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Matemática
1ª edição
2017
Matemática
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Palavras do professor
Caro aluno,
Seja bem-vindo à disciplina de Matemática, pela qual entenderemos a 
importância dos números em nosso cotidiano.
Os números e a sua história vêm acompanhando todos os avanços da 
civilização humana, assim como a crescente necessidade de resolver pro-
blemas, dos mais variados tipos, no cotidiano profissional e pessoal da 
humanidade.
Se voltarmos à idade da pedra, percebemos que, por meio da contagem 
dos animais, surgiram os números naturais. Desde então, com o desen-
volvimento exponencial da população e os avanços obtidos pela globa-
lização, há uma necessidade cada vez maior entre os seres humanos de 
realizar cálculos de créditos e débitos, assim como a divisão por bens, ter-
ritórios, entre outros, fazendo-se necessário o surgimento dos números 
inteiros e fracionários, respectivamente.
Assim, observamos, que com o passar dos tempos e com o objetivo de 
facilitar o estudo dos pesquisadores, os números foram sendo agrupados 
em vários tipos de conjuntos. Nessa diversidade deles, encontramos o dos 
números naturais, que posteriormente foi transformado em conjunto de 
números inteiros, para que os cálculos pudessem ter números negativos 
em suas operações. Além deles, temos o conjunto dos números racionais, 
entre outros. Para identificar cada um, estudiosos adotaram uma letra 
maiúscula, de modo que ela exerça uma linguagem universal dentro da 
matemática.
Nesse contexto, com esses conjuntos numéricos formados, foi possível 
atribuir outros conceitos matemáticos na resolução de problemas como, 
por exemplo, as funções, as matrizes, a análise combinatória, entre outros.
Vamos aos estudos!
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Unidade 1
Introdução aos Números Inteiros 
e Funções
Para iniciar seus estudos
Você está iniciando o estudo da primeira unidade da disciplina de Mate-
mática. Preparado para questões, apontamentos e prática? Esta unidade 
aborda o universo dos números e seus respectivos conjuntos números, 
bem como suas operações e propriedades. Ainda aqui você conhecerá o 
conceito de funções e alguns de seus respectivos tipos. Vamos lá?
Objetivo de Aprendizagem
• Introduzir e contextualizar números inteiros e como estes são apli-
cados, assim como os conceitos e tipos de funções são classificados.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
1.1 Contextualizando os números
Os números estão cada vez mais presentes no nosso dia a dia, pois é por meio deles que podemos realizar a con-
tagem, isto é, identificar o número de contas a serem pagas mensalmente ou a quantidade de produtos vendidos 
na loja, entre outras aplicações. 
No entanto, acredita-se que, bem antes da criação dos números, essa contagem já era utilizada pelo homem, 
porém de uma forma mais rudimentar se comparada aos dias atuais, ou seja, ela era realizada por meio de obje-
tos, sendo a pedra o objeto mais comum na época.
Por meio da história, conta-se que no pastoreio, para que as ovelhas fossem contadas, seu dono as representava 
por uma pedrinha pequena guardada em um recipiente qualquer. Dessa forma, todos os dias era realizada a con-
tagem das ovelhas e o pastor, por meio das pedras, conseguia identificar se estavam sobrando ou faltando seus 
animais, pois mantinha uma relação um para um, isto é, uma pedra era igual a uma ovelha e vice-versa.
Outra forma de representação de contagem também poderia ser identificada por meio de desenhos em caver-
nas, cortes em pedaços de madeira, nós em corda, sendo todos usados para identificar e representar a marcação 
de quantidades.
No entanto, com a evolução humana em relação às comunidades criadas, por exemplo, teve-se a necessidade de 
aprimorar a forma de contagem, pois novos e os mais variados tipos de contagens foram necessários. Não bas-
tava apenas contar as pessoas, mas era necessário fazê-lo para a quantidade de comida e a forma como ela seria 
dividida entre os povos. Assim, cada civilização passou a representar a marcação de quantidade com símbolos 
próprios, dando origem à escrita numérica e aos diferentes sistemas de numeração.
