Apontamentos de Matrizes - 2021

Prévia do material em texto

Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
 
EXTENSÃO NIASSA 
Campus Universitário de Chiuaula, Telefax: 27121520, Caixa Postal n.o 4; - Lichinga 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS TECNOLOGIAS, ENGENHARIAS E MATEMÁTICA 
Curso de Licenciatura em Ensino de MATEMÁTICA 
 
 
 ”Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento 
dar condições nas quais eles possam aprender”. 
(Albert Einstein) 
1. Matrizes 
Nossa habilidade de analisar e resolver equações ficará grandemente ampliada quando soubermos 
realizar álgebras com as matrizes. Mais, ainda as definições e os teoremas nos levam a perceber as 
aplicações interessantes da álgebra matricial, em económica e em computação gráfica. 
 
 Dá-se o nome de matriz a um quadro em que os seus elementos estão dispostos por linha e 
colunas. Por regra, denotam-se matrizes por letras maiúsculas e os elementos duma matriz por 
letras minúsculas acompanhadas de dois índices. O primeiro índice indica a linha em que o 
elemento se encontra e o segundo indica a coluna do elemento. Assim, o elemento aij é o elemento 
da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]. 
 
Diz-se uma matriz do tipo m×n (que se lê “matriz do tipo m por n”) se for um quadro com 𝑚𝑥𝑛 
elementos dispostos em "𝑚” linhas e "𝑛" colunas. Escreve-se A(m×n) ou [𝑎𝑖𝑗]𝑚×𝑛 e representa-se 
por: 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 …
𝑎21 𝑎22 …
⋮
𝑎𝑚1
⋮
𝑎𝑚2
…
 
𝑎1,𝑛−1 𝑎1𝑛
𝑎2,𝑛−1 𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑚,𝑛−1
⋮
𝑎𝑚𝑛
] = [𝑎𝑖𝑗], {
𝑎𝑖𝑗  𝐾
𝑖 = 1,… ,𝑚
𝑗 = 1,… , 𝑛
 
 
Nestas notações, o primeiro índice (i) do elemento genérico 𝑎𝑖𝑗 indica a linha e o segundo (j) a 
coluna em que se encontra o elemento de K. Por exemplo, a23 é o elemento da matriz que se 
encontra na linha 2 e na coluna 3. 
 
A matriz denotada acima mostra que, em geral, é costume designar-se uma matriz por uma letra 
maiúscula (quando não houver necessidade de especificar os seus elementos) e os elementos pela 
correspondente letra minúscula afectada pelos índices convenientes. 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
Nota 1: A, em particular, pode ser o conjunto dos números reais, R. Neste caso, as matrizes dizem-
se reais. Designa-se por Mm×n (K) o conjunto de todas as matrizes do tipo 𝑚 × 𝑛 (e lê-se ”éme-por-
éne”) sobre o corpo K. 
As matrizes do conjunto M(m×n)(K) podem ser classificadas quanto à forma em matrizes 
rectangulares ou matrizes quadradas. Relativamente às matrizes rectangulares destacam-se alguns 
tipos como ilustrado na Tab. 1. 
 
Matrizes Rectangulares (𝑚 ≠ 𝑛) 
Designação Forma Geral 
Matriz Linha (m = 1) [ 𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛 ] 
 
Matriz Coluna (n = 1) 
[
𝑎11
𝑎12
⋮
𝑎𝑚1
] ou { 𝑎11, 𝑎12, …, 𝑎𝑚1 } 
Tabela 1: Principais tipos de Matrizes Rectangulares 
 
 
Relativamente às matrizes quadradas, estas constituem um importante caso particular que se 
caracteriza pelo número de linhas (m) ser igual ao número de colunas (n). No caso das matrizes 
quadradas do tipo n×n, a sua dimensão é definida como ordem, designando-se a matriz como matriz 
de ordem n. 
 
 
 
 
 
 
1.1. Tipos de Matrizes 
1.2. Classificação de matrizes 
 
 
Matriz quadrada: É a matriz que tem o número 𝑚 de linhas igual ao número 𝑛 de colunas. 
Obs.: A matriz (nxn) é denominada matriz quadrada de ordem n. 
 
 
Elementos homólogos - Dadas as matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] do mesmo tipo (𝑚 × 𝑛) sobre um 
corpo K, designam-se por elementos homólogos aos elementos com os mesmos índices, isto é, 
àqueles elementos que estão nas mesmas linha e coluna. Por exemplo, 𝑎36 e 𝑏36 são elementos 
homólogos. 
 
