prova_calculo_integral

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Iniciado em sexta, 28 out 2022, 11:14 
Estado Finalizada 
Concluída em sexta, 28 out 2022, 12:34 
Tempo 
empregado 
1 hora 20 minutos 
Notas 10,00 de um máximo de 10,00(100%) 
Questão 1 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
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Texto da questão 
Com os conhecimentos sobre o cálculo integral, 
determinamos o valor de áreas de regiões sobre 
o gráfico de funções. Agora, podemos utilizá-los 
para determinar áreas de regiões entre gráficos 
de duas funções que podem ser descritas como 
curvas e formam uma região plana entre si. Uma 
das principais aplicações da integral é o cálculo 
entre curvas a partir das regiões delimitadas 
pelas duas funções. A ideia por trás desse 
cálculo é aproximar, por retângulos cada vez 
menores, sendo a diferença das funções a base 
desse retângulo. Diante disso, determine a área 
da região sombreada a seguir e assinale a 
alternativa correta. 
 
 
 
a. 
23/3 
 
b. 
32/5 
 
c. 
32/9 
 
d. 
3/32 
 
e. 
32/3 
Questão 2 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
Os Cálculos Integral e Diferencial são 
conectados pelo Teorema Fundamental do 
Cálculo (TFC). A origem do Cálculo Integral 
ocorreu do problema de áreas; já a origem do 
cálculo diferencial ocorreu do problema da 
tangente. Naturalmente, não há ligação entre os 
problemas. Até que Isaac Barrow (1630-1677) 
observou que integração e diferenciação são 
processos inversos. Dessa forma, o TFC fornece 
a relação precisa de inversão entre os 
processos. O resultado principal dessa 
descoberta permite calcular integrais e as áreas 
quando as representam sem a utilização da 
soma de limites. Essa funcionalidade facilita 
todos os cálculos que envolvem integração. Nas 
aulas de geometria, aprende-se que área é um 
número que representa o tamanho de uma 
região limitada, e para regiões simples, como 
retângulos, triângulos, círculos, a área pode ser 
determinada por meio de fórmulas geométricas. 
Mas, no caso da área de regiões que não 
formam um padrão, se utiliza a integral definida 
para calcular a área de cada subintervalo, ou 
seja, a área da região sob a curva f(x) no 
intervalo [a, b] é aproximadamente a soma das 
áreas dos retângulos. Sabendo-se que a função 
x = 2y - y2 no intervalo [o, 2] representa a área, no 
intervalo dado, indique qual das alternativas 
apresenta área descrita por essa função. 
 
a. 
4/5 
 
b. 
4/7 
 
c. 
4/11 
 
d. 
4/9 
 
e. 
4/3 
Questão 3 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
As fórmulas encontradas em tabelas de 
integrais indefinidas auxiliam no 
desenvolvimento de cálculos que envolvem 
processos de integração; porém, nem todas as 
funções possuem antiderivadas diretas, porque 
em sua estrutura há composição de funções. No 
Cálculo Diferencial, a regra da cadeia, a partir de 
uma substituição, combinada a outras regras de 
diferenciação, é um procedimento para 
contornar problemas de derivação de funções 
compostas. De forma análoga, o método da 
substituição parte dessas ideias, de forma 
inversa, para calcular integrais de funções 
compostas a partir do resultado do teorema 
fundamental do Cálculo. Na construção de 
plataformas de petróleo, são realizadas diversas 
simulações virtuais de possíveis vazamentos em 
tanques de armazenamento. Esses testes são 
realizados para avaliar a qualidade dos 
dispositivos eletrônicos de segurança, 
instalados com a finalidade de prevenir 
possíveis acidentes de trabalho relacionados a 
riscos de explosão por agentes físicos ou 
contaminação dos trabalhadores por agentes 
químicos. Suponha que você está auxiliando em 
uma dessas simulações virtuais. Na modelagem 
matemática desta implementação 
computacional, o teste simulado utiliza a taxa de 
vazamento de óleo em litros por minuto, 
seguindo a função: r(t) = 100e-0,01t . A 
experimentação virtual presenta, como intervalo 
de confiança, a quantidade de [4500, 4515] litros 
de óleo vazados na primeira hora. Tendo como 
base essas informações, se na simulação 
ocorrer vazamento por uma hora, qual será a 
quantidade de óleo vazada, aproximadamente? 
 