A numeração representada pelos povos egípcios era feita com traços verticais para os algarismos de 1 a 9, con-
forme ilustramos no quadro a seguir:
Quadro1 – Representaçãodos algarismos de 1 a 9 pelos egípcios.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
| || ||| |||| ||||| |||||| ||||||| |||||||| |||||||||
Legenda: Representavam numérica egípcia.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
A partir do número dez, eles adotavam outra simbologia, na qual para a dezena era utilizado um símbolo que 
representava o calcanhar, já para a centena um símbolo que representava o rolo de corda e assim sucessivamente.
Já os maias, tinham sua própria representação simbólica para os números de um a 19: era considerado um sis-
tema de numeração visegimal, ou seja, um sistema de base 20.
Os romanos, por sua vez, usavam combinações de vários símbolos para poder fazer a marcação de numeração, 
conforme apresentamos no quadro a seguir:
Quadro 2 – Representaçãodos algarismos 1 a 9 pelos romanos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
| || ||| IV V VI VII VIII IX
Legenda: Representação numérica romana.
Fonte: Elaborado pelo autor (2018).
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Comparado aos demais sistemas de numeração criados na antiguidade, o sistema de numeração romano, mais 
sofisticado, é composto pelas letras, I, V, X, L, C, D, M, porém todas devem estar em caixa alta (letra maiúscula). Os 
valores para cada uma das letras são indicados por:
• I representa 1;
• V representa 5;
• X representa 10;
• L representa 50;
• C representa 100;
• D representa 500;
• M representa 1000.
Nesse contexto, notamos que, independentemente de civilização, os sistemas de numeração são utilizados por 
todos com o mesmo objetivo: a representação de quantidade.
No Brasil, o sistema de numeração adotado é o decimal, isto é, um mesmo algarismo pode assumir diferentes 
valores, dependendo da posição em que ocupa no numeral. Cada uma dessas posições é denominada de ordem, 
de modo a identificar se o algarismo é uma centena, dezena ou unidade.
Figura 1.1 – Exemplos de numerações
Legenda: Os números podem ser combinados de várias formas por meio de suas posições.
Fonte: Plataforma Deduca (2018).
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Para cada uma das ordens desses algarismos, os conjuntos numéricos são criados para que possam ser represen-
tados os sistemas de numeração e seus respectivos tipos.
Dentre os conjuntos numéricos existentes na matemática, o conjunto numérico é o mais importante, porém 
dentre os conjuntos estão os naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Vamos ver cada um deles 
a seguir.
1.1.1 Conjunto de números naturais (N)
Os conjuntos naturais, matematicamente representados pela letra maiúscula N, foram criados devido à necessi-
dade de contar objetos. Ele começa pelo valor zero e infinitamente é acrescentada uma unidade.
Como conjuntos dos números naturais, temos:
N = { 0,1,2,3,…,13,14,….100,101…,10000,….}
Caso o elemento zero seja excluído do conjunto N, este deve ser representado por N*. 
Dentre as operações que podem ser realizadas no conjunto N, estão a adição, subtração, multiplicação e divisão.
A operação de adição é adotada quando se deseja fazer a soma de dois ou mais elementos ou então quando 
desejamos adicionar uma determinada quantidade à outra.
Um exemplo da operação de adição pode ser dado por meio da soma de cinco bananas a três maçãs em um cesto 
de fruta, ou seja, por meio desse somatório, o cesto de frutas teria como resultado a quantidade de oito frutas.
Quando nos referimos à operação de adição, algumas propriedades, segundo Scheinerman (2016), são estabe-
lecidas e precisam ser levadas em consideração em sua aplicação, por exemplo:
• Propriedade comutativa: a ordem dos fatores não altera a soma dos produtos, isto é, se a e b são dois 
números naturais quaisquer, então a + b = b +a, isto é, 2 + 5 = 7, assim como 5 + 2 = 7.
• Propriedade associativa: é utilizada na adição ou no somatório de três ou mais números, associando os 
elementos em ordens diferentes. Por exemplo, dados três números naturais, representados por a, b e c, 
temos que (a + b) + c = a + (b + c), isto é, (2 + 3) + 1 = 6, da mesma forma que 2 + (3 + 1) = 6.
