Tema 03 - TEXTO LIMITES DE FUNÇÕES RACIONAIS (1)

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CURSOS: ENGENHARIA CIVÍL; ENHENHARIA DA COMPUTAÇÃO; ENHENHARIA ELÉTRICA; 
ENHENHARIA DE PRODUÇÃO.
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
TEMA 03: LIMITES DE FUNÇÕES RACIONAIS
Objetivo: Reconhecer e usar artifícios algébricos para solução de limites de função; reconhecer e usar certas áreas da matemática, como geometria e trigonometria, para solução de limites de função.
Limites de Funções Racionais
Uma Função Racional é aquela composta pelo quociente entre dois polinômios, isto é, se f(x) é uma função racional, então f(x) pode ser expresso por:
Considere 
No tema anterior vimos a ideia de limite quando x tende a mais infinito ou a menos infinito. Agora, observe a seguinte função:
Sabemos que o domínio da função é dado por: , no entanto, é possível avaliar valores próximos a 2. Na tabela abaixo podemos observar esta avaliação.
	Limite pela Esquerda
	
	Limite pela Direita
	x
	f(x)
	
	x
	f(x)
	1
	3
	
	3
	5
	1,5
	3,5
	
	2,5
	4,5
	1,9
	3,9
	
	2,1
	4,1
	1,99
	3,99
	
	2,01
	4,01
	1,999
	3,999
	
	2,001
	4,001
	1,9999
	3,9999
	
	2,0001
	4,0001
	1,99999
	3,99999
	
	2,00001
	4,00001
	
	
	
	
	
	
	
	
Logo, . Note que mesmo não existindo , existe limite da função no ponto .
No entanto, para determinar este limite não é necessário realizar todos estes cálculos, basta simplificar a função . Veja a proposta de solução abaixo:
.
.
Logo, .
Sempre que for uma função racional e , dizemos que o limite está indeterminado, no caso .
Considerando que e são polinômios e que existe , tal que e . Então, e são passíveis de simplificação.
A fatoração é uma ferramenta algébrica, para efetuar a simplificação. Fatorar um polinômio significa transformá-lo em um produto. Os casos de fatoração mais comuns são:
· Fator comum;
· Agrupamento;
· Diferença de dois quadrados;
· Trinômio quadrado perfeito.
Exemplo:
Para enfatizar a aplicação do processo de fatoração na determinação de limites.
Fator Comum
Agrupamento
Diferença entre dois quadrados
	
Trinômio quadrado perfeito
Fator Comum quadrados
Um algoritmo interessante e prático que pode auxiliar processo de simplificação é o Algoritmo de Briot-Ruffini. Veja o seguinte caso:
O algoritmo de Briot-Ruffini busca determinar tal que 
Para usarmos o algoritmo precisamos analisar separadamente numerador e denominador. 
Análise do Numerador: .
1º) Devemos verificar se é um polinômio completo ou não (se não for, completar com zeros).
 é um polinômio completo.
2º) Montar a tabela (conforme exemplo abaixo);
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	+1
	-3
	+5
	-3
	+1
	
	
	
	
3º) Abaixamos o valor da tendência de x;
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	1
	-3
	5
	-3
	1
	1
	
	
	
4º) Devemos multiplicar o valor da tendência de x pelo coeficiente repetido e somamos o produto com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste;
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	1
	-3
	5
	-3
	1
	1
	-2
	
	
5º) Repetir este processo até o ultimo coeficiente;
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	1
	-3
	5
	-3
	1
	1
	-2
	3
	
Resto da Divisão
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	1
	-3
	+5
	-3
	1
	1
	-2
	3
	0
6º) Os valores encontrados serão os novos coeficientes do polinômio e neste processo o grau do polinômio diminui em uma unidade. Logo, .
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	1
	-3
	5
	-3
	1
	1
	-2
	3
	0
Análise do Denominados: .
Repetir o processo exposto para o denominador.
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	+4
	0
	-4
	+1
	4
	
	
	Tendência de x
	Coeficientes do dividendo
	
	+4
	0
	-4
	+1
	4
	
	
	+1
	4
	4
	
	+1
	4
	4
	0
E neste caso, 
Com isso podemos desenvolver o limite da seguinte maneira:
Note que e é exatamente isso que está sendo cancelado.
Bibliografia:
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A - Funções, limite, derivação e integração. 6. ed. Pearson, 2006.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2010.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2010.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar –Complexos, Polinômios, Equações. 6. ed. Atual, 2005. v.6.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – Limites, Derivadas e Noções de Integral. 6. ed. Atual, 2005. v.8.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. v.1.
MUNEM, M. FOULIS D. Cálculos. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. Vol.1
	2
	Cálculo I

x
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
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