matrizes- introdução docx

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA 
 
Curso: Integrado de Refrigeração e Condicionamento de Ar e Telecomunicações 
Disciplina: Matemática 
Professora: Maria Lúcia Cidade de Souza 
Aluno(a): 
Matrizes 
1. Definição de Matriz: Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1. 
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de mxn elementos (números, polinômios, funções 
etc.) dispostos em m linhas e n colunas. 
A= 














mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
::::::
...
...
 
2. Representação Genérica de uma Matriz 
A =  
mxnij
a , com 1 mi  , nj 1 e ji,  
Exercícios: Escreva a matriz: 
1) M = (aij)2x2 , sabendo que aij= i +2j 
 
 
 
2) N = (aij)3x2 , sabendo que aij= i2 + j2 
 
 
 
3) M = (aij)2x3, sabendo que aij= 2i2 – j2 +1 
 
 
3. Matrizes Especiais 
 Matriz-linha: é a matriz formada por uma única linha : A=  naaaa 1131211 ... 
 Matriz-coluna: é a matriz formada por uma única coluna: A= 
















1
31
21
11
:
ma
a
a
a
 
 Matriz Nula: é a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. 
 Matriz Quadrada: é a matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas (m=n). 
Diz-se que a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n. 
Observação: 
Elementos da diagonal principal: são elementos da matriz quadrada onde i = j 
Elementos da diagonal secundária: são elementos da matriz quadrada onde i+j = n+1 
 
 Matriz identidade: é a matriz quadrada em que: 







jisea
jisea
a
ij
ij
ij
,0
,1
 
 Matriz diagonal: é a matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo 
da diagonal principal são nulos. 
 Matriz Transposta (At): é a matriz que se obtém transformando ordenadamente cada linha da 
matriz A em coluna. 
 
4. Igualdade de Matrizes: Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e 
seus elementos correspondentes são iguais. 
Dadas as matrizes A =  
mxnij
a e B =  
mxnij
b , temos simbolicamente: 
A = B ijij ba  , com mi 1 e nj 1 
Exercício: 
1) Calcule x, y, sabendo que: ( 
3𝑥
𝑥 + 𝑦
)=(
12
21
) 
 
2) Calcular x,y,z, sabendo que: (
𝑥2 − 1
𝑦2
𝑧2 + 1
)=(
3
9
26
) 
 
 
3) Determinar x,y,z, sabendo que: (
𝑥 + 𝑦
𝑥 − 𝑦
𝑧
)=(
9
−1
10
) 
 
 
5. Adição de Matrizes: Dadas as matrizes A =  
mxnij
a e B =  
mxnij
b , a soma A+B é a matriz C = 
 
mxnij
c tal que ijijij bac  , com mi 1 e nj 1 
Propriedades 
a. A + (B+C)= (A+B)+C 
b. A+O= O+A=A 
c. –A+A=A-A=O 
d. A+B=B+A 
6. Subtração de Matrizes: Dadas as matrizes A =  
mxnij
a e B =  
mxnij
b , A-B é a matriz C = 
 
mxnij
c tal que ijijij bac  , com mi 1 e nj 1 
 
7. Multiplicação de um número real por uma Matriz: Se A é uma matriz mxn, de elementos ija
, e  é um número real, então A é uma matriz mxn cujos elementos são . ija . 
Exercícios 
1) (PUC–SP) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij 
= 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C. 
 
 
 
 
2) Determine a matriz C, resultado da soma das matrizes A e B. 
 
3) Determine a matriz resultante da subtração das seguintes matrizes: 
 
4) Dada as matrizes A = , B = , C = calcule: 
 
3A + 2B – 5C 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1) Escreva as matrizes A,B, C e D, definidas assim: 
a) A =  
23xij
a tal que jiaij 32  
b) B=  
22xij
b tal que 






jiseji
jiseji
bij
,
,
 
c) C=  
32xij
c tal que jicij  
d) D=  
3ij
d tal que 









jise
jise
jise
dij
,1
,2
,0
 
Os próximos três exercícios devem ser resolvidos usando as matrizes do exercício 1 
 
2.Calcule, se existir: 
a.At + C b. D-I3 c. 3C d. B
2
1
 
3.Calcule x,y e z para que esta igualdade seja verdadeira: 
 














 
510
2
5
3
2
3 2 yx
z
yx
 
 
4.Seja A =  
33xij
a a matriz assim definida: 






jiseji
jiseji
aij
,2
,2
 
Determine a matriz X, tal que X = A + At 
 
Referência Bibliográfica: 
BEZERRA, M.J. Matemática para o Ensino Médio.Volume único. São Paulo: Ed. Scipione,2001. 
DANTE,L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. Volume único. Ensino Médio. São Paulo: 
Editora Ática,2002. 
STEINBRUCH,A.;WINTERLE,P. Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. 
http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-adicao-subtracao-
matrizes.htm 
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplicacao-um-numero-real-por-uma-
matriz.htm 
 
http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-adicao-subtracao-matrizes.htm
http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-adicao-subtracao-matrizes.htm