Matrizes iguais - Dadas duas matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] do mesmo tipo 𝑚× 𝑛 sobre um corpo 
K, estas dizem-se iguais se os elementos homólogos forem iguais. Denota-se simbolicamente essa 
igualdade por A = B. 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
Matrizes Opostas - Dada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛(ℝ), a oposta de A é a matriz 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) ∈
 𝑀𝑚𝑥𝑛(ℝ) tal que 𝑏𝑖𝑗 = −𝑎𝑖𝑗; ∀ 𝑖 ∈ {1, … ,𝑚}, ∀ 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛}. Ou seja, os elementos da matriz 
oposta de A são os elementos opostos aos elementos de A. Representamos a oposta de 𝐴 por −𝐴. 
Ex: 
A oposta da matriz 𝐴 = [
3 −1 0
2 √3 4
1 0 −8
−6 10 −2
] é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 − 𝐴 = [
−3 1 0
−2 −√3 −4
−1 0 8
 6 −10 2
] 
 
Matriz Identidade ou Unidade - É toda matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal 
são iguais a um e os demais elementos são iguais a zero. Ex: 
 𝐼2 = [
1 0
0 1
] 𝐼3 = [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
] 
 
 
Diagonal principal e diagonal secundária - 𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝐴 = [
1 8 3
2 5 0
7 4 9
] 
 Os elementos a11 = 1, a22 = 5 e a33 = 9 formam a diagonal, principal. 
 Os elementos a13 = 3, a22 = 5 e a31 = 7 formam a diagonal secundária. 
 
Matriz diagonal - É a matriz que apresenta todos os elementos que não pertencem à diagonal 
principal iguais a zero. 
Exemplo: A = [
4 0 0
0 2 0
0 0 3
] 
 
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença duma diagonal secundária e uma 
diagonal principal. 
 
 
 
 
 
Nota 2: As diagonais duma matriz tomam uma relevância especial quando se consideram matrizes 
quadradas. 
 
Nota 3: Uma matriz diagonal pode também ser entendida como uma matriz simultaneamente 
triangular superior e triangular inferior. 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
Matriz Triangular Superior 
A matriz quadrada 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] que tem os elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0, para 𝑖 > 𝑗. 
Ex: 𝐴 = [
0 1
0 0
] , 𝐵 = [
5 4
0 3
 
 7 9
 −8 4
0 0
0 0
 
−2 3
 0 6
] 
Matriz Triangular Inferior 
É uma matriz quadrada 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗] que tem os elementos 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 < 𝑗. 
Ex: 𝐵 = [
5 0
4 3
 
 0 0
 0 0
7 4
9 1
 
−2 0
 2 6
] 𝐶 = [
1 0
0 2
 
 0 0
 0 0
0 0
0 0
 
 2 0
 0 2
] 
 
Matriz Simétrica 
É toda matriz quadrada A, tal que A
T
 = A. Então A é simétrica. A denominação simétrica provem 
pelo facto de que os elementos dispostos simetricamente em relação à diagonal principal. 
Ex: 𝐴 = [
1 2 3
2 0 4
3 4 5
] , B = [
3 −2
−2 0
], C = [
0 1
1 0
] 
 
 
Matriz Anti-simétrica 
É toda matriz quadrada A, tal que 𝐴𝑇 = −𝐴. E portanto, 𝐴 = − 𝐴𝑇, é necessário que seus 𝑎𝑖𝑗 
verifique as seguintes condições:
 
 
 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑖𝑗 se 𝑖 ≠ 𝑗 
 𝑎𝑖𝑗 = 0 se 𝑖 = 𝑗 
Isto é, todos elementos da diagonal principal serão necessariamente nulos, pois – A = A implica 
igualdade −𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗, que só é satisfeita por 𝑎𝑖𝑗 = 0. Dois elementos dispostos simetricamente em 
relação `a diagonal principal, tem sinais opostos. 
Ex: 𝐴 = [
0 5 2
−5 0 −1
2 1 0
] 𝐵 = [
0 𝑖 2
−𝑖 0 4
−2 3 0
] 
 
Nota 4: Diagonal principal tem de ser necessariamente toda nula. 
 
 
Propriedade de Matrizes Simétricas/Anti-simétrica 
 
1. ∝ 𝐴 é Simétrica sendo ∝ um número real ou complexo 
2. AAT = ATA 
3. A2 é Simétrica 
 
Proposição 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
Qualquer matriz quadrada A pode ser decomposta na soma duma matriz simétrica com uma matriz 
anti-simétrica e tal decomposição é única. 
 
Se A é qualquer matriz quadrada, construímos uma matriz simétrica 𝑺 e uma matriz anti-simétrica 
𝑃 definindo-as das seguintes maneiras: 
 matriz simétrica: 𝑆 =
𝐴+𝐴𝑇
2
 
 matriz anti-simétrica: 𝑃 =
𝐴−𝐴𝑇
2
 
Seja Sij o elemento da matriz S, que esta na posição (i, j), então Sij = 𝑆𝑖𝑗 =
1
2
(𝑎𝑖𝑗 + 𝑎𝑗𝑖), onde 
𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝑎𝑗𝑖 são elementos da matriz A. 
 
 
 
Matriz Transposta - Chama-se Matriz Transposta duma matriz A(mxn) à matriz que dela se obtém 
trocando, ordenadamente, as linhas com as colunas, e representa-se por: A
T
(nxm). 
A = [
a b c
d e f
] ==≫ AT = [
a d
b e
c f
] 
Exemplos: 
𝐴 = [
2 3 5
1 −1 0
]
(2×3)
 => 𝐴𝑇 = [
2 1
3 −1
5 0
]
(3×2)
 
 
Propriedades da transposiçãode matrizes 
Admitindo que a dimensão das matrizes permite que as operações indicadas possam ser efectuadas, 
então são válidas as seguintes regras: 
 
1) (AT )T =A ; 
2) (𝛽A)T = 𝛽𝐴𝑇 (𝛽 constante); 
3) (AT )k = (Ak )T ; 
4) (A +B)T = AT +BT ; 
5) (A x B)T =BT x AT ; 
6) (A x B x...x X )T = X T x...x BT x AT . 
 
