limites e derivadas aplicadas a saúde

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Disciplina: Bases matemáticas aplicadas à
saúde
Aula 9: Estudo de limites e derivadas
Apresentação
Nesta aula, você entrará em contato com o conteúdo conhecido na matemática como Introdução ao Cálculo Diferencial, que
está fundamentada em um conjunto de operações que envolvem limite, diferencial, derivada e integral.
Introduziremos o primeiro destes operadores: limite. O conceito de limite é utilizado para descrever o comportamento de
uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Além disso, o limite é importante para
estudarmos o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice da sequência cresce. Os limites
são fundamentais para de�nirmos as derivadas.
Posteriormente iniciaremos uma discussão sobre variação e taxas de variação de funções reais de variáveis reais, estudando
em seguida as ideias e técnicas para encontrar derivadas, que compõem a área do conhecimento conhecida como Cálculo
Diferencial. Aqui vamos desenvolver estratégias para recuperarmos informações sobre uma quantidade expressa por uma
função no caso de conhecermos a sua taxa de variação instantânea, ou seja, sua derivada. Estabelecemos também uma
relação importante entre o cálculo de derivadas e determinação de retas tangentes.
Objetivos
Distinguir os conceitos de função, limite, continuidade e diferenciabilidade de funções de uma variável real;
Desenvolver e aplicar técnicas de cálculo de limites e derivadas;
Examinar propriedades locais e globais de funções contínuas deriváveis.
De�nição de limite
No nosso dia a dia, usamos a palavra limite para indicar um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser
ultrapassado.
 Fonte: Por mantinov / Shutterstock.
Exemplo
Na área de toxicologia ocupacional existe o Limite de Tolerância (LT): concentração máxima que uma substância pode
alcançar no ambiente de trabalho sem que isso represente um dano à saúde do trabalhador.
Quando injetamos ar em um balão de borracha ininterruptamente, há um momento em que ele estoura, pois existe o limite
de elasticidade da borracha.
Ao construir um elevador, um engenheiro estabelece o limite de carga que pode ser carregado.
No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível necessário para que a
aeronave entre em órbita.
Atividade
1. Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço dos
aparelhos no mercado diminui. Suponha que daqui a x meses a partir de agora o preço de certo modelo seja de P x = 40 +
30
x + 1
unidades monetárias (u. m.).
a) Qual será o preço daqui a 5 meses?
b) Quanto cairá o preço durante o quinto mês?
c) Quando o preço será de $43 u.m.
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x → ∞)?
( )
2. Imagine que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de: P(t) = 20 -
6
t + 1 milhares.
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade?
b) Quanto a população crescerá durante o nono ano?
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população?
Conceito de limite
Para facilitar o entendimento, veremos dois exemplos de aplicações relacionadas aos limites. Vamos lá.
Aplicação 1
Inicialmente, tomaremos a função (x pertence ao conjunto de números reais) de�nida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de
f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2.
Atribuindo a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores menores que 2, é possível
determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir:
x f(x)
1 -1
1,5 -0,5
1,8 -0,2
1,9 -0,1
1,99 -0,01
1,999 -0,001
1,9999 -0,0001
1,99999 -0,00001
1,999999 -0,000001
Perceba que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), ou seja
lim
x → 2 -
f(x) → 0
Por outro lado, atribuindo-se a x uma sequência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos maiores que 2, é
possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte quadro:
x f(x)
3 1
2,5 0,5
2,3 0,3
2,1 0,1
2,01 0,01
2,001 0,001
2,0001 0,0001
2,00001 0,00001
2,000001 0,000001
Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se de 2 (dois), ou seja
lim
x → 2 +
f(x) → 0
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:
lim
x → 2 -
f(x) = 
lim
x → 2 +
f(x) = 
lim
x → 2 f(x) = 0
Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0.
Aplicação 2
Para nosso segundo exemplo, tomemos a função f(x) =
x2 - 9
x - 3 . Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se
aproxima f(x) quando x se aproxima de 3. Faremos uma tabela atribuindo a x valores menores que 3.
x f(x)
2,5 5,5
2,8 5,8
2,9 5,9
2,99 5,99
2,999 5,999
2,9999 5,9999
... ...
Note que, quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos aproximamos de x por valores
menores do que 3.
Matematicamente, representamos esta situação por:
lim
x → 3 -
f x = 6( )
O limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis).
Tomemos agora valores próximos a três, mas maiores que 3.
x f(x)
3,4 6,4
3,2 6,2
3,1 6,1
3,01 6,01
3,001 6,001
3,0001 6,0001
... ...
Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6.
Matematicamente, representamos esta situação por 
lim
x → 3 +
f x = 6
O limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis).
Estes limites são chamados limites laterais.
( )
O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.
Simbolicamente:
lim
x → a
f x = L ↔
lim
x → a -
f x =
lim
x → a +
f x = L( ) ( ) ( )
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que:
lim
x → 3 f x = 6( )
lim
x → 3 -
f x = 6( )
Pois

