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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o fragmento de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. Nota: 10.0 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, ∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2 (Livro-base, p. 80). B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y. C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y. D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z. E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz. Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.f(x,y)=x2y2−3xy−13. Nota: 10.0 A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13. B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3. C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x. D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x. E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim, ∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x. (livro-base, p. 80). Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫21xydydx∫12∫12xydydx: Nota: 0.0 A 9494 Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis consta ∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21 (Livro-base p. 43-47). B 1212 C 7474 D 3434 E 7272 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Uma indústria produz três tipos de objetos eletrônicos, sendo representados por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente. O custo de produção destes objetos é dado pela função C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do produto x1x1, dez unidades do produto x2x2 e 50 unidades do produto x3x3. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: Nota: 10.0 A 120 B 150 C 180 D 280 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular o custo de produção basta substituir as variáveis pelos valores C(30,10,50) = 50+2.30+2.10+3.50 = 280 (Livro-base p. 75-76). E 350 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√ 1+[f′(x)]2 dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: Nota: 10.0 A 25π√ 20 25π20 u.a. B 20π√ 10 20π10 u.a. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√ 10 ∫20(3x+2)dxA=2π√ 10 3(3x+22)2 (livro-base, p. 15-20). C 22π√ 12 22π12 u.a D 23π√ 13 23π13 u.a. E 21π√ 15 21π15 u.a. Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3x1=3, x2=1x2=1 e x3=4x3=4: Nota: 10.0 A 120 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 (livro-base, p. 75-76). B 150 C 180 D 200 E 220 Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o extrato de texto acimae os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: Nota: 10.0 A 0 B 2 C 4 Você acertou! Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos ∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2 (livro-base, p. 43-47). D 8 E 16 Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydxI=∫cd∫f(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Depois integramos f(x,y)f(x,y) em relação a xx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto: Nota: 0.0 A 1212 B 3232 Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32. (livro-base, p. 54-59). C 5252 D 7272 E 9292 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫10∫10xdydx∫01∫01xdydx: Nota: 10.0 A 1414 B 1313 C 11 D 22 E 1212 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis consta ∫10∫10xdydx=∫10x[∫10dy]dx=∫10x[y]10dx=∫10x[1−0]dx=∫10xdx=[x22]10=122−022=12∫01∫01xdydx=∫01x[∫01dy]dx=∫01x[y]01dx=∫01x[1 (Livro-base página 43-47). Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o excerto de texto a seguir: "Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86. Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de ff no ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).u→=(35,−45). Nota: 10.0 A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=85. B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−135. C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−65. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65. (livro-base, p. 86). D −57.−57. E −85.−85. Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: Nota: 10.0 A 0 B 2 C 4 Você acertou! Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos ∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2 (livro-base, p. 43-47). D 8 E 16 Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o fragmento de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. Nota: 0.0 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, ∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. (Livro-base, p. 80). B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y. C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y. D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z. E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz. Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫21xydydx∫12∫12xydydx: Nota: 10.0 A 9494 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis consta ∫21∫21xydydx=∫21x[∫21ydy]dx=∫21x[y22]21dx=∫21x[222−122]dx=∫21x32dx=32∫21xdx=32x22∣∣∣21 (Livro-base p. 43-47). B 1212 C 7474 D 3434 E 7272 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integrala Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: Nota: 0.0 A 11 B 3232 Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis consta ∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣ (Livro-base p. 43-47). C 1212 D 5252 E 7272 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3x1=3, x2=1x2=1 e x3=4x3=4: Nota: 0.0 A 120 Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 (livro-base, p. 75-76). B 150 C 180 D 200 E 220 Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.f(x,y)=x2y2−3xy−13. Nota: 0.0 A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13. B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3. C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x. D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x. E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x. Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim, ∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x. (livro-base, p. 80). Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z: Nota: 0.0 A fx=3;fy=5;fz=−6fx=3;fy=5;fz=−6 Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as deriv fx=3fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo fy=5fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo fz=−6fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo (livro-base, p. 80). B fx=−3;fy=−5;fz=−5fx=−3;fy=−5;fz=−5 C fx=5;fy=3;fz=−6fx=5;fy=3;fz=−6 D fx=6;fy=5;fz=−3fx=6;fy=5;fz=−3 E fx=−6;fy=5;fz=3fx=−6;fy=5;fz=3 Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais: Nota: 0.0 A 6 B 10 C 12 Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: ∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2 (livro-base, p. 43-72). D 15 E 16 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, decimais ou com um valor incremental [...]". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero: Nota: 0.0 A an=2n Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, .... Como n começa em 2, pelo enunciado, para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2); para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares. (livro-base, p. 101). B an=2n+1 C an=n+1 D an=2n-1 E an=n-1 Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydxI=∫cd∫f(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Depois integramos f(x,y)f(x,y) em relação a xx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral duplaa seguir, pelo método da iteração: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto: Nota: 0.0 A 1212 B 3232 Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32. (livro-base, p. 54-59). C 5252 D 7272 E 92 Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa pela função f(x,y,z). Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√ z−1 |f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): Nota: 0.0 A 132132 Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos: f(2,3,5)=22+32|√ 5−1 |=4+9|√ 4 |=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. (livro-base, p. 77). B 145145 C 133133 D 115115 E 154154 Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: Nota: 0.0 A 11 B 3232 Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis consta ∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣ (Livro-base p. 43-47). C 1212 D 5252 E 7272 Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais: Nota: 10.0 A 6 B 10 C 12 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: ∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2 (livro-base, p. 43-72). D 15 E 16 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√ 1+[f′(x)]2 dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: Nota: 0.0 A 25π√ 20 25π20 u.a. B 20π√ 10 20π10 u.a. Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√ 10 ∫20(3x+2)dxA=2π√ 10 3(3x+22)2 (livro-base, p. 15-20). C 22π√ 12 22π12 u.a D 23π√ 13 23π13 u.a. E 21π√ 15 21π15 u.a. Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff no intervalo fechado [0,2][0,2]: Nota: 0.0 A 2√ 5 u.c.25u.c. Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos: A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+22dx=∫20√ 5 dx=2√ 5 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c. (Livro-base, p. 21-24). B 3√ 5 u.c.35u.c. C 4√u.c.4u.c. D 5√ 8 u.c.58u.c. E 6√u.c.6u.c. Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11dydx é: Nota: 0.0 A 2 B 1 C zero D 4 Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis consta ∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11dydx=∫−11[y]−11dx=∫−11[1−(−1)]dx=∫−112dx=2∫−11dx=2[y]−11=2[1−(−1)]=4 (Livro-base p. 43-47). E 10 Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f)Dm((f), expresso por (x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn), com respectiva imagemda função Im(f)Im(f) expressa por f(x1,x2,...,xn).f(x1,x2,...,xn)." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76. Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√ z−1 |f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): Nota: 0.0 A 132132 Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos: f(2,3,5)=22+32|√ 5−1 |=4+9|√ 4 |=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. (Livro-base, p.76). B 145145 C 133133 D 115115 E 154154 Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: Nota: 0.0 A 0 B 2 C 4 Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos ∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2 (livro-base, p. 43-47). D 8 E 16 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal que: dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfd y⋅(x0,y0)⋅dydt(t0). Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=c ost.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de zz em relação à variável tt: Nota: 0.0 A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy (livro-base, p. 79) B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent. E dzdt=(3x2−8xy+y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydxI=∫cd∫f(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Depois integramos f(x,y)f(x,y) em relação a xx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto: Nota: 0.0 A 1212 B 3232 Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32. (livro-base, p. 54-59). C 5252 D 7272 E 92 x2y2−3xy−13. Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, decimais ou com um valor incremental [...]". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero: Nota: 10.0 A an=2n Você acertou! Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, .... Como n começa em 2, pelo enunciado, para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2); para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos númer (livro-base, p. 101). B an=2n+1 C an=n+1 D an=2n-1 E an=n-1 Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o excerto de texto a seguir: "Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86. Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de ff no ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).u→=(35,−45). Nota: 10.0 A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=85. B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−135. C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−65. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65. (livro-base, p. 86). D −57.−57. E −85.−85. Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydxI=∫cd∫f(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Depois integramos f(x,y)f(x,y) em relação a xx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Agora, assinale a alternativaque indica o resultado correto: Nota: 0.0 A 1212 B 3232 Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32. (livro-base, p. 54-59). C 5252 D 7272 E 9292 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal que: dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfd y⋅(x0,y0)⋅dydt(t0). Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=c ost.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de zz em relação à variável tt: Nota: 10.0 A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy (livro-base, p. 79) B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent. E dzdt=(3x2−8xy+y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.f(x,y)=x2y2−3xy−13. Nota: 10.0 A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13. B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3. C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x. D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x. E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim, ∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x. (livro-base, p. 80). Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o fragmento de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xixi é a derivada de f em relação a xixi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o fragmento de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. Nota: 10.0 A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada parcial separadamente em relação a c ∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. (Livro-base, p. 80). B ∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y.∂f∂x=4y;∂f∂y=4y−3x;∂f∂z=−3y. C ∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y.∂f∂x=−6x−4z;∂f∂y=y;∂f∂z=y. D ∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z.∂f∂x=x;∂f∂y=y;∂f∂z=z. E ∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz.∂f∂x=−4xyz;∂f∂y=6xyz;∂f∂z=xyz. Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫1−1∫1−1dydx∫−11∫−11dydx é: Nota: 10.0 A 2 B 1 C zero D 4 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis con ∫1−1∫1−1dydx=∫1−1[y]1−1dx=∫1−1[1−(−1)]dx=∫1−12dx=2∫1−1dx=2[y]1−1=2[1−(−1)]=4∫−11∫−11dydx=∫−11[y]−11dx=∫−11[1−(−1)]dx=∫−112dx=2∫−11dx=2[y]−11=2[1−(−1)]=4 (Livro-base p. 43-47). E 10 Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais: Nota: 10.0 A 6 B 10 C 12 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: ∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2 (livro-base, p. 43-72). D 15 E 16 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff no intervalo fechado [0,2][0,2]: Nota: 10.0 A 2√ 5 u.c.25u.c. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos: A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+22dx=∫20√ 5 dx=2√ 5 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c. (Livro-base, p. 21-24). B 3√ 5 u.c.35u.c. C 4√u.c.4u.c. D 5√ 8 u.c.58u.c. E 6√u.c.6u.c.Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√ 1+[f′(x)]2 dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: Nota: 10.0 A 25π√ 20 25π20 u.a. B 20π√ 10 20π10 u.a. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√ 10 ∫20(3x+2)dxA=2π√ 10 3(3x+22)2 (livro-base, p. 15-20). C 22π√ 12 22π12 u.a D 23π√ 13 23π13 u.a. E 21π√ 15 21π15 u.a. Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√ 1+[f′(x)]2 dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: Nota: 10.0 A 25π√ 20 25π20 u.a. B 20π√ 10 20π10 u.a. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: A=2π∫20y(x)√ 1+[y′(x)]2 dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√ 10 ∫20(3x+2)dxA=2π√ 10 3(3x+22)2 (livro-base, p. 15-20). C 22π√ 12 22π12 u.a D 23π√ 13 23π13 u.a. E 21π√ 15 21π15 u.a. Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa pela função f(x,y,z). Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√ z−1 |f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): Nota: 10.0 A 132132 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos: f(2,3,5)=22+32|√ 5−1 |=4+9|√ 4 |=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132. (livro-base, p. 77). B 145145 C 133133 D 115115 E 154154 Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o trecho de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor das derivadas parciais, ao calcular a função f(x,y,z)=3x+5y−6zf(x,y,z)=3x+5y−6z: Nota: 10.0 A fx=3;fy=5;fz=−6fx=3;fy=5;fz=−6 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Então as deriv fx=3fx=3 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo fy=5fy=5 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo fz=−6fz=−6 pois a derivada dos outros termos é zero por não ter o termo (livro-base, p. 80). B fx=−3;fy=−5;fz=−5fx=−3;fy=−5;fz=−5 C fx=5;fy=3;fz=−6fx=5;fy=3;fz=−6 D fx=6;fy=5;fz=−3fx=6;fy=5;fz=−3 E fx=−6;fy=5;fz=3fx=−6;fy=5;fz=3 Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46.. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta o valor da integral repetida ∫21∫102xydydx∫12∫012xydydx: Nota: 10.0 A 11 B 3232 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis consta ∫21∫102xydydx=2∫21x[∫10ydy]dx=2∫21x[y22]10dx=2∫21x[122−022]dx=2∫21x12dx=∫21xdx=x22∣∣∣ (Livro-base p. 43-47). C 1212 D 5252 E 7272 Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o excerto de texto a seguir: "Em geral, podemos concluir que a derivada direcional de um campo escalar numa determinada direção será o produto escalar dessa direção pelo gradiente do campo escalar". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 86. Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y)=lnx−lny.f(x,y)=lnx−lny. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de ff no ponto P=(12,−13)P=(12,−13), na direção do vetor unitário ⃗u=(35,−45).u→=(35,−45). Nota: 10.0 A ∂f∂⃗u(35,−13)=85.∂f∂u→(35,−13)=85. B ∂f∂⃗u(35,−13)=−135.∂f∂u→(35,−13)=−135. C ∂f∂⃗u(35,−13)=−65.∂f∂u→(35,−13)=−65. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois notamos que ∂f∂⃗u(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅⃗u.∂f∂u→(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u→. Assim, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=∇f(1/2,−1/3)⋅(3/5,−4/5). portanto, ∂f∂⃗u(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65.∂f∂u→(1/2,−1/3)=(2,3)⋅(3/5,−4/5)=−65. (livro-base, p. 86). D −57.−57. E −85.−85. Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b.Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff no intervalo fechado [0,2][0,2]: Nota: 10.0 A 2√ 5 u.c.25u.c. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos: A=∫ba√ 1+[f′(x)]2 dx=∫20√1+22dx=∫20√ 5 dx=2√ 5 u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c. (Livro-base, p. 21-24). B 3√ 5 u.c.35u.c. C 4√u.c.4u.c. D 5√ 8 u.c.58u.c. E 6√u.c.6u.c. Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Na intenção de calcular I=∫dc∫g(x)f(x)f(x,y)dydxI=∫cd∫f(x)g(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Depois integramos f(x,y)f(x,y) em relação a xx. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto: Nota: 10.0 A 1212 B 3232 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32. (livro-base, p. 54-59). C 5252 D 7272 E 9292 Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Uma indústria produz três tipos de objetos eletrônicos, sendo representados por x1,x2x1,x2 e x3x3, respectivamente. O custo de produção destes objetos é dado pela função C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3C(x1,x2,x3)=50+2x1+2x2+3x3. Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, suponha que a empresa fabrica, por mês, 30 unidades do produto x1x1, dez unidades do produto x2x2 e 50 unidades do produto x3x3. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o custo dessa produção: Nota: 10.0 A 120 B 150 C 180 D 280 Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcular o custo de produção basta substituir as variáveis pelos val C(30,10,50) = 50+2.30+2.10+3.50 = 280 (Livro-base p. 75-76). E 350 Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o extrato de texto a seguir: "A função da derivada parcial em relação a um valor xi é a derivada de f em relação a xi uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes". Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 80. Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da função: f(x,y)=x2y2−3xy−13.f(x,y)=x2y2−3xy−13. Nota: 10.0 A ∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13.∂f∂x=2xy2−3y+13 e ∂f∂y=2x2y−3x+13. B ∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3.∂f∂x=2y2−3y e ∂f∂y=2y−3. C ∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x.∂f∂x=2xy2+3y e ∂f∂y=2x2y+3x. D ∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x.∂f∂x=2x−3y e ∂f∂y=2y−3x. E ∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x.∂f∂x=2xy2−3y e ∂f∂y=2x2y−3x. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. Assim, ∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x.∂∂x(x2y2−3xy+13)=2xy2−3ye∂∂y(x2y2−3xy+13)=2x2y−3x. (livro-base, p. 80). Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis Leia o texto a seguir: Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal que: dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfd y⋅(x0,y0)⋅dydt(t0). Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=c ost.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de zz em relação à variável tt: Nota: 10.0 A dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent. Você acertou! Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy (livro-base, p. 79) B dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent C dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos D dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent. E dzdt=(3x2−8xy+y2)cost
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