Aula_cap10c_Cap11_Nice

Prévia do material em texto

Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios (Cap. 10 e 11, NISE)
Problema 10.10 (pag. 482)
Usando o critério de Nyquist, determine a faixa de valores de K para a estabilidade do sistema 
abaixo, onde:
Como Z=P-N→ Z=0-0=0 
- Se 0<K<720 o sistema é Estável
- Se K>720 o sistema é Instável
( ) ( )( ) ( ) ( )( )75
1
 e 
31 ++
=
++
=
ss
sH
ss
K
sG
Diagrama de Nyquist para K=1:
Margem de Ganho deste sistema (para K=1):
20.log (720) = 57,15 [dB]
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Para o sistema abaixo encontre a Margem de Ganho e a Margem de Fase se o valor de K for:
a) K=500 b) K=600 c) K=10
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
K= 500:
A resposta de fase é 180º em 3,32 rad/s. A resposta de magnitude é −57,2 
dB nessa freqüência. Para K=500, a curva de magnitude é deslocada de 54 
dB para cima, resultando − 3,2 dB em 3,32 rad/s. Dessa forma, a Margem 
de Ganho é +3,2 dB. Margem de fase: Deslocando a curva de magnitude 
de 54 dB, resulta 0 dB em 2,715 rad/s, onde a curva de fase é − 161,63°. 
Portanto, a Margem de Fase é 180° −161,63° = 18,37°°°°.
K =600:
A resposta de fase é 180º em 3,32 rad/s. A resposta de magnitude é − 57,2 
dB nessa freqüência. Para K =600, a curva de magnitude é deslocada de 
55,6 dB para cima, resultando − 1,6 dB em 3,32 rad/s. Dessa forma, a 
Margem de Ganho é +1,6 dB. Margem de fase: Deslocando a curva de 
magnitude de 55,6 dB, resulta 0 dB em 3,01 rad/s, onde a curva de fase é 
− 171,03°. Portanto, a Margem de Fase é 180° − 171,03° = 8,97°°°°.
K =10:
A resposta de fase é 180° em 3,32 rad/s. A resposta de magnitude é − 57,2 
dB nessa freqüência. Para K = 10, a curva de magnitude é deslocada de 20 
dB para cima, resultando − 37,2 dB em 3,32 rad/s. Dessa forma, a Margem 
de Ganho é +37,2 dB. Margem de fase: Deslocando a curva de magnitude 
de 20 dB, não há cruzamento com a linha de 0 dB. Portanto, a Margem de 
Fase não pode ser calculada → Nenhum deslocamento de fase causará 
instabilidade.
Problema 10.11 (Pág. 483)
( ) ( )( ) ( ) ( )( )75
1
 e 
31 ++
=
++
=
ss
sH
ss
K
sG
Diagramas de Bode para K=1:
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Usando os Digramas de Bode, estimar a resposta transitória dos sistemas abaixo:
Sistema 1:
- Usando os diagramas de resposta em freqüência, o 
cruzamento de 0 [dB] se dá em 9,7 rad/s, com uma fase de 
163,2°→ Margem de Fase é 180°°°°-163,3°°°° = 16,7°°°°. 
- |G(jw)| está abaixo de −7[dB] em 14,7 rad/s → 
Banda Passante vale 14,7 rad/s → ζζζζ=0,15→ 
%UP=62,09%→ TS=2,76[s] e TP=0,329[s].
Problema 10.23 (Pág. 483)
Sistema 1
Sistema 2
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-20
0
20
40
60
80
System: G
Frequency (rad/sec): 14.7
Magnitude (dB): -6.97
M
a
g
n
i
t
u
d
e
 
(
d
B
)
10-2 10-1 100 101 102
-180
-150
-120
-90
System: G
Phase Margin (deg): 16.7
Delay Margin (sec): 0.03
At frequency (rad/sec): 9.69
Closed Loop Stable? Yes
System: G
Frequency (rad/sec): 14.7
Phase (deg): -169
P
h
a
s
e
 
