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1 
 
Universidade Federal do Amazonas - UFAM 
Departamento de Estatística 
Disciplina: Estat́ıstica Aplicada à Ciências Sociais - Psicologia 
Professor Mestre: Fidel Henrique Fernandes 
 
 
 
 
 
Lista 2 
 
1 A partir das informações fornecidas por um alfaiate, que incluem dados básicos sobre os 
clientes e a avaliação dos produtos por estes (que variam de 1 - péssimo a 5 - ótimo), 
classifique as variáveis em qualitativas (nominal ou ordinal) e quantitativas (discreta ou 
contínua). 
 
Tabela 1: Tabela de Dados básicos de clientes. 
 
 
 
 
 
Fonte: Dados Fictícios 
R: 
Nome: Variável qualitativa nominal 
Profissão: Variável qualitativa nominal 
Altura: Variável quantitativa contínua 
Ternos comprados: Variável quantitativa discreta 
RG: Variável qualitativa nominal 
Salário: Variável quantitativa contínua 
Avaliação do produto: Variável qualitativa ordinal 
 
2 Complete os dados que faltam na distribuição de frequência: 
 
i xi fi f ri Fi 
1 0 1 0,05 A 
2 1 B 0,15 4 
3 2 4 C D 
4 3 E 0,25 13 
5 4 3 0,15 F 
6 5 2 G 18 
7 6 H I 19 
8 7 J K 
 Σ = 20 Σ = 1 
Dados do Livro Estat́ıstica Fácil - Crespo 
R: 
 
 A = 1 pois a frequência da classe absoluta acumulada inicial vale 1 
 
𝐵
20
= 0,15 𝐵 = 3 
 
𝐶 = 
4
20
= 0,2 
 
Cliente Profissão Altura Ternos Comprados RG Salário (R$) Avaliação do Produto 
Bruno Engenheiro 1,85 1 2525144-5 5800 3 
Marcelo Professor 1,76 4 2589689-5 4500 2 
João Médico 1,93 2 3525132-5 8700 5 
Marcos Advogado 1,82 1 8925181-5 5000 3 
 
D = 4 + 4 =8 
𝐸
20
= 0,25 𝐸 = 5 
F = 13 + 3 = 16 
𝐺 = 
2
20
 𝐺 = 0,1 
H + 18 = 19 H = 1 
𝐼 = 
1
20
 𝐼 = 0,05 
2 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela preenchida: 
 
i xi fi f ri Fi 
1 0 1 0,05 1 
2 1 3 0,15 4 
3 2 4 0,2 8 
4 3 5 0,25 13 
5 4 3 0,15 16 
6 5 2 0,1 18 
7 6 1 0,05 19 
8 7 1 0,05 20 
 Σ = 20 Σ = 1 
 
 
3 Complete os dados que faltam na distribuição de frequência: 
 
i Classes xi fi Fi fri 
1 0|- 2 
2|- 4 
4|- 6 
 F 
 8|- 10 
10|- 12 
 M 
14|- 16 
1 4 A 0,04 
2 B 8 C D 
3 5 E 30 0,18 
4 7 27 G 0,27 
5 H 15 72 I 
6 J K 83 L 
7 13 10 93 0,1 
8 N O P 0,07 
 Σ = Q Σ =R 
Dados do Livro Estat́ıstica Fácil - Crespo 
 
A = 4 pois a frequência da classe absoluta acumulada inicial vale 4 
 
Ainda para o índice i=1 
 
 
 
Dado que xi é o ponto médio dos intervalos, tem-se que: 
 
 
 
Para o cálculo de C, utiliza-se o valor acumulado: 
 
 
 
 
 
