Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis - Apol 1

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o extrato de texto a seguir: 
"[Em integrais repetidas] na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos a quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o extrato de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa que apresenta o valor da integral repetida ∫20∫20yzdzdy∫02∫02yzdzdy: 
Nota: 10.0
	
	A
	0
	
	B
	2
	
	C
	4
Você acertou!
Comentário: Para calcular a integral repetida, primeiro considera uma das variáveis constante. Em nosso caso, consideraremos a variável x. Então,
∫20∫20yzdzdy=∫20y[∫20zdz]dy=∫20y[z22]20dy=∫20y[222−022]dy=∫20y2dy=2∫20ydy=2y22∣∣∣20=2[222−022]=2⋅2=4∫02∫02yzdzdy=∫02y[∫02zdz]dy=∫02y[z22]02dy=∫02y[222−022]dy=∫02y2dy=2∫02ydy=2y22|02=2[222−022]=2⋅2=4
(livro-base, p. 43-47). 
	
	D
	8
	
	E
	16
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na intenção de calcular ∫dc∫h(x)g(x)f(x,y)dydx∫cd∫g(x)h(x)f(x,y)dydx, inicialmente integramos f(x,y)f(x,y) em relação a yy, mantendo xx fixo. Os limites de integração g(x)g(x) e h(x)h(x) dependerão desse valor fixo de xx, o que resultará na quantidade  ∫h(x)g(x)f(x,y)dy∫g(x)h(x)f(x,y)dy. E, então, integraremos quantidade posterior em relação a xx, considerando este uma variável entre os limites constantes de integração cc e dd". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 46. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, dada a integral a dupla ∫2−1∫20x2y3dydx∫−12∫02x2y3dydx  , identifique a alternativa correta que apresenta o valor correspondente às integrais:
Nota: 0.0
	
	A
	6
	
	B
	10
	
	C
	12
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme cálculo a seguir: 
∫2−1∫20x2y3dydx==∫2−1x2∫20y3dydx=∫2−1x2⋅[y44]20dx=∫2−1x2⋅[244−044]20dx=∫2−1x2⋅[4−0]dx=∫2−14x2dx=4⋅[x33]2−1=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12∫−12∫02x2y3dydx==∫−12x2∫02y3dydx=∫−12x2⋅[y44]02dx=∫−12x2⋅[244−044]02dx=∫−12x2⋅[4−0]dx=∫−124x2dx=4⋅[x33]−12=4⋅[233−(−1)33]==4⋅93==12
(livro-base, p. 43-72). 
	
	D
	15
	
	E
	16
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
No espaço tridimensional, estabelecemos três relações representadas por valores do conjunto domínio Dm(f), expresso por (x,y,z), com respectiva imagem Im(f) expressa pela função f(x,y,z).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considere o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5): 
Nota: 10.0
	
	A
	13/2
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme a seguinte solução: substituindo os valores de x, y e z em f(x,y,z) temos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
(livro-base, p. 77). 
	
	B
	145145
	
	C
	133133
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"Na equação da curva, em que y=f(x)y=f(x), considerando-se f e sua derivada (f') contínuas num trecho de intervalo fechado [a,b][a,b] e sendo a função f(x)f(x) maior que e igual a zero, com xx sendo um elemento que pertence ao intervalo [a,b][a,b], a área na superfície S gerada pelo giro da curva C ao redor do eixo das abscissas x será definida por: A=2π∫baf(x)√1+[f′(x)]2dxA=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2dx ". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 18. 
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, calcule o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta dado pela equação y=3x+2y=3x+2 , no intervalo fechado [0,2][0,2] em torno do eixo das abscissas. Em seguida, assinale a alternativa correta que corresponde a esse valor: 
Nota: 10.0
	
	A
	25π√2025π20 u.a.
	
	B
	20π√1020π10 u.a.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, conforme solução: 
A=2π∫20y(x)√1+[y′(x)]2dx=2π∫20(3x+2)√1+32dx=2π√10∫20(3x+2)dxA=2π√103(3x+22)2∣∣∣20=π√103[(3⋅2+2)2−4]=60π√103=20π√10u.a.A=2π∫02y(x)1+[y′(x)]2dx=2π∫02(3x+2)1+32dx=2π10∫02(3x+2)dxA=2π103(3x+22)2|02=π103[(3⋅2+2)2−4]=60π103=20π10u.a. 
(livro-base, p. 15-20). 
	