lim
x → 3 +
f x = 6( )
Atenção
Limites laterais são obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x), quando x tende a 3 pela esquerda) e
quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende a 3 pela direita).
 Fonte: Por Peter Gudella / Shutterstock.
Atividade
3. Assista ao vídeo Introdução a Limite <https://www.comofaz.com.br/video/introducao-a-limite > e depois faça o a atividade.
Analise a função y, de�nida por, y = f x =
x2 - 1
x - 1 , quando x tende para 1.( )
Limite de uma função
https://www.comofaz.com.br/video/introducao-a-limite
A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático
francês Cauchy (1789-1857). Dizemos que a função f(x) tem
como limite o número L quando x tende para o número p. Ela é
descrita da seguinte forma:
lim
x → p f x = L
Os valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita
ou pela esquerda. Estudaremos estes casos precisamente em
limites laterais.
( )
 Augustin-Louis Cauchy. (Paris, 21 de agosto de 1789 — Paris, 23 de maio de 1857) |
Fonte: https://pt.wikipedia.org/ <https://pt.wikipedia.org/wiki/Augustin-
Louis_Cauchy >
Veja a aplicação a seguir:
Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela direita (valores superiores a 2) ou
pela esquerda (valores inferiores a 2).
Seja a função f(x) = 2x+1, calcule utilizando a ideia intuitiva de limite: limx→2(2x+1)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy
Esquerda (2-)
x 2x + 1
1 2 . 1 + 1 = 3
1,5 2 . 1,5 + 1 = 4
1,7 2 . 1,7 + 1 = 4,4
1,8 2 . 1,8 + 1 = 4,6
1,9 2 . 1,9 + 1 = 4,8
1,95 2 . 1,9 5 + 1 = 4,9
1,99 2 . 1,99 + 1 = 4,98
... ...
 
2 5
Direita (2+)
x 2x + 1
3 2 . 3 + 1 = 7
2,5 2 . 2,5 + 1 = 6
2,1 2 . 2,1 + 1 = 5,2
2,01 2 . 2,01 + 1 = 5,02
2,001 2 . 2,001 + 1 = 5,002
2,0001 2 . 2,0001 + 1 = 5,0002
2,00001 2 . 2,00001 + 1 = 5,00002
... ...
 
2 5
Assim, substituindo estes valores, observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x) se aproxima de 5.
Como o Domínio de f(x) = 2x + 1 são todos os Reais, temos 
lim
x → 2 2x + 1 = 2 · 2 + 1 = 5( )Atividade
4. Resolva o limite da função:
lim
x → 1 x
2 - 4 =( )
Propriedades operatórias dos limites
A seguir veremos quais são as propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a pesquisa do número
L, que aparece na de�nição de limite.
Clique nos botões para ver as informações.
Se
,entao L = L (Teorema da Unicidade do limite).
Propriedade 1 
lim
x → a f x = L1 e 
lim
x → a f x = L2( ) ( )
1 2
Sejam a e c números reais quaisquer, então 
lim
x → a c = c, isto é, o limite de uma constante é a própria constante.
Propriedade 2 
Se a, b, m são números reais, então:
Exemplo:
Propriedade 3 
lim
x → a mx + b = ma + b( )
lim
x → 4 3x + 5 = 3 · 4 - 5 = 7( )
Propriedade 4 
Se limx → af(x) = L e limx → ag(x) = M, então:
a) limx → a[f(x) ± g(x)] = L + M
b) limx → a[f(x). g(x)] = L. M
c) limx → a
f ( x )
g ( x ) = 
L
M , desde que M ≠ 0
d) limx → a[f(x)]n = Ln, para todo n inteiro positivo
e) limx → a
n
√f(x) = 
n
√L, desde que L > 0 para n par
f) limx → a ln[f(x)] = lnL, desde que L > 0
g) lim x → a e f ( x )   =   e L
Exemplo: Determine o seguinte limite:
limx → 2 x2 - 3x + 1 = limx → 2x2 - limx → 23x + limx → 21 = 22 - 3 · 2 + 1 = - 1 
Vemos neste exemplo que o valor de limx → af(x) = f(a)
Isto ocorre para todos os polinômios.
( )
Então, temos:
Teorema I
Se f é uma função polinomial, então:
limx → af(x) = f(a)
Exemplos:
1) limx → 2 x2 - 5x + 1 = 22 - 5 · 2 + 1 = - 5 ( )
Teorema II
Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:
limx → aq(x) = q(a)
Atividade
5. Calcule limx → 3
5x2 - 2x + 1 
6x - 7 
Derivadas
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, que está presente no
cotidiano das pessoas, por exemplo:

Taxa de redução da mortalidade infantil.

