PA matemática elementar iii

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TEMA 24
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Uma seqüência muito útil é a seqüência arit-
mética, que possui domínio infinito. Essa se-
qüência é conhecida, no âmbito do Ensino
Médio, como uma Progressão Aritmética.
Encontramos freqüentemente grandezas que
sofrem variações iguais em intervalos de tem-
po iguais. Veja, por exemplo, o seguinte pro-
blema:
Uma empresa produziu, no ano 2000, 100 mil
unidades de um certo produto. Quantas
unidades produzirá, anualmente, de 2000 a
2005, se o aumento anual de produção for
estabelecido em 20 mil unidades?
Esquematizando o problema da seguinte for-
ma, teremos:
• Produção em 2000: 100 mil unidades.
• Produção em 2001 = produção em 2000 +
20 mil unidades = 100 mil unidades +20 mil
unidades = 120 mil unidades.
• Produção em 2002 = produção em 2001 +
20 mil unidades = 120 mil unidades + 20
mil unidades = 140 mil unidades.
• Produção em 2003 = produção em 2002 +
20 mil unidades = 140 mil unidades + 20
mil unidades = 160 mil unidades.
• Produção em 2004 = produção em 2003 +
20 mil unidades = 160 mil unidades + 20
mil unidades = 180 mil unidades.
• Produção em 2005 = produção em 2004 +
20 mil unidades = 180 mil unidades + 20
mil unidades = 200 mil unidades.
Nessas condições, a produção nesse período
será representada pela seqüência (100 mil, 120
mil, 140 mil, 160 mil, 180 mil, 200 mil).
Notamos que, nessa seqüência, cada termo, a
partir do segundo, é obitido do anterior soman-
do-se a este um número fixo 20 mil. 
Seqüência desse tipo são chamadas de pro-
gressões aritméticas. O aumento de cada
termo para o seguinte é sempre o mesmo e é
chamado de razão da progressão.
Definição
Progressão Aritmética (PA) é toda seqüência
de números reais na qual a diferença entre
cada termo (a partir do segundo) e o termo
anterior é constante. Essa diferença constante
é chamada de razão da progressão e é repre-
sentada por r.
Notação para a PA:
(a1, a2, a3, ..., an, ....)
ou
C = (a1, a2, a3, ..., an, ....)
Exemplos:
1. A seqüência de números reais, dada por
(2,4,6,8,...,2n,....) com n∈N é uma PA de
razão r = 2
2. A seqüência de números reais, dada por
(1,3,....,2n − 1,....) com n∈N é uma PA de
razão r = 2
Na seqüência, apresentamos os elementos bási-
cos de uma Progressão Aritmética da forma:
(a1,a2,a3,....,an,....)
1. n indica uma posição na sequência. n é o
índice para a ordem do termo geral an na
seqüência. 
2. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a
índice n. 
3. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a
índice 1. 
4. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a
índice 2. 
5. r é a razão da PA, e é possível observar que
an = a1 + r,
a3 = a2 + r,
..........,
an = an − 1 + r,
..........
A razão de uma Progressão Aritmética pode ser
obtida subtraindo o termo anterior (antecedente)
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
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UEA – Licenciatura em Matemática
do termo posterior (conseqüente), ou seja:
a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = .... = an = an − 1 + r
Progressão Aritmética finita – Surge aqui o
conceito de Progressão Aritmética finita: é uma
coleção finita de números reais com as mes-
mas características que uma da Progressão
Aritmética.
Tal progressão pode ser demonstrada por:
C = (a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am)
ou
(a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am)
Na seqüência, apresentamos os elementos
básicos de uma Progressão Aritmética da
forma:
C = (a1,a2,a3,....,an,....,am − 1,am)
1. m é o número de termos da PA. 
2. n indica uma posição na sequência. n é o
índice para a ordem do termo geral an no
conjunto C. 
3. an é o n-ésimo termo da PA, que se lê a
índice n. 
4. a1 é o primeiro termo da PA, que se lê a
índice 1. 
5. a2 é o segundo termo da PA, que se lê a
índice 2. 
6. am é o último elemento da PA. 