(
d
e
g
)
42
1
412
2
ξξ
ξφ
++−
=
−tgM
100%
21/
×=





−− ζζpi
eUP
( )
( ) 24421
1
244214
242
2
242
+−+−
−
=
+−+−=
ξξξξ
pi
ω
ξξξξω
p
BW
s
BW
T
T
]/[7,14
7,16 0
sradBW
M
=
=
ω
φ
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Usando os Digramas de Bode, estimar a resposta transitória dos sistemas abaixo:
Sistema 2:
- Usando os diagramas de resposta em freqüência, o 
cruzamento de 0[dB] se dá em 6,44 rad/s, com uma fase de 
150,73°→ Margem de Fase é180º -150,7º = 29,3°°°°. 
- |G(jw)| está abaixo de -7[dB] em 10,1rad/s → 
Banda Passante vale 10,1 rad/s → ζ=ζ=ζ=ζ=0,262→ 
%UP= 42,62%→ TS=2,23[s] e TP=0,476[s].
Problema 10.23 (Pág. 483)
Sistema 2
Sistema 2
( )( ) )6(42
)5)(3(50
+++
++
ssss
ss
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
System: G
Frequency (rad/sec): 10.1
Magnitude (dB): -6.97
M
a
g
n
i
t
u
d
e
 
(
d
B
)
10-1 100 101 102
-180
-150
-120
-90
System: G
Phase Margin (deg): 29.3
Delay Margin (sec): 0.0794
At frequency (rad/sec): 6.44
Closed Loop Stable? Yes
System: G
Frequency (rad/sec): 10.1
Phase (deg): -159
P
h
a
s
e
 
(
d
e
g
)
42
1
412
2
ξξ
ξφ
++−
=
−tgM
100%
21/
×=





−− ζζpi
eUP
( )
( ) 24421
1
244214
242
2
242
+−+−
−
=
+−+−=
ξξξξ
pi
ω
ξξξξω
p
BW
s
BW
T
T
]/[1,10
3,29 0
sradBW
M
=
=
ω
φ
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Atraso de Fase 
- Permite melhorar o Erro de Regime Estacionário sem modificar consideravelmente as 
características de resposta transitória;
- Sua principal característica é que ele fornece uma atenuação nas altas frequências, o que permite 
fornecer uma margem de fase adequada ao sistema. 
Procedimento de Projeto
1 – Ajustar o ganho, K, ao valor que satisfaça à especificação de Erro de Regime Estacionário e traçar os 
Diagramas de Bode de Magnitude e de Fase para este valor de ganho;
2 – Determinar a frequência onde a Margem de Fase seja 5º a 12º maior do que a Margem de Fase que conduz 
à resposta transiente desejada. Esta etapa compensa o fato de que a fase do compensador por atraso de fase 
pode contribuir em algum lugar com uma fase de -5º a -12º na frequência da margem de fase;
3 – Selecionar um Compensador por Atraso de Fase cuja resposta em magnitude conduza a um diagrama de 
magnitude de Bode composto que cruze a linha de 0[dB] na frequência obtida na Etapa 2. 
Procedimento: 
- desenhar assíntota de altas frequências do compensador para fornecer 0[dB] para o sistema 
compensado na frequência encontrada na Etapa 2;
- se o ganho na frequência encontrada na Etapa 2 for de 20.log(KPM), então a assíntota de alta frequência 
do compensador será ajustada em
PMKlog20−
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Atraso de Fase 
- Permite melhorar o Erro de Regime Estacionário sem modificar consideravelmente as 
características de resposta transitória;
- Sua principal característica é que ele fornece uma atenuação nas altas frequências, o que permite 
fornecer uma margem de fase adequada ao sistema. 
Procedimento de Projeto
3 – ... - selecionar a frequência de corte superior uma década abaixo da frequência encontrada na Etapa 2;
- selecionar a assíntota de baixas frequências em 0[dB];
- conectar as assíntotas de altas e baixas frequências do compensador a uma reta de -20dB/década para 
posicionar a frequência de corte inferior;
4 – Restabelecer o ganho do sistema, K, para compensar alguma atenuação da estrutura de atraso de fase, 
mantendo a constante de erro de regime estacionário com o mesmo valor obtido na Etapa 1.
– Calculado o local do Zero, é possível determinar o local do Pólo (onde αααα = KPM):
– E também pode-se calcular o ganho do compensador para manter o erro de regime estacionário como 
desejado.
– A função de transferência do Compensador por Atraso de Fase fica:
T
1
=ω
Tα
1
( ) 1;
1
1
1
>





