Cálculo-Diferencial-e-Integral

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
 
https://image.slidesharecdn.com/calculodiferencial-140909173829-phpapp01/95/calculo-diferencial-5c-2-638.jpg?cb=1410284444 
 
 
O cálculo diferencial, assim como o cálculo integral, surgiu a partir do teorema 
fundamental do cálculo. Os outros tipos de cálculos são subordinados a estes, o que os 
torna as principais áreas do cálculo. 
O Cálculo teve sua origem nas dificuldades encontradas pelos antigos 
matemáticos gregos na sua tentativa de expressar suas ideias intuitivas sobre as razões 
ou proporções de segmentos de retas, que vagamente reconheciam como contínuas, 
em termos de números, que consideravam discretos. Iremos encontrar a origem das 
ideias fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral na história da Matemática grega. 
Segundo a História, os gregos já possuíam na época em que Euclides escrevia 
"Os Elementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram 
presos por algumas concepções restritivas. 
Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados 
ao infinito, ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de uma explicação para o 
movimento e as transformações dos seres. 
 
 
A ideia de movimento surgiu os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e 
Integral. Após a crise dos incomensuráveis, que pode ser situada no meio do 
surgimento da escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmica muito fértil entre os 
filósofos pré-socráticos. 
 
 
https://www.ime.usp.br/mat/2454-2007/textos/27.jpg 
 
 
O problema da incomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas 
concepções polêmicas acerca da natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, 
defendida por Demócrito, que propunha a existência do infinitamente pequeno 
compondo o ser das coisas. 
Demócrito, no século quinto a.C., foi o primeiro matemático grego a determinar 
o volume da pirâmide e do cone. Apesar de os egípcios já saberem encontrar o volume 
da pirâmide de base quadrada, o mérito de Demócrito está em ter generalizado, bem 
ao estilo grego, a maneira de determinar o volume para pirâmides de base poligonal 
qualquer. 
Para obter o volume do cone, bastava uma inferência natural obtida pelo 
aumento, repetido indefinidamente, do número de lados do polígono regular formando 
a base da pirâmide. 
Assim, o primeiro a falar de infinitesimais, pensando em utilizar lâminas 
circulares infinitamente finas para calcular o volume de cilindros e cones, 
antecipando-se assim ao teorema de Cavalieri, nesses casos. A teoria dos 
infinitesimais de Demócrito e seus seguidores foi combatida duramente por outra 
 
 
escola filosófica, nascida em Eléa (Magna Grécia), pelo influxo das ideias de 
Parmênides. 
A doutrina eleática chamava a atenção para os paradoxos e contradições 
existentes na concepção do mundo físico como composto por partículas infinitamente 
pequenas e indivisíveis. Propunha, em substituição, considerar a imutabilidade e 
unidade essencial do mundo físico. 
 
 
http://www.estudofacil.com.br/calculo-diferencial-etimologia-definicao-e-sua-origem/ 
 
 
Zeno dizia que a ideia de infinitésimos é totalmente absurda, pois se possuem 
algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá compor uma reta de 
comprimento infinito, e se não têm nenhum comprimento, então uma quantidade infinita 
deles tampouco terá comprimento algum. 
Além disso, dirá também: aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e 
subtraído de outro não o faz menor, é simplesmente nada. Mais famosos ainda que 
esses argumentos sejam seus quatro paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. 
A questão por trás dos paradoxos está em se considerar tempo contínuo e espaço 
discreto, ou vice-versa. 
Os paradoxos de Zeno recolhem a sensação de certo desamparo intuitivo, pois 
relatam uma situação de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito. 
 Segundo Boyer, a Matemática adquiriu outra configuração: As grandezas não 
são associadas a números ou pedras, mas a segmentos de reta. 
 
 
 
 
https://image.slidesharecdn.com/006historiaantecedentesongreso-140413203035-phpapp01/95/historia-del-teorema- 
fundamental-del-clculo-34-638.jpg?cb=1445899090 
 
 
Em Os Elementos os próprios inteiros são representados por segmentos. O reino 
dos números continuava a ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas era algo 
à parte dos números e devia ser tratado por métodos geométricos. 
De início, a atitude se concretizou numa separação quase completa entre a 
Teoria dos Números e a Geometria. Pode-se dizer que o "horror ao infinito" gerou, ou 
ao menos contribuiu significativamente, para o desenvolvimento da Álgebra 
Geométrica, que consistia na resolução de problemas aritméticos ou algébricos lidando 
diretamente com grandezas contínuas. 
A álgebra geométrica ficou registrada principalmente no Livro II de Os Elementos 
de Euclides, obra cujos treze volumes foram publicados entre 330 e 320 a.C. 
A obra de Euclides representa o início da busca que resultará no Cálculo 
Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração grega dos séculos 
anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam a se voltar 
para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termos 
de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o 
método de exaustão de Eudoxo. 
 