7. r é a razão da PA, e é possível observar que:
a2 = a1 + r,
a3 = a2 + r,
..........,
an = an − 1 + r,
........,
an = am − 1 + r
8. A razão de uma Progressão Aritmética po-
de ser obtida subtraindo o termo anterior
(antecedente) do termo posterior (conse-
qüente), ou seja:
a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = .... = an − an − 1 = r
Observação:
Trataremos, aqui, uma Progressão Aritmética
finita como sendo uma PA.
1. A PA definida por C = (2,5,8,11,14) possui ra-
zão r = 3, pois: 
2 + 3 = 5, 5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11, 11 + 3 = 14
2. A PA definida por M = (1,2,3,4,5) possui razão
r = 1, pois: 
1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4, 4 + 1 = 5
3. A PA definida por M) = (3,6,9,12,15,18) possui
razão r = 3, pois: 
6 − 3 = 9 − 6 = 12 − 9 = 15 − 12 = 3
4. A PA definida por M = (0,4,8,12,16) possui
razão r = 4, pois: 
4 − 0 = 8 − 4 = 12 − 8 = 16 − 12 = 4
PARA EXERCITAR
1. Qual a razão em cada uma das progressões
aritméticas abaixo?
a) (1, 2, 3, 4, ... )
b) (10, 17, 24, ... )
c) (−5, −4, −3, ...)
d) (10, 1, −8, ...)
e) (−5, −10, −15, ...)
f) (1/2, 1, 3/2, ...)
g) ( x, x + 2, x + 4, ...)
Média aritmética
Dados n números reais x1, x2, x3, ..., xn, defini-
mos a média aritmética entre esses números,
denotada pela letra x com um traço sobre ela,
x−, como a divisão entre a soma desses
números e o número de elementos:
Na Progressão Aritmética, cada termo é a mé-
dia aritmética entre o antecedente e o conse-
qüente do termo tomado, daí a razão de tal
denominação para este tipo de seqüência.
1. Dada a PA (2, x, 10, y, 18, 22, z, 30), calcule x;
y; z.
Solução:
2. Determine x para que a seqüência 
(3x − 4; x + 12; 9x − 12) forme uma PA
Solução:
PARA EXERCITAR
1. Determinar x na PA 
2. Calcule o valor x em cada caso:
a)
b)
TEMA 25
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA PA
Consideremos a PA com razão r, definida por
P = {a1,a2,a3,....,an − 1,an,....}
Observamos que:
a1 = a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + r = a1 + 1r
a3 = a2 + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = a1 + 3r
................
an = an − 1 + r = a1 + (n − 1)r
e obtemos a fórmula do termo geral da PA:
an = a1 + (n − 1)r
Com o material apresentado, podemos obter
qualquer termo de uma Progressão Aritmética
(PA), sem precisar escrevê-la completamente.
1. Seja a PA com razão r = 5, dada por C =
{3,8,....,a30,....,a100}. O trigésimo e o centésimo
termos desta PA podem ser obtidos, substituin-
do os dados da PA na fórmula do termo geral
an = a1 + (n − 1)r. Assim:
a30 = 3 + (30 − 1)3 = 90
e a100 = 3 + (100 − 1)3 = 300
2. Sendo a7 = 21 e a9 = 27 termos de PA, deter-
mine sua razão:
Solução:
Sendo
a7 = a1 + (7 − 1)r ⇒ 21 = a1 + 6r
a9 = a1 + (9 − 1)r ⇒ 27 = a1 + 8r
Note que temos duas incógnitas (a1 e r) e duas
equações, ou seja, temos um sistema de equa-
ções. Vamos isolar o a1 na primeira equação e
substituir na segunda:
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Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
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UEA – Licenciatura em Matemática
a1 = 21 − r agora, substtituindo na segunda
27 = (21 − 6r) + 8r
27 = 21 + 2r ⇒ 27 − 21 = 2r 
6 = 2r ⇒ = r ⇒ r = 3
3. Determinar o quinto termo da PA definida por 
C={a + b, 3a − 2b,...}. 