a. 
4.215 litros 
 
b. 
4.515 litros 
 
c. 
4. 500 litros 
 
d. 
4.512 litros 
 
e. 
5.512 litros 
Questão 4 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
O nome Cálculo Integral foi criado por Johann 
Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu 
irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690. 
Principalmente como consequência do Teorema 
Fundamental do Cálculo de Newton, as integrais 
foram simplesmente vistas como derivadas 
"reversas". Na mesma época da publicação das 
tabelas de integrais de Newton, Johann Bernoulli 
descobriu processos sistemáticos para integrar 
todas as funções racionais, que é chamado 
método das frações parciais. Essas ideias foram 
resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre 
integrais. Após o estabelecimento do Cálculo, 
Euler daria continuidade ao estudo de funções - 
ainda prematuro na época - juntamente com 
Cauchy, Gauss e Riemann. Foi Euler, entretanto, 
quem reuniu todo o conhecimento até então 
desenvolvido e criou os fundamentos da Análise. 
Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente 
utilizado em várias áreas do conhecimento 
humano e aplicado para a solução de problemas 
não só de Matemática, mas de Física, 
Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, 
Química, por exemplo. 
Uma das aplicações do cálculo de integrais 
definidas é na realização de estimativas de 
áreas sob curvas a partir de um intervalo e de 
uma função. Diante disso, estime a área sob o 
gráfico de f(x) = 1/x de x = 1 até x = 5, usando 
quatro retângulos de aproximação e os 
extremos direitos. 
 
a. 
A área é de 1,54333 
 
b. 
A área é de 1,28333 
 
c. 
A área é de 2,08333 
 
d. 
A área é de 2,08444 
 
e. 
A área é de 1,28444 
Questão 5 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
O método da substituição, ou de mudança de 
variável, é uma aplicação da regra da cadeia de 
forma inversa para calcular integrais definidas e 
indefinidas provenientes de funções compostas 
que não podem ser calculadas com o uso de 
tabelas de integração. Nesse sentido, essa 
ferramenta é indispensável no cálculo de 
integrais de problemas aplicados que 
geralmente apresentam modelos matemáticos 
com funções compostas. Nesse sentido, 
problemas aplicados a física, biologia, química e 
engenharia são modelados por equações 
diferenciais compostas de funções, que exige o 
conhecimento desse método de integração para 
serem resolvidos. Fazendo uso do método da 
substituição e tendo como u = y3 + 1, qual das 
alternativas apresentadas a seguir representa o 
valor da integral ? 
 
a. 
2/9 (y3 + 1)2/3 + C 
 
b. 
2/5 (y3 + 1)3/2 + C 
 
c. 
2/3 (y3 + 1)2/3 + C 
 
d. 
2/9 (y3 + 1)3/2 + C 
 
e. 
2/3 (y3 + 1)3/2 + C 
Questão 6 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
Problemas aplicados às Ciências Naturais e 
Sociais são modelados matematicamente por 
equações diferenciais que, em sua lei de 
formação, apresentam produtos de funções 
compostas, sendo o conhecimento dessa 
técnica de integração fundamental para a 
resolução desses problemas. As aplicações de 
integrais são inúmeras para o Cálculo como 
campo de estudo e pesquisa da Matemática. A 
ideia de encontrar as antiderivadas é um dos 
princípios básicos. Dessa forma, sabendo que w 
(1) = 2, w (4) = 7, w ' (1) = 5, w ' (4) = 3 e w sendo 
uma função contínua, qual das alternativas a 
seguir representa o valor de ? 
 
a. 
1 
 
b. 
3 
 
c. 
2 
 
d. 
5 
 
e. 
4 
Questão 7 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
A determinação das antiderivadas (primitivas) é essencial na análise 
de movimentos de partículas ou objetos em uma dimensão (reta). Ao 
elencar a essa partícula/objeto uma função de posição do tipo p = 
w(t), pode-se considerar que a função que expressa a velocidade é v(t) 
= p'(t). Isto é, a antiderivada da função que expressa a posição. De 
forma análoga, a função da velocidadenesse contexto é a 
antiderivada da aceleração, pois a(t) = v'(t). Em problemas aplicados 
de Cinemática que envolvem movimentos em uma dimensão (reta), 
em que são dados os valores iniciais p(0) e v(0), é possível determinar 
a função que expressa a posição (modelo matemático) calculando as 
antiderivadas nos dois momentos. 
Observe a seguinte situação: 
Dois estudantes de Engenharia estão testando no laboratório de física 
experimental a simulação do movimento de uma partícula de poeira 
que se move em uma dimensão (reta) e apresenta uma aceleração 
dada pela função a(t) = 8t + 2. 
Sabendo que sua velocidade e posição iniciais são, respectivamente: 
v(0) = -5 cm/s e p(0) = 8 cm, os dois estudantes desejam verificar se o 
software do simulador está funcionando corretamente realizando os 
testes padrão. 
Depois de realizado os testes chegaram aos seguintes resultados: 
Teste 1 
A função da posição inicial para os dados apresentados é: p(t) = 4/3 t3 
+ t2 – 5t + 8 
Teste 2 
A partir dos dados apresentados, a posição da partícula no instante: t 
= 3s p(3) = 13 cm 
Observando o resultado dos testes, é possível afirmar que 
 