 
Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores do Cálculo no 
século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar as ideias do Cálculo. Para 
verificarmos de que forma os gregos estavam próximos do Cálculo, é preciso explicar 
antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização que dele fez Arquimedes. 
 
 
http://images.slideplayer.com.br/16/4907564/slides/slide_2.jpg 
 
 
O surgimento do Cálculo no século dezessete está em plena conexão com a 
busca de meios de simplificar os métodos gregos, como o método da exaustão. Para 
avaliar até que ponto chegaram os gregos, basta verificar que Arquimedes (287-212 
a.C.) realizou o Cálculo da área sob a parábola antecipando-se, assim, em mais de 
dezessete séculos aos resultados do Cálculo Integral. 
As ideias fundamentais do Cálculo podem ser construídas, desde que se leve 
em consideração a distinção entre a lógica da Matemática pronta e a lógica da 
Matemática em construção. A maneira de ensinar deve seguir muito mais a lógica da 
Matemática em construção, e não a lógica da Matemática pronta e formalizada. 
 
 
 
 
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KKO5K_qHed8/Tj0H6_iB0xI/AAAAAAAABhk/5TcwzPYs3Mo/s1600/charge_matematica2_thumb%255B5%255D+blog.jpg 
 
 
O Cálculo Diferencial e Integral “é a matemática da variação”. 
A Ciência surge como resposta aos desafios gerados na realidade circundante 
ao ambiente que o homem vive. A Matemática foi um dos primeiros campos do saber 
humano que se encontram vestígios nos mais remotos tempos da história da 
humanidade. 
 
 
Nossos problemas na vida são cálculos de matemática. 
 
Basta subtrair, dividir, somar ou multiplicá-los. O resultado 
 
 final é igual à capacidade de resolvê-los. (Angelita Loturco) 
 
 
As aplicações do Cálculo diferencial e integral estão presentes na maioria dos 
fenômenos mensuráveis. Seu uso se estende desde a Física até a economia e 
administração. 
A palavras cálculo é de origem latina, “calculus”, e na Roma Antiga era uma 
pequena pedra ou seixo usado para contagem e jogo, e o verbo latino calculare passou 
a significar ‘figurar’, ‘computar’, ‘calcular’. 
https://pensador.uol.com.br/autor/angelita_loturco/
https://pensador.uol.com.br/autor/angelita_loturco/
 
 
 
 
 
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Atualmente, a palavra Cálculo indica um método ou sistema de métodos para 
resolver certos tipos de problemas quantitativos, como:o cálculo das probabilidades, 
cálculo lógico, cálculo das diferenças finitas, cálculo vetorial, cálculo dos resíduas, e 
assim por diante. 
A expressão Cálculo Diferencial e Integral, ou abreviadamente Cálculo, designa 
basicamente dois processos: a derivação e a Integração. 
A derivação “está relacionada com a descrição e mensuração da maneira como 
as coisas variam, se movem e crescem. 
A integração constitui uma ferramenta básica nos processos de soma. O 
Cálculo Diferencial e Integral, surgiu e se desenvolveu a partir de uma combinação entre 
problemas e formulações de conceitos e teorias adequados para resolve-los. E, por sua 
vez, estas teorias suscitaram novos problemas e novas teorias e assim tivemos a 
formulação de um conjunto compreensivo de regras operacionais para a solução de 
diversos problemas. 
Muitos dos problemas que alimentaram o desenvolvimento do Cálculo Diferencial 
e Integral, são de origem geométrico ou podem assim ser reduzidos. 
 
 
 
 
http://2.bp.blogspot.com/-SKT6yBYrlBA/T3Sm6ZurEsI/AAAAAAAAA3o/ytAN0YIkCIM/s1600/hipotenusa.png 
 
 
Arquimedes é o maior matemático da antiguidade, já apresentava ideias 
relacionadas ao Cálculo dois séculos antes de Cristo. 
 
 
 
 
 
Na Antiguidade, foram introduzidas algumas ideias do cálculo integral, embora 
não tenha havido um desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistemática. 
A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode ser remontada ao 
Papiro Egípcio de Moscow (1800 a.C.), no qual um egípcio trabalhou o volume de um 
frustum piramidal. 
Na Idade Média, o matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em 
499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equação 
diferencial básica. 
Essa equação levou Bháskara II, no século XII, a desenvolver uma derivada 
prematura representando uma mudança infinitesimal, e ele desenvolveu também o que 
seria uma forma primitiva do “Teorema de Rolle". 
 