Taxa de variação de temperaturas.

Taxa de crescimento econômico do país.

Taxa de crescimento de uma certa população.
Poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária
em um determinado momento [Bornatto].
Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a de�nição matemática da derivada de uma função em um ponto.
Exemplo
Se uma função f é de�nida em um intervalo aberto contendo x , a derivada de f em x , denotada por f ’(x ), é dada por:
f ' x0 = limx → x0
f ( x ) - f x0
Δx
Se este limite existir, Δx representa uma pequena variação em x, próximo de x , ou seja, tomando x = x + ∆x (∆x = x – x ), a
derivada de f em x pode também ser expressa por
f ' x0 = limx → x0
f ( x ) - f x0
x - x0
Notações para a derivada de uma função f(x):
f ' x0 , 
df
dx x = x0
, 
df
dx
0 0 0
( ) ( )
0 0 0
0
( ) ( )
( ) |
Interpretação física
A derivada de uma função f em um ponto x fornece taxa de variação instantânea de f em x [Friedli, S, 2013].
Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x até um valor x , representaremos esta variação
como x, que também é chamada de incremento de x, por Δx = x - x , e a variação de y é dada por Δy = f(x )- f (x ), o que é
ilustrado na �gura a seguir:
0 0
0 1
1 0 1 0
 Interpretação física da derivada. | Fonte: Friedli, 2013.
O quociente das diferenças, dado por 
Δy
Δx = 
f x1 - f x0
x1 - x0
, é dito taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x , x ]. O
limite destas taxas médias de variação, quando Δx → 0, é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x =
x . Assim, temos a taxa de variação instantânea.
( ) ( )
0 1
0
limx → x0
f x1 - f x0
x1 - x0
 = limΔx → 0
f x0 + Δx - f x0
Δx 
Porém, limΔx → 0
f x0 + Δx - f x0
Δx = f' x0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua
derivada neste ponto.
Veja os dois exemplos a seguir:
Clique nos botões para ver as informações.
Para calcular a derivada de y = f (x) = x , escrevemos primeiro a taxa média de variação de f em um ponto x ;
Agora, devemos calcular o “limite” dessa expressão quando Δx �ca bem pequeno. Esse é um “ponto delicado” do cálculo,
pois já sabemos que não podemos fazer Δx = 0 na expressão.
Fazendo 𝛥𝑥 → 0 na expressão acima, obtemos a derivada f`(x):
Cálculo da derivada de y = f (x) = x2 
2
Δy
Δx =
f ( x + Δx ) - f ( x )
Δx = 
( x + Δx ) 2 - x2
Δx = 
x2 + 2xΔx + ( Δx ) 2 - x2
Δx
Δy
Δx =
Δx ( 2x + Δx )
Δx = 2x + Δx
f ` (x) 
df
dx = limΔx → 0
f ( x + Δx ) - f ( x )
Δx = limΔx → 0(2x + Δx) = 2x
Vamos calcular a derivada da função y = f (x) = x , para qualquer valor de n inteiro e positivo. Como no exemplo anterior,
escrevemos:
A solução, não cabe ser deduzida aqui, será f’(x) = x
A derivada de y = f (x) = x , para qualquer valor de n inteiro e positivon 
n
Δy
Δx =
f ( x + Δx ) - f ( x )
Δx = 
( x + Δx ) n - xn
Δx
n-1
Regras de Derivação
Uma função é diferenciável em a se 𝑓′(𝑎) existir. O que torna válido dizer que 𝑓 é diferenciável no intervalo aberto (a, b), se for
diferenciável em cada valor desse intervalo. Para estudarmos as regras de derivação, vamos considerar que a derivada de uma
função 𝑓, em x, é representada por 𝑓′ ou 
df
dx
Veja as regras a seguir:
Derivada de uma constante
A função constante 𝑓(𝑥) = c, possui o grá�co
como sendo uma reta paralela ao eixo x, com y =
c. Sendo assim, a taxa de variação é zero. De
onde concluímos que:
Se f(x) = c , f’(x) = 0
Derivada de uma potência
Sendo 𝑛 um número inteiro positivo e 𝑓(𝑥) = x ,
temos que:
𝑓′(𝑥) = 𝑛 . 𝑥
De onde podemos concluir que a derivada da
função 𝑥 é igual a 1, pois:
𝑓′(𝑥) = 1 . 𝑥 (x = 1)
𝑓′(𝑥) = 1
Leia mais. 
n
𝑛−1
1−1 0
1
Derivada de um produto entre duas funções
Sejam f e g duas funções diferenciáveis, a
derivada do produto f . g será expressa da
seguinte forma:
d
dx [ f(x). g(x)] = f