Como se tratam de intervalos de 2, o intervalo F define-se como: 6|- 8 
1 + B + 4 + E + 3 + 2 + H + J = 20 
1 + 3 + 4 + 5 + 3 + 2 + 1 + J = 20 
J = 1 
𝐾 = 
1
20
 𝐾 = 0,05 
4
𝑄
= 0,04 𝑄 =
4
0,04
 𝑄 = 100 
 𝐵 =
4 + 2
2
 = 3 
C = A + 4 = 8 + 4 = 12 
 𝐷 =
8
100
 = 0,08 
𝐸
100
 = 0,18 𝐸 = 18 
3 
 
Para o cálculo de G, utiliza-se o valor acumulado: 
 
 
Dado que xi é o ponto médio dos intervalos, tem-se que: 
 
𝐻 =
8 + 10
2
 = 9 
 
𝐼 =
15
100
 = 0,15 
 
𝐽 =
10 + 12
2
 = 11 
 
Para o cálculo de K, utiliza-se o valor acumulado: 
 
 
𝐿 =
𝐾
100
 = 
11
100
= 0,11 
 
Como se tratam de intervalos de 2, o intervalo M define-se como: 12|- 14 
 
Dado que xi é o ponto médio dos intervalos, tem-se que: 
 
𝑁 =
14 + 16
2
 = 15 
 
Para o cálculo de O, utiliza-se o valor acumulado: 
 
 
 
 
 
R é equivalente à soma de todas as frequências relativas, o que resulta em 1. 
 
A seguir, a tabela preenchida: 
 
i Classes xi fi Fi fri 
1 0|- 2 
2|- 4 
4|- 6 
6|- 8 
 8|- 10 
10|- 12 
12|- 14 
14|- 16 
1 4 4 0,04 
2 3 8 12 0,08 
3 5 18 30 0,18 
4 7 27 57 0,27 
5 9 15 72 0,15 
6 11 11 83 0,11 
7 13 10 93 0,1 
8 15 7 100 0,07 
 Σ = 100 Σ =1 
 
G = 27 + 30 = 57 
K + 72 = 83 K = 11 
93 + O = Q 93 + O = 100 O =7 
93 + O = P 93 + 7 = P P = 100 
4 
 
4 Um radar instalado na rodovia X registrou as velocidades (Km/h) de 40 veículos, indicadas 
abaixo: 
Construa uma distribuição de frequência com classes. Elabore algumas perguntas sobre 
 
109 73 80 124 
90 95 97 83 
100 103 105 99 
110 115 117 70 
123 123 124 121 
71 76 81 128 
93 97 97 128 
102 105 109 99 
115 115 117 109 
123 123 121 86 
 
a tabela e forneça os resultados. Utilize a regra de Sturges. 
 
 
Definição da regra de Sturges: 
 
𝑘 = 1 + 3,3. log 𝑛 
Onde: 
• K é o total de classes 
• n é a quantidade total de dados da amostra 
 
a) Aplicando os valores na fórmula: 
 
𝑘 = 1 + 3,3. log 40 
 
𝑘 ≅ 6 
 
b) Identificação do maior e menor valor coletado: 
 
Maior valor: 128 
Menor valor : 70 
 
c) Cálculo da amplitude total: 
 
A = Maior – Menor = 58 
 
d) Cálculo da amplitude do intervalo 
 
ℎ = 
𝐴
𝑘
= 
58
6
= 9,67 
 
Ainda que o arredondamento não resulte em um número inteiro, decidiu-se por 
adotar o próximo número inteiro para suprir todas as classes em seus intervalos. Portanto, a 
amplitude do intervalo assumiu o valor de h = 10. 
 
A seguir, a tabela com a frequência de classes: 
 
 
 
5 
 
 
 
Iniciando no limite inferior, as classes foram separadas em conjuntos com intervalo de 10: 
 
Classes (velocidades) fi Fi fri 
 70|- 80 4 4 0,1 
80|- 90 4 8 0,1 
 90|- 100 8 16 0,2 
100|- 110 8 24 0,2 
110|- 120 6 30 0,15 
120|- 130 10 40 0,25 
 Σ =40 Σ =1 
 
 
Perguntas a respeito dos dados apresentados: 
 
a) Qual o valor da média das velocidades obtidas? 
 
