8 grupo M.E TRAB.docx-1

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Sérgio Paulo Mustafa
Selemane Amuli
Susana Diona de Amparo Francisco Langa
Telvina Manuel Damas
Trindade João Matos
Zaia Cuambe
Equações trigonométricas
(equações fundamentais e equações clássicas)
Licenciatura em Ensino de Matemática
Universidade Rovuma
Lichinga
2021
Sérgio Paulo Mustafa
Selemane Amuli
Susana Diona de Amparo Francisco Langa
Telvina Manuel Damas
Trindade João Matos
Zaia Cuambe
Equações trigonométricas
(equações fundamentais e equações clássicas)
Licenciatura em Ensino de Matemática
 
Trabalho de Carácter Avaliativo em
grupo, da cadeira de Matemática Escolar.
Licenciatura em Ensino de Matemática
1°ano, Recomendado pelo:
Docente: Valente M. S. Farahane
Universidade Rovuma
Lichinga
2021
Índice
Introdução...........................................................................................................................2
Equações trigonométricas...................................................................................................3
Equações do tipo senx=sena.............................................................................................3
Equações do tipo cosx=cosa .............................................................................................5
Equações do tipo tgx=tga..................................................................................................7
Equações clássicas..............................................................................................................8
Equações do tipo asenx+bcosx=c ;a ,b , c∈ R+¿¿.............................................................8
Conclusão..........................................................................................................................10
 Bibliografia.......................................................................................................................11
2
Introdução
O presente trabalho de carácter avaliativo na cadeira de Matemática Escolar que visa abordar
um ponto muito importante na matemática, trata-se de equações trigonométricas na qual
teremos mas destaque para as equações fundamentais do tipo
senx=sena;cosx=cosae tgx=tga; Alem deste ponto será abordado também acerca das
equações clássicas do tipo asenx+bcosx=c ;a ,b , c∈ R+¿¿.
Objectivos
Objectivo Geral
 Estudar as equações trigonométricas.
Objectivos Específicos
 Trazer equações fundamentais e 
 Equações clássicas
3
Equações trigonométricas
Equações trigonométricas são aquelas que envolvem as funções trigonométricas em seus
membros.
Exemplo: senx=
1
2
, tgx=tg
π
4
ecos2 x=−cosx 
Resolver uma equação desse tipo significa encontrar os valores de x,
caso existam, que a tornem uma sentença numérica verdadeira. Esses
valores dos arcos (ou ângulos) que verificam uma equação trigonométrica
chamam-se soluções da equação. (segundo Eliete Maria Goncalves e Vanilda Miziara Mello
Chueiri).
 Como as equações trigonométricas possui uma gama muito grande de variantes, vamos fazer
estudo dos principais tipos:
Equações fundamentais
A maioria das equações trigonométricas é ou reduzem-se a um dos três tipos a seguir:
 Equações do tipo sen x=sen a;
 Equações do tipo cos x=cosa;
 Equações do tipo tg x=tga.
Equações do tipo sen x=sen a
Analisando o círculo trigonométrico a baixo, temos que:
 Ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x=a+2πk, k∈Z .
 Ou x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OY, isto é,x=(π−a )+2 kπ , k∈Z .
Resumindo:
sen x=sena⟺ {
x=a+2πk
ou
x=(π−a )+2πk
 k∈Z
Então V¿ {x∈ R : x=a+2kππ ou x=π−a+2 πk ondek∈Z }
4
Figura 1
Exemplos:
a) sen x=√
3
2
.
Resolução:
As extremidades dos arcos no circulo trigonométrico, para o qual sen x=√
3
2
, são os
pontos simétricos P e P’.
Então, escrevemos: senx=sen
π
3
Onde as soluções são:
 {
x=
π
3
+2 πk
ou
x=π−
π
3
+2πk=
2π
3
+2πk
5
 