 
 
 
https://blogdoprofh.wordpress.com/category/matematica/page/2/ 
 
 
No século XII, o matemático persa Sharaf al-Dinal-Tusi descobriu a derivada de 
Polinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV, 
Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da 
Escola Kerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de 
Taylor, que no texto são tratadas como Yuktibhasa. 
Na Idade Contemporânea, já no século XIX, o cálculo foi abordado de uma forma 
muito mais elaborada. Foi também durante este período que ideias do cálculo foram 
generalizadas ao espaço euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde 
generalizou a noção de integral. Sobressaíram matemáticos como Cauchy, Riemann, 
Weierstrass e Maria Gaetana Agnesi. Esta foi autora da primeira obra a unir as ideias 
de Isaac Newton e Gottfried Leibni, escreveu também um dos primeiros livros sobre 
cálculo diferencial e integral. É dela também a autoria da chamada “curva de Agnesi". 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. 
 
 
 
 
 http://www.hottopos.com/regeq7/cardos1_arquivos/image001.gif 
 
O que é cálculo diferencial e integral? Qual é o objetivo e importância das 
derivadas e integrais? 
O conceito de limite e continuidade é um conceito importante na definição de 
derivada e integral. 
O cálculo é a matemática dos movimentos e das variações. Onde há movimento 
ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a 
matemática a ser empregada. 
O Cálculo foi “inventado” inicialmente para atender às necessidades 
matemáticas (basicamente mecânicas) dos cientistas dos séculos XVI e XVII 
principalmente Isaac Newton e Gottfried Leibniz. Isaac Newton, inglês, nasceu no Natal 
de 1642, ano em que faleceu Galileu. Gottfried Wilhelm von Leibniz, alemão, nasceu no 
dia 1º de julho de 1646. Newton fez descobertas fundamentais em óptica, matemática, 
gravitação, mecânica e dinâmica celeste. Era um cientista. Leibniz tinha interesse por 
história, economia, teologia, linguística, biologia, geologia, direito, diplomacia, política, 
matemática, filosofia e metafísica. Era um filósofo. Alguns autores consideram-no como 
o último gênio universal. 
Inicialmente o cálculo diferencial lida com problema de calcular taxas de 
variação. Ele permitiu que as pessoas definissem os coeficientes angulares de curvas, 
calculassem grandezas como a velocidade e a aceleração de corpos em movimento e 
determinassem os ângulos a que seus canhões deveriam ser disparados para obter o 
maior alcance. Além disso, com a ajuda do cálculo foi possível prever quando planetas 
estariam mais próximos ou mais distantes entre si, etc. 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%83%C2%A1lculo
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%83%C2%A1lculo
 
 
 
 
https://sites.google.com/site/ricardosoli85/_/rsrc/1468884579358/ensino/calculo-2/ABAAABMtkAB-0.jpg?height=239&width=320 
 
 
O cálculo integral lida com o problema de determinar uma função a partir de 
informações a respeito de sua taxa de variação. Permitiu que as pessoas calculassem, 
por exemplo, a posição futura de um corpo a partir da sua posição atual e do 
conhecimento das forças que atuam sobre ele, determinassem as áreas de regiões 
irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e determinassem o volume e 
massa de sólidos arbitrários. 
No mundo que nos rodeia quase tudo depende de várias variáveis: pressão 
atmosférica, temperatura, densidades de massa ou de carga eléctrica, grandezas 
económicas, grandezas mecânicas como a posição, a velocidade ou a aceleração. 
Algumas destas grandezas são representadas matematicamente por campos 
escalares; em cada ponto temos um número que significa, nalguma unidade, por 
exemplo uma temperatura, ou uma pressão, ou uma densidade de massa por unidade 
de volume. Outras grandezas são representadas por campos vectoriais; em cada ponto 
temos um vector que representa, por exemplo, uma força aplicada nesse ponto, ou a 
posição de uma partícula ou a sua velocidade. 
O Cálculo Diferencial e Integral, ou simplesmente Cálculo, é um ramo importante 
da matemática, desenvolvido a partir da Álgebra e da Geometria, que se dedica ao 
estudo de taxas de variação de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a 
acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Categoria:C%C3%83%C2%A1lculo_integral
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Volume
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sólido). Onde há movimento ou crescimento em que forças variáveis agem produzindo 
aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. 
 
 
https://i.ytimg.com/vi/XZPh5a4ROsA/maxresdefault.jpg 
 
 
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências 
exatas. Desenvolvido simultaneamente por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e por 
Isaac Newton (1643-1727), em trabalhos independentes. O Cálculo auxilia em vários 
conceitos e definições na matemática, química, física clássica, física moderna e 
economia. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento em certas áreas da 
matemática, como funções (modular, exponencial, logarítmica, par, ímpar, afim e 
segundo grau, por exemplo), trigonometria, polinômios, geometria plana, espacial e 
analítica, pois são a base do cálculo. O cálculo tem inicialmente três "operaçõesbase", 
ou seja, possui áreas iniciais como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de 
funções e a integral de diferenciais. 
A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é 
um processoque inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz
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https://pt.wikipedia.org/wiki/1646
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https://pt.wikipedia.org/wiki/1716
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton
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https://pt.wikipedia.org/wiki/1643
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https://pt.wikipedia.org/wiki/1727
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Qu%C3%ADmica
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https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_cl%C3%A1ssica
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https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_moderna
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Economia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Limites
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_%28matem%C3%A1tica%29
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
 
 
definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um 
processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida. 
 