Solução:
Temos que 
a1 = a+b, a2 = 3a − 2b e a razão é 
r = (3a − 2b) − (a+b) = 2a − 3b.
Substituindo na fórmula do termo geral, obtemos
a5 = a + b + (5 − 1)(2a − 3b) = a + b + 8a −
12b = 9a − 11b
Assim, o quinto termo é a5 = 9a − 11b.
4. Um garoto, dentro de um carro em movimen-
to, observa a numeração das casas do outro
lado da rua, começando por 2, 4, 6, 8. De
repente, passa um ônibus em sentido con-
trário, obstruindo a visão do garoto de forma
que quando ele voltou a ver a numeração, já
estava em 22. 
a) Pode-se afirmar que a sequência de números
é uma sequência aritmética? Por quê? 
b) Quantos números o garoto deixou de ver? 
Solução:
a) Sim, pois temos que o primeiro número que
o garoto vê é 2, que chamaremos de a1, o
segundo é a2 = 4, o terceiro é a3=6, ...
E podemos observar que
a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = 2.
Logo concluímos que a numeração que o
garoto vê está na forma de uma Progressão
Aritmética de razão r = 2.
b) Para saber quantos números o garoto ficou
sem ver, basta calcular os termos da PA e
subtrair pelos termos que o garoto já tinha
visto.
Assim, 22 = 2 + (n − 1)2 = 11, logo n = 11
portanto a PA possui 11 termos até o nú-
mero 22.
Subtraindoo total de termos da PA pelos
termos já vistos, obtemos:
11 − 5 = 6
Assim, o garoto ficou sem ver a numeração
de seis casas.
5. Para inserir todos os múltiplos de 5, que estão
entre 21 e 623, montaremos uma tabela.
Solução:
Aqui, o primeiro múltiplo de 5 é a1 = 25, o últi-
mo múltiplo de 5 é an = 620 e a razão é r = 5.
Substituindo os dados na fórmula an = a1 + (n
− 1)r, obteremos 620 = 25 + (n − 1)5 de onde
segue que n=120, assim o número de múlti-
plos de 5 entre 21 e 623, é igual a 120. Sendo
assim, temos que a PA procurada será
C5 =( 25, 30, 35, ..., 615, 620 )
6. Quantos múltiplos de 3 existem entre 100 e
500?
Temos que o primeiro múltiplo de 3 maior que
100 é a1 = 102
Solução:
O último múltiplo de 3 pertencente ao intervalo
dado é 498, que indicaremos por an, pois não
conhecemos sua posição na seqüência.
Assim, an = 498
Retomando, queremos determinar o número
de termos (n) da seqüência (102,105,...,498).
Pelo termo geral da P.A., temos:
an = a1 + (n − 1)r ⇒ 498 = 102 + (n − 1).3
⇒ n = 3
7. Calcular o número de termos da PA definida
por (5,10,...,785 ).
Solução:
Como a1=5, an=785 e r=5, então,
785 = 5+(n − 1)5 = 5n, logo,
n = 157.
Portanto o número de termos desta PA de
razão r = 5 entre 5 e 785 é igual a 157.
21 25 30 ... 615 620 623
a1 a2 ... an − 1 an
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1. (MACK–SP) O trigésimo primeiro termo de uma
progressão aritmética de primeiro termo 2 e
razão 3 é:
a) 63; b) 65; 
c) 92; d) 95; 
e) 98.
2. (FEI–SP) A razão de uma PA de 10 termos, cujo
primeiro termo é 42 e o último é –12, vale:
a) −5; b) −9; 
c) −6; d) −7; 
e) 0. 
3. O termo geral de uma PA é dado por an = 2n – 1.
Então, o terceiro termo da PA vale:
a) 2; b) 3; 
c) 5; d) 6; 
e) 4.
4. (MACK–SP) O produto das raízes da equação
x² + 2x − 3 = 0 é a razão de uma PA de
primeiro termo 7. O 100.o termo dessa PA é:
a) −200; b) −304; 
c) −290; d) −205; 
e) −191.
