01 - Limite

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Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará – UNIFESSPA 
Minicurso de Calculo 
Professor: Jailson C. Paz 
Assunto: Noções de Limite 
 
1 Fatoração: 
1.1 Fator comum: 
 
1.2 Diferença de dois quadrados: 
 
1.3 Trinômio quadrado perfeito – Soma: 
 
1.4 Trinômio quadrado perfeito – Diferença: 
 
1.5 Cubo perfeito – Soma: 
 
1.6 Cubo perfeito – Diferença: 
 
1.7 Soma de dois cubos: 
 
1.8 Diferença de dois cubos: 
 
 
2 Identidades trigonométricas 
1. 
2. 
3. 
4. 
 
 
 
5. 
 
 
 
6. 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
 
 
10. 
11. 
 2 ² 
12. 
13. 
14. 
15. 
 
 
 
16. 
17. 
18. 
 
 
 
19. 
 
 
 
 
 
 
20. 
 
 
 
 
 
 
21. 
 
 
 
 
 
 
22. 
 
 
 
 
 
 
23. 
 
 
 
 
3 Limite 
 Considere a função . Esta função está 
definida para todo , isto é, qualquer que seja o número 
real x, o valor de f(x) esta bem definido. 
Exemplo: se então . 
Dizemos que a imagem de é o valor . 
 
 Considere agora uma outra função 
 
 
. 
Esta função está definida para todo . Isto 
significa que não podemos estabelecer uma imagem quando 
x assume o valor 1. 
 Como a variável x não pode assumir o valor de 1 na 
função g, vamos estudar o comportamento desta função 
quando x está muito próximo de 1, em outra palavras, 
queremos responder a seguinte pergunta: 
Qual o comportamento da função g quando x assume valores 
muito próximos (ou numa vizinhança) de 1, porém 
diferentes de 1? 
A princípio o estudo do limite visa estabelecer o 
comportamento de uma função numa vizinhança de um 
ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso 
da função f, qualquer valor atribuído a x determina imagem 
única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto 
x = 1 que gera uma indeterminação. 
Estudemos os valores da função 
 
 
 
quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. 
Para isto vamos utilizar as tabelas de aproximações. 
Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1: 
- por valores de x pela direita: 
- por valores de x pela esquerda: 
Tabelas de aproximações: 
- valores de x pela esquerda de 1 
x 0 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 
g(x) 1 1,5 1,75 1,9 1,99 1,999 1,9999 
- valores de x pela direita de 1: 
x 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 
g(x) 3 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,0001 
 
“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 
1 é igual a 2”. 
Simbolicamente escrevemos: 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
Observação: Os dois tipos de aproximações que vemos nas 
tabelas anteriores são chamados de limites laterais. 
* Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (tabela 
1), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos 
simbolicamente por . Temos então que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
* Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (tabela 
2), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos 
simbolicamente por . Temos então que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Definição intuitiva de limite (para um caso geral) 
 Seja f uma função definida num intervalo 
contendo a, exceto possivelmente no próprio a, Dizemos 
que o limite de f(x) quando x se aproxima de a é , e 
escrevemos 
 
 
 
se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de 
a são iguais à L, isto é, 
 
 
 
 
 
Caso contrário, dizemos que o limite não existe, em 
símbolo: 
 
 
 
Ainda com relação à função 
 
 
 , podemos então 
concluir, pela definição, que: 
 
 
 
 
 
 
Porque os limites laterais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
são iguais a 2. Dessa forma equivale: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Limite de uma função polinomial (Teorema) 
 O limite de uma função polinomial 
 
 
 
 
 
 
para x tendendo para a, é igual ao valor numérico de f(x) 
para x = a. 
3.3 Propriedades do limite 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 01: Calcule os seguintes limites, especificando 
em cada passagem a propriedade ou teorema utilizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 01: Calcule os seguintes limites, especificando em 
cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 02: Calcular o limite abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 02: Calcule os limites? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 03: Calcule 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 03: Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 04: Calcular 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04: Calcular os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 05: Calcular o limite abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 05 (nível 1): Calcular os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 05 (nível 02): Calcular os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 06: Calcule o limite abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 07: Calcule 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 07: Calcular os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 08: CalculeQuestão 08: Calcule os limites: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Limites trigonométricos 
- Teoremas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Limite trigonométrico fundamental: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 09: Encontre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 09: Encontre os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 10: Encontre: 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10: Encontre os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5 Limites da função exponencial 
- Teorema 01 
Se e , então 
 