 
 
https://snatic.files.wordpress.com/2012/08/chp_integral.jpg 
 
 
Com o advento do "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma 
conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O 
cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu 
de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. 
O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses 
dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e 
a integração são processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa 
relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático 
sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a 
calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las 
como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss). 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Diferencial
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_Integral
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tangente
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cambridge
https://pt.wikipedia.org/wiki/Cambridge
https://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Barrow
https://pt.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
https://pt.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
 
 
 
http://images.slideplayer.com.br/1/51589/slides/slide_2.jpg 
 
Objetivos é aprender a utilizar ferramentas matemáticas essenciais para a 
decisão dos movimentos e das variações de um modo geral: Derivadas e Integrais. 
Aplicar técnicas de derivação e integração em funções que descrevem situações 
do cotidiano/praticas. 
 
 
"Filosofia [ciência e natureza] está escrita naquele grande livro o 
 
 
qual está diante de nossos olhos - quero dizer o universo - mas 
 não podemos entendê-lo se não aprendermos primeiro a 
 linguagem... O livro está escrito em linguagem matemática ..." 
 
 (Galileu Galilei) 
 
 
O Cálculo pode ser visto como uma introdução à Matemática pura ou como os 
fundamentos para as aplicações da Matemática. Em qualquer das situações a 
conclusão é que os conceitos, tanto ou mais que as técnicas, são importantes 
para o estudo. 
 
 
 
 
https://http2.mlstatic.com/calculo-diferencial-e-integral-1-2-e-3-em-video-aulas-D_NQ_NP_339501-
MLB20365340166_082015F.jpg 
 
 
Cálculo é a parte da matemática em que se estudam mudanças e movimento, 
limites e áreas. A principal diferença entre a matemática estudada no colégio e a que 
você vai estudar em cálculo é a presença do infinito que agora passa a ter um papel 
importante. 
Precisaremos, por exemplo, estudar como fazer uma soma de infinitas parcelas 
ou como tomar um intervalo de tempo infinitamente pequeno. De fato, o entendimento 
do cálculo precisa do entendimento de conceitos completamente diferentes daqueles 
que você estudou até agora: as noções de limite e infinitesimais. 
Apesar de ter iniciado com os gregos como Arquimedes, em torno de 250 A.C. o 
cálculo se desenvolveu realmente a partir da Renascença e principalmente com Newton 
Leibnitz, no final do século XVII. O Cálculo é considerado hoje uma das grandes 
conquistas intelectuais da Humanidade. 
Após mais de 300 anos do início do seu desenvolvimento, as noções básicas do 
cálculo aparecem em toda parte. Suas aplicações são tão vastas e diversas que fluência 
em Cálculo é essencial para uma carreira de sucesso em ciência e engenharia. O 
Cálculo é considerado hoje uma das grandes conquistas intelectuais da Humanidade. 
Este estudo tem por finalidade desenvolver sua capacidade de entendimento dos 
conceitos fundamentais do Cálculo e sua habilidade em aplicá-los a problemas dentro 
e fora da Matemática. Ao mesmo tempo continuaremos a desenvolver sua capacidade 
de manipular fórmulas, conceitos e equações que você vem aprendendo desde sua 
 
 
escola de segundo grau. Portanto desenvolveremos este curso estudando tanto os 
conceitos fundamentais como as técnicas formais do cálculo. 
 
 
https://i.ytimg.com/vi/9eRsQjACM4k/maxresdefault.jpg 
 
Os objetos básicos de estudo em cálculo (na verdade, em toda a matemática) 
são as funções. Neste curso as funções deverão serão analisadas a partir de várias 
perspectivas: fórmulas, gráficos, dados numéricos e relações entre quantidades que 
aparecem nas aplicações. Da mesma maneira os três principais conceitos do cálculo 
(limites, derivadas e integrais) serão estudados a partir destas perspectivas. Estas 
diferentes maneiras são importantes para o perfeito entendimento tanto dos conceitos 
como nas aplicações. 
Podemos também dizer que o cálculo é o estudo do efeito sobre as funções, por 
pequenas mudanças nas variáveis: podemos estudar o efeito de pequenas mudanças 
(cálculo diferencial) ou o efeito cumulativo de muitas pequenas mudanças (cálculo 
integral). 
Um resultado realmente extraordinário, denominado Teorema Fundamental do 
Cálculo mostra que estas duas áreas do cálculo estão relacionadas. 
Matemática não é uma língua natural como português ou inglês, mas tem seu 
próprio vocabulário e regras de uso. Podemos dizer que Cálculo é a linguagem da 
ciência, e fluência nesta linguagem será essencial para uma carreira de sucesso em 
ciência e engenharia. 
 