𝑋 = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
70 + 71 + 73 + . . . + 121 + 124 + 128
40
= 103,9 𝑘𝑚/ℎ 
 
b) Considerando a tabela acima, qual o valor da mediana para o conjunto observado? 
 
𝑀𝑒𝑑 = 𝐿𝐼𝑀𝑒𝑑 + (
𝑃𝑀𝑒𝑑 − 𝐹𝑖
−
𝑓𝑀𝑒𝑑
) . ℎ𝑀𝑒𝑑 
 Onde: 
• 𝐿𝐼𝑀𝑒𝑑 = Limite inferior da classe que contém a mediana 
• 𝑃𝑀𝑒𝑑 = Classe mediana 
• 𝐹𝑖
− = Frequência absoluta acumulada anterior à classe que contém a mediana 
• 𝑓𝑀𝑒𝑑 = Frequência absoluta da classe que contém a mediana 
• ℎ𝑀𝑒𝑑 = Intervalo da classe que contém a mediana 
 
Como o conjunto possui 40 elementos, a classe que contém a mediana contém o 
vigésimo elemento (correspondente à metade do conjunto), logo: 
 
𝑃𝑀𝑒𝑑 = 20 
 
Levando em consideração a frequência acumulada, nota-se que o vigésimo elemento 
pertence à quarta classe, isto é: 
 
100|- 110 
 
 Logo, os demais valores podem ser obtidos: 
 
• 𝐿𝐼𝑀𝑒𝑑 = 100 
• 𝑃𝑀𝑒𝑑 = 20 
• 𝐹𝑖
− = 16 
• 𝑓𝑀𝑒𝑑 = 8 
• ℎ𝑀𝑒𝑑 = 10 
 
 
 
6 
 
 
 Aplicando os valores na equação, tem-se que: 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 100 + (
20 − 16
8
) . 10 = 105 𝑘𝑚/ℎ 
 
c) Ainda considerando a tabela acima, qual o valor da moda do conjunto observado? 
 
Da definição da moda de Czuber, tem-se que: 
 
𝑀𝑜 = 𝐿𝐼𝑚𝑜 + (
𝐷1
𝐷1 + 𝐷2
) . ℎ 
 
Onde: 
• 𝐿𝐼𝑚𝑜 = Limite inferior da classe modal 
• 𝑓𝑚𝑜 = frequência da classe modal 
• 𝑓𝑎𝑛𝑡 = frequência da classe absoluta anterior à classe modal 
• 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 = frequência da classe absoluta posterior à classe modal 
• 𝐷1 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑎𝑛𝑡 
• 𝐷2 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 
• h é a amplitude do intervalo de classe 
 
Da análise da tabela, conclui-se que a classe modal está no intervalo 120|- 130 
 
Logo, os demais valores podem ser obtidos: 
 
• 𝐿𝐼𝑚𝑜 = 120 
• 𝑓𝑚𝑜 = 10 
• 𝑓𝑎𝑛𝑡 = 6 
• 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 = 0 
• D1 = 10 – 6 = 4 
• D2 = 10 -0 = 10 
• h = 10 
 
Aplicando os valores na equação, tem-se que: 
 