5. (PUC–PR) Se em uma PA de 7 termos, de
razão K, retirarmos o segundo, terceiro, quinto
e sexto termos, a sucessão restante é uma PA
de razão:
a) k; b) 2k; 
c) k/2; d) 3k; 
e) 5k.
6. O número de termos n de uma PA finita, cujo
primeiro termo é 1, o último 17 e cuja razão é r
= n − 1, vale:
a) 4; b) 5; 
c) 7; d) 8; 
e) 12.
7. Numa PA de n termos e razão r, temos a1= −
2/15, an = 2/3 e r . n = 1. Então, r e n valem,
respectivamente:
a) 1/5 e 5; b) 1/3 e 3; 
c) 1/6 e 6; d) 1/7 e 7; 
e) 1/9 e 9.
8. (UFPA) Numa progressão aritmética, temos 
a7 = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence ao
intervalo:
a) [8,10]; b) [6,8[; 
c) [4,6[; d) [2,4[; 
e) [0,2[. 
9. A razão de uma PA, na qual a3 + a5 = 20 e
a4 + a7 = 29, vale:
a) 3; b) 5; 
c) 7; d) 9; 
e) 11.
10. (FGV–SP) A soma do 4.º e 8.º termos de PA é
20; o 31.º termo é o dobro do 16.º termo.
Determine a PA:
a) (−5, −2, 1, ...) 
b) (5, 6, 7, ...) 
c) (0, 2, 4, ...) 
d) (0, 3, 6, 9, ...) 
e) (1, 3, 5, ...)
11. A soma do 2.º e do 4.º termos de uma PA é 15
e a soma do 5.º e 6.º termos é 25. Então, o 1.º
termo e a razão valem respectivamente:
a) 7/3 e 3; b) 7/4 e 4; 
c) 7/2 e 2; d) 7/5 e 5; 
e) 7/6 e 6. 
12. (PUC–PR) Calculando o número de termos de
uma PA, onde o primeiro termo é 0,5 , o último
termo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se:
a) 45; b) 38; 
c) 43; d) 31; 
e) 57. 
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
13. (UFRS) O número de múltiplos de 7 entre 50 e
1206 é:
a) 53; b) 87; 
c) 100; d) 165;
e) 203.
14. (FAAT) A quantidade de números compreendi-
dos entre 1 e 5000, que são divisíveis por 3 e
7, é:
a) 138; b) 238; 
c) 137; d) 247; 
e) 157.
TEMA 26
PA MONÓTONA
Progressões Aritméticas Monótonas
Quanto à monotonia, uma PA pode ser:
1. Crescente:
se para todo n ≥ 1: r > 0, an < an + 1
2. Constante:
se para todo n ≥ 1: r = 0, an + 1 = an
3. Decrescente:
se para todo n ≥ 1: r = 0, an + 1 < an
Exemplos:
Exemplo 1:
A PA definida por C = (2,4,6,8,10,12) é cres-
cente, pois r = 2 e, além disso, a1 < a2 < ... <
a5 < a6.
Exemplo 2:
A PA finita G=(2,2,2,2,2) é constante.
Exemplo 3: 
A PA definida por (2,0,−2,−4,−6) é decrescente
com razão r = −2 e a1 > a2 > ... > a4 > a5.
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UEA – Licenciatura em Matemática
PARA EXERCITAR
1. Verificar se as progressões abaixo são PA.
Quando for, diga se é crescente ou decres-
cente:
a) (100, 101, 109, 110, 119, 120...)
b) (10, 20, 30, 40, 50, 60...)
c) (−15, −10, −5, 0, 5, 10...)
d) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...) 
e) (10, 6, 2, −2, −6...)
f) (16, 25, 36, 43, 52, 61...)
2. Em uma PA com m termos, mostrar que a ra-
zão r pode ser escrita na forma
.
TEMA 27
EXTREMOS E MEIOS EM UMA PA
Em uma Progressão Aritmética (finita) dada
por C = (a1,a2,a3,....,am), os termos a1 e am são
denominados extremos enquanto os demais:
a2, a3, ..., am − 2, am − 1 são os meios aritméticos.
Exemplo:
Na PA definida por C=(1,3,5,7,9,11), os núme-
ros 1 e 11 são os extremos, e os números 3, 5,
7 e 9 são os meios aritméticos.