 
A compreensão do Cálculo se fundamenta em um uso cuidadoso desta 
linguagem. Por exemplo, palavras como limite, derivada, integral, taxa de variação, raiz 
tem um significado matemático preciso que não tem necessariamente relação com o 
uso que fazemos delas em português. O entendimento do significado destas palavras 
significa uma boa parte do entendimento da matemática que elas significam. 
 
 
http://dmaii.etsii.upm.es/images/ampliaciondcalculo.jpg 
 
 
Autores defende que o ensino da derivada é de grande importância, pelo tanto 
que ajuda no tratamento de inúmeras propriedades das funções. Seu ensino iniciado 
na primeira série de estudos e pode se integrar harmoniosamente com a Física no 
estudo do movimento, além de servir para o estudo de polinômios e outras aplicações 
científicas. 
 Introduzir o conceito, por exemplo, de derivada no ensino não torna o programa 
relativo a funções mais longo, comopode parecer a princípio. Pelo contrário, a 
compreensão de algumas propriedades se dá de maneira mais natural e 
contextualizada. 
 
 
 
 
https://bibliotecaonlineead.com.br/logsys/cursos/imagens/d0f8b7b61ae68d153d3b2685b32eed3b.jpg 
 
 
 A introdução da derivada deve ser acompanhada de várias de suas aplicações. Na 
Física, por exemplo, ela tem inúmeras utilidades na introdução de conceitos como 
pressão, densidade da massa, densidade de carga elétrica etc. Sendo assim, o Cálculo 
Diferencial e Integral é ferramenta necessária para a compreensão da Física e a falta 
desse tópico no ensino torna para o aluno a Física mais difícil do que realmente parece 
ser. Exemplo disso é o ensino da mecânica newtoniana, que nasceu junto com o 
Cálculo e fica incoerente sem ele. 
O teorema fundamental do cálculo, uma das mais importantes conquistas da 
história da ciência, permite estabelecer a surpreendente e íntima relação entre 
derivadas e integrais. Cito um exemplo simples: Considere o decaimento radioativo de 
uma substância ou elemento qualquer. Empregando derivadas é possível modelar este 
sistema físico da seguinte forma: a taxa de decaimento do material radioativo é 
diretamente proporcional à massa deste material. Em outras palavras, quanto maior a 
massa, maior o decaimento. Esta modelagem remete a uma equação diferencial que, 
graças ao teorema fundamental do cálculo, pode ser resolvida via integração. A solução 
de tal equação diferencial é uma função que permite prever quanta massa restará do 
material radioativo em (praticamente) qualquer intervalo de tempo que se queira. 
 
 
 
CÁLCULOS: TEORIAS, EXEMPLOS E EXERCÍCIOS 
EXPLICATIVOS. 
 
 
 http://img.olx.com.br/images/84/843610091358253.jpg 
 
Infinito: Um dos conceitos menos compreendidos por alunos e até mesmo 
professores de matemática neste país é a noção de infinito. Já vi até mesmo 
pesquisadores experientes (fora do Brasil) afirmarem, por exemplo, que cinco dividido 
por infinito é zero, ou que cinco dividido por zero é infinito. 
Este é um erro simplesmente grotesco. Infinito não é número! Além disso, não 
existe em matemática o conceito de infinito. Existem sim os seguintes conceitos: 
conjunto infinito, limite infinito, limite no infinito, cardinalidade transfinita, infinitesimal, 
entre outros. 
Considere, por exemplo, a função f(x) = 5/x, definida sobre o domínio de todos 
os números reais, exceto o zero. O limite desta função f(x) com x tendendo ao infinito é 
zero. 
O que isso significa? 
Significa simplesmente que para qualquer épsilon real estritamente positivo 
existe um delta real estritamente positivo tal que se x for maior do que delta, então o 
valor absoluto de f(x) é menor do que o épsilon dado. 
Observe que, quando se explica o significado do limite, jamais há menção 
alguma a qualquer noção de infinito. Quando o matemático escreve que um dado limite 
 
 
é igual a infinito, está cometendo um abuso de notação. Isso porque a igualdade, neste 
contexto, é uma relação definida para números reais. E infinito não é um número real. 
 
 
http://1.bp.blogspot.com/-fPcxlRZ4_D0/UcoYxkhHXKI/AAAAAAAAAEE/a9_TfDsLO9w/s1600/infinito.jpg 
 
 
Infinitésimo: Este é outro conceito irresponsavelmente difundido por 
professores desta nação. Infinitésimo, por definição, é um número estritamente positivo 
(maior do que zero), porém menor do que qualquer número real estritamente positivo. 
Portanto, infinitésimo não é um número real. 
Se bem sabemos que números complexos estendem números reais, no sentido 
de que todo número real pode ser considerado com um caso particular de número 
complexo. 
No entanto, existem outras extensões dos números reais, como os números 
hiperreais. Infinitésimos são casos particulares de números hiperreais que não são 
reais. E números reais também podem ser considerados como casos particulares de 
números hiperreais. 
 