• Elemento neutro da adição: é a adição de um número natural com o zero. Desta forma, a soma sempre é 
igual ao valor do número natural. Por exemplo, a + 0 = 0 + a, ou seja, 2 + 0 = 2, assim como 0 + 2 = 2. Ao 
valor zero é dado o nome de elemento natural da adição.
Além da adição, outra operação muito utilizada no conjunto de números naturais é a subtração, utilizada quando 
se deseja fazer a retirada de uma quantidade ou então quando desejamos saber quanto uma quantidade tem a 
mais que a outra.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Como exemplo, temos: “Um celular smartphone custa R$ 1.500,00, enquanto que o outro custa R$ 890,00. Qual 
a diferença de preço entre os dois?”.
Para resolver essa diferença de preço, realizamos a seguinte operação matemática: 1.500,00 - 890,00 = 610,00. 
Assim, identificamos que os celulares apresentam uma diferença de preço no valor de R$ 610,00.
Assim como na operação de adição, Scheinerman (2016) define algumas propriedades para a operação de sub-
tração, a saber:
• Propriedade comutativa: na subtração, não existe propriedade comutativa, pois dados dois números 
naturais, a e b, temos que a - b ≠ b - a.
• Propriedade associativa: o mesmo podemos dizer para a propriedade associativa, que não se aplica à 
operação subtração, como (a - b) - c ≠ a - (b - c) 
• Elemento neutro da subtração: a subtração de números naturais não apresenta elemento neutro, já que 
a - 0 = a, mas 0 - a = -a, assim -a não pertence ao conjunto de elementos naturais.
Para todas as operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) existem 
propriedades a serem seguidas. Embora essas propriedades apresentem, normalmente, o 
mesmo nome, nem sempre podem ser aplicadas da mesma forma nos cálculos. 
Já a operação de multiplicação do conjunto de números naturais associa situações nas quais desejamos adicionar 
determinado número de parcelas iguais, bem como saber a forma como podemos dividir essas parcelas. Vejamos 
um exemplo de multiplicação na sequência:
Cada andar de um edifício tem dois apartamentos. Se o prédio tem três andares, qual seria o total do número 
total de apartamentos?
Nesse caso, poderíamos fazer o cálculo por meio da operação de adição, como por exemplo:
2 + 2 + 2 = 6
Para uma quantidade pequena de valores, a soma poderia ser útil; porém, para uma quantidade grande de valores, 
ela se torna ineficaz e, para isso, temos a multiplicação. Como operação e resultado para esse problema, temos:
2 × 3 = 6
Para Sheinerman (2016), as principais propriedades da multiplicação são:
• Propriedade comutativa: na multiplicação de dois números do conjunto dos números naturais quaisquer, 
a ordem dos fatores não altera o valor do produto. Sendo assim, dado dois números a e b, temos que 
a × b = b × a.
• Propriedade associativa: nessa operação, os elementos podem ser associados de formas diferentes, pois 
não se alteram, por exemplo: (a × b) × c = a × (b × c)
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• Elemento neutro da multiplicação: na multiplicação de qualquer número natural por 1, o produto é sem-
pre igual a esse número. Assim, se é um número natural qualquer, temos que a ×1 = 1 × a = a.
• Propriedade distributiva: nessa propriedade, o produto de um número natural por uma soma é igual à 
soma dos produtos desse número em cada uma das parcelas. Simplificando, dados os números naturais 
a, b e c, temos que a×(b + c) = a × b + a×.
Por fim, a operação de divisão, também chamada de quociente, está associada a situações em que se deseja 
dividir quantidade em partes iguais.
Como exemplo, podemos dividir a quantidade de 20 chicletes entre cinco crianças, em partes iguais. Como nota-
ção e resultado dessa operação, temos: 20 ÷ 5 = 4.
Em relação às propriedades da divisão, consideramos as definidas por Scheinerman(2016):
• Propriedade comutativa: na divisão, essa propriedade não é aplicada, pois dois números naturais a e b, 
sendo naturais a ≠ b temos que 
• Propriedade associativa: essa propriedade também não se aplica à operação de divisão, pois dados os 
números naturais a, b e c, temos que (a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c).