Nota 5: Uma matriz A  M(nx n) (K) diz-se ortogonal se A
T
A = In = AA
T
 e semi-ortogonal se A
T
A = 
 In = AA
T
 
 
Matriz Conjugada - Define-se a conjugada de A, e representamos por �̅�, a matriz que se obtêm de 
A substituído cada elemento pelo seu conjugado. Tem-se, pois, �̅�  M(n× n) (C) e (𝐴̅̅ ̅)𝑖𝑗= �̅�𝑖𝑗, i = 1,…, 
m, j = 1,… n. 
Ex: a conjugada de 𝐴 = [
1 9 − 2𝑖
7 + 3𝑖 8𝑖
] é a matriz �̅� = [
1 9 + 2𝑖
7 − 3𝑖 −8𝑖
] 
Propriedades 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
1. 𝐴 ̿ = 𝐴. 
2. 𝐴 + 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� + �̅�. 
3. ∝ 𝐴̅̅ ̅̅ ̅ =∝̅ �̅�. 
4. 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ . 
5. 𝐴𝑘̅̅̅̅ = (�̅�)k 
6. (�̅�)𝑇 = 𝐴𝑇̅̅̅̅ 
7. Se m = n e A uma matriz invertível, então �̅� é invertível e (𝐴̅̅ ̅)−1 = 𝐴−1̅̅ ̅̅ ̅ 
Matrizes ortogonais 
Dizemos que uma matriz 𝐴 𝜖 𝑀𝑛(𝑅), inversível, é ortogonal, quando 𝐴−1 = 𝐴𝑇. Podemos 
verificar se uma matriz A é ortogonal, multiplicando 𝐴 por 𝐴𝑇 e vemos se o produto é a 
identidade. 
Exemplo: A matriz 
[
 
 
 
 1 2⁄
√3
2
⁄
−√3 2
⁄ 1
2⁄
]
 
 
 
 
 é ortogonal. De facto, multiplicando essa matriz pela 
sua transposta, temos: 
[
 
 
 
 1 2⁄
√3
2
⁄
−√3 2
⁄ 1
2⁄
]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 1 2⁄ −
√3
2
⁄
√3
2
⁄ 1
2⁄
]
 
 
 
 
= [
1 0
0 1
] 
 
Matriz Transconjugada 
Define-se a Transconjugada de A, e representamos por A
*
, a matriz: (�̅�)𝑇 = 𝐴𝑇̅̅̅̅ . 
 
Ex1: 𝐴 = −𝑖𝐼𝑛  M(n× n) (C) então a transconjugada será: 𝐴
∗ = −𝑖𝐼𝑛. 
Ex2: 𝐴 = [
2 3 + 4 −4
−𝑖 −2 0
] então a transconjugada será: 𝐴∗ = [
2 𝑖
3 − 𝑖 −2
−4 0
] 
 
Matrizes Hermetiana/ anti-hermitiana 
Uma matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℂ) diz-se hermitiana (ou hermítica) se 𝐴
∗ = 𝐴. Diz-se que A é anti-
hermitiana se 𝐴∗ = −𝐴. Exemplo: [
1 1 + 𝑖
1 − 𝑖 −1
] é uma matriz hermitiana: [
1 1 + 𝑖
1 − 𝑖 −1
]
∗
=
[
1 1 + 𝑖
1 − 𝑖 −1
] 
 
Nota: Uma matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℂ) diz-se unitária se for invertível e se 𝐴
−1 = 𝐴∗. 
Exemplo: [
1
2
−
2
3
𝑖
2
3
𝑖
−
2
3
𝑖 −
1
3
−
2
3
𝑖
] 
 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
Nota: Uma matriz A diz-se normal se 𝐴∗𝐴 = 𝐴𝐴∗. Exemplo: [
2 − 3𝑖 1
−𝑖 1 − 2𝑖
] 
 
 
2. Álgebra Matricial 
Discutem-se nesta secção as principais operações com matrizes: adição de matrizes, multiplicação 
de uma matriz por um escalar e multiplicação de matrizes. 
 
2.1. Soma de matrizes. 
Sejam 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗], 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗] ∈ M(m×n) (K). Define-se soma 𝐴 + 𝐵 à matriz 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗], tal que 
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , ∀(i,j)∈ {1,...,m}×{1,...,n}. 
 