 
 
 
http://images.slideplayer.com.br/24/7265247/slides/slide_4.jpg 
 
 
O estudo dos hiperreais faz parte de um ramo da lógica matemática conhecido 
como análise não standard, que corresponde a um tipo muito específico de cálculo 
diferencial e integral. Na análise não standard uma derivada é a parte standard de uma 
razão entre infinitésimos. 
Essa parte standard corresponde a um número real. Quando um físico, em suas 
contas, considera um infinitesimal de massa dm, só vejo duas possibilidades: 
 
(i) Ele conhece muito bem análise não standard e, portanto, deve 
saber o que está fazendo ou 
 
(ii) Ele conhece apenas cálculo diferencial e integral padrão e não tem 
a mínima ideia sobre o que está fazendo. 
 
Do ponto de vista didático, geralmente os discursos sobre infinitésimos podem 
ser substituídos por discursos envolvendo diferenciais, este sim um conceito usual do 
cálculo padrão. 
 
 
 
 
 
https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/736x/ed/19/32/ed1932a38bdba44af0671d12f009a41e.jpg 
Conceito geral sobre conjuntos: É a coleção de todos os elementos, dados como 
numeral. 
 
 
http://www.matematiques.com.br/arquivos/q_conjuntos_numericos_2095926452.jpeg 
Diagrama de Euler-Vem: No modelo de Diagrama de Euler-Vem (Diagrama de 
Venn), os conjuntos são representados graficamente: 
 
 
 
 
https://www.todamateria.com.br/teoria-dos-conjuntos/ 
 
União: Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados. 
 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A = {x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união 
desses dois conjuntos é: 
A U B = {0,1,2,3,4} 
 
 
http://images.slideplayer.com.br/1/43126/slides/slide_9.jpg 
 
 
Interseção: Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os 
elementos comuns aos conjuntos relacionados. 
 
Exemplo: 
 
 
Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção 
deles teremos: 
A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5. 
 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm 
 
 
Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção 
deles teremos: 
B ∩ C = {} ou B ∩ C =, então B e C são conjuntos distintos. 
 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm 
 
 
Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos 
ficaria assim: 
E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também que E D. 
 
 
 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm 
 
 
Diferença entre dois conjuntos: Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto 
diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não 
pertencem a B. O conjunto diferença é representado por A – B. 
 
Exemplo: 
A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2}. 
 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm 
 
 
A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2,3,4,5} 
 
A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a diferença dos conjuntos é: 
A – B = 
 
 
 
 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-conjuntos.htm 
 
 
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é: 
A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar: 
A – B = A B = {1,2,3,4} 
 
 
Trigonometria: (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da 
matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo 
retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de 
um dos seus ângulos agudos. 
 
 
 
 http://images.slideplayer.com.br/1/81831/slides/slide_1.jpg 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grego
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grego
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulohttps://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_ret%C3%A2ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grau_%28geometria%29
 
 
 
http://images.slideplayer.com.br/3/378613/slides/slide_2.jpg 
 
 
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a 
esse ângulo e a medida da hipotenusa. 
A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno 
deste ângulo e o seu cosseno. 
 
Exemplo: 
 
 
http://www.somatematica.com.br/fundam/raztrig/razoes2.php 
 
 
 
 
 
 
 
http://medmindmaps.com.br/matematica-trigonometria-i/ 
 
 
Círculo Trigonométrico: O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 
unitário com intervalo de [0, 2π], a cada ponto da circunferência associamos um número 
real. No ciclo trigonométrico trabalhamos três tipos de simetria: em relação ao eixo 
vertical (seno), eixo horizontal (cosseno) e em relação ao centro. 
 
 
 
http://noic.com.br/wp-content/uploads/2013/06/imagem_circunferencia_completa.jpg 
 
 Exemplo: 
A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme 
um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na avenida Teófilo 
Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Portanto, determine em quilômetros, a distância 
entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros? 
 
 
Intervalo: Seja o conjunto dos números reais (R) resultado da reunião do 
conjunto dos números racionais (Q) com os irracionais (I), dizemos então que os 
 
 
racionais é um subconjunto dos Reais, R: Q R. Certos subconjuntos de (R) podem 
ser representados pela notação de intervalos, tanto de forma algébrica como 
geométrica. 
 
Observe os exemplos: 
• O intervalo dos números reais entre -5 e 0. 
A representação geométrica desse intervalo na reta numérica: 
 
Observe que nos extremos - 5 e 0 usamos a bolinha aberta (o), significa que os 
números – 5 e 0 não fazem parte desse intervalo. Portanto, o intervalo é aberto. A 
representação algébrica desse intervalo pode ser: {-5 < x < 0} ou] -5, 0[ A indicação – 5 
< x < 0 é o agrupamento de x > - 5 e x < 0. 
 