'(x). g(x) + f(x). g' x( )
Derivada de um quociente entre duas funções
Sejam f e g duas funções diferenciáveis e g(x) ≠
0, a derivada do quociente será expressa por:
d
dx
f ( x )
g ( x ) = 
f' ( x ) . g ( x ) - f ( x ) . g' x
[ g ( x ) ] 2[ ] ( )
Interpretação geométrica da derivada
A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coe�ciente angular (inclinação) da reta tangente ao grá�co de f no ponto (a,
f(a)).
http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0048/aula9.html
Dada uma curva plana que representa o grá�co de f, se
conhecermos um ponto P(a, f(a)), então a equação da reta
tangente r à curva em P é dada por y - f(a) = m (x - a), onde m é
o coe�ciente angular da reta. Portanto, basta que conheçamos
o coe�ciente angular m da reta e um de seus pontos, para
conhecermos a sua equação (Friedli, 2013).
A equação da reta tangente ao ponto P que tem um par de
coordenadas (x , y ) é a seguinte:
y – y = f’(x ).(x – x )
0 0
0 0 0
 Interpretação geométrica da derivada. | Fonte: Friedli, 2013.
Exemplo
Se f(x) = x , para determinar a equação da reta tangente ao grá�co de f, no ponto P(2,4), é preciso fazer o seguinte:
Na equação da reta tangente y – y = f’(x ) . (x – x ), temos que x = 2 e y = 4, substituindo, temos:
y – 4 = f’(x ) . (x – 2) 
Mas, f(x) = x 
f’(x) = 2x e f’(x = 2) = 2 . 2 = 4
Finalmente: 
y – 4 = 4 . (x – 2)
Transformando a equação acima no formato: y = ax + b , teremos:
y – 4 = 4x – 8
y = 4x - 4
Essa é a equação da reta tangente à curva f(x) = x , no ponto P(2,4).
2
0 0 0 0 0
0
2
0
2
Atividade
6. Calcule limx → 5√3x2 - 4x + 9
7. Resolva os limites a seguir.
a) limx → 2 4x3 - 8 = 
b) limx → 1
x3 + x2 + 1 
x + 1
c) limx → 1
√x3 + 2x
x + 2
x + 4
( )
( )
8. Lembra que (x – a ) = (x + a). (x - a)? Resolva os limites indeterminados do tipo 0/0 a seguir.
a) limx → 2
x2 - 4
x - 2
b) limx → 5
6x - 30
x2 - 25
2 2
9. Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por p(t) = t2- 6t, onde p(t) é medida em
metros e t em segundos.
a) Determine a velocidade em um instante t = a qualquer.
b) Determine a velocidade da partículaem t = 0 e t = 4.
c) Em que instante a velocidade é nula?
Notas
Derivada de uma potência 1
Quando f(x) for igual ao produto de uma função por uma constante:
f(x) = c . x → f’(x) = c.nx
f(x) = c . g(x) → f’(x) = c.g’(x)
n n-1
Referências
Friedli, S. Apostila de Cálculo 1. Disponível em: https://pt.scribd.com/doc/201913579/Www-mat-Ufmg-br-Sacha-Textos-Calculo-
Apostila-2013-02-16 <https://pt.scribd.com/doc/201913579/Www-mat-Ufmg-br-Sacha-Textos-Calculo-Apostila-2013-02-16> .
Acesso em: 19 fev. 2019.
Bornatto G. Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I. Disponível em: https://pt.scribd.com/document/102691003/Apostila-
Calculo-1-1-1 <https://pt.scribd.com/document/102691003/Apostila-Calculo-1-1-1> . Acesso em: 19 fev. 2019.
Próxima aula
https://pt.scribd.com/doc/201913579/Www-mat-Ufmg-br-Sacha-Textos-Calculo-Apostila-2013-02-16
https://pt.scribd.com/document/102691003/Apostila-Calculo-1-1-1
Integrais;
Aplicações das integrais e derivadas.
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Cálculo da derivada de polinômios; <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial-
functions-differentiation-calc/v/differentiating-polynomials-example > .
Regras básicas de derivação. <https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial-
functions-differentiation-calc/v/derivative-properties-and-polynomial-derivatives > .
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial-functions-differentiation-calc/v/differentiating-polynomials-example
https://pt.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/polynomial-functions-differentiation-calc/v/derivative-properties-and-polynomial-derivatives