Primeira Lista de Exercícios - Lucas Gonçalves Dias

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI 
CAMPUS ALTO PARAOPEBA 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
1a LISTA DE EXERCÍCIOS – CAPÍTULOS 1, 2, 3, 4 
 
 
NOME: Lucas Gonçalves Dias 
 
CURSO: ENGENHARIA MECATRÔNICA 
 
INSTRUÇÕES: 
i) Resolva as questões no espaço reservado para cada questão; 
ii) Todos os passos, fórmulas e cálculos deverão ser apresentados; 
iii) Questões com apenas o resultado final não serão consideradas; 
iv) Após resolvidas todas as questões no formato "Word” converter para o formato “PDF”, e 
verificar se o arquivo se encontra visível e legível; 
v) Enviar via portal didático até no máximo as 23:59 horas do dia 18/10/2021. 
 
1a Questão (VALOR – 4,0 pontos): Os dados seguintes (dados brutos) são referentes a uma amostra 
da resistência à tensão, em Mpa, de corpos de prova de uma liga de alumínio. 
90,3 80,3 78,2 80,2 82,4 82,4 78,6 90,4 81,5 89,7 91,2 84,4 84,3 
92,3 85,6 85,2 85,5 89,4 89,5 85,3 83,6 88,6 90,3 77,1 92,0 
 
Construa a tabela de distribuição de frequências com intervalos de classes, com as frequências 
absoluta, relativa e percentual, e também com os pontos médios das classes. 
 
SOLUÇÃO: 
ATENÇÃO: Todos os passos, fórmulas e cálculos deverão ser apresentados. 
 
1° Passo: Elaborar os dados em ordem crescente ou decrescente: 
77,1 78,2 78,6 80,2 80,3 81,5 82,4 82,4 83,6 84,3 84,4 85,2 85,3 85,5
 85,6 88,6 89,4 89,5 89,7 90,3 90,3 90,4 91,2 92 92,3 
 
2° Passo: Determinar o número de classes (K) da tabela: 
K = √𝑛 (1) 
Onde K é o número de classes da tabela e n, o número de elementos da amostra. 
K = √𝑛 = √25 = 5 
 
3° Passo: Determinar a amplitude de classe (c) da tabela. Para isso, é necessário encontrar 
primeiro a amplitude total (A): 
A = (𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜 − 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑑𝑜) (2) 
A = 92,3 – 77,1 = 15,2 
 
 
Assim, a amplitude de classe é determinada por: 
 c = 
𝐴
𝐾−1
 (3) 
Tendo A e K obtidos de (1) e (2), respectivamente: 
c = 
15,2
5−1
 = 3,8 
 
4° Passo: Determinar o Limite Inferior (𝐿𝐼) da 1° classe: 
𝐿𝐼 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 − 
𝑐
2
 (4) 
 𝐿𝐼 = 77,1 − 
3,8
2
 = 75,2 
 
5° Passo: Determinar o Limite Superior (𝐿𝑆) da 1° classe: 
𝐿𝑆 = 𝐿𝐼 + 𝑐 (5) 
 
𝐿𝑆 = 75,2 + 3,8 = 79 
 
6° Passo: Determinar o ponto médio (Xi) da 1° classe, seguindo a expressão: 
𝑋𝑖 = 
𝐿𝐼+𝐿𝑆
2
 (6) 
𝑋𝑖 = 
75,2+79
2
 = 77,1 
É possível observar que o ponto médio da 1° classe é o menor valor da amostra, e o ponto médio 
da última classe é o maior valor da amostra. 
 
7° Passo: Calcular os Limites Inferior e Superior das demais classes, bem como seus Pontos 
Médios, repetindo os métodos das equações (5) e (6) acima. O Limite Inferior da Próxima classe é 
sempre o Limite Superior da classe antecessora. Desse modo, os dados são corretamente 
ordenados em intervalos de classes. 
 
Frequência Absoluta(Fi): é contado o número de dados contidos na classe “i”. Para a Tabela 1, 
esses valores são representados por: 
1° classe: (77,1 78,2 78,6) = [ Fi = 3 ] 
2° classe: (80,2 80,3 81,5 82,4 82,4) = [ Fi = 5 ] 
3° classe: (83,6 84,3 84,4 85,2 85,3 85,5 85,6) = [ Fi = 7 ] 
4° classe: (88,6 89,4 89,5 89,7 90,3 90,3 90,4) = [ Fi = 7 ] 
5° classe: (91,2 92 92,3) = [ Fi = 3 ] 
 
É possível notar que a soma da Frequência Absoluta de todas as classes é igual à amostra. 
(3+5+7+7+3 = 25). 
 