Considerem-se os seguintes casos como Exemplo: 
 
I. [
1 2
3 4
] +[
5 6
7 8
] = [
1 + 5 6 + 2
3 + 5 4 + 8
] = [
6 8
10 12
] 
 
II. [
1
2
] + [
3
4
] = [
1 + 3
2 + 4
] = [
4
6
] 
 
III. [3 4] + [1 + 2] = [3 + 1 4 + 2] = [6 4] 
 
2.1.2. Propriedades da soma de matrizes. 
 Admitindo que a dimensão das matrizes envolvidas permite que as operações indicadas possam ser 
efectuadas, então são válidas as seguintes regras: 
1. 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶; - Associatividade 
2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 - Comutatividade, 
3. 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 - 0 matriz nula ou mesmo Elemento neutro, 
4. 𝐴 + (−𝐴) = (− 𝐴) + 𝐴 = 0; - Elemento simétrico, 
5. 0 − 𝐴 = − 𝐴; 
6. 𝐴 = 𝐵 e 𝐶 = 𝐷 então 𝐴 + 𝐶 = 𝐵 + 𝐷. 
Nota 6: Repare-se que as propriedades da adição de matrizes são idênticas às da adição em R. 
 
Traço duma matriz 
Chama-se traço duma matriz quadrada à soma dos elementos da diagonal principal, 
𝑡𝑟(𝐴) = ∑ 𝑎𝑖𝑖
𝑛
𝑖=1 . 
 
Propriedades do traço duma matriz. 
Admitindo que a dimensão das matrizes permite que as operações indicadas possam ser efectuadas, 
então são válidas as seguintes regras: 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B) ; 
2. tr(𝛼 𝐴) = 𝛼 tr(A) ; 
3. tr(AB) = tr(BA) ; 
4. tr(𝐴𝑇 ) = tr(A) . 
 
 
 
2.2. Multiplicação duma matriz por um escalar. 
 
A multiplicação duma matriz A por um escalar 𝛽 ϵ Ɍ é uma nova matriz, do mesmo tipo, cujo 
elemento genérico é: 𝛽 𝑎𝑖𝑗. Ou seja, multiplica-se uma matriz por um escalar multiplicando todos 
os seus elementos por esse escalar, 𝐴𝛽 = [𝛽𝑎𝑖𝑗], i =1,...,m e j =1,...,n. Exemplo: 
1. 3 × [
1 2
3 4
] = [
3 × 1 3 × 2
3 × 3 3 × 4
] = [
3 6
9 12
] 
 
2. 1 2⁄ × [3 4] = [
1
2
× 3
1
2
× 4] = [3 2⁄ 2] 
 
3. √2 × [
1
2
] = [√
2 × 1
√2 × 2
] = [ √
2 
2√2 
] 
 
2.2.1. Propriedades da multiplicação duma matriz por um escalar 
Sejam A, B ∈ M(m×n) (K) e λ, μ ∈ K. As seguintes propriedades são verificadas: 
1) λ (A + B) = λA + λB 
2) (λ + μ)A = λA + μA 
3) λ (μA) = (λμ)A 
4) 1 · A = A. O escalar 1 designa-se por unidade ou elemento neutro do corpo K. 
 
 
2.3. Potenciação de matriz 
Chama-se potencia de expoente k de A, com k e No, à matriz de M(nxn) (K), que representamos por 
A
k
 definida do seguinte modo: 
 𝐴𝑘 = {
𝐼𝑛, 𝑠𝑒 𝐾 = 0
𝐴𝑘−1 𝐴, 𝑠𝑒 𝑘  𝑁
 
 
Quando multiplicamos um número real por ele mesmo, efectuamos uma potenciação. Se a é um 
número real, indicamos por 𝑎𝑛 o produto 𝑎 × 𝑎 × …× 𝑎, onde consideramos 𝑛 factores iguais a 𝑎. 
Analogamente, quando lidamos com matrizes, definimos a potência de expoente 𝑛 (ou a 𝑛-ésima 
potencia) duma matriz quadrada A como sendo o produto 𝐴 × 𝐴 × … × 𝐴, onde há 𝑛 factores 
iguais a 𝐴. 
Exemplo: 𝐴 = [
5 −4
3 1
], temos: 
𝐴2 = 𝐴 × 𝐴 = [
5 −4
3 1
] [
5 −4
3 1
] = [
13 −24
18 −11
] 
𝐴3 = 𝐴2 × 𝐴 = [
13 −24
18 −11
] [
5 −4
3 1
] = [
−7 −76
57 −83
] 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
 
Quando calculamos sucessivas potências duma matriz, podem ocorrermos seguintes casos 
especiais: 
 𝐴𝑛 = 𝐴, para algum 𝑛 natural. 
Nesse caso, dizemos que a matriz A é periódica. Se 𝑝 é o menor natural para o qual 𝐴𝑝 = 𝐴, 
dizemos que A é periódica de período 𝑝. Particularmente, se 𝑝 = 2, a matriz A é chamada 
idempotente. 
 𝐴𝑛 = 0, para algum n natural. 
Nesse caso, dizemos que a matriz A é nihilpotente. Se p é o menor natural para o qual 𝐴𝑝 = 0, a 
matriz A é dita ser nihilpotente de índice p. 
 