Termos eqüidistantes dos extremos
Em uma PA com m termos, dois termos são
eqüidistantes dos extremos se a soma dos
seus índices é igual a m+1 e, sob essas con-
dições, são eqüidistantes dos extremos os pa-
res de termos a1 e am, a2 e am − 1, a3 e am − 2, ...
Se a PA possui um número de termos m que é 
par, temos pares de termos eqüidistantes
dos extremos.
Exemplos:
Exemplo 1: 
A PA definida por C = (4,8,12,16,20,24), possui
um número par de termos, e os extremos são
a1 = 4 e a6 = 24, assim:
a2 + a5 = 8 + 20 = 28 = a1 + a6
a3 + a4 = 12 + 16 = 28 = a1 + a6
a4 + a3 = 16 + 12 = 28 = a1 + a6
a5 + a2 = 20 + 8 = 28 = a1 + a6
Se o número m de termos é impar, temos
pares de termos eqüidistantes e ainda teremos 
um termo isolado de ordem que é
eqüidistante dos extremos.
a1 a2, a3, ..., am − 2, am − 1 am
meios aritméticos
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Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
90
UEA – Licenciatura em Matemática
Exemplo 2: 
Na PA C = (1,3,5,7,9) os números 1 e 9 são os
extremos da PA, e os números 3, 5 e 7 são os
meios da PA. O par de termos eqüidistantes
dos extremos é formado por 3 e 7, e, além
disso, o número 5 que ficou isolado também é
eqüidistante dos extremos.
Exemplo 3: 
A PA definida por C=(4,8,12,16,20) possui um
número ímpar de termos, e os extremos são a1
= 4 e a5 = 20, logo
a2 + a4 = 8 + 16 = 24 = a1 + a5
a3 + a3 = 12 + 12 = 24 = a1 + a5
a4 + a2 = 16 + 8 = 24 = a1 + a5
TEMA 28
REPRESENTAÇÃO PRÁTICA DOS TERMOS
DE UMA PA
Para facilitar a resolução de alguns problemas
em PA, utilizaremos as seguintes notações :
a) três termo em P.A.: (x−r, x, x+r)
b) quatro termos em P.A.: (x, x+r, x+2r, x+3r)
c) cinco termos em P. A.: (x−2r, x−r, x, x+r,
x+2r)
1. Dividir 195 em três partes que formem uma
progressão aritmética, de modo que a terceira
exceda a primeira de 120. 
Solução:
A escolha de três elementos em PA deve ser: 
x – r, x e x + r. 
Como o problema requer a divisão de 195 em
três partes, então a soma de (x - r) + x + (x +
r) = 195 e portanto 
3x = 195, o que dá x = 65. 
Como também o terceiro termo é igual ao
primeiro mais 120, temos:
x + r = x – r + 120 e daí x + r – x + r = 120
ou 2r = 120 ou r = 60.
Logo, o primeiro termo x – r é 65 – 60 = 5, o
segundo é 65 e o terceiro x + r é 65 + 60 =
125.
As três partes de 195 são 5, 65 e 125.
2. Obter uma PA de três termos cuja soma é igual
a 12 e cujo produto seja igual a 60.
Solução:
Representando os termos em PA, temos 
(x − r, x, x + r), logo,
x − r +x + x + r = 12 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
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(x − r).x.(x + r) = 60 ⇒ x(x2 − r2) = 60 ⇒ 
⇒ 4 = 4(42 − r2) = 60 ⇒ 42 − r2 = 15 ⇒
−r2 = −1 ⇒ r = ± 1
Assim, obtivemos duas soluções:
(3,4,5) para x = 4 e r = 1 e
(5,4,3,) para x = 4 e r = −1.
3. A soma dos cinco termos consecutivos de uma
PA crescente é 15, e o produto dos extremos é
igual a 5. Determinar esses termos.