 
Frequência Relativa(Fri): é o valor da Frequência Absoluta de cada classe, dividida pelo total de 
dados da amostra. 
Fri = 
𝐹𝑖
𝑛
 (7) 
Exemplificando a 1° classe da Tabela 1: 
Fri = 3 / 25 = 0,12 
E assim, sucessivamente para as demais classes. 
 
Frequência Percentual(Fpi): como o próprio nome diz, é o valor percentual da Frequência 
Absoluta, ou seja: 
Fpi = Fri * 100 (8) 
Exemplificando a 1° classe da Tabela 1: 
Fpi = 0,12 * 100 = 12% 
E assim, sucessivamente para as demais classes. 
 
 A Tabela 1 abaixo, ilustra a organização dos dados em forma de distribuição de frequências 
com intervalo de classes. Todos os cálculos foram realizados usando os passos já explicados. 
 
 
 
TABELA 1: Resistência à tensão, em Mpa, de corpos de prova de uma liga de alumínio 
 Resistência à tensão, em Mpa, de corpos de prova de uma liga de alumínio 
 
Resistência 
(Mpa) 
Ponto Médio da 
Classe 
Frequência 
Absoluta 
Frequência 
Relativa 
Frequência 
Percentual 
 X Xi Fi Fri Fpi(%) 
1° 75,2 - 79 77,1 3 0,12 12 
2° 79 - 82,8 80,9 5 0,2 20 
3° 82,8 - 86,6 84,8 7 0,28 28 
4° 86,6 - 90,4 88,5 7 0,28 28 
5° 90,4 - 94,2 92,3 3 0,12 12 
 Total: 25 1 100 
 
 
 
 
 
 
 
2a Questão (VALOR – 2,0 pontos): Dada a seguinte tabela de distribuição de freqüências: 
TABELA 1 – Número de defeitos em componentes eletrônicos. Empresa XX, 2021. 
No de defeitos Fi 
0 38 
1 37 
2 25 
3 20 
4 16 
5 10 
6 4 
Total 150 
Fonte: Dados fictícios. 
 
Calcule: a média, a mediana e a moda. 
SOLUÇÃO: 
ATENÇÃO: Todos os passos, fórmulas e cálculos deverão ser apresentados. 
MÉDIA: 
 
Para calcular a média com dados agrupados numa tabela de distribuição de frequências, usa-se a 
equação (9) abaixo: 
�̅� =
 ∑ 𝐹𝐼𝑋𝐼
𝑘
𝑖=1
∑ 𝐹𝐼
𝑘
𝑖−1
 = 
𝐹1𝑋1+𝐹2𝑋2+⋯+ 𝐹𝑘𝑋𝑘 
𝐹1+ 𝐹2+⋯+ 𝐹𝑘
 (9) 
Onde 𝑋𝐼 é o ponto médio da classe “i”; 
𝐹𝐼 é a frequência absoluta da classe “i”. 
 
Estendendo a tabela 1 da questão 2, pode-se criar uma coluna 𝐹𝐼𝑋𝐼 para facilitar os cálculos: 
 
 
 
 
Aplicando na equação (9): �̅� = 
285
150
 = 1,9 
 
 
 
No de defeitos Fi FiXi 
 0 38 38*0 = 0 
1 37 37*1 = 37 
2 25 25*2 = 50 
3 20 20*3 = 60 
4 16 16*4 = 64 
5 10 10*5 = 50 
6 4 4*6 = 24 
Total 150 285 
 
MEDIANA: 
 
Para calcular a mediana (ponto central) com dados agrupados numa tabela de distribuição de 
frequências, usa-se a equação (10) abaixo: 
𝑚𝑑 = 
𝑋
(
𝑛
2
)
+ 𝑋
(
𝑛+2
2
)
2
 (10) 
 