 +






+
= α
α
α
T
s
T
s
sGc
(Zero do Compensador)
(Pólo do Compensador)
α
1 (Ganho do Compensador)
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Atraso de Fase – Problema 11.06 (Nise, 5ª Ed., pág. 506)
Considere o sistema com realimentação unitária mostrado abaixo. Use os métodos de 
resposta em frequência para projetar um Compensador por Atraso de Fase que leva a 
um KV=1.000 e a uma resposta ao degrau com 15% de ultrapassagem percentual. Faça as 
aproximações de segunda ordem necessárias.
Onde:
Para Kv=1.000, K =1.473. Traçando os diagramas de Bode para este valor de K:
Uma ultrapassagem percentualde 15% é equivalente a 
ζζζζ=0,517 → φφφφM=53,17o. Usando, como segurança, uma fase 
extra de 10o, a Margem de Fase Desejada fica 63,17o. A 
freqüência que garante a margem de fase desejada vale 
1,21[rad/s]. Nesta freqüência, a magnitude vale 57,55[dB] �
αααα = 754,2. 
Portanto, o ganho do Compensador por Atraso de Fase vale 
1/αααα = 1/754,2 = 0,001326. 
Seguindo os passos 3 e 4 do procedimento de projeto do 
Compensador por Atraso de Fase dos slides anteriores:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 000.1)9(63
)11()10(
 1 e )9(63
)11)(10(
=
××
××
==
+++
++
=
KKsH
ssss
ssK
sG V
121,01 ==
T
ω 0001604,0121,0001326,0
1
=×=
Tα
0001604,0
121,0001326,0)(
+
+
=
s
s
sGatraso
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase 
- Este compensador permite um aumento da Banda Passante mantendo-se uma Margem de Fase adequada de 
modo que o sistema consegue manter o mesmo Percentual de Ultrapassagem, com Tempos de Pico e de 
Assentamento menores.
Procedimento de Projeto
1 – Determinar a banda passante para atender os requisitos de Tempo de Assentamento (TS) e de Tempo de 
Pico (TP):
2 – Calcular o valor do ganho, K, para que o sistema atenda os requisitos de erro de regime estacionário;
3 – Traçar o Diagrama de Bode de Módulo e de Fase para este ganho e determinar a Margem de Fase do 
sistema nesta situação;
4 – Determinar a Margem de Fase necessária para atender os requisitos de Ultrapassagem Percentual e 
acrescentar de 5o a 12o nesta margem de fase, necessária para compensar o fato de que o Compensador de 
Avanço de Fase desloca a frequência de cruzamento de ganho 0[dB] um pouco para a direita, diminuindo um 
pouco a margem de fase do sistema compensado;
5 – O fator de atenuação é dado pela expressão abaixo, onde φmax representa a máxima defasagem do 
compensador: 
( )
( ) 24421
1
244214
242
2
242
+−+−
−
=
+−+−=
ξξξξ
pi
ω
ξξξξω
p
BW
s
BW
T
T
max1
1 φβ
β
sen=
+
−
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase 
- Este compensador permite um aumento da Banda Passante mantendo-se uma Margem de Fase adequada de 
modo que o sistema consegue manter o mesmo Percentual de Ultrapassagem com Tempos de Pico e de 
Estabilização menores.
Procedimento de Projeto
6 – Calcula-se o valor máximo da magnitude do compensador, através de:
7 – O que permite calcular no diagrama de magnitude do sistema não compensado onde vai ser a nova 
frequência de Margem de Fase (ωmax ), que é a frequência onde o gráfico de magnitude seja igual ao negativo 
da magnitude do compensador calculado acima, para fornecer exatamente o ponto de 0[dB];
8 – Com o valor de ωmax pode-se calcular a posição do Zero e do Pólo do compensador, que valem:
9 – A Função de Transferência do compensador por Avanço de fase fica:
10 – Verificar a Banda Passante para se certificar de que o requisito de velocidade da Etapa 1 foi atendido;
11 – Realizar uma simulação para se certificar de que todos os requisitos foram atendidos;
12 – Se necessário, refazer o projeto para atender aos requisitos.
( ) βω
1
max =jGc
βω T
1
max =
( ) 10;
1
1
1
<<