Exemplo 2 
Efetuando a multiplicação de A por ela mesma, você poderá constatar que a matriz A, em cada 
caso, é idempotente: 
a. 𝐴 = [
1
2⁄
1
2⁄
1
2⁄
1
2⁄
] 
b. 𝐵 = [
0 5
0 1
] 
c. seja 𝐴 = [
5 −1
25 −5
]. Calculando 𝐴2, temos 𝐴 × 𝐴 = [
5 −1
25 −5
] [
5 −1
25 −5
] = [
0 0
0 0
]. Ou seja, A 
é nihipotente de índice 2. 
 
342.3.1. Propriedades 
Sejam A  Mnn (K) e k, l  N0. Tem-se: 
1. 𝐴𝐾𝐴𝑙 = 𝐴𝐾+𝑙 
2. (𝐴𝐾)𝑙 = 𝐴𝑘𝑙 
3. 𝐴0 = 𝐼 (matriz identidade). 
4. 𝐴𝑘 = 𝐴 × 𝐴 × …× 𝐴⏟ 
𝑘 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠
; (k>0) - Desde que A seja Quadrada. 
 
 
 
 
2.4. Multiplicação de matrizes 
 
Dadas as matrizes, A (mx n) e B( px q), o produto de matrizes AxB existe se n=p e o seu resultado é 
a matriz C do tipo (mxq ) cujo elemento genérico é c ik , o qual se obtém multiplicando a linha i da 
matriz A (primeira matriz), pela coluna k da matriz B (segunda matriz). 
Uma vez que, a multiplicação de matrizes envolve a multiplicação de (linhas da 1ª matriz)x(colunas 
da 2ª matriz), torna-se necessário que o número de elementos das linhas da 1ª matriz (n – nº de 
colunas) coincida com o número de elementos das colunas da 2ª matriz (p – nº de linhas). 
Em resumo: 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
 
Dum modo geral, dadas duas matrizes A e B de dimensões, respectivamente 𝑚 × 𝑛 e 𝑝 × 𝑞, os 
produtos C = AB e D = BA são possíveis nas seguintes circunstâncias: 
Produto Possível se..... Resultado 
A(m×n) × B(p×q) n = p C(m×q) 
B(p×q) × A(m×n) q = m D(p×n) 
 
 
Exemplo: Considerem-se as seguintes matrizesreais: 
 
 𝐴 = [
−2 3 −3
3 5 3
3 5 −5
] 𝐵 = [
2 0
−2 1
−1 −3
] 𝐶 = [
3 −5 5
−5 −4 −1
] 𝐷 = [−3 5 −3] 
 
Os produtos possíveis são AB, BC, CA, DA, DB. A titulo de exemplo teremos: 
𝐴𝐵 = [
−2 3 −3
3 5 3
3 5 −5
] [
2 0
−2 1
−1 −3
] 
 = [
(−2) × 2 + 3 × (−2) + (−3) × (−1) (−2) × 0 + 3 × 1 + (−3) × (−3)
3 × 2 + 5 × (−2) + 3 × (−1) 3 × 0 + 5 × 1 + 3 × (−3)
3 × 2 + 5 × (−2) + (−1) × (−1) 3 × 0 + 5 × 1 + (−5) × (−3)
] = [
−7 12
−7 −4
1 20
] 
 
Consideremos os seguintes casos: 
 
A. [
1 2
3 4
] [
5 6
7 8
] = [
1 × 5 + 2 × 7 1 × 6 + 2 × 8
3 × 5 + 4 × 7 3 × 6 + 4 × 8
] = [
19 22
43 50
] 
 
B. [
5 6
7 8
] [
1 2
3 4
] = [
5 × 1 + 6 × 3 5 × 2 + 6 × 4
7 × 1 + 8 × 4 7 × 2 + 8 × 4
] = [
23 34
41 46
] 
 
C. [3 4] [
1
2
] = [3 × 1 + 4 × 2] = [11] = 11 
 
D. [
1
2
] [3 4] = [
1 × 3 1 × 4
2 × 3 2 × 4
] = [
3 4
6 8
] 
 
E. [
1 −1
1 −1
] [
1 −1
1 −1
] = [
1 × 1 + (−1) × 1 1 × (−1) + (−1) × (−1)
1 × 1 + (−1) × 1 1 × (−1) + (−1) × (−1)
] = [
0 0
0 0
] 
 
Nota 8: Em geral AB ≠ BA. Veja-se os exemplos acima. 
 
 
 
2.4.1. Propriedades da multiplicação de matrizes. 
 
Admitindo que a dimensão das matrizes envolvidas permite que as operações indicadas possam ser 
efectuadas, então são válidas as seguintes regras: 
1. (A x B) x C =A x (B x C) - Associatividade; 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
2. A x B = B x A - Comutatividade 
3. Ax (B+C) =Ax B+A x C e (B+C) x A=Bx A+C x A - Distributividade em relação à adição; 
4. 𝛼(Ax B) = ( 𝛼A) x B =A x( 𝛼B) , - 𝛼 ∈ R; 
5. A x 0= 0 e 0 x A =0 ou A(nxn) x 0= 0 x A(nxn) = 0 - 0 é matriz nula); 
6. AxI=A e I xA=A ou A(nxn) x I = I x A(nxn) =A(nxn) -A matriz identidade I é o elemento 
neutro; 
7. A0 = I - matriz identidade. 
 