Solução:
Representando os cinco termos em PA, temos:
(x − 2r, x − r, x, x + r, x + 2r), logo,
x − 2r + x − r + x + x +r + x + 2r = 15 ⇒ 5x
= 15 ⇒ x = 3
(x − 2r).(x + 2r) = 5 ⇒ x2 − 4r2 = 5 ⇒ 
⇒ 32 − 4r2 = 15 ⇒ 9 − 4r2 = 15 ⇒
r2 = 1 ⇒ r = ± 1
Comoa PA é crescente, r = 1. Assim, a solu-
ção é:
PA (1,2,3,4,5)
PARA EXERCITAR
1. Determine três números em PA, sabendo que o
elemento central é 4 e o produto entre eles é
28.
2. A soma dos quadrados de três números em PA
crescente é igual a 116, e o produto dos ter-
mos extremos é 32. Qual é a PA?
3. Encontre cinco números em PA, cuja soma
seja 30, e o produto do primeiro pelo terceiro
seja 18. 
4. Escreva cinco números em PA, sabendo que a
soma dos termos extremos é 18 e o produto do
segundo pelo quarto termo é igual a 56.
5. As medidas dos lados de um triângulo retângu-
lo estão em PA, de razão 3. Qual a hipotenusa?
6. Uma dívida deve ser paga em três prestações,
de forma que esses valores estejam em PA.
Sabendo que a 3.a prestação deve ter R$
100,00 a mais do que a 1.a e que a soma das
duas últimas deve ser igual a R$ 1050,00,
determine o valor da divida.
7. Uma ancião pediu a um matemático que o aju-
dasse a resolver o seguinte problema de he-
rança:
A quantia de 1800 U.M. (unidades monetárias)
deveria ser dividida entre seus quatro filhos, de
modo que as quantias distribuídas estivessem
em PA e fossem proporcionais às idades dos
filhos. O ancião, porém, esqueceu as idades
de dois de seus filhos, lembrando apenas que
o menor tem seis anos e que o maior, 66 anos.
Como será dividida a herança? Determine tam-
bém a idade dos outros dois filhos. 
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
92
UEA – Licenciatura em Matemática
TEMA 29
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar k meios aritméticos entre os núme-
ros a e b significa obter uma PA com k+2 ter-
mos cujos extremos são a e b, sendo que a é
o primeiro termo, e b é o (último) termo de
ordem k+2. Para realizar a interpolação, basta
determinar a razão da PA.
1. Para interpolar 6 meios aritméticos entre a = −9
e b = 19, é o mesmo que obter uma PA tal que 
a1 = −9, am = 19 e m = 8. Como ,
então e assim a PA 
C = ( −9, −5, −1, 3, 7, 11, 15, 19 )
2. Interpolar 10 meios aritméticos entre 5 e 38:
Solução:
Para interpolar 10 números entre 5 e 38, teremos:
5 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 38
Isso quer dizer que a PA terá 12 termos, então:
a1 = 5 e a12 = 538 r = ?, logo, 
a12 = a1 + (12 − 1)r
38 = 5 + 11r
38 − 5 = 11r
33 = 11r ⇒ ⇒ r = 3
Dessa forma, os meios aritméticos procurados
são 8,11,14,17,20,23,26,29,32 e 35
4. Quantos meios devemos interpolar entre 112 e
250 para termos uma PA de razão 23?
Solução:
Temos, 
a1 = 112, an = 250 e r = 23, logo,
an = a1 + (n − 1)r 
250 = 112 + (n − 1)23
250 − 112 = 23n − 23
138 + 23 = 23n
161 = 23n ⇒ n = ⇒ n = 7
Sendo assim, devemos interpolar 7 meios arit-
méticos.
1. Interpolando-se 6 meios aritméticos entre 100
e 184, a razão encontrada vale:
a) 11; b) 12; 
c) 15; d) 17; 
e) 19.
2. (POLI) Inscrevendo-se nove meios aritméticos
entre 15 e 45, o sexto termo da PA será igual á:
a) 18; b) 24;
c) 36; d) 27;
e) 30.
3 A quantidade de meios aritméticos que se po-
de inserir ente 15 e 30, tal que a razão tenha
valor 3, é:
a) 3; b) 2; 
c) 4; d) 5; 
e) 9.