• Elemento neutro da divisão: não existe elemento neutro na divisão, pois 5 dividido por 1 é igual a 5, porém 
1 dividido por 5 não pertence ao conjunto dos números naturais.
1.1.2 Conjunto de números inteiros ou inteiros relativos (Z)
Os números inteiros são números naturais que permitem que seja acrescentado o sinal de positivo e negativo, 
mais o número zero. A notação matemática para representado do conjunto Z é dada por:
Z = {…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,…}
Assim, podemos dizer que N é um subconjunto de Z. Logo, todo número natural é um número inteiro.
Figura1.2 – Representação dos números inteiros em relação aos números naturais
 
 
 
Legenda: Conjunto de números inteiros (Z) em relação ao conjunto de números naturais (N).
Fonte: Elaborada pelo autor (2018).
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Sempre que falamos de números inteiros, algumas informações e representações são de 
suma importância, tais como: Z+ são os números inteiros não negativos; Z- são os números 
inteiros não positivos; Z+*são os números inteiros estritamente positivos (sem o zero); Z-*são 
os números inteiros estritamente negativos (sem o zero). 
Assim como no conjunto de números naturais, os números inteiros adotam e utilizam as operações de adição, 
subtração, multiplicação e divisão. Porém, como em Z existem números negativos e positivos, em determinadas 
operações é necessária a utilização dos parênteses (GERSTING, 2016).
Na adição de dois números inteiros, se os valores apresentarem sinais diferentes, é necessário subtrair a menor 
parcela da maior e conservar o sinal da parcela de maior módulo.
Um exemplo de uma adição com dois números de mesmo sinal é dado pela soma dos módulos e atribuindo o 
sinal comum a eles.
(+2) + (+5) = +7
(-2) + (-5) = -7
No entanto, quando os números apresentam sinais diferentes, ou seja, um número com valor positivo e outro 
com o valor negativo, temos o seguinte exemplo de adição:
(-2) + (+5) = +3
(+2) + (-5) = -3
Para a operação de subtração no conjunto de números inteiros, o processo de cálculo é dado pela retirada dos 
números dos parênteses e subtração do número de menor módulo do número de maior módulo.
Como exemplos de cálculos de subtração no conjunto de inteiros, temos:
33 - 10 = 23
(-35) - (+8) = -35 - 8 = -43
(+5) - (+3) = 5 - 3 = 2
90 - (-20) = 90 + 20 = 110
A multiplicação dos conjuntos inteiros segue o mesmo raciocínio apresentado pelo conjunto dos números natu-
rais; no entanto, é necessário que sejam cuidados os sinais.
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Se na frente dos parênteses houver um sinal positivo, os parênteses são retirados e o sinal 
dos números de seu interior é conservado. Já se, na frente dos parênteses, houver um sinal 
negativo, ao retirarmos os parênteses, devemos trocar o sinal dos números do seu interior. 
Assim, para a multiplicação ou produto de dois números inteiros, o primeiro é multiplicado pelo segundo e o sinal 
(+) é atribuído ao resultado se os dois números tiverem sinais iguais e sinal (-) se os dois números tiverem sinais 
contrários.
Como exemplo, temos:
(+2) × (+2)= +4
(+2) × (-2) = -4
(-2) × (-2) = +4
(-2) × (+2) = -4
Na multiplicação de dois números inteiros, há uma regra que precisa ser levada em consi-
deração no momento do cálculo: 1) Se multiplicarmos dois números inteiros que tenham 
o mesmo sinal, o resultado será positivo.2) Se multiplicarmos dois númerosinteiros que 
tenham sinais diferentes, o resultado será negativo. 
A operação de divisão dos números inteiros é a mesma do conjunto dos números naturais, apenas levando em 
consideração a regra de sinais vista na multiplicação de números inteiros.
Dessa forma, para o quociente ou divisão de dois números inteiros, dividimos o primeiro pelo segundo número e 
então atribuímos ao resultado o sinal de (+) ou (-).