4. Matriz Inversa 
Dada uma matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(𝑅), se existe uma matriz 𝐵 ∈ 𝑀𝑛(𝑅), tal que 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛, a matriz A é 
dita inversível e a matriz B é a sua inversa, e podemos escrever 𝐵 = 𝐴−1. Uma matriz inversível 
sempre comuta com sua inversa; logo, se 𝐴𝐵 = 𝐼𝑛 entao 𝐵𝐴 = 𝐼𝑛 e A é a inversa de B. 
Dada uma matriz quadrada A, não sabemos se ela é ou não inversível até procurar determinar sua 
inversa e isso não ser possível. Para descobrir se uma matriz é ou não invertível e, em caso 
afirmativo, determinar sua inversa, só contamos, até o momento, com a definição. Assim, dada uma 
matriz A de ordem n, escrevemos uma matriz também de ordem n, cujos elementos são incógnitas a 
determinar, de modo que o produto de ambas seja a identidade de ordem n. Vamos a um exemplo: 
1. Vamos determinar caso exista a matriz inversa de 𝐴 = [
2 5
1 3
]. Seja [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] a matriz inversa de 
A, então: 𝐴𝐵 = 𝐼2 ⟹ [
2 5
1 3
] [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] = [
1 0
0 1
] ⟹ [
2𝑥 + 5𝑧 2𝑦 + 5𝑡
𝑥 + 3𝑧 𝑦 + 3𝑡
] = [
1 0
0 1
] 
Essa igualdade gera um sistema de 4 equações e 4 incógnitas:{
2𝑥 + 5𝑧 = 1
2𝑦 + 5𝑡 = 0
𝑥 + 3𝑧 = 0
𝑦 + 3𝑡 = 1
 
Note que esse sistema admite dois subsistemas de 2 equações e 2 incógnitas: 
{
2𝑥 + 5𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑧 = 0
 𝑒 {
2𝑦 + 5𝑡 = 0
𝑦 + 3𝑡 = 1
 
Resolvendo cada um deles, obtemos 𝑥 = 3; 𝑦 = −5; 𝑧 = −1; 𝑡 = 2. 



























































































43
54
: matriz a Portanto,
4
5
 
143
054
3
4
 
043
154
 
143
043
054
154
 
10
01
.
43
54
 :Entao 
 d. c, b, a, :Determine .
10
01
.
43
54
 :sejaou ,
43
54
 Sendo 
sera
dc
ba
d
b
db
db
c
a
ca
ca
db
ca
db
ca
dc
ba
dc
ba
A
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
Logo, a matriz A é inversível e sua inversa é 𝐴−1 = [
3 −5
−1 2
] = 𝐵 
2. 𝐴 = [
6 3
8 4
]. Procedendo como no item anterior, escrevemos: 
𝐴 = [
6 3
8 4
] [
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
] = [
1 0
0 1
] ⟹ [
6𝑥 + 3𝑧 6𝑦 + 3𝑡
8𝑥 + 4𝑧 8𝑦 + 4𝑡
] = [
1 0
0 1
] 
Obtemos então os sistemas: {
6𝑥 + 3𝑧 = 1
8𝑥 + 4𝑧 = 0
 𝑒 {
6𝑦 + 3𝑡 = 0
8𝑦 + 4𝑡 = 1
 
Ao resolver esses sistemas, porém, vemos que não admitem solução (tente resolve-los, por qualquer 
método!). Conclui-mos, então, que a matriz A não é inversível. 
 
Nota 10: Percebeu-se que ao tentar inverter uma matriz de ordem 2, recaímos em dois sistemas, 
cada um de duas equações e duas incógnitas. Se a matriz a ser invertida for de ordem 3, então o 
problema recairá em três sistemas, cada um com três equações e três incógnitas, assim 
sucessivamente. 
 
Observação: 
a) Sendo 𝐴−1 a matriz inversa de A, então 𝐴−1 é invertível e a sua inversa é a própria matriz 
A, isto é, (𝐴−1)−1 = A. 
b) A matriz nula não é invertível. No entanto, a matriz identidade I é invertível tendo-se 
𝐼 −1 = 𝐼. 
c) Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou uma coluna nula então não é invertível. 
 
Teorema: A inversa duma matriz invertível é única. Sejam B e C as inversas de A. Então, 𝐵 =
 𝐵𝐼 = 𝐵 (𝐴𝐶) = 𝐵𝐴)𝐶 = 𝐼𝐶 = 𝐶. 
 