• O intervalo dos números reais entre ½ (inclusive o ½) e 1. 
 
Observe que o extremo ½ pertence ao intervalo, por isso usamos a bolinha 
fechada, então o intervalo é fechado à esquerda. 
A representação algébrica desse intervalo pode ser: {x 0 ε R/ ½ < x < 1} ou [½, 
1[ 
No entanto, se o intervalo fosse {x ε R/ ½ < x < 1}, isto é, se os dois extremos 
pertencessem ao intervalo, então ele seria intervalo fechado. 
 
• O intervalo dos números reais maiores que – 1. 
 
A representação algébrica: {x ε R/ x > - 1} ou] - 3, + ∞ [ 
Nesse caso, dizemos que é uma semirreta aberta com origem em -1. 
 
O símbolo ∞ representa infinito. 
Portanto, o intervalo em que aparece + ∞ é aberto à direita e o intervalo que 
aparece - ∞ é aberto à esquerda. 
Função e Equação Modular. 
 
 
 
 
http://pt.slideshare.net/MarcusVinciusPereira/12b3funcao-modular-1 
 
 
Determina-se a função modular a função f de R em R, tal que: 
 
 
 x, se x≥ 0 
 F(x)= 
 -x, se x< 0 
 
Notação: f(x)= I x I 
Leitura: f de x é igual ao módulo de x. 
Domínio: é o conjunto dos números reais: D(f)=R. 
Conjunto imagem é o conjunto dos números reais não-negativos: Im(f)=𝑅+ . 
 
Gráfico da função modular. 
 
A função modular é definida através de duas sentenças, Construímos os gráficos 
e fazemos a reunião em um mesmo sistemas de eixos composto pela ordenada(y) e as 
abscissa(x) em um plano cartesiano. 
 
 
 
Plano 
cartesiano 
 
http://www.estudopratico.com.br/wp-content/uploads/2014/03/ordenada-abscissa.jpg 
 
 
 Ponto de origem: (x,y) = (0,0). 
 
 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/61/PlanoCartesiano.PNG 
I. F(x)= x, se x≥ 0 
 
 
 
 
 
II. F(x)= -x, se x< 0 
 
 
 
Fazendo a reunião dos dois gráficos obtemos o gráfico da função modular. 
Observemos que as sei-retas que compõem o gráfico são bissetrizes de 1º e 2° 
quadrantes e têm origem no ponto (0,0). 
 
 
Exemplo: 
 
Esboçar o gráfico cartesiano e dar o domínio e o conjunto imagem da função: 
 
 
Y=I X+1I 
 
x X+1 Y=I X+1I 
-3 -2 2 
-2 -1 1 
-1 0 0 
0 1 1 
1 2 2 
2 3 3 
3 4 4 
 
 
 
 
Equações modulares são equações onde a incógnita aparece em módulo. 
Na equação modular mais simples temos: 
 
 
 x= a, se x≥ 0 
I x I= a 
 - x= a, se x< 0 ou x= - a, se x< 0 
 
A sua resolução fundamenta-se nas condições acima. 
Exemplo: 
 
Determinar no campo dos números reais o conjunto solução da equação: 
 
 
 
 
http://www.alfaconnection.pro.br/images/FUN070203a.gif 
 
 
 
http://www.somatematica.com.br/humor/humor11.jpg 
 
 
Cálculo de limites, derivadas e integrais: 
 
A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma 
função nos momentos de aproximação de determinados valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites 
Noção intuitiva de limite: 
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela 
sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular 
o valor correspondente de y: 
 
x y = x y = 2x + 
 2x + 1 1 
 
 
1,5 4 0,5 2 
1,3 3,6 0,7 2,4 
1,1 3,2 0,9 2,8 
1,05 3,1 0,95 2,9 
1,02 3,04 0,98 2,96 
1,01 3,02 0,99 2,98 
 
 
 
 
 
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, 
quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: 
 
 
 
Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 
3. 
 Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é 
preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite 
 
 
de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de 
f(x) não seja 3. 
 De forma geral, escrevemos: 
 
 
 
 Se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b). 
 
 Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma 
função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos 
x e y. Utilizando a função y = x + 1, vamos determinar os valores de y à medida que x 
assume alguns valores. Veja: 
 
 
 
Note que à medida que x se aproxima de –2, o valor de y se aproxima de –1, isto 
é, quando x tende a –2 (x → –2), y tende a –1 (y → –1). Portanto: 
 
x → –1, y → 0 
x → 1, y → 2 x 
→ 2, y → 3 
 
A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo 
funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos 
de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de 
limites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou 
divergentes. 
Vamos trabalhar a função f(x) = x², mostrando que à medida que os valores de 
x aproximam de 3, pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima do valor 9. 
 
 
 
 
 
Observe que à medida que os valores se aproximam de 3, tanto pela direita 
quanto pela esquerda, a imagem da função f(x) = x², fica mais próxima do valor 8. 
 