	C
	22π√1222π12 u.a 
	
	D
	23π√1323π13 u.a.
	
	E
	21π√1521π15 u.a.
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Seja f uma função de duas variáveis x e y, diferenciável num ponto (x0,y0)(x0,y0) do domínio, e sejam as funções dadas por x(t)x(t) e y(t)y(t) diferenciáveis em t0t0, de modo que x(t0)=x0x(t0)=x0 e y(t0)=y0y(t0)=y0, então a função FF composta por ff com xx e yy é tal que:
dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0)dFdt=dfdx⋅(x0,y0)⋅dxdt(t0)+dfdy⋅(x0,y0)⋅dydt(t0).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a função z=x3−4x2y+xy2−y3+1,z=x3−4x2y+xy2−y3+1, onde x=sentx=sent e y=cost.y=cost., assinale a alternativa correta que apresenta a derivada de zz em relação à variável tt:
Nota: 10.0
	
	A
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois pela Regra da Cadeia, como xx e yy estão em função de tt, temos
dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt.dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt. Portanto, dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(−4x2+2xy−3y2)(−sent)=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)sent.   
(livro-base, p. 79)
	
	B
	dzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sentdzdt=(3x2−8xy+y2)sent+(4x2−2xy+3y2)sent
	
	C
	dzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost+(4x2−2xy+3y2)cos⁡t
	
	D
	dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.dzdt=(−8xy+y2)cost+(4x2−2xy)sent.
	
	E
	dzdt=(3x2−8xy+y2)costdzdt=(3x2−8xy+y2)cost
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por x1, x2 e x3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos é representada por C (x1, x2, x3) = 100 + 2x1 + 2x2 + 3x3.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.  
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, identifique a alternativa correta que apresenta o custo da fabricação, se x1=3x1=3, x2=1x2=1 e x3=4x3=4: 
Nota: 10.0
	
	A
	120
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120
(livro-base, p. 75-76). 
	
	B
	150
	
	C
	180
	
	D
	200
	
	E
	220
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir: 
"No espaço Rn, n-dimensional estabelecemos as n-relações representadas por valores de conjunto domínio de uma função Dm((f)Dm((f), expresso por (x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn), com respectiva imagem da função Im(f)Im(f)expressa por f(x1,x2,...,xn).f(x1,x2,...,xn)."
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 76.
Considerando o trecho de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x,y,z)=x2+y2|√z−1|f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, identifique a alternativa correta que apresenta o valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no ponto (2,3,5)(2,3,5):
Nota: 10.0
	
	A
	13/2
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para encontrar o valor de f deve-se substituir os valores de x,y e z por 2,3 e 5 respectivamente na função. Assim teremos:
f(2,3,5)=22+32|√5−1|=4+9|√4|=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=132.
(Livro-base, p.76).
	
	B
	145145
	
	C
	133133
	
	D
	115115
	
	E
	154154
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o excerto de texto a seguir: 
"Se considerarmos C uma curva da equação y=f(x)y=f(x), em que a função ff é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b][a,b], isso nos permite determinar o comprimento do arco da curva C, de aa até bb. [Para calcular tal comprimento utiliza-se a fórmula ∫ba√1+[f′(x)]2dx∫ab1+[f′(x)]2dx. ]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 21.
 
