) 𝑒𝑦𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) = 𝐶 
 
16) xy² + 
3
x 3
 = 12 
5) não é exata 11) y.ln(x – 1) + y² = 16 
 
 
6) não é exata 
12) 5yx 22 =+ 
 
 
 
 
 
Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais lineares de 1ª ordem. 
1) 𝑦′ +
2
𝑥
𝑦 = 𝑥 Resp. 𝑦 =
𝑥2
4
+
𝐶
𝑥2
 
 
2) 𝑦′ − 3𝑥2𝑦 = 0 Resp. 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥
3
 
 
3) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) Resp. 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥 −
1
10
𝑐𝑜𝑠(3𝑥) +
3
10
𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
 
4) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 =
1
2
 Resp. 𝑥 = 𝐶𝑒−2𝑡 +
1
4
 
 
5) 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥2 Resp. 𝑦 = 𝑥2𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶𝑥2 
 
6) 𝑥𝑦′ + 𝑦 = √𝑥 Resp. 𝑦 =
2
3
√𝑥 +
𝐶
𝑥
 
 
7) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥 Resp. 𝑦 =
1
𝑥
[𝑒𝑥(𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 𝐶] 
 
8) 𝑦′ +
2
𝑥
𝑦 = 𝑥 Resp. 𝑦 =
𝑥2
4
+
𝐶
𝑥2
 
 
9) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 = 4xy + x Resp. 𝑦 =
1
4
(−1 + 𝐴𝑒2𝑥
2
) 
 
Resolva o problema de valor inicial: 
10) 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦; 𝑦(0) = 2 Resp. 𝑦 = −𝑥 − 1 + 3𝑒𝑥 
 
11) 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
− 2𝑡𝑣 = 3𝑡3𝑒𝑡
2
; 𝑣(0) = 5 Resp. 𝑣 = (
3
4
𝑡4 + 5) 𝑒𝑡
2
 
 
12) 𝑦 , = 2𝑦 + 𝑥(𝑒3𝑥 − 𝑒2𝑥) ; 𝑦(0) = 2 Resp. 𝑦 = 𝑒2𝑥 (𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 −
𝑥2
2
+ 3) 
 
13) 𝑥𝑦 , + (𝑥 + 1)𝑦 = 𝑥 , 𝑦(𝑙𝑛2) = 1 Resp. 𝑦 = 1 −
1
𝑥
+
2
𝑥𝑒𝑥
 
 
 
14) 𝑦 , − 𝑦 = 2𝑥𝑒2𝑥 , 𝑦(0) = 1 Resp. 𝑦 = 𝑒𝑥[(2𝑥 − 2)𝑒𝑥 + 3] 
 
 
Mais equações diferenciais lineares de 1ª ordem. 
1. 
( )
3
3 5
5
1
 
2
x
x x
dy
y e
dx
y e Ce
− =
= − +
 2. 
2
2 3
3 x
x x
dy
y e
dx
y e Ce
−
− −
+ =
= +
 3. 
( )
3
7 4
3
2
1
2 7
14 ³
dy y
x
dx x
y x x C
x
+ = −
= − +
 
4.
22 5
³ 5 ²
dy y
x
dx x
y x x Cx
− = +
= − +
 5. 
2
3
3
1
2 (3 2 )x
xx
dy
xy e x
dx
y e Ce
 
− +  − 
+ = +
= +
 6. 
2 23 (3 1)x
x
dy
x y e x
dx
y e C
− = −
= − +
 
7. 
2 4
4
4
3 ³
x
x
dy ydx x e dx
y x e C
− =
= +
 
8. 3
2 23
1
:
3
x
dy x ydx x dx
R y Ce
− =
= − +
 9.
( )6
6 5
5 4
:
xdy ydx x x dx
R y x x Cx
− = +
= − +
 
10. 
( ) ( )
3
3 ; 0 1
1
– +
3 9
x
dy x y dx y
x
y Ce−
= − =
=
 
11. 
2 2(1 ) 2 3
 ³
1 ²
x dy xydx x dx
x C
y
x
+ + =
+
=
+
 
12. 
tan sen
sen² 
sec
2
dy
y x x
dx
x
y C x
− =
 
= + 
 
 
13. 
( )
2 4
5
2 7
1
35
5 ²
dy
x xy x
dx
y x x C
x
+ = −
= − +
 14. 
2 32 5
5
² ln ²
3
dy
x xy x
dx
y x x x Cx
− = +
= − +
 15. 
( )
( )
2
2
3 ; 0 2
3 1
x
x x
dy
y e y
dx
y e e
− = =
= −
 
16. 
2
2
3
3; (1) 3
ln
2
dy y
x y
dx x
x
y x x C
− = + =
 
= + + 
 
 
17. 
( )
cosec cot
3
2 2
1
sen
dy
x y x
dx
y
y x
x
 

= −
 
= 
 
= +
 
 18.
( )
2 3
4
2
2
2 ( 4)
41
:
8
dy
x y x
dx
x
R y C
x
+ = +
 +
 = +
 
 
 
 
 
 
Resolva a equação diferencial de Bernoulli dada. 
1. y’ + 3x2y = x2y3 
32 2 1
3
xy Ce− = + 
3. yy’ – 2y2 = ex 
42²
3
x xy e Ce
 
= − + 
 
 
5. y’ - y = x3
3 y 
22
3 23 3
1
(4 18 54 81)
4
x
y Ce x x x= − + + + 
2. y’ + 2xy = xy2 
2
2
1 x
y
ke
=
+
 
4. y’ + 





x
1
y = x y 
21
5
C
y x
x
= + 
6. 2' lnxy y y x+ = 
y−1 = lnx + 1 + kx