S={x∈R : x= π3 +2πk ou x=
2π
3
+2πk , com k∈Z }
b) 2 sen2 x−1=0
Resolução:
 2 sen2 x−1=0⟹ sen2x=
1
2
Então, escrevemos:
 sen2x=sen
π
6
 Onde as soluções são:
 {
2x=
π
6
+2kπ⟹ x= π
12
+πk
2x=π−
π
6
+2πk ou2 x=
5 π
6
+2πk⟹x=5 π
12
+π k
S={x∈R ⃓ x= π12+πk ou x=
5 π
12
+πk com k∈Z } 
Equações do tipo: cos x=cosa
Analisando o círculo trigonométrico da figura, temos que:
 Ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é,x=a+2πk , k∈Z;
6
 Ou x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OX, isto é,x=−a+2πk , k∈Z.
Figura 2
Então: S={X∈R ⃓ X=A+πk oux=−a+2 πk ,onde k∈Z }
Exemplos:
a) cosx=
1
2
As extremidades dos arcos no ciclo trigonométrico, para o qual cosx=
1
2
,são os pontos p e p’
simétricos em relação ao eixo dos cossenos.
Então, escrevemos:
cos x=cos
π
3
, Onde as soluções são:
 x=±
π
3
+2πk
S={x∈R ⃓ x=± π3 +2πk ,com k∈Z }
7
b) cosx=
−√3
2
Então:
 cos x=cos ⁡(5 π6 )⟹ x=
5 π
6
+2 πk ou x=
−5 π
6
+2πk ,k∈Z
Logo, S={x∈R ⃓ x± 5 π6 +2πk , k∈Z }
c) cos3 x=√
2
2
 cos x=cos( π4 )⟹3 x=
π
4
+2 πk ou3x=
−π
4
+2πk , k∈Z
 ⟹ x=
π
12
+
2πk
3
oux=
−π
12
+
2 πk
3
, k∈Z
Logo, S={x∈R ⃓ x= π12+
2πk
3
oux=
−π
12
+
2 πk
3
, k∈Z }
e) Resolva a equação anterior no intervalo [0,2π ].
Fazendo k variar no item anterior de maneira que as soluções pertençam ao intervalo [0,2π ],
obtemos:
S={ π12 ,
9 π
12
,
17 π
12
,
23π
12
,
7 π
12
,
15π
12 }.
Equações do tipo: tg x=tga
Analisando o círculo trigonométrico a baixo (figura 3), temos que
 Ou x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x=a+2πk , k∈ Z.
 Ou x e a têm imagens simétricas em relação a origem, isto é,
x=π+a+2πk ,k∈Z , istoe , x=a+(2k+1 )π , k∈Z .
8
Figura 3
Exemplos:
a) tgx=−√3⟹ tgx=t g
2 π
3
⟹ x=2π
3
+kπ , k∈Z
Logo, S¿ {x∈R : x=2π3 +kπ , k∈Z }
b) tg 2x=√
3
3
⟹ tg2 x=tg π
6
⟹2x= π
6
+πk⟹ x= π
12
+
kπ
2
, k∈Z .
Então: S¿ {x∈R : x= π12+
kπ
2
, k∈ z}.
Equações clássicas
 Equações do tipo: a sen x+bcos x=c ,coma ,b , c∈R+¿ ¿
As equações do tipo a sen x+bcos x=c sao resolvidas como auxiliodaprimeira relação
fundamental, ou seja:
{asenx+bcosx=csen2 x+cos2 x=1 
9
Exemplo: determine o conjunto solução da equação senx+cosx=1.
Com auxilio da relação sen2 x+cos2 x=1, formando o sistema: 
 ⟹ {senx+cosx=1sen2 x+cos2 x
Isolando cosx em :cosx=1−senx
Substituindo na segunda:
 sen2x+(1−senx )2=1
 sen2 x+1−2 senx+sen2 x=1
 sen2 x−senx−0
Fazendo: senx= y; y2− y=0⟹ y ( y−1 )=0
y ’=0∧ y ’’=1 
Como cosx=1−senx ,temos senx=0⟹ cosx=1−0⟹cosx=1
Então,x=2 πk
 senx=1⟹ cosx=1−1⟹ cosx=0 entao, x=
π
2
+2πk
Então combinando as soluções principais, temos a solução final:
S = {x∈R : x= π2 +2πk ou x=2πk , com k∈Z} 
Proposto:
1.√3 senx+cosx=2
2.senx+cosx=0.
10
Conclusão
 Com base no trabalho apresentado de um conteúdo anteriormente introduzido, tange ao grupo
realçar que, as equações trigonométricas elas podem ser apresentada sou transformadas de
varias formas, isto é não existe um único método para resolver todas equações
trigonométricas mas o objectivo é sempre de atingir o mesmo resultado certo.
O estudo das equações trigonométricas requer conhecimento das relações trigonométricas,
conhecer os ângulos especiais e mais, então abordou-se uma relação extremamente
fundamental da trigonometria: sen2 x+cos2 x=1. 
11
 Bibliografia 
FILHO, Benigno Barreto; DA SILVA, Cláudio Xavier Matemática Ensino Médio.
RIBEIRO, A; PRATES E VERGASTA E. 
DOMINGUEZ, G. BORGES L.; MARCARENHAS M.