 
 
- Teorema 02 
Se e , então 
 
 
 
- Teorema 03 
Se e , então 
 
 
 
 
 
- Teorema 04 
Se e , então 
 
 
 
 
 
- Teorema 05 
Se e 
 
 
 
então; 
 
 
 
- Teorema 06 
Se e 
 
 
 
então; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: Complete: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 11: Encontre os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 Limites da função logarítmica 
- Teorema 01 
Se e , então 
 
 
 
- Teorema 02 
Se e , então 
 
 
 
- Teorema 03 
Se e , então 
 
 
 
 
 
- Teorema 04 
Se e , então 
 
 
 
 
 
- Teorema 05 
Se , e 
 
 
 
 
 
- Teorema 06 
Se , e 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12: Complete: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 12: Encontre os limites abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.7 Limite exponencial fundamental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 13: Calcular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 13 (nível 01): Calcular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o professor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 13 (nível 02): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Continuidade 
- Definição 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I 
e a um elemento de I. Dizemos que f é contínua em a, se 
 
 
 
Notemos que para falarmos em continuidade de uma 
função em um ponto é necessário que este ponto pertença ao 
domínio da função. 
Da definição decorre que se f é contínua em a então as três 
condições deverão estar satisfeitas: 
1 – existe f(a) 
 
 
 
 
 
 
 
- Definição 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I 
e a um elemento de I. Dizemos que f é descontínua em a se f 
não for contínua em a. 
Observamos também que para falarmos em 
descontinuidade de uma função em um ponto é necessário 
que este ponto pertença ao domínio da função. 
Da definição decorre que, se f é descontínua em a 
então as duas condições abaixo deverão estar satisfeitas: 
1 – existe f(a) 
 
 
 
 
 
 
- Definição 
 Dizemos que uma função f é contínua em um 
intervalo aberto se f for contínua em todos os pontos desse 
intervalo. 
 
- Definição 
 Seja a um ponto do domínio da função f. Dizemos 
que f é contínua à direita de a se 
 
 
 
e dizemos que f é contínua à esquerda de a se 
 
 
 
 
- Definição 
 Dizemos que uma função f é contínua em um 
intervalo fechado se f for contínua no intervalo aberto 
 e se também for contínua em a, à esquerda, e em b, à 
direita. 
Exemplos: 
a) A função definida em R é continua em 1, 
pois 
 
 
 
 
 
 
 Notemos que f é contínua em R, pois para todo 
 , temos 
 
 
 
 
 
 
b) A função 
 
 
 definida em R é 
descontínua em 1, pois 
 
 
 
 
 
 
 Observamos que f é contínua em pois para 
todo , temos: 
 
 
 
 
 
 
c) Observe o gráfico abaixo: 
 
A função 
 
 
 definida em R é 
descontínua em 1, pois 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
portanto, não existe limite para f(x) quando . 
 Observamos que f é contínua em pois para 
todo , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Na função 
 
 
 definida em não 
podemos afirmar que f é descontínua em , pois 
não pertence ao domínio da função. 
 
 Notes que f é contínua em pois, para todo 
 , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14: Verifique se a f é contínua no ponto especifico. 
a) 
 
 no ponto x = 2 
b) 
 
 
 
 
 no ponto x = - 2 
c) 
 
 
 
 no ponto x = 4 
d) 
 
 
 
 
 no ponto x = 0 
 
Questão 14: Verifique se a f é contínua no ponto especifico. 
a) 
 
 
 no ponto x = 0 
b) 
 
 
 
 
 no ponto x = 1 
c) 
 
 
 
 
 no ponto x = - 1 
d) 
 
 
 
 no ponto x = 1 
e) 
 
 
 
 
 no ponto x = 0 
f) 
 
 
 
 
 no ponto x = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas 
 
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz.Um Curso de Cálculo – vol. 
1. Rio de Janeiro: LTC, 1985 – 2008. 
 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson 
José. Fundamentos de Matemática Elementar – vol. 8. São 
Paulo: Atual, 1977-1985. 
 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica – 
vol. 1 – 3ª ed. São Paulo: HARBRA ltda, 1994. 
 
SERAFIM, Álvaro Fernandes. Cálculo Diferencial e 
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(Cursos de Engenharia), 2007. Disponível em:< 
http://www.profwendel.com.br/download/160/calculo-
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fev. de 2014. 
 
STEWART, James. Cálculo, volume 1/ 5 ed. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2006.