Considere o excerto de texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, a equação f′(x)=x3/2−4f′(x)=x3/2−4  e o intervalo [a,b]=[1,4][a,b]=[1,4]. Agora, assinale a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco de f(x)f(x) no intervalo [a,b][a,b]: 
Nota: 10.0
	
	A
	80√10−√1388010−138
	
	B
	80278027
	
	C
	80√10 −13√13 
 27 
Você acertou!
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois para calcularmos o comprimento da curva, devemos ter a derivada da função f,
Se f(x)=x3/2−4f(x)=x3/2−4 então f′(x)=3x1/22f′(x)=3x1/22.
Aplicando a fórmula a ∫ba√1+[f′(x)]2dx∫ab1+[f′(x)]2dx. teremos:
a ∫ba√1+[f′(x)]2dx∫41√1+[3x1/22]2dx∫41√1+9x4dx∫ab1+[f′(x)]2dx∫141+[3x1/22]2dx∫141+9x4dx
Agora, para podermos integrar esta raiz, o que está fora dela deve ser a derivada do que está dentro dela.
Como a derivada de 1+9x41+9x4 é 9/4, inserimos esta fração e tiramos fora da integral. Assim fica fácil a integração.
C=49∫41√1+9x494dxC=49∣∣
∣
∣
∣
∣∣(1+9x4)3/232∣∣
∣
∣
∣
∣∣41=827(1+9x4)3/2∣∣
∣∣41827[(1+9⋅44)3/2−(1+9⋅14)3/2]=827[(1+9)3/2−(1+94)3/2]=827[(10)3/2−(134)3/2]=827[10√10−134√134]=827[10√10−138√13]=827[80√10−13√138]=80√10−13√1327C=49∫141+9x494dxC=49|(1+9x4)3/232|14=827(1+9x4)3/2|14827[(1+9⋅44)3/2−(1+9⋅14)3/2]=827[(1+9)3/2−(1+94)3/2]=827[(10)3/2−(134)3/2]=827[1010−134134]=827[1010−13813]=827[8010−13138]=8010−131327
(Livro-base p. 24). 
	
	D
	√1021610216
	
	E
	827(80√10−√13)827(8010−13)
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o texto a seguir: 
Se uma função f é contínua e derivável no intervalo fechado [a,b], é possível determinar o comprimento do arco da curva C, de a até b. Lembrando que a fórmula utilizada é C=∫ba√1+[f′(x)]2dxC=∫ab1+[f′(x)]2dx.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
Considerando o texto acima, os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis e a função f(x)=2x−8f(x)=2x−8, identifique a alternativa correta que apresenta o comprimento do arco da curva dada por ff  no intervalo fechado [0,2][0,2]: 
Nota: 0.0
	
	A
	2√5u.c.25u.c.
Comentário: Esta é a alternativa correta, pois aplicando a fórmula para calcular o comprimento da curva, teremos:
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+22dx=∫20√5dx=2√5u.c.A=∫ab1+[f′(x)]2dx=∫021+22dx=∫025dx=25u.c.
(Livro-base, p. 21-24). 
	
	B
	3√5u.c.35u.c.
	
	C
	4√u.c.4u.c.
	
	D
	5√8u.c.58u.c.
	
	E
	6√u.c.6u.c.
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis
Leia o trecho de texto a seguir:
"Uma sequência numérica é usada em linguagem corrente para dar significado a uma sucessão de objetos e coisas que estão dispostos em ordem definida. Os números também são expressos em sequências que podem ser de algarismos pares, ímpares, decimais ou com um valor incremental [...]". 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:  RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, p. 101.
Considerando o trecho de texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, assinale a alternativa correta que apresenta a lei de formação da sequência dos números pares positivos (n), considerando que n é um número natural diferente de zero: 
Nota: 0.0
	
	A
	an=2n
Comentário: A sequência dos números pares positivos é 2, 4, 6, 8, 10, ....
Como n começa em 2, pelo enunciado, 
para a alternativa b) teremos 2.1+1 = 3 (o primeiro número par positivo é 2); 
para a alternativa c) teremos 1 + 1 = 2, 2+1=3 (o segundo número par é 4); 
para alternativa d) teremos 2.1-1 = 1 (o primeiro número par é 2);
para a alternativa e) teremos 1-1=0 (o primeiro número par é 2); 
Para a alternativa a), a correta, temos: 2.1=2, 2.2=4, 2.3=6, 2.4=8,... continuando assim a sequência para n natural diferente de zero. Desta forma, obtemos a sequência dos números pares.
(livro-base, p. 101). 
	
	B
	an=2n+1
	
	C
	an=n+1
	
	D
	an=2n-1
	
	E
	an=n-1