A classe mediana é a que contém o dado 𝑋
(
𝑛
2)
 se n for par, ou 𝑋
(
𝑛+1
2
)
 se n for ímpar. 
Logo: 𝑋
(
150
2 )
 = 𝑋75 = é o 75° dado, logo somando os dados da 1° classe (38) mais os dados da 2° 
classe (37) chegamos à exatamente o 75° valor, que é o último da 2° classe (38+37 = 75). Esse 
dado é o valor 1 (número de defeitos). 
Para 𝑋
(
150+2
2
)
 = 𝑋76 = o próximo dado após a 2° classe, que é 2. 
Aplicando em (10): 𝑚𝑑 = 
1+2
2
 = 1,5 
 
 
MODA: 
 
É o valor mais frequente presente na amostra, logo, com a maior Frequência Absoluta (Fi). 
Consultando a tabela 1 da questão 2, é possível notar a maior Fi sendo 38, ou seja, a moda. 
 
 
 
 
 
 
 
3a Questão (VALOR – 4,0 pontos): Os dados a seguir são referentes às resistências à tensão e à 
compressão, em Mpa, de uma amostra de 12 corpos de prova de uma liga de alumínio. 
Resistência à tensão (MPa) Resistência à compressão (MPa) 
77 83 84 88 90 89 33 35 36 39 40 42 
80 85 85 89 92 90 32 34 35 38 41 40 
 
Quem possui uma maior variabilidade? A resistência à tensão ou a resistência à compressão? 
Justifique a medida estatística utilizada na comparação. 
SOLUÇÃO: 
ATENÇÃO: Todos os passos, fórmulas e cálculos deverão ser apresentados. 
 
 
 
A amostra que possui maior variabilidade é, aquela que tiver maior variância. A variância mede 
a dispersão de uma amostra de dados em relação à sua média, e indica o quanto, em média, os dados 
se desviam em relação à média. Para determinar isso, usamos a equação (11) abaixo, que representa 
a variância de uma amostra. 
𝑠2 = 
∑ 𝑥𝑖
2−
(∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )²
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛−1
 (11) 
Logo: 
(∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )²
𝑛
 = 
(77+83+84+88+90+89+80+85+85+89+92+90)²
12
 = 
(1032)²
12
 = 88752 
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 = (77² + 83² + 84² + 88² + 90² + 89² + 80² + 85² + 85² + 89² + 92² + 90²) = 88974 
𝑠2 = 
88974−88752
12−1
 = 
222
11
 = 20,18 𝑠 = √20,18 = 4,49 
Como calculado acima, a variância é de 4,49 Mpa para a amostra de Resistência à Tensão. 
Novamente, usando a equação (11) para a amostra de Resistência à Compressão: 
(∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )²
𝑛
 = 
(33+35+36+39+40+42+32+34+35+38+41+40)²
12
 = 
(445)²12
 = 16502,0833 
∑ 𝑥𝑖
2𝑛
𝑖=1 = (33² + 35² + 36² + 39² + 40² + 42² + 32² + 34² + 35² + 38² + 41² + 40²) = 16625 
𝑠2 = 
16625−16502,0833
12−1
 = 
122,917
11
 = 11,17 𝑠 = √11.17 = 3,34 
Então, a variância é de 3,34 Mpa para a amostra de Resistência à Compressão. 
 
Ademais, podemos contar também com o Coeficiente de Variação (cv), que é uma medida de 
dispersão relativa que expressa o desvio padrão em termos da média, de forma percentual. Além disso, 
o cv é usado para comparar a variabilidade de duas ou mais amostras de dados que possuem diferentes 
unidades e/ou médias. Como o exercício acima trata duas amostras com médias distintas, devemos 
basear no cv para concluir qual tem maior variabilidade. 
𝑐𝑣 =
100𝑠
�̅�
 (12) 
 
 
Calculando o coeficiente de variação para as duas amostras citadas acima, temos: 
Amostra de Resistência à Tensão: 
Média = �̅� = 
1032
12
 = 86 
𝑐𝑣 =
100∗4,49
86
 = 5,22% 
Amostra de Resistência à Compressão: 
Média = �̅� = 
445
12
 = 37,08 
𝑐𝑣 =
100∗3,34
37,08
 = 9% 
 
Desse modo, é possível concluir que a amostra com maior variabilidade é a amostra de 
Resistência à Compressão, pois seu cv é maior (9%) do que o cv da amostra de Resistência à Tensão 
(5,22%).