+






+
= β
β
β
T
s
T
s
sGc
r)compensado do (Pólo 1 e r)compensado do (Zero 1
TT β
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase – Exemplo 11.3 (Nise, 5ª Ed., pág. 496)
- Para um sistema com com realimentação unitária e Função de Transferência de Malha Aberta como mostrada 
abaixo, projete um Compensador por Avanço de Fase para que a Ultrapassagem Percentual seja de 20%, a 
constante de erro de velocidade seja KV= 40 e o Tempo de Pico seja TP=0,1[s]. Utilize a técnica de resposta em 
frequência, 
- Para %U.P.=20% tem-se:
- Para TP=0,1[s] e ζ=0,456, tem-se
-Para KV= 40, tem-se: 
( ) ( )( )10036
100
++
=
sss
K
sG
456,0
2,0ln
2,0ln
22
=
+
−
=
pi
ξ
( )( )
440.1,40
600.3
100
40
10036
100lim
0
==
=
++
=
→
KK
sss
K
sK
s
v
( ) 24421
1
242
2
+−+−
−
= ξξξξ
pi
ω
p
BW
T
]/[6,46 sradBW =ω (Banda Passante do sistema compensado)
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase – Exemplo 11.3
- Diagrama de Bode
para:
- Cuja margem
de fase vale:
- Margem de
Fase do sistema
compensado é dada por:
- Precisa-se, então, de:
( ) ( )( )10036
000.144
++
=
sss
sG
000 34146180 =−
42
1
412
2
ξξ
ξφ
++−
=
−tgM
01,48=Mφ
0000 1,2410341,48 =+−
(Contribuição do compensador)
(Margem de Fase Banda Passante do sistema compensado)
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase – Exemplo 11.3
- Assim,
Portanto,
- Escolhe-se, então, no diagrama de Bode de Magnitude, o ponto onde o gráfico vale -3,77[dB] para determinar 
onde será a nova frequência de Margem de Fase.
42,0
4083,01,24
1
1
1
1
0
max
=
==
+
−
=
+
−
β
β
β
φβ
β
sen
sen
( )
( )
( )
][77,3 )543,1log(.20 : 
543,1
42,0
1
1
max
max
max
dBdBemou
jG
jG
jG
c
c
c
=
=
=
=
ω
ω
βω
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
( ) ( )( )( )2,6010036
)3,25(720.342
+++
+
=
ssss
s
sG
Portanto, G(s) fica:
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase – Exemplo 11.3 
-
( )
( )2,60
3,2538,2
2,601
3,251
42,0
139
1
]/[39
max
max
+
+
=
=
=
=
=
=
s
sG
T
T
T
T
srad
c
β
βω
ω
Função de Transferência do Compensador
( ) 10;
1
1
1
<<






+






+
= β
β
β
T
s
T
s
sGc
(Zero)
(Pólo)
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Conferir através de simulação:
Banda Passante necessária:
ωBW = 46,6 rad/s
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase – Exemplo 11.3 
Diagrama de 
Bode da 
F.T.M.F. 
para o 
sistema 
compensado 
Conclusão: 
Como a Banda Passante do 
sistema (68,8 rad/s) excede o 
requisito (ωBW=46,6rad/s), admite-
se que a especificação de tempo de 
pico seja atendida.
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Conferir através de simulação:
TP exigido: 0,1 [s]
%UP exigida: 20%
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Compensação Por Avanço de Fase – Exemplo 11.3 
Resposta ao 
degrau da 
F.T.M.F. 
para o 
sistema 
compensado 
Conclusão: 
Se o desempenho do sistema não for 
aceitável, torna-se necessário um novo 
projeto.
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte III - Exercícios 
Atividades para os Alunos:
Exemplos: 
11.1, 11.2 e 11.3
Exercícios de Avaliação:
11.1, 11.2 e 11.3