 
a. 
Os dois testes estão incorretos 
 
b. 
Só o teste 1 está correto 
 
c. 
Os dois testes estão corretos 
 
d. 
Os testes são inconclusivos para verificar se software está 
funcionando corretamente 
 
e. 
Só o teste 2 está correto 
Questão 8 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
Em cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula 
para a derivada da função composta de duas 
funções. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a 
regra da cadeia teve grande importância para o 
avanço do cálculo diferencial. Seu 
desenvolvimento foi devido à mudança de 
notação, ou seja, ao invés de usar a notação de 
Newton, Leibniz adotou uma notação referente à 
tangente, onde a derivada é dada pela diferença 
dos valores na ordenada dividida pela diferença 
dos valores na abcissa e onde essa diferença é 
infinitamente pequena. A partir desta 
observação, a regra da cadeia passou a permitir 
a diferenciação de funções diversas cujo 
argumento é outra função. Na integração, a 
recíproca da regra da cadeia é a integração por 
substituição. Integração por substituição ou 
integração por mudança de variável é um 
processo para encontrar a integral, que consiste 
na substituição de uma variável (às vezes, da 
própria função) por uma função a partir do 
Teorema Fundamental do Cálculo. O desafio na 
utilização do método de substituição é obter 
uma substituição adequada para resolver o 
problema. Se w for contínua e , qual o valor 
da integral ? 
 
a. 
6 
 
b. 
2 
 
c. 
4 
 
d. 
3 
 
e. 
5 
Questão 9 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
O século XVII trouxe grandes avanços para a 
Matemática, principalmente pelas novas áreas 
de pesquisa abertas. Porém a maior realização 
matemática do período foi a invenção do cálculo 
diferencial e integral, ou cálculo infinitesimal, na 
segunda metade do século, por Isaac Newton e 
Gottfried Wilhelm Leibniz, de maneira 
independente. O cálculo infinitesimal é o estudo 
do movimento e da mudança, e antes da sua 
descoberta, os matemáticos ficavam bastante 
restritos às questões estáticas de contar, medir 
e descrever as formas. Com o novo cálculo foi 
possível que os matemáticos estudassem o 
movimento dos planetas, a queda dos corpos na 
terra, o funcionamento das máquinas, o fluxo 
dos líquidos, a expansão dos gases, forças 
físicas tais como o magnetismo e a eletricidade, 
o voo, o crescimento das plantas e animais, a 
propagação das epidemias e a flutuação dos 
lucros. A matemática tornou-se o estudo dos 
números, da forma, do movimento, da mudança 
e do espaço. Os matemáticos costumavam 
utilizar limites para calcular a área de figuras 
com contornos curvos. Newton e Leibniz 
mostraram que é possível chegar muito mais 
facilmente ao resultado, usando a integração, 
pois se uma quantidade pode ser calculada por 
exaustão, então também pode ser calculada 
com o uso de antiderivadas. Esse importante 
resultado é denominado Teorema Fundamental 
do Cálculo (TFC). O resultado do TFC é 
indispensável em modelagem matemática que 
envolve processos de integração, pois minimiza 
a quantidade de cálculos e dinamiza a resolução 
dos problemas de aplicação. A diferenciação e a 
integração são processos inversos do Cálculo. O 
resultado do teorema fundamental do cálculo 
apresenta detalhadamente esses aspectos. 
Dessa forma, utilizando TFC, qual das 
alternativas apresentadas a seguir representa o 
resultado da integralização da função: 
 
a. 
3/20 
 
b. 
20/6 
 
c. 
6/20 
 
d. 
20/3 
 
e. 
20/9 
Questão 10 
Completo 
Atingiu 1,00 de 1,00 
Marcar questão 
Texto da questão 
Se você observar os diversos sólidos 
encontrados na natureza, verá que poucos têm 
formas regulares e que dificilmente será 
possível encontrar seu volume por meio da 
geometria euclidiana. Então, como obter o 
volume de sólidos sinuosos? Utilizando o cálculo 
integral, juntamente com o método das frações 
parciais, na solução de um volume. Para 
determinar o volume de um sólido obtido pela 
rotação da função f(x) em torno do eixo x, para a 
≤ x ≤ b, resolve-se a integral e determine o 
volume do sólido obtido pela rotação da 
função em torno do eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2. 
 
a. 
4π 
 
b. 
π ln3 
 
c. 
π(4+ln3) 
 
d. 
ln 3π 
 
e. 
π(4 - ln3)