4. (PUC) A quantidade de meios aritméticos que
se devem interpolar entre -a e 20a, a fim de se
obter uma PA de razão 7, é
a) 3 a −2 b) 3 a −1
c) 3 a d) 3 a + 2
e) 3 a + 2
5. (CEFET-PR) Inserindo-se K meios aritméticos
entre 1 e K2, obtém-se uma progressão aritmé-
tica de razão:
a) 1 b) k 
c) k − 1 d) k+1 
e) k2
93
TEMA 30
SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE
UMA PA 
Em uma PA, a soma de dois termos eqüidis-
tantes dos extremos é igual à soma dos ex-
tremos desta PA. Assim:
a2 + am − 1 = a3 + am − 2 = a4 + am − 3 = ....
.... = an + am − n + 1 = ... = a1 + am
Seja a soma Sn dos n primeiros termos da PA,
dada por 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an − 2 + an − 1 + an
Como a soma de números reais é comutativa,
escrevemos:
Sn = an + an − 1 + an − 2 + ... + a3 + a2 + a1
Somando, membro a membro, as duas últimas
expressões acima, obtemos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an − 1) + ... +
+ (an − 1 + a2) + (an + a1) 
Como todas as n expressões em parênteses
são somas de pares de termos eqüidistantes
dos extremos, segue que a soma de cada
termo sempre será igual a (a1 + an), então:
2Sn = (a1 + an)n
Assim, temos a fórmula para o cálculo da soma
dos n primeiros termos da PA.
1. Determine a soma dos 30 primeiros termos da
PA definida por C = (2,5,8,....).
Solução:
Sendo a1 = 2, r = 3 e n = 30, vamos determi-
nar o termo a30. Fazendo uso da fórmula do
termo geral, temos:
a30 = 2 + (30 − 1)3 = 2 + 29 . 3 = 89
Aplicando a fórmula da soma, obtida acima,
temos:
2. O primeiro termo de uma PA é 100, e o trigési-
mo é 187. Qual a soma dos trinta primeiros ter-
mos?
Solução:
a1 = 100, a30 = 187 n = 30 S30 = ?
Aplicando a fórmula da soma, temos:
3. Sabendo que o primeiro termo de uma PA vale
21 e a razão é 7, calcule a soma dos 12
primeiros termos desta PA:
Solução:
a1 = 21, r = 7 S12 = ?
Colocando na fórmula da soma, vemos que
está faltando um dado. Qual o valor de a12?
Então, antes de tudo, devemos calcular o valor
de a12.
a12 = a1 =+ (12 − 1)7
a12 = 21 + 77
a12 = 98
Agora sim, podemos colocar na fórmula da
soma:
4. A soma dos n primeiros termos de uma PA é
dada por Sn = n2 + 2n. Calcule o 13.o termo
desta PA :
Solução:
Para calcularmos o 13.o termo desta PA, deve-
mos saber o valor do primeiro termo (a1) e o
valor da razão; para isso, vamos utilizar a fór-
mula dada.
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas
94
UEA – Licenciatura em Matemática
O que devemos fazer é substituir primeiro “n”
por 1; isso dá
S1 = 12 + 2 . 1
S1 = 3.
Como S1 significa a soma de todos os termos
até a1, e como não existe nenhum antes de a1,
o resultado encontrado é o próprio valor dele
(a1 = 3).
Se substituirmos “n” por 2, temos:
S2 = 22 + 2 . 2
S2 = 8
S2 significa a soma de todos os termos até a2,
então é igual a a1 + a2. Como já sabemos o
valor de a1, vem:
S2 = a1 + a2 = 8
3 + a2 = 8
a2 = 5
Se a1 = 3 e a2 = 5, a razão só pode ser 2.
Agora, podemos achar o 13.o termo: é só subs-
tituir na fórmula do termo geral:
an = a1 + (n − 1)r
a13 = 3 + (13 − 1)2
a13 = 3 + 24
a13 = 27
5. Um operador de máquina chegou 30 minutos
atrasado ao seu posto de trabalho, mas como
a máquina que ele monitora é automática,
começou a trabalhar na hora programada. 
a) Sabendo-se que a máquina produz 10n
peças por minuto, em que n é o número de
minutos, quantas peças a máquina produ-
ziu até a chegada do operador?
b) Sabendo-se que depois de 1 hora a
máquina produz a mesma quantidade de
peças, quantas peças terá feito a máquina
ao fim do expediente de 4 horas? 