Como exemplos de divisão de números inteiros, temos:
(+64) ÷ (-8) = -8
(-100) ÷ (-20) = +5
(-120) ÷ (+6) = -20
Cabe ressaltar que, para a divisão ocorrer, o divisor precisa ser diferente de zero; caso contrário, não há necessi-
dade de divisão entre os números.
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1.1.3 Conjunto de números racionais (Q)
Os números racionais são os números representados na forma de em que p e q são números inteiros, em que 
o q ≠ 0.
A notação matemática adotada para a representação de um conjunto de números racionais é dada por:
Como todos os elementos do conjunto dos números inteiros (Z) pertencem ao conjunto dos números racionais 
(Q), então:
Dessa forma, dizemos que uma fração ou um número fracionário representa um número racional e sua notação 
é representada da seguinte forma:
Onde a é o numerador e b é o denominador. Assim, a e b são números inteiros com b ≠ 0. O denominador tem 
como objetivo indicar em quantas partes iguais a unidade foi ou será dividida.
O numerador e o denominador são os elementos que compõem uma fração. 
1.1.4 Conjunto de números irracionais (I)
Dizemos que os números irracionais são os números reais que não são racionais, isto é, são os números cuja 
representação decimal não é exata, nem periódica e que, em consequência desse fato, não podem ser escritos 
na forma de fração. São representados por:
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Como exemplo de números racionais, temos:
Observarmos que nenhum dos elementos do conjunto I pertence aos conjuntos N, Z ou Q.
1.1.5 Conjunto de números reais (R)
Até o momento, todos os números apresentados são chamados de números reais, ou seja, o conjunto de núme-
ros reais é formado por todos os números racionais acrescido dos números irracionais.
Dizemos que:
a. Todo número natural é real;
b. Todo número inteiro é real;
c. Todo número racional é real;
d. Todo número irracional é real.
Sua notação matemática é dada da seguinte forma:
As regras para a utilização dos operadores: adição, subtração, multiplicação e divisão seguem as mesmas apre-
sentadas pelo conjunto de números inteiros, conforme vimos na seção 2.1.2.
1.1.6 Números decimais
Esses números são conhecidos por apresentar uma parte inteira e outra parte fracionária, sendo a primeira repre-
sentada pelos algarismos que estão à esquerda da vírgula, enquanto que a parte fracionária é representada pelos 
algarismos que se encontram à direita da vírgula.
A parte fracionária pode ser finita ou infinita. Por exemplo:
2,30
3,33333….
Note no primeiro exemplo que o algarismo 2 representa o número inteiro, enquanto que o 30 representa a parte 
fracionária do número decimal. Esse é um exemplo de número decimal finito. Já no segundo exemplo, a parte 
fracionária é composta de reticências, o que define o número como sendo decimal infinito.
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1.1.7 Conjunto de números complexos (C)
Esse conjunto se refere aos números que não são reais, isto é, as raízes de índices par de números negativos.
O conjunto de números complexos é composto por todos os números na forma , em que a e b são 
números reais e .
Desse modo, dizemos que o conjunto de números reais é um subconjunto dos números complexos.
1.2 Funções
Para Gersting (2016), o termo função é muito comum, mesmo em contexto não técnicos, pois podem ser utiliza-
das para representar várias situações do cotidiano como, por exemplo, o aumento dos salários dos funcionários.
Outra forma de se trabalhar com funções é no contexto matemático, a qual melhor se aplica, para resolução de 
problemas de álgebra, bem como no cálculo diferencial.
Recorde que uma função pode ser dita como uma correspondente entre dois conjuntos.
Figura 1.3 – Representação de uma função por dois conjuntos A e B
1
1
2 2
3
3
4
4
5 5
67
A B
Legenda: Ilustração de dois conjuntos A e B e suas respectivas 
correspondências para representar uma função por meio de conjuntos.
Fonte: Adaptada de Gersting (2016, p.181).
Nesse contexto, observamos na Figura 3 que todos os elementos do conjunto A apresentam correspondência 
com os elementos do conjunto B. Além disso, cada um dos elementos do primeiro conjunto está associado a 
apenas um elemento do conjunto B. Essa correspondência entre os conjuntos A e B é chamada de aplicação ou 
função de A em B.