𝑀𝑜 = 120 + (
4
4 + 10
) . 10 = 122,85 𝑘𝑚/ℎ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
5 Recentemente, a indústria de varejo perdeu US$ 34.400,00 mil dólares com redução nos 
estoques. A reduçao de estoque ́e uma perda de estoque por meio de quebra, roubo de 
carga, roubo em lojas e assim por diante. As principais causas da redução de estoque são 
erro administrativo (US$ 4.200 mil), roubo por funcionários (US$ 15.100,00 mil), roubo 
em lojas (US$ 12.300,00 mil), desconhecida (US$ 1.100,00 mil) e fraudenas vendas (US$ 1.700 
mil). Use um gráfico de colunas para organizar os dados. Qual causa de redução de estoque 
os varejistas deveriam tratar primeiro? (Adaptado de: National Retail Federation and The 
Education, University of Florida.) Observação: Use o Excel para fazer os gráficos e 
Interprete os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A partir da análise do gráfico é possível concluir que são expressivas as perdas 
devidas a atos ilícitos de funcionários, seguida de atos ilícitos de terceiros/criminosos. 
Desta forma, sugere-se a intensificação de medidas de segurança e melhoria nos 
processos de aquisição de recursos humanos. Conclui-se que tratando primeiramente o 
problema com os funcionários, as perdas serão reduzidas drasticamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000
Causas desconhecidas
Fraude nas vendas
Erro administrativo
Roubo em lojas
Roubo por funcionários
Principais causas de redução de estoque
8 
 
6 O conjunto de dados a seguir lista os preços (em dólares) de 30 aparelhos GPS (global 
positioning system) portáteis. Construa uma distribuição de frequência com utilizando a 
regra de Sturges. Depois, construa: 
 
128 100 180 150 200 90 340 105 85 270 
200 65 230 150 150 120 130 80 230 200 
110 126 170 132 140 112 90 340 170 190 
 
 
a) O Histograma 
b) O poĺıgono de frequência 
c) Ogiva de Galton 
 
 
Definição da regra de Sturges: 
 
𝑘 = 1 + 3,3. log 𝑛 
Onde: 
• K é o total de classes 
• n é a quantidade total de dados da amostra 
 
Passo 1: Aplicando os valores na fórmula: 
 
𝑘 = 1 + 3,3. log 30 = 5,87 
 
𝑘 ≅ 6 
 
Passo 2; Identificação do maior e menor valor coletado: 
 
Maior valor: 340 
Menor valor : 65 
 
Passo 3: Cálculo da amplitude total: 
 
A = Maior – Menor = 275 
 
Passo 4: Cálculo da amplitude do intervalo 
 
ℎ = 
𝐴
𝑘
= 
275
6
= 45,83 
 
Ainda que o arredondamento não resulte em um número inteiro, decidiu-se por adotar 
o próximo número inteiro para suprir todas as classes em seus intervalos. Portanto, a 
amplitude do intervalo assumiu o valor de h = 46. 
 
A seguir, a tabela com a frequência de classes: 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Iniciando no limite inferior, as classes foram separadas em conjuntos com intervalo de 46: 
 
Classes (preços) fi Fi fri 
 65|- 111 8 8 0,2667 
 111|- 157 10 18 0,3333 
 157|- 203 7 25 0,2333 
 203|- 249 2 27 0,0667 
 249|- 295 1 28 0,0333 
 295|- 341 2 30 0,0667 
 Σ =30 Σ =1 
 
a) Histograma 
 
 
 
 
b) Polígono de frequência 
 
Para a construção do poligono de frequência, foi elaborada uma tabela que relaciona os 
pontos médios de cada classe com sua respectiva frequência. Os pontos médios foram calculados 
a partir da seguinte equação: 
 
𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 = 
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
2
 
 
 
Ponto 
médio 
Frequência (fi) 
88 8 
134 10 
180 7 
226 2 
272 1 
318 2 
 
10 
 
 
 
 
 
c) A Ogiva de Galton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para a Ogiva de Galton, foi representada a distribuição de frequências acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
8
10
7
2
1
2
00
2
4
6
8
10
12
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Polígono de frequências
0
8
18
25
27 28
30
0
5
10
15
20
25
30
35
65 111 157 203 249 295 341
Ogiva de Galton
11 
 
 
7 A idade média dos candidatos a um determinado curso de aperfeiçoamento oferecido por 
uma empresa foi sempre baixa, da ordem de 24 anos. Como esse curso foi preparado para 
todas as idades, decidiu-se fazer uma campanha de divulgação. Para verificar se a 
campanha foi ou não eficiente, fez-se um levantamento da idade dos candidatos à última 
promoção, obtendo-se os resultados do gráfico a seguir: 
 
 
 
a) Que tipo de gráfico se trata? 
Trata-se de um gráfico do tipo Ogiva de Galton ou de frequência acumulada. 
b) Apresente os dados em tabela (limites da classe, ponto médio da classe, frequência 
absoluta simples e acumulada). 
 