Solução:
a. Sabemos que a máquina produz 10n peças
por minuto, o que quer dizer que a cada
minuto a produção de peças aumenta.
Também sabemos que o operador chegou
30 minutos atrasado ao seu posto.
Portanto, se olharmos os minutos como ter-
mos de uma seqüência finita de números e
identificarmos por an o número total de
peças produzidas até o termo n (an = 10n),
teremos que a produção das peças está em
função dos termos ou que depende dos ter-
mos da seqüência.
Assim, teremos que:
para n = 1, a1 = 10,
para n = 2, a2 = 100 e
para n = 3, a3 = 1000.
Observamos também que 
Desse modo, temos uma seqüência de nú-
meros em Progressão Geométrica de razão
10.
Portanto, para obter o total de peças pro-
duzidas até a chegada do operador, basta
aplicar os dados acima na fórmula da Soma
de uma PG finita.
b. Para calcularmos quanto a máquina pro-
duziu em 4 horas, primeiro teremos que cal-
cular quanto ela produziu em 1 hora;
depois, multiplicarmos por 4.
Sabemos que depois de uma hora o total
de peças por hora é constante. 
Assim,
Logo, o total de peças produzidas durante 4
horas é:
1. (UFPI) A soma dos números pares de 2 a 400
é igual á:
a) 7432; b) 8200; 
c) 40200; d) 80200; 
e. 20400.
2. Em uma PA, a soma dos termos é 70, o pri-
meiro termo é 10 e a razão é 5. O número de
termos é:
a) 10; b) 8;
c) 4; d) 12;
e) 16.
3. (FATEC–SP) Se o tremo geral de uma PA é
an = 5n − 13, com n imagem imagem imagem
imagem imagem imagem imagem imagem
imagem IN*, entãoa soma de seus 50
primeiros termos é:
a) 5850; b) 5725;
c) 5650; d) 5225;
e) 5150.
4. (PUC) A soma dos n primeiros termos de uma
PA é n2 + 2n. O 10.º termo dessa PA vale:
a) 17; b) 18;
c) 19; d) 20;
e) 21.
5. A soma dos termos de uma PA, cujo primeiro
termo é 4, o último termo é 46 e a razão é igual
ao número de termos é:
a) 50; b) 100;
c) 175; d) 150;
e) 195.
6. (FGV) A soma dos 50 primeiros termos de uma
PA, na qual a6 + a45 = 160, vale:
a) 3480; b) 4000;
c) 4320; d) 4200;
e) 4500.
7. O número de termos que devemos tomar na
PA (−7, −3, ...) a fim de que a soma valha
3150 é:
a) 38; b) 39;
c) 40; d) 41;
e) 42. 
8. (PUC–RS) Um teatro têm 18 poltronas na pri-
meira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e
assim na mesma seqüência , até a vigésima
fila, que é a última. O número de poltronas
desse teatro é:
a) 92; b) 150;
c) 1500; d) 132;
e) 1320.
9. (FATEC) A soma de todos os números natu-
rais, não nulos, não maiores que 600 e não
múltiplos de 5, é:
a) 180300; b) 141770;
c) 144000; d) 136415;
e) 147125.
10. (FGV–SP) Sabendo que a soma do segundo e
do quarto termos de uma progressão aritméti-
ca é 40 e que a razão é do primeiro termo,
a soma dos dez primeiros temos será:
a) 350; b) 270;
c) 400; d) 215;
e) 530.
11. (MACK–SP) Se a soma dos 10 primeiros ter-
mos de uma progressão aritmética é 50 e a
soma dos 20 primeiros termos é 50, então a
soma dos 30 primeiros termos é:
a) 0; b) 50;
b) 150; d) 25;
e) 100.
95
Matemática Elementar III – Progressões Aritméticas