Um exemplo de função seria a equação , que representa uma relação funcional entre os valores de x e os valores 
correspondentes que resulta da substituição, na equação, de x por seus valores (GERSTING, 2016, p. 181). Desta 
forma, se fizermos com que x tome quaisquer valores reais, o gráfico resultado será uma curva contínua, con-
forme ilustramos na Figura 4.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Figura 4– Gráfico resultante da função 
g (x)
x
(2,8)
(1,1)
(-1, -1)
Legenda: O gráfico representa uma curva contínua para a função, e os pontos 
adotados para sua representação no plano cartesiano são (2,8), (1,1), (-1, -1).
Fonte: Gesrsting (2016, p. 181).
Para Gesrsting (2016, p. 182), uma função apresenta três componentes: 
(1) um conjunto de valores iniciais, (2) um conjunto do qual os valores associados são tomados e (3) 
a associação propriamente dita. O conjunto dos valores iniciais é chamado de domínio da função, e 
o conjunto com os valores associados é chamado de contradomínio da função. Portanto, o domínio 
e o contradomínio representam o elenco dos valores passíveis de serem usados pela função. 
Podemos dizer que uma função matemática sempre relaciona dois conjuntos, porém os elementos do primeiro 
conjunto representam o domínio de uma função, pois são os elementos de partida, ou seja, por meio deles é rea-
lizada a correspondência entre o outro conjunto. Já o elemento em que o domínio é associado, é denominado de 
um conjunto de chagada ou contradomínio. Por fim, os elementos desse contradomínio são os que representam 
o conjunto de imagem de uma função. 
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Figura 1.5 – Exemplos de domínio e contradomínios de uma função
Im f
f
Dom f
Domínio de f Contradomínio de f 
e conjunto imagem
Legenda: Ilustração de dois conjuntos, sendo o primeiro o domínio da função e o segundo o 
contradomínio e o conjunto imagem, baseado nas definições anteriormente apresentadas.
Fonte: Adaptada de Gersting (2016, p. 186).
Com base na definição, podemos resumidamente notar que uma função matemática nada mais é do que a rela-
ção direta e particular entre dois conjuntos, em que cada elemento do domínio apresenta apenas uma imagem, 
segundo a regra ou a função.
Uma função pode ser representada de várias formas, seja por meio de conjuntos, uma 
expressão matemática, um gráfico, uma expressão verbal, entre outras. Porém, dentre as 
representações existentes, a mais adotada para sua representação é a expressão matemá-
tica e o gráfico. 
Dizemos que o gráfico é o retrato de uma função, pois por meio dele é possível fazer análises, cotações e até 
mesmo perspectivas, ou seja, o gráfico permite visualizar melhor o comportamento da função, seu crescimento 
e seus máximos e mínimos.
O gráfico é uma das formas de representação de uma função, pois por meio de seus pontos, 
associados um a um, é possível em um plano cartesiano traçar uma reta. 
Além da diversidade de formas de representação, as funções também podem ser classificadas de várias formas: 
crescentes e decrescentes, lineares, quadráticas, cúbicas, racionais, módulo,trigonométricas, composição de 
funções etc. Nesta unidade, abordaremos os conceitos das funções que são básicas para o entendimento das 
demais existentes.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
1.2.1 Funções crescentes e decrescentes
Por meio dessas funções crescentes e decrescentes, torna-se possível investigar o crescimento ou decrescimento 
de uma função real para um determinado subconjunto de valores. Veja o um exemplo na figura a seguir.
Figura 1.6 – Função crescente e decrescente
a c
d
O e
b
x
y
Legenda: O gráfico apresenta intervalos onde a função está crescente e decrescente.
Fonte: Gersting (2016, p. 192).
Notamos, nessa figura, que nos intervalos [a, c] e [d, e] a função é crescente, enquanto que nos intervalos [c, d] e 
[b, e] a função é decrescente.
1.2.2 Funções Lineares
Funções lineares são quando elas representam graficamente retas paralelas no plano cartesiano.
A notação matemática que expressa uma função linear é dada por:
Nesta função linear, as variáveis a e b são definidas como constante e todos os seus valores reais são o domínio. 