Exemplo 
Dada a função f(x) = 4x + 1, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende 
a 2. 
 
 
 
 
f(x) = 4x + 1 f(2) = 4 * 2 + 1 f(2) = 9 
 
 
Vamos determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quandox tende a 4. Nesse caso 
devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. Portanto, 
devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles. 
 
 
 
 
 
Calcular o limite da função , quando x tende a –2. 
 
 
 
Derivadas: 
 
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor 
da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente 
geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, 
a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da 
função no ponto x0. 
 
 
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos 
símbolos: 
 
 y' , dy/dx ou f ' (x) 
 
 A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
http://images.slideplayer.com.br/5/1625599/slides/slide_18.jpg 
 
 
Dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à 
x, dada pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y = f(x), a sua derivada no ponto 
x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a 
curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à curva. 
De acordo com a relação ∆x / ∆y, temos que: 
 
 
 
 
 
 
Partindo da ideia de existência do limite. Temos que a taxa de variação instantânea de 
uma função y = f(x) em relação a x é dada pela expressão dy / dx. 
 
 
Precisamos estar cientes de que a Derivada é uma propriedade local da função, 
isto é, para um determinado valor de x. Por isso não podemos envolver toda a função. 
Observe o gráfico a seguir, ele demonstra a intersecção entre uma reta e uma parábola, 
função do 1º grau e função do 2º grau respectivamente: 
 
 
A reta consiste na derivação da função da parábola. 
 
Vamos determinar as variações de x quando aumenta ou diminui seus valores. 
Considerando que e x varia de x = 3 para x = 2, achar ∆x e ∆y. 
∆x = 2 – 3 = –1 
 
 
Exemplo: 
Agora vamos determinar a derivada da função y = x² + 4x + 4. 
 
y + ∆y = (x + ∆x)² + 4(x + ∆x) + 4 – (x² + 4x + 4) 
 
 
= x² + 2x∆x + ∆x² + 4x + 4∆x + 4 – x² – 4x – 4 
= 2x∆x + ∆x² + 4∆x 
 
 A derivada da função y = x² + 4x + 8 é a função y’ = 2x + 4. Observe o gráfico: 
 
 
 
Integrais. 
 
INTEGRAIS DEFINIDAS: 
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral 
definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: 
 
Onde: 
dy/dx = 
 
 
 
 a é o limite inferior de 
integração; b é o limite 
superior de integração; f(x) é o 
integrando. 
 
 representa a área entre o eixo x e a curva f(x), 
para 
 
Exemplo: 
 
Calcule a integral: 
 
 
=9.3-3³/3 =18 
 
 
 
Se 
 
 
 
Integral indefinida. 
A integral indefinida de é a função (ou família de funções) definida por: 
 
 
 
em que ∁ é uma constante indeterminada e F(x) é uma antiderivada de f(x), i.e. F(x)’ 
= f(x). 
 A notação é lida como: a integral de f(x), em relação a x . 
 
Exemplo: 
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥² + 𝑐, 𝑝𝑜𝑖𝑠 [𝑥2 + 𝑐]′ = 2𝑥 
 
O símbolo é chamado sinal de integração, f(x) é a função integrado e f(x) dx 
integrando. 
O processo que permite achar a integral indefinita de uma função é chamada 
integração. 
O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de 
integração. 
 
Equação exponencial e logarítimo. 
 
Algumas equações apresentam a incógnita como expoente, o que denominamos 
como equações exponenciais. 
A resolução das equações exponenciais requer o conhecimento das potências e 
suas propriedades. 
 
Exemplo: 
 
Resolver a equação exponencial. 
 
5𝑥 = 125 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
 
 
 
Para resolver temos que transformar as bases em iguais através da 
decomposição em fatores primos, assim desprezamos as bases e igualamos os 
expoentes. 
Logo: 5𝑥 = 5³ 
 X= 3 
 
V ou S = {3} 
 
Logaritmo é considerado 2 números reais, a e b, positivos com a ≠ 1. 
Chamaremos logaritmo do número b na base a, o expoente c. 
 
 
 
 𝑙𝑜𝑔𝑎 b = c 𝑎𝑐 = b 
 
Condições de existência (C.E.): b > 0 e 0 < a ≠ 1 
 
Exemplo: 
 
Calcule: 
 
𝑙𝑜𝑔2 16 = x 
2𝑥 =16 
2𝑥 = 24 
 Portanto: X= 4 
 
 
 
 
 http://2.bp.blogspot.com/-oAEqs- 
Vr1nY/Tbvsjw9WRxI/AAAAAAAAAJA/gESjNVD1Auo/s1600/Evolu%25C3%25A7%25C3%25A3o+da+matem%25C3%25A1tica+ 
%252801%2529.jpg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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http://www.zemoleza.com.br/trabalho-academico/sociais-aplicadas/pedagogia/historia-do-calculo-diferencial-e-integral/
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