3.1. Propriedades da inversão de matrizes 
1. Se 𝐴 𝜖 𝑀𝑛(𝑅) é inversível, então (𝐴−1)−1 = 𝐴. De fato, como 𝐴−1𝐴 = 𝐼𝑛, temos que A é 
a inversa de 𝐴−1. 
2. Se 𝐴, 𝐵 𝜖 𝑀𝑛(𝑅) são inversíveis, então AB é inversível e (𝐴𝐵)−1 =𝐵−1𝐴−1. 
De fato, temos (𝐴𝐵)( 𝐵−1𝐴−1) = 𝐴(𝐵𝐵−1) 𝐴−1 = 𝐴𝐼𝑛𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝑛. Logo, 𝐵−1𝐴−1 
é a inversa de 𝐴𝐵. 
3. Se 𝐴 𝜖 𝑀𝑛(𝑅) é inversível, então (𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1)𝑇 . 
De facto, como 𝐴𝑇 (𝐴−1)𝑇 = (𝐴−1𝐴)𝑇 = (𝐼𝑛)𝑇 = 𝐼𝑛, temos que (𝐴−1)𝑇 é a inversa de 𝐴𝑇. 
 
Cálculo de Inversa duma matriz a partir de Operações elementares 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
Dada 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℝ), chamam-se operações elementares as seguintes acções: 
 
1. Permutar duas linhas A: 𝐿𝑖 ↔ 𝐿𝑗 - Indicamos a troca das linhas 𝐿𝑖 e 𝐿𝑗 por 𝐿𝑖 ↔ 𝐿𝑗 . 
 
2. Multiplicar uma linha de A por um número real não nulo: 𝐿𝑖 ← 𝜆𝐿𝑖 . 
Indicamos que multiplicamos a linha 𝐿𝑖 de S pelo número real 𝜆 escrevendo 𝐿𝑖 ← 𝜆𝐿𝑖 
 
3. Somar a uma linha um múltiplo duma outra: 𝐿𝑖 ← 𝐿𝑖 + 𝜆𝐿𝑗. Indicamos que somamos à 
linha 𝐿𝑖 a linha 𝐿𝑗 multiplicada pelo numero real 𝜆 por: 𝐿𝑖 ← 𝐿𝑖 + 𝜆𝐿𝑗 
 
Exemplo: Vamos aplicar algumas operações elementares às linhas da matriz 𝐴 = [
−3 2 5
0 1 6
8 4 −2
] 
1. [
−3 2 5
0 1 6
8 4 −2
] 
𝐿1 ↔ 𝐿3
 ⇒ [
8 4 −2
0 1 6
−3 2 5
] 
 2. [
−3 2 5
0 1 6
8 4 −2
] 𝐿2 ←−3𝐿2 ⇒ [
−3 2 5
0 −3 −18
8 4 −2
] 
3. [
−3 2 5
0 1 6
8 4 −2
] 𝐿2 ← 𝐿2 +2𝐿3 ⇒ [
−3 2 5
16 9 2
8 4 −2
] 
 
Consideremos o conjunto 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℝ). Se, ao aplicar uma sequência de operações elementares a 
uma matriz A, obtemos a matriz B, dizemos que B é equivalente a A e indicamos por 𝐵~𝐴. Fica 
definida, assim, uma relação no conjunto 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℝ), que é: 
1. Reflexiva: 𝐴 ~ 𝐴 
2. Simétrica: se 𝐴 ~ 𝐵 entao 𝐵 ~ 𝐴 
3. Transitiva: se 𝐴 ~ 𝐵 e 𝐵 ~ 𝐶 entao 𝐴 ~ 𝐶 
Isto é, a relação ~ é uma relação de equivalência no conjunto 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛 (ℝ). 
Assim, se 𝐴 ~ 𝐵 ou se 𝐵 ~ 𝐴 podemos dizer, simplesmente, que A e B são equivalentes. 
41 
Lembremos que nosso objectivo é determinar um método para encontrar a inversa de uma matriz, 
caso ela exista, que seja mais rápido e simples do que o uso da definição. Para isso, precisamos do 
seguinte resultado: 
 
Teorema: Se 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ), então A é inversível se, e somente se, 𝐴~ 𝐼𝑛. Se A é inversivel, a mesma 
sucessão de operações elementares que transformam 𝐴 em 𝐼𝑛, transformam 𝐼𝑛 na inversa de 𝐴. 
Este método permite determinar, durante sua aplicação, se a matriz é ou não inversível, então: 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
1. Escrevemos, lado-a-lado, a matriz que queremos inverter e a matriz identidade de mesma 
ordem, segundo o esquema: 𝐴 | 𝐼 
2. Por meio de alguma operação elementar, obtemos o número 1 na posição 11.3. Usando a linha 1 como linha-pivo, obtemos zeros nas outras posições da coluna 1 (para isso, 
fazemos uso da terceira operação elementar). 
4. Por meio de uma operação elementar, obtemos o número 1 na posição 22. 
5. Usando a linha 2 como linha-pivo, obtemos zeros nas outras posições da coluna 2 (para isso, 
fazemos uso da terceira operação elementar). 
6. Passamos para a terceira coluna e assim por diante. 
7. Se, em alguma etapa do procedimento, uma linha toda se anula, podemos concluir que a 
matriz em questão não é inversivel - nesse caso, nenhuma operação elementar igualaria essa 
linha a uma linha da matriz identidade! 
8. Se chegarmos à matriz identidade, então a matriz à direita, no esquema, será a matriz 
inversa procurada. 
Veja os exemplos a seguir: 
𝐴 = [
3 1 2
−1 0 3
4 2 −5
]. Escrevemos na forma esquemática: 
 