Observamos que, quando b = 0, a função linear do gráfico é representada por uma reta que passa pela origem. Já 
no caso da variável a = 0, a representação gráfica desta função é uma reta paralela ao eixo x. Se ocorrer a inter-
ceptação do eixo y na variável b, dizemos que a função é constante.
Em relação ao coeficiente angular de uma reta, ele está diretamente relacionado à variável a, ou seja, se o valor 
de a for positivo, a reta apresenta sentido crescente, senão, decrescente b, é dito como sendo o coeficiente linear. 
A figura a seguir ilustra alguns exemplos de funções lineares.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Figura 1.7 – Exemplos de funções lineares
f (x) = -5x
x
f (x) = -x - 2
x
x
f (x) = x
1
2
x
f (x) = -1
Legenda: A imagem representa graficamente como uma função linear pode ser aplicada em um plano cartesiano.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 15).
O coeficiente angular de uma reta r é definido como sendo a tangente do ângulo (α) que essa reta faz com a reta 
horizontal que a intercepta.
1.2.3 Funções Quadráticas
As funções quadráticas são representadas por parábolas quando seus gráficos são gerados e podem ser expres-
sas por:
Onde a, b e c são constantes e a ≠ 0. 
Um exemplo gráfico de uma função quadrática pode ser visualizado na figura a seguir.
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Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Figura 1.8 – Exemplos de funções quadráticas
f (x) = -x2 - 4x + 2
xx
f (x) = x2 - 4x - 2
Legenda: A imagem ilustra graficamente a parábola da função quadrática conforme o sinal estipulado para a.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 16).
Notamos nesta figura que, nas duas imagens, as parábolas encontram-se em sentidos inversos. Nesse contexto, 
quando a concatividade da parábola é para cima, dizemos que o a é positivo; caso contrário, a concatividade é 
para baixo.
1.2.4 Funções Exponenciais
Estas funções são aquelas em que apresentam crescimento (ou decrescimento) muito rápido e, por isso, são 
utilizados experimentos, pois permitem representar fenômenos que possuem essa característica. Como exem-
plos, podemos citar: crescimento de bactérias, decaimento radioativo de elementos químicos, juros compostos, 
inflação, entre outros.
A definição matemática para as funções exponenciais é dada da seguinte forma:
Se b é um número positivo diferente de 1 ( b > ,0 b ≠ 1), então a função exponencial de base b é definida como 
f(x) = bx para qualquer número real x.
Figura 1.9 – Exemplos de funções exponenciais crescentes e decrescentes
f (x) = 10x
f (x) = 3x
f (x) = 2x
f (x) = 1,3x
f (x) = 0,1x
f (x) = 0,5x
f (x) = 0,8x
Legenda: A imagem ilustra graficamente as funções crescentes e decrescentes no plano cartesiano.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 15).
20
Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Dentre as funções aqui apresentadas, podemos dizer que a função exponencial é bastante 
utilizada, pois muitos experimentos científicos realizados por biólogos e químicos que preci-
sam dessa função para representar graficamente o resultado de suas pesquisas. 
1.2.5 Composição de Funções
A composição de funções, em matemática, sempre é criada pela aplicação de uma função de saída, ou o resul-
tado, de outra função, e assim sucessivamente como demonstra a figura abaixo.
Figura 1.10 – Composição de funções
s
f(s) g(f(s))
S T U
Legenda: Ilustração da composição das funções baseado nos três conjuntos S, T e U.
Fonte: Gersting (2016, p. 191).
Gersting (2016) define uma função composta da seguinte forma:
Seja f : S R T e g:T R U, então a função composta, g ° f é uma função de S em U definida por (g ° f)(s)=g(f(s)).
Assim, a função g ° f é aplicada da direita para a esquerda, isto é, f é aplicada primeiro e então é aplicada a função 
g como na figura a seguir:
Figura 1.11 – Definição de função composta
f
T
U
g
g O f
S
Legenda: Ilustração, por meio de retas,de quais são os domínios e contradomínios da função.
Fonte: Gersting (2016, p. 191)
21
Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Na figura anterior, observamos que os vértices indicam os domínios e contradomínios das três funções. 
