Cálculo integral

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Questão 1
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O século XVII trouxe grandes avanços para a Matemática, principalmente pelas novas áreas de pesquisa abertas. Porém a maior realização matemática do período foi a invenção do cálculo diferencial e integral, ou cálculo infinitesimal, na segunda metade do século, por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, de maneira independente. O cálculo infinitesimal é o estudo do movimento e da mudança, e antes da sua descoberta, os matemáticos ficavam bastante restritos às questões estáticas de contar, medir e descrever as formas. Com o novo cálculo foi possível que os matemáticos estudassem o movimento dos planetas, a queda dos corpos na terra, o funcionamento das máquinas, o fluxo dos líquidos, a expansão dos gases, forças físicas tais como o magnetismo e a eletricidade, o voo, o crescimento das plantas e animais, a propagação das epidemias e a flutuação dos lucros. A matemática tornou-se o estudo dos números, da forma, do movimento, da mudança e do espaço. Os matemáticos costumavam utilizar limites para calcular a área de figuras com contornos curvos. Newton e Leibniz mostraram que é possível chegar muito mais facilmente ao resultado, usando a integração, pois se uma quantidade pode ser calculada por exaustão, então também pode ser calculada com o uso de antiderivadas. Esse importante resultado é denominado Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Valendo-se do TFC, qual das alternativas representa corretamente a antiderivada função g que descreve um polinômio de grau sete da função g = 1 – y3 + 5y5 – 3y7.
a.
y – (4)y4 + (6)y6 – (8)y8 + C
b.
y – (1/4)y + (5/6)y – (3/8) y + C
c.
1 – y3 + 5y5 – 3y7.
d.
y – (1/4)y4 + (5/6)y6 – (3/8)y8
e.
y – (1/4)y4 + (5/6)y6 – (3/8)y8 + C
Questão 2
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O princípio do cálculo integral é buscar determinar a área de regiões planas limitadas entre curvas. Você já deve ter calculado áreas de polígonos conhecidos, como quadrados, triângulos e círculos, mas algumas vezes a região cuja área deve ser determinada é complexa. O uso do cálculo integral está intimamente relacionado a essas questões, com aplicabilidades em diversas áreas da ciência. Na engenharia civil, por exemplo, utiliza-se a integral no cálculo dos elementos estruturais, como vigas ou pilares. Durante o desenvolvimento do projeto, é importante conhecer algumas características geométricas das seções desses elementos estruturais. Como nem sempre a seção apresenta uma forma conhecida, esses elementos devem ser determinados utilizando a integral. Muitas vezes as funções envolvidas no cálculo de uma integral recaem em funções trigonométricas.
Para resolver integrais envolvendo potências das funções seno e cosseno, é possível utilizar algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada função. Resolvendo a integral aplicando a estratégia adequada qual das alternativas abaixo representa o cálculo da integral 
a.
b.
c.
d.
e.
Questão 3
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As fórmulas encontradas em tabelas de integrais indefinidas auxiliam no desenvolvimento de cálculos que envolvem processos de integração; porém, nem todas as funções possuem antiderivadas diretas, porque em sua estrutura há composição de funções. No Cálculo Diferencial, a regra da cadeia, a partir de uma substituição, combinada a outras regras de diferenciação, é um procedimento para contornar problemas de derivação de funções compostas. De forma análoga, o método da substituição parte dessas ideias, de forma inversa, para calcular integrais de funções compostas a partir do resultado do teorema fundamental do Cálculo. Na construção de plataformas de petróleo, são realizadas diversas simulações virtuais de possíveis vazamentos em tanques de armazenamento. Esses testes são realizados para avaliar a qualidade dos dispositivos eletrônicos de segurança, instalados com a finalidade de prevenir possíveis acidentes de trabalho relacionados a riscos de explosão por agentes físicos ou contaminação dos trabalhadores por agentes químicos. Suponha que você está auxiliando em uma dessas simulações virtuais. Na modelagem matemática desta implementação computacional, o teste simulado utiliza a taxa de vazamento de óleo em litros por minuto, seguindo a função: r(t) = 100e-0,01t . A experimentação virtual presenta, como intervalo de confiança, a quantidade de [4500, 4515] litros de óleo vazados na primeira hora. Tendo como base essas informações, se na simulação ocorrer vazamento por uma hora, qual será a quantidade de óleo vazada, aproximadamente?
a.
4.515 litros
b.
5.512 litros
c.
4.215 litros
d.
4. 500 litros
e.
4.512 litros
Questão 4
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A técnica de integração por partes parte da regra do produto para diferenciação. A aplicação principal dessa técnica é a de calcular integrais definidas e indefinidas provenientes de funções compostas em forma de produto que não podem ser calculadas com o uso de tabelas de integração. Nesse sentido, essa ferramenta é indispensável no cálculo de integrais de problemas aplicados que, geralmente, apresentam modelos matemáticos com funções compostas por produtos.
Os conhecimentos de integral auxiliam na determinação de áreas sobre curvas. Dessa forma, dadas as curvas w = y 2 ln y, w = 4 ln y, qual a área delimitada por essas curvas?
a.
16/3 ln2 – 29/9
b.
16/3 ln2 + 29/9
c.
16/6 ln2 – 29/9
d.
16/9 ln2 – 29/9
e.