Classes (idades) xi fi Fi fri 
 17|- 19 18 18 18 0,2903 
19|- 21 20 12 30 0,1935 
21|- 23 22 10 40 0,1613 
23|- 25 24 8 48 0,1290 
25|- 27 26 3 51 0,0484 
27|- 29 28 11 62 0,1774 
 Σ =62 Σ =1 
 
c) Baseando-se nesses resultados, você diria que a campanha surtiu o efeito desejado? 
 
A campanha surtiu efeito no sentido de atingir uma parcela abrangente de faixas 
etárias , visto que cerca de 64% do público possui menos de 23 anos e cerca de 22% do público 
possui mais que 24 anos. Entretanto, a procura ainda é maior por parte do público de menor 
idade, neste experimento a faixa etária de maior procura foi entre 17 e 19 anos. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
d) Determine a idade mediana e modal dos candidatos. 
 
Utilizando a definição abaixo: 
 
𝑀𝑒𝑑 = 𝐿𝐼𝑀𝑒𝑑 + (
𝑃𝑀𝑒𝑑 − 𝐹𝑖
−
𝑓𝑀𝑒𝑑
) . ℎ𝑀𝑒𝑑 
 Onde: 
• 𝐿𝐼𝑀𝑒𝑑 = Limite inferior da classe que contém a mediana 
• 𝑃𝑀𝑒𝑑 = Classe mediana 
• 𝐹𝑖
− = Frequência absoluta acumulada anterior à classe que contém a mediana 
• 𝑓𝑀𝑒𝑑 = Frequência absoluta da classe que contém a mediana 
• ℎ𝑀𝑒𝑑 = Intervalo da classe que contém a mediana 
 
Como o conjunto possui 62 elementos, a classe que contém a mediana contém o 
trigésimo primeiro elemento (correspondente à metade do conjunto), logo: 
 
𝑃𝑀𝑒𝑑 = 31 
 
Levando em consideração a frequência acumulada, nota-se que o trigésimo primeiro 
elemento pertence à terceira classe, isto é: 
 
21|- 23 
 
 Logo, os demais valores podem ser obtidos: 
 
• 𝐿𝐼𝑀𝑒𝑑 = 21 
• 𝑃𝑀𝑒𝑑 = 31 
• 𝐹𝑖
− = 30 
• 𝑓𝑀𝑒𝑑 = 10 
• ℎ𝑀𝑒𝑑 = 2 
 
 Aplicando os valores na equação, tem-se que: 
 
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎 = 21 + (
31 − 30
10
) . 2 = 21,2 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
Da definição da moda de Czuber, tem-se que: 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 𝐿𝐼𝑚𝑜 + (
𝐷1
𝐷1 + 𝐷2
) . ℎ 
 
Onde: 
• 𝐿𝐼𝑚𝑜 = Limite inferior da classe modal 
• 𝑓𝑚𝑜 = frequência da classe modal 
• 𝑓𝑎𝑛𝑡 = frequência da classe absoluta anterior à classe modal 
• 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 = frequência da classe absoluta posterior à classe modal 
• 𝐷1 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑎𝑛𝑡 
• 𝐷2 = 𝑓𝑚𝑜 − 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 
• h é a amplitude do intervalo de classe 
 
13 
 
 
Da análise da tabela, conclui-se que a classe modal está no intervalo 17|- 19 
 
Logo, os demais valores podem ser obtidos: 
 