3 1 2
−1 0 3
4 2 −5
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 𝐿2 ← −𝐿2 ⇒ 
3 1 2
1 0 −3
4 2 −5
|
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
 
 𝐿1 ↔ 𝐿2
 ⇒ 
 
 ⇒ 
1 0 −3
3 1 2
4 2 −5
|
0 −1 0
0 1 0
0 0 1
 𝐿2 ← 𝐿2 − 3𝐿1
 𝐿3 ← 𝐿3 − 4𝐿1
 ⇒ 
1 0 −3
0 1 11
0 2 7
|
0 −1 0
1 3 0
0 4 1
 
𝐿3 ← 𝐿3 − 2𝐿2
 
 
⇒
1 0 −3
0 1 11
0 0 −15
|
0 −1 0
1 3 0
−2 −2 1
 
 𝐿3 ← −15𝐿3
 
 
 ⇒ 
1 0 −3
0 1 11
0 0 1
|
0 −1 0
1 3 0
2 15⁄ 2 15⁄ −2 15⁄
𝐿1 ← 𝐿1 + 3𝐿3
𝐿2 ← 𝐿2 − 11𝐿3 
 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
6 15⁄ −9 15⁄ −3 15⁄
−7 15⁄ 23 15⁄ 11 15⁄
2 15⁄ 2 15⁄ −1 15⁄
 
Logo, a matriz A é inversível, e 𝐴−1 =
1
15
[
6 −9 −3
−7 23 11
2 2 −1
] . Pode-se verificar que essa é, realmente, 
a inversa de A, efectuando a multiplicação dela por A e constatando que o produto é 𝐼3. 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
2. 𝐴 = [
2 4 −1
0 −3 2
4 11 −4
]. Escrevendo na forma esquemática: 
43
2 4 −1
0 −3 2
4 11 −4
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
𝐿1 ←
1
2
𝐿1
 
Como a terceira linha se anulou, podemos parar o processo e concluir que a matriz A n~ao _e 
invertível. 
 
RESUMO: 
a) A 𝑎𝑖𝑗 designa-se por elemento genérico, aos números i e j dá-se o nome de índices naturais, 
o primeiro representa a ordem da linha e o segundo a ordem da coluna; 
b) Caso m≠n a matriz diz-se rectangular {matriz tipo (mxn)}, caso m =n a matriz diz-se 
quadrada {matriz tipo (nxn) ou de ordem n}, estas últimas são particularmente importantes. 
c) De entre as matrizes rectangulares há a destacar a matriz linha e a matriz coluna; 
d) A matriz quadrada dá-se o nome de elementos principais aos elementos aij, em que i =j. Eles 
formam a diagonal principal, que vai do canto superior esquerdo ao canto inferior direito. 
e) Os elementos que se distribuem simetricamente em relação à diagonal principal chamam-se 
elementos opostos. O elemento aij é oposto do elemento aji. Por exemplo, na matriz (3x3), 
os elementos a12 e a21 são opostos. 
[
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
] 
Teoremas: 
i. Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 e 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 são duas matrizes invertíveis, então 𝐴𝐵 é invertível e 
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1. 
ii. Sendo ∝ um escalar não nulo e A uma matriz invertível então ∝A é invertível e (∝ 𝐴)−1 =
1
∝
𝐴−1. 
iii. Seja 𝑚 ∈ ℕ. Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 é uma matriz invertível, então 𝐴
𝑚 é invertível e (𝐴𝑚)−1 = 
(𝐴−1)𝑚 e escreve-se 𝐴−𝑚 = (𝐴𝑚)−1. 
iv. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 uma matriz. Se existir 𝑙 ∈ ℕ tal que 𝐴
𝑙 = 0 então A não é invertível. 
v. Sejam A e B matrizes com A invertível tais que 𝐴𝐵 = 0. Então B = 0. 
vi. Sejam A e B matrizes com B invertível tais que 𝐴𝐵 = 0. Então A = 0. 
vii. Sejam A, B e C matrizes com A invertível tais que AB = AC. Então B = C. 
viii. Sejam A, B e C matrizes com B invertível tais que AB = CB. Então A = C. 
ix. 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 é uma matriz invertível se e só se 𝐴
𝑇 é invertível e (𝐴𝑇)−1 = (𝐴−1)𝑇. 
x. Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 é uma matriz simétrica invertível, então 𝐴
−1 é simétrica. 
Produzido por: Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
xi. Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 é uma matriz hermitiana invertível, então 𝐴
−1 é hermitiana. 
xii. Se 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 é uma matriz ortogonal, então 𝐴
𝑇 e 𝐴−1 são matrizes ortogonais. 
xiii. Se A e B são duas matrizes ortogonais então AB é uma matriz ortogonal. 
xiv. Se A e B são duas matrizes unitárias então AB é uma matriz unitária. 
xv. Se A e B são duas matrizes simétricas então AB é uma matriz simétrica se e só se A e B 
comutarem. 
xvi. Se A e B são duas matrizes hermitianas então AB é uma matriz hermitiana se e só se A e B 
comutarem.