16/3 ln2 – 29/3
Questão 5
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Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abcissa e onde essa diferença é infinitamente pequena. A partir desta observação, a regra da cadeia passou a permitir a diferenciação de funções diversas cujo argumento é outra função. Na integração, a recíproca da regra da cadeia é a integração por substituição. Integração por substituição ou integração por mudança de variável é um processo para encontrar a integral, que consiste na substituição de uma variável (às vezes, da própria função) por uma função a partir do Teorema Fundamental do Cálculo. O desafio na utilização do método de substituição é obter uma substituição adequada para resolver o problema. Se w for contínua e  , qual o valor da integral  ?
a.
3
b.
4
c.
6
d.
5
e.
2
Questão 6
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Problemas aplicados às Ciências Naturais e Sociais são modelados matematicamente por equações diferenciais que, em sua lei de formação, apresentam produtos de funções compostas, sendo o conhecimento dessa técnica de integração fundamental para a resolução desses problemas. As aplicações de integrais são inúmeras para o Cálculo como campo de estudo e pesquisa da Matemática. A ideia de encontrar as antiderivadas é um dos princípios básicos. Dessa forma, sabendo que w (1) = 2, w (4) = 7, w ' (1) = 5, w ' (4) = 3 e w sendo uma função contínua, qual das alternativas a seguir representa o valor de  ?
a.
3
b.
1
c.
5
d.
2
e.
4
Questão 7
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Se você observar os diversos sólidos encontrados na natureza, verá que poucos têm formas regulares e que dificilmente será possível encontrar seu volume por meio da geometria euclidiana. Então, como obter o volume de sólidos sinuosos? Utilizando o cálculo integral, juntamente com o método das frações parciais, na solução de um volume. Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, para a ≤ x ≤ b, resolve-se a integral   e determine o volume do sólido obtido pelarotação da função  em torno do eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2.
a.
ln 3π
b.
π(4 - ln3)
c.
4π
d.
π(4+ln3)
e.
π ln3
Questão 8
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A determinação das antiderivadas (primitivas) é essencial na análise de movimentos de partículas ou objetos em uma dimensão (reta). Ao elencar a essa partícula/objeto uma função de posição do tipo p = w(t), pode-se considerar que a função que expressa a velocidade é v(t) = p'(t). Isto é, a antiderivada da função que expressa a posição. De forma análoga, a função da velocidade nesse contexto é a antiderivada da aceleração, pois a(t) = v'(t). Em problemas aplicados de Cinemática que envolvem movimentos em uma dimensão (reta), em que são dados os valores iniciais p(0) e v(0), é possível determinar a função que expressa a posição (modelo matemático) calculando as antiderivadas nos dois momentos.
Observe a seguinte situação:
Dois estudantes de Engenharia estão testando no laboratório de física experimental a simulação do movimento de uma partícula de poeira que se move em uma dimensão (reta) e apresenta uma aceleração dada pela função a(t) = 8t + 2.
Sabendo que sua velocidade e posição iniciais são, respectivamente: v(0) = -5 cm/s e p(0) = 8 cm, os dois estudantes desejam verificar se o software do simulador está funcionando corretamente realizando os testes padrão.
Depois de realizado os testes chegaram aos seguintes resultados:
Teste 1
A função da posição inicial para os dados apresentados é: p(t) = 4/3 t3 + t2 – 5t + 8
Teste 2
A partir dos dados apresentados, a posição da partícula no instante: t = 3s p(3) = 13 cm
Observando o resultado dos testes, é possível afirmar que
a.
Só o teste 2 está correto
b.
Os dois testes estão corretos
c.
Os testes são inconclusivos para verificar se software está funcionando corretamente
d.
Os dois testes estão incorretos
e.
Só o teste 1 está correto
Questão 9
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Os Cálculos Integral e Diferencial são conectados pelo Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). A origem do Cálculo Integral ocorreu do problema de áreas; já a origem do cálculo diferencial ocorreu do problema da tangente. Naturalmente, não há ligação entre os problemas. Até que Isaac Barrow (1630-1677) observou que integração e diferenciação são processos inversos. Dessa forma, o TFC fornece a relação precisa de inversão entre os processos. O resultado principal dessa descoberta permite calcular integrais e as áreas quando as representam sem a utilização da soma de limites. Essa funcionalidade facilita todos os cálculos que envolvem integração. Nas aulas de geometria, aprende-se que área é um número que representa o tamanho de uma região limitada, e para regiões simples, como retângulos, triângulos, círculos, a área pode ser determinada por meio de fórmulas geométricas. Mas, no caso da área de regiões que não formam um padrão, se utiliza a integral definida para calcular a área de cada subintervalo, ou seja, a área da região sob a curva f(x) no intervalo [a, b] é aproximadamente a soma das áreas dos retângulos. Sabendo-se que a função x = 2y - y2 no intervalo [o, 2] representa a área, no intervalo dado, indique qual das alternativas apresenta área descrita por essa função.
a.
4/11
b.
4/3
c.
4/7
d.
4/5
e.
4/9
Questão 10
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Texto da questão
O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. Principalmente como consequência do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais foram simplesmente vistas como derivadas "reversas". Na mesma época da publicação das tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli descobriu processos sistemáticos para integrar todas as funções racionais, que é chamado método das frações parciais. Essas ideias foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais. Após o estabelecimento do Cálculo, Euler daria continuidade ao estudo de funções - ainda prematuro na época - juntamente com Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise. Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.
Uma das aplicações do cálculo de integrais definidas é na realização de estimativas de áreas sob curvas a partir de um intervalo e de uma função. Diante disso, estime a área sob o gráfico de f(x) = 1/x de x = 1 até x = 5, usando quatro retângulos de aproximação e os extremos direitos.​​​​​​
a.
A área é de 2,08333
b.
A área é de 1,54333
c.
A área é de 1,28333
d.
A área é de 1,28444
e.
A área é de 2,08444