• 𝐿𝐼𝑚𝑜 = 17 
• 𝑓𝑚𝑜 = 18 
• 𝑓𝑎𝑛𝑡 = 0 
• 𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 = 12 
• D1 = 18 – 0 = 18 
• D2 = 18 -12 = 6 
• h = 2 
 
Aplicando os valores na equação, tem-se que: 
 
𝑀𝑜𝑑𝑎 = 17 + (
18
18 + 6
) . 2 = 18,5 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
8 Os pesos (em libras) de uma amostra de adultos antes de iniciarem um estudo sobre perda 
de peso estão listados. Qual é o peso médio dos adultos? E o peso mediano ? 
 
274 235 223 268 290 285 235 
 
 Peso médio: 
 
𝑋 =
223 + 235 + 235 + 268 + 274 + 285 + 290
7
= 258,57 𝑙𝑏 
 
 Peso mediano: 
 Peso mediano = 268 lb (elemento central da sequência ordenada) 
 
 
9 As alturas (em polegadas) dos jogadores de um time profissional de basquete são mostra- 
das na Tabela. Calcule 
74 78 81 87 81 80 77 80 
85 78 80 83 75 81 73 
 
 
a) Média 
 
𝑋 =
73 + 74 + 75 + 77 + 2 ∗ 78 + 3 ∗ 80 + 3 ∗ 81 + 83 + 85 + 87
15
= 79,53" 
 
b) Mediana 
 
Altura mediana = 80” (elemento central da sequência ordenada) 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
10 O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe. Calcule 
 
 
 
a) A distribuiçao de frequência. Observação: Utilize a regra de Sturges. 
 
Definição da regra de Sturges: 
 
𝑘 = 1 + 3,3. log 𝑛 
Onde: 
• K é o total de classes 
• n é a quantidade total de dados da amostra 
 
Passo 1: Aplicando os valores na fórmula: 
 
𝑘 = 1 + 3,3. log 40 = 6,28 
 
𝑘 ≅ 6 
 
Passo 2; Identificação do maior e menor valor coletado: 
 
Maior valor: 178 
Menor valor : 148 
 
 Passo 3: Cálculo da amplitude total: 
 
 A = Maior – Menor = 30 
 
 Passo 4: Cálculoda amplitude do intervalo 
 
ℎ = 
𝐴
𝑘
= 
30
6
= 5 
 
A seguir, a tabela com a frequência de classes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classes (alturas) fi Fi fri 
 148|- 153 3 3 0,075 
 153|- 158 5 8 0,125 
 158|- 163 7 15 0,175 
 163|- 168 13 28 0,325 
 168|- 173 9 37 0,225 
 173|- 178 3 40 0,075 
 Σ =40 Σ =1 
15 
 
 
b) A média 
 
𝑋 =
148 + 150 + 152 + . . . +176 + 178 
40
= 163,65 𝑐𝑚 
 
c) Quantos alunos têm estatura menor que 168 cm? 
A partir da análise da tabela e do campo frequência acumulada, conclui-se que existem 
28 alunos com estatura inferior a 168 cm. 
d) Qual a frequência acumulada e a frequência relativa acumulada da quarta classe ? 
 
Frequência acumulada = 28 
 
Frequência relativa acumulada = 28 /40 = 0,7 ou 70% 
11 A média de um conjunto formado por 10 números ́e igual a 8. Acrescentando-se a esse 
conjunto o número 52, qual será a nova média ? 
 
𝑀 = 
𝑥1 + 𝑥2 + . . . +𝑥10
10
 
 
8 = 
𝑥1 + 𝑥2 + . . . +𝑥10
10
 
 
 𝑥1 + 𝑥2 + . . . +𝑥10 = 80 
 
 Nova média: 
 
𝑀2 = 
𝑥1 + 𝑥2 + . . . +𝑥10 + 52
11
 
 
𝑀2 = 
80 + 52
11
 
 
𝑀2 = 
132
11
= 12 
 
 A nova média será igual a 12.