O diagrama diz que começando com um elemento em S, se seguirmos pelo caminho ou pelo 
caminho/e depois pelo caminho g, obteremos o mesmo elemento de U. Diagramas que ilustram 
que caminhos alternativos geram os mesmos resultados são chamados de diagramas comutati-
vos (GERSTING, 2016, p. 191).
1.2.6 Funções Inversas
Para que uma função tenha uma função inversa, ela deve ser uma função bijetora. 
Uma função é dita como bijetora quando obedece ao mesmo tempo os critérios: 1) dois 
elementos quaisquer do seu domínio nunca podem ser associados a um mesmo elemento 
do contradomínio; 2) nenhum elemento do contradomínio pode ficar sem associação com 
quaisquer dos elementos do domínio. 
Glossário
Dessa forma, podemos dizer que dada uma função bijetora f(x) qualquer com pares ordenados do tipo (a, b), a 
função inversa f - 1(x) é uma função que fará o caminho inverso, ou seja, os pares ordenados terão a forma (b, a), 
conforme ilustra a próxima figura.
Figura 1.12 – Exemplo de função inversa
2
4
7
3
5
8
A B
2
4
7
3
5
8
A B
f(x) → IDA
Pares ordenados
f = {(2,3), (4,5), (7,8)}
f -1(x) → VOLTA
Pares ordenados
f -1 = {(3,2), (5,4), (8,7)}
Legenda: Ilustração de dois conjuntos de pares ordenados e como estes são 
representados quando ocorre a inversa de uma função.
Fonte: Adaptada de Gersting (2016, p.195).
22
Matemática | Unidade 1 - Introdução aos Números Inteiros e Funções
Quando se realiza a inversão de uma função y = x, é necessário que seja verificado se a função obtida (y = x) é igual 
à própria função original. Essa função é chamada de função identidade e possui a propriedade de ser a única 
função cuja inversa é ela mesma.
Graficamente, essa função f (x) = x funciona como um eixo de simetria para qualquer função e sua inversa.
Dada a função f(x)=2x+3 e sua função inversa · , ambas funções de primeiro grau, crescentes.
Figura 1.13 – Função inversa
Legenda: Ilustração da função e sua inversa no plano cartesiano, respectivamente.
Fonte: Adaptada de Marques (2018, p. 17).
Note que os pares ordenados (0, 3) e (-1,5; 0) da função foram invertidos, obtendo os pares (3, 0) e (0; -1,5) da 
função inversa 
23
Considerações finais
Nesta unidade, fizemos uma introdução ao estudo dos números, suas 
classificações e introduzimos os conceitos das funções e alguns de seus 
tipos. Assim, podemos brevemente relembrar o que foi estudado no 
decorrer da unidade:
• Conceituamos números e seu surgimento.
• Descrevemos os sistemas de numeração e seus respectivos con-
juntos.
• Entendemos os conceitos e como os conjuntos numéricos são 
diferenciados, tais como: naturais, reais, inteiros, racionais, entre 
outros.
• Ressaltamos aspropriedades comutativa, associativa e elemento 
neutro existentes em cada nas operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão, sendo que esta última também contém a 
propriedade distributiva.
• Definimos o conceito de função, quais são os seus três principais 
componentes: domínio, contradomínio e imagem.
• Mostramos como as funções podem ser classificadas: crescentes, 
decrescentes, entre outras.
Referências bibliográficas
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GERSTING, J. L. Fundamentos matemáticos para a ciência da compu-
tação. São Paulo: LTC, 2016.
MARQUES, G. da C. Funções 2.In: Universidade De São Paulo (USP). Fun-
damentos de Matemática I. Curso de Licenciatura em Ciências. p. 
32-48. USP/Univesp: 2018. Disponível em:<https://midia.atp.usp.br/plc/
plc0001/impressos/plc0001_02.pdf>. Acesso em: 23 jan. 2018.
SCHEINERMAN, E. R. Matemática discreta: uma introdução. Boston: 
Cengage Learning, 2016.
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf
https://midia.atp.usp.br/plc/plc0001/impressos/plc0001_02.pdf
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